第十七章 多元函数微分学1可微性一、可性性与全微分定义1：设函数z=f(x,y)在点P 0(x 0,y 0)的某邻域U(P 0)上有定义，对于U(P 0)中的点P(x,y)=(x 0+△x,y 0+△y)，若f 在点P 0处的全增量可表示为： △z=f(x 0+△x,y 0+△y)-f(x 0,y 0)=A △x+B △y+o (ρ)，其中ρ=22y x ∆+∆， o (ρ)是较ρ高阶的无穷小量，A,B 是仅与点P 0有关的常数， 则称函数f 在P 0可微. 并称A △x+B △y 为函数f 在点P 0的全微分， 记作dz|0P =df(x 0,y 0)=A △x+B △y.当|△x|,|△y|充分小时，dz 可作为△z 的近似值，即 f(x,y)≈f(x 0,y 0)+A(x-x 0)+B(y-y 0). 有时也表示为： △z= A △x+B △y+α△x+β△y ；其中)0,0()y x,(lim→∆∆α=)0,0()y x,(lim→∆∆β=0.例1：考察函数f(x,y)=xy 在点(x 0,y 0)处的可微性. 解：在点(x 0,y 0)处函数的全增量为：△z=f(x 0+△x,y 0+△y)-f(x 0,y 0)=y 0△x+x 0△y+△x △y.∵ρy x ∆∆ρy∆≤ρ→0, ρ→0.∴△x △y=o (ρ)，∴f 在(x 0,y 0)处的可微， 且df=y 0△x+x 0△y.二、偏导数定义2：设函数z=f(x,y), (x,y)∈D, 若(x 0,y 0)∈D 且f(x,y 0)在x 0的某一邻域内有定义，则极限x )y ,x (f lim00x 0x ∆∆→∆=x)y ,x (f )y x,x (f lim 00000x ∆-∆+→∆存在时，这个极限称为函数f 在(x 0,y 0)关于x 的偏导数，记作： f x (x 0,y 0)或z x (x 0,y 0),)y ,(x 0xf∂∂,)y ,(x 00xz ∂∂.同样定义f 在点(x 0,y 0)关于y 的偏导数为：f y (x 0,y 0)或)y ,(x 00yf ∂∂.若f 在区域D 上每一点(x,y)都存在对x(或对y)的偏导数，则f 在区域D 上对x(或对y)的偏导函数(简称偏导数)，记作：f x (x,y)或xy)f(x,∂∂ (f y (x,y)或y y)f(x ,∂∂) 也简写为f x ,z x 或x f ∂∂,xz ∂∂( f y ,z y 或y f ∂∂,y z ∂∂).注：1、这里符号x ∂∂,y ∂∂专用于偏导数运算，与一元函数的导数符号dxd相似，又有差别；2、定义中，f 在点(x 0,y 0)存在关于x(或y)的偏导数，f 至少在 {(x,y)|y=y 0,|x-x 0|<δ}(或{(x,y)|x=x 0,|y-y 0|<δ})上必须有定义.二元函数偏导数的几何意义：设P 0(x 0,y 0,z 0)是曲面z=f(x,y)上一点，过P 0作平面y=y 0与曲面的交线为C ：其中⎩⎨⎧==y),x (f z y y 0是平面上的一条曲线.因此，f x (x 0,y 0)作为一元函数f(x,y 0)在x=x 0的导数，就是曲线C 在点P 0处的切线T x 对于x 轴的斜率，即T x 与x 轴正向所成倾角的正切tan α.同样的，f y (x 0,y 0)是平面x=x 0曲面z=f(x,y)的交线⎩⎨⎧==y),x (f z x x 0在点P 0处的切线T y 关于y 轴的斜率tan β.例2：求函数f(x,y)=x 3+2x 2y-y 3在点(1,3)关于x 和关于y 的偏导数. 解法1：f x (1,3)=1x dxdf(x,3)==3x 2+12x 1x ==15；f y (1,3)=3y dyy)df(1,==2-3y 23y ==-25.解法2：∵f x (x,y)=3x 2+4xy ，∴f x (1,3)=15；又f y (x,y)=-3y 2+2x 2，∴f x (1,3)=-25.例3：求函数z=x y (x>0)的偏导数. 解：z x =yx y-1；z y =x y lnx.例4：求三元函数u=sin(x+y 2-e z )的偏导数.解：u x =cos(x+y 2-e z )；u y =2ycos(x+y 2-e z )；u z =-e z cos(x+y 2-e z ).三、可微性条件定理17.1：(可微的必要条件)若二元函数f 在定义域内一点(x 0,y 0)可微，则f 在该点关于每个自变量的偏导数都存在，且△z=A △x+B △y+o (ρ)中A=f x (x 0,y 0), B=f y (x 0,y 0). 即全微分df)y ,(x 00=f x (x 0,y 0)·△x+f y (x 0,y 0)·△y.或dz=f x (x 0,y 0)dx+f y (x 0,y 0)dy. f 在D 上全微分为df(x,y)=f x (x,y)dx+f y (x,y)dy.例5：考察函数f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++0y x 00y x y x xy 222222，在原点的可微性.解：根据偏导数的定义，f x (0,0)=x)0,0(f )x,0(f limx ∆-∆→∆=0; 同理f y (0,0)= 0;△z-dz=f(△x,△y)-f(0,0)-f x (0,0)△x-f y (0,0)△y=22yx y x ∆+∆∆∆.∵ρdz-z lim 0ρ∆→=220ρy x y x lim ∆+∆∆∆→不存在，即△z-dz 不是ρ的高阶无穷小量， ∴f 在原点不可微.定理17.2：(可微的充分条件)若函数z=f(x,y)的偏导数在点(x 0,y 0)的某邻域上存在，且f x 与f y 在点(x 0,y 0)连续，则函数f 在点(x 0,y 0)可微. 证：△z=f(x 0+△x,y 0+△y)-f(x 0,y 0)=[f(x 0+△x,y 0+△y)-f(x 0,y 0+△y)]+[f(x 0,y 0+△y)-f(x 0,y 0)]；即全增量等于两个偏增量的和. 对它们分别应用拉格朗日中值定理得： △z=f x (x 0+θ1△x,y 0+△y)△x+f y (x 0,y 0+θ2△y)△y, 0<θ1,θ2<1. (中值公式) ∵f x 与f y 在点(x 0,y 0)连续，∴f x (x 0+θ1△x,y 0+△y)=f x (x 0,y 0)+α, f y (x 0,y 0+θ2△y)=f y (x 0,y 0)+β, 其中当(△x,△y)→(0,0)时，α→0, β→0. ∴△z=f x (x 0,y 0)△x+f y (x 0,y 0)△y+α△x+β△y ，即f 在点(x 0,y 0)可微.注1：例2函数f(x,y)=x 3+2x 2y-y 3在点(1,3)可微，且df(1,3)=15dx-25dy ；例3函数z=x y 在D={(x,y)|x>0,- ∞<y<+∞}上可微，且dz=yx y-1dx+x y lnxdy. 注2：偏导数连续并不是函数可微的必要条件，如函数f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++0y x 00y x y x 1sin )y x (22222222，在原点(0,0)可微，但 f x 与f y 却在点(0,0)不连续. 若z=f(x,y)在点(x 0,y 0)的偏导数f x ,f y 连续，则称f 在(x 0,y 0)连续可微.定理17.3：(中值公式)设函数f 在点(x 0,y 0)的某邻域上存在偏导数，若(x,y)属于该邻域，则存在ξ=x 0+θ1(x-x 0)和η=y 0+θ2(y-y 0), 0<θ1,θ2<1，使得 f(x,y)-f(x 0,y 0)=f x (ξ,y 0)(x-x 0)+f y (x 0,η)(y-y 0).注：1、函数可微必连续，但连续不一定存在偏导数，也不一定可微. 如：函数f(x,y)=22y x +(圆锥)在原点连续，但在该点不存在偏导数； 2、函数在某一点存在对所有自变量的偏导数，不保证在该点连续，如：f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++0y x 00y x y x xy222222， 在原点不连续，但两个偏导数都为0.四、可微性几何意义及应用定义3：设P 是曲面S 上一点，T 为通过点P 的一个平面，曲面S 上的动点Q 到定点P 和到平面T 的距离分别为d 与h ，若当Q 在S 上以任何方式趋近于P 时，恒有dh→0，则平面T 为曲面S 到点P 处的切平面，P 为切点.定理17.4：曲面z=f(x,y)在点P(x 0,y 0,f(x 0,y 0))存在不平行于x 轴的切平面T 的充要条件是函数f 在点(x 0,y 0)可微.证：[充分性]若函数f 在点(x 0,y 0)可微，由定义知，△z=z-z 0=f x (x 0,y 0)(x-x 0)+f y (x 0,y 0)(y-y 0)+o (ρ)；ρ=2020)y -(y )x -(x +. 在过P 的平面T 上任取点(X,Y,Z)，若有Z-z 0=f x (x 0,y 0)(X-x 0)+f y (x 0,y 0)(Y-y 0)；则曲面上任一点Q(x,y,z)到这个平面的距离为： h=)y ,(x f )y ,(x f 1|)y -)(y y ,(x f -)x -)(x y ,(x f -z -z |002y002x000y 000x 0++=)y ,(x f )y ,(x f 1|) (ρ|002y002x++ο，又P 到Q 的距离为d=202020)z -(z )y -(y )x -(x ++=202)z -(z ρ+≥ρ. 由0≤dh <ρh =)y ,(x f )y ,(x f 11ρ|) (ρ|002y 002x ++ο→0, ρ→0，根据定义3知， 平面T 为曲面z=f(x,y)在点P(x 0,y 0,f(x 0,y 0))的切平面.[必要性]若曲面z=f(x,y)在点P(x 0,y 0,f(x 0,y 0))存在不平行于x 轴的切平面, 且Q(x,y,z)是曲面上任意一点，则点Q 到这个平面的距离为： h=22000B A 1|)y -B(y -)x -A(x -z -z |++，令△x=x-x 0,△y=y-y 0,△z=z-z 0,ρ=22y x ∆+∆.由切平面定义知,当Q 充分接近P 时,dh →0,∴对于充分接近P 的Q 有d h =22B A 1d |y B -x A -z |++∆∆∆<22BA 121++, 即 |△z-A △x-B △y|<2d=222z y x 21∆+∆+∆=22z ρ21∆+<21(ρ+|△z|)， 又|△z|-|A||△x|-|B||△y|≤|△z-A △x-B △y|<21(ρ+|△z|)，∴21|△z|<|A||△x|+|B||△又由ρ|z |∆<2(|A|ρ|x |∆+|B|ρ|y |∆)+1<2(|A|+|B|)+1知，ρ|z |∆有界，从而 由ρd =ρz ρ22∆+=2ρz 1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+<1+ρz ∆<2(|A|+|B|+1)知，ρd也有界. 于是，当ρ→0时，有ρ|y B -x A -z |∆∆∆=2222B A 1ρd B A 1d |y B -x A -z |++++∆∆∆=22B A 1ρdd h ++→0,ρ→0， 即△z= A △x|+B △y+o (ρ)，即函数z=f(x,y)在点(x 0,y 0)可微.注：定理17.4说明，若函数f 在点(x 0,y 0)可微，则曲面z=f(x,y)在点P(x 0,y 0,f(x 0,y 0))的切平面方程为：z-z 0=f x (x 0,y 0)(x-x 0)+f y (x 0,y 0)(y-y 0)， 过切点P 与切平面垂直的直线称为曲面在点P 的法线. 由切面方程知，法线的方向数为：±(f x (x 0,y 0),f y (x 0,y 0),-1)，即 过切点P 的法线方程为：)y ,(x f x -x 00x 0=)y ,(x f y -y 00x 0=1-z -z 0.二元函数全微分的几何意义如图所示： 当自变量x,y 的增量分别为△x,△y 时， 函数z=f(x,y)的增量△z 是竖坐标上的一段NQ ， 而二元函数z=f(x,y)在点(x 0,y 0)的全微分 dz=f x (x 0,y 0)△x+f y (x 0,y 0)△y 的值是过点P 的切平面PM 1MM 2上相应的增量NM ， 于是△z 与dz 之差MQ 的值随着ρ→0而趋于零， 而且是较ρ高阶的无穷小量.例6：试求抛物面z=ax 2+by 2在点M(x 0,y 0,z 0)的切平面方程与法线方程. 解：∵f x (x 0,y 0)=2ax 0, f y (x 0,y 0)=2by 0, ∴在点M(x 0,y 0,z 0)的切平面方程为： z-z 0=2ax 0(x-x 0)+2by 0(y-y 0)，即z=2ax 0x+2by 0y-z 0-z=0； 在点M(x 0,y 0,z 0)的法线方程为：002ax x -x =002by y -y =1-z -z 0.例7：求1.083.96的近似值.解：设f(x,y)=x y , 令x 0=1, y 0=4, △x=0.08, △y=-0.04, 则 1.083.96=f(x 0+△x,y 0+△y)≈f(1,4)+f x (1,4)△x+f y (1,4)△y =1+4×0.08+0×(-0.04)=1.32.例8：应用公式S=21absinC 计算某三角形面积，现测得a=12.50, b=8.30,C=30⁰，若测量a,b 的误差为±0.01，C 的误差为±0.1⁰，求用此公式计算三角形面积时的绝对误差限与相对误差限. 解：依题意，测量中a,b,C 的绝对误差限分别为：|△a|=0.01, |△b|=0.01, |△C|=0.1⁰=08001π. ∴S 的绝对误差限分别为： |△S|≈|dS|=a a S ∆∂∂+b b S∆∂∂+C C S ∆∂∂≤a a S ∆∂∂+b b S ∆∂∂+C C S ∆∂∂=21|bsinC||△a|+21|asinC||△b|+21|abcosC|≈0.13. 又S=21absinC ≈25.94，∴S 的相对误差限为：SS ∆≈25.9413.0≈0.5%.习题1、求下列函数的偏导数： (1)z=x 2y ；(2)z=ycosx ；(3)z=22y x 1+；(4)x=ln(x 2+y 2)；(5)z=e xy ；(6)z=arctan x y ；(7)z=xye sin(xy)；(8)u=x y +y z -zx ；(9)u=(xy)z ；(10)u=zy x .解：(1)z x =2xy; z y =x 2. (2)z x =-ysinx; z y =cosx.(3)z x =322)y (x x +-; z y =322)y (x y +-.(4)z x =22y x x 2+; z y=22y x y2+. (5)z x =ye xy ; z y =xe xy . (6)z x =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+22x y 1x x-=22y x x -+; z y =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+2x y 1x 1=22yx x +. (7)z x =ye sin(xy)+xy 2e sin(xy)cos(xy); z y =xe sin(xy)+x 2ye sin(xy)cos(xy). (8)u x =-2x y -z 1; u y =x 1-2y z ; u z =y 1+2zx. (9)u x =yz(xy)z-1; u y =xz(xy)z-1; u z =(xy)z ln(xy). (10)u x =y z1y z x -; u y =zy z-1zy x lnx; u z =y zzy x lnx·lny.2、设f(x,y)=x+(y-1)arcsinyx，求f x (x,1). 解：∵f(x,1)=x ，∴f x (x,1)=1.3、设f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++0y x 00y x yx 1ysin 222222，，考察f 在原点(0,0)的偏导数. 解：∵x)0,0(f )x,00(f lim0x ∆-∆+→∆=x 00lim 0x ∆-→∆=0，∴f x (0,0)=0；又y )0,0(f )y ,00(f lim 0y ∆-∆+→∆=20y y)(1sin lim ∆→∆不存在，f y (0,0)不存在.4、证明函数z=22y x +在点(0,0)连续，但偏导数不存在.证：∵22)0,0()y x,(y x lim +→=0=z(0,0)，∴z=22y x +在点(0,0)连续. 又x)0,0(f )x,00(f lim0x ∆-∆+→∆=x |x |lim 0x ∆∆→∆，y )0,0(f )y ,00(f lim 0y ∆-∆+→∆=x |x |lim0x ∆∆→∆， 即两个极限都不存在，∴两个偏导数都不存在.5、考察函数f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++0y x 00y x yx 1xysin 222222，在点(0,0)的可微性. 解：∵x)0,0(f )x,00(f lim 0x ∆-∆+→∆=x 00lim 0x ∆-→∆=0，∴f x (0,0)=0；同理f y (0,0)=0；又ρy)0,0(f -x )0,0(f f y x ∆∆-∆=2222y)(x)(1siny)(x)(y x ∆+∆∆+∆∆∆≤2222y)(x)(2y)(x)(∆+∆∆+∆=2y)(x)(22∆+∆→0,ρ→0，∴f 在点(0,0)可微.6、证明函数f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++0y x 00y x y x y x 2222222，在点(0,0)连续且偏导数存在，但在此点不可微.证：∵222yx y x +≤2xy y x 2=2x→0,(x,y)→0，即)0,0()y x,(lim →f(x,y)=0=f(0,0)，∴f 在点(0,0)连续. 又x )0,0(f )x,00(f lim0x ∆-∆+→∆=x 00lim 0x ∆-→∆=0，y )0,0(f )y ,00(f lim 0y ∆-∆+→∆=x 00lim 0x ∆-→∆=0， ∴f x (0,0)=0; f y (0,0)=0. 但ρy)0,0(f -x )0,0(f f y x ∆∆-∆=3222]y)(x)[(y x)(∆+∆∆∆. 当△x=△y 时，3222]y)(x)[(y x)(∆+∆∆∆=81，当y=0时，3222]y)(x)[(yx)(∆+∆∆∆=0.∴ρy)0,0(f -x )0,0(f f lim y x 0ρ∆∆-∆→不存在，∴f 在点(0,0)不可微.7、证明函数f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++0y x 00y x y x 1sin )y x (22222222，在点(0,0)连续且偏导数存在，但偏导数在点(0,0)不连续，而f 在点(0,0)可微. 证：∵2222y x 1sin)y x (++≤x 2+y 2→0,(x,y)→0，即)0,0()y x,(lim →f(x,y)=0=f(0,0)，∴f 在点(0,0)连续.当x 2+y 2≠0时，f x (x,y)=2xsin 22yx 1+-22y x x +cos 22y x 1+， ∵)0,0()y x,(lim →2xsin 22yx 1+=0，而)0,0()y x,(lim→22yx x +cos22yx 1+不存在，∴)0,0()y x,(lim →f x (x,y)不存在，即f x (x,y)在点(0,0)不连续， 同理f x (x,y)在点(0,0)不连续. 但x)0,0(f )x,00(f lim 0x ∆-∆+→∆=x 1x sin lim 0x ∆∆→∆=0，∴f x (0,0)=0;同理f y (0,0)=0. ∴ρy)0,0(f -x )0,0(f f y x ∆∆-∆=222222y)(x)(1siny)(x)(y)(x)(∆+∆∆+∆∆+∆≤22y)(x)(∆+∆→0,ρ→0，∴f 在点(0,0)可微.8、求下列函数在给定点的全微分： (1)z=x 4+y 4-4x 2y 2在点(0,0), (1,1)；(2)z=22yx x +在点(1,0),(0,1).解：(1)∵z x =4x 3-8xy 2，z y =4y 3-8x 2y 在(0,0)和(1,1)都连续，∴z 在(0,0)和(1,1)都可微；又z x (0,0)=0, z y (0,0)=0; z x (1,1)=-4, z y (1,1)=-4;∴dz|(0,0)=0；dz|(1,1)=-4(dx+dy).(2)∵z x =2222222yx y x x y x ++-+=3222)y (x y +在(1,0)和(0,1)都连续；z y =2222yx y x xy ++-=322)y (x xy -+在(1,0)和(0,1)也都连续；∴z 在(1,0)和(0,1)都可微；又z x (1,0)=0, z y (1,0)=0; z x (0,1)=1, z y (0,1)=0; ∴dz|(1,0)=0；dz|(0,1)= dx.9、求下列函数的全微分：(1)z=ysin(x+y)；(2)u=xe yz +e -z +y. 解：(1)∵z x =ycos(x+y), z y =sin(x+y)+ycos(x+y)在R 2上都连续， ∴z 在R 2上可微；且dz=ycos(x+y)dx+[sin(x+y)+ycos(x+y)]dy. (2)∵u x =e yz , u y =xze yz +1, u z =xye yz -e -z 在R 3上都连续， ∴u 在R 3上可微；且dz=e yz dx+(xze yz +1)dy+(xye yz -e -z )dz.10、求曲面z=arctan xy 在点(1,1,4π)的切平面方程和法线方程. 解：∵z 在(1,1)处可微，∴切平面存在. 又z x (1,1)=-21,z x (1,1)=21， ∴切平面方程为-21(x-1)+21(y-1)-(z-4π)=0，即x-y+2z=2π;法线方程：21-1-x =211-y =14π-z -，即2(1-x)=2(y-1)=4π-z.11、求曲面3x 2+y 2-z 2=27在点(3,1,1)的切平面与法线方程.解：3x 2+y 2-z 2=27两边对x 微分得：6x-2z·z x =0，∴z x =3x 1z 2z6x ===9;3x 2+y 2-z 2=27两边对y 微分得：2y-2z·z y =0，∴z y =1x 1z 2z2y===1;∴切平面方程为9(x-3)+(y-1)-(z-1)=0，即9x+y-z-27=0; 法线方程：93-x =11-y =11-z -，即x-3=9(y-1)=9(1-z).12、在曲面z=xy 上求一点，使这点的切平面平行于平面x+3y+z+9=0, 并写出该切平面方程和法线方程.证：设该点为(x 0,y 0,x 0y 0)，∵z x (x 0,y 0)=y 0; z y (x 0,y 0)=x 0；∴切平面方程为y 0(x-x 0)+x 0(y-y 0)-(z-x 0y 0)=0，即y 0x+x 0y-z-x 0y 0=0; 由切平面平行于平面x+3y+z+9=0知，y 0=-1; x 0=-3. ∴该点切平面方程为-x-3y-z-3=0，即x+3y+z+3=0. 由00y x -x =00x y -y =1-y x -z 00得1-3x +=3-1y +=1-3-z . ∴该切平面的法线方程为： 3(x+3)=y+1=3(z-3).13、计算近似值：(1)1.002×2.0032×3.0043；(2)sin29⁰·tan46⁰.解：(1)设u=xy 2z 3; x 0=1,y 0=2,z=3; △x=0.002, △y=0.003, △z=0.004；则 u(1,2,3)=108; u x (1,2,3)=108; u y (1,2,3)=108; u z (1,2,3)=108.由u(1.002,2.003,3.004)=u(1,2,3)+u x (1,2,3)△x+u y (1,2,3)△y+u z (1,2,3)△z, 得1.002×2.0032×3.0043≈108(1+0.002+0.003+0.004)=108.972. (2)设z=sinxtany; x 0=6π,y 0=4π; △x=-180π, △y=180π；则 z(6π,4π)=21;z x (6π,4π)=tan 4πcos 6π=23; u z (6π,4π)=sin 6πsec 24π=1;∴sin29⁰·tan46⁰≈21-23×180π+180π≈0.5023.14、设圆台上下底的半径分别为R=30cm, r=20cm, 高h=40cm. 若R,r,h 分别增加3mm,4mm,2mm ，求此圆台体积变化的近似值. 解：圆台体积为：V(R,r,h)=3πh(R 2+Rr+r 2), ∴V R (30,20,40)=3π(2×40×30+40×20)=33200π, V r (30,20,40)=3π(2×40×20+40×30)=32800π, V h (30,20,40)=3π(302+30×20+202)=31900π, 当△R=0.3,△r=0.4,△h=0.2时， △V ≈33200π×0.3+32800π×0.4+31900π×0.2=820π≈2576(cm 3). ∴此圆台体积约增加了2576cm 3.15、证明：若二元函数f 在点P(x 0,y 0)的某邻域U(P)上的偏导函数f x 与f y 有界，则f 在U(P)上连续.证：∵f x ,f y 在U(P)有界, 设此邻域为U(P;δ1)，则 存在M>0, 使|f x |<M, |f y |<M 在U(P;δ1)内成立. 又|△f|=|f(x+△x,y+△y)-f(x,y)|=|f x (x+θ1△x,y+△y)△x+f y (x,y+θ2△y)△y| ≤M|△x |+M|△y|, ∴∀ε>0, ∃δ=min{δ1,1)2(M ε}, 使当|△x |<δ,|△y |<δ时，就有|f(x+△x,y+△y)-f(x,y)|< ε,∴f 在U(P; δ)上连续.16、设二元函数f 在区域D=[a,b]×[c,d]上连续. (1)若在intD 内有f x ≡0，试问f 在D 上有何特性？ (2)若在intD 内有f x =f y ≡0，f 又怎样？(3)在(1)的讨论中，关于f 在D 上的连续性假设可否省略？长方形区域可否改为任意区域？解： (1)f(x,y)=φ(y). 即函数值与x 无关. 理由如下： 对intD 内任意两点(x 1,y),(x 2,y)，由中值定理知： f(x 2,y)-f(x 1,y)=f x (x+θ(x 2-x 1),y)(x 2-x 1)=0，即f(x 2,y)=f(x 1,y)， 由(x 1,y),(x 2,y)的任意性知，f(x,y)=φ(y).(2)若在intD 内有f x =f y ≡0，则f(x,y)=常数，即函数值与x,y 无关. 证： 对intD 内任意两点(x 1,y 1),(x 2,y 2)，由中值定理知存在 ξ=x 1+θ1(x 2-x 1), η=y 1+θ2(y 2-y 1)，使得f(x 2,y 2)-f(x 1,y 1)=f x (ξ,y 2)(x 2-x 1)+f x (x 1,η)(y 2-y 1)，∵f x =f y ≡0，∴f(x 2,y 2)≡f(x 1,y 1). 由(x 1,y 1),(x 2,y 2)的任意性知，f(x,y)=常数.(3)(1)中关于f 在D 上的连续性假设不能省略，否则不一定成立.例如，在矩形区域D=⎢⎣⎡-23,⎥⎦⎤23×[0,2]上二元函数f(x,y)=⎩⎨⎧>>中其它部分D 00y 0,x y 3，在intD 内，f x ≡0，但不连续，f(1,1)=1; f(-1,1)=0， 显然f 与x 有关，结论不成立.(1)中长方形区域不能改为任意区域，否则不一定成立.例如，设I={(x,y)|x=0,y ≥0}, D=R 2-I ，则二元函数f(x,y)=⎩⎨⎧>>中其它部分D 0y 0,x y 3， 在D 上连续，且f x ≡0，但f(1,1)=1; f(-1,1)≡0， 即f 与x 有关，结论不成立.17、试证在原点(0,0)的充分小邻域内，有arctan x y1yx ++≈x+y. 证：设f(u,v)=arctan uv1vu ++，u 0=0,v 0=0,△u=x,△v=y ，则 arctanx y1yx ++≈f(u 0,v 0)+f u (u 0,v 0)△u+f v (u 0,v 0)△v ，其中 f(u 0,v 0)=arctan0=0, f u (u 0,v 0)=f v (u 0,v 0)=1，∴arctan x y1yx ++≈△u+△v=x+y.18、求曲面z=4y x 22+与平面y=4的交线在x=2处的切线与Ox 轴的交角.解：∵z x (2,4)=2x|x=2=1；∴切线与Ox 轴的交角为arctan1=4π.19、试证(1)乘积的相对误差限近似于各因子相对误差限之和； (2)商的相对误差限近似于分子和分母相对误差限之和. 证：(1)设u=xy, 则du=ydx+xdy ，∴u u ∆≈u du =y dy x dx +≤x dx +ydy. (2)设v=yx , 则dv=y dx -2y xdy，∴v v ∆≈v dv =y dy x dx -≤x dx +ydy .20、测得一物体的体积V=4.45cm 3, 其绝对误差限为0.01cm 3;又测得重量W=30.80g,其绝对误差限为0.01g. 求由公式d=VW算出的密度d 的相对误差限和绝对误差限. 解：|△d|≈|d W ·△W+d v ·△V|=V VW V W 2∆-∆=01.045.430.804.4501.02⨯-≈0.017. 方法一：d d ∆=W d V ∆=30.80017.045.4⨯≈0.25%； 方法二：d d ∆≈W dW +VdV ≈0.032%+0.225%≈0.26%； ∴密度d 的相对误差限为约0.25%(或0.26%)，绝对误差限为0.017.。
