1.2匀变速直线运动的规律及应用(解析版)

1.2匀变速直线运动的规律及应用

一、匀变速直线运动的基本规律及应用

1.匀变速直线运动

沿着一条直线且加速度不变的运动．如图所示，v－t图线是一条倾斜的直线．

2．匀变速直线运动的两个基本规律

(1)速度与时间的关系式：v＝v0＋at.

(2)位移与时间的关系式：x＝v0t＋12at2.

3．位移的关系式及选用原则

(1)x＝vt，不涉及加速度a；

(2)x＝v0t＋12at2，不涉及末速度v；

(3)x＝v2－v022a，不涉及运动的时间t.

二、匀变速直线运动的基本规律解题技巧

1．基本思路

画过程示意图→ 判断运动性质→ 选取正方向→ 选用公式列方程 解方程并加以讨论

2．正方向的选定

无论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动，通常以初速度v0的方向为正方向；当v0＝0时，一般以加速度a的方向为正方向．速度、加速度、位移的方向与正方向相同时取正，相反时取负．

3．解决匀变速运动的常用方法

(1)逆向思维法：

对于末速度为零的匀减速运动，采用逆向思维法，可以看成反向的初速度为零的匀加速直线运动．

(2)图像法：借助v－t图像(斜率、面积)分析运动过程．

两种匀减速直线运动的比较

1．刹车类问题

(1)其特点为匀减速到速度为零后停止运动，加速度a突然消失．

(2)求解时要注意确定实际运动时间． (3)如果问题涉及最后阶段(到停止)的运动，可把该阶段看成反向的初速度为零的匀加速直线运动．

2．双向可逆类问题

(1)示例：如沿光滑固定斜面上滑的小球，到最高点后仍能以原加速度匀加速下滑，全过程加速度大小、方向均不变．

(2)注意：求解时可分过程列式也可对全过程列式，但必须注意x、v、a等矢量的正负号及物理意义．

例题1.以72→km/h的速度在平直公路上行驶的汽车,遇到紧急情况而急刹车获得大小为4→m/s2的加速度,则刹车6→s后汽车的速度为 ( )

A.44→m/s B.24→m/s C.4→m/s D.0

【答案】D

【解析】

汽车的初速度为v0=72→km/h=20→m/s,汽车从刹车到停止所用时间为t=𝑣0𝑎=204→s=5→s,故刹车5→s后汽车停止不动,则刹车6→s后汽车的速度为0,故选D。

一辆汽车在平直公路上匀速行驶,速度大小为v0=10→m/s,关闭油门后汽车的加速度大小为2→m/s2。求:

(1)关闭油门后到汽车位移x=24→m所经历的时间t1;

(2)关闭油门后t2=10→s内汽车滑行的距离。

【答案】(1)4→s (2)25→m

【解析】

(1)取汽车初速度方向为正方向,v0=10→m/s,a=-2→m/s2

根据速度-时间公式,可得汽车停止时间t'=𝑣𝑡-𝑣0𝑎

代入数据解得t'=5→s

由位移-时间公式x=v0t+12at2

代入数据解得关闭油门后到汽车位移x=24→m所经历的时间为t1=4→s,t2=6→s(舍去)

(2)由(1)知汽车刹停时间为t'=5→s,则在10→s时汽车已经停止

通过的位移为x'=𝑣02·t'=102×5→m=25→m

在研究某公交车的刹车性能时，让公交车沿直线运行到最大速度后开始刹车，公交车开始刹车后位移与时间的关系满足x＝16t－t2(物理量均采用国际制单位)，下列说法正确的是( )

A．公交车运行的最大速度为4→m/s

B．公交车刹车的加速度大小为1→m/s2

C．公交车从刹车开始10→s内的位移为60→m

D．公交车刹车后第1→s内的平均速度为15→m/s 【答案】D

【解析】

根据x＝v0t－12at2与x＝16t－t2的对比，可知刹车过程为匀减速直线运动，运行的最大速度就是刹车时车的速度，为16→m/s，刹车的加速度大小为2→m/s2，故A、B错误；已知刹车时车的速度，以及加速度，由t＝va＝8→s可知，刹车停止需要8→s时间，从刹车开始10→s内的位移，其实就是8→s内的位移，t＝8→s时有x＝64→m，故C错误；t′＝1→s时，有x′＝15→m，由平均速度公式可得v＝x′t′＝15→m/s，故D正确．

匀变速直线运动的推论及应用

→(1)平均速度公式：做匀变速直线运动的物体在一段时间内的平均速度等于这段时间内初、末时刻速度矢量和的一半，还等于中间时刻的瞬时速度．即：v＝v0＋v2＝2tv.此公式可以求某时刻的瞬时速度．

(2)位移差公式：连续相等的相邻时间间隔T内的位移差相等．

即：Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2.

不相邻相等的时间间隔T内的位移差xm－xn＝(m－n)aT2，此公式可以求加速度．

(3)位移中点速度2xv＝v02＋v22.

例题2.→(多选)固定的光滑斜面的长度为L，一物体自斜面顶端由静止开始匀加速滑至底端，经历的时间为t，则下列说法正确的是( )

A．物体运动全过程中的平均速度是Lt

B．物体在t2时的瞬时速度是2Lt

C．物体运动到斜面中点时的瞬时速度是2Lt

D．物体从顶端运动到斜面中点所需的时间是2t2

【答案】ACD

【解析】

全程的平均速度v＝Lt，A正确；t2时，物体的速度等于全程的平均速度Lt，B错误；若末速度为v，则v2＝Lt，v＝2Lt，中间位置的速度，由v2－v02＝2ax，

对前半程有v中2－0＝2a·L2，

对后半程有v2－v中2＝2a·L2，

联立可得：v中＝22v＝2Lt，C正确；设物体的加速度为a，到达中间位置用时t′，则L＝12at2，L2＝12at′2，所以t′＝2t2，D正确．

物体以初速度v0做匀减速直线运动，第1→s内通过的位移为x1＝3→m，第2→s内通过的位移为x2＝2→m，又经过位移x3物体的速度减小为0，则下列说法中不正确的是( )

A．加速度a的大小为1→m/s2

B．初速度v0的大小为2.5→m/s

C．位移x3的大小为98→m→

D．位移x3内的平均速度大小为0.75→m/s

【答案】B

【解析】

根据Δx＝aT2得，

a＝ΔxT2＝－112→m/s2＝－1→m/s2，A项正确．

根据x1＝v0t1＋12at12，得v0＝3.5→m/s，B项错误；第2→s末的速度v2＝v0＋at2＝(3.5－1×2)→m/s＝1.5→m/s，

则x3＝0－v222a＝0－1.52－2→m＝98→m，位移x3内的平均速度大小v＝v22＝0.75→m/s，C、D正确．

一个做匀加速直线运动的物体，先后经过相距为x的A、B两点时的速度分别为v和7v，从A到B的运动时间为t，则下列说法不正确的是( )

A．经过AB中点的速度为4v

B．经过AB中间时刻的速度为4v

C．通过前x2位移所需时间是通过后x2位移所需时间的2倍

D．前t2时间通过的位移比后t2时间通过的位移少1.5vt

【答案】A

【解析】

由匀变速直线运动的规律得，物体经过AB中点的速度为2xv＝v2＋7v22＝5v，A错误；物体经过AB中间时刻的速度为2tv＝v＋7v2＝4v，B正确；通过前x2位移所需时间t1＝

2xavv＝4va，通过后x2位移所需时间t2＝27xav-v＝2va，C正确；前t2时间通过的位移x1＝v＋4v2·t2＝54vt，后t2时间通过的位移x2＝4v＋7v2·t2＝114vt，Δx＝x2－x1＝1.5vt，D正确．

初速度为零的匀加速直线运动的四个重要比例式

(1)T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬时速度之比为v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n.

(2)前T内、前2T内、前3T内、…、前nT内的位移之比为x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶4∶9∶…∶n2.

(3)第1个T内、第2个T内、第3个T内、…、第n个T内的位移之比为xⅠ∶xⅠ∶xⅠ∶…∶xN＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)．

(4)从静止开始通过连续相等的位移所用时间之比为t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(2－1)∶(3－2)∶…∶(n－n－1)．

例题3.→(多选)如图所示，光滑斜面AE被分为四个相等的部分，一物体从A点由静止释放，它沿斜面向下做匀加速运动，依次通过B、C、D点，最后到达底端E点．下列说法正确的是( )

A．物体通过各点的瞬时速度之比为vB∶vC∶vD∶vE＝1∶2∶3∶2

B．通过各段所用的时间之比tAB∶tBC∶tCD＝1∶2∶3

C．物体由A点到各点所经历的时间之比为tB∶tC∶tD∶tE＝1∶2∶3∶2

D．下滑全程的平均速度v＝vB

【答案】ACD

【解析】

物体做初速度为零的匀加速直线运动．由v2＝2ax得v∝x，A正确；通过各段时间之比为1∶(2－1)∶(3－2)，故B错误；又由v＝at知tB∶tC∶tD∶tE＝vB∶vC∶vD∶vE，C正确；因tB∶tE＝1∶2，即tAB＝tBE，vB为AE段的中间时刻的速度，故v＝vB，D正确．

(多选)如图所示，一冰壶以速度v垂直进入三个完全相同的矩形区域做匀减速直线运动，且刚要离开第三个矩形区域时速度恰好为零，则冰壶依次进入每个矩形区域时的速度之比和穿过每个矩形区域所用的时间之比分别是( )

A．v1∶v2∶v3＝3∶2∶1

B．v1∶v2∶v3＝3∶2∶1

C．t1∶t2∶t3＝1∶2∶3

D．t1∶t2∶t3＝(3－2)∶(2－1)∶1

【答案】 BD

【解析】

因为冰壶做匀减速直线运动，且末速度为零，故可以看成反向的初速度为零的匀加速直线运动来研究．初速度为零的匀加速直线运动中通过连续三段相等位移的时间之比为1∶(2－1)∶(3－2)，故所求时间之比为(3－2)∶(2－1)∶1，选项C错误，D正确；由v2－v02＝2ax可得，初速度为零的匀加速直线运动中通过连续相等位移时的速度之比为1∶2∶3，故所求的速度之比为3∶2∶1，选项A错误，B正确．

如图为港珠澳大桥上四段110→m的等跨钢箱连续梁桥，若汽车从a点由静止开始做匀加速直线运动，通过ab段的时间为t，则( )

A．通过cd段的时间为3t

B．通过ce段的时间为(2－2)t

C．ae段的平均速度等于c点的瞬时速度

D．ac段的平均速度等于b点的瞬时速度

【答案】B

【解析】

根据初速度为零的匀加速直线运动规律可知，汽车通过ab、bc、cd、de所用的时间之比为1∶(2－1)∶(3－2)∶(2－3)，可得出通过cd段的时间为(3－2)→t，A错误；通过cd段的时间为(3－2)t，通过de段的时间为(2－3)→t，则通过ce段的时间为(2－2)t，选项B正确；通过ae段的时间为2t，通过b点的时刻为通过ae时间的中间时刻，故通过b点的瞬时速度等于ae段的平均速度，选项C、D错误．

自由落体运动和竖直上抛运动

1.自由落体运动

(1)条件：物体只受重力，从静止开始下落.

(2)基本规律

①速度公式：v＝gt.

②位移公式：x＝12gt2.

③速度位移关系式：v2＝2gx.