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第三章 傅里叶变换3.1周期信号的傅里叶级数分析（一） 三角函数形式的傅里叶级数满足狄利赫里条件的周期函数()f t 可由三角函数的线性组合来表示，若()f t 的周期为1T ，角频率112T πω=，频率111f T =，傅里叶级数展开表达式为()()()0111cos sin n n n f t a a n t b n t ωω∞==++⎡⎤⎣⎦∑各谐波成分的幅度值按下式计算()0101t T t a f t dt T +=⎰()()0112cos t T n t a f t n t dt T ω+=⎰()()01012sin t T n t b f t n t dt T ω+=⎰其中1,2,n =⋅⋅⋅狄利赫里条件：（1） 在一个周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个；（2） 在一个周期内，极大值和极小值的数目应是有限个； （3） 在一个周期内，信号是绝对可积的，即()00t T t f t dt +⎰等于有限值。
（二） 指数形式的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数展开也可以表示为指数形式，即()()11jn tnn f t F n eωω∞=-∞=∑其中()011011t T jn tn t F f t e dt T ω+-=⎰ 其中n 为从-∞到+∞的整数。
（三） 函数的对称性与傅里叶系数的关系（1） 偶函数由于()f t 为偶函数，所以()()1sin f t n t ω为奇函数，则()()01112sin 0t T n t b f t n t dt T ω+==⎰所以，在偶函数的傅里叶级数中不会含有正弦项，只可能含有直流项和余弦项。
（2） 奇函数由于()f t 为奇函数，所以()()1cos f t n t ω为奇函数，则()0100110t T t a f t dt T +==⎰()()010112cos 0t T n t a f t n t dt T ω+==⎰ 所以，在奇函数的傅里叶级数中不会含有直流项和余弦项，只可能包含正弦项（3） 奇谐函数（()12T f t f t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭）半波对称周期函数的傅里叶级数中，只会含有基波和奇次谐波的正、余弦项，而不会含有偶次谐波项，这也是奇谐函数名称的由来。
傅里叶级数原理1. 简介傅里叶级数原理是分析不规则周期信号最重要的工具之一。
在数学、物理、工程等领域中广泛应用。
它的核心思想是：任何周期信号都可以表示为一系列基频为整数倍的正弦和余弦函数叠加而成。
这些正弦和余弦函数在傅里叶级数中被称为谐波分量。
2. 傅里叶级数的定义设周期为T的函数f(t)在一个周期内满足可积且连续，则它可以表示为以下形式的级数：f(t)=a0/2+ Σ [an*cos(nωt)+bn*sin(nωt)]其中，ω=2π/T，an和bn是傅里叶系数，a0/2是等于f(t)在一个周期内的平均值。
可以看出，f(t)的傅里叶级数展开式是一组带有不同频率的正弦和余弦函数的和。
3. 傅里叶级数的意义通过傅里叶级数展开式，我们可以得到一个正弦和余弦函数的频域图像。
从这个频域图像中，我们可以得到一些信息，比如信号中哪些频率成分占比较高，哪些成分占比较低。
甚至可以根据这些信息对原始信号进行重建或修正。
具体地说，如果从一个连续不依赖于时间的物理现象中获得一段周期数据，那么可以通过法力级数的计算来确定信号包含的基本频率，并且据此对信号进行频谱分析。
频谱分析可以帮助我们更好地理解和利用信号，比如音频和视频信号的处理。
4. 傅里叶级数的应用在数学中，可以用傅里叶级数来解决微分方程的边界条件问题、傅里叶级数的离散化应用——快速傅里叶变换在信号处理中大量应用，还可以用于数值匹配。
在物理学中，傅里叶级数主要应用于波的传播和放大中，可以确定波的频率，方法是通过光谱来确定。
在光学领域中，傅里叶级数被广泛应用于计算机成像，用于抵消扰动、组合图像等。
在工程实践中，傅里叶级数也具有重要的应用价值。
特别是对于电子和通信工程师来说，傅里叶级数和傅里叶变换是必不可少的工具。
它们可用于信号处理、控制、数据分析和通信等领域。
傅里叶级数的应用不仅局限于上述领域，在音乐节拍分析、图像处理、机器学习等领域中都得到广泛应用。
5. 总结无论是在理论研究还是在工程实践中，傅里叶级数都是一个非常重要的工具。
数学分析2部分习题解析傅里叶级数部分第3节部分习题1、设f 以2π为周期且具有二阶连续的导数，证明f 的傅里叶级数在(),-∞+∞上一致收敛于f 。
证明由条件知，f 一定是以2π为周期的连续函数且在一个周期区间[],ππ-上按段光滑，所以由收敛定理得，在(),-∞+∞上有()011cos sin ()2n n n a a nx b nx f x ∞=++=∑，其中0a ，n a ，n b （1n ≥）为()f x 的傅里叶系数。
由三角级数一致收敛的判别法，下证()0112n n n a a b ∞=++∑收敛即可。
事实上，记0a '，n a '，nb '为导函数()f x '的傅里叶系数，由()f x 与()f x '的傅里叶系数的关系得0a '=，n n a nb '=，n n b na '=-。
所以，()()22211112n n n n n n a b b a a b n n n ⎛⎫''''+=+≤++ ⎪⎝⎭。
又由傅里叶系数满足的贝塞尔不等式得，()()()221nn n a b ∞=''+∑收敛，再注意到211n n∞=∑收敛，所以()0112n n n a a b ∞=++∑收敛，故结论成立。
2、设f 为[],ππ-上的可积函数，证明：若f 的傅里叶级数在[],ππ-上一致收敛于f ，则成立帕塞瓦尔等式：()22220111()d 2n n n f x x a a b πππ∞-==++∑⎰，其中0a ，n a ，n b （1n ≥）为()f x 的傅里叶系数。
证明由f 在[],ππ-上可积得，f 在[],ππ-上有界，从而由题设可得()2011()()cos ()sin ()2n n n a f x a f x nx b f x nx f x ∞=++=∑，在[],ππ-上一致成立。
傅里叶级数通俗解析傅里叶级数本文意在阐述傅里叶级数是什么，如何通过数学推导得出，以及傅里叶级数代表的物理含义。
1. 完备正交函数集要讨论傅里叶级数首先得讨论正交函数集。
如果n 个函数φ1 t , φ2 t , …, φn t 构成一个函数集，若这些函数在区间 t1, t2 上满足φi t φj t dt=t1t20 ,i≠j (1)Ki ,i=j如果是复数集，那么正交条件是∗ φi t φjtdt= t1t20 ,i≠j (2)Ki ,i=jφ∗j t 为函数φj t 的共轭复函数。
有这个定义，我们可以证明出一些函数集是完备正交函数集。
比如三角函数集和复指数函数集在一个周期内是完备正交函数集。
先证明三角函数集：设φn t =cos nωt，φm t =cos mωt, 把φn t ，φm t 代入(1)得t0+Tt0φi t φj t dt=t0+Tcos nωtcos mωt dtt0当n ≠m时=2 t0+T cos n+m ωt+cos n−m ωt dt1t=21sin n+m ωt(n+m)ω+sin n−m ωtt0+T(n−m) ωt0=0 (n,m=1,2,3,…,n ≠m) 当n=m时=2 t0+Tcos2nωt dt1t=2T再证两个都是正弦的情况设φn t =sin nωt，φm t =sin mωt, 把φn t ，φm t 代入(1)得 t0+Tt0φi t φj t dt=t0+Tsin nωtsin mωt dtt0当n ≠m时=2 t0+T cos n+m ωt−cos n−m ωt dt1t=21sin n+m ωt(n+m)ω−sin n−m ωtt0+T(n−m) ωt0=0 (n,m=1,2,3,…,n ≠m) 当n=m时=2 t0+Tcos2nωt dt1t=2最后证明两个是不同名的三角函数的情况设φn t =cos nωt，φm t =sin mωt, 把φn t ，φm t 代入(1)得 t0+TTt0φi t φj t dt=11t0+Tcos nωtsin mωt dtt0t=2 t0+T sin n+m ωt−sin n−m ωt dt=2 −cos n+m ωt(n+m)ω+cos n−m ωtt0+T(n−m) ωt0=0 (n,m为任意整数)因为两个三角函数相乘只有以上三种情况：两个皆为余弦函数相乘；两个皆为正弦函数相乘；一个为正弦函数，另一个为余弦函数相乘；三种情况皆满足正交函数集的定义，所以三角函数集为正交函数集。
函数的广义傅里叶级数与分析引言广义傅里叶级数是傅里叶级数的一种推广，它允许函数在有限区间、整个实数轴或其他域上展开。
广义傅里叶级数在信号处理、热力学、量子力学等许多领域都有广泛的应用。
广义傅里叶级数的定义设f(x)是一个在区间I上可积的函数，则它的广义傅里叶级数为：f(x)=12a0+∑(a n cosnπxL+b n sinnπxL)∞n=1其中，L 是区间I 的长度，a0、a n 、b n 是傅里叶系数，由下式给出：a0=1L∫fI(x)dxa n=2L∫fI(x)cosnπxLdxb n=2L∫fI(x)sinnπxLdx广义傅里叶级数的收敛性广义傅里叶级数是否收敛取决于函数f(x)的性质。
如果f(x)在区间I上连续，则它的广义傅里叶级数在I上一致收敛。
如果f(x)在I上有有限个间断点，则它的广义傅里叶级数在I上逐点收敛。
广义傅里叶级数的应用广义傅里叶级数在信号处理、热力学、量子力学等许多领域都有广泛的应用。
•在信号处理中，广义傅里叶级数可以用来分析信号的频率成分。
•在热力学中，广义傅里叶级数可以用来求解热传导方程。
•在量子力学中，广义傅里叶级数可以用来求解薛定谔方程。
广义傅里叶级数与分析广义傅里叶级数是分析函数的一种重要工具。
它可以用来研究函数的性质，如函数的连续性、可导性、周期性等。
广义傅里叶级数还可以用来求解微分方程和积分方程。
结论广义傅里叶级数是傅里叶级数的一种推广，它允许函数在有限区间、整个实数轴或其他域上展开。
广义傅里叶级数在信号处理、热力学、量子力学等许多领域都有广泛的应用。
广义傅里叶级数也是分析函数的一种重要工具，它可以用来研究函数的性质，如函数的连续性、可导性、周期性等。
广义傅里叶级数还可以用来求解微分方程和积分方程。
