人教中考数学 圆的综合 培优练习(含答案)及答案

一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，⊙A过▱OBCD的三顶点O、D、C，边OB与⊙A相切于点O，边BC与⊙O相交于点H，射线OA交边CD于点E，交⊙A于点F，点P在射线OA上，且∠PCD=2∠DOF，以O为原点，OP所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，点B的坐标为（0，﹣2）．

（1）若∠BOH=30°，求点H的坐标；

（2）求证：直线PC是⊙A的切线；

（3）若OD=10，求⊙A的半径．

【答案】（1）（1，﹣3）；（2）详见解析；（3）53.

【解析】

【分析】

（1）先判断出OH=OB=2，利用三角函数求出MH，OM，即可得出结论；

（2）先判断出∠PCD=∠DAE，进而判断出∠PCD=∠CAE，即可得出结论；

（3）先求出OE═3，进而用勾股定理建立方程，r2-（3-r）2=1，即可得出结论．

【详解】

（1）解：如图，过点H作HM⊥y轴，垂足为M．

∵四边形OBCD是平行四边形，

∴∠B=∠ODC

∵四边形OHCD是圆内接四边形

∴∠OHB=∠ODC

∴∠OHB=∠B

∴OH=OB=2

∴在Rt△OMH中，

∵∠BOH=30°，

∴MH=12OH=1，OM=3MH=3，

∴点H的坐标为（1，﹣3），

（2）连接AC．

∵OA=AD，

∴∠DOF=∠ADO

∴∠DAE=2∠DOF ∵∠PCD=2∠DOF，

∴∠PCD=∠DAE

∵OB与⊙O相切于点A

∴OB⊥OF

∵OB∥CD

∴CD⊥AF

∴∠DAE=∠CAE

∴∠PCD=∠CAE

∴∠PCA=∠PCD+∠ACE=∠CAE+∠ACE=90°

∴直线PC是⊙A的切线；

（3）解：⊙O的半径为r．

在Rt△OED中，DE=12CD=12OB=1，OD=10 ，

∴OE═3

∵OA=AD=r，AE=3﹣r．

在Rt△DEA中，根据勾股定理得，r2﹣（3﹣r）2=1

解得r=53．

【点睛】

此题是圆的综合题，主要考查了平行四边形的性质，圆内接四边形的性质，勾股定理，切线的性质和判定，构造直角三角形是解本题的关键．

2．如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．

（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若AE＝8，⊙O的半径为5，求DE的长．

【答案】（1）直线DE与⊙O相切（2）4 【解析】

试题分析：（1）连接OD，∵AD平分∠BAC，∴EADOAD＝，∵OAOD＝，∴ODAOAD＝，∴ODAEAD＝，∴EA∥OD，∵DE⊥EA，∴DE⊥OD，又∵点D在⊙O上，∴直线DE与⊙O相切

（2）

如图1，作DF⊥AB，垂足为F，∴DFADEA90＝＝，∵EADFAD＝，ADAD＝，∴△EAD≌△FAD，∴AFAE8＝＝，DFDE＝，∵OAOD5＝＝，∴OF3＝，在Rt△DOF中，22DF4ODOF＝＝，∴AFAE8＝＝

考点：切线的证明，弦心距和半径、弦长的关系

点评：本题难度不大，第一小题通过内错角相等相等证明两直线平行，再由两直线平行推出同旁内角相等．第二小题通过求出两个三角形全等，从而推出对应边相等，接着用弦心距和弦长、半径的计算公式，求出半弦长．

3．在⊙O 中，点C是AB上的一个动点(不与点A，B重合)，∠ACB=120°，点I是∠ABC的内心，CI的延长线交⊙O于点D，连结AD,BD．

（1）求证：AD=BD．

（2）猜想线段AB与DI的数量关系，并说明理由．

（3）若⊙O的半径为2，点E，F是AB的三等分点，当点C从点E运动到点F时，求点I随之运动形成的路径长．

【答案】（1）证明见解析；（2）AB=DI，理由见解析（3）239

【解析】

分析：（1）根据内心的定义可得CI平分∠ACB，可得出角相等，再根据圆周角定理，可证得结论； （2）根据∠ACB=120°，∠ACD=∠BCD，可求出∠BAD的度数，再根据AD=BD，可证得△ABD是等边三角形，再根据内心的定义及三角形的外角性质，证明∠BID=∠IBD，得出ID=BD，再根据AB=BD，即可证得结论；

（3）连接DO，延长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形式以D为圆心，DI1为半径的弧，根据已知及圆周角定理、解直角三角形，可求出AD的长，再根据点E，F是 弧AB ⌢的三等分点，△ABD是等边三角形，可证得∠DAI1=∠AI1D，然后利用弧长的公式可求出点I随之运动形成的路径长.

详解：（1）证明：∵点I是∠ABC的内心

∴CI平分∠ACB

∴∠ACD=∠BCD

∴弧AD=弧BD

∴AD=BD

（2）AB=DI

理由：∵∠ACB=120°，∠ACD=∠BCD

∴∠BCD=×120°=60°

∵弧BD=弧BD

∴∠DAB=∠BCD=60°

∵AD=BD

∴△ABD是等边三角形，

∴AB=BD，∠ABD=∠C

∵I是△ABC的内心

∴BI平分∠ABC

∴∠CBI=∠ABI

∵∠BID=∠C+∠CBI，∠IBD=∠ABI+∠ABD

∴∠BID=∠IBD

∴ID=BD

∵AB=BD

∴AB=DI

（3）解：如图，连接DO，延长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形式以D为圆心，DI1为半径的弧

∵∠ACB=120°，弧AD=弧BD

∴∠AED=∠ACB=×120°=60°

∵圆的半径为2，DE是直径

∴DE=4，∠EAD=90°

∴AD=sin∠AED×DE=×4=2

∵点E，F是 弧AB ⌢的三等分点，△ABD是等边三角形，

∴∠ADB=60°

∴弧AB的度数为120°，

∴弧AM、弧BF的度数都为为40°

∴∠ADM=20°=∠FAB

∴∠DAI1=∠FAB+∠DAB=80°

∴∠AI1D=180°-∠ADM-∠DAI1=180°-20°-80°=80°

∴∠DAI1=∠AI1D

∴AD=I1D=2

∴弧I1I2的长为：

点睛：此题是一道圆的综合题，有一定的难度，熟记圆的相关性质与定理，并对圆中的弦、弧、圆心角、圆周角等进行灵活转化是解题关键，注意数形结合思想的渗透.

4．如图AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，过点C作⊙O的切线CM，延长BC到点D，使CD=BC，连接AD交CM于点E，若⊙OD半径为3，AE=5，

（1）求证：CM⊥AD；

（2）求线段CE的长.

【答案】（1）见解析；（2）5

【解析】

分析：（1）连接OC，根据切线的性质和圆周角定理证得AC垂直平分BD，然后根据平行线的判定与性质证得结论；

（2）根据相似三角形的判定与性质证明求解即可.

详解：证明：（1）连接OC

∵CM切⊙O于点C，

∴∠OCE=90°，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵CD=BC，

∴AC垂直平分BD，

∴AB=AD，

∴∠B=∠D

∵∠B=∠OCB

∴∠D=∠OCB

∴OC∥AD

∴∠CED=∠OCE=90°

∴CM⊥AD.

（2）∵OA=OB，BC=CD

∴OC=12AD

∴AD=6

∴DE=AD-AE=1

易证△CDE～△ACE

∴CEDEAECE ∴CE2=AE×DE

∴CE=5

点睛：此题主要考查了切线的性质和相似三角形的判定与性质的应用，灵活判断边角之间的关系是解题关键，是中档题.

5．如图，已知四边形ABCD是矩形，点P在BC边的延长线上，且PD=BC，⊙A经过点B，与AD边交于点E，连接CE .

（1）求证：直线PD是⊙A的切线；

（2）若PC=25，sin∠P=23，求图中阴影部份的面积（结果保留无理数）．

【答案】（1）见解析；（2）20-4π.

【解析】

分析：（1）过点A作AH⊥PD，垂足为H，只要证明AH为半径即可.

（2）分别算出Rt△CED的面积，扇形ABE的面积，矩形ABCD的面积即可.

详解：（1）证明：如图，过A作AH⊥PD，垂足为H，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC，AD∥BC，∠PCD=∠BCD=90°，

∴∠ADH=∠P，∠AHD=∠PCD=90°，

又PD=BC，∴AD=PD，

∴△ADH≌△DPC，∴AH=CD，

∵CD=AB，且AB是⊙A的半径，

∴AH=AB,即AH是⊙A的半径，

∴PD是⊙A的切线.

（2）如图，在Rt△PDC中，∵sin∠P=23CDPD，PC=25 ，

令CD=2x，PD=3x，由由勾股定理得：（3x）2-(2x)2=(25)2，

解得：x=2，∴CD=4，PD=6，

∴AB=AE=CD=4，AD=BC=PD=6，DE=2， ∵矩形ABCD的面积为6×4=24，Rt△CED的面积为12×4×2=4，

扇形ABE的面积为12π×42=4π，

∴图中阴影部份的面积为24-4-4π=20-4π.

点睛：本题考查了全等三角形的判定，圆的切线证明，三角形的面积，扇形的面积，矩形的面积.

6．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E，过点D作DF⊥AB于点F，交⊙O于点H，连接DC，AC．

（1）求证：∠AEC=90°；

（2）试判断以点A，O，C，D为顶点的四边形的形状，并说明理由；

（3）若DC=2，求DH的长．

【答案】（1）证明见解析；

（2）四边形AOCD为菱形；

（3）DH=2．

【解析】

试题分析：（1）连接OC，根据EC与⊙O切点C，则∠OCE=90°，由题意得，∠DAC=∠CAB，即可证明AE∥OC，则∠AEC+∠OCE=180°，从而得出∠AEC=90°；

（2）四边形AOCD为菱形．由（1）得，则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形，再由OA=OC，即可证明平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；

（3）连接OD．根据四边形AOCD为菱形，得△OAD是等边三角形，则∠AOD=60°，再由DH⊥AB于点F，AB为直径，在Rt△OFD中，根据sin∠AOD=，求得DH的长．

试题解析：（1）连接OC，