平面向量减法的几何意义

平面向量的加法与减法性质平面向量是在平面内具有大小和方向的量，可以进行加法和减法运算。

平面向量的加法与减法性质是研究向量运算规律的重要内容。

一、平面向量的表示与加法1. 平面向量的表示平面向量通常用一个有向线段来表示，线段的长度代表向量的大小，箭头方向表示向量的方向。

用大写字母表示向量，例如 A、B、C。

2. 平面向量的加法平面向量的加法遵循平行四边形法则。

设有两个平面向量 A 和 B，A 的起点为 O，终点为 P，B 的起点为 P，终点为 Q，则向量 A+B 的起点为 O，终点为 Q，即 A+B 的表示是由 A 和 B 的起点连线和连接 A 的终点和 B 的起点的线段组成。

3. 平面向量的加法性质（1）交换律：A+B = B+A（2）结合律：(A+B)+C = A+(B+C)（3）零向量：对于任意向量 A，有 A+0 = 0+A = A，其中 0 为零向量，零向量的大小为 0，方向可以是任意方向。

二、平面向量的减法平面向量的减法运算可以转化为加法运算。

设有两个平面向量 A 和B，A 的起点为 O，终点为 P，B 的起点为 O，终点为 Q，则向量 A-B可以表示为向量 A 的起点为 O，终点为 Q，再将向量 B 倒转180°，起点为 Q，终点为 P，即 A-B = A+(-B)。

三、平面向量的性质1. 平面向量的加法性质（1）交换律：A+B = B+A（2）结合律：(A+B)+C = A+(B+C)（3）零向量：对于任意向量 A，有 A+0 = 0+A = A2. 平面向量的减法性质（1）减去一个向量等于加上该向量的相反向量：A-B = A+(-B)（2）零向量：对于任意向量 A，有 A-0 = A3. 平面向量的数乘性质平面向量的数乘运算是指将向量的大小和方向同时进行数倍的运算。

设有一个平面向量 A 和一个实数 k，则 kA 的大小为 |k|*|A|，方向与 A的方向相同（当 k>0）或相反（当 k<0）。

第四单元4.2.2《平面向量的减法》教案一、创设情境激发兴趣问题：我们知道，两个实数可以进行加减法运算.向量的加法已经学过了，那么两个向量的减法是怎么进行的呢?分析：我们把与向量a长度相等且方向相反的向量，叫作向量a的相反向量，记作-a. 其中a和-a互为相反向量.则有：(1)-(-a )= a .(2)任一向量与其相反向量的和是零向量 , 即 a+(−a)=(−a)+a=0.(3)若a，b互为相反向量 , 那么a = -b，b = - a，a + b= 0.规定：零向量的相反向量还是零向量.a加上b的相反向量叫作a与b的差 ,即a+（-b）= a -b= 0.求两个向量差的运算，叫向量的减法.二、自主探究讲授新知如图 4-18，CB=b，根据相反向量的定义有：CB BC-== - b，则()AB CB AB BC AB CB-=+=+-.可见，在向量减法运算中类似结论依然成立.图 4-18由上述分析，可得结论：在向量运算中，减一个向量等于加上这个向量的相反向量.把求两个向量差的运算，叫作向量的减法，即a -b= a+（-b）.问题1：如何求两个非零向量的差向量呢？了解观看课件思考自我分析思考理解记忆类比实数的加减法运算，使学生自然理解知识点，激发学生学习兴趣带领学生分析引导式启发学生得出结果带领学生总结加深理解1.不共线的两个非零向量a 与b 的减法：作法：如图4-19，在平面上任取一点A ，依次作AB = a ，BC =-b ，因为 a -b= a +（-b ），对向量 a 与（-b ）使用向量加法的三角形法则，得 a -b= a +（-b ）=AB +BC =AC .2. 共线的两个非零向量的减法： 当非零向量a 与b 共线时 , 在平面上任取一点A ，首尾相接作AB = a ，BC =-b ，同样可得 a -b= a +(-b ) =AB +BC =AC .情形一：a 与 b 方向相同，如图 4-20：作法：（1）以A 为起点，作AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = a ，（2）以B 为起点，作BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−b ，那么 AC⃗⃗⃗⃗⃗ = a -b 情形二：a 与 b 方向相反，如图 4-21：作法：（1）以A 为起点，作AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = a ，（2）以B 为起点，作BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−b ，那么 AC⃗⃗⃗⃗⃗ = a -b .理解记忆 思考 辨析 思考 归纳引导启发 学生 思考 仔细 分析 关键 词语 “首尾 相接“ 进一步 理解 加深 记忆第2课时教学过程教学活动学生活动设计思路三、典型例题巩固知识例 1如图4-22(1) , 已知向量a，b，求作向量a-b，并指出其几何意义.解：如图 4-22(2)所示，以平面上任一点A为起点，作AB= a，AD=b，BC=-b，由向量减法的定义可知 ,AC=a+(-b)=a-b .连接AC,则向量AC即为所求的差向量.又因为AD+DB=AB，即b+DB=a ，所以DB=a-b .因此，向量减法的几何意义是：a-b表示把a与b平移到同一起点后 , 向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.例2填空：（1）AB AD-=_____________ ；（2）BC BA-=_____________ ；（3）OD OA-=_____________ .解：根据向量减法的定义，减一个向量等于加上它观察思考主动求解小组讨论交流通过例题领会帮助学生更好理解掌握知识点通过例题进一步领会的相反向量，可知， （1）AB AD -=+AB AD -（）=+AB DA DA AB DB =+=；（2）BC BA -=+BC BA -（）=+BC AB AB BC AC =+=；（3）OD OA -=+OD OA -（）=+OD AO AO OD AD +==.思考：当向量a 与b 不共线时，把和向量a+b 与差向量 a -b 作在一个图上，可以得出什么结论?方法提炼：向量减法作图的两种常用方法： 1. 定义法.向量 a 与 b 的差，即是向量 a 加上向量 b 的相反向量，即 a -b = a +(-b ).此时向量a 与向量-b 依然遵循“首尾相接，由始至终”的向量加法口诀.作法如图4-23所示：2. 几何意义法.如图 4-24，把向量a 与向量b 平移到同一起点后，向量b 的终点指向向量a 的终点的向量就是 a -b .即“同一起点，减指被减”.(减向量指向被减向量)思考 归纳 理解 记忆观察 思考 主动 求解 归纳 领会 掌握观察 学生 是否 理解 知识 点 及时 了解 学生 知识 掌握 的情 况 强化 思想 及时 练习 巩固 所学 知识四、随堂练习 强化运用 1.填空.(1)AB AD -=_____________；(2)BA BC -=_____________； (3)BC BA -=_____________；(4)OA OB -=_____________； (5)OD OA -=_____________.2.已知下列各组向量a ，b ，求作 a +b 和 a -b .3.根据图形填空.(1)OA OB -=_____________； (2)OC OA -=_____________ . 五、 课堂小结 归纳提高1. 向量减法的定义及几何意义.2. 向量减法的运算法则：三角形法则.3. 向量减法作图的两种常用方法. 六、布置作业 拓展延伸1.分层作业：（必做）习题4.2.2水平一；（选做）水平二2.读书部分：教材观察 思考领会 掌握 主动 求解 归纳 总结记录检验 学生 学习 效果 关注 学生 练习 中的 错误 使得 学生 在总 结中 提高 分层次 要求教学反思根据教师上课实际情况，课后填写：学生知识、技能的掌握情况、情感态度、思维情况、学生合作交流的情况，及时总结反思。

平面向量向量减法运算及其几何意义
平面向量的减法运算是指将一个向量减去另一个向量，即将一个向量
从另一个向量的起点处移至终点处的操作。

设有平面上的两个向量u和v，其起点坐标分别为A和B，终点坐标
分别为C和D。

则用向量表示的字母表示如下：
向量u：AB→= vec(AB)
向量v：CD→= vec(CD)
平面向量减法运算定义为：用终点坐标表示的第二个向量反向平移至
起点坐标表示的第一个向量上。

即向量差u-v定义为：AE→= vec(AE), 其中E为D向量反向平移到
B点得到的点。

几何意义上来说，平面向量减法运算的结果是一个新的向量，它表示
了以第一个向量作为起点、第二个向量作为终点的向量。

为了更好地理解平面向量减法运算及其几何意义，可以从以下两个方
面加以说明：
1.矢量相加示意图：
首先，在平面上绘制向量u和v的起点A和C，终点B和D，并连接
AB和CD。

然后，选择一个与向量v等长，且与向量AB平行的向量，将其
起点放在D点，连接BD。

最后，将向量BD平行平移至A点，得到向量AE，即为u-v的结果。

2.减法与加法的关系：
平面向量减法运算可以理解为向量加法的逆运算。

也就是说，若u-v=AB→，则有u=v+AB→。

换句话说，当我们需要求u-v时，可以通过已知向量v和向量AB的终点坐标C，按照向量加法的定义，将向量v平移至C点得到向量CD→，然后连接AC，即可得到u=AC→。

总结起来，平面向量减法运算的几何意义是将第二个向量反向平移至第一个向量的起点处，得到一个新的向量。

在表示和操作上，减法与加法有着密切的关系。

向量的减法运算高中数学1.借助实例和平面向量的几何表示，理解相反向量的含义、向量减法的意义.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减综合运算．导语　上节课我们学习了向量的加法运算，掌握了加法的三角形法则和平行四边形法则，如何进行向量的减法运算呢？一、向量的减法运算问题1　在数的运算中，减法是加法的逆运算，它的运算法则是什么？提示　减去一个数等于加上这个数的相反数．知识梳理　1．相反向量：与向量a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作－a .2．向量的减法：向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即a －b ＝a ＋(－b )，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算叫做向量的减法．注意点：(1)零向量的相反向量仍是零向量．(2)对于相反向量有：a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0．(3)若a ，b 互为相反向量，则a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝0．例1　(多选)若非零向量m 与n 是相反向量，则下列正确的是( )A ．m ＝n B ．m ＝－n C ．|m |＝|n | D ．m 与n 方向相反答案　BCD解析　相反向量的大小相等、方向相反，故A 错误．跟踪训练1　(多选)下列命题中，正确的是( )A ．相反向量就是方向相反的向量B ．向量与是相反向量AB→ BA → C ．两个向量的差仍是一个向量D ．相反向量是共线向量答案　BCD二、向量减法的几何意义问题2　如何进行向量的减法运算？提示　转化为加法来进行，减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．知识梳理　已知向量a ，b ，在平面内任取一点O ，作＝a ，＝b ，则＝a －b .即a －b 可以表示为OA → OB → BA→ 从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量，这就是向量减法的几何意义．例2　如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c .解　方法一　如图①，在平面内任取一点O ，作＝a ，＝b ，则＝a ＋b ，再作OA → AB → OB→ ＝c ，则＝a ＋b －c .OC → CB→方法二　如图②，在平面内任取一点O ，作＝a ，＝b ，则＝a ＋b ，再作＝c ，连OA → AB → OB → CB→ 接OC ，则＝a ＋b －c .OC→ 反思感悟　求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行，如a －b ，可以先作－b ，然后作a ＋(－b )即可．(2)可以直接用向量减法的几何意义，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．跟踪训练2　如图，已知向量a ，b ，c ，求作向量a －b －c .解　如图，在平面内任取一点O ，作向量＝a ，＝b ，则向量＝a －b ，再作向量OA → OB → BA→ ＝c ，则向量＝a －b －c .BC → CA→三、向量加减的混合运算例3　(1)化简：①＋－－；BA→ OD → OA → BC → ②(＋＋)－(－－)．AC → BO → OA → DC→ DO → OB → 解　①＋－－＝(－)＋(－)BA → OD → OA → BC → BA → BC → OD→ OA → ＝＋＝.CA→ AD → CD → ②(＋＋)－(－－)AC → BO → OA → DC→ DO → OB → ＝＋－＋AC→ BA → OC → OB → ＝＋＋＋AC→ CO → OB → BA → ＝＋＝0．AB→ BA → (2)如图，P ，Q 是△ABC 的边BC 上的两点，且＝，则化简＋－－的结果BP → QC → AB→ AC → AP → AQ → 为( )A ．0 B. C. D.BP → PQ → PC→ 答案　A解析　＋－－＝(－)＋(－)＝＋＝－＝0．AB → AC → AP → AQ → AB → AP → AC→ AQ → PB → QC → QC → BP → 反思感悟　(1)向量减法运算的常用方法(2)向量加减法化简的两种形式①首尾相连且为和．②起点相同且为差．跟踪训练3　(1)(多选)下列各向量运算的结果与相等的有( )AC→ A.＋ B.－AO→ OC → AO → OC → C.－ D.－OA→ OC → OC → OA →答案　AD (2)化简下列各式：①－＋－；OM→ ON → MP → NA → ②(－)＋(－)．AD → BM → BC→ MC → 解　①－＋－＝＋－＝－＝.OM→ ON → MP → NA → NM → MP → NA → NP → NA → AP → ②(－)＋(－)＝＋＋＋＝＋(＋＋)＝＋0＝.AD → BM → BC → MC → AD → MB → BC → CM → AD → MB → BC → CM → AD → AD → 四、向量加减法的综合应用例4　如图，在五边形ABCDE 中，若四边形ACDE 是平行四边形，且＝a ，＝b ，＝c ，试用a ，b ，c 表示向量，，，及.AB → AC → AE → BD→ BC → BE → CD → CE →解　∵四边形ACDE 是平行四边形，∴＝＝c ，CD→ AE → ＝－＝b －a ，BC→ AC → AB → ＝－＝c －a ，BE→ AE → AB → ＝－＝c －b ，CE→ AE → AC → ∴＝＋＝b －a ＋c .BD→ BC → CD → 反思感悟　(1)解决此类问题要搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．(2)主要应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题，在封闭图形中可利用向量加法的多边形法则，提升逻辑推理素养．跟踪训练4　在四边形ABCD 中，设＝a ，＝b ，＝c ，则等于( )AB → AD → BC → DC→A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋c答案　A解析　＝－＝＋－＝a ＋c －b ＝a －b ＋c .DC→ AC → AD → AB → BC → AD →1．知识清单：(1)向量的减法运算．(2)向量减法的几何意义．2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：忽视向量共起点时才可进行向量的减法运算．1．在△ABC 中，若＝a ，＝b ，则等于( )BA → BC → CA→ A ．a B ．a ＋b C ．b －a D ．a －b答案　D解析　＝－＝a －b .CA→ BA → BC → 2．化简－＋＋等于( )OP→ QP → PS → SP → A. B. QP → OQ → C. D.SP → SQ → 答案　B解析　原式＝(＋)＋(＋)＝＋0＝.OP → PQ → PS → SP → OQ → OQ→ 3．已知在四边形ABCD 中，－＝－，则四边形ABCD 一定是( )DB→ DA → AC → AD → A ．平行四边形 B ．菱形C ．矩形 D ．正方形答案　A解析　由－＝－，可得＝，DB → DA → AC → AD → AB→ DC →所以四边形ABCD 一定是平行四边形．4．若菱形ABCD 的边长为2，则|－＋|的长度为________．AB→ CB → CD → 答案　2解析　|－＋|＝|＋＋|＝||＝2.AB → CB → CD → AB → BC → CD → AD→ 课时对点练1.如图所示，在▱ABCD 中，＝a ，＝b ，则用a ，b 表示向量和分别是( )AB → AD → AC→ BD →A ．a ＋b 和a －bB ．a ＋b 和b －aC ．a －b 和b －aD ．b －a 和b ＋a 答案　B解析　由向量的加法、减法法则，得＝＋＝a ＋b ，AC→ AB → AD → ＝－＝b －a .BD→ AD → AB → 2．下列各式中，恒成立的是( )A.＝ B ．a －a ＝0AB→ BA → C.－＝ D.－＋＝0AB→ AC → BC → AB→ CB → CA → 答案　D解析　选项D 中，－＋＝＋＋＝＋＝0．AB→ CB → CA → AB → BC → CA → AC → CA → 3.如图所示，在矩形ABCD 中，O 是两条对角线AC ，BD 的交点，则＋－等于( )AO→ OD → AB →A. B.AB → BD → C. D.AD → AC →答案　B4．在边长为1的正三角形ABC 中，|－|的值为( )AB→ BC → A ．1 B ．2 C. D.323答案　D解析　如图，作菱形ABCD ，则|－|＝|－|＝||＝.AB → BC → AB → AD → DB→ 35．(多选)下列结果恒为零向量的是( )A.－(＋) B.－＋－AB→ BC → CA → AB→ AC → BD → CD → C.－＋ D.＋＋－OA→ OD → AD → NO→ OP → MN → MP →答案　BCD解析　A 项，－(＋)＝－＝＋；B 项，AB→ BC → CA → AB → BA → AB → AB → －＋－＝＋＝0；C 项，－＋＝＋＝0；D 项，＋＋AB → AC → BD → CD → CB → BC → OA → OD → AD → DA → AD → NO→ OP → －＝＋＝0．MN→ MP → NP → PN → 6．点D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则－等于( )AF→ DB → A. B. C. D.FD → FC → FE → BE → 答案　D解析　∵＝，∴－＝－＝.由三角形中位线定理得＝，故选D.DB → AD → AF → DB → AF → AD → DF → DF→ BE → 7．若a ，b 为相反向量，且|a |＝1，|b |＝1，则|a ＋b |＝________，|a －b |＝________.答案　0　2解析　若a ，b 为相反向量，则a ＋b ＝0，所以|a ＋b |＝0，又a ＝－b ，所以|a |＝|－b |＝1，因为a 与－b 共线，所以|a －b |＝2.8．在矩形ABCD 中，||＝2，||＝4，则AB → BC→|＋－|＝________，|＋＋|＝__________.CB → CA → DC → CB→ CA → DC → 答案　4　85解析　在矩形ABCD 中，因为＋－＝＋＋＝＋，所以CB→ CA → DC → CB → CA → CD → CA → CA → |＋－|＝2||＝4.因为＋＋＝＋＋＝＋，所以|＋＋CB → CA → DC → CA → 5CB → CA → DC → CB → CA → AB → CB → CB → CB → CA → |＝2||＝8.DC → CB → 9.如图，O 为△ABC 内一点，＝a ，＝b ，＝c .求作：OA → OB → OC→(1)b ＋c －a ；(2)a －b －c .解　(1)如图所示，以，为邻边作▱OBDC ，连接OD ，AD ，则＝＋＝b ＋c ，OB → OC → OD→ OB → OC → 所以b ＋c －a ＝－＝.OD→ OA → AD → (2)由(1)知，＝b ＋c ，OD→ 则a －b －c ＝－＝.OA→ OD → DA → 10．如图所示，在平行四边形ABCD 中，＝a ，＝b ，先用a ，b 表示向量和，并AB → AD → AC→ DB → 回答：当a ，b 分别满足什么条件时，四边形ABCD 为矩形、菱形、正方形？解　由向量的平行四边形法则，得＝a ＋b ，＝－＝a －b .AC → DB→ AB → AD → 当a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |时，平行四边形的两条对角线的长度相等，四边形ABCD 为矩形；当a ，b 满足|a |＝|b |时，平行四边形的两条邻边的长度相等，四边形ABCD 为菱形；当a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |且|a |＝|b |时，四边形ABCD 为正方形．11．已知O 是平面上一点，＝a ，＝b ，＝c ，＝d ，且四边形ABCD 为平行四边OA → OB → OC → OD→ 形，则( )A ．a ＋b ＋c ＋d ＝0 B ．a －b ＋c －d ＝0C ．a ＋b －c －d ＝0 D ．a －b －c ＋d ＝0答案　B解析　易知－＝，－＝，而在平行四边形ABCD 中有＝，所以OB → OA → AB → OC → OD → DC → AB→ DC → －＝－，即b －a ＝c －d ，也即a －b ＋c －d ＝0．故选B.OB→ OA → OC → OD → 12．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，且||＝4，|＋|＝|－|，则BC → AB→ AC → AB → AC → ||＝______.AM→ 答案　2解析　以AB ，AC 为邻边作平行四边形ACDB (图略)，由向量加减法的几何意义可知，＝＋，＝－，AD→ AB → AC → CB → AB → AC → ∵|＋|＝|－|，AB → AC → AB→ AC → ∴||＝||，AD → CB → 又||＝4，M 是线段BC 的中点，BC→ ∴||＝||＝||＝2.AM → 12AD → 12BC → 13．如图，已知O 为平行四边形ABCD 内一点，＝a ，＝b ，＝c ，则OA → OB → OC→ ＝________.(用a ，b ，c 表示)OD→答案　a ＋c －b解析　由已知得＝，AD→ BC → 则＝＋＝＋＝＋－＝a ＋c －b .OD→ OA → AD → OA → BC → OA → OC → OB →14．若O 是△ABC 内一点，＋＋＝0，则O 是△ABC 的________心．OA→ OB → OC → 答案　重解析　如图，以，为邻边作▱OBDC ，则＝＋.OB → OC → OD→ OB → OC →又＋＋＝0，OA→ OB → OC → ∴＋＝－，OB → OC → OA → ∴＝－，OD → OA → ∴A ，O ，D 三点共线．设OD 与BC 的交点为E ，则E 是BC 的中点，∴AE 是△ABC 中BC 边的中线．同理可证另两条边的中线也过点O ，故O 是△ABC 的重心．15．有下列不等式或等式①|a |－|b |<|a ＋b |<|a |＋|b |；②|a |－|b |＝|a ＋b |＝|a |＋|b |；③|a |－|b |＝|a ＋b |<|a |＋|b |；④|a |－|b |<|a ＋b |＝|a |＋|b |.其中，一定不成立的个数是( )A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案　A解析　①当a 与b 不共线时成立；②当a ＝b ＝0或b ＝0，a ≠0时成立；③当a 与b 共线，方向相反，且|a |≥|b |时成立；④当a 与b 共线，方向相同，且|a |>|b |时成立．16.如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1，＝a ，＝b ，＝c ，求：AB → BC → AC→(1)|a ＋b ＋c |；(2)|a －b ＋c |.解　(1)由已知得a ＋b ＝＋＝，AB → BC → AC →∵＝c ，∴延长AC 到E ，使||＝||，如图所示，AC → CE → AC → 则a ＋b ＋c ＝，AE → 且||＝2.AE → 2∴|a ＋b ＋c |＝2.2(2)作＝，连接CF ，则＋＝，BF → AC → DB → BF → DF → 而＝－＝－＝a －b ，DB → AB → AD → AB → BC → ∴|a －b ＋c |＝|＋|＝||且||＝2.DB → BF → DF → DF → ∴|a －b ＋c |＝2.。