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高中数学必修5第一单元 解三角形【第一部分】基础知识提要1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b cA B C==.正弦定理推论：①2sin sin sin a b cR A B C===（R 为三角形外接圆的半径）②2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C === ③sin sin sin ,,sin sin sin a A b B a Ab Bc C c C===④::sin :sin :sin a b c A B C = ⑤sin sin sin sin sin sin a b c a b cA B C A B C++===++2、解三角形的概念：一般地，我们把三角形的各个角即他们所对的边叫做三角形的元素。
任何一个三角形都有六个元素：三条边),,(c b a 和三个内角),,(C B A .在三角形中，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。
3、正弦定理确定三角形解的情况 A为 锐4、任意三角形面积公式为：2111sin sin sin 2224()()()()2sin sin sin 2ABC abcS bc A ac B ab C Rrp p a p b p c a b c R A B C =====---=++= 1.1.2 余弦定理 5、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即2222cos a b c bc A =+-，2222cos b a c ca B =+-，2222cos c a b ab C =+-.余弦定理推论：222cos 2b c a A bc +-=，222cos 2a c b B ac +-=，222cos 2a b c C ab+-=6、不常用的三角函数值αcos426+ 426- 426+- 426+-αtan32- 32+ 32-- 32+-1.2 应用举例（浏览即可）1、方位角：如图1，从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角。
必修5 第一章 解三角形——高考一题通对教案的建议高考一题通是以“一题通”的方式对高中数学做更高层次的抽象概括，让学生进一步去感悟自己对数学知识的积累程度、理解程度、应用程度等方面的能力是否有所提高，所以，高考一题通更加注重平时的每一章节知识的教学效果，即没有较好的点滴积累过程，就不会有较好的一题通的教学效果和教学作用，高考一题通是通过对一道题的“变式探究”、“解法探究”以及推广问题的探究和通性通法的应用，来揭示或反映历届高考试题以及今后试题中所要或必须涉及到的试题题型以及解题方法和数学思想方法的应用程度，从而，达到提高学生分析问题的能力和解决问题的能力，让学生真正认知在数学中“合情推理，演绎推理”的思维方式是数学发展史中必需的思维方式，也是解答高考试题的核心思维方式，同时认知通性通法是解答高考试题的的通用方法，以及进一步让学生认识到掌握数学概念的重要性。
下面就解三角形的常规教案（后附）提出几点探讨性建议，仅供参考。
（一）课标要求方面在原有的基础上应增加一条：“在两个学习目标下让学生适当练习和强化特殊到一般的相关思维问题”如，教案中提到的下列问题：就是较好的教学方法。
[探索研究]在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin aA c =，sin bB c =，又sin 1cC c ==, 则sin sin sin a b cc A B C ===从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b cA B C == （由学生讨论、分析）（二）教学重点和难点方面常规教案为下列8个教案的重点和难点：1. 课题: §1．1．1正弦定理●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。
●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
第1课时解三角形应用举例—距离问题一、教材分析本课是人教B版数学必修5第一章解三角形中1.2的应用举例中测量距离(高度）问题。
主要介绍正弦定理、余弦定理在实际测量（距离、高度）中的应用。
因为在本节课前，同学们已经学习了正弦定理、余弦定理的公式及基本应用。
本节课的设计，意在复习前面所学两个定理的同时，加深对其的了解，以便能达到在实际问题中熟练应用的效果。
对加深学生数学源于生活，用于生活的意识做贡献。
二、学情分析距离测量问题是基本的测量问题，在初中，学生已经学习了应用全等三角形、相似三角形和解直角三角形的知识进行距离测量。
这里涉及的测量问题则是不可到达的测量问题，在教学中要让学生认识问题的差异，进而寻求解决问题的方法。
在某些问题中只要求得到能够实施的测量方法。
学生学习本课之前，已经有了一定的知识储备和解题经验，所以本节课只要带领学生勤思考多练习，学生理解起来困难不大。
三、教学目标（一）知识与技能能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量（距离、高度）有关的实际问题。
（二）过程与方法通过应用举例的学习，经历探究、解决问题的过程，让学生学会用正、余弦定理灵活解题，从而获得解三角形应用问题的一般思路。
（三）情感、态度与价值观提高数学学习兴趣，感知数学源于生活，应用于生活。
四、教学重难点重点：分析测量问题的实际情景，从而找到测量和计算的方法。
难点：测量方法的寻找与计算。
五、教学手段计算机，PPT，黑板板书。
六、教学过程（设计）情景展示，引入问题情景一：比萨斜塔（展示图片）师：比萨斜塔是意大利的著名建筑，它每年都会按照一定度数倾斜，但斜而不倒，同学们想一想，如果我们不能直接测量这个塔的高度，该怎么知道它的高度呢？情景二：河流、梵净山（展示图片）师：如果我们不能直接测量，该怎么得出河流的宽度和梵净山的高度呢？引入课题：我们今天就是来思考怎么通过计算，得到无法测量的距离（高度）问题。
知识扩展：简单介绍测量工具（展示图片）1 经纬仪:测量度数2卷尺：测量距离长．[分析]由余弦定理得cos∠＝100＋36－1962×10×6＝－∴∠ADC＝120°，∠在△ABD中，由正弦定理得sin∠ADB、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从[分析]如图，因为B A AA AB 11+=，又[分析] 分别在△BCD 出BD 和AD ，然后在△ADBBCD中用余弦定理求得BC.如下图，为了测量河宽，在岸的一边选定两点ACAB＝45°，∠CBA＝75°，________米．[分析]在△ABC中，∵∠CAB＝45°，∠ABC＝75°，ACB＝60°，由正弦定理可得AC＝AB·sin∠ABCsin∠ACB＝120×sin75°sin60°＝20(32＋，设C到AB的距离为CD，则CD＝AC·sin∠CAB＝2＋6)sin45°＝20(3＋3)，∴河的宽度为20(3＋3)米．五个量中，a，两个小岛相距10 n mile，从岛望C岛和A岛成岛之间的距离为________n＝45°，由正弦定理．如图，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定下列四组数据，测量时应当用数据( )[解析] 要测γ.2．某观察站C和500米，测得灯塔在观察站C正西方向，A．500米 BC．700米 D[解析]如图，由题意知，∠3002＋5002＋2×300七、板书设计八、教学反思1.本教案为解三角形应用举例，是对解三角形的较高的应用，难度相应的也有提高；例题选择典型，涵盖了解三角形的常考题型，突出了重点方法，并且通过同类型的练习进行巩固；课后通过基本题、模拟题和高考题对学生的知识掌握进行考查，使本节内容充分落实．教师要积极引导学生对这些应用问题进行探索，鼓励学生进行独立思考，并在此基础上大胆提出新问题．2.对于学生不知道如何处理的应用问题，教师通过转化，使学生能够理解，需要在练习中加强．。
解三角形的实际应用举例-北师大版必修5教案三角形是我们数学学习中最基础的概念之一。
在高中数学学习中，我们学习了如何求解各种各样的三角形问题，如计算三角形面积、周长、角度等。
然而，解三角形的实际应用远远不止于此。
本文将以北师大版必修5教案为例，介绍解三角形的实际应用。
教案概述北师大版必修5教案是高中数学课程中非常重要的一本教材，包含了从三角函数的基础概念到解决实际问题的深入内容。
其中，“解三角形”的部分是北师大版必修5教案中的重点内容之一。
该部分的主要内容包括：1.已知两边和夹角，求第三边和另外两个角度；2.已知两角和一边，求解三角形的另外两个角度和第三边；3.已知所有三边，求解三角形三个角度；4.利用三角函数计算角度或边的长度；这些内容为解决实际问题提供了基础。
接下来将通过实例来介绍解三角形的实际应用。
实例介绍实例一：给火箭升空指明方向假设有一台火箭，需垂直升空，现在需要设计一个控制系统，通过计算当前位置和目标位置的角度，来控制火箭升空的方向。
已知火箭需要在东经90度的位置升空，假设火箭所在的位置为A点（北经30度，东经60度），目标位置为B点（北纬50度，东经90度），如图所示：B(50,90)||||A(30,60)-------------控制系统需要计算出火箭当前位置与目标位置的角度，再使火箭向该方向垂直升空。
解决该问题可以使用三角函数中的正切函数来计算。
我们可以通过如下式子来计算出火箭所在位置与目标位置连线的斜率：k = tan((90-60)°) = tan(30°)其中，60度是A点所在的东经度数，90度是目标位置B点的东经度数。
那么，在A点，火箭需要垂直升空的角度即为：tan(θ) = k = tan(30°)θ = 30°所以，火箭需要向东北方向垂直升空。
实例二：计算山体高度有一个五角山，现在需要计算出山体的高度。
如图所示，A点表示测量点位置，B点表示山脚，C点表示山顶：C/ \\/ \\/ \\/ h \\/ \\B-------A---为了方便计算，我们可以先将三角形ABC投影到水平面，得到一个直角三角形ABC’。
6.解三角形的实际应用举例教学目标 班级：_____ 姓名：____________1.掌握利用正、余弦定理及其推论，掌握方位角，三角形面积计算等问题.2.了解数学建模思想，培养利用数学知识解决实际问题的能力.3.体会数学的实用性.教学过程一、航海问题.1.方位角的识别：（1）方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角.（2）方向角：从指定方向到目标方向线所成的角.例1：分别用方位角和方向角表示右图中A 、B 的方向.A 点：________________________________________B 点：________________________________________例2：甲船在A 点发现乙船在北偏东60的B 处，乙船以每小时10海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时310海里，问甲船应沿什么方向前进，才能最快与乙船相遇？练2：某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角 45，距离为10海里的C 处，并测得渔船正沿方位角为 105的方向，以10海里/小时的速度向小岛B 靠拢，我海军舰艇立即以310海里/小时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间.二、三角形的面积公式： 1.高底⨯⨯=21S ；（已知底和高）. 2.B ac A bc C ab S sin 21sin 21sin 21===；(已知两边及夹角) 例3：已知的面积为，且，则A=_________.练3：在ABC ∆中，已知23=a ，31cos =C ，34=∆ABC S ，求边b 的长.作业 1.一艘海轮从A 处出发，以40海里/小时的速度沿南偏东40方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向为南偏东 70，在B 处观察灯塔，其方向为北偏东 65，那么B 、C 之间的距离为多少？。
最新高中数学必修5《应用举例》教案高中数学必修5《应用举例》教案【一】教学准备教学目标解三角形及应用举例教学重难点解三角形及应用举例教学过程一. 基础知识精讲掌握三角形有关的定理利用正弦定理，可以解决以下两类问题：(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角;(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角);利用余弦定理，可以解决以下两类问题：(1)已知三边，求三角;(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。
掌握正弦定理、余弦定理及其变形形式，利用三角公式解一些有关三角形中的三角函数问题.二.问题讨论思维点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理解，但需注意解的情况的讨论.思维点拨：：三角形中的三角变换，应灵活运用正、余弦定理.在求值时，要利用三角函数的有关性质.例6：在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南方向300 km的海面P处，并以20 km / h的速度向西偏北的方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km / h的速度不断增加，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭。
一. 小结：1.利用正弦定理，可以解决以下两类问题：(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角;(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角);2。
利用余弦定理，可以解决以下两类问题：(1) 已知三边，求三角;(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。
3.边角互化是解三角形问题常用的手段.三.作业：P80 闯关训练高中数学必修5《应用举例》教案【二】教学准备教学目标1、应用正弦余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤及基本思路(1)分析，(2)建模，(3)求解，(4)检验;2、实际问题中的有关术语、名称：(1)仰角与俯角：均是指视线与水平线所成的角;(2)方位角：是指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角;(3)方向角：常见的如：正东方向、东南方向、北偏东、南偏西等;3、用正弦余弦定理解实际问题的常见题型有：.com测量距离、测量高度、测量角度、计算面积、航海问题、物理问题等;教学重难点1、应用正弦余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤及基本思路(1)分析，(2)建模，(3)求解，(4)检验;2、实际问题中的有关术语、名称：(1)仰角与俯角：均是指视线与水平线所成的角;(2)方位角：是指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角;(3)方向角：常见的如：正东方向、东南方向、北偏东、南偏西等;3、用正弦余弦定理解实际问题的常见题型有：测量距离、测量高度、测量角度、计算面积、航海问题、物理问题等;教学过程一、知识归纳1、应用正弦余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤及基本思路(1)分析，(2)建模，(3)求解，(4)检验;2、实际问题中的有关术语、名称：(1)仰角与俯角：均是指视线与水平线所成的角;(2)方位角：是指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角;(3)方向角：常见的如：正东方向、东南方向、北偏东、南偏西等;3、用正弦余弦定理解实际问题的常见题型有：测量距离、测量高度、测量角度、计算面积、航海问题、物理问题等;二、例题讨论一)利用方向角构造三角形四)测量角度问题例4、在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东。
《解三角形应用举例》教案（4）教学目标1．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用；2．通过综合训练强化学生的相应能力，让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三.3．进一步提高利用正弦定理、余弦定理解斜三角形的能力，提高运用数学知识解决实际问题的能力4．让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验.教学重点难点1．重点：推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目.2．难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题.教法与学法1．教法选择：教学形式采用自主探究与尝试指导相结合，引导学生通过分析实践、自主探究、合作交流得出转化问题方法.2．学法指导：学生通过数学建模，自主探究、合作交流，在实践中体验过程，在过程中感受应用，在交流中升华.教学过程一、设置情境，激发学生探索的兴趣三、思维拓展，课堂交流 3AB AC ⋅=．（II ）若b c +=，253AB AC ⋅=cos 3,A =bc ∴1sin 2bc A ==）对于5bc =，又5,1b c∴==或1,5b c==，由余弦定理得2222cos20a b c bc A=+-=，25a∴=四、归纳小结，课堂延展教学环节教学过程设计意图师生活动归纳小结利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状.特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用.回顾解斜三角形的一般题型，便于学生在复习中更深入的思考,更广泛的研究解三角形.由学生谈体会，师生共同归纳总结.巩固创新课堂延展1 .△ABC中，a=2bcosC，则此三角形一定是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形答案：A2．某城市有一条公路,自西向东经过A点到市中心O点后转向东北方向OB,现要修建一条铁路L,L在OA上设一站A,在OB上设一站B,铁路在AB部分为直线段,现要求市中心O与AB的距离为10 km,问把A、B分别设在公路上离中心O多远处才能使|AB|最短?并求其最短距离.(不要求作近似计算)答案：当AB分别在OA、OB上离O点既能保证全体学生的巩固应用，又兼顾学有余力的学生，同时将探究的空间由课堂延伸到课外.学生课下通过练习，巩固正余弦定理的理解.1．教材地位分析解三角形应用举例(4)是在学习了正弦定理、余弦定理的基础上安排的一节应用举例课程，是在学习了测量距离、高度、角度问题后，有了解三角形方法的初步体验，本节主要介绍了正弦定理和余弦定理在计算三角形面积、判断三角形形状、证明恒等式中的应用.本节课是解三角形应用举例第四阶段，为前面学习测量距离、高度、角度问题做了总结，是前面问题的进一步深化.2．学生现实状况分析通过正弦定理、余弦定理的学习，学生对解斜三角形已经有了直观地认识，能够从图形中找到解三角形的方法.但学生对正弦定理和余弦定理应用范围、应注意的问题缺乏清晰的概念.因此，本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型.另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解.只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点.。
《解三角形的实际应用举例》教学设计一、教材依据本节教材选自《普通高中课程标准实验教科书·数学(必修5)》(北师大版)，第58页第二章《解三角形》：第3小节《解三角形的实际应用举例》的第一课时。
二、设计思想【设计理念】理念之一是让学生体验应用正弦定理、余弦定理解决实际测量问题的历程。
首先，分析、探讨一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离如何测量，初步感受两个定理的应用；然后，分组探讨怎样测量两个不可到达的点之间的距离，体验合作、交流、成功的快乐。
理念之二是倡导学生自主探索、合作交流等学习数学的方式，培养学生分析问题、解决问题的能力以及交流合作的能力。
总之，本节课将充分体现以“学生为本”的教学观念，实现课程理念、教学方式和学生学习方式的转变。
【教材分析】“解三角形”既是高中数学的基本内容，又有较强的应用性，也是培养学生的应用意识，提高学生分析问题、解决问题的能力非常好的载体，教学中结合具体问题，教给学生解答应用题的基本方法、步骤和建模思想。
【学情分析】学生学习《解三角形的实际应用举例》之前，已经掌握了利用正、余弦定理解三角形的方法，具备一定的分析问题的能力；但学生应用数学的意识不强，创造能力较弱，往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，因此，小组讨论时学生必须在老师的指导下进行。
根据《普通高中数学课程标准(实验)》的指导思想，针对教材内容重难点和学生实际情况的分析，本节教学应该帮助学生解决好的问题是，将距离测量问题合理、正确的转化为解三角形问题。
三、教学目标（一）课标要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
（二）三维教学目标【知识与技能】通过对实例的解决，能够运用两个定理等解决两种类型的距离测量问题：一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离；两个不可到达的点之间的距离。
【过程与方法】经历将距离测量问题转化为解三角形问题的过程，认识实际应用问题的研究方法：分析——建模——求解——检验。
高中数学 第2章 解三角形小结导学案北师大版必修5【学习目标】1、通过对任意三角函数边与角度的探索，掌握正弦定理、余弦定理并能解决一些简单的三角形度量问题。
2、能运用正弦定理、余弦定理解决一些计算和测量有关的实际问题 【学习重点】正弦定理、余弦定理【学法指导】阅读课本15-17页内容，结合导学案，要求在30分钟内独学至课内探究。
2、请写出余弦定理及其变形3、请写出三角形面积公式（一） 学习探究（1）(A)在ABC ∆中，45B =，60C =，1c =，求最短边的边长 。
（2）(A)求边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和。
变式、（1）在ABC ∆中，已知2=b ，︒=30B ，︒=135C ，求a 的长个 性 笔 记（2）(B)在ABC ∆中，AB=3，AC=2，BC=10，则AB AC ⋅= ( )A ．23-B ．32- C ．32 D ．23三角形面积例2、(B)在∆A B C 中，s i n c o s A A +=22，A C =2，A B =3，求A tan 的值和∆A B C 的面积。
正、余弦定理判断三角形形状3在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形变式、（1）(A)在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin +=，判断ABC ∆的形状变式、（2）(C)在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+判断△ABC 的形状正、余弦定理实际应用1、(B)如图一个三角形的绿地ABC ，AB 边长7米，由C 点看AB 的张角为45，在AC 边上一点D 处看AB 得张角为60，且2AD DC =，试求这块绿地得面积。
变式、(C)货轮在海上A 点处以30 n mile/h 的速度沿方向角（指北方向顺时针转到方向线的水平角）为1500的方向航行，半小时后到达B 点，在B 点处观察灯塔C 的方向角是900， 且灯塔C 到货轮航行方向主最短距离为310 n mile ，求点A 与灯塔C 的距离。
课题: 2.3.1解三角形的实际应用举例编制人：徐海军 审核： 领导签字：【使用说明】1.请同学们认真阅读课本，划出重要知识，并熟记基础知识，用红颜色笔做好疑难标记。
2.联系课本知识和学过的知识，利用自习时间认真限时完成此训练学案，要特别注意解题的方法和规范性。
3. 根据自身特点选择提升自身能力的侧重点。
4.小组长在课堂上讨论环节发挥引领作用，确保人人达到目标。
【学习目标】知识与技能：了解斜三角形在测量、工程、航海等实际问题中的应用；能选择正弦定理、余弦定理解决与三角形有关的实际问题。
过程与方法：在解三角形的实际问题中，进一步体会数学建模的思想，掌握数学建模的方法。
. 情感态度价值观：体会数学知识来源于实际生活，体会正弦定理、余弦定理在实际生活中的广泛应用.重 点：构建数学模型，解决实际问题。
难 点：数学建模的过程及解三角形的运算。
一、问题导学 1、正弦定理：2sin sin sin a b c R ABC===2、余弦定理：2222cos a b c bc A =+- ； 变形：bcac b A 2cos 222-+==2b=2c3、面积公式： 在ABC Rt ∆中=S 在一般三角形中=S二、课内探究1、从地平面A ，B ，C 三点测得某山顶的仰角均为 15，设 30=∠BAC ，而BC=200m 。
求山高（结果精确到0.1m ）2、如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量。
已知AB=50m,BC=120m ，于A 处测得水深AD=80m ，于B 处测得水深BE=200m ，于C 处测得CF=110m ，求DEF ∠的余弦值。
解：作DM//AC 交BE 于N ，交CF 于M 。
29810170302222=+=+=DM MF DF 130120502222=+=+=ENDNDE.15012090)(2222=+=+-=BCFC BE EF在DEF ∆中，由余弦定理，EFDE DFEFDEDEF ⨯-+=∠2cos 222.6516150130229810150130222=⨯⨯⨯-+=.3、某观测站C 在A 城的南偏西20°的方向.由A 城出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C 处测得公路上B 处有一人距C 为31千米正沿公路向A 城走去，走了20千米后到达D 处，此时CD 间的距离为21千米，问这人还要走多少千米才能到达A 城？ 解： 设∠ACD=α，∠CDB=β. 在△BCD 中，由余弦定理得 cos β=CDBD CBCDBD⋅-+2222=21202312120222⨯⨯-+=-71，则sin β=734,而sin α=sin(β-60°)=sin βcos60°-cos βsin60°=734×21+23×71=1435,在△ACD 中，由正弦定理得︒60sin 21=αsin AD ,∴AD=︒60sin sin 21α=23143521⨯=15(千米).4、如图所示，已知半圆的直径AB=2，点C 在AB 的延长线上，BC=1，点P 为半圆上的一个动点，以DC 为边作等边△PCD ，且点D 与圆心O 分别在PC 的两侧，求四边形OPDC 面积的最大值. 解：POC 中，由余弦定理得PC 2=OP 2+OC 2-2OP ·OCcos θ=5-4cos θ. ∴y=S △OPC +S △PCD =21×1×2sin θ+43(5-4cos θ)=2sin(θ-3π)+435.∴当θ-3π=2π，即θ=65π时，y max =2+435. 所以四边形OPDC 面积的最大值为2+435.三、当堂检测1、在△ABC 中，角A 、B 、C 成等差数列，则角B 为（ ） (A) 30°(B) 60°(C) 90° (D) 120°2、在△ABC 中，若222c a b ab =++，则∠C=（ ）(A) 60° (B) 90°(C) 150°(D) 120°3、在△ABC 中，若sin cos cos sin A B A B =，则△ABC 为（ ）(A)直角三角形(B)等腰三角形(C)等腰直角三角形(D)等腰三角形或直角三角形4、如图，某海轮以60 n mile/h 的速度航行，在A 点测得海面上油井P 在南偏东60°，向北航行40 min 后到达B 点，测得油井P 在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80 min到达C 点，求P 、C 间的距离。
§3 解三角形的实际应用举例教学目标1、掌握正弦定理、余弦定理，并能运用它们解斜三角形。
2、能够运用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。
3、培养和提高分析、解决问题的能力。
教学重点难点1、正弦定理与余弦定理及其综合应用。
2、利用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。
教学过程 一、复习引入 1、正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C=== 2、余弦定理：,cos 2222A bc c b a -+=⇔bca cb A 2cos 222-+=,cos 2222B ca a c b -+=⇔cab ac B 2cos 222-+=C ab b a c cos 2222-+=，⇔abc b a C 2cos 222-+=二、例题讲解引例：我军有A 、B 两个小岛相距10海里，敌军在C 岛，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，为提高炮弹命中率，须计算B 岛和C 岛间的距离，请你算算看。
解：060=A 075=B ∴045=C由正弦定理知045sin 1060sin =BC6545sin 60sin 100==⇒BC 海里750600CBA例1．如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC 的长度（如图）．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B 与车厢支点A 之间的距离为1.95m ，AB 与水平线之间的夹角为/02060，AC 长为1.40m ，计算BC 的长（保留三个有效数字）． 分析：这个问题就是在ABC ∆中，已知AB=1.95m ，AC=1.4m,求BC 的长，由于已知的两边和它们的夹角，所以可 根据余弦定理求出BC 。
解：由余弦定理，得答：顶杠BC 长约为1.89m.解斜三角形理论应用于实际问题应注意： 1、认真分析题意，弄清已知元素和未知元素。
2、要明确题目中一些名词、术语的意义。
1.2 解三角形应用举例 第二课时一、教学目标1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题2、巩固深化解三角形实际问题的一般方法，养成良好的研究、探索习惯。
3、进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力二、教学重点、难点重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件三、教学过程Ⅰ.课题导入提问：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题Ⅱ.讲授新课[范例讲解]例1、AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。
分析：求AB 长的关键是先求AE ，在∆ACE 中，如能求出C 点到建筑物顶部A 的距离CA ，再测出由C 点观察A 的仰角，就可以计算出AE 的长。
解：选择一条水平基线HG ，使H 、G 、B 三点在同一条直线上。
由在H 、G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别是α、β，CD = a ，测角仪器的高是h ，那么，在∆ACD 中，根据正弦定理可得AC = )sin(sin βαβ-a AB = AE + h =AC αsin + h =)sin(sin sin βαβα-a + h 例2、如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α=5404'︒，在塔底C 处测得A 处的俯角β=501'︒。
已知铁塔BC 部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m)师:根据已知条件,大家能设计出解题方案吗？若在∆ABD 中求CD ，则关键需要求出哪条边呢？生：需求出BD 边。
师：那如何求BD 边呢？生：可首先求出AB 边，再根据∠BAD=α求得。
解:在∆ABC 中, ∠BCA=90︒+β,∠ABC =90︒-α,∠BAC=α- β,∠BAD =α.根据正弦定理, )sin(βα-BC = )90sin(β+︒AB 所以 AB =)sin()90sin(βαβ-+︒BC =)sin(cos βαβ-BC 在Rt ∆ABD 中,得 BD =ABsin ∠BAD=)sin(sin cos βααβ-BC 将测量数据代入上式,得BD = )1500454sin(0454sin 150cos 3.27'-'''︒︒︒︒ =934sin 0454sin 150cos 3.27'''︒︒︒≈177 (m) CD =BD -BC ≈177-27.3=150(m)答:山的高度约为150米.思考：有没有别的解法呢？若在∆ACD 中求CD ，可先求出AC 。
2.3解三角形的实际应用举例
本节教材分析
为了突出正弦定理、余弦定理在解决一些与三角形有关的实际问题中的作用，教材设置了不同问题情境的例题.目的是为了进一步强化数学建模的思想方法，即：从实际出发，经过抽象概括，转化为具体问题中的数学模型，通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解.
三维目标
知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题
过程与方法：本节课是解三角形应用举例的延伸。
采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架。
通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法。
教学形式要坚持引导——讨论——归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯。
作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间
情感与价值：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力教学重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的
教学难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件
教学建议：
1.本节教学，要注意贯穿数学建模的思想，在例题的分析解决过程中，让学生讨论
归纳出街应用题的一般思路，建立数学模型.
2.如果有条件，最好采用多媒体演示例题中模型，帮助学生理解问题的背景，建立
模型，同时要求学生要注意观察周围生活中的事物.
新课导入设计
导入一: [问题导入现实生活中，人们又是怎样测量底部不可到达建筑物的高度呢？通过学习本节你将轻松愉快地测量出山高和工厂的烟囱高，在学生踊跃的状态下由此展开新课.
导入二：(情景导入)你有坐汽车（或者火车）经过山前水平公路的经历吗？如果身边带着测角仪，那么根据路标（100米杆）就会立即测算出你所看到的山的高度.利用正弦定理、余弦定理你也会马上算出来，在学生急切想知道如何计算山高的期待中导入新课解三角
2.3形的实际应用举例（2）
本节教材分析
为了突出正弦定理、余弦定理在解决一些与三角形有关的实际问题中的作用，教材设置了不同问题情境的例题.目的是为了进一步强化数学建模的思想方法，即：从实际出发，经过抽象概括，转化为具体问题中的数学模型，通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解.
三维目标
知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题过程与方法：本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课应通过综合训练强化学生的相应能力。
除了安排课本上的例1，还针对性地选择了既具典型性有具启发性的2道例题，强调知识的传授更重能力的渗透。
课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究
问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三。
情感与价值：培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神
教学重点：能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系
教学重点：能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系
教学难点：灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题
教学建议：
能否灵活求解问题的关键是正弦定理和余弦定理的选用，有些题目只选用其一，或两者混用，这当中有很大的灵活性，需要对原来所学知识进行深入的整理、加工，鼓励一题多解，训练发散思维。
借助计算机等媒体工具来进行演示，利用动态效果，能使学生更好地明辨是非、掌握方法。
新课导入设计
导入一:[探究导入]在解决实际问题中，经常设及三角形问题，我们可以把它抽象为解三角形问题，本节我们继续探究应用正弦定理、余弦定理解决与三角形有关的实际问题.
导入二：[直接导入]上节课我们研究了怎样测量到不可到达的点的距离，又解决了怎样测量底部不可能到达的建筑物的高度的问题，这些都是距离问题，本节课我们进一步探究综合运用正弦定理、余弦定理解决与三角形有关的实际问题的方法步骤.。
