学而思初一数学寒假班第7讲 阶段测试 教师版(目标中考满分班)

1初一秋季·第7讲·尖子班·教师版一 有理数基本概念1. 正数、负数及有理数概念2. 用正、负数表示相反意义的量3. 有理数: 整数与分数统称有理数.4. 有理数的分类：⑴ 按整数和分数分类； ⑵ 按正数、负数和零分类.注：①正数和零统称为非负数；②负数和零统称为非正数； ③正整数和零统称为非负整数； ④负整数和零统称为非正整数.⎧⎫⎪⎬⎨⎭⎪⎩有限小数可化成分数形式，是有理数小数无限循环小数无限不循环小数——不可以化成分数形式，不是有理数二 数轴、相反数、绝对值、倒数、负倒数1. 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴；2. 相反数：只有符号不同的两个数，互称为相反数．如果a 与b 互为相反数，则有0a b =+，反之亦然．3. 绝对值：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．数a 的绝对值记作a ．正数的绝对值是本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数．绝对值的性质：⑴ 绝对值的非负性，可以用下式表示：0a ≥，这是绝对值非常重要的性质；⑵ (0)(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩ 0 ；⑶ 若a a =，则0a ≥；若a a =-，则0a ≤； ⑷ 若a b =，则a b =或a b =-； ⑸ a a =-； 7期中复习2初一秋季·第7讲·尖子班·教师版⑹ a b - 数轴上表示数a 的点与表示数b 的点之间的距离，且a b b a -=-.教师备案：1. 解决绝对值的相关问题大多数都是去绝对值符号问题．（看到绝对值就想到去绝对值符号）2. 让学生掌握绝对值的几何意义，利用数形结合及分类思想解题．3. 让学生灵活运用绝对值的基本性质．4. 倒数：乘积为1的两个数互为倒数，特别地，0没有倒数；倒数是它本身的数是1±，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数．5. 负倒数：乘积为1-的两个数互为负倒数，特别地，0没有负倒数 ；a 、b 互为负倒数，则有1ab =-，反之亦然．三 有理数的加减法1. 有理数加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加，仍得这个数. 2. 有理数加法的运算律：①两个加数相加，交换加数的位置，和不变. a b b a +=+(加法交换律) ②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. ()()a b c a b c ++=++(加法结合律) 3. 有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.例：()a b a b -=+-四 有理数乘除法1. 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘都得0.2. 有理数乘法运算律：乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律.3. 有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 0除以任何一个不等于0的数，都得0.4. 有理数除法的运算步骤：首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值.5. 有理数乘方：求n 个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 在n a 中，a 叫做底数，n叫做指数. 特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号． 6. 有理数混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减. 7. 科学记数法科学记数法：把一个大于10的数表示成10n a ⨯的形式（其中110a <≤，n 是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：5200000210=⨯就是科学记数法表示数的形式． 710200000 1.0210=⨯也是科学记数法表示数的形式．【例1】 ⑴在有理数1-，0，35-，(4)--，()1.2+-，4--，56%，()3---中，整数有________有理数综合复习3初一秋季·第7讲·尖子班·教师版个，负数有_________个．⑵下列代数式：2m 、22x +、x 、1a +、1||2a +、21x -、2()|1|ab ---的值，一定为正数的有 个.⑶下列说法正确的有（ ）个①正数和负数统称为有理数；②1是最小的自然数；③整数和分数统称为有理数；④非 负数是正数和0；⑤正整数和负整数统称为整数；⑥分数都可以化为小数，反过来小数 不一定能化为分数。

一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列选项中，不是同类项的是（）A. 3a^2bB. 2ab^2C. 5a^2b^2D. 4a^2b2. 下列方程中，无解的是（）A. 2x + 3 = 7B. 2x - 5 = 0C. 3x + 2 = 5D. 3x + 2 = 03. 下列不等式中，不正确的是（）A. 3x + 2 > 7B. 2x - 5 < 0C. 3x + 2 ≥ 7D. 2x - 5 ≥ 04. 下列选项中，不是正比例函数的是（）A. y = 2xB. y = 3x + 1C. y = 4x - 2D. y = 5x5. 下列选项中，不是反比例函数的是（）A. y = 2/xB. y = 3/xC. y = 4/xD. y = 5/x二、填空题（每题5分，共25分）6. 已知一元二次方程x^2 - 3x + 2 = 0，则方程的解为______。

7. 已知等差数列{an}的首项为2，公差为3，则第10项an = ______。

8. 已知平行四边形的对角线互相平分，且对角线长分别为8cm和6cm，则平行四边形的面积是______cm^2。

9. 已知一个长方体的长、宽、高分别为2cm、3cm、4cm，则长方体的体积是______cm^3。

10. 已知一个圆的半径为5cm，则圆的面积是______cm^2。

三、解答题（每题10分，共30分）11. 解方程：3x^2 - 5x + 2 = 0。

12. 求等差数列{an}的前10项和。

13. 已知一个等边三角形的边长为6cm，求该三角形的面积。

四、应用题（每题10分，共20分）14. 小明骑自行车从家到学校，以每小时15km的速度匀速行驶，若小明从家出发后40分钟到达学校，则小明家到学校的距离是多少千米？15. 小华在超市购买了一些苹果和香蕉，苹果的价格是每千克10元，香蕉的价格是每千克5元。

小华共花费了60元，且苹果的重量是香蕉的两倍。

方程7级二元一次方程组的实际应用方程8级分式方程方程9级一元二次方程认识初步寒假班第一讲秋季班第十讲世纪画作漫画释义满分晋级阶梯4二元一次方程组的实际应用编写思路：本讲主要还是训练学生寻找题目中等量关系的能力。

当题目中涉及多个未知量及多个等量关系的时候，可以设多元，通过列方程组、解方程组解答。

每个例题，涉及一个实际问题，让学生充分掌握和运用各类实际问题中量与量的关系列方程。

解实际问题的一般步骤：⑴ 审题，分析题目中的已知和未知； ⑵ 找等量关系（画图法或列表法等）； ⑶ 设未知数列方程组； ⑷ 求解方程组；⑸ 检验（包括代入原方程组检验和是否符合题意的检验）； ⑹ 写出答案．【引例】 A 、B 两地相距36千米，两人步行，甲从A 到B ，乙从B 到A .两人同时出发，相向而行，4小时后相遇；若行6小时，此时甲剩下的路程是乙剩下的路程的2倍，求两人的速度. 【分析】设甲每小时行x 千米，乙每小时行y千米，那么，其有关的等量关系可用下面的线段图表示例题精讲思路导航知识互联网题型一：二元一次方程组的应用（如图所示）【解析】 设甲的速度是x 千米/时，乙的速度是y 千米/时，根据题意得44363662(366)x y x y +=⎧⎨-=-⎩ 解方程组得45x y =⎧⎨=⎩. 答：甲的速度是4千米/时，乙的速度是5千米/时.1．工程问题【例1】 ⑴某蔬菜公司收购某种蔬菜140吨，准备加工上市销售，该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或粗加工16吨。

现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天精加工，几天粗加工？设安排x 天精加工，y 天粗加工. 为解决这个问题，所列方程组正确的是（ ）A ．14016615x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．14061615x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．15166140x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．15616140x y x y +=⎧⎨+=⎩⑵2012年8月中旬，某市受到14号台风的影响后，部分街道路面积水比较严重．为了改善这一状况，市政公司决定将一总长为1200m 的排水工程承包给甲、乙两工程队来施工．若甲、乙两队合作需12天完成此工程；若甲队先做了8天后，剩下的由乙队单独做还需18天才能完工．问甲、乙两队单独完成此工程各需多少天？【解析】 ⑴D⑵设甲、乙两队每天排水量分别为，x y m ，则 121212008181200x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得6040x y =⎧⎨=⎩甲：12006020÷=（天）； 乙：12004030÷=（天） 另解：设甲、乙两队单独完成此工程各需，x y 天，则 111128181x y x y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得2030x y =⎧⎨=⎩ (2)(1)4x4yAB甲乙 C AC+CB=ABBC=2AD乙甲 B ADC6x 36-6x 甲剩下的乙剩下的36-6y 6y典题精练答：甲队单独完成此工程需要20天，乙队需要30天．【点评】第一种方法虽然不是直接法但是好理解也容易求解，第二种方法直接设元但实际是分式方程，学生不太好求.教师可两种方法都介绍.2．图形问题【例2】 ⒈小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：m ），解答下列问题： ⑴ 写出用含x 、y 的代数式表示的地面总面积；⑵ 已知客厅面积比卫生间面积多221m ，且地面总面积是卫生间面积的15倍，铺21m 地砖的平均费用为80元，求铺地砖的总费用为多少元？【解析】 ⑴ 6218S x y =++；⑵ 62216218152x y x y y -=⎧⎨++=⨯⎩ 解得432xy =⎧⎪⎨=⎪⎩．总费用为：38064218804536002⎛⎫⨯⨯+⨯+=⨯= ⎪⎝⎭元答：铺地砖的总费用为3600元．2.如图所示，矩形ABCD 的周长为14cm ，E 为AB 的中点，以A 为圆心，AE 长为半径画弧交AD 于点F ．以C 为圆心，CB 长为半径画弧交CD 于点G ．设cm AB x =，cm BC y =，当DF DG =时，求x ，y 的值．【解析】 根据题意可列方程组221412x y y x x y +=⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得43x y =⎧⎨=⎩．3．利润问题【例3】 甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50％的利润定价，乙服装按40％的利润定价．在实际出售时，应顾客要求两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？ 【解析】 设甲、乙服装的成本分别为x 元，y 元，根据题意可得()5001.5 1.40.9500157x y x y +=⎧⎪⎨+⨯-=⎪⎩解得300200x y =⎧⎨=⎩ 答：甲、乙两件服装的成本分别是300元和200元．【点评】售价=成本+利润=成本⨯（1+利润率），利润率=利润/成本．4．容积问题【例4】 第一个容器内有水49升，第二个容器有水56升．若将第二个容器内的水倒满第一个容器，第二个容器剩下的水正好是这个容器的容量的一半．若将第一个容器内的水倒满第二个容器，第一个容器剩下的水正好是这个容器的容量的三分之一．求两个容器的容量． 【解析】 设第一个容器的容量为x 升，第二个容器的容量为y 升．则卧室2236xy 卫生间厨房客厅()()156492149563x y y x⎧--=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩， 解得6384x y =⎧⎨=⎩． 答：第一个容器的容量为63升，第二个容器的容量为84升．5．方案问题【例5】 已知：用2辆A 型车和1辆B 型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A 型车和2辆B 型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A 型车a 辆，B 型车b 辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物． 根据以上信息，解答下列问题：⑴1辆A 型车和1辆车B 型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ ⑵请你帮该物流公司设计租车方案；⑶若A 型车每辆需租金100元/次，B 型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费 (2012年龙岩中考题) 【解析】⑴ 设每辆A 型车、B 型车都装满货物一次可以分别运货x 吨、y 吨，依题意列方程组得：210211x y x y +=⎧⎨+=⎩，解方程组，得：34x y =⎧⎨=⎩∴91a b =⎧⎨=⎩或54a b =⎧⎨=⎩或17a b =⎧⎨=⎩答：有3种租车方案：方案一：A 型车9辆，B 型车1辆； 方案二：A 型车5辆，B 型车4辆； 方案三：A 型车1辆，B 型车7辆．⑶ ∵A 型车每辆需租金100元/次，B 型车每辆需租金120元/次， ∴方案一需租金：910011201020⨯+⨯=（元） 方案二需租金：51004120980⨯+⨯=（元） 方案三需租金：11007120940⨯+⨯=（元） ∵1020980940>>∴最省钱的租车方案是方案三：A 型车1辆，B 型车7辆，最少租车费为940元．以下对图形问题进行拓展：【拓展1】在长为10m ，宽为8m 的矩形空地中，沿平行于矩形各边的方向分割出三个完全一样的小矩形花圃，其示意图如图所示．求小矩形花圃的长和宽．【解析】 设小矩形的长为xm ，宽为ycm ，由题意得：21028x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得42x y =⎧⎨=⎩答：小矩形的长为4m ，宽为2m ．【拓展2】利用两块长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图左方式放置，再交换两木块的位置，按图右方式放置.测量的数据如图，则桌子的高度是（ ）A ．37 cmB ．74 cmC ．75 cmD ．76 cm【分析】本题的相等关系有：桌高+长方体的长-长方体的宽=80 cm. 桌高+长方体的宽-长方体的长=70 cm.【解析】 设桌子高度为a ，木块的长为x ，宽为y ，由题意可知8070x a y y a x +-=⎧⎨+-=⎩，∴2150a =，即75a =. 故选C.【拓展3】扬子江药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图所示．如果长方体盒子的长比宽多4cm ，求这种药品包装盒的体积． 【解析】 设这种药品包装盒的宽为x cm ，高为y cm ，则长为（4x +）cm根据题意得22144213x y x y +=⎧⎨++=⎩解得52x y =⎧⎨=⎩，故长为9cm ，宽为5cm ，高为2cm ， 所以体积V=9×5×2=90（cm 3）． 答：这种药品包装盒的体积为90cm 3．70 cm80 cm不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是解往往有无穷个，不能唯一确定．方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行．求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当已知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论．【引例】 方程314x y +=的整数解有 组，正整数解都有哪些？ 【解析】 方程的整数解有无数组.x 、y 为正整数得14300x y y =->⎧⎨>⎩解不等式组得1403y <<． 故y 只能等于1234，，，. 118524123x x x x y y y y ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩，，，．【例6】 ⑴方程210x y +=的解有 组；正整数解有 组，分别为 .⑵已知关于x 的方程36x ax -=的解为负整数，求223a a +-的值．【解析】 ⑴ 无数组，4组．x 、y 为正整数得，0051020x x y x >⎧⇒<<⎨=->⎩，故x 只能等于1234，，，，12348642，，，x x x x y y y y ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩． ⑵ 21、32、45或96． 当3a ≠时，解方程得63x a=-，因为x 为负整数，所以3123，，a -=---或6-，得对应典题精练例题精讲思路导航题型二：不定方程求解a 的值为4569，，，，代入223a a +-得21324596，，，．【例7】 已知m 为正整数，关于x ，y 的二元一次方程组210320mx y x y +=⎧⎨-=⎩有整数解，求2m 的值．（丰台十二中检测题）【解析】 法一：两式相加得()310m x +=,103x m =+m 可为：2或7当2m =时，2x =，3y =． 当7m =时，1x =， 1.5y =（舍）． 所以 24m =．法二：解方程组得()101533，，x y m m ⎛⎫= ⎪++⎝⎭，若，x y 为正整数，则3m +应该是10和15的公约数，推得2m =，所以24m =．【变式】已知方程组26x y mx y -=⎧⎨+=⎩有非负整数解，求正整数m 的值．【解析】 两式相加得()18m x +=，81x m =+. 故正整数m 可为1,3,7代入可得6201my m -=+≥，故3m ≤所以1,3m =.【总结】对于一元一次方程和二元一次方程（组）中出现的整数根问题：（1）解决一元一次方程的方法首先是要表示出未知数，如果是整数根，只需要分子是分母的约数，有时需要考虑符号问题；例33x m =-，若解是整数，则31,3m -=±±，解得m ；若解是正整数，则31,3m -=，从而解得m .（2）解决二元一次方程的整数解问题，基本方法是先根据题意得到关于其中一个未知数的不等式组，从而解得它的取值范围，再依次代入检验另一个未知数是否符合整数根； （3）解决二元一次方程组的整数根问题，常用方法是：①通过消元，将问题转化为解不定方程；②视某个未知数为常数，将其他未知数用这个未知数的代数式表示；③利用整体思想方法求解.【例8】 一宾馆有两人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅游团20人准备同时租用这三种客房共7间，如果每个房间都住满，那么共有多少种租房方案？真题赏析【解析】 设租二人间x 间，三人间y 间，四人间z 间，则234207x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，得26y z +=，∵,,x y z 均为正整数，∴有2x =，4y =，1z =；3,2,2x y z ===， 故有两种租房方案.题型一 二元一次方程组的应用 巩固练习【练习1】 为建设节约型、环境友好型社会，克服因干旱而造成的电力紧张困难，切实做好节能减排工作．某地决定对居民家庭用电实行“阶梯电价”，电力公司规定：居民家庭每月用电量在80千瓦时以下（含80千瓦时，1千瓦时俗称1度）时，实行“基本电价”；当居民家庭月用电量超过80千瓦时时，超过部分实行“提高电价”．（1）小张家2011年4月份用电100千瓦时，上缴电费68元；5月份用电120千瓦时，上缴电费88元．求“基本电价”和“提高电价”分别为多少元/千瓦时？（2）若6月份小张家预计用电130千瓦时，请预算小张家6月份应上缴的电费． （2011娄底中考） 【解析】 ⑴设“基本电价”为x 元/千瓦时，“提高电价”为y 元/千瓦时，根据题意，得80(10080)6880(12080)88x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得0.61x y =⎧⎨=⎩答：“基本电价”为0.6元/千瓦时，“提高电价”为1元/千瓦时． ⑵()800.613080198⨯+-⨯=（元）．答：预计小张家6月份上缴的电费为98元．【练习2】 小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤．妈妈：“今天买这两样菜共花了45元，上月买同重量的这两样菜只要36元”；复习巩固爸爸：“报纸上说了萝卜的单价上涨50%，排骨单价上涨20%”；小明：“爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少？” 请你通过列方程（组）求解这天萝卜、排骨的单价（单位：元/斤）．【解析】 设上月萝卜的单价是x 元/斤，排骨的单价y 元/斤，根据题意得：()()32363150%2120%45x y x y +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩．解得：215x y =⎧⎨=⎩ 这天萝卜的单价是（1+50%）x=（1+50%）×2=3， 这天排骨的单价是（1+20%）y=（1+20%）×15=18 答：这天萝卜的单价是3元/斤，排骨的单价是18元/斤.【练习3】 如图，在东北大秧歌的踩高跷表演中，已知演员身高是高跷长度的2倍，高跷与腿重合部分的长度为28cm ，演员踩在高跷上时，头顶距离地面的高度为224cm ．设演员的身高为x cm ，高跷的长度为y cm ，求,x y 的值．【解析】 依题意得方程组：222428x y x y =⎧⎨+=+⎩，解得：16884x y =⎧⎨=⎩∴x 的值为168，y 的值为84.题型二 不定方程求解 巩固练习【练习4】 a 取哪些正整数值，方程组25342x y ax y a +=-⎧⎨-=⎩的解都是正整数？【解析】 解方程组得232x a y =⎧⎪⎨-=⎪⎩，由解是正整数得32a -=，即1a =．【练习5】 已知关于x 、y 的方程组21230x my x y +=⎧⎨-=⎩①②的解为正整数，则m 的整数值是多少？【解析】 由方程②得3x y =③将方程③代入方程①中得612y my +=，∴126y m=+∵方程组的解为正整数，∴y 是正整数，即()6m +必须是12的正约数，又12的正约数有：1234612，，，，，，∴6162636466612，，，，，m m m m m m +=+=+=+=+=+=，可求出m 的值为543206，，，，，----．第十四种品格：信念同样的圣诞夜1944年的圣诞夜，两个迷了路的美国大兵拖着一个受了伤的兄弟在风雪中敲响了德国西南边境亚尔丁森林中的一栋小木屋的门，他的主人，一个善良的德国女人，轻轻地拉开了门上的插销。

领先中考培优课程M A T H E M A T I C S3 平面坐标系知识目标目标一理解有序数对、有序数对、点的坐标的概念目标二掌握象限、坐标轴、坐标轴夹角平分线的点的坐标特征目标三灵活运用点和线的平移变换。

点的对称变换求坐标模块一 平面直角坐标系的相关概念 知识导航1有序数对有顺序的两个数a 与b 组成的数对，叫做有序数对，记作（a,b),利用有序数对可以可以很准确的表示出一个位置。

2平面直角坐标系3、点的坐标平面内的点可以用一个有序数对表示，这个有序数对就叫做点的坐标。

对于平面内任意一点，过该点分别向横轴、纵轴作垂线，垂足在横轴、纵轴上对应的数分别叫做该点横坐标、纵坐标。

在平面内两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系、水平的数轴称为x 轴或横轴，习惯上取向右为正方向：竖直的数轴称为y 轴或纵轴，取向上方向为正方向；两坐标轴的交点为平面坐标系的原点。

如左图，建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成了Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ四个部分,每个部分称为象限，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

坐标轴上的点不属于任何象限。

Ⅰ 第一象限 Ⅳ第四象限Ⅲ第三象限 Ⅱ 第二象限 原点如图，点p 为坐标平面内一点，过点p 作x 轴的垂线，垂足M 在x 轴上对应点的数是-2，则-2就是p 的横坐标；过点p 作y 轴的垂线，垂足N 在y 轴上对应的数为3，则3为点p 的纵坐标，点p 就可以用有序数对（-2，-3）来表示，记作p （-2,3）。

由坐标确定点的方法：要确定由坐标（a,b)所表示的点p 的位置，先在x 轴上找到表示a 的点，过这点作x 轴的垂线；再在y 轴上找到表示b 的点，过这点作y 轴的垂线，两条垂线的交点p 即为所求的位置。

由点求坐标的方法：先由已知点p 分别向x 轴和y 轴作垂线，设垂足分别为A 和B ，再求出A 在x 轴上的坐标a 和B 在轴上的坐标b ，则点p 的坐标为（a,b)巩固练习 点的坐标(1)在图1的平面直角坐标系中描出下列个点：A(3，4),B(-2，3),C(-5，-2),D(4，-1),E(1，0),F(0，3),G(-2，0),H(0，-4). (2)写出图2中点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 的坐标。

实数6级绝对值实数7级实数初步实数8级实数的化简与应用春季班第三讲寒假班第一讲想歪了的计算漫画释义满分晋级阶梯3实数的化简与应用在实数范围内，加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算总可以进行，且结果仍然是实数.但开 方运算不能无条件进行，只有正数和0才可以开偶次方.在有理数范围内适用的运算律和运算法则，在实数范围内仍然可以使用。

实数的混合运算顺序与有理数运算顺序基本相同，先乘方、开方，再乘除，最后算加减，同级运 算按从左到右的顺序进行，有括号先算括号里的【例1】 ⑴ 两个无理数的和、差一定是（ ）A 、无理数B 、有理数C 、0D 、实数⑵ 计算：①9494- ②3331642728-+-⨯-③()23252211251445---+- ④2315111393⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭典题精练思路导航知识互联网题型一：实数的计算⑤230275(1)1384π⎛⎫---+- ⎪⎝⎭【例2】 计算：① 35255+- ② 13(32)3++③ 2(22)(321)+-- ④ 2(636)6(61)6----化简常用式子：⑴()()20aa a =≥⑵()()()20||000a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩⑶ 33a a -=-；33a a =；()33a a -=-【例3】 ⑴ 当23x <<时，化简3 1.5x x ---= .⑵化简： 25-= ；3π-= . ⑶ 计算：233225-+-+-⑷ 若3x =-，则()211____x -+=.典题精练思路导航题型二：实数的化简⑸ 计算：()()22262163-+---【例4】 ⑴ 化简：当0a ≥时，2a = ，当0a ≤时，2a = ，当1a ≥时，2(1)a -= . ⑵ 当时，化简．⑶ 已知2()22x xx x=--，则x 应满足（ ） A 、2x < B 、0x ≤ C 、2x > D 、0x ≥且2x ≠ ⑷ 化简2()a b a b b a b a -⋅-----⑸若101a <+且2(1)1a a -=-，则整数a 的个数是（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个【例5】 ⑴ 实数a 在数轴上的对应点A 的位置如图所示：化简()212______a a -+-=⑵ 已知实数a 、b 在数轴上表示的点如图所示，试化简下 列各式：①2a ab +；②a b a b++-⑶ 已知数a b c 、、在数轴上的位置如图所示： 化简：()22a a c c b b -++---的结果为________【例6】 比较下列各值的大小：①31-+和51-+ ② 3和32 ③36-和62-④5m -和34m - ⑤1338-和18 ⑥102+和652-0≤x 21x x -- A直角三角形中，两直角边分别为a b 、，斜边为c ，则满足222a b c +=. 此结论叫做勾股定理.如右图：在直角ABC △中，两条直角边分别为4,3a b ==， 则22216925c a b =+=+=，所以255c ==.【例7】 如下左图：在平面直角坐标系中，点(1,1)A ，做AH x ⊥轴于H ，连接OA ，则1OH AH ==，则根据勾股定理：222OA OH AH =+=.以O 为圆心、OA 为半径画圆，与x y 、轴交于四个点，则四个点的坐标分别为：(2,0)(2,0)(0,2)(0,2)--、、、按照此种思路，请在此平面直角坐标系中，画出点(12,0),(0,12)--+.典题精练思路导航题型三：实数应用CBAcb=3a=41x2O 12-1-1H 1x2O 12-1-1A题型一 实数的计算 巩固练习 【练习1】 计算：⑴()32168-⨯- ⑵3648281-+-- ⑶()233258-+-【练习2】 计算：⑴55(52)++ ⑵12(2)(32)2+-+题型二 实数的化简 巩固练习【练习3】 ⑴已知a 为实数，那么2a -等于（ ）A.a B ．a - C ．1- D ．0⑵若<0x ，则化简2x x x-的结果是__________.【练习4】 计算：⑴ 327422+- ⑵()2324273-+-+-π【练习5】 数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简2()b a a b -+-．题型三 实数应用 巩固练习【练习6】 作图：在数轴上做出2,2,21,12-+-这四个点.b 0 a复习巩固第十四种品格：信念一壶水有一年,一支英国探险队进入了撒哈拉沙漠的某个地区.在茫茫的沙海里负重跋涉,阳光下,漫天飞舞的风沙像炒红的铁砂一般,扑打着探险队员的面孔.口渴似炙,心急如焚——大家的水都没有了.这时,探险队长拿出一只水壶,说:"这里还有一壶水.但穿越沙漠前,谁也不能喝."一壶水,成了穿越沙漠的信念源泉,成了求生的寄托！感觉使队员们濒临绝望的脸上,又显露出坚定的神色.终于,探险队顽强地走出了沙漠,挣脱了死神之手.大家喜极而泣,用颤抖的手拧开了那壶支撑他们精神和信念的水——缓缓流出来的,却是满满的一壶沙子!今天我学到了。

实数8级 实数的计算与化简 实数7级 实数初步实数6级 绝对值“实数”的风波漫画释义满分晋级阶梯1实数初步题型切片（三个） 对应题目题型目标平方根的定义与性质 例1；例2；例3；例8；演练1，2，3； 立方根的定义与性质 例4；例5；演练4,5； 实数 例6；例7；演练6考点一:了解平方根及算术平方根的概念1、49的平方根是 ，16的算术平方根是 .【解析】7,4±考点二:了解立方根的概念2、8-的立方根是 ，8的立方根是 .【解析】2,2-考点三:了解无理数的概念3、下列各数哪些是有理数，哪些是无理数？322π20.230.131331333 (7)，，，，【解析】有理数：227，0.23，；无理数：3π20.131331333...，，编写思路考点剖析知识互联网题型切片【例1】考察平方根及算术平方根的概念及性质，用根号表示非负数的平方根及算术平方根； 【例2】利用非负数的性质解题；【例3】要挖掘被开方数为非负数的隐含条件，确定字母取值范围或取值解题； 【例4】考察立方根的概念及性质；【例5】考察立方根与算术平方根的区别； 【例6】考察无理数、实数的概念； 【例7】考察实数与数轴的关系；【例8】考察无理数的小数及整数部分.【教师备案】 1、知识点引入：2、老师可以在讲的过程中结合具体例子总结：⑴当被开方数扩大(或缩小)2n 倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)n 倍(0n ≥)．定 义 示例剖析平方根的概念：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根．也就是说，若2x a =，则x就叫做a 的平方根．()224±=，2±就叫做4的平方根平方根的表示：一个非负数a 的平方根可用符号表示为“a ±”． 5的平方根可表示为5±总结：一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根.算术平方根的概念： 一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根，规定：0的算术平方根为0．4的平方根是2±，其中2叫做4的算术平方根. 算术平方根的表示：一个非负数a 的算术平方根可用符号表示为“a ”． 5的算术平方根可表示为5 双重非负性： 在式子a 中，0a ≥且0a ≥.式子1x -有意义，101x x -≥≥， 总结：一个正数有一个算术平方根；零的算术平方根是零；负数没有算术平方根. 平方根计算：求一个数的平方根的运算，叫做开平方（开方），开方运算和平方 运算互为逆运算.()()20,a a a =≥()2(0)||00(0)a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩知识导航模块一 平方根的定义与性质⑵平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：①若0a ≥，则2()a a =；②不管a 为何值，总有()2(0)||00(0)a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩⑶若一个非负数a 介于另外两个非负数1a 、2a 之间，即120a a a <<≤时，它的算术平方根也介于1a 、2a 之间，即：120a a a <<≤.利用这个结论我们可以来估算一个非负数的算术平方根的大致范围．对新概念的理解能力【例1】 ⑴ 求下列各数的平方根与算术平方根：①4964； ②0.0001； ③5； ④()23-； ⑤16. ⑵ 求下列各式的值：①25； ②0.01±； ③169-； ④()22-； ⑤()26-； ⑥416a⑶ 解关于x 的方程：①2449x =； ②231080x -=；③()225136x -=⑷ 比较下列各数大小：①2___3 ②2___3 ③140___12⑸ 一个正数的平方根是31a +和5，则a =_________.【解析】 ⑴ ① 78±和78； ②0.01±和0.01； ③5±和5； ④ 3±和3； ⑤2±和2⑵ ① 5； ②0.1±； ③13-； ④2； ⑤6； ⑥24a⑶①72±；②6±；③111,55-⑷① <;② >;③ <.⑸2-.非负性的考查【例2】 ⑴ 若230x y ++-=，则xy 的值为（ ）A ．8-B ．6-C ．5D ．6 （北京中考）⑵若()24a -与5b +的值互为相反数，则2a b +的平方根是 . ⑶若()22320070a b c -+-+-=，求()22ca b -的值．【解析】 ⑴ B.⑵ 4a =，5b =-，23a b +=，∴平方根是3±.夯实基础能力提升⑶()222,3,2007,1ca b c a b===∴-=-综合应用能力【例3】 ⑴已知225(1)2005x xy x -+-=+-⋅，求x y 的值.⑵已知2211604n m m m-++-=-，则2mn n +-的倒数的算术平方根为_______.⑶已知20102011a a a -+-=，求22010a -的值.【解析】 ⑴∵20x -≥且20x -≥∴20x -= 即2x =，∴5y = ∴2525x y ==⑵ 49m n =-=-，，结果为15⑶∵20110a -≥ ∴2010<0a -∴原式为 20102011a a a -+-= 20112010a -=，两边平方得220112010a -= ∴220102011a -=定 义示例剖析立方根概念：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也就是说，若3,x a =则x 就叫做a 的立方根.328=， 2就叫做8的立方根表示：一个数a 的立方根可用符号表示3a ，3a 读作“三次根号a ”.5的立方根可表示为35总结：任何一个数都有立方根，且只有一个立方根.正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0.计算：求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算.()333333,,a a a a a a ==-=-知识导航模块二 立方根的定义与性质对新概念的运用能力【例4】 ⑴ 求下列各数的立方根：①1-； ②8； ③338； ④64； ⑤ ()25-；⑵ 比较大小①310 311； ②9 327 ⑶ 求出下列各式中的a ：①若30.343a =，则a = ； ②若33213a -=，则a = ； ③若31250a +=，则a = ；④若()318a -=，则a = ．⑷ 下列四种说法中，正确的是（ ）A 、33x -没有意义B 、一个数的某个平方根恰与它的立方根相等，这个数一定是0C 、一个正数有两个立方根D 、互为相反数的立方根也互为相反数【解析】 ⑴ ① 1-； ②2； ③32； ④ 2； ⑤ 325⑵ ①< ②=⑶ ①0.7 ② 6 ③5- ④3；⑷ D考查综合运用能力【例5】 ⑴3311x x -+-中的x 的取值范围是 ，11x x -+-中的x 的取值范围是 ．⑵ 若331y -和312x -互为相反数，求xy 的值.【解析】 ⑴ 任意实数；1x =⑵ ∵331y -与312x -互为相反数，∴31y -与12x -也互为相反数， 即(31)(12)0y x -+-=，∴3320,32,2x y x y x y -===夯实基础能力提升注：无理数的四种形式： （1）圆周率π（2）开不尽的方根；325，（3）含有无理数的式子；+13+17π， （4）特殊结构的数. 0.101001000100001......(10)相邻两个之间依次多个对新概念的运用能力【例6】 ⑴ 下列说法正确的个数为（ ）①无理数都是实数 ②实数都是无理数 ③无限小数都是无理数 ④带根号的数都是无理数 ⑤没有绝对值最小的实数A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个定 义示例剖析无理数：无限不循环小数叫无理数332523-π，，，，…都叫做无理数实数：有理数和无理数统称实数.5和35都是实数实数与数轴的关系：实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.分类：0⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎪⎪⎪⎧⎫⎪⎨⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎭⎩⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数整数负整数有理数正分数实数分数有限小数或无限循环小数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数夯实基础知识导航模块三 实数⑵ 在33320.318127 3.1470.4829 1.020020002...90.523π------，，，，，，，，，，中，无理数有_________个.⑶ 求下列各数的相反数及绝对值：①6-；② 3.14π-；③312-；④32-⑷ 已知x 是4的平方根，32y =-，25z =，求2x y z +-的值.【解析】 ⑴ A;⑵5个；⑶相反数：①6；②3.14π-；③321-；④23- 绝对值：①6；② 3.14π-；③321-；④23-.⑷ 19,23--实数与数轴的一一对应关系【例7】 ⑴如图所示，在点A 和点B 之间表示整数的点共有_________个.5-3B A⑵如图所示，数轴上表示1，2的对应点分别为A 、B ，点C 到点A 的距离与点B 到点A 的距离相等，则C 所表示的数是（ ） A 、21- B 、12- C 、22- D 、22-【解析】 ⑴ 4个；⑵ C近年来对无理数的估算问题考查的越来越多，先给老师们准备几个有关整数部分和小数部分的题，然后再通过一道真题进行详细讲解，并让学生逐步掌握估算无理数范围的方法. 无理数的估算问题【铺垫】⑴ 若404m =-，则估计m 的范围为（ ）A.1<<2mB.2<<3mC.3<<4mD.4<<5m（实验中学期中）⑵ 若实数k 的整数部分是3，则k 的取值范围是___________.⑶ 观察例题：∵4<7<9，即2<7<3，真题赏析能力提升B A O 221∴7的整数部分为2，小数部分为72-. 请你观察上述的规律后试解下面的问题：如果2的小数部分为a ，3的小数部分为b ，求a b ，的值.【解析】⑴ B; ⑵916k <≤ ⑶2131a b =-=-，.【例8】 （2012海淀期末考试）阅读材料：学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算13的近似值。

定 义示例剖析等式的概念：用等号来表示相等关系的式子，叫做等式．123+=，15x +=，s ab =，a b c mxy n ++=+等式的类型恒等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式总能成立．条件等式：只能用某些数值代替等式中的字母，等式才能成立．矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式都不能成立．33x x ==，方程56x +=需要1x =才成立．如32=，125+=，11x x +=-． 等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子．．），所得结果仍是等式． 等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是．．．．．0．），结果仍是等式． 若a b =，则a c b c ±=±．若a b =，则ac bc =，若a b =且0c ≠，则a bc c=．在等式变形中，以下两个性质也经常用到：①等式具有对称性，即：如果a b =，那么b a =；②等式具有传递性，即：如果a b =，b c =，那么a c =.【例1】 下列各式中，哪些是等式？是等式的请指出类型．43x -、15713++=、1722y -=、231x x =+、64y -、5x y +=、π 3.14≈，20a b +>，22x x =，7171x x +=-.【解析】 等式有：15713++=，1722y -=，231x x =+，5x y +=，22x x =，7171x x +=-；夯实基础模块一 等式的概念及性质7一元一次方程的解法及应用恒等式：15713++=，22x x =；条件等式：1722y -=，231x x =+，5x y +=；矛盾等式：7171x x +=-.【例2】 ⑴ 根据等式的性质填空：① 4a b =-，则a b +=______； ② 359x +=，则39x =- ；③ 683x y =+，则x =________； ④ 122x y =+，则x = ．⑵ 已知等式325a b =+，则下列等式中不一定成立的是（ ）A ．352a b -=B ．3126a b +=+C ．325ac bc =+D ．2533a b =+（北京二中期中）⑶ 下列变形中，根据等式的性质变形正确的是（ ）A ．由1233x -=，得2x = B ．由3222x x -=+，得4x =C ．由233x x -=，得3x =D ．由357x -=，得375x =-（海淀区期末）【解析】 ⑴ ①4，在等式两端同时加上b ； ② 5，在等式两端同时加上5-；③ 836y +，在等式的两端同时乘以16； ④ 24y +，在等式的两端同时乘以2．⑵ C ；⑶ B定 义示例剖析方程：含有未知数的等式．．．即： ①方程中必须含有未知数；②方程是等式，但等式不一定是方程．例如123+=是等式不是方程． 方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．解方程：求方程的解的过程．．．例如3x =是方程36x +=的解方程中的已知数：一般是具体的数值．方程中的未知数：是指要求的数，未知数通常用x 、y 、z 等字母表示．例如50x +=中, 5和0是已知数，例如关于x 、y 的方程2ax by c -=中，a 、2b -、c 是已知数，x 、y 是未知数． 一元一次方程：只含有一个．．未知数，并且未知能力提升模块二 方程的相关概念数的最高次数．．．．是1，系数不等于．．．0．的整式．．方程叫做一元一次方程，这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．235x +=，10y -=，3x =最简形式：方程ax b =（0a ≠，a ，b 为已知数）的形式叫一元一次方程的最简形式．例如35x =，27x =等． 标准形式：方程0ax b +=（0a ≠，a ，b 是已知数）的形式叫一元一次方程的标准形式．例如21040x x +=+=，易错点1：解方程与方程的解是两个不同的概念，后者是求得的结果，前者是求出这个结果的过程． 易错点2：任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形为最简形式或标准形式来验证．如方程22216x x x ++=-是一元一次方程．【例3】 ⑴ 下列式子：①3251x x +=-；②213124⎛⎫-+= ⎪⎝⎭；③235x +≤；④212y y -=，其中方程的个数为（ ）个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4⑵ ① 44x x +=+；② 12x=；③ 44x x -=-；④ 23x =；⑤ 2(2)3x x x x +=++．其中是一元一次方程的有 . ⑶ 下列方程中解是2x =的一共有（ ）480x -=① 480x +=② 840x -=③ 240x -=④A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（北大附中期中）【解析】 ⑴ B ； ⑵ ③ ⑤； ⑶ B.【例4】 ⑴ 若3223kkx k -+=是关于x 的一元一次方程，则k = .⑵ 若23(2)5m m x --=是关于x 的一元一次方程，则m 的值是 .⑶ 若(1)5aa x a -+=是关于x 的一元一次方程，则a 的值是 .⑷ 已知2(23)(23)1m x m x ---=是关于x 的一元一次方程，则m = .（北京师范大学附属实验中学期中）⑸ 方程||(1)2m m x m n -=+是关于x 的一元一次方程，若n 是它的解，则n m -=（ ）．A ．14B ．54C ．34D ．54-（人大附中期中）【解析】 ⑴ 1；能力提升夯实基础⑵由一元一次方程的定义，可知231m-=，且20m-≠，解得2m=-；⑶由一元一次方程的定义，可知1a=，且10a-≠，解得1a=-；⑷32；⑸ B.解一元一次方程的一般步骤：⑴去分母；⑵去括号；⑶移项；⑷合并同类项；⑸未知数的系数化为1．这五个步骤在解一元一次方程中，有时可能用不到，有时可能重复用，也不一定按从上到下的顺序进行，要根据方程的特点灵活运用．易错点1：去括号：括号前是负号时，括号里各项均要变号．易错点2：去分母：漏乘不含分母的项.易错点3：移项忘记变符号．【例5】⑴方程(32)2(21)0x x+--=去括号正确的是（）A．32210x x+-+=B．32410x x+-+=C．32420x x+--=D．32420x x+-+=⑵方程31252x xx-+-=-去分母正确的是（）A．2(3)25(1)x x x--=-+B．23201051x x x--=-+ C．2(3)20105(1)x x x--=-+D．(3)2010(1)x x x--=-+⑶当x的值为时，代数式45x-和316x-的值互为相反数．⑷若方程15122b x x-=-的解是12x=，则b=．【解析】⑴ D; ⑵ C; ⑶ 3; ⑷1b=-.【例6】⑴解方程1111122x⎛⎫--=⎪⎝⎭（人大附中期中）⑵解方程12223y yy-+-=-（北京五中期中）⑶解方程3221211245x x x+-+-=-（北京师范大学附属实验中学期中）夯实基础模块三一元一次方程的解法及应用⑷解方程7110.251 0.0240.0180.012 x x x--+=-【解析】⑴10x=；⑵1y=；⑶928x=-.⑷原方程可化为7110.251864x x x--+=-，解得5259x=【例7】解下列方程：⑴1113331 2242y⎧⎫⎛⎫---=⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭⑵1112{[(4)6]8}1 9753x++++=【解析】⑴解法一：从内向外去括号去小括号，得1113331 2242y⎡⎤⎛⎫---=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，去中括号，得113331 2842y⎛⎫---=⎪⎝⎭，去大括号，得13331 16842y---=，移项、合并同类项，得129 168y=，系数化为1，得58y=．解法二：从外向内去括号去大括号，得1113331 4222y⎡⎤⎛⎫---=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，去中括号，得113331 8242y⎛⎫---=⎪⎝⎭，去小括号，得13331 16842y---=，移项、合并同类项，得129 168y=，系数化为1，得58y=．解法三：多次去分母两边同乘以2，得1113332 222y⎡⎤⎛⎫---=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，两边同乘以2，得113364 22y⎛⎫---=⎪⎝⎭，两边同乘以2，得1361282y---=，能力提升移项合并同类项，得1292y =， 系数化为1，得58y =．点评：解题时要善于观察题目特点选择合理得理解途径． ⑵ 解得1x =【巩固】解方程：1112(1)(1)223x x x x ⎡⎤---=-⎢⎥⎣⎦【解析】解得117x =-【例8】 解下列方程：⑴ 1123(23)(32)11191313x x x -+-+=⑵ 11311377325235x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】⑴ 原方程可变为：111(23)(23)(23)0111913x x x ---+-=，即：111()(23)0111319x +--=，又1110111319+-≠， 所以230x -=，即32x =．⑵ 这一方程在变换过程中，宜将375x ⎛⎫- ⎪⎝⎭作为一个整体．方程两边同乘以6，得3323(7)32(7)55x x --=--，333(7)2(7)3255x x --+-=-， 333(7)2(7)155x x ----=， 35(7)15x --=， 343x =．【例9】 解下列方程：⑴ 2009122320092010x x x +++=⨯⨯⨯L探索创新⑵...200613352003200520052007x x x x ++++=⨯⨯⨯⨯ 【解析】⑴ 111()2009122320092010x +++=⨯⨯⨯L ，1(1)20092010x -=，即：200920092010x =，故2010x =．⑵ 原方程变形为：1111(...)200613352003200520052007x ++++=⨯⨯⨯⨯，即：2006200620072x ⋅=，4014x =．【例10】解下列方程：⑴ 20181614125357911x x x x x -----++++=⑵ 20101309720092007x x x ---++=【解析】 ⑴ 如果发现203185167149121123+=+=+=+=+=，那么离成功就不远了．201816141250357911x x x x x -----++++-=，2018161412(1)(1)(1)(1)(1)0357911x x x x x ------+-+-+-+-=，23232323230357911x x x x x -----++++=，11111()(23)0357911x ++++-=，因为111110357911++++≠，所以23x =．⑵ 原方程可化为201013(1)(1)0972*******x x x---+-++=，2010201020100972*******x x x ---+-=，111(2010)()0972*******x -+-=，显然1110972*******+-≠，故20100x -=，2010x =．【巩固】226200620072008x x x -+++=的解为 。

第一讲数系扩张--有理数（一）一、【问题引入与归纳】1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。

2、有理数的两种分类：3、有理数的本质定义，能表成mn（0,,n m n≠互质）。

4、性质：①顺序性（可比较大小）；②四则运算的封闭性（0不作除数）；③稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。

5、绝对值的意义与性质：①(0)||(0)a aaa a≥⎧=⎨-≤⎩②非负性2(||0,0)a a≥≥③非负数的性质：i）非负数的和仍为非负数。

ii）几个非负数的和为0，则他们都为0。

二、【典型例题解析】：1、若||||||0,a b ababa b ab+-则的值等于多少？2．如果m是大于1的有理数，那么m一定小于它的（）A.相反数B.倒数C.绝对值D.平方3、已知两数a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是2，求220062007()()()x a b cd x a b cd-+++++-的值。

4、如果在数轴上表示a、b两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b-++化简的结果等于（A.2aB.2a- C.0 D.2b5、已知2(3)|2|0a b-+-=，求b a的值是（）A.2B.3C.9D.66、有3个有理数a,b,c，两两不等，那么,,a b b c c ab c c a a b------中有几个负数？7、设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a+的形式式，又可表示为0，ba，b的形式，求20062007a b+。

8、 三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac=+++++则321ax bx cx +++的值是多少？ 9、若,,a b c 为整数，且20072007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。

三、课堂备用练习题。

学而思初中数学课程规划初中数学的学习不同于小学小学是课内知识过于简单，课外的奥数较难，而且整个社会没有统一的教材，基本上都是各自研发，比如学而思的十二级体系。

而初中最终目标是中考，有明确的方向性，同时有统一规划的课本，知识体系非常完整。

因此整个初中的学习更适合在一个合理而科学的体系下学习，唯一不同就在于不同的孩子可以选择不同的进度和难度。

初中班型设置介绍初一年级：基础班，提高班，尖子班，竞赛班，联赛班初二年级：基础班，提高班，尖子班，竞赛班，联赛班初三年级：基础班，提高班，尖子班，目标班联赛班走联赛体系，一年半学完初中数学知识；竞赛班走竞赛体系，两年学完初中数学知识；基础班，提高班，尖子班走领先中考培优体系，两年半学完初中数学知识。

到初三不再设竞赛班和联赛班，统一回归到目标班，冲击中考。

下面就各个班型的定位和适合什么样的学生做一个对比说明：2015年学而思初中教学体系体系联赛体系竞赛体系领先中考培优体系班型定位数学超常发展冲击竞赛一等奖中考满分兼顾竞赛同步提高冲击中考满分学制设计一年半学完初中内容两年学完初中内容两年半学完初中内容课程容量每节课的课程容量与难度比竞赛班大1.2-1.5倍每节课的容量与难度比尖子班大1.5-1.8倍每节课的容量是校内课程的3-5倍难度比校内课程高1.5-2倍适合学生课内知识掌握非常扎实，发展方向为冲击初中数学联赛，希望在数学方面有独特发展，例如未来参加IMO或CMO比赛，高中数学联赛冲击一等奖。

课内知识学习轻松，在保证中考路径的同时兼顾拔高与竞赛。

未来目标为冲击中考满分，同时参加一些数学竞赛，激发兴趣，锻炼思维。

从课内知识上夯实基础、同步提高，同时拓宽视野，系统化学习，目标冲击中考满分入学体系10次课学完初一----预备班选拔考试----联赛竞赛预备班----参加入学选拔考试----通过后选择联赛体系---开始学习10次课学完初一----预备班选拔考试----联赛竞赛预备班----参加入学选拔考试----通过后选择竞赛体系---开始学习10次课学完初一----入学测试题----领先中考培优体系---开始学习班次安排联赛1班、联赛2班竞赛班基础班、提高班、尖子班，初三加开目标班学而思的初中数学有一套非常成熟的教学体系，既能满足我们的终极目标——中考，同时还能兼顾一些希望走竞赛路线的孩子。

学而思2010年寒假班入学测试题(七年级)
数 学
学校 姓名 成绩
1. 若a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，3(1)(2)x a a b =---，22(2)d y c d d c c
=+-++. 求3232______58x y x y ---=．
2.
比较5553、4444、3335的大小 ．
3. 已知正方体的六个面分别是1、2、3、4、5、6，根据图中正方体的三种不
同的状态显示的数字，推出A 处的数字是 ．
A 543215
41
4. （2009河北）如图，等边ABC ∆的边长为1cm ，D 、E 分别是AB 、
AC 上的点，将ADE ∆沿直线DE 折叠，点A 落在点A ' 处，且点A '在
ABC ∆外部，则阴影部分图形的周长为 cm ．
5.
已知方程：1123(23)
(32)11191313
x x x -+-+=，则x = ．
6. 计算123369510157142113539155152572135⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ ．
7. 已知220ab a -+-=， 则
()()()()()()1111112220072007ab a b a b a b +++⋅⋅⋅+=++++++ ．
8. 甲、乙两同学从400m 环形跑道上的某一点背向出发，分别以2/m s 和3/m s 的速度慢跑，6s
后，一只小狗从甲处以6/m s 的速度向乙跑，遇到乙后，又从乙处以6/m s 的速度向甲跑，如此往返直至甲、乙第一次相遇，那么小狗共跑了 m .
9.
计算2310016666+++++= .
10. 化简523x x ++-= ．。

学而思七年级数学下1-10讲第一讲、整式第二讲同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方第三讲同底数幂的除法与整式的乘除第四讲整式的除法第五讲平方差公式第六讲完全平方公式第七讲、整式的除法第八讲测试第九讲中考经典第十讲平行线与相交线余角与补角第一讲、整式知识要点：1、单项式的意义：数与字母的乘积的代数式叫做单项式。

（单独的一个数或字母也是单项式） 2b 与 2b的区别2、单项式中的数字因数叫做叫做这个单项式的系数3、单项式中所有字母的指数和叫做叫做这个单项式的次数。

4、几个单项式的和叫做多项式5、组成多项式的每一个单项式叫做多项式的项6、多项式里此数目最高的项的次数，就是这个多项式的次数。

7、整式的意义：单项式和多项式统称为整式。

（分母中含有字母的代数式不是整式）8、整式的加减：求几个整式的和或差的运算，运算结果仍是整式9、整式加减的一般步骤：（1）去括号；（2）合并同类项10、整体代入法：11、整式的运算对数的运算的指导性作用：例1、填空题：（1）单项式213x -的系数是，次数是；（2）单项式222a b c-的系数是，次数是；（3）单项式 22x y z π的系数是，次数是；例2、填空：（1）多项式23x +是次项式，最高次项是，常数项是。

（2）多项式43923101232x y x x y -++是次项式，最高次项的系数是，常数项是。

例3 、已知多项式4212331534a x y xy x y +--+（1）求多项式中各项的系数与次数。

（2）若多项式是8次三项式，求a 的值例4、（1）25ax -与24x a -的差是（2）与2421x x ++的差是24x2例5、若2,3xy x y =-+=，求代数式[](310)5(223xy y x xy y x++-+-的值。

例6、证明：对于任意一个三位数字，交换它的百位数和个位数又得到一个一个数，两个数相减，所得结果能被99整除。

例7、甲、乙两种服装的成本共600元，商店老板为获取利润，决定将甲种服装按60%的利润率定价，在实际出售时，两种服装均按八五折出售。

不等式2级 含参不等式不等式3级不等式的应用方程6级不等式4级方程与不等式综合应用春季班 第八讲春季班 第五讲一半吗？漫画释义满分晋级阶梯7不等式的应用编写思路：本讲主要训练学生寻找题目中不等关系的能力。

当题目中涉及多个不等关系的时候，通过列不等式组、解不等式组解答。

对于题目中表示不等关系的字眼，让学生充分理解和体会，正确列出不等式。

对于通过图形给出的不等关系，联系结论和图形，找到不等关系。

列一元一次不等式（组）解决实际问题的一般步骤： 审：分析题意，弄清题目中的相等关系和不等关系； 设：用字母（如x ）表示题目中的未知数； 列：根据数量关系列出不等式（组）； 解：解不等式（组），求出未知数的取值范围；答：检验所求出的解或解集是否符合题意，写出答案．【引例】 某物流公司，要将300吨物资运往某地，现有A 、B 两种型号的车可供调用，已知A 型车每辆可装20吨，B 型车每辆可装15吨，在每辆车不超载的条件下，把300吨物资装运完．问：例题精讲思路导航知识互联网题型一：一元一次不等式的应用在已确定调用5辆A 型车的前提下至少还需调用B 型车多少辆？【解析】 设至少还需要B 型车x 辆，依题意得：20515300x ⨯+≥解得1133x ≥，∴14x =，答：至少还需要调用B 型车14辆.【例1】 ⑴ 亮亮准备用节省的零花钱买一台复读机，他已存有45元，计划从现在起以后每月节省30元，直到他至少有300元．设x 个月后他至少有300元，则符合题意的不等式是（ ） A ．3045300x +≥ B ．3045300x -≥ C ．3045300x +≤ D ．3045300x -≤（北京二中分校期中）⑵ 某商品进价是1000元，售价为1500元．为促销，商店决定降价出售，但保证利润率不低于5%，则商店最多降 元出售商品.⑶ 某工地实施爆破，操作人员点燃导火线后，必须在炸药爆炸前跑到400m 外安全区域，若导火线燃烧的速度为1.1cm /秒，人跑步的速度为5m /秒，则导火线的长（单位：厘米）应满足的不等式是： ．⑷ 我国沪深股市交易中，如果买、卖一次股票均需付交易金额的0.5%作费用．张先生以每股5元的价格买入“西昌电力”股票1000股，若他期望获利不低于1000元，问他至少要等到该股票涨到每股 元时才能卖出？（精确到0.01元） ⑸ 甲从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条a 元，又从另一个鱼摊买了两条鱼，平均每条b 元，后来他又以每条2a b+的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是（ ） A ．a b > B ．a b < C ．a b = D ．无关a 、b 大小【解析】 ⑴ A.⑵ 设最多降x 元出售商品根据题意得150010005%1000x --≥，解得450x ≤⑶ 依题意得，操作人员跑的路程大于400米，即54001.1x⋅>．⑷ 设至少涨到每股x 元时才能卖出．根据题意得：1000(50001000)0.5%50001000-+⨯+x x ≥，解这个不等式得1205199x ≥，即 6.06x ≥．⑸A.【拓展】苹果的进价是每千克3.8元，销售中估计有5%的苹果正常损耗．为避免亏本，商家把售价应该至少定为每千克 元.x 典题精练【解析】 设售价至少为每千克x 元，苹果的总量为m kg ，根据题意得()15% 3.8mx m -≥解得4x ≥，故售价至少为每千克4元.【点评】此题方法为辅助设元法，虽然有关两个未知量，但是可以消去辅助元并求得要求的未知数的范围.根据题意列出几个不等式，分别求解，求出解集，根据具体情况分类讨论．【引例】 为执行中央“节能减排，美化环境，建设美丽新农村”的国策，我市某村计划建造A 、B 两种型号的沼气池共20个，以解决该村所有农户的燃料问题．两种型号沼气池的占地面积、使用农户数及造价见下表：型号占地面积 （单位：m 2/个） 使用农户数 （单位：户/个） 造价（单位：万元/个）A15 18 2 B20 30 3已知可供建造沼气池的占地面积不超过2365m ，该村农户共有492户． ⑴ 满足条件的方案共有几种?写出解答过程． ⑵ 通过计算判断，哪种建造方案最省钱．【解析】 ⑴ 设建造A 型沼气池x 个，则建造B 型沼气池()20x -个依题意得：()()152020365183020492x x x x ⎧+-⎪⎨+-⎪⎩≤≥解得：79x ≤≤.∵x 为整数,∴7x =，8 ，9 ，∴满足条件的方案有三种． ⑵ 由⑴知共有三种方案，其费用分别为：方案一：建造A 型沼气池7个，建造B 型沼气池13个， 总费用为7213353⨯+⨯=（万元）方案二：建造A 型沼气池8个，建造B 型沼气池12个， 总费用为：8212352⨯+⨯=（万元）方案三：建造A 型沼气池9个，建造B 型沼气池11个，例题精讲思路导航题型二：一元一次不等式组的应用总费用为：9211351⨯+⨯=（万元） ∴方案三最省钱．【例2】 ⑴ 已知一个矩形的相邻两边长分别为3厘米和x 厘米，若它的周长小于14厘米，面积大于6平方厘米，则x 的取值范围是 ．⑵ 如图是测量一颗玻璃球体积的过程：①将300ml 的水倒进一个容量为500ml 的杯子中；② 将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③ 再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在（ ） A ．320cm 以上，330cm 以下 B ．330cm 以上，340cm 以下C ．340cm 以上，350cm 以下 D. 350cm 以上，360cm 以下⑶ 一个小于40的两位数，个位数字比十位数字的2倍小1，如果将个位数字与十位数字对换，对换后所得到的两位数大于50，求原来的两位数.【解析】 ⑴ 依题意得2(3)<143>6+⎧⎨⎩x x ，解得2<<4x ．⑵ 根据图示和物理知识可设每颗玻璃球的体积为x ，得不等式组4300<5005300>500+⎧⎨+⎩x x ，解得：40＜x ＜50，故应选C.⑶ 设十位数字为x ，则个位数字为21x -.根据题意得 10+21<4010(21)+>50x x x x -⎧⎨-⎩，解得652<<3712x因为x 是整数，所以=3x .故原来的两位数是35.【例3】 “六一”期间，各商场举行“六一欢乐购”的促销活动.在甲商场一次性购物超过100元，超过部分8折优惠；在乙商场一次性购物超过50元，超过部分9折优惠.两个商场恰好都有小明所需要的商品.⑴如果小明要买的东西是160元，去哪个商场会便宜一些？⑵请你帮小明计算一下购物为多少元时在乙商场比在甲商场便宜？【解析】 ⑴甲;⑵设小明购物为x 元，①当050x <≤时，甲乙两商场一样；典题精练②当50x <≤100时，由已知可知乙商场便宜；③当100x >时，由题意可知甲商场总价为 1000.8(100)0.820x x +-=+， 乙商场总价为500.9(50)0.95x x +-=+；由题意可知，乙比甲便宜可得：0.950.820x x +<+ 解得100150x <<综上所述，②③符合条件可得50150x <<.【例4】 某冰箱厂为响应国家“家电下乡”号召，计划生产A 、B 两种型号的冰箱100台．经预算，两种冰箱全部售出后，可获得利润不低于 4.75万元，不高于4.8万元，两种型号的冰箱生产成本和售价如下表：⑴ 冰箱厂有哪几种生产方案？⑵ 该冰箱厂按哪种方案生产，才能使投入成本最少？“家电下乡”后农民买家电（冰箱、彩电、洗衣机）可享受13%的政府补贴，那么在这种方案下政府需补贴给农民多少元？【解析】 ⑴ 设生产A 型冰箱x 台，则B 型冰箱为()100x -台，由题意得：47500(28002200)(30002600)(100)48000-+--⨯x x ≤≤，解得：37.540x ≤≤.x 是正整数，∴x 取38，39或40．⑵ 设投入成本为y 元，由题意有：22002600(100)400260000y x x x =+-=-+（方法一）将x =38、x =39、x =40分别代入上式，求出当40x =时，y 有最小值． 即生产A 型冰箱40台，B 型冰箱60台，该厂投入成本最少. （方法二）22002600(100)400260000y x x x =+-=-+ ∵4000-<,∴y 随x 的增大而减小. ∴当40x =时，y 有最小值．即生产A 型冰箱40台，B 型冰箱60台，该厂投入成本最少. 此时，政府需补贴给农民(280040300060)13%37960()+=⨯⨯⨯元 注意：学生未学一次函数，教师可根据班级学生掌握情况自行选择解法.根据题意设未知数，按照等量关系列出方程（组），并求解，从而为列不等式做准备．【例5】 商场正在销售帐篷和棉被两种防寒商品，已知购买1顶帐篷和2床棉被共需300元，购买2顶帐篷和3床棉被共需510元.⑴ 求1顶帐篷和1床棉被的价格各是多少元？⑵ 某学校准备购买这两种防寒商品共80件，送给青海玉树灾区，要求每种商品都要购买，且帐篷的数量多于棉被的数量，但因为学校资金不足，购买总金额不能超过8500元，请问学校共有几种购买方案？（要求写出具体的购买方案）（北师大附中期中）【解析】 ⑴ 设一顶帐篷x 元，一床棉被y 元，由题意得：230023510+=⎧⎨+=⎩x y x y ，解得：12090=⎧⎨=⎩x y .∴一顶帐篷120元，一床棉被90元.⑵ 设准备购买帐篷a 顶，那么购买棉被()80a -床， 根据题意可知：()12090808500+-a a ≤，解得1433a ≤，∵帐篷的数量多于棉被的数量且a 为正整数，∴a =43、42、41.所以购买方案有三种：方案一：购买帐篷43顶，棉被37床，购买总金额8490元； 方案二：购买帐篷42顶，棉被38床，购买总金额8460元；方案三：购买帐篷41顶，棉被39床，购买总金额8430元.【例6】 学校6名教师和234名学生集体外出活动，准备租用45座大车或30座小车．若租用1辆大车2辆小车共需租车费1000元；若租用2辆大车1辆小车共需租车费1100元． ⑴求大、小车每辆的租车费各是多少元？⑵若每辆车上至少要有一名教师，且总租车费用不超过2300元，求最省钱的租车方案． 【解析】 ⑴ 设大车每辆的租车费是x 元、小车每辆的租车费是y 元．可得方程组2100021100x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得400300x y =⎧⎨=⎩答：大车每辆的租车费是400元、小车每辆的租车费是300元．典题精练思路导航题型三：方程（组）与一元一次不等式（组）的应用⑵ 由每辆汽车上至少要有1名老师，汽车总数不能大于6辆； 由要保证240名师生有车坐，汽车总数不能小于234648=459+辆， 综合起来可知汽车总数为6辆． 设租用m 辆大车，6m -辆小车则租车费用400300(6)Q m m =+-1001800m =+， 依题意有：45+30(6)24010018002300m m m -⎧⎨+⎩≥≤，解得45m ≤≤， 所以有两种租车方案， 方案一：4辆大车，2辆小车； 方案二：5辆大车，1辆小车． 观察式子发现m 越大，Q 越大， ∴当4m =时，Q 最少为2200元．故最省钱的租车方案是：4辆大车，2辆小车．【例7】 某养鸡场计划购买甲、乙两种小鸡苗共2000只进行饲养，已知甲种小鸡苗每只2元，乙种小鸡苗每只3元.⑴ 若购买这批小鸡苗共用了4500元，求甲、乙两种小鸡苗各购买了多少只； ⑵ 若购买这批小鸡苗的钱不超过4700元，问应选购甲种小鸡苗至少多少只；⑶ 相关资料表明：甲、乙两种小鸡苗的成活率分别为94%和99%，若要使这批小鸡苗的成活率不低于96%且买小鸡的总费用最小，问应选购甲、乙两种小鸡苗各多少只，总费用最小是多少元. （清华附中期末考试）【解析】 ⑴设甲、乙两种小鸡苗各购买了x 只、(2000)x -只，根据题意得 23(2000)4500x x +-=解得 1500x =故甲种小鸡苗购买了1500只，乙种购买了500只.⑵设应选购甲种小鸡苗至少x 只，根据题意得23(2000)4700x x +-≤ 解得1300x ≥真题赏析故应选购甲种小鸡苗至少1300只； ⑶设应选购甲种小鸡苗x 只，根据题意得94%99%(2000)96%2000x x +-≥解得1200x ≤又总费用23(2000)6000W x x x =+-=- 则当1200x =时总费用最小为4800元.故应选购甲种小鸡苗1200只，乙种小鸡苗800只；总费用最小是4800元.以下对分配问题进行变式和拓展，供教师选择讲解.【拓展1】若干名学生分宿舍，每间4人余20人，每间8人，其中一间不空也不满，则宿舍有 间，学生有 人.【解析】 设宿舍有x 间，则学生有420x +人，根据题意可得不等式04208(1)8x x <+--<解得5＜x ＜7 因为x 为整数，所以x=6. 故宿舍有6间，学生有44人.【变式】若干名学生分宿舍，每间4人余20人，每间8人，则有一个房间还有空位.学校可能有几间房可安排多少学生住宿? 【解析】 设有x 间房间，根据题意得()0420818x x +--<≤ 解得57x <≤.∴67x =，.当6x =时，共有44人； 当7x =时，共有48人.【点评】宿舍分配问题重点分析第二个条件，根据语意列出准确的不等式. 不空也不满，意思是最后一个房间学生人数不能为0也不能为8，即可得到不等关系两边均取不到等号；而变式中还有空位，意思是最后一个房间学生人数可以为0，但不能为8.【拓展2】把一盒苹果分给几个学生，若每人分4个，则剩下3个；若每人分6个，则最后一个学生能得到苹果但不超过2个，则学生人数是 . 【解析】 设有学生x 个，则苹果数有43x +个，则0436(1)2x x <+--≤解得3.5 4.5x <≤， ∵x 是整数， ∴4x =． ∴学生人数是4．【变式】把m 个练习本分给n 个学生，如果每人分3本，那么余80本；如果每人分5本，那么最后一个同学有练习本但不足5本，n 的值为 .（清华附中期末考试）【解析】 根据题意得380m n =+ 03805(1)5n n <+--< 解得4042.5n << ∴41,42n =当41n =时，练习本为203个；当42n =时，练习本为206个.【变式】幼儿园几个小孩分一箱苹果，每人分3个，则余7个；每人分5个，最后一个分到的苹果不足5个，问：有多少个小孩？多少个苹果？ 【解析】 设有x 个小孩，则()037515≤x x +--< 解得3.56≤x <. ∴ 45，x =或6.当4x =时，苹果个数为19个. 当5x =时，苹果个数为22个. 当6x =时，苹果个数为25个.【点评】注意区别这三道题中由于题目条件的变化引起的不等符号的变化. 如“不超过2个”，即大于等于0且小于等于2；“有但不足5个”，即大于0且小于5，两边都不可取等号；而条件变成“不足5个”，那么意思就是大于等于0且小于5. 建议教师给学生多练习这样的条件，一定要注意何时能取等号.【拓展3】我校八年级安排部分同学外出社会实践活动，并将他们编成8个组，如果分配给每组的人数比预定人数多1名，那么外出学生总数超过100人；如果每组分配的人数比预定人数少1名，那么外出学生人数不到90人，则预定每组分配的人数为 . 【解析】 设预定每组分配x 人，根据题意得：8(1)1008(1)90x x +>⎧⎨-<⎩∵x 为整数， ∴12x =．【拓展4】韩日“世界杯”期间，重庆球迷一行56人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，现有A 、B 两个出租车队，A 队比B 队少3辆车，若全部安排乘A 队的车，每辆坐5人，车不够，每辆坐6人，有的车未满；若全部安排B 队的车，每辆车4人，车不够，每辆坐5人，有 的车未满，则A 队有出租车（ ）A 、11辆B 、10辆C 、9辆D 、8辆【解析】B; 设A队有出租车x辆，B队有(3)x+辆依题意可得5566564(3)565(3)56xxxx<⎧⎪>⎪⎨+<⎪⎪+>⎩；化简得111519311185xxxx⎧<⎪⎪⎪>⎪⎨⎪<⎪⎪>⎪⎩解得19113x<<，∵x为整数，∴10x=，故选B.另解：由题意可得不等式组为5656655656354xx⎧<<⎪⎪⎨⎪<+<⎪⎩.【点评】此题其实不难，和前面的题目不同的是人数是已知的，只是根据语言环境确定不等关系.关键抓住不等关系的语句，列出不等式并且答案要使实际问题有意义.题型一一元一次不等式的应用巩固练习【练习1】某学校准备添置一些“中国结”挂在教室．若到商店去批量购买，每个“中国结”需要10元；若组织一些同学自己制作，每个“中国结”的成本是4元，无论制作多少，另外还需共付场地租金200元．亲爱的同学，请你帮该学校出个主意，用哪种方式添置“中国结”的费用较节省？【解析】设需要中国结x个，则直接购买需10x元，自制需(4200)x+元．分两种情况：⑴若104200x x+≤，得1333x≤，即少于等于33个时，到商店购买更便宜；⑵若104200x x>+，得1333x>，即多于33个时，自已制作更便宜．答：当添置“中国结”少于等于33个时，到商店购买更便宜；当添置“中国结”多于33个时，自已制作更便宜．题型二一元一次不等式组的应用巩固练习【练习2】乘坐益阳市某种出租汽车，当行驶路程小于2千米时，乘车费用都是4元（即起步价4元）；当行驶路程大于或等于2千米时，超过2千米部分每千米收费1.5元．按常规，乘车付费时按计费器上显示的金额进行“四舍五入”后取整（如记费器上的数字显示范围大于或等于复习巩固9.5而小于10.5时，应付车费10元），小红一次乘车后付了车费8元，请你确定小红这次乘 车路程的范围．【解析】 设小红这次乘车路程为x 千米，由题意知费用应为4 1.5(2)x +-元，即1.51x +（2x ≥）元．因为8介于7.5至8.5范围内，所以7.5 1.518.5x +<≤，解得1353x <≤．答：小红这次乘车路程的范围是1353x <≤千米．【练习3】 响应“家电下乡”的惠农政策，某商场决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型号的电冰箱80台，其中甲种电冰箱的台数是乙种电冰箱台数的2倍，购买三种电冰箱的总金额不超过．．． 132000元．已知甲、乙、丙三种电冰箱的出厂价格分别为：1200元/台、1600元/台、2000 元/台．⑴ 至少购进乙种电冰箱多少台？⑵ 若要求甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数，则有哪些购买方案？【解析】 ⑴ 设购买乙种电冰箱x 台，则购买甲种电冰箱2x 台，丙种电冰箱(803)x -台.由题意得：120021600(803)2000132000x x x ⨯++-⨯≤ 解得：14x ≥.∴至少购进乙种电冰箱14台．⑵ 根据题意，得2803x x -≤，解得：16x ≤．由⑴知14x ≥． ∴1416x ≤≤． 又∵x 为正整数， ∴141516x =，，． 所以，有三种购买方案：方案一：甲种电冰箱为28台，乙种电冰箱为14台，丙种电冰箱为38台； 方案二：甲种电冰箱为30台，乙种电冰箱为15台，丙种电冰箱为35台；方案三：甲种电冰箱为32台，乙种电冰箱为16台，丙种电冰箱为32台．题型三 方程（组）与不等式（组）的应用 巩固练习【练习4】 某班到毕业时共结余经费1800元，班委会决定拿出不少于270元但不超过300元的资金为老师购买纪念品，其余资金用于在毕业晚会上给50位同学每人购买一件文化衫或一本相册 作为纪念品．已知每件文化衫比每本相册贵9元，用200元恰好可以买到2件文化衫和5本 相册．⑴ 求每件文化衫和每本相册的价格分别为多少元？⑵ 有几种购买文化衫和相册的方案？哪种方案用于购买老师纪念品的资金更充足？【解析】 ⑴ 设文化衫和相册的价格分别为x 元和y 元，则925200x y x y -=⎧⎨+=⎩解得3526x y =⎧⎨=⎩．答：一件文化衫和一本相册的价格分别为35元和26元． ⑵ 设购买文化衫t 件，则购买相册(50)t -本，则15003526(50)1530t t +-≤≤，解得20023099t ≤≤． ∵t 为正整数，∴t =23，24，25，即有三种方案．第一种方案：购文化衫23件，相册27本，此时余下资金293元； 第二种方案：购文化衫24件，相册26本，此时余下资金284元； 第三种方案：购文化衫25件，相册25本，此时余下资金275元；所以第一种方案用于购买教师纪念品的资金更充足．【练习5】 为了解决农民工子女就近入学问题，我市第一小学计划2012年秋季学期扩大办学规模．学校决定开支八万元全部用于购买课桌凳、办公桌椅和电脑，要求购买的课桌凳与办公桌椅的数量比为20:1，购买电脑的资金不低于16000元，但不超过24000元．已知一套办公桌椅比一套课桌凳贵80元，用2000元恰好可以买到10套课桌凳和4套办公桌椅．（课桌凳和办公桌椅均成套购进）（1）一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为多少元？ （2）求出课桌凳和办公桌椅的购买方案.【解析】 ⑴ 设一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为x 元、y 元，得=+8010+4=2000y x x y ⎧⎨⎩ 解得120200x y =⎧⎨=⎩∴一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为120元、200元 （2）设购买办公桌椅m 套，则购买课桌凳20m 套，由题意有16000800001202020024000m m -⨯-⨯≤≤ 解得，7821241313m ≤≤∵m 为整数，∴22m =、23、24，有三种购买方案：第十四种品格：信念我想有一座农场因为父亲是位马术师，一个男孩必须跟着父亲走南闯北东奔西跑。

学而思学校 初一寒假数学测试卷（培优梳理-目标中考高分班）一、选择题（每题3分，共30分，将答案填在下面的空格处） 1. 下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ）A ．3251x y x +=⎧⎨=⎩B ．267x y x y -=⎧⎨+=⎩C ．1019x x y =⎧⎨-=⎩D ．153x xy =⎧⎨=⎩2. 下列说法正确的是（ ）A. 2(1)-的平方根是1-B. 1-的平方根是1-C. 2-是8-的立方根D. 16的平方根是43. 下列运算正确的是（ ）A. 321a a -= B. 842x x x -=C.2- D. ()326328x y x y -=-4. 若方程组422x yx y a +=⎧⎨-=⎩中的x 是y 的2倍，则a 等于（ ）A ．9-B ．8C ．7-D ．6-5. 一个样本有20个数据：3531333537393538403936343537363234353634，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，其中众数为（ ）A. 34B. 35C. 36D. 376. 为了从甲、乙、丙、丁四位同学中选派两位选手参加数学竞赛，老师对他们的五次数学测验成绩进行统计，得出他们的平均分均为85分，且、、、． 根据统计结果，派去参加竞赛的两位同学是（ ）A ．甲、乙B ．甲、丙C ．甲、丁D ．乙、丙7.等于（ ）A. 3.14π-B. 3.14π-C. 3.14π+D. (3.14)π-+1002=甲s 1102=乙s 1202=丙s 902=丁s8. 若关于x 、y 的二元一次方程组59x y kx y k +=⎧⎨-=⎩的解也是二元一次方程236x y +=的解，则k 的值为（ ）A. 34-B. 34C. 43D. 43-9. 下面是某同学在一次测验中的计算摘录，其中正确的个数有（ ）① 236a a a ⋅=；② ()333ab a b -=-；③3332a a a +=；④ ()2212366x x x -+=-；⑤()()212152n m x y x y +--⋅-=52120n m x y +--⑥()()()2x x y y x y x y ---=-A ．1个B ．3个C ．4个D ．5个10. 已知106a =，102b =，则210a b +的值为（ ）A ．8B ．36 C. 38． D ．72二、填空题（每题3分，共24分，将答案填在下面的空格处）11. 13的小数部分是 .12.21(2013)0x y ++-=，则y x = .13. 已知a 、b 、c 是三个有理数，且a 与b 的平均数是127，b 与c 的和的三分之一是78，c 与a 的和的四分之一是52，那么a ，b ，c 的平均数是 .14. 如果21x y =⎧⎨=⎩是方程75ax by bx cy +=⎧⎨+=⎩的解，则a 与c 的关系是 .15. 若21m n =+，则2244m mn n -+的值是 .16. 若1235x y z ++=，3217x y z ++=，则111x y z ++= .17. 已知3,1a b ==，则()()(2)a b a b b b +-+-= .18. 如图，甲类纸片是边长为2的正方形，乙类纸片是边长为1的正方形，丙类纸片是长、宽边长分别是2和1的长方形．现有甲类纸片1张，乙类纸片4张，则应至少取丙类纸片 张才能用它们拼成一个新的正方形．三、解答题（每题4分，共16分）19. 已知2,3x y a a ==，求x y a +与2x y a -的值.20. 解方程组37528x y x y -=⎧⎨+=⎩21. 解方程组::3:4:5238x y z x y z =⎧⎨+-=-⎩22. 先化简再求值：()()()()222424x y x y x y y x xy +-+-++. 其中1x =，1y =-.四、解答题（每题6分，共30分）23. 已知21a -的平方根是3±，39a b +-的立方根是2，c 求2a b c++的算术平方根．24. k 为何值时，关于x y ，的方程组35223x y k x y k -=+⎧⎨-=⎩的解的和为20．25. m 取何整数值时，方程组2441x my x y +=⎧⎨+=⎩的解x y ，都是整数？26. 如图a 是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图b 形状拼成一个正方形．⑴你认为图b 中的阴影部分的正方形的边长等于多少？⑵观察图b 你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：()()22,,m n m n mn +-. ⑶已知7,6m n mn +==，求()2m n -的值．27. 为了让更多的失学儿童重返校园，某社区组织“献爱心手拉手”捐款活动. 对社区部分捐款户数进行调查和分组统计后，将数据整理成如图所示的统计图（图中信息不完整）. 已知A 、B 两组捐款户数的比为1 : 5.请结合以上信息解答下列问题.(1) a= ，本次调查样本的容量是 ； (2) 先求出C 组的户数，再补全“捐款户数分组统计图1”；(3) 若该社区有500户住户，请根据以上信息估计，全社区捐款不少于300元的户数是多少？组别 捐款额（x ）元 户数 A 1≤x <100 a B 100≤x <200 10 C 200≤x <300 D 300≤x <400 Ex ≥400捐款户数分组统计图1捐款户数分组统计图2五、 附加题（每题10分，共20分）28. 已知关于x 、y 的二元一次方程(1)(2)520a x a y a -+++-=，当a 每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，求出这个公共解.29．古运河是扬州的母亲河，为打造古运河风光带，现有一段长为180米的河道整治任务由A 、B 两个工程队先后接力完成．A 工程队每天整治12米，B 工程队每天整治8米，共用时20天．⑴根据题意，甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下：甲：128x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩乙：128x y x y⎧+=⎪⎨+=⎪⎩根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x ，y 表示的意义，然后在方框中补全甲、乙两名同学所列的方程组： 甲：x 表示，y 表示； 乙：x 表示，y 表示；⑵求A 、B 两工程队分别整治河道多少米？（写出完整的解答过程）学而思学校 初一寒假 数学测试卷参考答案三、解答题：每题4分，共16分． 19. 6x y x y a a a +=⋅=()2243x y x y a a a -=÷=20.21x y =⎧⎨=-⎩ 21.6810x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩22. 原式22222448482x y x xy y xy xy =-+-+++2252x xy =+把1x =，1y =-代入原式527=+=．四、解答题：每小题6分，共30分． 23. 根据题意，可得219,398a a b -=+-=；故5,2a b ==； 可得c=7； 则216a b c ++=； 则16的算术平方根为4．24. 这是含有字母的二元一次方程组，求解此类题需将字母看作常数求解方程组的解，然后再根据题目条件求出字母的值．解方程组35223x y k x y k -=+⎧⎨-=⎩得：264x k y k =-⎧⎨=-⎩又因为：20x y +=，即：31020k -= 所以：10k =．25. 把m 作为已知数，解方程组得81828x m y m ⎧=-⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩∵x 是整数，∴8m -取8的约数1248±±±±，，，． ∵y 是整数，∴8m -取2的约数12±±，． 取它们的公共部分，812m -=±±，． 解得97106m =，，，．经检验97106m =，，，时，方程组的解都是整数．26. ⑴m n -．⑵()()224m n m n mn +=-+．⑶()()224494625m n m n mn -=+-=-⨯=．27.⑴2，50；⑵5040%20⨯=，C 组的户数为20 ，补图见图2． ⑶∵ 500(28%8%)180⨯+=，∴ 根据以上信息估计，全社区捐款不少 于300元的户数是180．五、附加题：每题10分，共20分28. 原方程变为(2)(25)0a x y x y +----=，由于公共解与a 无关，∴20250x y x y +-=⎧⎨--=⎩，捐款户数分组统计图1∴31x y =⎧⎨=-⎩29. （1）甲：20128180x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩乙：18020128x y x y⎧+=⎪⎨+=⎪⎩甲：x 表示A 工程队整治的天数，y 表示B 工程队整治的天数； 乙：x 表示A 工程队整治的米数，y 表示B 工程队整治的米数；（2）按甲同学的思路解答：∴515x y =⎧⎨=⎩1260,8120x y ∴==即A 工程队整治河道60米，B 工程队整治河道120米.。

领先中考培优课程M A T H E M A T I C S3 平面坐标系知识目标目标一理解有序数对、有序数对、点的坐标的概念目标二掌握象限、坐标轴、坐标轴夹角平分线的点的坐标特征目标三灵活运用点和线的平移变换。

点的对称变换求坐标模块一 平面直角坐标系的相关概念 知识导航1有序数对有顺序的两个数a 与b 组成的数对，叫做有序数对，记作（a,b),利用有序数对可以可以很准确的表示出一个位置。

2平面直角坐标系3、点的坐标平面内的点可以用一个有序数对表示，这个有序数对就叫做点的坐标。

对于平面内任意一点，过该点分别向横轴、纵轴作垂线，垂足在横轴、纵轴上对应的数分别叫做该点横坐标、纵坐标。

在平面内两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系、水平的数轴称为x 轴或横轴，习惯上取向右为正方向：竖直的数轴称为y 轴或纵轴，取向上方向为正方向；两坐标轴的交点为平面坐标系的原点。

如左图，建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成了Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ四个部分,每个部分称为象限，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

坐标轴上的点不属于任何象限。

Ⅰ 第一象限 Ⅳ第四象限Ⅲ第三象限 Ⅱ 第二象限 原点如图，点p 为坐标平面内一点，过点p 作x 轴的垂线，垂足M 在x 轴上对应点的数是-2，则-2就是p 的横坐标；过点p 作y 轴的垂线，垂足N 在y 轴上对应的数为3，则3为点p 的纵坐标，点p 就可以用有序数对（-2，-3）来表示，记作p （-2,3）。

由坐标确定点的方法：要确定由坐标（a,b)所表示的点p 的位置，先在x 轴上找到表示a 的点，过这点作x 轴的垂线；再在y 轴上找到表示b 的点，过这点作y 轴的垂线，两条垂线的交点p 即为所求的位置。

由点求坐标的方法：先由已知点p 分别向x 轴和y 轴作垂线，设垂足分别为A 和B ，再求出A 在x 轴上的坐标a 和B 在轴上的坐标b ，则点p 的坐标为（a,b)巩固练习 点的坐标(1)在图1的平面直角坐标系中描出下列个点：A(3，4),B(-2，3),C(-5，-2),D(4，-1),E(1，0),F(0，3),G(-2，0),H(0，-4). (2)写出图2中点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 的坐标。

A． 3
B． 6
C．2
1 1 2 的值为（ ） 2 a b A．5 B．7 C．9 D．11. 7、如图 1， ABC, ADE 均为正三角形，若 EBD 35 ，则 BEC ( ) A. 95 B. 105 C. 115 D. 125
6、设 a2 1 3a ， b2 1 3b ，且 a b ，则代数式
C C E A B D A B
姓名：
密
D
一、选择题（每题 4 分，一共 40 分）
年级：
1、化简 3 5 13 48 的结果是（ ） ．
1 2
图1
图2
6 2
A． 2 B．
9、对 于 自 然 数 n ， 将 其 各 位 数 字 之 和 记 为 an ， 如 a2009 2 0 0 9 11 ， D．
12、已知 a 5 1 ，则 2a3 7a2 2a 12 的值等于_____________． 13、若 x
2 5 1
，且 a x , b x ，则 a3 b3 3ab _____________．
ab bc caቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ k ，则 k ___________． bc ca ab
2013 年寒春学而思数学高端班次选拔考试
考号：
七年级试卷（联赛体系）
考生须知： 1、本次考试时间 13:40-15:10，共 90 分钟，满分 120 分； 2、请在试卷左侧认真填写考生信息; 3、考试成绩会在 1 月 3 日 e 度论坛公布。
2013 年学而思元旦高端班次班选拔考试数学试卷 8、如 图 2 ， 在 四 边 形 A B C D中 ， AC ∥ BD , AB BC, AB BC, AC AD , 则 CAD ( ) A. 22.5 B. 25 C. 30 D. 35

数学测试卷（培优梳理-目标中考高分班）一、选择题（每题3分，共30分，将答案填在下面的空格处） 1. 下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ）A ．3251x y x +=⎧⎨=⎩B ．267x y x y -=⎧⎨+=⎩C ．1019x x y =⎧⎨-=⎩D ．153x xy =⎧⎨=⎩2. 下列说法正确的是（ ）A. 2(1)-的平方根是1-B. 1-的平方根是1-C. 2-是8-的立方根D. 16的平方根是43. 下列运算正确的是（ ）A. 321a a -= B. 842x x x -=C.2- D. ()326328x y x y -=-4. 若方程组422x yx y a +=⎧⎨-=⎩中的x 是y 的2倍，则a 等于（ ）A ．9-B ．8C ．7-D ．6-5. 一个样本有20个数据：3531333537393538403936343537363234353634，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，其中众数为（ ）A. 34B. 35C. 36D. 376. 为了从甲、乙、丙、丁四位同学中选派两位选手参加数学竞赛，老师对他们的五次数学测验成绩进行统计，得出他们的平均分均为85分，且、、、． 根据统计结果，派去参加竞赛的两位同学是（ ）A ．甲、乙B ．甲、丙C ．甲、丁D ．乙、丙7.等于（ ）A. 3.14π-B. 3.14π-C. 3.14π+D. (3.14)π-+8. 若关于x 、y 的二元一次方程组59x y kx y k +=⎧⎨-=⎩的解也是二元一次方程236x y +=的解，则1002=甲s 1102=乙s 1202=丙s 902=丁sk 的值为（ ）A. 34-B. 34C. 43D. 43-9. 下面是某同学在一次测验中的计算摘录，其中正确的个数有（ ）① 236a a a ⋅=；② ()333ab a b -=-；③3332a a a +=； ④ ()2212366x x x -+=-；⑤()()212152n m x y x y +--⋅-=52120n m x y +--⑥()()()2x x y y x y x y ---=-A ．1个B ．3个C ．4个D ．5个10. 已知106a =，102b =，则210a b +的值为（ ）A ．8B ．36 C. 38． D ．72二、填空题（每题3分，共24分，将答案填在下面的空格处）11. 13的小数部分是 .12.21(2013)0x y ++-=，则y x = .13. 已知a 、b 、c 是三个有理数，且a 与b 的平均数是127，b 与c 的和的三分之一是78，c 与a 的和的四分之一是52，那么a ，b ，c 的平均数是 .14. 如果21x y =⎧⎨=⎩是方程75ax by bx cy +=⎧⎨+=⎩的解，则a 与c 的关系是 .15. 若21m n =+，则2244m mn n -+的值是 .16. 若1235x y z ++=，3217x y z ++=，则111x y z ++= .17. 已知3,1a b ==，则()()(2)a b a b b b +-+-= .18. 如图，甲类纸片是边长为2的正方形，乙类纸片是边长为1的正方形，丙类纸片是长、宽边长分别是2和1的长方形．现有甲类纸片1张，乙类纸片4张，则应至少取丙类纸片 张才能用它们拼成一个新的正方形．三、解答题（每题4分，共16分）19. 已知2,3x y a a ==，求x y a +与2x y a -的值.20. 解方程组37528x y x y -=⎧⎨+=⎩21. 解方程组::3:4:5238x y z x y z =⎧⎨+-=-⎩22. 先化简再求值：()()()()222424x y x y x y y x xy +-+-++. 其中1x =，1y =-.四、解答题（每题6分，共30分）23. 已知21a -的平方根是3±，39a b +-的立方根是2，c 求2a b c++的算术平方根．24. k 为何值时，关于x y ，的方程组35223x y k x y k -=+⎧⎨-=⎩的解的和为20．25. m 取何整数值时，方程组2441x my x y +=⎧⎨+=⎩的解x y ，都是整数？26. 如图a 是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图b 形状拼成一个正方形．⑴你认为图b 中的阴影部分的正方形的边长等于多少？⑵观察图b 你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：()()22,,m n m n mn +-. ⑶已知7,6m n mn +==，求()2m n -的值．27. 为了让更多的失学儿童重返校园，某社区组织“献爱心手拉手”捐款活动. 对社区部分捐款户数进行调查和分组统计后，将数据整理成如图所示的统计图（图中信息不完整）. 已知A 、B 两组捐款户数的比为1 : 5.请结合以上信息解答下列问题.(1) a= ，本次调查样本的容量是 ； (2) 先求出C 组的户数，再补全“捐款户数分组统计图1”；(3) 若该社区有500户住户，请根据以上信息估计，全社区捐款不少于300元的户数是多少？组别 捐款额（x ）元 户数 A 1≤x <100 a B 100≤x <200 10 C 200≤x <300 D 300≤x <400 Ex ≥400捐款户数分组统计图1捐款户数分组统计图2五、 附加题（每题10分，共20分）28. 已知关于x 、y 的二元一次方程(1)(2)520a x a y a -+++-=，当a 每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，求出这个公共解.29．古运河是扬州的母亲河，为打造古运河风光带，现有一段长为180米的河道整治任务由A 、B 两个工程队先后接力完成．A 工程队每天整治12米，B 工程队每天整治8米，共用时20天．⑴根据题意，甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下：甲：128x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩乙：128x y x y⎧+=⎪⎨+=⎪⎩根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x ，y 表示的意义，然后在方框中补全甲、乙两名同学所列的方程组： 甲：x 表示，y 表示； 乙：x 表示，y 表示；⑵求A 、B 两工程队分别整治河道多少米？（写出完整的解答过程）学而思学校 初一寒假 数学测试卷参考答案三、解答题：每题4分，共16分． 19. 6x y x y a a a +=⋅=()2243x y x y a a a -=÷=20.21x y =⎧⎨=-⎩ 21.6810x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩22. 原式22222448482x y x xy y xy xy =-+-+++2252x xy =+把1x =，1y =-代入原式527=+=．四、解答题：每小题6分，共30分． 23. 根据题意，可得219,398a a b -=+-=；故5,2a b ==； 可得c=7； 则216a b c ++=； 则16的算术平方根为4．24. 这是含有字母的二元一次方程组，求解此类题需将字母看作常数求解方程组的解，然后再根据题目条件求出字母的值． 解方程组35223x y k x y k -=+⎧⎨-=⎩得：264x k y k =-⎧⎨=-⎩又因为：20x y +=，即：31020k -=所以：10k =．25. 把m 作为已知数，解方程组得81828x m y m ⎧=-⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩∵x 是整数，∴8m -取8的约数1248±±±±，，，． ∵y 是整数，∴8m -取2的约数12±±，． 取它们的公共部分，812m -=±±，． 解得97106m =，，，．经检验97106m =，，，时，方程组的解都是整数．26. ⑴m n -．⑵()()224m n m n mn +=-+．⑶()()224494625m n m n mn -=+-=-⨯=．27.⑴2，50；⑵5040%20⨯=，C 组的户数为20 ，补图见图2． ⑶∵ 500(28%8%)180⨯+=，∴ 根据以上信息估计，全社区捐款不少 于300元的户数是180．五、附加题：每题10分，共20分28. 原方程变为(2)(25)0a x y x y +----=，由于公共解与a 无关，∴20250x y x y +-=⎧⎨--=⎩， ∴31x y =⎧⎨=-⎩29. （1）甲：20128180x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩乙：18020128x y x y⎧+=⎪⎨+=⎪⎩捐款户数分组统计图1甲：x表示A工程队整治的天数，y表示B工程队整治的天数；乙：x表示A工程队整治的米数，y表示B工程队整治的米数；（2）按甲同学的思路解答：∴515 xy=⎧⎨=⎩1260,8120x y∴==即A工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米.。

学而思七级数学培优讲义全级章节培优绝对经典.(共147页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第1讲与有理数有关的概念考点·方法·破译1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量.2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数.经典·考题·赏析【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克.【变式题组】01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（）A．－18% B．－8% C．＋2% D．＋8%02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( )A．－5吨 B．＋5吨 C．－3吨 D．＋3吨03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间l5：00，纽约时问是____【例２】在－227，π，0.033.3这四个数中有理数的个数（ )A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；按整数、分数分类，有理数⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227是分数0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C．【变式题组】01．在7，0．1 5，－12，－，－18，，－3 001中，负分数为 ，整数为 ，正整数 .02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置15，－19，215，－138，．－，123, 【例３】（宁夏）有一列数为－1，12，－13，14．－15，16，…，找规律到第2007个数是 .【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．击归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故答案为－12007. 【变式题组】01．（湖北宜宾）数学解密：第一个数是3＝2 ＋1，第二个数是5＝3 ＋2，第三个数是9＝5＋4，第四十数是17＝9＋8…观察并精想第六个数是 .02．（毕节）毕选哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填____.03．（茂名）有一组数l ，2，5，10，17，26…请观察规律，则第8个数为____.【例４】（2008年河北张家口）若l ＋m 2的相反数是－3，则m 的相反数是____. 【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫互为相反数，本题m 2＝－4,m ＝－8 【变式题组】01．（四川宜宾）－5的相反数是( )A ．5B ． 15C ． －5D ． －1502．已知a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，则a ＋b ＋cd ＝______03．如图为一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A 、B 、C 内分别填人适当的数，使得它们折成正方体.若相对的面上的两个数互为相反数，则填人正方形A 、B 、C 内的三个数依次为( )A ． － 1 ,2，0B ． 0，－2，1C ． －2，0，1D ． 2，1，0【例５】（湖北）a 、b 为有理数，且a ＞0，b ＜0，|b|＞a ，则a,b 、－a,－b 的大小顺序是( )A ． b ＜－a ＜a ＜－bB ． –a ＜b ＜a ＜－bC ． –b ＜a ＜－a ＜bD ． –a ＜a ＜－b ＜b【解法指导】理解绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示a 的点到原点的距离,即|a|,用式子表示为|a|＝0)0(0)(0)a a a a a >⎧⎪=⎨⎪-<⎩(.本题注意数形结合思想，画一条数轴 标出a 、b,依相反数的意义标出－b,－a,故选A ．【变式题组】01．推理①若a ＝b ，则|a|＝|b|；②若|a|＝|b|，则a ＝b ；③若a ≠b ，则|a |≠|b|；④若|a |≠|b|，则a ≠b ，其中正确的个数为（ ）A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个02．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，则|a|a ＋|b|b ＋|c|c＝ .03．a 、b 、c 为不等于O 的有理散，则a |a|＋b |b|＋c |c|的值可能是____. 【例６】（江西课改）已知|a －4|＋|b －8|＝0，则a+b ab 的值. 【解法指导】本题主要考查绝对值概念的运用，因为任何有理数a 的绝对值都是非负数，即|a |≥0．所以|a －4|≥0，|b －8|≥0.而两个非负数之和为0，则两数均为0.解：因为|a －4|≥0，|b －8|≥0，又|a －4|＋|b －8|＝0，∴|a －4|＝0，|b －8|＝0即a －4＝0，b －8＝0，a ＝4，b ＝8.故a+b ab ＝1232＝38【变式题组】01．已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a ＞b ＞c ，求a ＋b ＋C ．02．（毕节）若|m －3|＋|n ＋2|＝0，则m ＋2n 的值为( )A ． －4B ． －1C ． 0D ． 403．已知|a|＝8，|b|＝2，且|a －b|＝b －a ，求a 和b 的值【例７】（第l8届迎春杯）已知(m ＋n)2＋|m|＝m ，且|2m －n －2|＝0．求mn 的值．【解法指导】本例关键是通过分析(m ＋n)2＋|m|的符号，挖掘出m 的符号特征,从而把问题转化为(m ＋n)2＝0，|2m －n －2|＝0，找到解题途径.解：∵(m ＋n )2≥0，|m |≥O∴(m ＋n)2＋|m |≥0，而(m ＋n)2＋|m|＝m∴ m ≥0,∴(m ＋n)2＋m ＝m ，即(m ＋n)2＝0∴m ＋n ＝O ①又∵|2m －n －2|＝0∴2m －n －2＝0 ②由①②得m ＝23，n ＝－23，∴ mn ＝－49 【变式题组】 01．已知(a ＋b)2＋|b ＋5|＝b ＋5且|2a －b –l|＝0，求a －B ．02．（第16届迎春杯）已知y ＝|x －a|＋|x ＋19|＋|x －a －96|，如果19＜a ＜96．a ≤x ≤96,求y 的最大值.演练巩固·反馈提高01．观察下列有规律的数12,16,112,120,130,142…根据其规律可知第9个数是( ) A ． 156 B ． 172 C ． 190 D ． 111002．（芜湖）－6的绝对值是( )A ． 6B ． －6C ． 16D ． －1603．在－227,π,8..0.3四个数中，有理数的个数为( ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个04．若一个数的相反数为a ＋b ，则这个数是( )A ． a －bB ． b －aC ． –a ＋bD ． –a －b05．数轴上表示互为相反数的两点之间距离是6，这两个数是( )A ． 0和6B ． 0和－6C ． 3和－3D ． 0和306．若－a 不是负数，则a( )A ． 是正数B ． 不是负数C ． 是负数D ． 不是正数07．下列结论中，正确的是( )①若a ＝b,则|a|＝|b | ②若a ＝－b,则|a|＝|b|③若|a|＝|b|，则a ＝－b ④若|a|＝|b|,则a ＝bA ． ①②B ． ③④C ． ①④D ． ②③08．有理数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示,则a 、b ，－a ，|b|的大小关系正确 的是( )A ． |b|＞a ＞－a ＞bB ． |b| ＞b ＞a ＞－aC ． a ＞|b|＞b ＞－aD ． a ＞|b|＞－a ＞b09．一个数在数轴上所对应的点向右移动5个单位后，得到它的相反数的对应点，则这个数是____.10．已知|x ＋2|＋|y ＋2|＝0，则xy ＝____.11．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，求|a|a ＋|b|b ＋|abc|abc ＋|c|c12．若三个不相等的有理数可以表示为1、a、a＋b也可以表示成0、b、ba的形式，试求a、b的值.13．已知|a|＝4，|b|＝5，|c|＝6，且a＞b＞c，求a＋b－C．14．|a|具有非负性，也有最小值为0，试讨论：当x为有理数时，|x－l|＋|x－3|有没有最小值，如果有，求出最小值；如果没有，说明理由.15．点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a－b|?当A、B两点都不在原点时有以下三种情况:①如图2，点A、B都在原点的右边|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；②如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－(－a)＝|a－b|；③如图4，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－（－a）＝|a－b|；综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a－b|．回答下列问题:⑴数轴上表示2和5的两点之间的距离是 , 数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是 , 3，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是 4；⑵数轴上表示x和－1的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是 |x+1|，如果|AB|＝2，那么x＝ 1或3；⑶当代数式|x＋1|＋|x－2|取最小值时，相应的x的取值范围是 7．培优升级·奥赛检测01．（重庆市竞赛题）在数轴上任取一条长度为199919的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是( )A． 1998 B． 1999 C． 2000 D． 200102．（第l8届希望杯邀请赛试题）在数轴上和有理数a、b、c对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①abc＜0;②|a－b|＋|b－c|＝|a－c|；③（a－b）(b－c)(c－a)＞0；④|a|＜1－bc．其中正确的结论有( )A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个03．如果a、b、c是非零有理数，且a＋b＋c＝0．那么a|a|＋b|b|＋c|c|＋abc|abc|的所有可能的值为（）A．－1 B． 1或－1 C． 2或－2 D． 0或－204．已知|m|＝－m，化简|m－l|－|m－2|所得结果( )A．－1 B． 1 C． 2m －3 D． 3－ 2m05．如果0＜p＜15，那么代数式|x－p|＋|x－15|＋|x－p－15|在p≤x≤15的最小值( ) A． 30 B． 0 C． 15 D．一个与p有关的代数式06．|x＋1|＋|x－2|＋|x－3|的最小值为 .07．若a＞0，b＜0，使|x－a|＋|x－b|＝a－b成立的x取值范围 .08．（武汉市选拔赛试题）非零整数m、n满足|m|＋|n|－5＝0所有这样的整数组(m，n)共有组09．若非零有理数m、n、p满足|m|m＋|n|n＋|p|p＝1．则2mnp|3mnp|＝ .10．（19届希望杯试题）试求|x－1|＋|x－2|＋|x－3|＋…＋|x－1997|的最小值. 11．已知(|x＋l|＋|x－2|)（|y－2|＋|y＋1|）（|z－3|＋|z＋l|）＝36，求x＋2y＋3的最大值和最小值.12．电子跳蚤落在数轴上的某点k0，第一步从k0向左跳1个单位得k1，第二步由k1向右跳2个单位到k2，第三步由k2向左跳3个单位到k3，第四步由k3向右跳4个单位到k4…按以上规律跳100步时，电子跳蚤落在数轴上的点k100新表示的数恰好，试求k0所表示的数.13．某城镇，沿环形路上依次排列有五所小学，它们顺扶有电脑15台、7台、1l台、3台，14台，为使各学校里电脑数相同，允许一些小学向相邻小学调出电脑，问怎样调配才能使调出的电脑总台数最小？并求出调出电脑的最少总台数.第02讲有理数的加减法考点·方法·破译1．理解有理数加法法则，了解有理数加法的实际意义.2．准确运用有理数加法法则进行运算，能将实际问题转化为有理数的加法运算.3．理解有理数减法与加法的转换关系，会用有理数减法解决生活中的实际问题.4．会把加减混合运算统一成加法运算，并能准确求和.经典·考题·赏析【例１】（河北唐山）某天股票A开盘价18元，上午11:30跌了元，下午收盘时又涨了元，则股票A这天的收盘价为（）A．元B．元C．元D．18元【解法指导】将实际问题转化为有理数的加法运算时，首先将具有相反意义的量确定一个为正，另一个为负，其次在计算时正确选择加法法则，是同号相加，取相同符号并用绝对值相加，是异号相加，取绝对值较大符号，并用较大绝对值减去较小绝对值.解：18＋（－）＋（）＝，故选C．【变式题组】01．今年陕西省元月份某一天的天气预报中，延安市最低气温为－6℃，西安市最低气温2℃，这一天延安市的最低气温比西安低（）A．8℃B．－8℃C．6℃D．2℃02．（河南）飞机的高度为2400米，上升250米，又下降了327米，这是飞机的高度为__________03．（浙江）珠穆朗玛峰海拔8848m，吐鲁番海拔高度为－155 m，则它们的平均海拔高度为__________【例２】计算（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）【解法指导】应用加法运算简化运算，－83与－17相加可得整百的数，＋26与－26互为相反数，相加为0，有理数加法常见技巧有：⑴互为相反数结合一起；⑵相加得整数结合一起；⑶同分母的分数或容易通分的分数结合一起；⑷相同符号的数结合一起.解：（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）＝[（－83）＋（－17）]＋[（＋26）＋（－26）]＋15＝（－100）＋15＝－85【变式题组】01．（－）＋（－312）＋（－134）＋（－114）02．（－）＋＋（－）＋（－）03．＋314＋（－318）＋1123＋（－）【例３】计算111112233420082009++++⨯⨯⨯⨯【解法指导】依111(1)1n n n n =-++进行裂项，然后邻项相消进行化简求和. 解：原式＝1111111(1)()()()2233420082009-+-+-++- ＝111111112233420082009-+-+-++- ＝112009-＝20082009 【变式题组】 01．计算1＋（－2）＋3＋（－4）＋ … ＋99＋（－100）02．如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的长方形，接着把面积为12的长方形等分成两个面积为14的正方形，再把面积为14的正方形等分成两个面积为18的长方形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算11111111248163264128256+++++++＝__________.【例４】如果a ＜0，b ＞0，a ＋b ＜0，那么下列关系中正确的是（ ）A ．a ＞b ＞－b ＞－aB ．a ＞－a ＞b ＞－bC ．b ＞a ＞－b ＞－aD ．－a ＞b ＞－b ＞a【解法指导】紧扣有理数加法法则，由两加数及其和的符号，确定两加数的绝对值的大小，然后根据相反数的关系将它们在同一数轴上表示出来，即可得出结论.解：∵a ＜0，b ＞0，∴a ＋b 是异号两数之和又a ＋b ＜0，∴a 、b 中负数的绝对值较大，∴| a |＞| b |将a 、b 、－a 、－b 表示在同一数轴上，如图，则它们的大小关系是－a ＞b ＞－b ＞a【变式题组】01．若m ＞0，n ＜0，且| m |＞| n |，则m ＋n ________ 0.（填＞、＜号）02．若m ＜0，n ＞0，且| m |＞| n |，则m ＋n ________ 0.（填＞、＜号）03．已知a ＜0，b ＞0，c ＜0，且| c |＞| b |＞| a |，试比较a 、b 、c 、a ＋b 、a ＋c 的大小【例５】425－（－33311）－（－）－（－21811）【解法指导】有理数减法的运算步骤：⑴依有理数的减法法则，把减号变为加号，并把减数变为它的相反数；⑵利用有理数的加法法则进行运算.解：425－（－33311）－（－）－（－21811）＝425＋33311＋＋21811＝＋＋（33311＋21811）＝6＋55＝61【变式题组】01．21511()()()()(1)32632--+---+-+ 02．434－（＋）－（－314）＋（－）03．178－－（－43221）＋1531921－【例６】试看下面一列数：25、23、21、19…⑴观察这列数，猜想第10个数是多少第n 个数是多少⑵这列数中有多少个数是正数从第几个数开始是负数⑶求这列数中所有正数的和.【解法指导】寻找一系列数的规律，应该从特殊到一般，找到前面几个数的规律，通过观察推理、猜想出第n 个数的规律，再用其它的数来验证.解：⑴第10个数为7，第n 个数为25－2(n －1)⑵∵n ＝13时，25－2(13－1)＝1，n ＝14时，25－2(14－1)＝－1故这列数有13个数为正数，从第14个数开始就是负数.⑶这列数中的正数为25,23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1，其和＝（25＋1）＋（23＋3）＋…＋（15＋11）＋13＝26×6＋13＝169【变式题组】 01．(杭州)观察下列等式1－12＝12，2－25＝85，3－310＝2710，4－417＝6417…依你发现的规律，解答下列问题. ⑴写出第5个等式；⑵第10个等式右边的分数的分子与分母的和是多少？02．观察下列等式的规律9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20⑴用关于n（n≥1的自然数）的等式表示这个规律；⑵当这个等式的右边等于2008时求n.【例７】（第十届希望杯竞赛试题）求12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋（15＋25＋35＋45）＋…＋（150＋250＋…＋4850＋4950）【解法指导】观察式中数的特点发现：若括号内在加上相同的数均可合并成1，由此我们采取将原式倒序后与原式相加，这样极大简化计算了.解：设S＝12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋…＋（150＋250＋…＋4850＋4950）则有S＝12＋（23＋13）＋（34＋24＋14）＋…＋（4950＋4850＋…＋250＋150）将原式和倒序再相加得2S＝12＋12＋（13＋23＋23＋13）＋（14＋24＋34＋34＋24＋14）＋…＋（150＋250＋…＋4850＋4950＋4950＋4850＋…＋250＋150）即2S＝1＋2＋3＋4＋…＋49＝49(491)2⨯+＝1225∴S＝1225 2【变式题组】01．计算2－22－23－24－25－26－27－28－29＋21002．（第8届希望杯试题）计算（1－12－13－…－12003）（12＋13＋14＋…＋12003＋12004）－（1－12－13－…－12004）（12＋13＋14＋…＋12003）演练巩固·反馈提高01．m是有理数，则m＋|m|（）A．可能是负数B．不可能是负数C．比是正数D．可能是正数，也可能是负数02．如果|a|＝3，|b|＝2，那么|a＋b|为（）A． 5 B．1 C．1或5 D．±1或±5 03．在1，－1，－2这三个数中，任意两数之和的最大值是（）A． 1 B．0 C．－1 D．－3 04．两个有理数的和是正数，下面说法中正确的是（）A．两数一定都是正数B．两数都不为0C．至少有一个为负数D．至少有一个为正数05．下列等式一定成立的是（）A．|x|－ x ＝0 B．－x－x ＝0 C．|x|＋|－x| ＝0 D．|x|－|x|＝0 06．一天早晨的气温是－6℃，中午又上升了10℃，午间又下降了8℃，则午夜气温是（）A．－4℃B．4℃C．－3℃D．－5℃07．若a＜0，则|a－(－a)|等于（）A．－a B．0 C．2a D．－2a08．设x是不等于0的有理数，则||||2x xx值为（）A．0或1 B．0或2 C．0或－1 D．0或－2 09．（济南）2＋(－2)的值为__________10．用含绝对值的式子表示下列各式：⑴若a＜0，b＞0,则b－a＝__________，a－b＝__________⑵若a＞b＞0，则|a－b|＝__________⑶若a＜b＜0，则a－b＝__________11．计算下列各题：⑴23＋（－27）＋9＋5 ⑵－＋－＋－⑶－－314＋－712⑷－－（－）－|－2310|12．计算1－3＋5－7＋9－11＋…＋97－9913．某检修小组乘汽车沿公路检修线路，规定前进为正，后退为负，某天从A地出发到收工时所走的路线（单位：千米）为：＋10，－3，＋4，－2，－8，＋13，－7，＋12，＋7，＋5⑴问收工时距离A地多远？⑵若每千米耗油千克，问从A地出发到收工时共耗油多少千克？14．将1997减去它的12，再减去余下的13，再减去余下的14，再减去余下的15……以此类推，直到最后减去余下的11997，最后的得数是多少？15．独特的埃及分数：埃及同中国一样，也是世界着名的文明古国，古代埃及人处理分数与众不同，他们一般只使用分子为1的分数，例如13＋115来表示25，用14＋17＋128表示37等等.现有90个埃及分数：12，13，14，15，…190，191，你能从中挑出10个，加上正、负号，使它们的和等于－1吗？培优升级·奥赛检测01．（第16届希望杯邀请赛试题）1234141524682830-+-+-+-+-+-+-等于（ ） A ．14B ．14-C ．12D ．12-02．自然数a 、b 、c 、d 满足21a ＋21b ＋21c ＋21d ＝1，则31a ＋41b ＋51c ＋61d 等于（ ） A ．18B ．316C ．732D ．156403．（第17届希望杯邀请赛试题）a 、b 、c 、d 是互不相等的正整数，且abcd ＝441，则a ＋b ＋c ＋d 值是（ ） A ．30 B ．32 C ．34 D ．3604．（第7届希望杯试题）若a ＝1995199519961996，b ＝1996199619971997，c ＝1997199719981998，则a 、b 、c 大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜c B ．b ＜c ＜aC ．c ＜b ＜aD ．a ＜c ＜b05．11111(1)(1)(1)(1)(1)1324351998200019992001+++++⨯⨯⨯⨯⨯的值得整数部分为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．406．(－2)2004＋3×(－2)2003的值为（ ） A ．－22003 B ．22003 C ．－22004 D ．2200407．（希望杯邀请赛试题）若|m|＝m ＋1，则(4m ＋1)2004＝__________08．12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋ … ＋（160＋260＋…＋5960）＝__________ 09．19191976767676761919-＝__________534333231310．1＋2－22－23－24－25－26－27－28－29＋210＝__________ 11．求32001×72002×132003所得数的末位数字为__________ 12．已知(a ＋b)2＋|b ＋5|＝b ＋5，且|2a －b －1|＝0，求aB ．13．计算(11998－1)(11997－1) (11996－1) … (11001－1) (11000－1)14．请你从下表归纳出13＋23＋33＋43＋…＋n3的公式并计算出13＋23＋33＋43＋…＋1003的值.第03讲 有理数的乘除、乘方考点·方法·破译1．理解有理数的乘法法则以及运算律，能运用乘法法则准确地进行有理数的乘法运算，会利用运算律简化乘法运算.2．掌握倒数的概念，会运用倒数的性质简化运算.3．了解有理数除法的意义，掌握有理数的除法法则，熟练进行有理数的除法运算.4．掌握有理数乘除法混合运算的顺序，以及四则混合运算的步骤，熟练进行有理数的混合运算.5．理解有理数乘方的意义，掌握有理数乘方运算的符号法则，进一步掌握有理数的混合运算.经典·考题·赏析 【例１】计算⑴11()24⨯- ⑵1124⨯ ⑶11()()24-⨯- ⑷25000⨯ ⑸3713()()(1)()5697-⨯-⨯⨯- 【解法指导】掌握有理数乘法法则，正确运用法则，一是要体会并掌握乘法的符号规律，二是细心、稳妥、层次清楚，即先确定积的符号，后计算绝对值的积.解：⑴11111()()24248⨯-=-⨯=-⑵11111()24248⨯=⨯=⑶11111()()()24248-⨯-=+⨯=⑷250000⨯=⑸3713371031()()(1)()()569756973-⨯-⨯⨯-=-⨯⨯⨯=-【变式题组】01．⑴(5)(6)-⨯- ⑵11()124-⨯ ⑶(8)(3.76)(0.125)-⨯⨯-⑷(3)(1)2(6)0(2)-⨯-⨯⨯-⨯⨯- ⑸111112(2111)42612-⨯-+- 02．24(9)5025-⨯ 3．1111(2345)()2345⨯⨯⨯⨯--- 04．111(5)323(6)3333-⨯+⨯+-⨯ 【例２】已知两个有理数a 、b ，如果ab ＜0，且a ＋b ＜0，那么（ ）A ．a ＞0，b ＜0B ．a ＜0，b ＞0C ．a 、b 异号D ．a 、b 异号且负数的绝对值较大【解法指导】依有理数乘法法则，异号为负，故a 、b 异号，又依加法法则，异号相加取绝对值较大数的符号，可得出判断.解：由ab ＜0知a 、b 异号，又由a ＋b ＜0，可知异号两数之和为负，依加法法则得负数的绝对值较大，选D ． 【变式题组】01．若a ＋b ＋c ＝0，且b ＜c ＜0，则下列各式中，错误的是（ ） A ．a ＋b ＞0 B ．b ＋c ＜0 C ．ab ＋ac ＞0 D ．a ＋bc ＞002．已知a ＋b ＞0，a －b ＜0，ab ＜0，则a___________0，b___________0，|a|___________|b|.03．(山东烟台)如果a ＋b ＜0，0b a >，则下列结论成立的是（ ）A ．a ＞0，b ＞0B ．a ＜0，b ＜0C ．a ＞0，b ＜0D ．a ＜0，b ＞0 04．(广州)下列命题正确的是（ ）A ．若ab ＞0，则a ＞0，b ＞0B ．若ab ＜0，则a ＜0，b ＜0C ．若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0D ．若ab ＝0，则a ＝0且b ＝0 【例３】计算⑴(72)(18)-÷- ⑵11(2)3÷- ⑶13()()1025-÷ ⑷0(7)÷- 【解法指导】进行有理数除法运算时，若不能整除，应用法则1，先把除法转化成乘法，再确定符号，然后把绝对值相乘，要注意除法与乘法互为逆运算.若能整除，应用法则2，可直接确定符号，再把绝对值相除. 解：⑴(72)(18)72184-÷-=÷=⑵17331(2)1()1()3377÷-=÷-=⨯-=-⑶131255()()()()10251036-÷=-⨯=-⑷0(7)0÷-=【变式题组】01．⑴(32)(8)-÷- ⑵112(1)36÷- ⑶10(2)3÷- ⑷13()(1)78÷- 02．⑴12933÷⨯⑵311()(3)(1)3524-⨯-÷-÷ ⑶530()35÷-⨯03．113()(10.2)(3)245÷-+-÷⨯-【例４】（茂名）若实数a 、b 满足0a ba b+=，则ab ab＝___________.【解法指导】依绝对值意义进行分类讨论，得出a 、b 的取值范围，进一步代入结论得出结果.解：当ab ＞0，2(0,0)2(0,0)a b a b a b a b >>⎧+=⎨-<<⎩；当ab ＜0，0a ba b+=，∴ab ＜0，从而ab ab＝－1.【变式题组】01．若k 是有理数，则(|k|＋k)÷k 的结果是（ ）A ．正数B ．0C ．负数D ．非负数02．若A ．b 都是非零有理数，那么ab a b a b ab++的值是多少？03．如果0x y x y +=，试比较xy -与xy 的大小.【例５】已知223(2),1x y =-=- ⑴求2008xy 的值； ⑵求32008x y 的值.【解法指导】na 表示n 个a 相乘，根据乘方的符号法则，如果a 为正数，正数的任何次幂都是正数，如果a 是负数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.解：∵223(2),1x y =-=- ⑴当2,1x y ==-时，200820082(1)2xy =-= 当2,1x y =-=-时，20082008(2)(1)2xy =-⨯-=-⑵当2,1x y ==-时，332008200828(1)x y ==- 当2,1x y =-=-时，3320082008(2)8(1)x y -==-- 【变式题组】 01．（北京）若2(2)0m n m -+-=，则nm 的值是___________.02．已知x 、y 互为倒数，且绝对值相等，求()n nx y --的值，这里n 是正整数.【例６】（安徽）2007年我省为135万名农村中小学生免费提供教科书，减轻了农民的负担，135万用科学记数法表示为（ ）A ．×106B ．×106C ．×107D ．×107 【解法指导】将一个数表示为科学记数法的a×10n 的形式，其中a 的整数位数是1位.故答案选B ．【变式题组】01．（武汉）武汉市今年约有103000名学生参加中考，103000用科学记数法表示为（ ） A ．×105 B ．×105 C ．×104 D ．103×10302．（沈阳）沈阳市计划从2008年到2012年新增林地面积253万亩，253万亩用科学记数法表示正确的是（ ）A ．×105亩B ．×106亩C ．253×104亩D ．×107亩 【例７】（上海竞赛）【解法指导】找出21005000k k -+的通项公式＝22(50)50k -+原式＝2222222222221299(150)50(250)50(50)50(9950)50k k ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-+-+-+-+ ＝222222222222199298[][](150)50(9950)50(250)50(9850)50++++⋅⋅⋅+-+-+-+-+＝49222+1++⋅⋅⋅+个＝99【变式题组】A ．31003B ．31004C ．1334D ．1100002．（第10届希望杯试题）已知11111111 1.2581120411101640+++++++= 求111111112581120411101640---+--++的值.演练巩固·反馈提高01．三个有理数相乘，积为负数，则负因数的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．1个或3个 02．两个有理数的和是负数，积也是负数，那么这两个数（ ）A ．互为相反数B ．其中绝对值大的数是正数，另一个是负数C ．都是负数D ．其中绝对值大的数是负数，另一个是正数 03．已知abc ＞0，a ＞0，ac ＜0，则下列结论正确的是（ ）A ．b ＜0，c ＞0B ．b ＞0，c ＜0C ．b ＜0，c ＜0D ．b ＞0，c ＞0 04．若|ab|＝ab ，则（ ）A ．ab ＞0B ．ab ≥0C ．a ＜0，b ＜0D ．ab ＜005．若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值为2，则代数式a bm cd m +-+的值为（ ）A ．－3B ．1C ．±3D ．－3或106．若a ＞1a ，则a 的取值范围（ ）A ．a ＞1B ．0＜a ＜1C ．a ＞－1D ．－1＜a ＜0或a ＞107．已知a 、b 为有理数，给出下列条件：①a ＋b ＝0；②a －b ＝0；③ab ＜0；④1ab =-，其中能判断a 、b 互为相反数的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 08．若ab≠0，则a b a b+的取值不可能为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．－209．1110(2)(2)-+-的值为（ ）A ．－2B ．(－2)21C ．0D ．－21010．(安徽)2010年一季度，全国城镇新增就业人数289万人，用科学记数法表示289万正确的是（ ）A ．×107B ．×106C ．×105D ．×10411．已知4个不相等的整数a 、b 、c 、d ，它们的积abcd ＝9，则a ＋b ＋c ＋d ＝___________.12．21221(1)(1)(1)n n n +--+-+-（n 为自然数）＝___________.13．如果2x y x y +=，试比较xy -与xy 的大小.14．若a 、b 、c 为有理数且1a b ca b c++=-，求abc abc的值.15．若a 、b 、c 均为整数，且321a b c a -+-=.求a c cb b a-+-+-的值.培优升级·奥赛检测01．已知有理数x 、y 、z 两两不相等，则,,x y y z z xy z z x x y ------中负数的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个或2个02．计算12345211,213,217,2115,2131-=-=-=-=-=⋅⋅⋅归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测201021-的个位数字是（ ）A ．1B ．3C ．7D ．503．已知23450ab c d e ＜，下列判断正确的是（ ） A ．abcde ＜0 B ．ab2cd4e ＜0 C ．ab2cde ＜0 D ．abcd4e ＜004．若有理数x 、y 使得,,,xx y x y xy y +-这四个数中的三个数相等，则|y|－|x|的值是（ ）A ．12-B ．0C ．12D ．3205．若A ＝248163264(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)+++++++，则A －1996的末位数字是（ ）A ．0B ．1C ．7D ．906．如果20012002()1,()1a b a b +=--=，则20032003a b +的值是（ ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．－107．已知5544332222,33,55,66a b c d ====，则a 、b 、c 、d 大小关系是（ ）A ．a ＞b ＞c ＞dB ．a ＞b ＞d ＞cC ．b ＞a ＞c ＞dD ．a ＞d ＞b ＞c 08．已知a 、b 、c 都不等于0，且a b c abca b c abc+++的最大值为m ，最小值为n ，则2005()m n +＝___________.09．（第13届“华杯赛”试题）从下面每组数中各取一个数将它们相乘，那么所有这样的乘积的总和是___________.第一组：15,3,4.25,5.753- 第二组：112,315-第三组：52.25,,412-10．一本书的页码从1记到n，把所有这些页码加起来，其中有一页码被错加了两次，结果得出了不正确的和2002，这个被加错了两次的页码是多少？11．（湖北省竞赛试题）观察按下列规律排成一列数：11，12，21，13，22，31，14，23，3 2，41，15，24，23，42，51，16，…(＊)，在(＊)中左起第m个数记为F(m)，当F(m)＝12001时，求m的值和这m个数的积.12．图中显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列9个数：11,,1,2,4,8,16,32,6442填入方格中，使得所有行列及对角线上各数相乘的积相等，求x的值.13．(第12届“华杯赛”试题)已知m、n都是正整数，并且证明：⑴11,;22m nA Bm n++ ==⑵126A B-=，求m、n的值.第04讲整式考点·方法·破译1．掌握单项式及单项式的系数、次数的概念.2．掌握多项式及多项式的项、常数项及次数等概念.3．掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式.4．了解整式读、写的约定俗成的一般方法，会根据给出的字母的值求多项式的值.经典·考题·赏析【例1】判断下列各代数式是否是单项式，如果不是请简要说明理由，如果是请指出它的系数与次数.(1)x+1 (2)1x(3)πr2(4)−32a2b【解法指导】理解单项式的概念:由数与字母的积组成的代数式，单独一个数或一个字母也是单项式，数字的次数为0，π是常数，单项式中所有字母指数和叫单项式次数.解：⑴不是，因为代数式中出现了加法运算；⑵不是，因为代数式是与x的商；⑶是，它的系数为π，次数为2；⑷是，它的系数为32-，次数为3.【变式题组】01．判断下列代数式是否是单项式(1)a (2)−12(3)1+x2(4)xπ(5)xy (6)2πx02．说出下列单项式的系数与次数(1)−23x2y (2)mn (3)5a2(4)−72ab2c【例２】如果2x n y4与12m2x2y|m−n|都是关于x、y的六次单项式，且系数相等，求m、n 的值.【解法指导】单项式的次数要弄清针对什么字母而言，是针对x或y或x、y等是有区别的，该题是针对x与y而言的，因此单项式的次数指x、y的指数之和，与字母m无关，此时将m看成一个要求的已知数.解：由题意得n+4=6,2+|m−n|=6,2=12m2∴m=−2,n=2 【变式题组】01．一个含有x、y的五次单项式，x的指数为3.且当x＝2,y＝－1时，这个单项式的值为32，求这个单项式.02．（毕节）写出含有字母x、y的五次单项式______________________.【例３】已知多项式−45x2y2+23x4y3−xy+1⑴这个多项式是几次几项式？⑵这个多项式最高次项是多少二次项系数是什么常数项是什么【解法指导】 n个单项式的和叫多项式，每个单项式叫多项式的项，多项式里次数最高项的次数叫多项式的次数.解：⑴这个多项式是七次四项式；(2)最高次项是23x4y3,二次项系数为－1，常数项是1.【变式题组】01．指出下列多项式的项和次数⑴a3−a2b+ab2−b3 (2)3n4−2n2+102．指出下列多项式的二次项、二次项系数和常数项⑴x3+x2−x−2 (2)−4x3−x2+x−4【例４】多项式7x m+kx2−(3n+1)x+5是关于x的三次三项式，并且一次项系数为－7.求m+n－k的值【解法指导】多项式的次数是单项式中次数最高的次数，单项式的系数是数字与字母乘积中的数字因数.解：因为7x m+kx2−(3n+1)x+5是关于x的三次三项式，依三次知m＝3，而一次项系数为－7，即－（3n+1）＝－7，故n＝2.已有三次项为7x3,一次项为－7x，常数项为5，又原多项式为三次三项式，故二次项的系数k＝0，故m+n－k＝3+2－0＝5.【变式题组】01．多项式3x|m|y2+(m+2)x2y−1是四次三项式，则m的值为（）A．2 B．－2 C．±2 D．±102．已知关于x、y的多项式ax2+2bxy+x2−x−2xy+y不含二次项，求5a－8b的值.03．已知多项式−56x2y m+2+xy2−12x3+6是六次四项式，单项式23x3n y5−m z的次数与这个多项式的次数相同，求n的值.【例５】已知代数式3x2−2x+6的值是8,求32x2−x+1的值.【解法指导】由3x2−2x+6=8，现阶段还不能求出x的具体值，所以联想到整体代入法.解：由3x2−2x+6=8得由3x2−2x=23 2x2−x+1=12（3x2−2x+2)=12×(2+2)=2【变式题组】01．(贵州)如果代数式－2a+3b+8的值为18，那么代数式9b－6a+2的值等于（）A．28 B．－28 C．32 D．－3202．（同山）若a2+a=0,则2a2+2a+2008的值为_______________.03．（潍坊）代数式3x2−4x+6的值为9,则x2−43x+6的值为______________.【例６】证明代数式16+m−{8m−[m−9−(3−6m)]}的值与m的取值无关.【解法指导】欲证代数式的值与m的取值无关，只需证明代数式的化简结果不出现字母即可.证明：原式＝16+m−8m+[m−9−(3−6m)]=16+m−8m+m−9−3+6m=4∴无论m的值为何，原式值都为4.∴原式的值与m的取值无关.【变式题组】01．已知A=2x2+3ax−2x−1,B=−x2+ax−1,且3A+6B的值与x无关，求a的值. 02．若代数式(x2+ax−2y+7)−(bx2−2x+9y−1)的值与字母x的取值无关，求a、b 的值.【例７】（北京市选拔赛）同时都含有a、b、c，且系数为1的七次单项式共有（）个A．4 B．12 C．15 D．25【解法指导】首先写出符合题意的单项式a x b y c z,x、y、z都是正整数，再依x+y+z＝7来确定x、y、z的值.解：a x b y c z为所求的单项式，则x、y、z都是正整数，且x+y+z＝7.当x＝1时，y＝1,2,3,4,5,z＝5,4,3,2,1.当x＝2时，y＝1,2,3,4,z＝4,3,2,1. 当x＝3时，y＝1,2,3,z＝3,2,1.当 x＝4时，y＝1,2,z＝2,1.当 x＝5时，y＝z＝1.所以所求的单项式的个数为5+4+3+2+1＝15，故选C．【变式题组】01．已知m、n是自然数，a m−3b2c−17a2b n−3c4+112a m+1b n−1c是八次三项式，求m、n值.02．整数n＝___________时，多项式5x n+2−2x2−n+2是三次三项式.演练巩固·反馈提高01．下列说法正确的是（）A．x−y2是单项式 B．3x2y3z的次数为5 C．单项式ab2系数为0 D．x4−1是四次二项式02．a表示一个两位数，b表示一个一位数，如果把b放在a的右边组成一个三位数.则这个三位数是（）A．100b+a B．10a+b C．a+b D．100a+b03．若多项式2y2+3x的值为1，则多项式4y2+6x−9的值是（）A．2 B．17 C．－7 D．704．随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌电脑原售价为n元，降低m 元后，又降低20%，那么该电脑的现售价为（）A．(15n+15m)元 B．(45n−45m)元 C．(1−15m)元 D．(15n−m)元05．若多项式k(k−1)x2−kx+x−3是关于x的一次多项式，则k的值是（）A．0 B．1 C．0或1 D．不能确定06．若（1−n2)x n y3是关于x、y的五次单项式，则它的系数是____________.07．电影院里第1排有a个座位，后面每排都比前排多3个座位，则第10排有_______个座位.08．若3a m b3+4a n+1b m+2=7a x+1b y,则代数式xy+mn值为________.09．一项工作，甲单独做需a天完成，乙单独做需b天完成，如果甲、乙合做7天完成工作量是____________.10．(河北)有一串单项式x,−2x2,3x3,−4x4,,−10x10,(1)请你写出第100个单项式；⑵请你写出第n个单项式.11．（安徽）一个含有x、y的五次单项式，x的指数为3,且当x＝2，y＝－1时，这个单项式值为32，求这个单项式.12．（天津）已知x＝3时多项式ax3+bx+5的值为－1，则当x＝－3时这个多项式的值为多少？13．若关于x、y的多项式2x2y−23x3y4+(2a−3)x3y5与多项式−x2b y4+3x2y−1的系数相同，并且最高次项的系数也相同，求a－b的值.14．某地电话拨号入网有两种方式，用户可任取其一.A：计时制：元/分B：包月制：50元/月（只限一部宅电上网）.此外，每种上网方式都得加收通行费元/分.⑴某用户某月上网时间为x小时，请你写出两种收费方式下该用户应该支付的费用；(2)若某用户估计一个月内上网时间为20小时，你认为采用哪种方式更合算.培优升级·奥赛检测01．（扬州）有一列数a1、a2、a3a n,从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差.若a1=2,则a2007为（）A．2007 B．2 C．12D．－102．（华师一附高招生）设记号*表示求a、b算术平均数的运算，即a∗b=a+b2,则下列等式中对于任意实数a、b、c都成立的是（）①a+(b∗c)=(a+b)∗(a+c)②a∗(b+c)=(a+b)∗c③a∗(b+c)=(a∗b)+(a∗c)④(a∗b)+c=a2+(b∗2c)。