傅里叶级数的三角形式和傅里叶级数的指数形式

傅里叶级数的三角形式和傅里叶级数的指数形式周期信号的傅里叶级数分析连续时间LTI系统的时域分析：以冲激函数为基本信号系统零状态响应为输入信号与系统冲激响应之卷积傅立叶分析以正弦函数或复指数函数作为基本信号系统零状态响应可表示为一组不同频率的正弦函数或复指数函数信号响应的加权和或积分；周期信号：定义在区间(，)，每隔一定时间T，按相同规律重复变化的信号，如图所示。

它可表示为f (t)=f ( t+m T )其中m为正整数，T称为信号的周期，周期的倒数称为频率。

f t周期信号的特点:(1)它是一个无穷无尽变化的信号, 从理论上也是无始无终的,f，则周期信(2)如果将周期信号第一个周期内的函数写成号(t)可以写成(3)周期信号在任意一个周期内的积分保持不变，即有1.三角形式的傅立叶级数周期信号f(t)，周期为T ，角频率1该信号可以展开为下式三角形式的傅立叶级数。

f (t ) a 0 a 1 cos( 1t )b 1 sin( t ) a 2 cos(2 t )b 2 sin( 2 t )兔 cos(n t )b n sin( n t )a 0a n cos(n t )b n sin( n t )n 1a b式中各正、余弦函数的系数 n ， n 称为傅立叶系数，函数通过它 可以完全表示 傅立叶系数公式如下f(t)nf °(t nT)f(t)dtaf(t)dtbf(t)dt前面的级数可展成指数形式系数n1 0 f (t )d tT tI 02 t o TT f (t ) cos n t d t------ 1 02 to Tb n— f (t )sin n t d tT %a 。

a n n 1,2,n 1,2,式中积分可以取任意一个周期，一般情况下，取(0,T )三角形式的傅立叶级数还可以写成下面形式 f (t ) C oc n cos( n tn 1n )或f (t ) d od n sin( n 1n 1n)两种形式之间系数有如下关系：C o a o d 0Cn d ndarctga narctga nb nan c n cos d n Sin n n 1, 2,bn c n sind n cOS n2.指数函数形式的傅里叶级数利用欧拉公式：e jn1e jn1 cos(n门 2 —e jn 1cos(n t) sin( n 1t) sin( n t) j e J「；e jn 1cos(n -) j sin( n t)f(t) a。

周期信号的傅里叶级数展开：1． 三角形式： 周期信号()f t ，周期T ，基波频率12w Tπ=，所构成的完备正交函数集：三角函数集{}11cos ,sin nwt nwt ； ()0111()cos sin n n n f t a a nw t b nw t ∞==++∑其中：2021()TT a f t dt T -=⎰2122()cos TT n a f t nw tdt T -=⎰2122()sin TT n b f t nw tdt T -=⎰ 注意: (1) 展开条件：狄利赫利条件 （2） 另外一种形式：011()cos()nn n f t c cnw t ϕ∞==++∑其中：00c a =n c =nn nb tg a φ=-（3）物理意义： （4）幅度谱和相位谱2. 指数形式： 完备正交函数集 ：复指数函数集{}1jnw t e1()jnw tnn f t F e∞=-∞=∑其中1221()Tjnw t T n F f t e dt T --=⎰注意：（1）幅度谱和相位谱nj n n F F e φ= ：偶谱和奇谱与三角形式间的关系（2）两种级数间的关系 3. 函数()f t 满足对称性的级数展开： （1） 偶函数：011()cos n n f t a a nw t ∞==+∑0n b =或011()cos()n n n f t c c nw t ϕ∞==++∑，00c a =||n n c a =0,0,0n n n a a ϕπ>⎧=⎨<⎩（2）奇函数：11()sin n n f t b nw t ∞==∑00n a a ==或011()cos()n n n f t c c nw t ϕ∞==++∑，00c =||n n c b =,02,02nn nb b πϕπ⎧->⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩（3）奇谐函数：()()2T f t f t =-±其傅里叶级数展开式中仅含奇次谐波分量，即： 0240a a a ====2460b b b ====4. 典型周期矩形脉冲的傅里叶级数信号()f t ，周期为T ，脉宽为τ，脉幅为E（1）三角形式011()cos nn f t a anw t ∞==+∑0n b =其中：2202211()T T E a f t dt Edt T T Tτττ--===⎰⎰211222cos 2n E a E nw tdt Sa nw T T ττττ-⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰ 谐波形式：011()cos()n n n f t c c nw t φ∞==++∑其中：00c a =n nc a =， {0,0,0n n n a a ϕπ>=<（2）指数形式：1()jnw t n n f t F e ∞=-∞=∑其中：11222211()T jnw tjnw t T n F f t e dt Ee dt T T ττ---==⎰⎰112E Sa nw T ττ⎛⎫=⎪⎝⎭（3）幅度谱和相位谱的特点 谱线间隔和频谱宽度二．傅里叶变换 ()()jwt F w f t e dt ∞--∞=⎰1()()2jwt f t F w e dw π∞-∞=⎰特点：（1）()()()j w F w F w e ϕ=幅频函数和相频函数（2）变换条件：|()|f t dt ∞-∞<∞⎰ （3）()f t 也是由许多频率分量构成三．常见信号的傅里叶变换对 单边指数衰减信号,0()0,0t e t f t t α-⎧>=⎨<⎩，0α> ↔1()F w jw α=+ 双边指数衰减信号||,0(),0t t te tf t ee t ααα--⎧>==⎨<⎩ ↔222()F w w αα=+矩形脉冲(),2f t E tτ=<↔ ()()2F w E Sa w ττ=符号函数()sgn()f t t = ↔2()F w jw=冲击函数()()f t t δ= ↔ ()1F w = ()()f t t δ'=↔ ()F w jw =()()()n f t t δ=↔ ()()nF w jw = 直流信号()1f t = ↔ ()()2F w w πδ=()f t jt =-↔ ()()2F w w πδ'=()()nf t jt =-↔()()()2n F w w πδ=阶跃信号()()f t u t = ↔()1()F w w jwπδ=+四．傅里叶变换的性质 1.线性性2.奇偶虚实性：()f t 为实函数()()()cos ()sin jwtF w f t edt f t wtdt j f t wtdt ∞∞∞--∞-∞-∞==-⎰⎰⎰（1）()f t 为实偶函数，虚部()()sin 0X w f t wtdt ∞-∞==⎰ （2）()f t 为实奇函数，实部()()cos 0R w f t wtdt ∞-∞==⎰3. 对称性4.时移性5. 尺度变换：时域压缩，频谱扩张 时域扩张，频谱压缩 时域反褶，频谱反褶6.频移性：00()()jw tF f t e F w w ⎡⎤=-⎣⎦[][]001()cos ()()2F f t wt F w w F w w =-++[][]001()sin ()()2F f t wt F w w F w w j=--+ 7.时域微分：[]()()F f t jwF w '=()()()()n nF f t jw F w ⎡⎤=⎣⎦8.频域微分：[]()()F jtf t F w '-=()()()()n n F jt f t F w ⎡⎤-=⎣⎦9.时域卷积：()()()1212()F f t f t F w F w *=⎡⎤⎣⎦ 10.频域卷积：五．周期信号的傅里叶变换：（1） 周期信号的傅里叶级数展开式：1()jnw tnn f t F e ∞=-∞=∑（2） 周期信号的傅里叶变换：1()2()nn F w F w nw πδ∞=-∞=-∑特点：（ⅰ）频谱为冲击谱 （ⅱ）强度为2n F π（ⅲ）谱线位于谐波处（1nw ）（ⅳ）()1120211()|Tjnw t jwt T n w nw F f t e dt f t e dt T T∞--=-∞-==⎰⎰()101|w nw F w T==其中：0()f t 为周期信号的第一个脉冲， ()0F w 为0()f t 的傅里叶变换。

实验三周期信号的傅里叶级数分析一、实验目的熟悉连续时间周期信号的傅里叶级数分解原理及方法，掌握周期信号的傅里叶频谱的概念及计算方法，熟悉相应MATLAB 函数的调用格式和作用，掌握利用MATLAB 计算傅里叶级数系数及绘制频谱图的方法。

二、实验原理（一）周期信号的傅里叶级数分析原理按傅里叶分析的原理，任何周期信号都可以用一组三角函数)}cos(),{sin(t n t n ΩΩ的组合表示。

1、三角函数形式的傅里叶级数∑∞=Ω+Ω+=+Ω+Ω+Ω+Ω+=1022110)]sin()cos([2...)2sin()2cos()sin()cos(2)(n n n t n b t n a a t b t a t b t a a t f （1） 式中，n n b a a ,,0称为傅里叶系数。

()dt t f T a TT ⎰-=22012()...3,2,1)cos(222=Ω=⎰-n dt t n t f T a TT n ，(),...3,2,1,)sin(222=Ω=⎰-n dt t n t f T b TT n即可以用一组正弦波和余弦波合成任意的周期信号。

式（1）的三角函数形式傅里叶级数可以写成余弦函数的形式：∑∞=+Ω+=10)cos(2)(n n n t n A A t f ϕ其中：00a A =，22n n n b a A +=,nn n a b arctan -=ϕ 2、指数函数形式的傅里叶分析其中系数3、周期信号的频谱（1）三角函数形式频谱w A n ~关系曲线称为幅度频谱图关系曲线称为相位频谱图（2）指数函数形式频谱 w F n ~关系曲线称为幅度频谱图关系曲线称为相位频谱图（二）周期信号的傅里叶级数的MATLAB 实现例1：试用MATLAB 求如图1所示的周期方波信号的傅里叶级数分解。

解：周期方波信号是一个偶函数，又是一个奇谐函数，因此其傅里叶级数只含有奇次谐波的余弦项，即周期方波信号可以分解为： ()...5,3,1)cos(5.04)cos(244-22=Ω=Ω=⎰⎰-n dt t n T dt t n t f T a TT T T n ， 求傅里叶系数的程序如下：syms t n T;∑∞-∞==n t jn n F t f Ωe )(⎰-=22-Ωd e )(1T T t jn n t t f T F w n ~ϕw n ~ϕy=0.5*cos(n*2*pi/T*t);an=(4/T)*int(y,-T/4,T/4);运行结果为：an=2*sin(1/2*pi*n)/pi/n则此周期方波信号可以分解为：）（,...5,3,1)2sin(2,0===n n n a b n n ππ 将其展开为三角函数形式的傅里叶级数：,...)3,2,1()cos(2sin 2)(...])5cos(51)3cos(31)[cos(2(12==-+-=∑∞-=j nwt n n t f wt wt wt t f j n πππ） 例2：根据例1的结果，试用正弦信号的叠加近似合成一频率为50Hz ，幅值为3的方波。

傅里叶级数的三角形式和傅里叶级数的指数形式一、傅里叶级数的三角形式f(t) = a0 + Σ(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))其中a0是直流分量，an和bn是正弦和余弦函数的系数，ω=2π/T 是角频率，n为正整数。

在傅里叶级数的三角形式中，每一项可以看作是一个振荡频率为nω的正弦或余弦波。

系数an和bn决定了每个振荡波的振幅。

因为正弦和余弦函数具有良好的振荡性质，傅里叶级数的三角形式特别适用于描述周期性信号。

f(t) = Σ(cne^(inωt))其中cn是复指数函数的系数，ω=2π/T是角频率，n为整数。

在傅里叶级数的指数形式中，每一项可以看作是一个振荡频率为nω的复指数波。

系数cn决定了每个振荡波的振幅和相位。

因为复指数函数具有完备性，可以表示任意信号，傅里叶级数的指数形式特别适用于描述非周期性信号。

三、三角形式和指数形式的比较三角形式和指数形式是等价的，可以通过欧拉公式相互转化。

但它们在使用形式和理解方式上有所差异。

1.表达形式：三角形式使用正弦和余弦函数来表示信号，而指数形式使用复指数函数来表示。

复指数函数具有更为简洁的形式，可以统一表示正弦和余弦函数。

2.计算方便性：三角形式在进行级数展开和计算各项系数时更加直观和容易理解，可以通过积分和傅里叶级数的性质来计算系数。

而指数形式在进行级数展开时具有更好的数学性质，方便进行求和和求导运算。

3. 物理意义：三角形式的系数an和bn可以直接反映信号的振幅和相位，有较强的物理意义。

指数形式的系数cn由振幅和相位共同决定，更侧重于信号的频域特性。

4.应用领域：三角形式更适用于周期性信号的分析和处理，如音频信号和电力系统中的周期性波形。

指数形式更适用于非周期性信号的频谱分析和信号处理，如通信系统中的调制信号和任意信号的变换分析。

综上所述，傅里叶级数的三角形式和指数形式在表达形式、计算方便性、物理意义和应用领域等方面存在差异。

根据不同的信号特性和分析要求，可以选择适合的形式进行信号的分解和处理。