傅立叶级数的指数形式(图)

傅立叶级数的指数形式（图）
上一回说到，利用傅立叶级数（Fourier Series，简称FS）这个数学法宝，可以将一般的周期信号分解为直流成分、基波和无穷多个高次谐波成分的叠加，从而方便地确定其频谱。

但上述的傅立叶级数表达式只是傅立叶级数的三角形式，在实用中还有傅立叶级数的指数形式，本文介绍。

一、傅立叶级数的三角形式
对于一个周期为T的周期函数f T（t），在一定条件下可以在连续点t处展开为傅立叶级数的三角形式，即：
（1）其中ω1=2π/T为周期函数的圆频率，也就是信号的基频；傅立叶系数分别为
（2）
（3）
（4）在信号分析理论中a0叫做直流分量，a n叫做余弦分量系数，b n叫做正弦分
量系数。

二、傅立叶级数的指数形式
根据欧拉公式有
（5）其中j为虚数单位，即
（6）不难从傅立叶级数的三角形式导出傅立叶级数的指数形式：
（7）其中傅立叶系数一般为复数
（8）
三、傅立叶级数的指数形式与三角形式的关系
根据欧拉公式由式（7）有
（9）不难看出傅立叶级数的指数形式与三角形式可以描述同一个周期信号，只是数学形式不同而已。

其中两种形式的傅立叶系数关系如下：
（10）或
（11）可以看出傅立叶级数的指数形式中的傅立叶系数不再是实数，而是复数。

四、周期信号的频谱分析
从傅立叶级数的指数形式也可以进行频谱分析。

由式（9）得
（12）可知，周期函数f T（t）包含的直流分量为
（13）基波分量的振幅为
（14）基波初相位为
各高次谐波分量的振幅为
（16）各高次谐波分量的初相位为
（17）这样，周期信号f T（t）的振幅频谱函数可表示为
（18）
五、为什么需要傅立叶级数的指数形式？
实际上，如果考虑信号的双边频谱，用傅立叶级数的指数形式更方便。

在双边频域（∞，－∞）内，周期信号的频谱函数就是傅立叶系数，即
（19）傅立叶系数一般为复数，可写成
（20）其模就是双边的振幅频谱
其幅角φn就是双边频率各次谐波成分的初相位，其中n为整数。

再看看傅立叶级数的指数形式可写成
（22）其数学含义就是说，一般周期信号可以分解为无穷多个离散频率分量的叠加，各分量的频率是基频的整数倍，振幅是傅立叶系数C n的复模，初相位是傅立叶
系数C n的幅角。

注意：当n=0时傅立叶系数C0为大于或等于0的实数，其代表的成分就是周期信号的直流分量；当n=±1时所代表的双边频率成分就是周期信号的基波分量；而其余各对双边频率成分就是周期信号的各个高次谐波分量。

可见采用指数形式的傅立叶级数，分析周期信号的频谱更为直截了当。

六、周期矩形脉冲信号的频谱分析
例如：前面讲过的周期矩形脉冲信号，波形如下图：
图1 周期矩形脉冲的时域波形
可根据傅立叶级数的指数形式，直接求其双边频谱函数为
（23）其中
（24）称之为抽样函数或Sa（x）函数，是信号分析技术中非常有用的函数，其图象如下：
图2 抽样函数的图象
由上可知，周期矩形脉冲信号的双边频谱函数的模为
（25）其双边振幅频谱如下图所示：
图3 周期矩形脉冲函数的双边振幅频谱
频谱函数的幅角，即各次谐波分量的初相位为
（26）相位频谱如下图：
图4 周期矩形脉冲信号的相位频谱
可以看出，对于一个以T为周期的周期矩形脉冲信号f T（t），可以利用傅立叶级数的指数形式方便地分析出其离散频谱。

基频ω1越低（即周期T越长），或脉冲宽度τ越小，其频谱的谱线越密。

上述的就是周期信号的傅立叶分析方法。

那么对于非周期信号如何分析其频谱呢？且听下回分解。

（作者：周法哲2009-7-5于广东中山）。