三角函数性和e指数形式的傅里叶变换

傅里叶基本公式及证明三角函数形式的傅里叶级数f(t)=a_0+\sum_{n=1}^\infty[a_n\cos(n\omegat)+b_n\sin(n\omega t)]\\a_0=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)\mathrm{d}t\\a_n=\frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)\cos(n\omegat)\mathrm{d}t,\,\,b_n=\frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t )\sin(n\omega t)\mathrm{d}tf(t)=c_0+\sum_{n=1}^\infty c_n\cos(n\omega t+\phi_n)\\ a_n=c_n\cos\phi_n,\,\,b_n=-c_n\sin\phi_n\\ \tan\phi_n=-\frac{b_n}{a_n}指数形式的傅里叶级数由复变函数知识，即有以下变换： \cos(n\omegat)=\frac{e^{jn\omega t}+e^{-jn\omegat }}{2},\,\,\sin(n\omega t)=\frac{e^{jn\omega t}-e^{-jn\omega t}}{2j}代入三角形式傅里叶级数，整理后即可得：f(t)=a_0+\sum_{n=1}^\infty(\frac{a_n-jb_n}{2}e^{jn\omega t}+\frac{a_n+jb_n}{2}e^{-jn\omega t})\\令 F(n\omega)=\frac{1}{2}(a_n-jb_n) ，则有：f(t)=a_0+\sum_{n=1}^\infty[F(n\omega)e^{jn\omegat}+F(-n\omega)e^{-jn\omega t}]\\不妨令 F(0)=a_0 ， f(t) 即可简化为 f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(n\omega)e^{jn\omega t}同时可以得到F(n\omega)=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)e^{-jn\omega t}\mathrm{d}t ，证明如下：\begin{aligned} F(n\omega)=&\frac{a_n-jb_n}{2}\\=&\frac{1}{2}[\frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)\cos(n\ omega t)\mathrm{d}t-j\times\frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)\sin(n\omega t)\mathrm{d}t]\\=&\frac{1}{T}[\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)(cos(n\omega t)-j\sin(n\omega t))\mathrm{d}t]\\=&\frac{1}{T}[\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)(\frac{e^{jn\omega t}+e^{-jn\omega t }}{2}-j\times\frac{e^{jn\omega t}-e^{-jn\omega t}}{2j}\mathrm{d}t]\\=&\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)e^{-jn\omegat}\mathrm{d}t \end{aligned}同时由 F(n\omega)=\frac{a_n-jb_n}{2} 可推知|F_n|=\frac{1}{2}\sqrt{a_n^2+b_n^2} ，利用此式可推帕塞瓦尔定理，即周期信号 f(t) 的平均功率 P 与傅里叶系数存在如下关系：P=\bar{f^2(t)}=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f^2(t)\mat hrm{d}t\\=a_0^2+\sum_{n=1}^\infty(a_n^2+b_n^2)=\sum_{-\infty}^{\infty}|F_n|^2利用三角函数的正交性质即可消去交叉项，从而得到倒数第二个等号的关系，再利用上述 |F_n| 与 a_n,b_n 的关系即可得到最后一个等号关系特殊周期信号的傅里叶级数•为偶函数，则仅含有余弦分量•为奇函数，则仅包含正弦分量•为奇谐函数，只含有奇次谐波分量•为偶谐函数，只含有偶次谐波分量非周期信号的傅里叶变换F(j\omega)=\int^\infty_{-\infty}f(t)e^{-j\omegat}\mathrm{d}t, f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(j\omega)e^{j\omegat}\mathrm{d}\omega\\F(j\omega)=|F(j\omega)|e^{j\phi(\omega)}=R(\omega)+jX( \omega)傅里叶变换存在的充要条件:无限区间上的绝对可积性。

傅里叶变换概念及公式推导傅里叶变换是一种数学工具，用于将一个函数从时域（时间域）转换为频域。

傅里叶变换的基本概念是，任何一个周期性函数都可以表示为一系列不同频率的正弦和余弦函数的叠加。

通过傅里叶变换，我们可以将原始信号分解成许多不同频率的正弦和余弦波。

F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) e^(−iωt) dt其中，F(ω)表示频域中的函数，与f(t)相对应。

为了推导傅里叶变换的公式，我们首先将复数e^(−iωt)展开为正弦和余弦函数的形式：e^(−iωt) = cos(ωt) − i sin(ωt)然后将这个展开式代入变换公式中，得到：F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) (cos(ωt) − i sin(ωt)) dt为了求解这个积分，我们可以利用欧拉公式，将复数表示为以指数函数的形式：F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) e^(iωt) dt − i ∫[−∞,+∞] f(t) sin(ωt) dt将第一个积分的积分变量由t替换为−t，得到：F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) e^(iωt) dt − i ∫[−∞,+∞] f(−t) sin(ωt) dt由于f(t)是一个偶函数（即f(−t)=f(t)）F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) e^(iωt) dt − i ∫[−∞,+∞] f(t)sin(ωt) dt记F(ω)的实部为Re[F(ω)]，虚部为Im[F(ω)]，我们可以将公式进一步简化为：Re[F(ω)] = ∫[−∞,+∞] f(t) cos(ωt) dtIm[F(ω)] = − ∫[−∞,+∞] f(t) sin(ωt) dt这就是傅里叶变换的实部和虚部的计算公式，也称为余弦分量和正弦分量的公式。

通过计算这两个积分，我们可以得到函数在不同频率上的分量。

这些频率分量相当于原始函数在频域中的表现，有助于我们理解原始函数的频率特征。

要注意的是，以上推导过程是针对连续时间信号的傅里叶变换。

三角函数的傅里叶逆变换傅里叶逆变换是将频域中的信号转换回时域的一种数学工具。

在信号处理和通信领域有着广泛的应用。

而三角函数是傅里叶变换的基础，因此也被广泛应用于傅里叶逆变换中。

本文将详细介绍三角函数的傅里叶逆变换。

首先，我们需要了解傅里叶级数展开。

傅里叶级数（Fourier series）是一种将周期函数表达为正弦函数和余弦函数的无穷级数的表示方法。

具体地说，对于一个周期为T的函数f(t)，其傅里叶级数展开为：f(t) = a0 + ∑(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))其中，a0为直流分量，an和bn为频率为nω的正弦和余弦分量的振幅。

ω为频率，n为谐波次数。

根据欧拉公式，正弦函数和余弦函数可以用复指数函数来表示。

即：cos(nx) = (e^(inx) + e^(-inx)) / 2sin(nx) = (e^(inx) - e^(-inx)) / (2i)将上述表达式代入傅里叶级数展开中，可以得到：f(t) = a0 + ∑(cn * exp(inωt) + cn* exp(-inωt))其中，cn = (an - ibn) / 2，c*-n = (an + ibn) / 2傅里叶逆变换的目的是将频域信号转换回时域信号，即从信号的频谱还原出原始信号。

对于一个以角频率为ω0的连续频谱信号F(ω)来说，它的傅里叶逆变换为：f(t) = 1 / (2π) * ∫F(ω) * exp(iωt) dω根据欧拉公式，上述表达式可以进一步转化为：f(t) = 1 / (2π) * ∫(Re(F(ω)) * cos(ωt) - Im(F(ω)) *sin(ωt)) dω其中，Re(F(ω))和Im(F(ω))分别为F(ω)的实部和虚部。

将上述表达式进一步展开，可以得到：f(t) = 1 / (2π) * ∫(∑(Cn * exp(inω) + C*-n * exp(-inω))) * exp(iωt) dω将指数函数的乘法法则应用于上述表达式，可以得到：f(t) = 1 / (2π) * ∫∑(Cn * exp(i(nω + ωt)) + C*-n *exp(i(-nω + ωt))) dω再对上述表达式进行求和和积分的换序操作，可以得到：f(t) = ∑(Cn * ∫exp(i(nω + ωt)) dω) + ∑(C*-n *∫exp(i(-nω + ωt)) dω)对于复指数函数exp(i(nω + ωt))和exp(i(-nω + ωt))，其积分值的结果为：∫exp(i(nω + ωt)) dω = (exp(i(nω + ωt)) / (in(n+1)))∫exp(i(-nω + ωt)) dω = (exp(i(-nω + ωt)) / (-in(n-1)))将上述结果代入傅里叶逆变换的表达式中，可以得到三角函数的傅里叶逆变换公式：f(t) = (1 / (2π)) * (∑(Cn * (exp(i(nω + ωt)) /(in(n+1)))) + ∑(C*-n * (exp(i(-nω + ωt)) / (-in(n-1)))))这就是三角函数的傅里叶逆变换的具体表达式。

三角函数形式的傅里叶级数傅里叶级数是数学中一个重要的分析工具，通过将任意周期函数展开成一个无穷级数，可以分析函数的性质和特点。

在实际应用中，傅里叶级数有两种表示方式：指数形式和三角函数形式。

本文将主要介绍三角函数形式的傅里叶级数。

f(x) = a0/2 + ∑(an * cos(nωt) + bn * sin(nωt))其中，an和bn是函数f(x)的傅里叶系数，它们决定了三角函数的振幅。

ω = 2π/T表示角频率，n为正整数，代表了三角函数的谐波。

要求得函数f(x)的傅里叶系数，可以使用以下公式：an = (2/T) * ∫[0,T] (f(x) * cos(nωt)) dtbn = (2/T) * ∫[0,T] (f(x) * sin(nωt)) dt这里的积分表示对周期为T的函数f(x)在一个周期内的积分。

通过计算傅里叶系数，我们可以将函数f(x)展开成一个无穷级数，其中每一项都是一个三角函数的线性组合。

这样的展开形式非常有用，可以用于分析周期函数的性质、特点和变化规律。

三角函数形式的傅里叶级数具有一些重要的性质。

首先，它是周期为T的函数的完备基函数。

也就是说，任意周期为T的函数都可以用三角函数的无穷级数表示，而且级数收敛于原函数。

这个性质使得傅里叶级数成为研究周期函数性质的有力工具。

另外，如果函数f(x)是偶函数或者奇函数，那么其对应的傅里叶级数也具有相应的对称性。

对于偶函数，只有余弦项an存在，而正弦项bn全部为零。

对于奇函数，只有正弦项bn存在，而余弦项an全部为零。

这些对称性使得计算傅里叶系数的过程变得更加简洁。

三角函数形式的傅里叶级数广泛应用于信号处理、图像处理、电路分析等领域。

通过对信号或图像的傅里叶级数展开，可以了解其频谱特征、频率成分以及频率叠加效应。

这样可以方便地对信号进行滤波、频谱分析以及降噪等操作，对于研究信号的性质和提取信号信息非常有帮助。

总结起来，三角函数形式的傅里叶级数是将周期函数展开为三角函数的无穷级数。

傅里叶级数的三角形式和傅里叶级数的指数形式周期信号的傅里叶级数分析连续时间LTI系统的时域分析：以冲激函数为基本信号系统零状态响应为输入信号与系统冲激响应之卷积傅立叶分析以正弦函数或复指数函数作为基本信号系统零状态响应可表示为一组不同频率的正弦函数或复指数函数信号响应的加权和或积分；周期信号：定义在区间(，)，每隔一定时间T，按相同规律重复变化的信号，如图所示。

它可表示为f (t)=f ( t+m T )其中m为正整数，T称为信号的周期，周期的倒数称为频率。

f t周期信号的特点:(1)它是一个无穷无尽变化的信号, 从理论上也是无始无终的,f，则周期信(2)如果将周期信号第一个周期内的函数写成号(t)可以写成(3)周期信号在任意一个周期内的积分保持不变，即有1.三角形式的傅立叶级数周期信号f(t)，周期为T ，角频率1该信号可以展开为下式三角形式的傅立叶级数。

f (t ) a 0 a 1 cos( 1t )b 1 sin( t ) a 2 cos(2 t )b 2 sin( 2 t )兔 cos(n t )b n sin( n t )a 0a n cos(n t )b n sin( n t )n 1a b式中各正、余弦函数的系数 n ， n 称为傅立叶系数，函数通过它 可以完全表示 傅立叶系数公式如下f(t)nf °(t nT)f(t)dtaf(t)dtbf(t)dt前面的级数可展成指数形式系数n1 0 f (t )d tT tI 02 t o TT f (t ) cos n t d t------ 1 02 to Tb n— f (t )sin n t d tT %a 。

a n n 1,2,n 1,2,式中积分可以取任意一个周期，一般情况下，取(0,T )三角形式的傅立叶级数还可以写成下面形式 f (t ) C oc n cos( n tn 1n )或f (t ) d od n sin( n 1n 1n)两种形式之间系数有如下关系：C o a o d 0Cn d ndarctga narctga nb nan c n cos d n Sin n n 1, 2,bn c n sind n cOS n2.指数函数形式的傅里叶级数利用欧拉公式：e jn1e jn1 cos(n门 2 —e jn 1cos(n t) sin( n 1t) sin( n t) j e J「；e jn 1cos(n -) j sin( n t)f(t) a。

傅里叶变换表傅里叶变换是一种重要的数学工具，它可以将一个信号在时域中的表示转换为在频域中的表示，这样可以更好地理解信号的性质和特征。

傅里叶变换表是傅里叶变换的一种形式化表示方式，它记录了一些常见信号的傅里叶变换公式和性质，是学习和应用傅里叶变换的重要参考资料。

傅里叶变换表的历史可以追溯到18世纪末，当时法国数学家约瑟夫·傅里叶研究热传导问题时，发现可以将任意周期函数表示为一系列正弦和余弦函数的和，这就是傅里叶级数展开。

后来，傅里叶的学生和继承者们将傅里叶级数推广到了非周期函数和非整数周期函数，并发展出了傅里叶变换的概念和方法，使得信号处理、通信、控制等领域得到了广泛应用。

傅里叶变换表的内容包括：1. 傅里叶变换公式傅里叶变换公式是傅里叶变换的核心内容，它描述了一个函数在频域中的表示和在时域中的表示之间的关系。

对于一个连续时间信号f(t)，其傅里叶变换F(ω)可以表示为：F(ω) = ∫f(t)exp(-jωt)dt其中，ω是角频率，j是虚数单位，exp(-jωt)是旋转复数，可以将其理解为一个在复平面上绕着原点旋转的矢量。

傅里叶变换的逆变换可以表示为：f(t) = (1/2π)∫F(ω)exp(jωt)dω这个公式表示了一个频域信号在时域中的表示，即将频域信号F(ω)通过逆变换得到时域信号f(t)。

2. 傅里叶变换的性质傅里叶变换具有很多重要的性质，这些性质可以帮助我们更好地理解和应用傅里叶变换。

其中一些常见的性质包括：（1）线性性：傅里叶变换是线性的，即对于任意常数a和b，有F(ω)[af(t)+bg(t)] = aF(ω)f(t) + bF(ω)g(t)。

（2）时移性：时域中的信号f(t)向右平移τ秒，其频域表示F(ω)也将向右平移ωτ。

（3）频移性：频域中的信号F(ω)向右平移Ω弧度/秒，其时域表示f(t)也将向右平移tΩ。

（4）对称性：当f(t)是实数函数时，其傅里叶变换F(ω)具有共轭对称性，即F(-ω) = F*(ω)。

第三章傅里叶变换（一）三角函数形式的傅里叶级数满足狄利赫里条件的周期函数f。

）可由三角函数的线性组合来表示，若f（t）的周期为T，角频率3 =之，频率f ='，傅里叶级数展开表达式 1 1 T 1 T1 1为f (t)= a +£[a cos(〃3t)+ b sin (〃3t)n=1各谐波成分的幅度值按下式计算a = —f t o+T1 f (t)dto T t o a =」t o+T1 f (t)cos (n3 t)dt n T t1ob = — j t o+ T1 f (t)sin(n3 t)dt n T t1o其中n = 1,2, •••狄利赫里条件:（1）在一个周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个;（2）在一个周期内，极大值和极小值的数目应是有限个；（3）在一个周期内，信号是绝对可积的，即』t o+T|f （t）dtt等于有限值。

t o（二）指数形式的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数展开也可以表示为指数形式，即f (t)= £F (n3)ej n31 n1n二一8其中F = — f t o+T1f 0-加3 t dt n T1 t o 其中n为从一8到+8的整数。

3.1m号的傅里叶级!瞬析(三)函数的对称性与傅里叶系数的关系(1)偶函数由于f。

)为偶函数，所以f(t)sin(旭t)为奇函数，则1b = — J t o+ T i f (t)sin (n① t)dt = 0 n T t11 0所以，在偶函数的傅里叶级数中不会含有正弦项，只可能含有直流项和余弦项。

(2) 奇函数由于f (t)为奇函数，所以f(t)cos (n o t )为奇函数，则1a =— J t0+T f (tb t = 00 T t10a = — J t0+T1 f (t)cos (n0 t)dt = 0 n T t11t0所以，在奇函数的傅里叶级数中不会含有直流项和余弦项，只可能包含正弦项(3)奇谐函数(f (t )=-f [ t + T ])I 27半波对称周期函数的傅里叶级数中，只会含有基波和奇次谐波的正、余弦项，而不会含有偶次谐波项，这也是奇谐函数名称的由来。

三角函数傅立叶变换常用公式大全
傅立叶变换是一种重要的数学工具，用于将一个函数表示为不同频率的正弦和余弦函数的和。

常用的三角函数傅立叶变换的公式包括：
1. 傅立叶级数公式：
f(x) = a/2 + Σ [a_ncos(nωx) + b_nsin(nωx)]
其中，a和b是系数，n是正整数，ω是基本频率，f(x)是要进行傅立叶级数展开的函数。

2. 傅立叶变换公式：
F(ω) = ∫[f(x)e^(-iωx)]dx.
其中，F(ω)是函数f(x)的傅立叶变换，i是虚数单位，ω是频率，f(x)是原始函数。

3. 逆傅立叶变换公式：
f(x) = (1/2π) ∫[F(ω)e^(iωx)]dω。

其中，f(x)是原始函数，F(ω)是函数f(x)的傅立叶变换。

4. 傅立叶变换的频谱密度公式：
S(ω) = |F(ω)|^2。

其中，S(ω)表示频率ω处的功率密度谱，|F(ω)|表示复
数F(ω)的模。

这些公式是傅立叶变换理论中的基本公式，它们在信号处理、
图像处理、通信等领域有着广泛的应用。

通过这些公式，我们可以
将一个函数在时域和频域之间进行转换，从而分析函数的频率成分
和特征。

当然，在实际应用中，还会涉及到傅立叶变换的性质、频
谱分析、滤波等更加深入的内容。

希望这些公式能够对你有所帮助。

周期信号的傅里叶级数分析连续时间LTI系统的时域分析：以冲激函数为基本信号系统零状态响应为输入信号与系统冲激响应之卷积傅立叶分析以正弦函数或复指数函数作为基本信号系统零状态响应可表示为一组不同频率的正弦函数或复指数函数信号响应的加权和或积分；(—8 8)周期信号：定义在区间* ' 7 ,每隔一定时间T ,按相同规律重复变化的信号，如图所示。

它可表示为f (t)=r (顽)其中川为正整数，T称为信号的周期，周期的倒数称为频率。

A/W周期信号的特点:(1)它是一个无穷无尽变化的信号，从理论上也是无始无终的, 时间范围为(一8,8)(2)如果将周期信号第一个周期内的函数写成人"则周期信号/(')可以写成周期信号的）,周期为4,角频率1 12兀V8fQ)= E W - nT)〃二一8（3）周期信号在任意一个周期内的积分保持不变，即有Q+T b+T Tj = ja b 01.三角形式的傅立叶级数该信号可以展开为下式三角形式的傅立叶级数。

Af) = q + q cos 饥1)+ b、sin+ 可cos 2佃分 + b2 sin 2绍广)+ ・.. + a n cos 06]t) + b n sin+ ...=% + £辰cos+ b n sinn=la A式中各正、余弦函数的系数〃'〃称为傅立叶系数，函数通过它可以完全表ZK。

傅立叶系数公式如下n -1,2,…力=1, 2,…］，o+7a 。

=歹 j fWt2 %+，a n = — J fQ) COS 2269/d t 2 *o+，b n — — j f© sin no)}td t7 4（0, 7）或（一亦三角形式的傅立叶级数还可以写成下面形式8f® =+ Z G COS (77田土 + (p)n=\8f(t) = d()+ Z "〃 sin(7769/ +。

〃)〃=i两种形式之间系数有如下关系：/ = % = d°Cn = dn = Ja ； + 玖b a(p n = -arctg — , 0n = arctg —% Kan 二 CnCQSCPn =妇明4 =Fsin” = dn cosQ,式中积分可以取任意一个周期, 一般情况下，取2.指数函数形式的傅里叶级数.1 / T Jo f(t) sin(/?69/)d t利用欧拉公式/时.网Q二冲_ Q冲cos = -------- ---- sin = j ----------- --- e•冲=cos 网zO + sin 物1) e = cos - j sin06q^)oof 仕)=% + £ [a〃 cos (/769/) + b n sin(/?6^t)]p=i8 疽叫t . 一丸四一丸a)\t jna\t =% + } E〃-------- ----- + M------- ----- J 〃=1 z Z00 1 1=% +»!总-龙k即+ ：盆+儿广即] /?=! Z ZF(g = ：(a〃一j如)令：z] r / \ ] 了=y £ f 仕)COS(〃")d t - j y £ f(t) sin(7769/)d=-(广(Qe—j〃w d t由欧拉公式T J。

三角函数的傅里叶变换及其在信号处理中的应用傅里叶变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号处理领域。

在信号处理中，傅里叶变换可以对信号进行频域分析和滤波等操作，其中三角函数在傅里叶变换中起到了关键的作用。

本文将介绍三角函数的傅里叶变换原理，并探讨其在信号处理中的应用。

一、傅里叶变换的基本概念傅里叶变换是将一个函数表示为频域上的复数系数的方法。

对于一个连续信号 f(t) ，其傅里叶变换可表示为F(ω) ，其中ω 表示频率。

傅里叶变换的基本公式如下：F(ω) = ∫[ f(t) * e^(-jωt) ] dt其中，e^(-jωt) 是欧拉公式所得到的旋转复数，j 表示虚数单位。

通过傅里叶变换，我们可以将时域中的信号转换为频域中的信号，从而更好地分析信号的特征。

二、三角函数的傅里叶级数展开傅里叶级数是傅里叶变换的离散形式，适用于周期信号分析。

三角函数在傅里叶级数展开中占据了重要地位。

对于一个周期为 T 的周期函数 f(t) ，其傅里叶级数展开可表示为：f(t) = a0 + Σ[ an * cos(nωt) + bn * sin(nωt) ]其中，a0、an、bn 是系数，ω 表示基波频率。

通过计算系数的值，我们可以得到周期函数在频域中的成分。

三、三角函数的傅里叶变换在连续信号处理中，三角函数也扮演着重要角色。

三角函数的傅里叶变换是通过将正弦函数和余弦函数分别进行傅里叶变换得到的。

具体而言，正弦函数的傅里叶变换为：F(ω) = 1/2j * [δ(ω-ω0) - δ(ω+ω0)]余弦函数的傅里叶变换为：F(ω) = π * [δ(ω-ω0) + δ(ω+ω0)]其中，δ 表示狄拉克函数，ω0 表示频域中的频率。

四、三角函数的应用案例三角函数的傅里叶变换在信号处理中有着广泛的应用。

以下是一些典型的应用案例。

1. 信号滤波在傅里叶变换的频域分析中，我们可以通过对频谱的滤波来实现信号的滤波效果。

三角函数作为傅里叶变换的基函数，可以帮助我们分离出信号中的不同频域成分，进而实现对信号的滤波处理。

三角函数傅里叶变换
三角函数傅里叶变换（trigonometric Fourier transform）是一种把周期信号表示为一系列基本频率正弦和余弦函数的方法。

它是傅里叶变换的一种形式，广泛应用于信号处理、图像处理、通信等领域。

三角函数傅里叶变换采用正弦和余弦函数作为基函数，而傅里叶变换则采用复指数函数作为基函数。

对于任何周期为T的实函数f(t)，其三角函数傅里叶级数表示为：
f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} [a_n cos(\frac{2\pi nt}{T}) + b_n sin(\frac{2\pi nt}{T})]
其中a_0、a_n、b_n为系数，可通过三角函数傅里叶变换公式求解。

三角函数傅里叶变换能够将时域上的周期信号转换为频域上的频谱，提供了一种方便有效的信号分析方法，可用于频率分析、滤波、压缩等应用。

一、三角函数基本公式1. 正弦函数（sin）的定义：在单位圆上，角θ的终边与x轴的交点横坐标为sinθ。

1）反正弦函数（arcsin）：y = arcsin(x) ⇔ sin(y) = x，定义域为[-1, 1]，值域为[-π/2, π/2]。

2）余弦函数（cos）的定义：在单位圆上，角θ的终边与x轴的交点纵坐标为cosθ。

1）反余弦函数（arccos）：y = arccos(x) ⇔ cos(y) = x，定义域为[-1, 1]，值域为[0, π]。

3）正切函数（tan）的定义：在单位圆上，角θ的终边与x轴的交点横坐标与纵坐标的比值为tanθ。

1）反正切函数（arctan）：y = arctan(x) ⇔ tan(y) = x，定义域为(-∞, +∞)，值域为(-π/2, π/2)。

二、傅里叶级数与傅里叶变换1. 傅里叶级数公式：任意周期为2π的函数f(x)可展开为正弦和余弦函数的和。

f(x) = a0 + Σ(an*cos(nx) + bn*sin(nx))，式中，a0为直流分量，an 和bn为交流分量。

1）a0 = (1/2π) * ∫[0, 2π] f(x) dx，an = (1/π) * ∫[0, 2π] f(x) *cos(nx) dx，bn = (1/π) * ∫[0, 2π] f(x) * sin(nx) dx。

2. 傅里叶变换公式：非周期信号f(t)经过连续傅里叶变换得到频谱F(ω)。

F(ω) = ∫[-∞, +∞] f(t) * e^(-iωt) dt。

1）逆傅里叶变换：F(ω)经过逆变换得到原信号f(t)。

f(t) = (1/2π) * ∫[-∞, +∞] F(ω) * e^(iωt) dω。

三、常用傅里叶变换公式1. 矩形脉冲信号：f(t) = rect(t/T)。

1）F(ω) = T * sin(ωT) / (ωT)，其中，sinc(u) = sin(u) / u。

2. 三角形脉冲信号：f(t) = tri(t/T)。

信号处理过程中的⼏种常见傅⾥叶相关的变换学习了信号与系统及数字信号处理之后，什么感觉呢？这尼玛讲的什么玩意啊？数字数字信号处理考了62分哦。

这两天，⼜看了看，因为可能要⽤到的唉。

好像是这么回事：我的理解吧，是这样的，对于各种变换⽆⾮就是通过数学公式把⼀个函数从⼀个域变到另⼀个域。

变来变去发现它有点物理意义了呢，也或着奔着它的物理意义去的。

对于模拟信号：1. 分解为傅⾥叶级数的情况：信号是⼜时间 t 变化，并且为周期性的哦，这时，就可以把这个信号分解为⼀系列的正弦或余弦相叠加⽽成。

（此时的频域上为离散的哦，因为这⼀系列正弦波的頻率为基頻的整数倍）。

（可以看出：时域为周期的，频域⽽为离散的）说明了：对于时间上为周期的，它的频域为离散的。

还想说明⼀点，当我们⽤指数形式表⽰傅⾥叶级数时，它的系数F n与 F-n ⼀定是共轭的哦，如果不是共轭，它就展不成三⾓函数的形式了，（对于这点，由于看了⼀本书上的⼀个例⼦的写错了，我纠结了不⼩⼀会，后来可以通过举例⼦得到）变换公式：要知道，复幅度 Fn 的模即为幅度谱、⽽ Fn 的辐⾓主值（-pi， pi）即为相位谱啊；⽽后⾯的 e jnwt 这个不⽤管，它的作⽤是与 Fn 相乘以后得到 f(t)的；欧拉也太⽜逼了吧，这么抽象的三⾓函数的欧拉公式他是怎么搞出来的2. 分解为傅⾥叶变换的形式：对于⾮周期信号，则分解为傅⾥叶变换的样⼦啦。

因为吧，这时相当于周期为⽆穷⼤的周期信号，然后呢，它的基频相当于⽆穷⼩，所以就⽤连续的频域来进⾏变换，所以就有了傅⾥叶变换啦。

它就相当于把信号分解为了分布在全部頻域上的⼀系列正弦信号相叠加。

对于周期信号，如果你⾮要进⾏傅⾥中变换，也可以，但是要引⽤冲激函数，那么它的傅⾥叶变换由以前的⼀个个的散值变为了⼀个个离散的冲激函数。

（看看下图就知道什么意思啦）对于周期函数的⼀个周期内作傅⾥叶变换会怎么样呢？？因为它不是周期的嘛，它的图像想想的话⼀定是连续的，因为它不是周期的嘛，它的样⼦就是（如果按如图上⾯的例⼦来的话）上图中的包络。