第十七章多元函数微分学

第十七章 多元函数微分学 ( 1 6 时 ) §1 可微性 ( 4 时 )一． 可微性与全微分：1． 可微性：由一元函数引入.))()((22y x ∆+∆ο亦可写为y x ∆+∆βα,→∆∆) , (y x ) 0 , 0 (时→) , (βα) 0 , 0 (.2． 全微分:例1 考查函数xy y x f =),(在点) , (00y x 处的可微性. [1]P 105 E1二. 偏导数:1. 偏导数的定义、记法:2. 偏导数的几何意义: [1]P 109 图案17—1.3. 求偏导数:例2 , 3 , 4 . [1]P 142—143 E2 , 3 , 4 .例5 设 . 0, 0, 0 ,),(22222223⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=y x y x y x y x y x f证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (连续 , 并求) 0 , 0 (x f 和) 0 , 0 (y f .证ρθθρρρθρθρ)sin cos (lim ),(lim2320sin ,cos )0,0(),(+===========→==→y x y x y x f=)0,0(0)sin cos (lim 230f ==+→θθρρρ. ),(y x f 在点) 0 , 0 (连续 .) 0 , 0 (x f =0||lim )0,0()0,(lim300==-→→x x x x f x f x x , ) 0 , 0 (y f ||lim )0,0(),0(lim 200y y y yf y f y y →→=-= 不存在 .Ex [1]P 116—117 1⑴—⑼，2 — 4 .三. 可微条件:1. 必要条件:Th 1 设) , (00y x 为函数),(y x f 定义域的内点.),(y x f 在点) , (00y x 可微⇒) , (00y x f x 和) , (00y x f y 存在, 且==),(00),(00y x df dfy x ) , (00y x f x +∆x ) , (00y x f y y ∆. (证)由于dy y dx x =∆=∆ , ,微分记为=),(00y x df ) , (00y x f x +dx ) , (00y x f y dy . 定理1给出了计算可微函数全微分的方法.两个偏导数存在是可微的必要条件 , 但不充分.例6 考查函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 , 0, 0 , ),(222222y x y x y x xy y x f 在原点的可微性. [1]P 110 E5 .2. 充分条件:Th 2 若函数),(y x f z =的偏导数在的某邻域内存在, 且x f 和y f 在点) , (00y x 处连续 . 则函数f 在点) , (00y x 可微. (证) [1]P 111 Th 3 若),(y x f y 在点) , (00y x 处连续, ),(y x f x 点) , (00y x 存在,则函数f 在点) , (00y x 可微.证 f y y x x f -∆+∆+) , (00) , (00y x[][]) , () , () , () , (00000000y x f y x x f y x x f y y x x f -∆++∆+-∆+∆+= 0 1,0 ),() , (0000→<<∆+∆+∆∆+∆+=αθαθx x y x f y y y x x f x y []x x y x f y y x f x y ∆+∆+∆+=αβ),(),(0000 0→β y x y y x f x y x f y x ∆+∆+∆+∆=βα) , () , (0000.即f 在点) , (00y x 可微 .要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件 .例7 设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=.0 , 0, 0 ,1sin )(),(22222222y x y x y x y x y x f验证函数),(y x f 在点) 0 , 0 (可微, 但x f 和y f 在点) 0 , 0 (处不连续 . 证).0 , 0(),( , 01sin),(2222→→++=y x yx y x y x f ρ因此)(),(ρο=y x f ,即 )(00)0,0(),(ρο+∆+∆=-y x f y x f ,f 在点)0 , 0(可微,0)0,0( , 0)0,0(==y x f f . 但≠),(y x ) 0 , 0 (时, 有2222221cos1sin2),(yx y x x yx x y x f x ++-+=,沿方向,kx y = 2221||limlimkx xy x x x x +=+→→不存在, ⇒沿方向,kx y = 极限22221cos limyx y x x x ++→不存在; 又→),(y x ) 0 , 0 (时, 01sin222→+yx x ,因此,),(lim)0,0(),(y x f x y x →不存在, x f 在点) 0 , 0 (处不连续.由f 关于x 和y 对称,y f 也在点) 0 , 0 (处不连续 .四. 中值定理:Th 4 设函数f 在点) , (00y x 的某邻域内存在偏导数. 若),(y x 属于该邻域, 则存在)(010x x x -+=θξ和)(020y y y -+=θη, 10 , 1021<<<<θθ, 使得))( , ())( , (),(),(00000y y x f x x y f y x f y x f y x -+-=-ηξ. ( 证 ) 例8 设在区域D 内0==y x f f . 证明在D 内c x f ≡)(.五. 连续、偏导数存在及可微之间的关系：六.可微性的几何意义与应用：1． 可微性的几何意义： 切平面的定义. [1]P 115.Th 5 曲面),(y x f z =在点)) , ( , , (0000y x f y x P 存在不平行于Z 轴的切平面的充要条件是函数),(y x f 在点),(000y x P 可微 . (证略) 2. 切平面的求法: 设函数),(y x f 在点),(000y x P 可微，则曲面),(y x f z =在点)) , ( , , (0000y x f y x P 处的切平面方程为 (其中),(000y x f z =)))(,())(,(0000000y y y x f x x y x f z z y x -+-=-， 法线方向数为()1 , ),( , ),( 0000-±y x f y x f y x ， 法线方程为1),(),(0000000--=-=-z z y x f y y y x f x x y x . 例9试求抛物面 22by ax z +=在点),,(000z y x M 处的切平面方程和法线方程 .[1] P 115 E63.作近似计算和误差估计: 与一元函数对照, 原理.例10 求96.308.1的近似值. [1] P 115 E7例11 应用公式C ab S sin 21=计算某三角形面积.现测得50.12=a , 30 , 30.8==C b . 若测量b a , 的误差为C , 01.0±的误差为1.0± . 求用此公式计算该三角形面积时的绝对误差限与相对误差限. [1] P 116 E8 Ex [1]P 116—117 5—14 ；§ 2复合函数微分法 （ 5 时 ）简介二元复合函数 : ),( , ),( , ),(t s y t s x y x f z ψφ===. 以下列三种情况介绍复合线路图: 参阅[4] P 327—328 . ),( , ),( , ),(t s y t s x y x f z ψφ===;, ),,(z y x f u =),( , ),( t s y t s x ψφ==, ),(t s z η=;, ),,(z y x f u = ),,( , ),,( z t s y z t s x ψφ==.一. 链导法则: 以“外二内二”型复合函数为例.Th 设函数),( , ),( t s y t s x ψφ==在点∈),(t s D 可微, 函数),(y x f z =在点=),(y x ()),( , ),(t s t s ψφ可微 , 则复合函数f z =()),( , ),(t s t s ψφ在点),(t s 可微, 且),(),(),(),(),(t s y x t s y x t s s y y z s x x z s z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂,),(),(),(),(),(t s y x t s y x t s ty yz tx xz tz ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂. ( 证 ) [1] P 155称这一公式为链导公式. 该公式的形式可在复合线路图中用所谓“分线加，沿线乘”（或“并联加，串联乘”）来概括.对所谓“外三内二”、“外二内三”、“外一内二”等复合情况，用“并联加，串联乘”的原则可写出相应的链导公式.链导公式中内函数的可微性可减弱为存在偏导数. 但对外函数的可微性假设不能减弱. 如[1] P 156的例.对外m 元),,,(21m u u u f , 内n 元),,,(21n i k x x x u φ= ) , , 2 , 1(m k =, 有∑=∂∂∂∂=∂∂mk ikk i x u u f x f 1 ， n i , , 2 , 1 =. 外n 元内一元的复合函数为一元函数 . 特称该复合函数的导数为全导数. 例1 y x v e u v u z y x +==+=+22 , , )ln(2. 求x z ∂∂和y z∂∂. [1] P 157 E1 例2 22uv v u z -=, y x v y x u sin , cos ==. 求x z ∂∂和yz ∂∂. 例3 ())3(222y x yx z ++=, 求x z ∂∂和yz ∂∂. 例4 设函数),,(w v u f 可微 . ),,(),,(xyz xy x f z y x F =. 求x F 、y F 和z F . 例5 用链导公式计算下列一元函数的导数 :ⅰ> xx y = ; ⅱ> xx xx y cos sin ln )1(2++= . [1] P 158 E4例6 设函数),(y x u u =可微. 在极坐标变换θθsin , cos r y r x ==下 , 证明222221⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂y u x u u r r u θ. [1] P 157 E2 例7 设函数)(u f 可微 , )(22y x yf z -=. 求证xz yzxy x z y=∂∂+∂∂2. 二. 复合函数的全微分: 全微分和全微分形式不变性 .例8 )sin(y x e z xy+=. 利用全微分形式不变性求dz , 并由此导出x z ∂∂和yz∂∂. [1] P 160 E5Ex [1]P 160—161 1—5.三. 高阶偏导数:1. 高阶偏导数的定义、记法： 例9 ,2yx ez += 求二阶偏导数和23xy z∂∂∂. [1]P 167 E1 例10 xyarctgz =. 求二阶偏导数. [1]P 167 E2 2. 关于混合偏导数: [1]P 167—170.3. 求含有抽象函数的二元函数的高阶偏导数: 公式 , [1]P 171例11 ) , (y xx f z =. 求22xz ∂∂和y x z ∂∂∂2. [1]P 171 E34. 验证或化简偏微分方程:例12 22ln y x z +=. 证明22x z ∂∂ + 22y z∂∂0=. ( Laplace 方程 )例13 将方程0=∂∂-∂∂xu y y u x变为极坐标形式. 解 xyarctgy x r r y r x =+=⇒==θθθ , .sin , cos 22.r xy x x xr =+=∂∂22, r y y r =∂∂ , 2ry x -=∂∂θ ,2r x y =∂∂θ. θθθ∂∂-∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ur y r u r x x u x r r u x u 2, θθθ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂u r x r u r y y u y r r u y u 2; 因此, θθθθ∂∂=∂∂+=∂∂+∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-∂∂uu ry x u r y r u r xy u r x r u r xy x u y y u x 2222222 . 方程化简为0=∂∂θu. 例14 试确定a 和b , 利用线性变换 by x t ay x s +=+= , 将方程03422222=∂∂+∂∂∂+∂∂yu y x u x u 化为02=∂∂∂ts u. 解tus u x t t u x s s u x u ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ , t u b s u a y t t u y s s u y u ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂. 22x u ∂∂=x∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂t u s u 22s u ∂∂x s ∂∂+t s u ∂∂∂2x t ∂∂+s t u ∂∂∂2x s ∂∂+22t u ∂∂xt∂∂= =22s u∂∂+2t s u ∂∂∂2+22t u ∂∂.y x u ∂∂∂2=y∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂t u s u 22s u ∂∂y s ∂∂+t s u ∂∂∂2y t ∂∂+s t u ∂∂∂2y s ∂∂+22t u ∂∂yt∂∂= =22s ua ∂∂+)(b a +t s u ∂∂∂2+b 22tu ∂∂.22y u ∂∂=y ∂∂==⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂ t u b s u a 222s u a ∂∂+ab 2t s u ∂∂∂2+2b 22t u ∂∂. 因此 , =∂∂+∂∂∂+∂∂2222234yuy x u x u)341(2a a ++=22s u ∂∂ + ()6442ab b a +++t s u ∂∂∂2 + )341(2b b ++22t u ∂∂. 令 03412=++a a , 1 , 31 , 03412-=-=⇒=++b a b b 或31 , 1-=-=b a 或 ……, 此时方程03422222=∂∂+∂∂∂+∂∂yuy x u x u 化简为02=∂∂∂t s u .Ex [1]P 183 1，2 .§3 方向导数和梯度 （ 3 时 ）一． 方向导数：1． 方向导数的定义：定义 设三元函数f 在点),,(0000z y x P 的某邻域)(0P ⊂3R 内有定义.l 为从点0P 出发的射线.),,(z y x P 为l 上且含于)(0P 内的任一点,以ρ表示P 与0P 两点间的距离.若极限 ρρρρfP f P f l ∆=-++→→000lim )()(lim存在,则称此极限为函数f 在点0P 沿方向l 的方向导数,记为P lf ∂∂或)(0P f l 、),,(000z y x f l .对二元函数),(y x f z =在点),(000y x P , 可仿此定义方向导数. 易见,x f ∂∂、y f ∂∂ 和 zf ∂∂是三元函数f 在点0P 分别沿X 轴正向、Y 轴正向和Z 轴正向的方向导数 .例1 ),,(z y x f =32z y x ++. 求f 在点0P ) 1 , 1 , 1 (处沿l 方向的方向导数,其中ⅰ> l 为方向) 1 , 2 , 2 (-; ⅱ> l 为从点) 1 , 1 , 1 (到点) 1 , 2 , 2 (-的方向.解 ⅰ> l 为方向的射线为令===-=--=-112121z y x )0 ( >t . 即)0 ( , 1 , 12 , 12≥+=+-=+=t t z t y t x .3) 1, 1 , 1 ()(0==f P f ,37) 1 () 12 () 12 ( ) 1 , 12 , 12 ()(2332+++=+++-++=++-+=t t t t t t t t t f P ft t t t z y x 3)2()2()1()1()1(222222=+-+=-+-+-=ρ.因此 ,.3137lim )()(lim 23000=++=-=∂∂++→→t t t t P f P f lft P ρρ ⅱ> 从点) 1 , 1 , 1 (到点) 1 , 2 , 2 (-的方向l 的方向数为), 0 , 3 , 1 (-l 方向的 射线为 ) 0 ( , 1 , 13 , 1≥=+-=+=t z t y t x .359) 1 , 13 , 1()(2+-=+-+=t t t t f P f , 3) 1, 1 , 1 ()(0==f P f ;t t t z y x 10)3()1()1()1(22222=-+=-+-+-=ρ.因此 ,.1051059lim )()(lim 2000-=-=-=∂∂++→→tt t P f P f lft P ρρ2. 方向导数的计算:Th 若函数f 在点),,(0000z y x P 可微, 则f 在点0P 处沿任一方向l 的方向导数都存在, 且 =)(0P f l )(0P f x αcos +)(0P f y βcos +)(0P f z γcos ,其中αcos 、βcos 和γcos 为l 的方向余弦. ( 证 ) [1]P 163对二元函数),(y x f , =)(0P f l )(0P f x αcos +)(0P f y βcos , 其中α和β是l 的方向角.注：由=)(0P f l )(0P f x αcos +)(0P f y βcos +)(0P f z γcos=()(0P f x , )(0P f y , )(0P f z )(⋅αcos , βcos , γcos ),可见, )(0P f l 为向量()(0P f x , )(0P f y , )(0P f z )在方向l 上的投影.例2 ( 上述例1 )解 ⅰ> l 的方向余弦为αcos =321)2(22222=+-+, βcos =32-, γcos =31.)(0P f x =1 , )(0P f y =221==y y , )(0P f z =3312==z z .因此 ,l f ∂∂=)(0P f x αcos +)(0P f y βcos +)(0P f z γcos =31313) 32(232=⋅+-⋅+. ⅱ> l 的方向余弦为αcos =101)11()12()12(12222=-+--+--, βcos =103-, γcos =0 .因此 ,l f∂∂=10510321011-=⋅-⋅.可微是方向导数存在的充分条件 , 但不必要 .例3 [1]P 164 E2 .二. 梯度 ( 陡度 ):1. 梯度的定义: =gradf ()(0P f x , )(0P f y , )(0P f z ) .||gradf =()()()202020)()()(P f P f P f z y x ++.易见, 对可微函数f , 方向导数是梯度在该方向上的投影.2. 梯度的几何意义: 对可微函数 , 梯度方向是函数变化最快的方向 . 这是因为=)(0P f l =⋅l gradf ||)(0P gradf θcos .其中θ是l 与)(0P gradf 夹角. 可见0=θ时)(0P f l 取最大值 , 在l 的反方向取最小值 . 3. 梯度的运算:ⅰ> grad =+)(c u grad u .ⅱ> grad (αu +βv ) = αgrad u +βgrad v .ⅲ> grad (u v ) = u grad v +v grad u .ⅳ> grad 2uvgradu ugradv u v -=. ⅴ> grad f (u ) = gradu u f )('.证ⅳ> 2u v u uv u v x x x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛ , 2u v u uv u v y y y-=⎪⎭⎫ ⎝⎛. grad =--=) , (12v u uv v u uv uu v y y x x []=-=) , ( ) , (12v u v u v u uv uy x y x []=-=) , () , (12y x y x u u v v v u u 2u vgradu ugradv -.Ex [1]P 165 1，2 ，3 ，6 .§4 Taylor 公式和极值问题 （ 4 时 ）一． 中值定理： 凸区域 . Th 1 设二元函数f 在凸区域D 2R ⊂上连续, 在D 的所有内点处可微. 则对D 内任意两点int ) , ( , ),(∈++k b h a Q b a P D , 存在) 10 ( <<θθ, 使k k b h a f h k b h a f b a f k b h a f x ) , () , (),() , (θθθθ+++++=-++. 证 令 , ) , ()(tk b th a f t ++=Φ.在闭凸区域上的情况: [1]P 173—174.推论 若函数f 在区域D 上存在偏导数 , 且x f ≡y f ≡0, 则f 是D 上的常值函数.二. Taylor 公式:Th 2 (Taylor 公式) 若函数f 在点),(000y x P 的某邻域)(0P 内有直到1+n 阶连续偏导数, 则对)(0P 内任一点) , (00k y h x ++,存在相应的) 1 , 0(∈θ, 使∑=+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=++ni n i k y h x f y k x h n y x f y k x h i k y h x f 00010000). , ()!1(1),(!1 ) , (θθ 证 [1]P 175 例1 求函数y x y x f =),(在点) 4 , 1 (的Taylor 公式 ( 到二阶为止 ) . 并用它计算.) 08.1 (96.3 [1]P 175—176 E4 .三. 极值问题:1. 极值的定义: 注意只在内点定义极值.例2 [1]P 176 E5Ex [1]P 183 5，6，7⑴⑷.2． 极值的必要条件：与一元函数比较 .Th 3 设0P 为函数)(P f 的极值点. 则当)(0P f x 和存在时,有)(0P f x =)(0P f y 0=. (证)函数的驻点、不可导点 ， 函数的可疑点 .3. 极值的充分条件:代数准备: 给出二元( 实 )二次型 222),(cy bxy ax y x g ++=. 其矩阵为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b b a . ⅰ> ),(y x g 是正定的,⇔ 顺序主子式全0 >,),(y x g 是半正定的,⇔ 顺序主子式全 0 ≥;ⅱ> ),(y x g 是负定的,⇔ 0||) 1(1>-k ij k a , 其中k ij a 1||为k 阶顺序主子式. ),(y x g 是半负定的, ⇔ 0||) 1(1≥-k ij k a .ⅲ> ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b b a < 0时, ),(y x g 是不定的. 充分条件的讨论: 设函数),(y x f 在点),(000y x P 某邻域有二阶连续偏导数.由Taylor公式, 有)()(!21)(),() , (20200000ρ +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=-++P f y k x h P f y k x h y x f k y h x f =)(0P f x h +)(0P f y k + [])()()(2)(!21220020ρ +++k P f hk P f h P f yy xy xx . 令 )(0P f A xx = , )(0P f B xy =, )(0P f C yy =, 则当0P 为驻点时, 有[])(221),() , (2220000ρ +++=-++Ck Bhk Ah y x f k y h x f . 其中22k h +=ρ. 可见式),() , (0000y x f k y h x f -++的符号由二次型222Ck Bhk Ah ++完全决定.称该二次型的矩阵为函数),(y x f 的Hesse 矩阵. 于是由上述代数准备, 有ⅰ> 0 , 02>->B AC A , 0 P ⇒为 ( 严格 ) 极小值点 ;ⅱ> 0 , 02>-<B AC A , 0 P ⇒为 ( 严格 ) 极大值点 ;ⅲ> 0 2<-B AC 时, 0P 不是极值点;ⅳ> 0 2=-B AC 时, 0P 可能是极值点 , 也可能不是极值点 . 综上, 有以下定理.Th 4 设函数)(P f 在点0P 的某邻域内有连续的二阶偏导数, 0P 是驻点. 则ⅰ> ()0)( , 0)(020>->P f f f P f xy yy xx xx 时 , 0P 为极小值点; ⅱ> ()0)( , 0)(020>-<P f f f P f xy yy xx xx 时 , 0P 为极大值点;ⅲ> ()0)( 02<-P f f f xy yy xx 时 , 0P 不是极值点;ⅳ> ()0)( 02=-P f f f xy yy xx 时 , 0P 可能是极值点 , 也可能不是极值点 .例3—7 [1]P 179—182 E6—10 .四． 函数的最值：例8 求函数),(y x f y x y xy x 4102422+--+=在域D = } 4 , 0 , 0 |),( {≤+≥≥y x y x y x 上的最值 .解 令 ⎩⎨⎧=+-==-+=.04 44),(,01042),(y x y x f y x y x f yx 解得驻点为) 2 , 1 (. 1) 2 , 1 (-=f . 在边界) 40 ( 0≤≤=y x 上 , y y y f 42),0(2+-=, 驻点为1=y , 2)1,0(=f ; 在边界) 40 ( 0≤≤=x y 上 , x x x f 10)0,(2-=, 没有驻点;在边界) 40 ( 4≤≤-=x x y 上 , 16185)4 , (2-+-=-x x x x f ,驻点为8.1=x , 2.0)8.14 , 8.1(=-f .又24)0,4( , 16)4,0( , 0)0,0(-=-==f f f .于是 , )}0,4( , )4,0( , )0,0( , )2.2 , 8.1( , )1,0( , )2,1(max{),(max f f f f f f y x f D = 2.0} 24 , 16 , 0 , 2.0 , 2 , 1 max{=---=.),(min y x f D24} 24 , 16 , 0 , 2.0 , 2 , 1 min{-=---=.Ex [1]P 184 8⑴⑵，9⑴⑵，10，11 .。

第十七章 练习题（2021.1）一、 填空题1、若yx z =，则_______=dz 答案：xdy x dx yx y y ln 1+-2、设x y z sin =，则dz =_______________________ 答案：sin sin 1cos ln sin -=⋅+⋅xx dz yx ydx x y dy3、若yz x u tan 2+=，则=du 答案：yzdz y yzdy z xdx 22sec sec 2++ 4、设xz xy y=+，则dz = 答案：21x y dx x dy y y ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 5、设yxxy z -=，则dz = . 答案：21⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x y dx x dy y y 6、设)(yx f z =，则dz =答案：21⎛⎫⎛⎫'-⎪⎪⎝⎭⎝⎭x xf dx dy y y y 7、若222ln()u x y z =++，则du =答案：()2222=++++du xdx ydy zdz x y z8、函数xye z =在点()1,2处的全微分是___________ 答案：()22=+dz e dx dy9、dz z dy y dx e du x322-+=，则=∂∂22xu________.答案：xe2210、dz e dy y xdx du z22-+=，则=∂∂22zu________.答案：z e 22-11、dy y x dx y x du )cos ()sin 2(++=，则=∂∂∂23yx u________. 答案：y sin -12、dy y x dx y x du )cos ()sin 2(++=，则=∂∂∂yx u2________.答案：y cos13、设22(,)+=+f xy x y x y ，则(,)=x f x y ________.答案：2-14、设)2ln(),(xy x y x f +=，则=')0,1(x f 答案：115、设t uv z sin +=，而te u =，t v cos =，则=dtdz________. 答案：t t t e t cos )sin (cos +- 16、 设)(22y x f z +=,则=∂∂-∂∂yzx x z y __________. 答案：017、设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y x f z 1ln ，则y zy x z x ∂∂+∂∂2=_________.答案：018、 设函数 yye x z 2=，则=∂∂∂yx z2______________.答案：2(1)+yx y e19、已知()()xyx xy y x f sin1,-+=，则()='0,1x f _______,()='0,1y f ________答案：(1,0)0=x f(1,0)1=y f20、设x y z arctan =，则=∂∂22xz.答案：222)(2y x xy+21、设22v u z +=，而y x u +=，y x v -=，则=∂∂xz_____，=∂∂y z ________.答案：=∂∂xzx 4，=∂∂y z y 422、 ()y x f ,在点()y x ,可微分是()y x f ,在该点连续的_____条件； ()y x f z ,=在点()y x ,可微分是函数在该点的偏导数x z ∂∂及yz ∂∂存在的______条件.（填“充要”或“充分”或“必要”）答案：充分，充分 23、 (),z f x y =的偏导数z x ∂∂及z y∂∂在点(),x y 存在且连续是(),f x y 在该点可微分的_______条件 答案：充分24、xyz e y x z y x f y++=cos ),,(，)1,0,1(0P 则grad =)(0P f . 答案：)0,2,1(25、y z x e ze z y x f yxcos sin ),,(++=，)0,1,0(0P 则grad =)(0P f . 答案：)1cos 1,0,(+e26、xyze y y x z y xf ++=2sin ),,(，)1,0,1(0P 则grad =)(0P f .答案：（0,2,0）27、y z x y xe z y x f zcos sin ),,(2++=,)0,1,0(0P 则=)(0P gradf . 答案：)1cos ,0,2(28、设()23,,32f x y z x y z yz =+-+，则()1,1,1gradf = .答案：()2,10,1-29、y z x y xe z y x f z cos sin ),,(2++=，)0,1,1(=l ，则=∂∂)0,1,0(lf __________.答案：230、设32),,(z y x z y x f ++=，则f 在点)1,1,1(0P 处沿方向()1,2,2:-l 的方向导数是___________. 答案：1331、直线l 与x 轴,y 轴,z 轴夹角分别为3,6,4πππ,则xyz u =在点()1,1,1的方向导数为 .答案：1232、222z y x u ++=在()2,1,1沿方向()γβαcos ,cos ,cos l 的方向导数 答案：2cos 2cos 4cos ++αβγ33、设xyz e y x z y x f y++=cos ),,(，)1,0,1(0P ，1(0,1,0)P ，01:→l P P ,则∂=∂P fl.答案：334、若函数(,)f x y 在）（0,00y x P 存在偏导数，且在0P 取得极值， 则00(,)x f x y '=00(,)y f x y '= . 答案：035、若函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点()1,1-处取得极值，则常数=a答案：5-二、选择题1、 设(,)z f x y =，则00(,)=y f x y （ B ） A. yy x f y y x x f y ∆-∆+∆+→∆),(),(lim00000B. y y x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim 00000C. xy x f y x x f y ∆-∆+→∆),(),(lim00000D. y y x f y y x f y ∆-∆-→∆),(),(lim 000002、 设(,)z f x y =，则00(,)=x f x y （ C ） A. yy x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆),(),(lim00000B. y y x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim 00000C. x y x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim00000D. xy x f y x x f x ∆-∆-→∆),(),(lim 000003、 设 (),z f x y =在 ()00,x y 处的全增量为 z ∆，若 (),z f x y =在 ()00,x y 处可微，则在 ()00,x y 处（ D ）.A. z dz ∆=B.x y z f x f y ''∆=∆+∆C. x y z f dx f dy ''∆=+D. z dz η∆=+（ η.4、曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=4422y y x z 在点)5,4,2(处的切线与x 轴正向的夹角是（ A ） A.4πB. 2arctanC. 1D. 2 5、设()=-x z f y，且)(x f 可导，则=∂∂xz( C ) A .)(y x f -' B .)(2y x f y x -' C .)(1y x f y -'- D .)(yx f x -'- 6、设()=-xz f y，且)(x f 可导，则∂=∂zy( B ) A .)(y x f -' B .)(2y x f y x -' C .)(1y x f y -'- D .)(yx f x -'- 7、设)(22y x f z -=且f 具有导数，则∂∂+=∂∂z zx y（ C ） A. y x 22- B. )()22(22y x f y x --C. )()22(22y x f y x -'-D. )()22(22y x f y x -'+ 8、设 )ln(xy z =，则dz =（ A ）A.dy y dx x 11+ B. dy xy dx xy 11+ C. ydy xdx + D. dy x dx y 11+9、设222),,(zx yz xy z y x f ++=，则=)1,0,2(yz f （ C ）A .3B .0C .2D . 110、 对于函数,),(22y x y x f -=点)0,0(（ B ） A. 不是驻点; B. 是驻点却非极值点; C. 是极小值点; D. 是极大值点.11、关于函数()()224,y x y x y x f ---=的极值，下列说法正确的是（ D ）A 、极小值()82,2=-fB 、极大值()00,0=fC 、极小值()00,0=fD 、极大值()82,2=-f 12、二元函数 225y x z --= 的极大值点是（ C ）.A. ()0 , 1B. ()1 , 0C. ()0 , 0D. ()1 , 1 13、下列说法错误的是( C ).A.若),(y x f 在),(00y x 可微，则),(y x f 在),(00y x 连续.B.若),(y x f 在),(00y x 可微，则),(y x f x ，),(y x f y 存在.C.若),(y x f x ，),(y x f y 存在，则),(y x f 在),(00y x 可微.D.若),(y x f x ，),(y x f y 在),(00y x 连续，则),(y x f 在),(00y x 可微. 14、两个偏导数00(,)∂∂x y zx 和00(,)∂∂x y z y 存在是函数),(y x f 在点),(000y x P 连续的（ D ）A 、充分而非必要条件；B .必要而非充条件；C .充分必要条件；D .既非充分条件又非必要条件； 15、两个偏导数00(,)∂∂x y zx 和00(,)∂∂x y z y 存在，函数),(y x f z =在点),(000y x P （ C ）A. 连续B. 可微C. 不一定连续D. 一定不连续16、两个偏导数00(,)∂∂x y zx 和00(,)∂∂x y z y 存在是),(y x f z =点),(000y x P 可微的（ B ）A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 无关条件17、若),(y x f 在),(000y x P 可微，则0),(),(0000==y x f y x f y x 是),(y x f 在),(000y x P 取得极值（ B ）A. 充要条件B.必要条件C.充分条件D. 既非充分又非必要条件 18、 设函数 ),(y x f z =在 ),(00y x 处不连续，则),(y x f 在该点处（ D ） A. 必无定义; B. 极限必不存在; C. 偏导数必不存在; D 全微分必不存在.19、 函数 ),(y x f z =在 ),(00y x 处连续是函数在),(00y x 可微的（ D ） A. 必要条件; B. 充分条件; C. 充要条件; D. 既非充分又非必要条件. 20、下列说法正确的是（ A ）A. 若),(y x f xy 和),(y x f yx 都在点),(00y x 连续，则 ),(),(0000y x f y x f yx xy =B. 若),(y x f xy 存在，则),(y x f yx 存在。

第十七章 多元函数的微分学 §1 可微性教学目的 掌握多元函数偏导数，可微性与全微分的定义，可微的必要条件． 教学要求(1) 基本要求：掌握多元函数偏导数，可微性与全微分的定义，熟记可微的必要条件与充分条件．(2) 较高要求：切平面存在定理的证明．教学建议(1)本节的重点是多元函数偏导数，可微性与全微分的定义．(2) 通过讨论可微的必要条件与充分条件，弄清多元函数连续，存在偏导数与可微这三个分析性质之间的关系．教学程序一、 可微性与全微分:由一元函数可微性引入二元函数可微性.定义1（可微性） 设函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某邻域0()U P 内有定义，对于0()U P 中的点00(,)(,)P x y x x y y =+∆+∆，若函数f 在点0P 处的全增量可表示为 00(,)(,)()z f x x y y f x y A x B y ρ∆=+∆+∆-=∆+∆+,其中A ，B 是仅与点0P 有关的常数，22,()x y ρρ=∆+∆是较ρ高阶的无穷小量，则称函数f 在点0P 处可微。

全微分:当,x y ∆∆充分小时0000(,)(,)()()dz zf x y f x y A x x B y y ≈∆≈+-+-. 例1 考查函数xy y x f =),(在点) , (00y x 处的可微性 .二 、 偏导数（一）、偏导数的定义、记法),(y x f 在点),(00y x 存在偏导数定义为：000000),(),(lim ),(0x x y x f y x f y x f x x x --=→ 或 xy x f y x x f y x f x x x ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(0000000 000000),(),(lim ),(0y y y x f y x f y x f y y y --=→ 或 y y x f y y x f y x f y y y ∆-∆+=→),(),(lim ),(0000000 偏导数的几何意义:（二）、求偏导数:例2 ),(y x f =)12sin()32(2+++y x x . 求偏导数.例3 ),(y x f = 1)1ln(2+++y x x . 求偏导数.例4 ),(y x f =22y x y x ++. 求偏导数, 并求) 1 , 2 (-x f . 三 、 可微条件（一）、必要条件定理17.1设) , (00y x 为函数),(y x f 定义域的内点 . ),(y x f 在点) , (00y x 可微的必要条件是) , (00y x f x 和) , (00y x f y 存在 , 且==),(00),(00y x df dfy x ) , (00y x f x +∆x ) , (00y x f y y ∆.证明：由于dy y dx x =∆=∆ , , 微分记为=),(00y x df ) , (00y x f x +dx ) , (00y x f y dy .定理17.1给出了计算可微函数全微分的方法. 但是两个偏导数存在只是可微的必要条件, 而不是充分条件.例5．考查函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 , 0, 0 , ),(222222y x y x y x xy y x f在原点的可微性 .这个例子说明，偏导存在不一定可微，（这一点与一元函数不同！）（二）、充分条件定理17.2（可微的充分条件）若函数),(y x f z =的偏导数在的某邻域内存在 , 且x f 和y f 在点) , (00y x 处连续 . 则函数f 在点) , (00y x 可微。

多元函数微分学多元函数微分学是微积分的一个重要分支，它研究的是多变量函数的导数、微分以及相关的性质和应用。

在这个领域中，我们主要关注多元函数的变化率和方向导数，以及求解相关的极值和最优化问题。

在一元函数微分学中，我们研究的是只有一个自变量的函数。

而在多元函数微分学中，我们研究的是有多个自变量的函数。

多元函数可以表示为f(x1, x2, ... , xn)，其中x1,x2, ..., xn分别为自变量。

用微分学的语言来描述，我们要研究的是这个函数在一个点p上的切平面的性质。

首先，我们来看一下多元函数的导数。

多元函数的导数分为偏导数和全导数两种。

偏导数表示的是函数在某一变量上的变化率，而全导数则表示的是函数在所有变量上的综合变化率。

用数学符号来表示，对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，它的偏导数为∂f/∂xi，也可以记为f'xi。

全导数可以用向量∇f表示。

接下来，我们来看一下多元函数的微分。

微分是导数的线性逼近，可以看作是函数在某一点上的局部线性近似。

多元函数的微分可以表示为df = ∂f/∂x1*dx1 + ∂f/∂x2*dx2+ ... + ∂f/∂xn*dxn，其中dx1, dx2, ..., dxn为自变量的微小变化量。

在多元函数微分学中，我们还需要研究方向导数和梯度。

方向导数表示的是函数在某一方向上的变化率，可以用向量的点积来表示。

梯度是一个向量，它的方向指向函数变化最快的方向，大小表示变化率最大的值。

方向导数和梯度在求解优化问题中具有重要应用。

最后，我们来看一下多元函数微分学的应用。

在实际问题中，多元函数微分学可以应用于求解极值、最小二乘法、约束优化等各种问题。

例如，在工程领域中，我们可以用多元函数微分学来求解最优设计、最优控制等问题。

总结起来，多元函数微分学是微积分的一个重要分支，研究的是多变量函数的导数、微分以及相关的性质和应用。

它在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用，是现代科学和技术发展中不可或缺的工具。

第十七章 多元函数微分学§1可微性一 可微性与全微分与一元函数一样,在多元函数微分学中,主要讨论多元函数的可微性及其应用.本章首先建立二元函数可微性概念,至于一般n 元函数的可微性不难据此相应地给出(对此,在第二十三章有更详细的论述).定义1 设函数),(y x f z =在点()000,y x P 的某领域)(0P U 内有定义,对于)(0P U 中的点),,(),(00y y x x y x P ∆+∆+=若函数f 在点0P 处的全增量z ∆可表示为: ),(),(00y x f y y x x f z -∆+∆+=∆),(ρo y B x A +∆+∆= )1(其中A,B 是仅与点0P 有关的常数,)(,22ρρo y x ∆+∆=是较ρ高阶的无穷小量,则称函数f 在点0P 可微,并称)1(式中关于y x ∆∆,的线性函数y B x A ∆+∆为函数f 在点0P 的全微分,记作y B x A y x df dz P ∆+∆==),(|000)2(由)1()2(可见dz 是z ∆的线性主部,特别当y x ∆∆,充分小时,全微分dz 可作为全增量z ∆的近似值,即).()(),(),(0000y y B x x A y x f y x f -+-+≈ )3(在使用上,有时.也把()1式写成如下形式,y x y B x A z ∆+∆+∆+∆=∆βα )4( 这里()()()().0lim lim 0,0,0,0,==→∆∆→∆∆βαy x y x例1 考察函数xy y x f =),(在点),(00y x 处的可微性. 解 在点),(00y x 处函数f 的全增量为()000000,),(,y x y y x x y x f -∆+∆+=∆ =.00y x y x x y ∆∆+∆+∆ 由于(),00→→≤∆∆=∆∆ρρρρρρyx yx因此()p o y x =∆∆.从而函数f 在00,y x 可微，且.00y x x y df ∆+∆= □二 偏导数由一元函数微分学知道：若()x f 在点0x 可微，则函数增量(),)()(00x o x A x f x x f ∆+∆=-∆+其中()0'x f =A ．同样，由上一段已知，若二元函数f 在点),(00y x 可微，则f 在点),(00y x 处的全增量可由（1）式表示.现在讨论其中A 、B 的值与函数f 的关系.为此，在（4）式中令()00≠∆=∆x y ，这时得到z ∆关于x 的偏增量z x ∆，且有x x A z x ∆+∆=∆α或.α+=∆∆A xzx 现让0→∆x ，由上式便得A 的一个极限表示式.),(),(lim lim000000xy x f y x x f x z A x x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆ ()5容易看出，（5）式右边的极限正是关于x 的一元函数()0,y x f 在0x x =处的导数．类似地，令()00≠∆=∆y x ，由（4）式又可得到.),(),(limlim000000yy x f y y x f y zB y y y ∆-∆+=∆∆=→∆→∆ ()6它是关于y 的一元函数()y x f ,0在0y y =处的导数．二元函数当固定其中一个自变量时，它对另一个自变量的导数称为偏导数，定义如下： 定义2 设函数.),(),,(D y x y x f z ∈=若D y x ∈),(00，且()0,y x f 在0x 的某一邻域内有定义，则当极限.),(),(lim ),(lim00000000xy x f y x x f x y x f x x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆ ()7存在时，称这个极限为函数f 在点),(00y x 关于x 的偏导数，记作()00,y x f x 或 ().00,y x xf ∂∂注意1 这里符号y x ∂∂∂∂,专用于偏导数算符，与一元函数的导数符号dxd相仿，但又有差别．注意2 在上述定义中，f 在点),(00y x 关于x （或y ）的偏导数，f 至少在(){}(){}),|,(,|,000δδ<-=<-=y y x x y x xx y y y x 或上必须有定义． 若函数()y x f z ,=在区域D 上每一点()y x ,都存在对x （或对y ）的偏导数，则得到函数),(y x f z =在区域D 上对x （或对)y 的偏导函数（也简称偏导数），记作),(y x f x 或xy x f ∂∂),( ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂y y x f y x f y ),(,或， 也可简单地写作x f ，x z 或x f ∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂.,y f z f y y 或 在上一章中已指出，二元函数),(y x f z =的几何图象通常是三维空间中的曲面．设()0000,,z y x P 为这曲面上一点，其中),(000y x f z =，过0P 作平面0y y =，它与曲面的交线⎩⎨⎧==),(,:0y x f z y y C是平面0y y =上的一条曲线。

第十七章 多元函数微分学2复合函数微分法一、复合函数的求导法则定义1：设函数x=φ(s,t)与y=ψ(s,t)定义在st 平面的区域D 上，z=f(x,y)定义在xy 平面的区域D 1上，{(x,y)|x=φ(s,t),y=ψ(s,t), (s,t)∈D}⊂D 1， 则函数z=F(s,t)=f(φ(s,t),ψ(s,t)), (s,t)∈D 是以f 为外函数，φ,ψ为内函数的复合函数. 其中x,y 称为函数F 的中间变量，s,t 为F 的自变量.定理17.5：若函数x=φ(s,t),y=ψ(s,t)在点(s,t)∈D 可微， z=f(x,y)在点(x,y)= (φ(s,t),ψ(s,t))可微，则复合函数z=f(φ(s,t),ψ(s,t))在点(s,t)可微，且它关于s 与t 的偏导数分别为：t)(s,sz ∂∂=t)(s,y )(x,sx x z ∂∂∂∂+t)(s,y )(x,sy y z ∂∂∂∂，t)(s,tz ∂∂=t)(s,y )(x,tx x z ∂∂∂∂+t)(s,y )(x,ty y z ∂∂∂∂.证：∵x=φ(s,t),y=ψ(s,t)在点(s,t)可微， ∴△x=s x ∂∂△s+t x ∂∂△t+α1△s+β1△t; △y=s y ∂∂△s+ty∂∂△t+α2△s+β2△t ， 其中当△s,△t →0时，α1,α2,β1,β2→0， 又由z=f(x,y)在点(x,y)可微，∴△z=xz ∂∂△x+y z∂∂△y+α△x+β△y ，其中当△x,△y →0时，α,β→0，补充定义：当△x=0,△y=0时, α=β=0，则⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆∆∂∂∆∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆∆∂∂∆∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂∆t β+s α+t t y +s sy βy z t β+s α+t t x +s s x αx z =z 2211=t β+s αt t y y z + t x x z s s y y z s x x z ∆∆+∆⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂+∆⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂，其中 α=x z ∂∂α1+y z ∂∂α2+s x ∂∂α+sy∂∂β+αα1+βα2,β=x z ∂∂β1+y z ∂∂β2+t x ∂∂α+ty∂∂β+αβ1+ββ2,由x=φ(s,t),y=ψ(s,t)在点(s,t)可微知，x=φ(s,t),y=ψ(s,t)在点(s,t)都连续， 即当△s,△t →0时，△x △y →0时，从而α,α1,α2,β,β1,β2→0，于是， 当△s,△t →0时，α,β→0，即z=F(s,t)在(s,t)可微，从而得：(链式法则)t)(s,sz∂∂=t)(s,y )(x,sx x z ∂∂∂∂+t)(s,y )(x,sy y z ∂∂∂∂，t)(s,tz ∂∂=t)(s,y )(x,tx x z ∂∂∂∂+t)(s,y )(x,ty y z ∂∂∂∂.注：1、若只求复合函数f(φ(s,t),ψ(s,t))关于s 或t 的偏导数，则内函数只需具有关于s 或t 的偏导数，但对外函数f 的可微性假设不能省略.如：函数f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++0y x 00y x y x yx 2222222，有f x (0,0)=f y (0,0)=0，但f 在(0,0)处不可微. 若以f(x,y)为外函数，x=t, y=t 为内函数，则得 以t 为自变量的复合函数z=F(t)=f(t,t)=2t , ∴dt dz =21, 这时用链式法则， 将得到错误的结果：0t tz=∂∂=0t (0,0)tx x z =∂∂∂∂+t (0,0)tx yz =∂∂∂∂=0·1+0·1=0.2、若f(u 1,…,u m )在点(u 1,…,u m )可微，u k =g k (x 1,…,x n ) (k=1,2,…,m)在点(x 1,…,x n )具有关于x i (i=1,2,…,n)的偏导数，则复合函数关于自变量x i的偏导数为：i x z∂∂=∑=∂∂∂∂m1k ik k x u u z (i=1,2,…,n).例1：设z=ln(u 2+v), 而u=2y x e +, v=x 2+y ，求x z ∂∂,yz ∂∂. 解：x z ∂∂=x u u z ∂∂∂∂+x v v z ∂∂∂∂=2y x 2e v u u 2+⋅++x 2v u 12⋅+=yx e x 2e 22y 22x y 22x 22+++++;y z ∂∂=y u u z ∂∂∂∂+y v v z ∂∂∂∂=2y x 2ye 2v u u 2+⋅++v u 12+=yx e 1ye 42y 22x y 22x 22+++++.例2：设u=u(x,y)可微，在极坐标变换x=rcos θ, y=rsin θ下，证明：2r u ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+22θu r 1⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=2x u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+2y u ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂. 解：∵r x ∂∂=cos θ, r y ∂∂=sin θ; θx ∂∂=-rsin θ, θy∂∂=rcos θ; 又 r u ∂∂=r x x u ∂∂∂∂+r y y u ∂∂∂∂=x u ∂∂cos θ+y u ∂∂sin θ;θu ∂∂=θy y u ∂∂∂∂+θx x u ∂∂∂∂=y u ∂∂rcos θ-xu ∂∂rsin θ;∴2r u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=2x u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂cos 2θ+2y u ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂sin 2θ+y u x u ∂∂∂∂sin2θ; 22θu r 1⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=2x u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂sin 2θ+2y u ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂cos 2θ-y u x u ∂∂∂∂sin2θ; ∴2r u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+22θu r 1⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=2x u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+2y u ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂.例3：设z=uv+sint, 其中u=e t ,v=cost, 求dtdz. 解法一：dt dz =dt du u z ∂∂+dt dv v z ∂∂+dtdt t z ∂∂=ve t -usint+cost=e t (cost-sint)+cost. 解法二：z=uv+sint=e t cost+sint ，∴dtdz=(e t cost+sint)’=e t (cost-sint)+cost.例4：用多元复合微分法计算下列一元函数的导数.(1)y=x x; (2)y=cosxsinx )lnxx (12++.解：(1)令y=u v , u=x, v=x ， 则dx dy =dx du u y ∂∂+dxdv v y ∂∂=vu v-1+u v lnu=x x (1+lnx). (2)令y=uvw, u=sinx+cosx, v=1+x 2, w=lnx ，则dx dy =dx du u y ∂∂+dx dv v y ∂∂+dx dw w y ∂∂=-2uvw (cosx-sinx)+u w ·2x+x 1u v =22cosx)(sinx )lnx x (1++(sinx-cosx)+ cosx sinx 2xlnx ++cosx )x (sinx x 12++.例5：设u=f(x,y,z), y=φ(x,t), t=ψ(x,z)都有一阶连续偏导数，求x u ∂∂,zu ∂∂. 解：∵u=f(x,y,z)=f(x,φ(x,ψ(x,z)),z); ∴x u ∂∂=x f ∂∂+dx d φy f ∂∂+dxd ψdt d φy f ∂∂. 又u=f(x,y,z)=f(x,φ(x,ψ(x,z)),z); ∴z u ∂∂=dz d ψdt d φy f ∂∂+zf ∂∂.例6：设f(x,y)在R 2上可微，且满足方程y·f x (x,y)=x·f y (x,y). 证明：在极坐标中f 只是r 的函数，即θf∂∂=0. 证：设u=f(x,y), x=rcos θ, y=rsin θ，则有θf ∂∂=θx x f ∂∂∂∂+θyy f ∂∂∂∂=-f x (x,y)rsin θ+f y (x,y)rcos θ=-yf x (x,y)+x·f y (x,y)=0.二、复合函数的微分定义2：或以x 和y 为自变量的函数z=f(x,y)可微，则其全微分为： dz=xz∂∂dx+y z ∂∂dy. 如果x,y 作为中间变量又是自变量s,t 的可微函数：x=φ(s,t),y=ψ(s,t)，则复合函数z=f(φ(s,t),ψ(s,t))是可微的，其全微分为： dz=s z ∂∂ds+t z ∂∂dt= ⎝⎛∂∂∂∂s x x z +⎪⎪⎭⎫∂∂∂∂s y y z ds+ ⎝⎛∂∂∂∂t x x z +⎪⎪⎭⎫∂∂∂∂t y y z dt =⎝⎛∂∂∂∂ds s x x z +⎪⎭⎫∂∂dt t x + ⎝⎛∂∂∂∂ds s y y z +⎪⎭⎫∂∂dt t y , 又x,y 是(s,t)的可微函数，因此有：dx=s x ∂∂ds+t x ∂∂dt; dy=s y ∂∂ds+t y ∂∂dt ；∴dz=xz∂∂dx+y z ∂∂dy ，结果与非复合函数完全相同，即多元函数有一阶(全)微分形式不变性.例7：设z=e xy sin(x+y), 利用微分形式不变性求dz, 并导出xz∂∂与y z ∂∂. 解：令z=e u sinv, 即u=xy, v=x+y, 则dz=u z ∂∂du+vz∂∂dv=e u sinvdu+e u cosvdv. 又du=ydx+xdy, dv=dx+dy,∴dz=e xy sin(x+y)(ydx+xdy)+e xy cos(x+y)(dx+dy)=e xy [ysin(x+y)+cos(x+y)]dx+e xy [xsin(x+y)+cos(x+y)]dy. 并可得：xz ∂∂=e xy[ysin(x+y)+cos(x+y)]；y z ∂∂=e xy [xsin(x+y)+cos(x+y)].习题1、求下列复合函数的偏导数或导数： (1)设z=arctan(xy), y=e x , 求dxdz；(2)设z=xy y x 22+exyy x 22+, 求x z ∂∂,yz ∂∂； (3)设z=x 2+xy+y 2,x=t 2,y=t,求dtdz；(4)设z=x 2lny,x=v u ,y=3u-2v,求u z ∂∂,v z ∂∂；(5)设u=f(x+y,xy), 求x u ∂∂,y u ∂∂；(6)设u=f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z y ,y x , 求x u ∂∂,y u ∂∂,z u∂∂. 解：(1)dx dz =x z ∂∂+dx dy y z ∂∂=22yx 1y ++ 22y x 1x +e x =2x2xe x 1x )(1e ++. (2)令u=x yy x 22+, 则z=ue u ,∴x z ∂∂=x u du dz ∂∂=(1+u)e u (y 1-2x y )=232222yx )y x )(y xy (x -++e xyy x 22+；y z ∂∂=y u du dz ∂∂=(1+u)e u (x 1-2y x )=322222yx )x y )(y xy (x -++e xyy x 22+.(3)dt dz =dtdxx z ∂∂+ dt dy y z ∂∂=(2x+y)·2t+(x+2y)·1=2t(2t 2+t)+t 2+2t=4t 3+3t 2+2t.(4)u z ∂∂=u x x z ∂∂∂∂+u y y z ∂∂∂∂=2xlny·v 1+y x 2·3=2v 2u ln(3u-2v) +2v)-(3u v 3u 22； v z ∂∂=v x x z ∂∂∂∂+v y y z ∂∂∂∂=2xlny·⎪⎭⎫ ⎝⎛-2v u +y x2·(-2)=-32v 2u ln(3u-2v)-2v)-(3u v 2u 22.(5)∵du=f 1d(x+y)+f 2d(xy)=f 1dx+f 1dy+f 2ydx+f 2xdy=(f 1+yf 2)dx+(f 1+xf 2)dy ； ∴xu∂∂=f 1+yf 2；y u ∂∂=f 1+xf 2.(6)∵du=f 1d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x +f 2d ⎪⎭⎫ ⎝⎛z y =211y x dy f -ydx f +222zydzf -zdy f =y f 1dx+(z f 2-21y xf )dy-22zyf dz ； ∴x u ∂∂=y f 1；y u ∂∂=z f 2-21y xf ；z u∂∂=-22zyf .2、设z=(x+y)xy , 求dz.解： 令u=x+y, v=xy ，则z=u v ，且du=dx+dy ，dv=ydx+xdy. ∴dz=u z ∂∂du+vz∂∂dv=vu v-1(dx+dy)+u v (ydx+xdy)lnv =xy(x+y)xy-1dx+xy(x+y)xy-1dy+y(x+y)xy (lnx+lny)dx+x(x+y)xy (lnx+lny)dy =[xy(x+y)xy-1+y(x+y)xy (lnx+lny)]dx+[xy(x+y)xy-1+x(x+y)xy (lnx+lny)]dy. 3、设z=)y -f(x y 22，其中f 为可微函数，验证：xz x 1∂∂+y z y 1∂∂=2y z.证：令u=x 2-y 2, 则x z ∂∂=x u u z ∂∂∂∂=(u)f (u)f x y 22'-; y z ∂∂=y z ∂∂+y u u z ∂∂∂∂=(u)f (u)f y 2f(u)22'+; ∴x z x 1∂∂+y z y 1∂∂=(u)f (u)f y 22'-+(u)f (u)f y 2yf(u)2'+=(u)yf f(u)2=yf(u)1；又2y z =2y )f(u y=yf(u)1；∴x z x 1∂∂+y z y 1∂∂=2y z.4、设z=siny+f(sinx-siny), 其中f 为可微函数，证明：xz ∂∂secx+y z∂∂secy=1.证：令u=sinx-siny ，则x z ∂∂=xuu z ∂∂∂∂=f ’(u)cosx; y z ∂∂=y z ∂∂+y u u z ∂∂∂∂=[1-f ’(u)]cosy;∴xz ∂∂secx+y z∂∂secy=f ’(u)cosxsecx+[1-f ’(u)]cosysecy= f ’(u)+1-f ’(u)=1.5、设f(x,y)可微，证明：在坐标旋转变换x=ucos θ-vsin θ, y=usin θ+vcos θ之下(旋转角θ为常数)，(f x )2+(f y )2是一个形式不变量，即 若g(u,v)=f(ucos θ-vsin θ,usin θ+vcos θ)，则必有(f x )2+(f y )2=(g u )2+(g v )2. 证：g u =u x x f ∂∂∂∂+u y y f ∂∂∂∂=f x cos θ+f y sin θ；g v =v x x f ∂∂∂∂+vy y f ∂∂∂∂=-f x sin θ+f y cos θ； ∴(g u )2+(g v )2=(f x cos θ+f y sin θ)+(-f x sin θ+f y cos θ)2=(cos 2θ+sin 2θ)(f x )2+(sin 2θ+cos 2θ)(f y )2+2f x cos θ·f y sin θ-2f x sin θ·f y cos θ =(f x )2+(f y )2.6、设f(u)是可微函数，F(x,t)=f(x+2t)+f(3x-2t). 试求：F x (0,0)与F t (0,0). 解：令u=x+2t, v=2x-2t ，则F u |(0,0)=f ’(0)；F v |(0,0)=f ’(0).又F x =x u u F ∂∂∂∂+x v v F ∂∂∂∂=F u +3 F v ; F t =t u u F ∂∂∂∂+tvv F ∂∂∂∂=2F u -2 F v ; ∴F x (0,0)=F u |(0,0)+ 3F v |(0,0)=4f ’(0)；F t (0,0)=2F u |(0,0)-2F v |(0,0)=0.7、若函数u=F(x,y,z)满足恒等式F(tx,ty,tz)=t k F(x,y,z), (t>0), 则称F(x,y,z)为k 次齐次函数. 试证下述关于齐次函数的欧拉定理：可微函数F(x,y,z)为k 次齐次函数的充要条件是：xF x (x,y,z)+yF y (x,y,z)+zF z (x,y,z)=kF(x,y,z).并证明：z=222yx xy +-xy 为2次齐次函数.证：(1)令a=tx,b=ty,c=tz.[必要性]由F(tx,ty,tz)=t k F(x,y,z), (t>0)，两边对t 求导得：t a a F ∂∂∂∂+t b b F ∂∂∂∂+tc c F ∂∂∂∂=kt k-1F(x,y,z)，即 xF a (a,b,c)+yF b (a,b,c)+zF c (a,b,c)=kt k-1F(x,y,z)，令t=1，则有 xF x (x,y,z)+yF y (x,y,z)+zF z (x,y,z)=kF(x,y,z). [充分性]设f(x,y,z,t)=k t1F(tx,ty,tz), (t>0)，求f 关于t 的偏导数得 t f∂∂=1k t1+{[xF a (a,b,c)+yF b (a,b,c)+zF c (a,b,c)]t-kF(a,b,c)}； ∵F a (a,b,c)+yF b (a,b,c)+zF c (a,b,c)=kF(a,b,c)，∴tf∂∂=0. 即f 与t 无关，只是x,y,z 的函数，可记g(x,y,z)=f(x,y,z,t)， ∴t k g(x,y,z)=F(tx,ty,tz), (t>0). 当t=1时，g(x,y,z)=F(x,y,z)， ∴F(tx,ty,tz)=t k F(x,y,z). (2)∵当t>0时，z(tx,ty)=2223y x t xy t +-t 2xy=t 2(222y x xy +-xy)=t 2z(x,y)；∴z(x,y)为2次齐次函数.8、设f(x,y,z)具有性质f(tx,t k y,t m z)=t n f(x,y,z)，证明：(1)f(x,y,z)=x n f(1,kx y ,m xz)；(2)xf x (x,y,z)+kyf y (x,y,z)+mzf z (x,y,z)=nf(x,y,z). 证：(1)由f(tx,t k y,t m z)=t n f(x,y,z), 令t=x 1，则f(1,k x y ,m x z )=n x1f(x,y,z)，即有f(x,y,z)=x n f(1,k x y ,m xz).(2)令a=tx, b=t k y, c=t m z ，对f(tx,t k y,t m z)=t n f(x,y,z)两边关于t 求偏导数得： xf a (a,b,c)+yf b (a,b,c)+f c (a,b,c)=nt n-1f(x,y,z)，当t=1时，即有 xf x (x,y,z)+kyf y (x,y,z)+mzf z (x,y,z)=nf(x,y,z).9、设由行列式表示的函数D(t)=)t (a )t (a )t (a )t (a nn n11n 11⋯⋯⋯⋯⋯, 其中a ij (t) (i,j=1,2,…,n)的导数都存在. 证明：dt dD(t)=∑=⋯⋯⋯⋯⋯'⋯''⋯⋯⋯⋯⋯n1k nn n2n1k n k 2k 11n 1211)t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a . 证：记x ij =a ij (t) (i,j=1,2,…,n), f(x 11,x 12,…,x ij ,…,x nn )=nnn11n11x x x x ⋯⋯⋯⋯⋯.由行列式定义知f 为n 2元的可微函数且D(t)=f(a 11(t),…,a ij (t),…,a nn (t))，又由复合函数求导法则知D ’(t)=dt dx x f ij n1j ,i ij ∑=∂∂=∑=∂∂n 1j ,i ijx f a ’ij (t)，记nnn11n 11x x x x ⋯⋯⋯⋯⋯中x ij 的代数余子式为A ij ，则f(x 11,…,x ij ,…,x nn )=∑=n1j ,i ij ij A x .又ij x f ∂∂=A ij ，∴D ’(t)=∑∑==n 1i n1j ij (t)A a ’ij (t)，其中A ij (t)是将A ij 的元素x hl 换为a hl (t)后得到的n-1阶行列式，恰为行列式)t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a nn n2n1in i2i11n 1211⋯⋯⋯⋯⋯'⋯''⋯⋯⋯⋯⋯中a ’ij (t)的代数余分式，于是知 D ’(t)=∑=⋯⋯⋯⋯⋯'⋯''⋯⋯⋯⋯⋯n1k nn n2n1k n k 2k 11n 1211)t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a .。

数学分析第十七章多元函数微分学首先介绍多元函数的偏导数。

偏导数是指多元函数在其中一点处，沿着其中一坐标轴方向求导得到的导数。

对于函数$z=f(x, y)$，其偏导数可以表示为$\frac{{\partial z}}{{\partial x}}$和$\frac{{\partial z}}{{\partial y}}$。

求解偏导数的方法与一元函数的求导类似，将其它变量视为常数，对变量进行求导。

然后介绍全微分。

对于函数$z=f(x, y)$，它的全微分表示为$d z =\frac{{\partial z}}{{\partial x}}dx+\frac{{\partialz}}{{\partial y}}dy$。

全微分可以看作是函数在其中一点附近的变化率，可以用来近似表示函数的变化情况。

通过全微分可以推导出偏导数和方向导数的关系。

接下来介绍方向导数和梯度。

方向导数表示函数在其中一点沿着其中一方向的变化率，可以用来描述函数的变化速度和方向。

对于函数$z=f(x, y)$，它的方向导数可以表示为$\frac{{\partial z}}{{\partialx}}cos\alpha+\frac{{\partial z}}{{\partial y}}cos\beta$，其中$\alpha$和$\beta$是方向向量的夹角。

梯度是一个向量，它的方向与函数在其中一点的最大方向导数方向相同，大小为最大方向导数的值。

对于函数$z=f(x, y)$，它的梯度可以表示为$\nabla z = \frac{{\partial z}}{{\partialx}}\mathbf{i}+\frac{{\partial z}}{{\partial y}}\mathbf{j}$。

梯度可以用来判断函数在其中一点的变化速度最快的方向和大小。

最后介绍多元函数的极值。

对于函数$z=f(x, y)$，要求出它的极值，首先需要求出函数的偏导数，并解出偏导数为零的方程组。

第十七章 多元函数微分学4泰勒公式与极值问题一、高价偏导数概念1：二元函数z=f(x,y)的二阶偏导数有如下四种情形： (1)⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂x z x =22x z ∂∂=f xx (x,y); (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂x z y =yx z 2∂∂∂=f xy (x,y); (3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂y z x =x y z 2∂∂∂=f yx (x,y); (4)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂y z y =22y z ∂∂=f yy (x,y). 二元函数z=f(x,y)的三阶偏导数有共有八种情形，如：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂22x z x =33x z ∂∂=3x f (x,y)；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂22x z y =y x z 23∂∂∂=y x 2f (x,y)；……例1：求函数z=e x+2y 的所有二阶偏导数和23xy z ∂∂∂. 解：∵z x =e x+2y ; z y =2e x+2y ;∴z xx =ex+2y ; z xy =2e x+2y ; z yx =2e x+2y ; z yy =4e x+2y ;23x y z ∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂x y z x 2=2e x+2y .例2：求函数z=arctan xy 的所有二阶偏导数.解：∵z x =22x y 1xy -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-22y x y +; z y =2x y 1x1⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22y x x +; ∴z xx =222)y (x 2x y +; z xy =-222222)y (x y 2y x +-+=22222)y (x x y +-; z yx =222222)y (x x 2y x +-+=22222)y (x x y +-; z yy =-222)y (x 2x y +.注：既有关于x又有关于y的高阶偏导数，称为混合偏导数.定理17.7：若f xy(x,y)和f yx(x,y)都在点(x0,y0)连续，则f xy(x0,y0)=f yx(x0,y0). 证：令F(△x,△y)=f(x0+△x,y0+△y)-f(x0+△x,y0)-f(x0,y0+△y)+f(x0,y0)，φ(x)=f(x,y0+△y)-f(x,y0)，则F(△x,△y)=φ(x0+△x)-φ(x0).∵f存在关于x的偏导数，∴φ可导，应用一元函数的中值定理，有φ(x0+△x)-φ(x0)=φ’(x0+θ1△x)△x=[f x(x0+θ1△x,y0+△y)-f x(x0+θ1△x,y0)]△x, (0<θ1<1).又由f x存在关于y的偏导数，∴对以y为自变量的函数f x(x0+θ1△x,y) 应用一元函数的中值定理，又有φ(x0+△x)-φ(x0)=f xy(x0+θ1△x,y0+θ2△y)△x△y, (0<θ1,θ2<1).∴F(△x,△y)=f xy(x0+θ1△x,y0+θ2△y)△x△y, (0<θ1,θ2<1).若令ψ(y)=f(x0+△x,y)-f(x0,y)，则有F(△x,△y)=ψ(y0+△y)-φ(y0).同理可得F(△x,△y)=f yx(x0+θ3△x,y0+θ4△y)△x△y, (0<θ3,θ4<1).当△x,△y不为零时，就有f xy(x0+θ1△x,y0+θ2△y)=f yx(x0+θ3△x,y0+θ4△y), (0<θ1,θ2,θ3,θ4<1).又f xy(x,y)和f yx(x,y)都在点(x0,y0)连续，∴当△x→0,△y→0时，上式两边极限存在且相等，∴f xy(x0,y0)=f yx(x0,y0).注：n元函数m阶混合偏导数在某点都连续时，则与顺序无关.概念2：设z 是通过中间变量x,y 而成为s,t 的函数，即z=f(x,y), 其中x=φ(s,t), y=ψ(x,t). 若函数f,φ,ψ都具有连续的二阶偏导数，则作为复合函数z 对s,t 同样存在二阶连续偏导数，即由一阶偏导数： s z ∂∂=s x x z ∂∂∂∂+s y y z ∂∂∂∂，t z ∂∂=t x x z ∂∂∂∂+ty y z ∂∂∂∂，可得二阶偏导数： 22s z ∂∂=s x x z s ∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂⋅∂∂s x s x z +s y y z s ∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂⋅∂∂s y s y z =s x x z 22∂∂ ⎝⎛∂∂+s x s y y x z 2∂∂⎪⎭⎫∂∂∂∂∂+22s x x z ∂∂⋅∂∂+s y y z 22∂∂ ⎝⎛∂∂+s y s x x y z 2∂∂⎪⎭⎫∂∂∂∂∂+22s y y z ∂∂⋅∂∂ =222s x x z ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+2s x s y y x z 2∂∂∂∂∂∂∂+222s y y z ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+22s x x z ∂∂⋅∂∂+22s y y z ∂∂⋅∂∂. 同理可得： 22t z ∂∂=222t x x z ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+2t x t y y x z 2∂∂∂∂∂∂∂+222t y y z ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+22t x x z ∂∂⋅∂∂+22t y y z ∂∂⋅∂∂. t s z 2∂∂∂=t x s x x z 22∂∂∂∂∂∂+t y s x y x z 2∂∂ ⎝⎛∂∂∂∂∂+⎪⎭⎫∂∂∂∂s y t x +t y s y y z 22∂∂∂∂∂∂+t s x x z 2∂∂∂⋅∂∂+t s y y z 2∂∂∂⋅∂∂=s t z 2∂∂∂.例3：设z=f(x,y x ), 求22x z ∂∂,yx z 2∂∂∂. 解：记z=f(u,v), u=x, v=yx ，由复合函数求导公式有：x z ∂∂=x u u f ∂∂∂∂+x v v f ∂∂∂∂=u f ∂∂+vf y 1∂∂， ∴22xz ∂∂= ⎝⎛∂∂∂∂u f x +⎪⎭⎫∂∂v f y 1=x u u f 22∂∂∂∂+x v v u f 2∂∂∂∂∂+ ⎝⎛∂∂∂∂∂x u u v f y 12+⎪⎭⎫∂∂∂∂x v v f 22 =22uf ∂∂+v u f y 22∂∂∂+222v f y 1∂∂. y x z 2∂∂∂= ⎝⎛∂∂∂∂u f y +⎪⎭⎫∂∂v f y 1=y u u f 22∂∂∂∂+y v v u f 2∂∂∂∂∂-v f y 12∂∂+ ⎝⎛∂∂∂∂∂y u u v f y 12+⎪⎪⎭⎫∂∂∂∂y v v f 22=-v u f y x 22∂∂∂-v f y 12∂∂-223vf y x ∂∂.二、中值定理和泰勒公式概念3：若区域D 上任意两点的连线都含于D ，则称D 为凸区域，即 若D 为凸区域，则对任意两点P 1(x 1,x 2), P 2(x 2,y 2)∈D 和一切λ(0≤λ≤1), 恒有P(x 1+λ(x 2-x 1),y 1+λ(y 2-y 1))∈D.定理17.8：(中值定理)设二元函数f 在凸开域D ⊂R 2上连续，在D 的所有内点都可微，则对任意两点P(a,b),Q(a+h,b+k)∈D ，存在θ(0<θ<1), 使得f(a+h,b+k)-f(a,b)=f x (a+θh,b+θk)h+f y (a+θh,b+θk)k.证：令φ(t)=f(a+th,b+tk)，它是定义在[0,1]上的一元函数；∵φ(t)在[0,1]上连续，在(0,1)上可微；∴根据一元函数中值定理， 存在θ(0<θ<1), 使得φ(1)-φ(0)=φ’(θ). 由复合函数的求导法则知， φ’(θ)=f x (a+θh,b+θk)h+f y (a+θh,b+θk)k. 又由D 为凸区域知，(a+θh,b+θk)∈D, ∴f(a+h,b+k)-f(a,b)=f x (a+θh,b+θk)h+f y (a+θh,b+θk)k.注：对闭凸域D ，任意两点P 1(x 1,x 2), P 2(x 2,y 2)∈D 和一切λ(0<λ<1),都有 P(x 1+λ(x 2-x 1),y 1+λ(y 2-y 1))∈intD ，则对D 上连续，intD 内可微的函数f ， 只要P ,Q ∈intD ，也存在θ∈(0,1)使中值定理成立. 如，若D 为圆域{(x,y)|(x-ξ)2+(y-ζ)2≤r 2}, f 在D 上连续，在intD 内可微，则中值定理成立；若D 为矩形区域[a,b]×[c,d]，则不能保证对D 上任意两点P ,Q 都有中值定理成立.推论：若函数f 在区域D 上存在偏导数，且f x ≡f y ≡0，则f 在区域D 上为常量函数.证：设P 和P ’是区域D 上任意两点，由于D 为区域，可用一条完全在D 内的折线连接PP ’. 设x 1为折线上第一个折点， 直线段Px 1上每一点P 0(x 0,y 0), 存在邻域U(P 0)⊂D, 由中值定理知， 在U(P 0)内任一点M(x m ,y m )有f(M)-f(P 0)=f x (θ1)(x m -x 0)+f y (θ1)(y m -y 0), ∵f x ≡f y ≡0，∴f(M)-f(P 0)=0, 即f(M)=f(P 0)，∴在U(P 0)内f 是常数函数. 由Px 1上每一点都有这样的邻域U(P 0)，使得f(x,y)=常数.由有限覆盖定理知，存在有限个邻域U(P 1),…,U(P N )覆盖Px 1, ∴f(P)=f(x 1), 以x 1,…,x n 表示折线上的所有折点，同理有f(P)=f(x 1)=…=f(x n )=f(P ’). 又由P ,P ’在区域D 内的任意性，知在D 内,f(x,y)=常数.例4：对f(x,y)=1xy 2x 12+-应用微分中值定理，证明存在θ(0<θ<1),使得1-2=2(1-3θ)(1-2θ+3θ2)-3/2.解：f 定义在E={(x,y)|x 2-2xy+1>0}上，凸区域D={(x,y)|x 2+y 2≤1}⊂E. 又f x =-()321xy 2x y-x +-; f y =()321xy 2x x+-，且f,f x ,f y 都在D 上连续，取(1,0),(0,1)∈D ，根据微分中值定理，存在θ(0<θ<1), 使得 f(1,0)-f(0,1)=f x (θ,1-θ)-f y (θ,1-θ), 即21-1=-[]321θ)-θ(12θθ)-(1-θ+--[]321θ)-θ(12θθ+-=(1-3θ)(1-2θ+3θ2)-3/2，∴1-2=2(1-3θ)(1-2θ+3θ2)-3/2.定理17.9：(泰勒定理)若函数f 在点P 0(x 0,y 0)的某邻域U(P 0)上有直到n+1阶的连续偏导数，则对U(P 0)内任一点(x 0+h,y 0+k), 存在相应的 θ∈(0,1)，使得有二元函数f 在点P 0的n 阶泰勒公式：f(x 0+h,y 0+k)=f(x 0,y 0) + ⎝⎛∂∂x h +⎪⎪⎭⎫∂∂y k f(x 0,y 0)+ ⎝⎛∂∂x h !21+2y k ⎪⎪⎭⎫∂∂f(x 0,y 0)+… + ⎝⎛∂∂x h !n 1+n y k ⎪⎪⎭⎫∂∂f(x 0,y 0)+ ⎝⎛∂∂+x h !1)(n 1+1n y k +⎪⎪⎭⎫∂∂f(x 0+θh,y 0+θk).证：令φ(t)=f(x 0+th,y 0+tk),其定义域为[0,1],且满足一元函数泰勒条件； ∴φ(1)=φ(0)+φ’(0)+!21φ”(0)+…+!n 1φ(n)(0)+!)1(n 1+φ(n+1)(θ), (0<θ<1). 应用复合函数求导法则，可求得φ(t)的各阶导数：φ(m)(t)= ⎝⎛∂∂xh +m y k ⎪⎪⎭⎫∂∂f(x 0+th,y 0+tk), (m=1,2,…,n+1). 当t=0时，则有 φ(m)(0)= ⎝⎛∂∂x h +m y k ⎪⎪⎭⎫∂∂f(x 0,y 0), (m=1,2,…,n) 及φ(n+1)(θ)= ⎝⎛∂∂x h +1n y k +⎪⎪⎭⎫∂∂f(x 0+θh,y 0+θk)，将φ(m)(0), φ(n+1)(θ)代入φ(1)，得f(x 0+h,y 0+k)=f(x 0,y 0)+ ⎝⎛∂∂x h +⎪⎪⎭⎫∂∂y k f(x 0,y 0)+ ⎝⎛∂∂x h !21+2y k ⎪⎪⎭⎫∂∂f(x 0,y 0)+… + ⎝⎛∂∂x h !n 1+n y k ⎪⎪⎭⎫∂∂f(x 0,y 0)+ ⎝⎛∂∂+x h !1)(n 1+1n y k +⎪⎪⎭⎫∂∂f(x 0+θh,y 0+θk), (0<θ<1).注：1、中值公式为泰勒公式在n=0时的特列情形；2、若只要求余项R n =o (ρn ) (ρ=22k h +)，则仅需f 在U(P 0)内存在直到n 阶连续偏导数，便有f(x 0+h,y 0+k)=f(x 0,y 0)+∑= ⎝⎛∂∂n 1p x h !p 1+py k ⎪⎪⎭⎫∂∂f(x 0,y 0)+o (ρn ).例5：求f(x,y)=x y 在点(1,4)的泰勒公式(到二阶)，并用它计算(1.08)3.96. 解：∵f(1,4)=1; f x (1,4)=yx y-1|(1,4)=4; f y (1,4)=x y lnx|(1,4)=0;f xx (1,4)=y(y-1)x y-2|(1,4)=12; f yy (1,4)= x y (lnx) 2|(1,4)=0;f xy (1,4)=f yx (1,4)=x y-1+yx y-1lnx|(1,4)=1.∴x y =1+4(x-1)+6(x-1)2+(x-1)(y-4)+ o (ρ2). 当x=1.08, y=3.96时，有 (1.08)3.96≈1+4×0.08+6×0.082-0.08×0.04=1.3552.三、极值问题定义：设函数f 在点P 0(x 0,y 0)的某邻域U(P 0)内有定义，若对于任何点P(x,y)∈U(P 0)，有f(P)≤f(P 0)或f(P)≥f(P 0)，则称f 在点P 0取得极大(或极小)值，统称为极值. 极大值点、极小值点统称极值点.注：1、极值点只限于定义域的内点;2、若f 在点(x 0,y 0)取得极值，则当固定y=y 0时，一元函数f(x,y 0)必定在x=x 0取相同的极值；同理，一元函数f(x 0,y)在y=y 0也取相同的极值.例6：设f(x,y)=2x 2+y 2, g(x,y)=22y -x -1，h(x,y)=xy ，讨论原点(0,0)是不是它们的极值点.解：∵f(x,y)=2x 2+y 2≥f(0,0)=0，∴原点(0,0)是f 的极小值点； 又对任何(x,y)∈{(x,y)|x 2+y 2≤1}，有 g(x,y)=22y -x -1≤g(0,0)=1，∴原点(0,0)是g 的极大值点；但在原点的任意邻域内，对I,III 象限的任意点有h(x,y)>h(0,0)=0; 对II, IV 象限中的任意点有h(x,y)<h(0,0)=0; ∴(0,0)不是h 的极值点.定理17.10：(极值必要条件)若函数在点P 0(x 0,y 0)存在偏导数，且在P 0取得极值，则有f x (x 0,y 0)=0, f y (x 0,y 0)=0. 反之，若函数在点P 0满足上式，则称点P 0为f 的稳定点.注：1、极值点一定是稳定点，但稳定点不一定是极值点. 如例6中的函数h ，原点为其稳定点，但不是其极值点.2、函数在偏导数不存在的点也有可能取得极值，如f(x,y)=22y x +在原点没有偏导数，但f(0,0)=0是f 的极小值.概念4：假定f 具有二阶连续偏导数，并记H f (P 0)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)(P f )(P f )(P f )(P f 0y y 0y x 0xy 0xx =0P y y y x xy xx f f f f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，称之为P 0的黑赛矩阵.定理17.11：(极值充分条件)设二元函数f 在点P 0(x 0,y 0)的某邻域U(P 0)上具有二阶连续偏导数，且P 0是f 的稳定点，则当H f (P 0)是正定矩阵时，f 在点P 0取得极小值；当H f (P 0)是负定矩阵时，f 在点P 0取得极大值；当H f (P 0)是不定矩阵时，f 在点P 0不取极值.证：由f 在点P 0的二阶泰勒公式，及f x (P 0)= f y (P 0)=0，得f(x,y)-f(x 0,y 0)=21(△x,△y)H f (P 0)(△x,△y)T +o (△x 2+△y 2).当H f (P 0)正定时，对任何(△x,△y)≠(0,0)，恒有二次型Q(△x,△y)=(△x,△y)H f (P 0)(△x,△y)T >0，∴存在一个与△x,△y 无关的正数q, 使得Q(△x,△y)≥2q(△x 2+△y 2). 从而对充分小的U(P 0), 只要(x,y)∈U(P 0), 就有f(x,y)-f(x 0,y 0)≥q(△x 2+△y 2)+o (△x 2+△y 2)=(△x 2+△y 2)(q+o (1))≥0, 即f 在点P 0取得极小值；同理, 当H f (P 0)负定时，f 在点P 0取得极大值； 当H f (P 0)不定时，若f 取极值，不妨设取极大值，则沿任何过P 0的直线x=x 0+t △x, y=y 0+t △y, f(x,y)=f(x 0+t △x,y 0+t △y)=φ(t) 在t=0亦取得极大值. 由一元函数取极大值的充分条件知 φ”(0)≤0. 而φ’(t)=f x △x+f y △y, φ”(t)=f xx △x 2+2f xy △x △y+f yy △y 2,又φ”(0)=(△x,△y)H f (P 0)(△x,△y)T , 即H f (P 0)必须为负半定，矛盾！ 同理，若f 取极小值，则H f (P 0)必须为正半定，亦矛盾！∴当H f (P 0)是不定矩阵时，f 在点P 0不取极值.注：根据正半定或负半定对称阵所属主子行列式的符号规则，定理17.11又可写成为：若函数f 如定理所设，P 0是f 的稳定点，则有：(1)当f xx (P 0)>0, (f xx f yy -f xy 2)(P 0)>0时，f 在点P 0 取得极小值；(2)当f xx (P 0)<0, (f xx f yy -f xy 2)(P 0)>0时，f 在点P 0取得极大值；(3)当(f xx f yy -f xy 2)(P 0)<0时，f 在点P 0不能取得极值；(4)当(f xx f yy -f xy 2)(P 0)=0时，不能肯定f 在点P 0是否取得极值.例7：设f(x,y)=x2+5y2-6x+10y+6的极值.解：当f x=2x-6=0, f y=10y+10=0时, x=3, y=-1，即点(3,-1)是f的稳定点. ∵f xx=2>0, f yy=10, f xy=0, 即有(f xx f yy-f xy2)(3,-1)=20>0，∴f在点(3,-1)取得极小值f(3,-1)=9+5-18-10+6=-8.又f在R2上处处存在偏导数，∴(3,-1)是f唯一的极值点.例8：讨论f(x,y)=x2+xy是否存在极值.解：当f x=2x+y=0, f y=x=0时, x=0, y=0，即点(0,0)是f的稳定点.∵f xx=2, f yy=0, f xy=1, 即有(f xx f yy-f xy2)(0,0)=-1<0，∴(0,0)不是f的极值点. 又f在R2上处处存可微，∴f不存在极值.例9：设f(x,y)=(y-x2)(y-2x2)，试用定理17.11能否判定f在原点是否取得极值？如果不能，请试用其它方法判定？解：∵f x(0,0)=8x3-6xy|(0,0)=0, f y(0,0)=2y-3x2|(0,0)=0, ∴原点是f的稳定点. 又f xx=24x2-6y, f yy=2, f xy=-6x, 即有(f xx f yy-f xy2)(0,0)=0，∴由定理17.11无法判定f在原点是否取得极值.但当x2<y<2x2时，有f(x,y)<f(0,0)，而当y>2x2或y<x2时，f(x,y)>f(0,0)，∴f不可能在原点取得极值.例10：证明：圆的所有外切三角形中，以正三角形的面积为最小. 证：记圆的半径为1，任一外切三角形切点间弧长分别为α,β,γ，其中γ=2π-(α+β)，则外切三角形的面积可以表示为：S=tan 2α+tan 2β+tan 2γ= tan 2α+tan 2β-tan2β+α, 0<α,β<π.当S α=21(sec 22α-sec 22β+α)=0, S β=21(sec 22β-sec 22β+α)=0时，α=β=32π,即S 有稳定点(32π,32π). ∵S αα(32π,32π)=43>0, S ββ(32π,32π)=23,S αβ(32π,32π)=43, 即有(S ααS ββ-S αβ2)(32π,32π)=36>0,∴S 在(32π,32π)取得极小值. 又S 在定义域内处处存在偏导数，∴(32π,32π)是S 唯一的极小值点，∴当α=β=32π, γ=2π-(α+β)=32π,即外切三角形为正三角形时,面积最小.例11：(最小二乘法问题)设通过观测或实验得到一列点(x i ,y i ),i=1,2,…,n.它们大体上在一条直线上，即大体上可用直线方程来反映变量x 与y 之间的对应关系. 现要确定一直线使得与这n 个点的偏差平方和最小(最小二乘方).解：设所求直线方程为y=ax+b ，则这n 个点的偏差平方和可表示为： f(a,b)=∑=+n 1i 2i i )y -b (ax .当f a =2∑=+n 1i i i i )y -b (ax x =0, f b =2∑=+n1i i i )y -b (ax =0时,整理得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+∑∑∑∑∑=====n1i i n 1i i n1i i i n 1i i n 1i 2i y bn x a y x x b x a , 解方程组，得f(a,b)的稳定点： a 0=∑∑∑∑∑=====⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-n 1i 2n 1i i 2i n 1i i n 1i i n1i i i x x n y x y x n , b 0=2n1i i n 1i 2i n 1i i n 1i i i n 1i i n 1i 2i x x n x y x y x ⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑∑∑∑======. 又A=f aa =2∑=n 1i 2ix >0, B=f ab =2∑=n1i i x , C=f bb =2n, D=AC-B 2=4n ∑=n1i 2ix -4(∑=n1i i x )2>0,从而f(a,b)在点(a 0,b 0)取得极小值，根据实际可知该极小值就是最小值.习题1、求下列函数的高阶偏导数.(1)z=x 4+y 4-4x 2y 2, 二阶偏导数；(2)z=e x (cosy+xsiny), 二阶偏导数；(3)z=xln(xy), y x z 23∂∂∂,23y x z ∂∂∂；(4)u=xyze x+y+z , r q p r q p zy x z ∂∂∂∂++； (5)z=f(xy 2,x 2y), 二阶偏导数；(6)u=f(x 2+y 2+z 2), 二阶偏导数； (7)z=f(x+y,xy,yx), z x ,z xx ,z xy .解：(1)z x =4x 3-8xy 2, z y =4y 3-8x 2y, z xx =12x 2-8y 2, z yy =12y 2-8x 2, z xy =z yx =-16xy. (2)z x =e x (cosy+xsiny)+e x siny=e x (cosy+siny+xsiny), z y =e x (xcosy-siny), z xx =e x (cosy+siny+xsiny)+e x siny=e x (cosy+2siny+xsiny), z yy =-e x (xsiny+cosy), z xy =z yx =e x (cosy-siny+xcosy).(3)∵x z ∂∂=ln(xy)+1, 22x z ∂∂=x 1, y x z 2∂∂∂=y 1, ∴y x z 23∂∂∂=0; 23yx z∂∂∂=-2y 1. (4)方法一：∵x u ∂∂=(yz+xyz)e x+y+z, ∴p p xu ∂∂=(pyz+xyz)e x+y+z ；∵y x u p 1p ∂∂+=(pz+pyz+xz+xyz)e x+y+z, ∴q p q p y x u ∂∂+=(qpz+pyz+qxz+xyz)e x+y+z ,∵zy x uq p q p ∂∂+=(qp+qpz+py+pyz+qx+qxz+xy+xyz)e x+y+z , ∴r q p r q p zy x z∂∂∂∂++=(rqp+qpz+rpy+pyz+rqx+qxz+rxy+xyz)e x+y+z . 方法二：u=xyze x+y+z =xe x ·ye y ·ze z . 由归纳法知： (xe x )(p)=(x+p)e x , (ye y )(q)=(y+q)e y , (ze z )(r)=(z+r)e x ,∴r q p r q p zy x z∂∂∂∂++=(xe x )(p)(ye y )(q)(ze z )(r)=(x+p)(y+q)(z+r)e x+y+z . (5)∵z x =y 2f 1+2xyf 2, z y =2xyf 1+x 2f 2,∴z xx =y 4f 11+4xy 3f 12+4x 2y 2f 22+2yf 2, z yy =2xf 1+4x 2y 2f 11+4x 3yf 21+x 4f 22, z xy =z yx =2yf 1+y 2(2xyf 11+x 2f 12)+2xf 2+2xy(x 2f 22+2xyf 21) =2yf 1+2xf 2+2xy(x 2f 22+y 2f 11)+5x 2y 2f 21.(6)设w=x 2+y 2+z 2, 则u=f(w). ∵u x =2xf ’(w), u y =2yf ’(w), u z =2zf ’(w), ∴u xx =2f ’(w)+4x 2f ”(w), u yy =2f ’(w)+4y 2f ”(w), u zz =2f ’(w)+4z 2f ”(w), u xy =u yx =4xyf ”(w); u yz =u zy =4yzf ”(w); u zz =u zx =4xzf ”(w). (7)z x =f 1+yf 2+y1f 3,z xx =f 11+yf 12+y 1f 13+y(f 21+yf 22+y 1f 23)+y 1(f 31+yf 32+y1f 33) =f 11+f 23+f 32+y(f 12+f 21)+y 2f 22+y 1(f 13+f 31)+2y 1f 33 = f 11+2yf 12+y2f 13+y 2f 22+2f 23+2y1f 33. z xy =f 11+xf 12-2y x f 13+f 2+y(f 21+xf 22-2y x f 23)-2y 1f 3+y 1(f 31+xf 32-2y x f 33) =f 11+(x+y)f 12+ ⎝⎛y 1-⎪⎪⎭⎫2y x f 13+xyf 22 -3y x f 33+f 2-2y 1f 3.2、设u=f(x,y), x=rcos θ, y=rsin θ, 证明：22ru ∂∂+r u r 1∂∂+222θu r 1∂∂=22x u ∂∂+22y u∂∂.证：∵r u ∂∂=r x x u ∂∂∂∂+r y y u ∂∂∂∂=cos θxu ∂∂+sin θy u∂∂,θu ∂∂=θx x u ∂∂∂∂+θy y u ∂∂∂∂=rcos θy u ∂∂-rsin θxu ∂∂;∴22r u ∂∂=cos 2θ22x u ∂∂+2sin θcos θy x u 2∂∂∂+sin 2θ22yu ∂∂, 22θu ∂∂=r 2cos 2θyu 22∂∂-rsin θy u ∂∂+r 2sin 2θ22x u ∂∂-rcos θx u ∂∂-2r 2sin θcos θy x u 2∂∂∂; 又r u r 1∂∂=r 1cos θx u ∂∂+r1sin θy u∂∂,222θu r 1∂∂= cos 2θy u 22∂∂-r1sin θy u ∂∂+sin 2θx u ∂∂-r 1cos θx u ∂∂-2sin θcos θy x u 2∂∂∂; ∴22r u ∂∂+r u r 1∂∂+222θu r 1∂∂=22x u ∂∂+22yu∂∂.3、设u=f(r), r2=x 12+x 22+…+x n 2,证明：212x u ∂∂+222x u ∂∂+…+2n 2x u ∂∂=22dru d +dr dur 1-n .证：记∵k x u ∂∂=k x r dr du ∂∂=dr du r x k , ∴2k 2x u ∂∂=dr du rx r 132k⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+r d u d r x 2222k , k=1,2,…,n ∴∑=∂∂n1k 2k2x u =212x u ∂∂+222x u ∂∂+…+2n 2x u ∂∂=22dr u d +dr du r 1r n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22dr u d +dr dur 1-n .4、设v=r 1g ⎪⎭⎫ ⎝⎛-c r t , c 为常数，r=222z y x ++. 证明：v xx +v yy +v zz =2c1v tt .证：∵v x =-r x r 12g+r 1⎪⎭⎫⎝⎛-cr x g ’=-3r x g-2cr x g ’, v y =-3r y g-2cr y g ’, v z =-3r z g-2crz g ’; ∴v xx =522r r -3x g+42cr x g ’+422cr r -2x g ’+322r c x g ” =522r r -3x g+422cr r -3x g ’+322r c x g ”, v yy =522r r -3y g+422cr r -3y g ’+322r c y g ”, v zz =522rr -3z g+422cr r -3z g ’+322r c z g ”,∵522r r -3x +522r r -3y +522r r -3z =0, 422cr r -3x +422cr r -3y +422cr r -3z =0, 322r c x +322r c y +322r c z =r c 12, ∴v xx +v yy +v zz =rc 12g ”; 又v t =r 1g ’, v tt =r 1g ”, ∴v xx +v yy +v zz =2c 1v tt .5、证明定理17.8的推论. 证：证明过程见17.8推论.6、通过对F(x,y)=sinxcosy 施用中值定理，证明对某θ∈(0,1)，有43=3πcos 3πθcos 6πθ-6πsin 3πθsin 6πθ. 证：F x =cosxcosy, F y =-sinxsiny. 对点(3π,6π)和(0,0)运用中值定理知，存在某θ∈(0,1)，有F(3π,6π)-F(0,0)=3πF x (3πθ,6πθ)+6πF y (3πθ,6πθ)，即sin 3πcos 6π-sin0cos0=3πcos 3πθcos 6πθ-6πsin 3πθsin 6πθ， 又sin 3πcos 6π-sin0cos0=43，∴43=3πcos 3πθcos 6πθ-6πsin 3πθsin 6πθ.7、求下列函数在指定点处的泰勒公式：(1)f(x,y)=sin(x 2+y 2)在点(0,0) (至二阶)；(2)f(x,y)=yx在点(1,1) (至三阶)； (3)f(x,y)=ln(1+x+y)在点(0,0)；(4)f(x,y)=2x 2-xy-y 2-6x-3y+5在点(1,-2). 解：(1)∵f(0,0)=sin0=0, f x (0,0)=2xcos(x 2+y 2)|(0,0)=0, f y (0,0)=0, f xx (0,0)=[2cos(x 2+y 2)-4x 2sin(x 2+y 2)]|(0,0)=2, f yy (0,0)=2, f xy (0,0)=f yx (0,0)=-4xysin(x 2+y 2)|(0,0)=0, f xxx (θx,θy)=[-12xsin(x 2+y 2)-8x 3cos(x 2+y 2)]|(θx,θy)=-4θxsin(θ2x 2+θ2y 2)-8θ3x 3cos(θ2x 2+θ2y 2), f xxy (θx,θy)=[-4ysin(x 2+y 2)-8x 2ycos(x 2+y 2)]|(θx,θy) =-4θysin(θ2x 2+θ2y 2)-8θ3x 2ycos(θ2x 2+θ2y 2), f yyx (θx,θy)=-4θxsin(θ2x 2+θ2y 2)-8θ3xy 2cos(θ2x 2+θ2y 2), f yyy (θx,θy)=-12θysin(θ2x 2+θ2y 2)-8θ3y 3cos(θ2x 2+θ2y 2), ∴sin(x 2+y 2)=x 2+y 2+R 2(x,y)，其中R 2(x,y)=61[x 3f xxx (θx,θy)+3x 2yf xxy (θx,θy)+3xy 2f yyx (θx,θy) +y 3f yyy (θx,θy)] =-32[3θ(x 2+y 2)2sin(θ2x 2+θ2y 2) +2θ3(x 2+y 2)3cos(θ2x 2+θ2y 2)]. (2)∵f(1,1)=1, f x (1,1)=y1|(1,1)=1, f y (1,1)=-2y x|(1,1)=-1, f xx =0, f yy (1,1)=3y 2x |(1,1)=2, f xy (1,1)=f yx (1,1)=-2y1|(1,1)=-1, f xxx =f xxy =0, f yyx (1,1)=3y 2|(1,1)=2, f yyy (1,1)=-4y 6x|(1,1)=-6, f xxxx =f xxxy =f xxxy =f xxyy =0, f yyyx (1+θx,1+θy)=-4θy)(16+, f yyyy (1+θx,1+θy)=5θy)(1θx )24(1++. ∴yx=1+(x-1)-(y-1)-(x-1)(y-1)+(y-1)2+(x-1)(y-1)2-(y-1)3+R 3(x,y)，其中 R 3(x,y)=241[4(x-1)(y-1)3f yyyx (1+θx,1+θy)+(y-1)4f yyyy (1+θx,1+θy)] =-431)]-θ(y [11)-1)(y -(x ++51)]-θ(y [11)-θ(x 1++(y-1)4. (3)∵k k x f ∂∂=k 1-k y)x (11)!-(k (-1)++=k k yf ∂∂, ∴k k x f(0,0)∂∂=kk y f(0,0)∂∂=(-1)k-1(k-1)!; ∵p -n p n y x f ∂∂∂=n1-n y)x (11)!-(n (-1)++, ∴p -n p n yx f(0,0)∂∂∂=(-1)n-1(n-1)!;∴ ⎝⎛∂∂x x p!1+py y ⎪⎪⎭⎫∂∂f(0,0)=∑=p 0i p iC p!1(-1)p-1(p-1)!x i y p-i =p (-1)1-p (x+y)p. ⎝⎛∂∂+x x 1)!(n 1+py y ⎪⎪⎭⎫∂∂f(θx,θy)=1n n 1-n 0p p 1n θy)θx (1n!)1(C 1)!(n 1+=+++-+∑x p y n-p =1n n θy)θx 1)(1(n )1(++++- (x+y)n+1. ∴ln(1+x+y)=p y)(x )1(p n1p 1-p +-∑=+(-1)n1n 1n θy)θx 1)(1(n )y x (++++++, (0<θ<1). (4)∵f(1,-2)=5, f x (1,-2)=(4x-y-6)|(1,-2)=0, f y (1,-2)=(-x-2y-3)|(1,-2)=0, f xx =4, f yy =-2, f xy =f yx =-1, ∴f 的三阶偏导数都为0, ∴2x 2-xy-y 2-6x-3y+5=5+2(x-1)2-(x-1)(y+2)-(y+2)2.8、求下列函数的极值点：(1)z=3axy-x 3-y 3 (a>0)；(2)z=x 2-xy+y 2-2x+y ；(3)z=e 2x (x+y 2+2y). 解：(1)当z x =3ay-3x 2=0, z y =3ax-3y 2=0时,x=y=0或x=y=a, ∴函数z 有稳定点(0,0)和(a,a).又z xx (a,a)=-6a<0, z yy (a,a)=-6a, z xx (0,0)=0, z yy (0,0)=0, z xy =z yx =3a, 即有 (z xx z yy -z xy 2)(a,a)=27a 2>0; (z xx z yy -z xy 2)(a,a)=-9a 2<0, ∴(a,a)是极大值点, (0,0)不是极值点.(2)当z x =2x-y-2=0, z y =-x+2y +1=0时,x=1, y=0,∴函数z 有稳定点(1,0). 又z xx =2>0, z yy =2, z xy =z yx =-1, 即有z xx z yy -z xy 2=3>0;∴(1,0)是极小值点. (3)当z x =e 2x (2x+2y 2+4y+1)=0, z y =e 2x (2y+2)=0时,x=21, y=-1,∴函数z 有稳定点(21,-1). 又z xx =e 2x (4x+4y 2+8y+4), z xx (21,-1)=2e>0; z yy =2e 2x , z yy (21,-1)=2e; z xy =z yx =e 2x (4y+4), z xy (21,-1)=z yx (21,-1)=0, 即有(z xx z yy -z xy 2)(21,-1)=4e 2>0; ∴(21,-1)是极小值点.9、求下列函数在指定范围内的最大值与最小值：(1)z=x 2-y 2, {(x,y)|x 2+y 2≤4}；(2)z=x 2-xy+y 2, {(x,y)||x|+|y|≤1}； (3)z=sinx+siny-sin(x+y), {(x,y)|x ≥0,y ≥0,x+y ≤2π}.解：(1)当z x =2x=0, z y =-2y=0时,x=0, y=0,∴函数z 有稳定点(0,0). 又z xx =2>0, z yy =-2, z xy =z yx =0, 即有z xx z yy -z xy 2=-4<0;∴(0,0)不是极值点. 当x 2+y 2=4时，y 2=4-x 2，∴z=2x 2-4. 由z ’=4x=0，得稳定点x=0, y=±2, z(0,2)=z(0,-2)=-4. 又x 2=4-y 2,∴z=4-2y 2.由z ’=-4y=0,得稳定点y=0, x=±2, z(2,0)=z(-2,0)=4. ∴在(2,0),(-2,0)取最大值4, 在(2,0),(-2,0)取最小值-4. (2)当z x =2x-y=0, z y =2y-x=0时,x=0, y=0,∴函数z 有稳定点(0,0). 又z xx =2>0, z yy =2, z xy =z yx =-1, 即有z xx z yy -z xy 2=3>0;∴z(0,0)=0是极小值. 当x+y=1, 即y=1-x 时, z=x 2-x(1-x)+(1-x)2=3x 2-3x+1, 由z ’=6x-3=0, 得稳定点x=21, y=21, z(21,21)=41;当x-y=1, 即y=x-1时, z=x 2-x(x-1)+(x-1)2=x 2-x+1, 由z ’=2x-1=0, 得 稳定点x=21,y=-21, z(21,-21)=43;当-x-y=1, 即y=-x-1时, z=x 2-x(-x-1)+(-x-1)2=3x 2+3x+1, 由z ’=6x+3=0, 得 稳定点x=-21,y=-21, z(-21,-21)=43; 又z(1,0)=z(0,1)=z(-1,0)=z(0,-1)=1, ∴函数在(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)取最大值1, 在(0,0)取最小值0. (3)当z x =cosx-cos(x+y)=0, z y =cosy-cos(x+y)=0时,cosx=cosy, ∴函数的稳定点在x=y 或x+y=2π上.当x=y 时cosx-cos2x=-2cos 2x+cosx+1=0, ∴cosx=cosy=-21或1,∴x=y=32π或x=y=0, z(32π,32π)=233, z(0,0)=0. 又在边界{(x,y)|x=0, 0≤y ≤2π}∪{(x,y)|y=0, 0≤x ≤2π}∪{(x,y)|x+y=2π}上, z=0, ∴函数在(32π,32π)取最大值233, 在边界上取最小值0.10、在已知周长为2p 的一切三角形中，求出面积为最大的三角形. 解：设三边分别为x,y,y. 则面积S=z)-y)(p -x)(p -p(p , x+y+z=2p. ∴S=p)-y y)(x -x)(p -p(p , (x,y)∈D={(x,y)|0≤x ≤p, 0≤y ≤p, x+y ≥p }. 根据S 偏导数的特点，可知S 与f=(p-x)(p-y)(x+y-p)有相同的稳定点. 又当f x =(p-y)(2p-2x-y)=0, f y =(p-x)(2p-2y-x)=0时, x=y=32p , z=2p-x-y=32p, 且S 在D 的边界上有S ≡0, ∴S 在(32p ,32p)处取得最大值，即 边长为32p 的等边三角形面积最大为S(32p ,32p)=9p 3.11、在xy 平面上求一点，使它到三直线x=0, y=0及x+2y-16=0的距离平方和最小.解：所求点(x,y)到三直线的距离平方和为：s=x 2+y 2+516)-2y +(x 2.当s x =2x+516)-2y +2(x =0, s y =2y+516)-2y +4(x =0时，x=58, y=516. ∴(58,516)是s 的稳定点. 又s 在R 2内处处存在连续的偏导数, ∴(58,516)是s 唯一的稳定点，也是s 的最小值点.12、已知平面上n 个点的坐标分别为A 1(x 1,x 1), A 2(x 2,y 2), …,A n (x n ,y n )，试求一点，使它与这n 个点距离的平方和最小.解： 设点(x,y)为所求，它与各点距离平方和为：S=∑=+n1i 2i 2i ])y -(y )x -[(x .当S x =2nx-2∑=n 1i i x =0, S y =2ny-2∑=n1i i y =0时，x=∑=n 1i i x n 1, y=∑=n1i i y n 1.又S 在R 2内处处存在连续的偏导数，∴(∑=n 1i i x n 1,∑=n1i i y n 1)是S 唯一的稳定点，也是S 的最小值点.13、证明：函数u=ta 4b)-(x 22eπta 21-(a,b 为常数)满足热传导方程：t u ∂∂=a 222xu∂∂.证：t u∂∂=-ta 4b)-(x 322e πta 41-+ta 4b)-(x 22222e t a 4b)-(x πta 21-. x u ∂∂=-ta 4b)-(x 222e ta 4b)-2(x πt a 21-, 22x u∂∂=-ta 4b)-(x 3322e πta 41+ta 4b)-(x 24222e t a 4b)-(x πt 2a 1-,∴a 222x u∂∂=-ta 4b)-(x 322e πta 41-+ta 4b)-(x 22222e t a 4b)-(x πta 21-=tu∂∂.14、证明：函数u=ln 22b)-(y a)-(x +(a,b 为常数)满足拉普拉斯方程：22x u ∂∂+22yu∂∂=0. 证：∵x u∂∂=2222b)-(y a)-(x b)-(y a)-(x a -x +⋅+=22b)-(y a)-(x a -x +, ∴22x u ∂∂=222222]b)-(y a)-[(x a)-(x 2b)-(y a)-(x +-+=22222]b)-(y a)-[(x a)-(x b)-(y +-; 同理可得22y u∂∂=22222]b)-(y a)-[(x b)-(y a)-(x +-; ∴22x u ∂∂+22yu ∂∂=0.15、证明：若函数u=f(x,y)满足拉普拉斯方程：22x u ∂∂+22yu∂∂=0；则函数v=f(22y x x +,22y x y+)也满足此方程. 证：记s=22y x x +, t=22y x y +, 则x s ∂∂=22222)y x (x y +-=-y t ∂∂,y s∂∂=-222)y x (x y 2+=xt ∂∂.x v ∂∂=x s s f ∂∂∂∂+x t t f ∂∂∂∂,22x v ∂∂=222x s s f⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+2x t x s t s f 2∂∂∂∂∂∂∂+222x t t f ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+22x s s f ∂∂∂∂+22x tt f ∂∂∂∂; 同理22y v ∂∂=222y s s f ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+2y t y s t s f 2∂∂∂∂∂∂∂+222y t t f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+22y s s f ∂∂∂∂+22y tt f ∂∂∂∂; ∵22x s ∂∂=-x y t 2∂∂∂,22y s ∂∂=y x t 2∂∂∂, ∴22x s ∂∂+22y s ∂∂=0, 同理22x t ∂∂+22yt∂∂=0. 又2x s ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=2y t ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂, 2x t ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=2y s ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂, x t x s ∂∂∂∂=-y t y s ∂∂∂∂,22s f ∂∂+22t f ∂∂=0, 代入上述各式子，可得22x v ∂∂+22yv∂∂=0.16、设函数u=φ(x+ψ(y))，证明y x u x u 2∂∂∂∂∂=22x uy u ∂∂∂∂.证：令s=x+ψ(y), 则∵x u ∂∂=ds d φ,y x u 2∂∂∂=dy d ψds φd 22, ∴y x u x u 2∂∂∂∂∂=dy d ψds φd ds d φ2;又y u ∂∂=dy d ψds d φ, 22x u ∂∂=22dsφd , ∴22x u y u ∂∂∂∂=dy d ψds φd ds d φ22=y x u x u 2∂∂∂∂∂.17、设f x ,f y 和f yx 在点(x 0,y 0)在某邻域内存在，f yx 在点(x 0,y 0)连续，证明：f xy 也存在，且f xy (x 0,y 0)=f yx (x 0,y 0). 证：由已知条件及中值定理得：F(△x,△y)=f(x 0+△x,y 0+△y)-f(x 0+△x,y 0)-f(x 0,y 0+△y)+f(x 0,y 0) =f yx (x 0+θ1△x,y 0+θ2△y)△x △y, 0<θ1,θ2<1，即有 f yx (x 0+θ1△x,y 0+θ2△y) =y1x )y ,f(x -)y x,f(x x y)y ,f(x -y)y x,f(x 00000000∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∆+-∆∆+∆+∆+. 又f yx 在点(x 0,y 0)连续，故对上式两边取△x →0得 f yx (x 0,y 0+θ2△y)=y)y ,f(x -)y x ,f(x 0000∆∆+，再让△y →0,由f yx 在点(x 0,y 0)连续及f xy 的定义知，f xy (x 0,y 0)=f yx (x 0,y 0).18、证明：若f x ,f y 在点(x 0,y 0)在某邻域内存在且在点(x 0,y 0)可微，则有f xy (x 0,y 0)=f yx (x 0,y 0).证：由已知条件及中值定理得：F(△x,△y)=f(x 0+△x,y 0+△y)-f(x 0+△x,y 0)-f(x 0,y 0+△y)+f(x 0,y 0) =[f x (x 0+θ1△x,y 0+△y)-f x (x 0+θ1△x,y 0)]△x, 0<θ1<1. 由f x 在点(x 0,y 0)可微知F(△x,△y)=f x (x 0+θ1△x,y 0+△y)-f x (x 0,y 0)]△x-f x (x 0+θ1△x,y 0)-f x (x 0,y 0)]△x =[f xx (x 0,y 0)θ1△x+f xy (x 0,y 0)△y+o (ρ)-f xx (x 0,y 0)θ1△x-o (ρ)]△x= f xy (x 0,y 0)△x △y+o (ρ)△x. ∴yx y)x ,f(lim (0,0)y )x,(∆⋅∆∆∆→∆∆=f xy (x 0,y 0). 同理， 由f y 在点(x 0,y 0)可微得yx y)x ,f(lim (0,0)y )x,(∆⋅∆∆∆→∆∆=f yx (x 0,y 0). ∴f xy (x 0,y 0)=f yx (x 0,y 0).19、设u=222z y x z y x111, 求(1)u x +u y +u z ；(2)xu x +yu y +zu z ；(3)u xx +u yy +u zz . 解：u x =22z y 2x z y1110=2xz+y 2-2xy-z 2=(y-z)(-2x+y+z), 同理 u y =(x-z)(-2y+x+z), u z =(x-y)(-2z+x+y),∴(1)u x +u y +u z =0; (2)xu x +yu y +zu z =3(z-y)(x-y)(x-z). 又∵u xx =2(z-y), u yy =2(x-z), u zz =2(y-x),∴(3)u xx +u yy +u zz =0.20、设f(x,y,z)=Ax 2+By 2+Cz 2+Dxy+Eyz+Fzx, 试按h,k,l 的正数幂展开f(x+h,y+k,z+l).解：∵f x =2Ax+Dy+Fz, f y =2By+Dx+Ez, f z =2Cz+Ey+Fx; f xx =2A, f yy =2B, f zz =2C; f xy =f yx =D, f xz =f zx =F, f yz =f zy =E.∴f(x+h,y+k,z+l)=f(x,y,z)+(2Ax+Dy+Fz)h+(2By+Dx+Ez)k+(2By+Dx+Ez)l +Ah 2+Bk 2+Cl 2+Dhk+Ekl+Fhl= f(x,y,z)+(2Ax+Dy+Fz)h+(2By+Dx+Ez)k+(2By+Dx+Ez)l+f(h,k,l).。