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第一讲数系扩张--有理数（一）一、【典型例题解析】：1、若ab》O,则旦?凹_空的值等于多少? a b ab2、如果m是大于1的有理数，那么m —定小于它的（）A.相反数B. 倒数C. 绝对值D. 平方3、已知两数a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是 2 ,求x2—（a+b+c）d X（ a2）0^6X - C的值。
11J a o b4、如果在数轴上表示a、b两上实数点的位置，如下图所示，那么|a —b| |a b|化简的结果等于（A. 2aB. -2 aC. 0D. 2b5、已知（a -3）2? |b -2|=0，求a b的值是（）A.2B.3C.9D.66、有3个有理数a,b,c，两两不等，那么口，口，口中有几个负数？b —c c —a a —b7、设三个互不相等的有理数，既可表示为1， a b, a的形式式，又可表示为0，-，b的a2006 2007形式，求 a b 。
8. 三个有理数a,b,c的积为负数，和为正数，且X =—- c J-ab|J-ac|则| a | |b | | c| ab bc acax3 bx2 cx 1的值是多少?9、若a,b,c为整数，且|a -b|2007? |c-a|2007= 1，试求|c-a| |a-b「|b-c|的值三、课堂备用练习题。
1、计算：1+2-3-4+5+6-7-8+ …+2005+20062、计算：1 X 2+2X 3+3X 4+…+n(n+1)3、计算: 5 9 17 33 65 129—r —r ---------------- r ---------- 十-------j --------------2 4 8 16 32 64-134、已知a,b为非负整数，且满足|a-b|，ab =1 ,求a,b的所有可能值。
5、若三个有理数a,b,c满足回.也.?」，求da b c abc第二讲数系扩张--有理数(二)、【典型例题解析】：1、(1)若-2 乞a 乞0，化简|a 2| |^2| (2)若xY：0，化简||x|-2x| |x-3|-|x|2、设a Y'O ，且x 乞旦，试化简|x?1| —|x —2| |a|3、a 、b 是有理数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件?(1)|a b|=|a||b|; ( 2) |ab|=|a||b|;(4)若|a|=b 则a=b ( 5)若|a|Y]b|，则aY ：b4、若|x ? 5| ? |x-2|=7，求x 的取值范围5、不相等的有理数a,b,c 在数轴上的对应点分别为A 、B 、C ，如果|a -b 「| b - c|=| a -c |，那么B 点在A 、C 的什么位置？6、设aYbYcYd ，求|x-a| |x-b| |x-c|，|x-d| 的最小值。
第一讲 数系扩张--有理数（一）一、【典型例题解析】：1、若||||||0,a b ab ab a b ab+-则的值等于多少？ 2． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方3、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。
4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（ A.2a B.2a - C.0 D.2b5、已知2(3)|2|0a b -+-=，求b a 的值是（ ） A.2 B.3 C.9 D.66、 有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么,,a b b c c ab c c a a b------中有几个负数？ 7、 设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为0，ba，b 的形式，求20062007a b +。
8、 三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac=+++++则321ax bx cx +++的值是多少？ 9、若,,a b c 为整数，且20072007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。
三、课堂备用练习题。
1、计算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+2005+20062、计算：1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)3、计算：59173365129132********+++++- 4、已知,a b 为非负整数，且满足||1a b ab -+=，求,a b 的所有可能值。
5、若三个有理数,,a b c 满足||||||1a b c a b c ++=，求||abc abc第二讲 数系扩张--有理数（二）二、【典型例题解析】：1、 （1）若20a -≤≤，化简|2||2|a a ++-（2）若0x，化简|||2||3|||x x x x ---2、设0a，且||ax a ≤，试化简|1||2|x x +-- 3、a 、b 是有理数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？（1）||||||;a b a b +=+ （2）||||||;ab a b = （3）||||;a b b a -=- （4）若||a b =则a b = （5）若||||a b ，则a b （6）若a b ，则||||a b4、若|5||2|7x x ++-=，求x 的取值范围。
一．有理数含有带分数的加减法，方法是将整数部分和分数部分相加，再计算结果．带分数分成整数部分和分数部分时的符号与原带分数的符号相同．例2 计算(-4×32)-(-4×3)2(-2)2-(-52)×(-1)5+87÷(-3)×(-1)4．在没有括号的不同级运算中，先算乘方再算乘除，最后算加减．例3在带有括号的运算中，先算小括号，再算中括号，最后算大括号．练习*．计算(题中的字母均为自然数)：(1)(-12)2÷(-4)3-2×(-1)2n-1；(4)［(-2)4+(-4)2·(-1)7］2n ·(53+36)．二．整式的加减有哪些要注意的问题？①整式（既单项式和多项式）中，分母一律不能含有字母。
②π不是字母，而是一个数字，③多项式相加（减）时，必须用括号把多项式括起来，才能进行计算。
④去括号时，要特别注意括号前面的因数。
1.找出下列代数式中的单项式、多项式和整式。
3zy x ++，4xy ，a 1，22n m ，x2+x+x1，0，xx212-，m ，―2.01×1052.指出下列单项式的系数、次数：a b ，―x 2，53xy 5，353z y x -。
3.指出多项式a 3―a 2b ―a b 2+b 3―1是几次几项式，最高次项、常数项各是什么？4.化简求值①)15()42(22---+-a a a a ，其中2-=a②)5(3)3(52222b a ab ab b a +--，其中31=a ，21-=b三．一元一次方程应用题归类汇集： （一）行程问题：1.相遇问题甲、乙两人在相距18千米的两地同时出发，相向而行，1小时48分相遇，如果甲比乙早出发40分钟，那么在乙出发1小时30分时两人相遇，求甲、乙两人的速度。
2.反比例问题某人从家里骑自行车到学校。
若每小时行15千米，可比预定的时间早到15分钟；若每小时行9千米，可比预定的时间晚到15分钟；求从家里到学校的路程有多少千米？3.环形跑道追及问题在800米跑道上有两人练中长路，甲每分钟跑320米，乙每分钟跑280米，•两人同时同地同向起跑，几分钟后第一次相遇？4.火车过桥式相遇问题一列客车长200 m,一列货车长280 m,在平行的轨道上相向行驶,从两车头相遇到两车尾相离经过16秒,已知客车与货车的速度之比是3∶2,问两车每秒各行驶多少米?5. 火车过桥式追及问题与铁路平行的一条公路上有一行人与骑自行车的人同时向南行进。
第一讲数系扩张--有理数（一）一、【问题引入与归纳】1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。
2、有理数的两种分类：3、有理数的本质定义，能表成mn（0,,n m n≠互质）。
4、性质：①顺序性（可比较大小）；②四则运算的封闭性（0不作除数）；③稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。
5、绝对值的意义与性质：①(0)||(0)a aaa a≥⎧=⎨-≤⎩②非负性2(||0,0)a a≥≥③非负数的性质：i）非负数的和仍为非负数。
ii）几个非负数的和为0，则他们都为0。
二、【典型例题解析】：1、若||||||0,a b ababa b ab+-则的值等于多少？2．如果m是大于1的有理数，那么m一定小于它的（）A.相反数B.倒数C.绝对值D.平方3、已知两数a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是2，求220062007()()()x a b cd x a b cd-+++++-的值。
4、如果在数轴上表示a、b两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b-++化简的结果等于（A.2aB.2a- C.0 D.2b5、已知2(3)|2|0a b-+-=，求b a的值是（）A.2B.3C.9D.66、有3个有理数a,b,c，两两不等，那么,,a b b c c ab c c a a b------中有几个负数？7、设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a+的形式式，又可表示为0，ba，b的形式，求20062007a b+。
8、 三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac=+++++则321ax bx cx +++的值是多少？ 9、若,,a b c 为整数，且20072007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。
三、课堂备用练习题。
第一讲 数系扩张--有理数（一）一、【问题引入与归纳】1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。
2、有理数的两种分类：3、有理数的本质定义，能表成（互质）。
m n 0,,n m n ≠4、性质：① 顺序性（可比较大小）；② 四则运算的封闭性（0不作除数）；③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。
5、绝对值的意义与性质：① ② 非负性 (0)||(0)a a a a a ≥⎧=⎨-≤⎩2(||0,0)a a ≥≥③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。
ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。
二、【典型例题解析】： 1、若的值等于多少？||||||0,a b ab ab a b ab+- 则 2． 如果是大于1的有理数，那么一定小于它的（ ）m m A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方3、已知两数、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是2，求a b c d x的值。
220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-4、如果在数轴上表示、两上实数点的位置，如下图a b 所示，那么化简的结果等于（||||a b a b -++ A. B. C.0 D.2a 2a -2b5、已知，求的值是（ ）2(3)|2|0a b -+-=b a A.2 B.3 C.9 D.66、 有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么中有几个负数？,,a b b c c a b c c a a b------ 7、 设三个互不相等的有理数，既可表示为1，的形式式，又可表示,a b a +为0，，的形式，求。
b ab 20062007a b +8、三个有理数的积为负数，和为正数，且,,a b c 则的值是多少？||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac=+++++321ax bx cx +++9、若为整数，且，试求的,,a b c 20072007||||1a b c a -+-=||||||c a a b b c -+-+-值。
2024人教版七年级数学寒假培优七年级数学寒假培优计划一、学习目标通过本次寒假培优计划，希望同学们能够巩固和加深对七年级数学知识的理解，提高数学思维能力，掌握数学解题技巧，为下学期的数学学习打下坚实的基础。
二、学习内容1. 数的运算：复习正数、负数、有理数的基本概念及混合运算。
2. 代数式：掌握代数式的基本性质，学习代数式的变形与化简。
3. 一元一次方程：掌握一元一次方程的解法，学习方程组的解法。
4. 几何图形：了解点、线、面的基本概念，学习平行线、相交线、垂直线等基本性质。
5. 概率初步认识：了解概率的基本概念，学习概率的计算方法。
三、学习方式1. 提前预习：同学们可以根据自己的实际情况，提前预习下学期的数学知识，了解重难点。
2. 专题学习：针对不同的知识点，进行专题学习，深入理解数学概念和解题方法。
3. 练习巩固：通过大量的练习题，巩固所学知识，提高解题能力。
4. 交流讨论：与同学、老师进行交流讨论，分享学习心得，共同进步。
四、时间安排1. 第1-3天：复习数的运算，完成相关练习题。
2. 第4-6天：学习代数式，掌握其基本性质与变形化简方法。
3. 第7-9天：学习一元一次方程的解法，理解方程组的解法。
4. 第10-12天：学习几何图形，了解点、线、面的基本概念及性质。
5. 第13-15天：学习概率初步认识，了解概率的基本概念及计算方法。
6. 第16-18天：综合复习，强化练习，提高解题能力。
7. 第19-20天：整理学习笔记，总结学习心得。
五、总结与反思通过本次寒假培优计划，同学们可以系统地复习和预习数学知识，提高数学思维能力。
同时，同学们应该及时总结学习心得，反思学习中存在的问题，以便更好地进行下学期的学习。
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第一讲 数系扩张—-有理数(一）一、【问题引入与归纳】1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。
2、有理数的两种分类：3、有理数的本质定义,能表成m n （0,,n m n ≠互质）.4、性质：① 顺序性（可比较大小）；② 四则运算的封闭性（0不作除数）；③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。
5、绝对值的意义与性质：① (0)||(0)a a a a a ≥⎧=⎨-≤⎩ ② 非负性 2(||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。
ii)几个非负数的和为0,则他们都为0。
二、【典型例题解析】：1、若||||||0,a b ab ab a b ab+-则的值等于多少? 2． 如果m 是大于1的有理数,那么m 一定小于它的（ )A.相反数 B 。
倒数 C.绝对值 D.平方3、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。
4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置,如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（A.2a B 。
2a - C.0 D 。
2b5、已知2(3)|2|0a b -+-=，求b a 的值是( )A.2 B 。
第一讲 数系扩张--有理数(一)一、【问题引入与归纳】1、正负数,数轴,相反数,有理数等概念。
2、有理数得两种分类:3、有理数得本质定义,能表成m n (0,,n m n ≠互质)。
4、性质:① 顺序性(可比较大小);② 四则运算得封闭性(0不作除数);③ 稠密性:任意两个有理数间都存在无数个有理数。
5、绝对值得意义与性质:① (0)||(0)a a a a a ≥⎧=⎨-≤⎩ ② 非负性 2(||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数得性质: i)非负数得与仍为非负数。
ii)几个非负数得与为0,则她们都为0。
二、【典型例题解析】:1、若||||||0,a b ab ab a b ab+-则得值等于多少？ 2. 如果m 就是大于1得有理数,那么m 一定小于它得( )A 、相反数B 、倒数C 、绝对值D 、平方3、已知两数a 、b 互为相反数,c 、d 互为倒数,x 得绝对值就是2,求220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-得值。
4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点得位置,如下图所示,那么||||a b a b -++化简得结果等于(A 、2aB 、2a -C 、0D 、2b5、已知2(3)|2|0a b -+-=,求b a 得值就是( )A 、2 B.3 C 、9 D 、66、 有3个有理数a,b,c,两两不等,那么,,a b b c c a b c c a a b------中有几个负数？ 7、 设三个互不相等得有理数,既可表示为1,,a b a +得形式式,又可表示为0,b a,b 得形式,求20062007a b +。
8、 三个有理数,,a b c 得积为负数,与为正数,且||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac=+++++则321ax bx cx +++得值就是多少？ 9、若,,a b c 为整数,且20072007||||1a b c a -+-=,试求||||||c a a b b c -+-+-得值。
第一讲 数系扩张-—有理数（一)一、【问题引入与归纳】1、正负数，数轴，相反数,有理数等概念。
2、有理数的两种分类:3、有理数的本质定义，能表成m n （0,,n m n ≠互质）。
4、性质：① 顺序性(可比较大小）；② 四则运算的封闭性（0不作除数）；③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。
5、绝对值的意义与性质:① (0)||(0)a a a a a ≥⎧=⎨-≤⎩ ② 非负性 2(||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质： i)非负数的和仍为非负数。
ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。
二、【典型例题解析】：1、若||||||0,a b ab ab a b ab+-则的值等于多少? 2． 如果m 是大于1的有理数,那么m 一定小于它的（ ）A.相反数 B 。
倒数 C 。
绝对值 D 。
平方3、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。
4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示,那么||||a b a b -++化简的结果等于（A.2aB.2a -C.0 D 。
2b5、已知2(3)|2|0a b -+-=，求b a 的值是（ ）A 。
2B 。
3 C.9 D 。
66、 有3个有理数a,b,c,两两不等，那么,,a b b c c a b c c a a b------中有几个负数? 7、 设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式,又可表示为0，b a，b 的形式，求20062007a b +.8、 三个有理数,,a b c 的积为负数,和为正数,且||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac=+++++则321ax bx cx +++的值是多少？ 9、若,,a b c 为整数,且20072007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。
第一讲 数系扩张--有理数（一）一、【典型例题解析】：1、若||||||0,a b ab ab a b ab +-则的值等于多少？ 2． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ）A.相反数B.倒数C.绝对值D.平方3、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。
4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（A. 2aB.2a -C. 0D.2b5、已知2(3)|2|0a b -+-=，求b a 的值是（ ）A.2B.3C.9D.66、 有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么,,a b b c c a b c c a a b------中有几个负数？ 7、 设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为0，b a，b 的形式，求20062007a b +。
8.三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac =+++++则321ax bx cx +++的值是多少？ 9、若,,a b c 为整数，且20072007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。
三、课堂备用练习题。
1、计算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+2005+20062、计算：1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)3、计算：5917336512913248163264+++++- 4、已知,a b 为非负整数，且满足||1a b ab -+=，求,a b 的所有可能值。
5、若三个有理数,,a b c 满足||||||1a b c a b c ++=，求||abc abc第二讲 数系扩张--有理数（二）二、【典型例题解析】：1、 （1）若20a -≤≤，化简|2||2|a a ++- （2）若0x ，化简|||2||3|||x x x x ---2、设0a ，且||a x a ≤，试化简|1||2|x x +-- 3、a 、b 是有理数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？（1）||||||;a b a b +=+ （2）||||||;ab a b = （3）||||;a b b a -=-（4）若||a b =则a b = （5）若||||a b ，则a b （6）若a b ，则||||a b 4、若|5||2|7x x ++-=，求x 的取值范围。
5、不相等的有理数,,a b c 在数轴上的对应点分别为A 、B 、C ，如果||||||a b b c a c -+-=-，那么B 点在A 、C 的什么位置？6、设a b c d ，求||||||||x a x b x c x d -+-+-+-的最小值。
7、abcde 是一个五位数，a b c d e ，求||||||||a b b c c d d e -+-+-+-的最大值。
8、设1232006,,,,a a a a 都是有理数，令1232005()M a a a a =++++2342006()a a a a ++++ ,1232006()N a a a a =++++2342005()a a a a ++++,试比较M 、N 的大小。
三、【课堂备用练习题】：1、已知()|1||2||3||2002|f x x x x x =-+-+-++-求()f x 的最小值。
2、若|1|a b ++与2(1)a b -+互为相反数，求321a b +-的值。
3、如果0abc ≠，求||||||a b c a b c++的值。
4、x 是什么样的有理数时，下列等式成立？ （1）|(2)(4)||2||4|x x x x -+-=-+- （2）|(76)(35)|(76)(35)x x x x +-=+-5、化简下式：||||x x x- 第三讲 数系扩张--有理数1、计算：237970.716.6 2.20.7 3.31173118⨯-⨯-÷+⨯+÷ 2、1111111111(1)()(1)2319962341997231997----⨯++++-----1111()2341996⨯++++ 3、计算：①2232(2)|3.14|| 3.14|(1)ππ-+------- ②{}235324[3(2)(4)(1)]7-⨯-+⨯-⨯---÷--4、化简：111()(2)(3)(9)122389x y x y x y x y +++++++⨯⨯⨯并求当2,x =9y =时的值。
5、计算：2222222221314112131411n n S n ++++=++++---- 6、比较1234248162n n n S =+++++与2的大小。
7、计算：3323200213471113()[0.25()](5 1.254)[(0.45)(2)](1)81634242001-⨯+----÷++- 8、已知a 、b 是有理数，且ab ，含23a bc +=，23a c x +=，23c b y +=，请将,,,,a b c x y 按从小到大的顺序排列。
三、【备用练习题】： 1、计算（1）1111142870130208++++ （2）222133599101+++⨯⨯⨯ 2、计算：11111120072006200520041232323-+-+- 3、计算：1111(1)(1)(1)(1)2342006-⨯-⨯-⨯⨯- 4、如果2(1)|2|0a b -++=，求代数式220062005()()2()b a a b ab a b -++++的值。
5、若a 、b 互为相反数c 、d 互为倒数，m 的绝对值为2，求2221(12)a b m m cd -+÷-+的值。
2、代数式的求值： （1）已知25a b a b -=+，求代数式2(2)3()2a b a b a b a b-+++-的值。
（2）已知225x y ++的值是7，求代数式2364x y ++的值。
（3）已知2a b =；5c a =，求624a b c a b c+--+的值(0)c ≠ （4）已知113b a -=，求222a b ab a b ab---+的值。
（5）已知：当1x =时，代数式31Px qx ++的值为2007，求当1x =-时，代数式31Px qx ++的值。
（6）已知等式(27)(38)810A B x A B x -+-=+对一切x 都成立，求A 、B 的值。
（7）已知223(1)(1)x x a bx cx dx +-=+++，求a b c d +++的值。
（8）当多项式210m m +-=时，求多项式3222006m m ++的值。
3、找规律：Ⅰ.（1）22(12)14(11)+-=+； （2）22(22)24(21)+-=+（3）22(32)34(31)+-=+ （4）22(42)44(41)+-=+第N 个式子呢？Ⅱ.已知 2222233+=⨯； 2333388+=⨯； 244441515+=⨯； 若21010a a b b+=⨯（a 、b 为正整数），求?a b += Ⅲ. 32332333211;123;1236;=+=++=33332123410;+++=猜想：333331234?n +++++= 三、【备用练习题】：1、若()m n +个人完成一项工程需要m 天，则n 个人完成这项工程需要多少天？2、已知代数式2326y y -+的值为8，求代数式2312y y -+的值。
3、某同学到集贸市场买苹果，买每千克3元的苹果用去所带钱数的一半，而余下的钱都买了每千克2元的苹果，则该同学所买的苹果的平均价格是每千克多少元？ 4、已知1111n n a a +=+(1,2,3,,2006)n =求当11a =时，122320062007?a a a a a a +++=第四讲 代数式（二）一、【典型例题解析】：1、 已知多项式222259337y x xy x nxy my +-++-+经合并后，不含有y 的项，求2m n +的值。
2、当250(23)a b -+达到最大值时，求22149a b +-的值。
3、已知多项式3225a a a -+-与多项式N 的2倍之和是324224a a a -+-，求N ？4、若,,a b c 互异，且x y a b b c c aZ ==---，求x y Z ++的值。
5、已知210m m +-=，求3222005m m ++的值。
6、已知2215,6m mn mn n -=-=-，求2232m mn n --的值。
7、已知,a b 均为正整数，且1ab =，求11a b a b +++的值。
8、求证200612006211112222个个等于两个连续自然数的积。
9、已知1abc =，求111a b c ab a bc b ac c ++++++++的值。
10、一堆苹果，若干个人分，每人分4个，剩下9个，若每人分6个，最后一个人分到的少于3个，问多少人分苹果？二、【备用练习题】：1、已知1ab =，比较M 、N 的大小。
1111M a b =+++， 11a b N a b=+++。
2、已知210x x --=，求321x x -+的值。
3、已知x y z K y z x z x y===+++，求K 的值。
4、5544333,4,5a b c ===比较,,a b c 的大小。
5、已知22350a a --=求432412910a a a -+-的值。
第五讲 发现规律一、【典型例题解析】1、 观察算式：(13)2(15)3(17)4(19)513,135,1357,13579,,2222+⨯+⨯+⨯+⨯+=++=+++++++=按规律填空：1+3+5+…+99= ？，1+3+5+7+…+(21)n -= ？2、如图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子。
观察图形的变化规律，写出第n 个小房子用了多少块石子？3、 用黑、白两种颜色的正六边形地面砖（如图所示）的规律，拼成若干个图案：（1）第3个图案中有白色地面砖 块（2）第n 个图案中有白色地面砖 块4、 观察下列一组图形，如图，根据其变化规律，可得第10个图形中三角形的个数为多少？第n 个图形中三角形的个数为5、 观察右图，回答下列问题：（1）图中的点被线段隔开分成四层，则第一层有1个点，第二层有3个点，第三层有多少个点，第四层有 点（2）如果要你继续画下去，那第五层应该画 点，第n 层有多 点（3）某一层上有77个点，这是第 几层（4）第一层与第二层的和是 ,前三层的和 前4层的和 你有没有发现规律 ,根据你的推测，前12层的和是6、读一读：式子“1+2+3+4+5+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1+2+3+4+5+…+100”表示为1001n n =∑，这里“∑”是求和符号，例如“1+3+5+7+9+…+99”（即从1开始的100以内的连续奇数的和）可表示为501(21);n n =-∑又如“333333333312345678910+++++++++”可表示为1031n n =∑，同学们，通过以上材料的阅读，请解答下列问题：（1）2+4+6+8+10+…+100用求和符号可表示为 ； （2）计算：521(1)n n =-∑= （填写最后的计算结果）。
