17第六章多元函数微分学

第六章多元函数微积分复习要点一、基本概念及相关定理1.多元函数的极限定义：函数(,)z f x y =在区域D 内有定义，当点P(x ,y )D ∈沿任意路径无限趋于点000(,)P x y (0P P ≠)时, (,)f x y 无限趋于一个确定的常数A,则称常数A 是函数(,)z f x y =当P(x ,y )趋于000(,)P x y 时的极限.记作0lim (,)x xy y f x y A →→=,或00(,)(,)lim(,)x y x y f x y A →=,或(,)f x y A →,00(,)(,)x y x y →,或lim (,)f x y A ρ→=,或(,)f x y A →,0ρ→.其中，ρ= 2.二元函数连续的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 内有定义，如果对任意0(,)()P x y U P ∈，都有0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=（或0lim ()()P P f P f P →=），则称函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处连续.3.偏导数的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 内有定义.（1）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对x 的偏导数定义为00000(,)(,)lim x f x x y f x y x∆→+∆-∆，记作00x x y y zx ==∂∂，或00x x y y f x==∂∂，或00(,)x z x y '，或00(,)x f x y '，即x x y y zx==∂∂=00000(,)(,)lim x f x x y f x y x∆→+∆-∆.（2）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对y 的偏导数定义为00000(,)(,)lim y f x y y f x y y∆→+∆-∆，记作00x x y y zy ==∂∂，或00x x y y f y==∂∂，或00(,)y z x y '，或00(,)y f x y '，即x x y y zy==∂∂=00000(,)(,)lim y f x y y f x y y∆→+∆-∆.而称z x∂∂，或f x ∂∂，或(,)x z x y '，或(,)x f x y '及[z y ∂∂，或f y∂∂，或(,)y z x y '，或(,)y f x y ']为（关于x 或关于y ）偏导函数.高阶偏导数：22(,)xx z zf x y x x x∂∂∂⎛⎫''== ⎪∂∂∂⎝⎭或(,)xx z x y ''， 2(,)xy z zf x y y x x y∂∂∂⎛⎫''== ⎪∂∂∂∂⎝⎭或(,)xy z x y ''， 2(,)yx z zf x y x y y x⎛⎫∂∂∂''== ⎪∂∂∂∂⎝⎭或(,)yx z x y ''， 22(,)yyz zf x y y y y⎛⎫∂∂∂''== ⎪∂∂∂⎝⎭或(,)yy z x y ''. 同理可得，三阶、四阶、…，以及n 阶偏导数.4.全微分定义：设函数(,)z f x y =在点(,)P x y 的某一邻域()U P 内有定义，若函数在点(,)x y 的全增量(,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-可表示为()z A x B y ρ∆=∆+∆+，其中A 、B 不依赖于x ∆、y ∆，仅于x、y有关，ρ=，则称函数(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分，称A x B y ∆+∆为函数(,)z f x y =在点(,)x y 的全微分，记为dz ，即dz A x B y =∆+∆.可微的必要条件：若函数(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分，则（1）函数(,)z f x y =在点(,)x y 的偏导数z x ∂∂、zy∂∂必存在；（2）全微分为z z dz x y z x y z dx dy x y∂∂+∂∂∂=∆+∆=∂∂∂. 推广：函数(,,)u f x y z =在点(,,)x y z 的全微分为u u udu dx dy dz x y z∂∂∂=++∂∂∂.可微的充分条件：若函数(,)z f x y =的偏导数z x∂∂、z y∂∂在点(,)x y 处连续⇒(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分.5.复合函数微分法（5种情况，由简单到复杂排列）： （1）含有多个中间变量的一元函数(,,)z f u v w =，()u u x =，()v v x =，()w w x =，则dz z du z dv z dwdx u dx v dx w dx∂∂∂=++∂∂∂， 称此导数dzdx为全导数；（2）只有一个中间变量的二元复合函数 情形1：()z f u =，(,)u u x y =，则z dz ux du x∂∂=∂∂ ，z dz u y du y∂∂=∂∂. 情形2：(,,)z f x y u =，(,)u u x y =，则z f z u x x u x∂∂∂∂=+∂∂∂∂ ，z f z u y y u y∂∂∂∂=+∂∂∂∂. zx wv u xx zuyxzy yuxx其中，f x∂∂与z x∂∂是不同的，z x∂∂是把复合函数[,,(,)]z f x y u x y =中的y 看作不变量而对x 的偏导数；f x∂∂是把函数(,,)f x y u 中的y 及u 看作不变量而对x 的偏导数。

多元函数微分学多元函数微分学是微积分的一个重要分支，它研究的是多变量函数的导数、微分以及相关的性质和应用。

在这个领域中，我们主要关注多元函数的变化率和方向导数，以及求解相关的极值和最优化问题。

在一元函数微分学中，我们研究的是只有一个自变量的函数。

而在多元函数微分学中，我们研究的是有多个自变量的函数。

多元函数可以表示为f(x1, x2, ... , xn)，其中x1,x2, ..., xn分别为自变量。

用微分学的语言来描述，我们要研究的是这个函数在一个点p上的切平面的性质。

首先，我们来看一下多元函数的导数。

多元函数的导数分为偏导数和全导数两种。

偏导数表示的是函数在某一变量上的变化率，而全导数则表示的是函数在所有变量上的综合变化率。

用数学符号来表示，对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，它的偏导数为∂f/∂xi，也可以记为f'xi。

全导数可以用向量∇f表示。

接下来，我们来看一下多元函数的微分。

微分是导数的线性逼近，可以看作是函数在某一点上的局部线性近似。

多元函数的微分可以表示为df = ∂f/∂x1*dx1 + ∂f/∂x2*dx2+ ... + ∂f/∂xn*dxn，其中dx1, dx2, ..., dxn为自变量的微小变化量。

在多元函数微分学中，我们还需要研究方向导数和梯度。

方向导数表示的是函数在某一方向上的变化率，可以用向量的点积来表示。

梯度是一个向量，它的方向指向函数变化最快的方向，大小表示变化率最大的值。

方向导数和梯度在求解优化问题中具有重要应用。

最后，我们来看一下多元函数微分学的应用。

在实际问题中，多元函数微分学可以应用于求解极值、最小二乘法、约束优化等各种问题。

例如，在工程领域中，我们可以用多元函数微分学来求解最优设计、最优控制等问题。

总结起来，多元函数微分学是微积分的一个重要分支，研究的是多变量函数的导数、微分以及相关的性质和应用。

它在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用，是现代科学和技术发展中不可或缺的工具。

多元函数微分学一：全微分函数在处可微的充分条件：(,)z f x y =00(,)x y ''22(,)(,)()()x y z f x y x f x y y x y ∆-∆-∆∆+∆22()()0x y ∆+∆→当时是无穷小量222222221()sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩例1：函数在[(0,0)(0,0)]()x y z f x f y o ρ∆-∆+∆＝（0，0）处是否可微？0(0,0)(0,0)lim x y z f x f yρρ→∆-∆-∆22222201[()()]sin ()()lim ()()x y x y x y ρ→∆+∆∆+∆=∆+∆0=即函数f (x , y )在原点(0,0)可微.sin 2yz y x e μ=++例2：计算的全微分11,cos ,22yz yz u u y u ze ye x y z∂∂∂==+=∂∂∂解：1(cos )22yz yz y du dx ze dy ye dz =+++所求全微分：二：复合函数求偏导1、偏导数求法(1) 求关于x的偏导数，把z=f (x , y) 中的y看成常数，对x仍用一元函数求导法求偏导.(2) 求关于y的偏导数，把z=f (x , y) 中的x看成常数，对y仍用一元函数求导法求偏导.(3)求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求.2：链式法则的几种情况：1:),(,),(,),(,)x y x y x y z f u f v f w x u x v x w xz f u f v f w y u y v y w yμυωμμυυωω===∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂中间变量多于两个的情况：设z=f(,,''2:),(,)(),()x y z f u u z f u u f u f u x u x x y u y yμμμ=∂∂∂∂∂∂∂∂====∂∂∂∂∂∂∂∂中间变量只有一个的情况：设z=f(3:,),(),(),v x v v x z x z f u f v x u x u xμμμ==∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂自变量只有一个的情况：设z=f(则是的一元复合函数，它对x 的导数称为全导数，有(,,),(,),(,),,z f x y t x x s t y y s t z f x f y z f x f y f s x s y s t x t y t t===∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂4:设则例3：).1())),(,(,()(,)1,1(,)1,1(,1)1,1(,),(2ϕϕ'=='='=求，可微x x f x f x f x b f a f f y x f y x解⋅='))),(,(,(2)(x x f x f x f x ϕ⋅'+'))),(,(,())),(,(,({21x x f x f x f x x f x f x f ⋅'+')),(,()),(,([21x x f x f x x f x f ))]},(),((21x x f x x f '+')]}([{12)1(b a b a b a +++⋅⋅='ϕ)(232b ab ab a +++=解：3个方程, 4个变量的方程组,)(),(),(x z z x y y x u u ===确定3个1元函数:方程组两边对x 求导=x u d d ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧x g x h x f x y f y d d +x y g y d d ⋅+x z g z d d ⋅+0=xz h z d d ⋅+0=⎪⎩⎪⎨⎧===.0),(,0),,(),,()(z x h z y x g y x f u x u 由方程组设函数例4：,0,0,≠∂∂≠∂∂zh y g 且所确定.d d x u 求=x u d d ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧x g x h x f x y f y d d +)1(x y g y d d ⋅+x z g z d d ⋅+0=)2(x z h z d d ⋅+0=)3(代入可得：d d y x y z x x y y zf g f g h u f x g g h ⋅⋅⋅=-+⋅三：高阶偏导定理 如果函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数x y z ∂∂∂2及yx z ∂∂∂2在区域D 内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等．215()(),y z z f xy xf f y x x y ∂=+∂∂例：有连续二阶偏导数，求'()'()'()z y y y f xy f f x x x x ∂=+-∂解：2()z z x y y x ∂∂∂=∂∂∂∂11''()''()'()''()y y y y xf xy f f f x x x x x x=+--22222222(0,0)(0,0)22(),06:(,),|,|0,0xy x y x y f f f x y x y x y y x x y ⎧-+>∂∂⎪=+⎨∂∂∂∂⎪+=⎩例求22232222222222()(3)2(),0()0,0x y x y y x y x y x y f x y x x y ⎧+---+>∂⎪=+⎨∂⎪+=⎩解：2(0,)(0,0)(0,0)0|||lim 1y y f f f x x x y y →∂∂-∂∂∂==-∂∂22322222222222()(3)2(),0()0,0x y x xy xy x y x y f x y y x y ⎧+---+>∂⎪=+⎨∂⎪+=⎩(,0)(0,0)2(0,0)0|||lim 1x y f f f y y y x x→∂∂-∂∂∂==∂∂注：对不连续的函数求导，用定义法四：隐函数求导1：一个方程的情况:1．1 显化法:(一元隐函数）把一元隐函数化为显函数后，再利用显函数求导的方法，来求该一元隐函数的导数，即(,)0F x y =()y y x ='()xdy dy x y dx dx==2'ln()0,(x y x xy y x+-=例7：设求一元隐函数）22ln()x y y x xy xy e x x -=--⇒-=21x e y x x -⇒=-利用显函数求导方法，有：22222'211(12)(12)11()()x x x e x y x x y x x x x -----==--1．2公式法: .x yF dy dx F =-1．3对数求导法:80,,x zz z z y x y ∂∂-=∂∂例：设求（多元隐函数）ln ln x zz y x z z y ==解：原方程可化为，方程两边同时取对数得:2ln ln ln ln (ln )x y z z z z x z y x y z z z y x z y ⎧==⎪--⎪⎨⎪=⎪-⎩所以2ln ln ln ln (ln )x y z z z z x z y x y z z z y x z y ⎧==⎪--⎪⎨⎪=⎪-⎩所以2：方程组的情况：2.1直接对方程两边求偏导，再解关于偏导数的方程sin ,,cos uu x e u v u u x y y e u v ⎧=+∂∂⎪⎨∂∂=-⎪⎩例9：设求1sin cos 0s cos (sin )u u x u u v e v u v x x xu u v e v u v x x x∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂=---∂∂∂两个方程两边关于求偏导，得：(1)(2)(1)sin (2)cos v v v x ∂⨯-⨯∂，消去得22sin (sin cos )(sin cos )uu u v e v v v v x x ∂∂=-++∂∂sin 1sin cos u u u v x e v e v∂=∂+-同理可求：cos 1sin cos u u u v y e v e v∂-=∂+-Thanks for your listening!。

多元函数微分学
多元函数微分学是研究多元函数多变量之间关系及其变化性质的
数学分支。

它不仅仅是研究函数的变化性质，而且它还为数学分析奠
定了坚实的基础。

利用多元函数微分学，我们能够描述和分析函数多
变量之间的关系，从而有效地定义和研究函数的变化性质。

多元函数微分学的基本原理是求导原理或微分原理，即对多元方
程求导，使用梯度来描述其变化性质，以及如何利用线性算法解决系
统的微分方程。

多元函数微分学的实际应用可以概括为数学物理学中
的各种多元函数场解和最优化问题，数学统计学中的概率分布估计，
模式识别和控制中的数学建模以及机器学习算法等等。

多元函数微分学是一门应用广泛，理论深入的数学学科，在解决
实际问题中发挥着重要作用，是工程数学中不可或缺的重要组成部分。

它不仅用于理解函数的变化性质，而且用于分析系统运行特征，找出
系统内因素的影响，并在做出有效的决策及其实现方式中发挥关键作用。