江西省南昌市高三数学第二次模拟测试试题 理(南昌二模,扫描版)

江西省南昌市高三数学二模考试试题理本试卷分必做题和选做题两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自已的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考拭科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米的黒色墨水笔写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，监考员将答题卡收回。

选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合 A= {0>2|2--x x x }，B={3<<0|x x },则=B A A. (-1,3) B. (0,3) C. (1,3) D. (2,3) 2.已知R b a ∈,，复数bi a z -=，则=2||zA. abi b a 222-+B. abi b a 222--C. 22b a -D. 22b a +3.已知函数a x ax x f ++=2)(，命题0)(,:00=∈∃x f R x p ，若p 为假命题，则实数a 的取值范围是A. ]21,21[-B. )21,21(-C. ),21()21,(+∞--∞D. ),21[]21,(+∞--∞4. 己知抛物线x y 82=的焦点为F ，点P 在该抛物线上，且P 在y 轴上的投影为点E ，则||||PE PF -的值为A.1B. 2C. 3D. 45. 一个组合体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为1)，则该几何体的体积是 A. 212-π B.12-π C. 22-π D.42-π6. 已知函数2<||,0>,0>)(sin()(πϕωϕωA x A x f +=为图像上的所有点向左平移4π个单位得到函数)(x g 的图像，则函数)(x g 的单调递增区间是 A. )](12,127[Z k k k ∈--ππππB. )](125,12[Z k k k ∈+-ππππC. )](247,245[Z k k k ∈+-ππππD. )](24,1211[Z k k k ∈+-ππππ7.已知717,67log ,33log ===z y x ，则z y x ,,的大小关系是 A. x<z<yB. z<x<yC. x<y<zD. z<y<x8. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河诗中隐含着一个有趣的数学问题一一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为122≤+y x ,若将军从点A(2,0)处出发，河岸线桥在直线方程为3=+y x ,并假定将军只要到达军营所在医域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 A. 110- B. 122- C. 22 D. 10 9. 己知△ABC 中，AB = 2，B=4π，C =6π，点P 是边BC 的中点，则BC AB ⋅等于 A.1 B. 2 C. 3 D.410. 已知双曲线E: 12222=-b y ax (a>b>0)的焦距为 2c,圆 C 1: 222)(r y c x =+- (r>0)与圆C 2: )(4)(222R m r m y x ∈=-+外切，且E 的两条渐近线恰为两圆的公切线，则E 的离心率为A. 2B. 5C. 26D. 2311. 己知)(x f 是定义在R 上的函数，且对任意的R x ∈都有,若角α满足不等式0)()(≥++a f f απ，则以的取值范围是A. ]2,(π-∞ B. ],(π-∞ C. ]2,2[ππ-D. ]2,0[π12. 平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为4的菱形，且 ∠BAD = 60°,点A1在底面的投影O 是AC 的中点，且A1O = 4，点C 关于平面C1BD 的对称点为P ，则三棱锥P- ABD 的体积是 A. 4B. 33C. 34D. 8二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

江西省南昌市2015届高三数学第二次模拟考试试题（扫描版）理2015 年 高 三 测 试 卷数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．13．214．13π 15．1316． 2212x y -=三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：（Ⅰ）由点,C B 的坐标可以得到34AOC π∠=，23AOB π∠=，…………………2分 所以cos cos()COB AOC AOB ∠=∠+∠1()2222=---4=-；……6分 （Ⅱ）因为c =23AOB π∠=，所以3C π=，所以2sin sin a b A B ===，………8分所以22sin 2sin()3a b A A π+=+-2sin()6A π=+，2(0)3A π<<， (11)分所以当3A π=时，a b +最大，最大值是．………………………………………………12分18．解：（Ⅰ）该校运动会开幕日共有13种选择，其中运动会期间至少两天空气质量优良的选择有：1日，2日，3日，5日，9日，10日，12日，所以运动会期间至少两天空气质量优良的概率是2713P =．…………………………………6分 （Ⅱ）随机变量ξ所有可能取值有：0,1,2,3；………………………………………………7分(0)P ξ==113，(1)P ξ==613，(2)P ξ==613，(3)P ξ==113，……………………9分 所以随机变量ξ的分布列是：……………………10分随机变量ξ的数学期望是1661012313131313E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=2113． (12)分 19．（Ⅰ）证明：在梯形ABCD 中，因为2AD DC CB ===，4AB =，4212cos 22CBA -∠==，所以60,ABC ∠=︒由余弦定理求得AC =90ACB ∠=︒即BC⊥又因为平面AEFC ⊥平面ABCD ，所以BC ⊥平面所以BC AG ⊥，………………………………………3分 在矩形AEFC 中，tan 1AE AGE EG ∠==，4AGE π∴∠=tan 1CF CGF GF ∠==，4CGF π∠=， 所以2CGF AGE π∠+∠=，即AG CG ⊥，所以AG ⊥平面BCG ；……………………………………………………………………………6分（Ⅱ）FC AC ⊥，平面AEFC ⊥平面ABCD ，所以FC ⊥平面ABCD ，以点C 为原点，,,CA CB CF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则)(0,0,0),(0,2,0),1,0)C A B D -,G ，…………………………8分平面BCG 的法向量(3,0,GA =，设平面GCD 的法向量(,,)n x y z =，则00n CG n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，从而00x z y +=⎧⎪-=，令1x =则(1,3,1)n =-，…………………………………………………………………………10分所以cos ,n GA <>==，…………………………………………………11分而二面角D —GCB为钝角，故所求二面角的余弦值为5-． (12)分 20．解：（Ⅰ）当l 垂直于OD 时||AB最小，因为||2OD ==，所以2r ==，…………………………………2分因为圆1C 222:(0)x y r r +=>的一条直径是椭圆2C 的长轴，所以2a =， 又点D 在椭圆22222:1(0)x y C a b a b +=>>上，所以291414b b +=⇒=， 所以圆1C 的方程为224x y +=，椭圆2C 的方程为22143x y +=；………………………5分（Ⅱ）椭圆2C 的右焦点F 的坐标是(1,0)，当直线m 垂直于x 轴时，||PQ = ||4MN =，四边形PMQN 的面积S = 当直线m 垂直于y 轴时，||4PQ =，||3MN =，四边形PMQN 的面积6S =， (6)分当直线m 不垂直于坐标轴时，设n 的方程为(1)y k x =-(0)k ≠，此时直线m 的方程为1(1)y x k =--，圆心O到直线m 的距离为：d=，所以||PQ ==8分将直线n 的方程代入椭圆2C 的方程得到：()22224384120k x k x k +-+-=，||MN = 所以：四边形PMQN 的面积1||||2S PQ MN =⋅===∈， 综上：四边形PMQN的面积的取值范围是．…………………………………………12分21．解：（Ⅰ）21221'()22x ax f x x a x x -+=+-=(0)x >，记2()221g x x a x =-+………1分（一）当0a ≤时，因为0x >，所以()10g x >>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；……2分（二）当0a <≤24(2)0a =-≤△，所以()0g x ≥，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；…………………………………………………………………………………………………3分（三）当a >0()0x g x >⎧⎨>⎩，解得x ∈，所以函数()f x在区间(,)22a a +上单调递减，在区间)+∞上单调递增．…………………………5分（Ⅱ）由（1）知道当(1a ∈时，函数()f x 在区间(0,1]上单调递增，所以(0,1]x ∈时，函数()f x 的最大值是(1)22f a =-，对任意的(1a ∈，都存在0(0,1]x ∈使得不等式20()ln ()f x a m a a +>-成立，等价于对任意的(1a ∈，不等式222ln ()a a m a a -+>-都成立，……………………………………6分即对任意的(1a ∈，不等式2ln (2)20a ma m a +-++>都成立， 记2()ln (2)2h a a ma m a =+-++，则(1)0h =， 1(21)(1)'()2(2)a ma h a ma m a a --=+-+=，因为(1a ∈，所以210a a ->，当1m ≥时，对任意(1a ∈，10ma ->，所以'()0h a >，即()h a在区间上单调递增，()(1)0h a h >=成立；…………………………………………………………………………9分当1m <时，存在0(1a ∈使得当0(1,)a a ∈时，10ma -<，'()0h a <，()h a 单调递减，从而()(1)0h a h <=，所以(1a ∈时，()0h a >不能恒成立．综上：实数m 的取值范围是[1,)+∞．……………………………………………………………12分22．解：AF 是圆的切线，且18,15AF BC ==，∴由切割线定理得到2218(15)12AF FB FC FB FB FB =⋅⇒=⋅+⇒=， (3)分,AB AD ABD ADB =∴∠=∠，则,//FAB ABD AF BD ∠=∠∴，…………………………………………………………………6分又//AD FC ，∴四边形ADBF 为平行四边形．12,,18AD FB ACF ADB F AC AF ==∠=∠=∠∴==，//,18AE AD AD FC AE BC ∴=-，解得8AE =。

一、单选题二、多选题1.一次数学考试后，某老师从自己所带的两个班级中各抽取人，记录他们的考试成绩，得到如图所示的茎叶图，已知甲班名同学成绩的平均数为，乙班名同学成绩的中位数为，则（）．A．B．C．D．2.已知数列是以1为首项，3为公差的等差数列，是以1为首项，3为公比的等比数列，设，，当时，n 的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．73. 定义在R上的偶函数满足，且当时，，则( )A ．B．C．D．4. 在满足，的实数对中，使得成立的正整数的最大值为（ ）A ．22B ．23C ．30D ．315. 公差不为0的等差数列满足：，为数列的前n 项和，则下列各选项正确的是（ ）A．B．C．D．6. 已知，向量，，则“”是“”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7.若，则不等式：中一定成立的个数是（ ）A．B．C．D．8. 已知实数，则下列说法正确的是（ ）A．B．C．D．9. 已知函数的图象如图所示，令，则下列说法正确的是（）A．B．函数图象的对称轴方程为C．若函数的两个不同零点分别为，则的最小值为D ．函数的图象上存在点P ，使得在P点处的切线斜率为10. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面为平行四边形，，，，点江西省南昌市2022届高三第二次模拟测试卷数学（理）试题江西省南昌市2022届高三第二次模拟测试卷数学（理）试题三、填空题四、解答题、分别为棱、的中点，则下列说法正确的是（）A ．与平面所成的角为B．C ．当时，平面D ．平面11.如图，在长方体中，，，为的中点，平面与平面的交线，则下列结论中正确的是（）A．直线B．平面平面C．三棱锥的外接球的表面积为D ．直线l与平面所成角的正弦值为12.已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则（ ）A．的图象关于直线对称B ．的图象关于点对称C．的图象关于直线对称D．的图象关于点对称13. 在中，角的对边分别为，，，，则____，___．14. （5分）已知函数，若函数有个不同的零点，则的取值范围是___________．15. 已知函数，，直线与的图像交于两点、，若的最小值为，则_________.16. 甲、乙两人各有一只箱子.甲的箱子里放有大小形状完全相同的3个红球、2个黄球和1个蓝球.乙的箱子里放有大小形状完全相同的x 个红球、y 个黄球和z 个蓝球，.现两人各从自己的箱子里任取一球，规定同色时乙胜，异色时甲胜.(1)当，，时，求乙胜的概率；(2)若规定：当乙取红球、黄球和蓝球获胜的得分分别是1分、2分和3分，否则得零分.求乙得分均值的最大值，并求此时x ，y ，z 的值.17.已知数列的前顶和为.且.(1)求数列的通项公式；(2)在数列中，，求数列的前项和.18. 某高校组织自主招生考试，共有2000名学生报名参加了笔试，成绩均介于195分到275分之间，从中随机抽取50名学生的成绩进行统计，将统计的结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，……，第八组.如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图：(1)求值并估计这2000名学生的平均分；(2)若计划按成绩取1000名学生进入面试环节，试估计应将分数线定为多少？19. 某手机APP公司对喜欢使用该APP的用户年龄情况进行调查，随机抽取了100名喜欢使用该APP的用户，年龄均在周岁内，按照年龄分组得到如下所示的样本频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，估计使用该视频APP用户的平均年龄的第分位数（小数点后保留2位）；(2)若所有用户年龄近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，，试估计喜欢使用该APP且年龄大于61周岁的人数占所有喜欢使用该APP的比例；(3)用样本的频率估计概率，从所有喜欢使用该APP的用户中随机抽取8名用户，用表示这8名用户中恰有名用户的年龄在区间岁的概率，求取最大值时对应的的值；附：若随机变量服从正态分布，则：20. 设数列的首项为1，前n项和为，且对，恒成立，其中b，k，c均为常数．(1)当时，求数列的通项公式；(2)当时，若数列为等差数列，求b，c的值．21. 设是正数组成的数列，其前n项和为，若对于所有的自然数n，都有，证明是等差数列.。

2024年江西省南昌市高考数学二模试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

I.已知向量a=(1,2). Ii=（一2,3),则石Ii=()A.2B.4C.6D.82．设复数z 满足z+ 1 = (2 + i)z,则团＝（）1-2A 石＿2B C.1 D 迈3已知集合A=(xllnx � O}, B = (xl2x � 2}，则”XEA"是“XE B"的（）A ，充分不必要条件c ．充要条件B ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4.已知f (x )= { 一x 2-2x ,x < 0lo如(x+l),x�O ，则不等式f(x)< 2的解集是（）A.(-oo, 2)B. (-oo, 3)C.(0,3)D .(3, +oo)5．在三棱锥A -BCD 中，AB l.平面BCD,AB=../3, BC=BD=CD =2, E, F 分别为AC,CD 的中点，则下列结论正确的是（）A. AF, BE 是异面直线，AF l. BEB. AF, BE 是相交直线，AF l. BEC. AF, BE 是异面直线，AF 与BE 不垂直D. AF, BE 是相交直线，AF 与BE 不垂直6已知2cos(2x＋合）cos(x －台－cos3x= ¼，则sin(�-2x ) =( )1-2A B, －-7-8c7-8D227已知双曲线C:5＿兮＝l(a > O,b > 0)的左、右焦点分别为F 1'Fz,双曲线的右支上有一点A,AF 1与双曲线的左支交于8,线段AF 2的中点为M,且满足F 2,若L片AF 2=f ，则双曲线C 的离心率为（）A 岳B 岳c..f6D 石8．校足球社团为学校足球比赛设计了一个奖杯，如图，奖杯的设计思路是将侧棱长为6的正三棱锥P-ABC 的三个侧面沿AB,BC, AC 展开得到面P 1AB,P 2BC, P 3AC,使得平面P 1AB,P 1BC, P 3AC 均与平面ABC 垂直，再将球0放到上面使得p l 'P 2,P 3三个点在球0的表面上，若奖杯的总窝度为6J习，且AB=4,则球0的表面积为（）A. 140n3B. 100n9C. 98兀9D.32兀3cB二、多选题：本题共3小题，共18分。

江西省南昌市高考数学二模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）对于集合M,N，定义：M-N={x|且}，，设A={y|y=x2-3x,}，B={x|y=log2(-x)}，则（）A . （， 0]B . [， 0)C .D .2. （2分） (2017高一上·武汉期中) 己知y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x+2，那么不等式2f（x）﹣1＜0的解集是（）A .B . 或C .D . 或3. （2分）极坐标方程的直角坐标方程为（）A . 或B .C . 或D .4. （2分） (2018高二上·梅河口期末) 已知曲线表示焦点在轴上的双曲线，则（）A .B .C .D .5. （2分）已知，则（）A .B .C .D .6. （2分）某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是（）A .B . 8C .D .7. （2分）已知集合A={0，2，3}，B={x|x=ab，a，b∈A}，且a≠b，则B的子集的个数是（）A . 4B . 8C . 16D . 158. （2分） (2016高二上·南昌期中) 下列说法正确的是（）A . “f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B . 若p：∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C . 若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D . “若α= ，则sinα= ”的否命题是“若α≠ ，则sinα≠ ”二、填空题 (共6题；共6分)9. （1分） (2016高二下·上海期中) 已知复数z1 ， z2满足|z1|=|z2|=1，|z1﹣z2|= ，则|z1+z2|等于________．10. （1分） (2018高二下·泰州月考) 执行如图所示的程序框图，输出的的值为________.11. （1分）已知角α的终边经过点P（2，﹣1），则 =________．12. （1分） (2017高二上·驻马店期末) 已知实数x，y满足不等式组，则z=|x|+y的取值范围为________．13. （1分） (2018高三上·邵东月考) 已知，则不等式的解集是________．14. （1分） (2017高二下·高淳期末) 在△ABC中，已知，sinB=cosA•sinC，S△ABC=6，P为线段AB上的点，且，则xy的最大值为________．三、解答题 (共6题；共50分)15. （5分） (2017高二下·菏泽开学考) 在△ABC中，角A，B，C所列边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若，试判断bc取得最大值时△ABC形状．16. （10分） (2016高二下·潍坊期末) 五一节期间，某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动，活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券．（假定指针等可能地停在任一位置，指针落在区域的边界时，重新转一次）指针所在的区域及对应的返劵金额见表．例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．（1）已知顾客甲消费后获得n次转动转盘的机会，已知他每转一次转盘指针落在区域边界的概率为p，每次转动转盘的结果相互独立，设ξ为顾客甲转动转盘指针落在区域边界的次数，ξ的数学期望Eξ= ，方差Dξ= ，求n、p的值；（2）顾客乙消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为η（元）．求随机变量η的分布列和数学期望．指针位置A区域B区域C区域返券金额（单位：元）6030017. （5分）(2018·杭州模拟) 如图,在等腰三角形中,，M为线段的中点，为线段上一点,且 ,沿直线将翻折至 ,使 .(I)证明;平面⊥平面 ;(Ⅱ)求直线与平面所成的角的正弦值.18. （10分）(2018·吉林模拟) 已知函数．（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）当时，若对任意都有，求实数a的取值范围．19. （15分） (2016高二上·唐山期中) 已知椭圆C的方程为： =1（a＞0），其焦点在x轴上，离心率e= ．（1）求该椭圆的标准方程；（2）设动点P（x0，y0）满足，其中O为坐标原点，M，N是椭圆C上的点，直线OM与ON 的斜率之积为﹣，求证：x02+2y02为定值．（3）在（2）的条件下，问：是否存在两个定点A，B，使得|PA|+|PB|为定值？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由．20. （5分）数列{an}的前n项和记为Sn若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am ，则称{an}是“H数列”．（1）若数列{an}的通项公式，判断{an}是否为“H数列”；（2）等差数列{an}，公差d≠0，a1=2d，求证：{an}是“H数列”参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共6题；共6分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共6题；共50分)15-1、16-1、16-2、17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、。

江西省南昌市2014届高三第二次模拟考试数学（理）试题第I卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有—项是符合题目要求的。

1．复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知全集为（）A．{一l，l} B．{-2} C．{—2，2} D．{—2，0，2}3．下列说法正确的是（）A．命题“存在”的否定是“任意”B．两个三角形全等是这两个三角形面积襁等的必要条件C．函数在其定义域上是减函数D．给定命题p、q，若“p且q”是真命题，则是假命题4．已知函数的最小正周期为π，为了得到函数的图象，只要将y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度5．一几何体的三视图如图，该几何体的顶点都在球O的球面上，球O的表面积是（）A．2πB．4πC．8πD．l6π6．方程表示的曲线是（）A．一个圆和一条直线B．一个圆和一条射线C．一个圆D．一条直线7．己知函数是周期为2的周期函数，且当，则函数的零点个数是（）A．9 B．10 C．11 D．l88．已知函数对任意的是函数f(x)的导函数），则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．9．如图：正方体的棱长为l，E，F分别是棱A1B1，CD的中点，点M是EF的动点，FM =x，过直线彻和点M的平面将正方体分成上下两部分，记下面那部分的体积为V(x)，则函数V(x)的大致图像是（）10．抛物线相交于A，B两点，点P是抛物线C上不同A，B的一点，若直线PA，PB分别与直线y=2相变于点Q,R，D为坐标原点，则的值是（）A．20 B．16 C．12 D．与点P位置有关的一个实数二、选做题：11．（1）（坐标系与参数方程）曲线C1的极坐标方程为曲线C2的参数方程为，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，则曲线C1上的点与曲线C2上的点最近的距离为（）A．2 B．C．- D．（2）若不等式对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是（）A．（0，3）B．（一l,1）C．（1,3）D．（1,4）第II卷注意事项：须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．12．如果执行如图的程序框图，那么输出的值是____13．实验员进行一项实验，先后要实施5个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序C或D实施时必须相邻，实验顺序的编排方法共有种．14．观察下列等式若类似上面各式方法将分拆得到的等式右边最后一个数是109，则正整数m等于．15．如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点．设顶点P（x，y）的轨迹方程是y=f(x)，则对函数y=f（x）有下列判断：①函数y= f（x）是偶函数；②对任意的；③函数y=f（x）在区间【2，3】上单调递减；④．其中判断正确的序号是．四、解答题：本大题共6个题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

江西省南昌市2015届高三数学第二次模拟考试试题（扫描版）理2015 年 高 三 测 试 卷数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．13．214．13π 15．13 16． 2212x y -=三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解：（Ⅰ）由点,C B 的坐标可以得到34AOC π∠=，23AOB π∠=，…………………2分所以cos cos()COB AOC AOB ∠=∠+∠1()2=--=；……6分（Ⅱ）因为c =23AOB π∠=，所以3C π=，所以2sin sin 2a bA B===，………8分所以22sin 2sin()3a b A A π+=+-2sin()6A π=+，2(0)3A π<<， (11)分所以当3A π=时，a b +最大，最大值是． (12)分18．解：（Ⅰ）该校运动会开幕日共有13种选择，其中运动会期间至少两天空气质量优良的选择有：1日，2日，3日，5日，9日，10日，12日，所以运动会期间至少两天空气质量优良的概率是2713P =．…………………………………6分（Ⅱ）随机变量ξ所有可能取值有：0,1,2,3；………………………………………………7分(0)P ξ==113，(1)P ξ==613，(2)P ξ==613，(3)P ξ==113，……………………9分所以随机变量ξ的分布列是：……………………10分随机变量ξ的数学期望是1661012313131313E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=2113． (12)分19．（Ⅰ）证明：在梯形ABCD 中，因为2AD DC CB ===，4AB =，4212cos 22CBA -∠==，所以60,ABC ∠=︒由余弦定理求得AC =90ACB ∠=︒即BC⊥又因为平面AEFC ⊥平面ABCD ，所以BC ⊥平面所以BC AG ⊥，………………………………………3分在矩形AEFC 中，tan 1AE AGE EG ∠==，4AGE π∴∠=tan 1CF CGF GF ∠==，4CGF π∠=， 所以2CGF AGE π∠+∠=，即AG CG ⊥，所以AG ⊥平面BCG ；……………………………………………………………………………6分（Ⅱ）FC AC ⊥，平面AEFC ⊥平面ABCD ，所以FC ⊥平面ABCD ，以点C 为原点，,,CA CB CF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则)(0,0,0),(0,2,0),1,0)C A B D-,G ， (8)分平面BCG 的法向量GA =u u u r，设平面GCD 的法向量(,,)n x y z =r ，则00n CG n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r ，从而00x z y +=⎧⎪-=，令1x =则1)n =-r， (10)分所以cos ,n GA <>==r u u u r，…………………………………………………11分而二面角D —GCB 为钝角，故所求二面角的余弦值为． (12)分20．解：（Ⅰ）当l 垂直于OD 时||AB 最小，因为||OD ==，所以2r ==，…………………………………2分因为圆1C 222:(0)x y r r +=>的一条直径是椭圆2C 的长轴，所以2a =，又点D 在椭圆22222:1(0)x y C a b a b +=>>上，所以291414b b +=⇒=所以圆1C 的方程为224x y +=，椭圆2C 的方程为22143x y +=；………………………5分（Ⅱ）椭圆2C 的右焦点F 的坐标是(1,0)，当直线m 垂直于x轴时，||PQ = ||4MN =，四边形PMQN的面积S = 当直线m 垂直于y 轴时，||4PQ =，||3MN =，四边形PMQN 的面积6S =，…………6分当直线m 不垂直于坐标轴时，设n 的方程为(1)y k x =-(0)k ≠，此时直线m 的方程为1(1)y x k =--，圆心O 到直线m的距离为：d =，所以||PQ ==8分将直线n 的方程代入椭圆2C 的方程得到：()22224384120k x k x k +-+-=，||MN =所以：四边形PMQN 的面积1||||2S PQ MN =⋅===(6,， 综上：四边形PMQN的面积的取值范围是[6,．…………………………………………12分21．解：（Ⅰ）21221'()22x ax f x x a x x -+=+-=(0)x >，记2()221g x x ax =-+………1分（一）当0a ≤时，因为0x >，所以()10g x >>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；……2分（二）当0a <≤时，因为24(2)0a =-≤△，所以()0g x ≥，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；…………………………………………………………………………………………………3分（三）当a >0()0x g x >⎧⎨>⎩，解得x ∈，所以函数()f x在区间(,)22a a +上单调递减，在区间(0,),()22a a -++∞上单调递增．…………………………5分（Ⅱ）由（1）知道当a ∈时，函数()f x 在区间(0,1]上单调递增，所以(0,1]x ∈时，函数()f x 的最大值是(1)22f a =-，对任意的a ∈，都存在0(0,1]x ∈使得不等式20()ln ()f x a m a a +>-成立，等价于对任意的a ∈，不等式222ln ()a a m a a -+>-都成立，……………………………………6分即对任意的a ∈，不等式2ln (2)20a ma m a +-++>都成立， 记2()ln (2)2h a a ma m a =+-++，则(1)0h =， 1(21)(1)'()2(2)a ma h a ma m a a --=+-+=，因为a ∈，所以21a a ->，当1m ≥时，对任意a ∈，10ma ->，所以'()0h a >，即()h a在区间上单调递增，()(1)0h a h >=成立；…………………………………………………………………………9分当1m <时，存在0(1a ∈使得当0(1,)a a ∈时，10ma -<，'()0h a <，()h a 单调递减，从而()(1)0h a h <=，所以a ∈时，()0h a >不能恒成立．综上：实数m 的取值范围是[1,)+∞．……………………………………………………………12分22．解：AF Q 是圆的切线，且18,15AF BC ==，∴由切割线定理得到2218(15)12AF FB FC FB FB FB =⋅⇒=⋅+⇒=， (3)分,AB AD ABD ADB =∴∠=∠Q ，则,//FAB ABD AF BD ∠=∠∴，…………………………………………………………………6分又//AD FC Q ，∴四边形ADBF 为平行四边形．12,,18AD FB ACF ADB F AC AF ==∠=∠=∠∴==，//,18AE ADAD FC AE BC ∴=-Q ，解得8AE =。

参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．13．0.79 14. 2- 15. 100π 16.12三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.17．【解析】（Ⅰ）由3453,,22a a a 成等差数列得：43532a a a =+，设{}n a 的公比为q ，则 22310q q -+=，解得12q =或1q =（舍去）， 3分所以1551(1)231112a S -==-，解得116a =. 5分 所以数列{}n a 的通项公式为151116()()22n n n a --=⨯=. 6分（Ⅱ）等差数列{}n b 的公差为d ，由14231,1b a b a =-=-得1341,422b d a a ==-=-=， 所以21n b n =-，261()2n n b a -=，9分数列{}n b a 的前n 项和4226116[1()]1116414()()()[1()]12223414n n n n T ----=+++==-- 12分18．【解析】（Ⅰ）因为平面//CEF 平面PAD ，平面CEF 平面ABCD CE =，平面PAD平面ABCD AD =，所以//CE AD ，又因为//AB DC ，所以四边形AECD 是平行四边形，所以12DC AE AB ==， 即点E 是AB 的中点， 3分因为平面//CEF 平面PAD ，平面CEF平面PAB EF =，平面PAD平面PAB PA =，所以//EF PA ，又因为点E 是AB 的中点，所以点F 是PB 的中点， 综上，,E F 分别是,AB PB 的中点；6分（Ⅱ）因为,PA PB AE EB ==，所以PE ⊥AB ，又因为平面PAB ⊥平面ABCD ， 所以PE ⊥平面ABCD ， 8分又因为AB ∥,CD AB AD ⊥，所以11112222F DEC P DEC DEC V V S PE --==⨯=⨯⨯⨯⨯=△． 12分19．.2所以选手的平均分及排名表如下：4分6分（Ⅱ）对4号评委分析：排名偏差平方和为：2222222222102112210117+++++++++=9分对5号评委分析：排名偏差平方和为：2222222222215111301043+++++++++=，11分 由于1743<，所以评委4更准确.12分20．【解析】（Ⅰ）由已知，半焦距c =122||||a EF EF =+==所以a = 3分 所以222826b a c =-=-=，所以椭圆C 的方程是22186x y +=. 5分（Ⅱ）设点P 的坐标为(0,)t ，当直线MN 斜率不存在时，可得,M N分别是短轴的两端点，得到3t =±，6分当直线MN 斜率不存在时，设直线MN 的方程为y kx t =+，1122(,),(,)M x y N x y ， 则由2MP PN =得122x x =-①，联立22186y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84240k x ktx t +++-=，8分由0∆>得2222644(34)(424)0k t k t -+->，整理得2286t k <+.由韦达定理得21212228424,3434kt t x x x x k k -+=-=++，② 9分由①②，消去12,x x 得2226128t k t -+=-，由2222260128686128t t t t t ⎧-+≥⎪⎪-⎨-+⎪<⋅+⎪-⎩解得2263t <<，综上2263t ≤<，10分又因为以1F P 为直径的圆面积224t S π+=⋅， 所以S 的取值范围是2[,2)3ππ．12分21．【解析】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，222()()2m x m f x x x x-'=-=，2分 ①当0m ≤时，()0f x '>，函数()f x 在(0,)+∞内单调递增， 3分②当0m >时，令()0f x '=得x =当0x <<()0f x '<，()f x 单调递减；当x >时，()0f x '>，()f x 单调递增.5分综上所述，当0m ≤时，函数()f x 的递增区间为(0,)+∞；当0m >时，函数()f x递增区间为)+∞，递减区间为.6分（Ⅱ）①当0m ≤时，()0f x '>，函数()f x 在(0,)+∞内单调递增，没有极值；②当0m >时，函数()f x递增区间为)+∞，递减区间为；所以()(ln 1)f x f m m ==-+极小值， 8分记()(ln 1),(0)h m m m m =-+>，则()(2ln )h m m '=-+，由()0h m '=得2e m -=， 且当20e m -<<时，()0h m '>，当2e m ->时，()0h m '<. 所以22222()(e )(ee lne )=e h m h -----≤=-+，所以函数()f x 的极小值的取值范围是2(,e ]--∞． 12分22．【解析】（Ⅰ）曲线1C 的极坐标方程可以化为：24sin 0ρρθ-=， 所以曲线1C 的直角坐标方程为：2240x y y +-=， 2分曲线2C的极坐标方程可以化为：1sin cos 22ρθρθ+⋅=， 所以曲线2C的直角坐标方程为：40x +-=； 5分（Ⅱ）因为点E 的坐标为(4,0)，2C 的倾斜角为6π5， 所以2C的参数方程为：42,12x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 将2C 的参数方程代入曲线1C的直角坐标方程得：22(4)2024t t -+-=，整理得：22)160t t -+=，判别式0∆>，中点对应的参数为1，所以线段AB 中点到E点距离为1．10分23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()||f x x a a =--+，()|21||24|g x x x =-++． （Ⅰ）解不等式()6g x <；（Ⅱ）若对任意的1R x ∈，存在2R x ∈,使得12()()g x f x -=成立, 求实数a 的取值范围． 【解析】（Ⅰ）由|21||24|6x x -++<①当2x ≤-时，21246x x -+--<，得94x >-,即924x -<≤-； ②当122x -<<时，21246x x -+++<，得56<,即122x -<<； ③当12x ≥时，21246x x -++<，得34x <,即1324x ≤<；综上，不等式()6g x <解集是93()44-，. 5分（Ⅱ）对任意的1R x ∈，存在2R x ∈,使得12()()g x f x -=成立,即()f x 的值域包含()g x -的值域，由()||f x x a a =--+，知()(,]f x a ∈-∞， 由()|21||24||(21)(24)|5g x x x x x =-++≥--+=，且等号能成立， 所以()(,5]g x -∈-∞-. 所以5a ≥-，即a 的取值范围为[5,)-+∞． 10分。

绝密★启用前2020届江西省南昌市高三第二次模拟数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．复数12121,z z i z z z ===⋅，则||z 等于()A ．2B ．4C D ．答案：B先利用复数的乘法运算得到12z z z =，再利用模的计算公式计算即可. 解：由已知，21(1)2z z i i z ===，所以||4z ===. 故选：B 点评：本题考查复数的乘法以及复数模的计算，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.2．集合{|},{}A y y x N B x N N =∈=∈，则A B =()A ．{0,2}B ．{0,1,2}C ．2}D ．∅答案：A根据题意得到集合A 、B ，再按交集定义运算即可. 解：由已知，{0,2}A B ==，所以{0,2}A B ⋂=. 故选：A 点评：本题考查集合的交集运算，解题关键是看清集合中代表元，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.3．已知,,a b c 是三条不重合的直线，平面,αβ相交于直线c ，,a b αβ⊂⊂，则“,a b 相交”是“,a c 相交”的() A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：A由公理3可判断充分性成立，作图举反例可判断必要性不成立.解：若,a b 相交，设交点为O ，因为,a b αβ⊂⊂，所以,O O αβ∈∈，由平面的基本性质3可 知O c αβ∈=，故充分性成立；若,a c 相交，如图，,a b 可能异面，故必要性不成立. 故选：A点评：本题考查充分条件、必要条件的判断，涉及到空间中点线面的位置关系，考查学生空间想象能力，是一道容易题. 4．已知1,1()ln ,1x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，则不等式()1f x >的解集是()A ．(1,)eB ．(2,)+∞C ．(2, )eD ．(,)e +∞答案：D分1x ≤，1x >两种情况讨论，分别解不等式组，再求并集即可. 解：当1x ≤时，()11f x x =->，解得2x >，所以x ∈∅； 当1x >时，()ln 1f x x =>，解得x e >，所以x e >； 综上，不等式()1f x >的解集是(,)e +∞. 故选：D 点评：本题考查解分段函数不等式，考查学生分类讨论思想，数学运算能力，是一道容易题.5．已知ABC 中角, , A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,sin 2cos 2a c A C ==，则角A 等于()A ．6π B ．2π C ．23π D ．56π 答案：B由正弦定理可得sin 2sin A C =，结合2sin 2cos22(12sin )A C C ==-解方程组即可得到答案. 解：由2a c =及正弦定理可得sin 2sin A C =，又222sin 2cos 22(12sin )24sin 2sin A C C C A ==-=-=-， 所以2sin sin 20A A +-=，解得sin 1A =或sin 2A =-（舍）， 又(0,)A π∈，所以2A π=.故选：B 点评：本题考查正弦定理解三角形，涉及到二倍角公式的计算，考查学生的数学运算能力，是一道容易题. 6．已知,a b 为不共线的两个单位向量，且a 在b 上的投影为12-，则|2|a b -=()A BCD答案：D由已知得到1||cos 2a θ=-，进一步得到12a b ⋅=-，再代入2|2|44a b a b a b -=+-⋅中计算即可. 解：设,a b 的夹角为θ，由已知，||1a =，1b ||=，1||cos 2a θ=-， 所以1||||cos 2a b a b θ⋅==-，所以2|2|4441a b a b a b -=+-⋅=+=故选：D 点评：本题考查向量模的计算，涉及到向量的投影，考查学生的数学运算能力，是一道容易题. 7．函数ln ()xx xf x e =的图象大致为()A ．B ．C ．D ．答案：C由()0f e >可排除A 、D ；再利用导函数判断()f x 在(0,1)上的单调性，即可得出结论. 解：因为1ln 1()0e e e e f e e e -==>，故排除A 、D ； ln ln 1ln (),()x xx x x x x f x f x e e+-='=， 令1()ln 1ln ,()ln 1g x x x x g x x x=+-'=--，()g x '在(0,)+∞是减函数，(1)0g '=， (0,1),()0,()x g x g x ∴∈'>在(0,1)是增函数，2222112(1)10,()1ln 10g g e e e e -=>=--=-+<， 存在021(,1)x e∈，使得0()0g x =， 0(0,),()0,()0,()x x g x f x f x ∈<'<单调递减， 0(,1),()0,()0,()x x g x f x f x ∈>'>单调递增，所以选项B 错误，选项C 正确. 故选：C 点评：本题考查由解析式选择函数图象的问题，利用导数研究函数单调性是解题的关键，考查学生逻辑推理能力，是一道中档题.8．直线2sin 0x y θ⋅+=被圆222520x y y +-+=截得最大弦长为() A ．5B ．3C ．3D ．2答案：D先求出圆心到直线的距离，再利用垂径定理与勾股定理建立关系即可得到答案. 解：由已知，圆的标准方程为22(5)3x y +-=，圆心为(0,5)，半径3r =，圆心到直线2sin 0x y θ⋅+=的距离2534sin 1d θ=<+，解得21sin 6θ>， 所以弦长为22252234sin 1r d θ-=-+，因为254sin 153θ<+≤， 所以25134sin 1θ≤<+，所以弦长2225223(0,22]4sin 1r d θ-=-∈+，当24sin 15θ+=即2sin 1θ=时，弦长有最大值22. 故选：D 点评：本题考查直线与圆的位置关系，涉及到垂径定理，考查学生的数学运算能力，是一道中档题. 9．函数()sin()(0)f x A x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则(0)f =()A ．6-B ．3C ．2-D ．62-答案：B由图可得周期为4，进一步得到ω，再由(8.5)(0.5)0f f ==得到ϕ，最后由(5)3f =A 从而得到()f x 的解析式，再计算(0)f 即可得到答案. 解： 由已知，8.5 6.522T =-=，所以24T πω==，解得2πω=，所以()sin()2f x A x πϕ=+，又(8.5)(0.5)0f f ==，所以sin()04A πϕ+=，2,4k k Z πϕπ+=∈，即2,4k k Z πϕπ=-+∈①，又(5)3f =，即5sin()32A πϕ+=，所以cos 3A ϕ=②，由①②可得6A =，所以 ()6sin()24f x x ππ=-，故(0)6sin()34f π=-=-.故选：B 点评：本题主要考查已知函数图象求函数的解析式的问题，考查学生的逻辑推理能力，数学运算能力，是一道中档题.10．春秋以前中国已有“抱瓮而出灌”的原始提灌方式，使用提水吊杆——桔槔，后发展成辘轳.19世纪末，由于电动机的发明，离心泵得到了广泛应用，为发展机械提水灌溉提供了条件.图形如图所示为灌溉抽水管道在等高图的上垂直投影，在A 处测得B 处的仰角为37度，在A 处测得C 处的仰角为45度，在B 处测得C 处的仰角为53度，A 点所在等高线值为20米，若BC 管道长为50米，则B 点所在等高线值为()（参考数据3sin 375︒=）A ．30米B ．50米C ．60米D ．70米答案：B设BD x =，则4tan 373BD AD x ==，sin5340CF BC ==，cos5330BF BC ==，再由AE CE =建立方程即可得到答案.解：由题意，作出示意图如图所示，由已知，50BC =，45CAE ∠=，37BAE ∠=，53CBF ∠=，设BD x =，则cos374tan 37sin 373BD BD AD x ===，4sin5350cos3750405CF BC ===⨯=，3cos5350sin 3750305BF BC ===⨯=，所以由AE CE =，得430403x x +=+，解得30x =，又A 点所在等高线值为20米， 故B 点所在等高线值为203050+=米. 故选：B点评：本题考查解三角形的实际应用，读懂题意，弄清题中数据是代表什么是本题解题关键，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.11．已知F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，直线3y x =交双曲线于A ，B 两点，若23AFB π∠=，则双曲线的离心率为() A 5B 6C 102+D 52+答案：C设双曲线左焦点为M ，,,AF x BF y OA m ===，连接,AM BM ，分别在三角形BMF 、ABF 中应用余弦定理可得到2222m b c =+①，联立222231y x x y ab ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，得到22222222223,33A A a b a b x y b a b a ==--，2222AAOA m x y ==+=222243a b b a-②，由①②即可建立a ，b ，c 之间的关系. 解：如图，设双曲线左焦点为M ，,,AF x BF y OA m ===，连接,AM BM ，则AMBF 为平 行四边形，且AF BM =，由已知，23AFB π∠=，OF c =，3FBM π∠=，在三角形BMF中，由余弦定理，得2222cos3MF MB BF MB BF π=+-⋅，即2224c x y xy =+-①，又2BF BM a -=，即2y x a -=②，由①②可得24xy b =，222244x y c b +=+③，在三角形ABF 中，由余弦定理，得22222cos 3AB AF BF AF BF π=+-⋅， 即2222224444m x y xy c b b =++=++，所以2222m b c =+④，联立222231y x x y ab ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，得22222222223,33A A a b a b x y b a b a ==--，所以2222A A OA m x y ==+=222243a b b a -⑤, 由④⑤可得422440b a b a --=，即22222()410b b a a -⨯-=，解得2225b a=+（负值舍），所以离心率26251021()3522be a ++=+=+==.故选：C点评：本题考查双曲线离心率的问题，关键是建立,,a b c 方程，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.12．已知函数3()sin cos (0)4f x x x a x a π⎛⎫=+--> ⎪⎝⎭有且只有三个零点()123123,,x x x x x x <<，则()32tan x x -属于()A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭答案：D()f x 有且仅有三个不同零点等价于2)4y x π=+与3()4y a x π=-有且仅有三个不同交点，数形结合知当3()4y a x π=-与2)4y x π=+相切时，满足题意，利用导数的几何意义可得3332cos()432sin()()44x a x a x πππ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，进一步得到333tan()44x x ππ+=-，所以()32tan x x -=33tan()4x π-=333tan()44x x ππ+=-，再求出3x 的范围即可得到答案. 解：由已知，()f x 有且仅有三个不同零点等价于方程32sin()()44x a x ππ+=-有且仅有三个 不同实根，等价于2sin()4y x π=+与3()4y a x π=-有且仅有三个不同交点，如图 当3()4y a x π=-与2sin()4y x π=+相切时，满足题意，因为123x x x <<， 所以234x π=，且3332cos()432sin()()44x a x a x πππ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，消a 得333tan()44x x ππ+=-由诱导公式，有()32tan x x -=33tan()4x π-=333tan()44x x ππ+=-， 又37944x ππ<<，所以()32tan x x -=334x π-∈3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 故选：D点评：本题考查已知函数的零点个数求范围问题，涉及到导数的几何意义，考查学生数形结合的思想，转化与化归思想，是一道有一定难度的题. 二、填空题13．若变量x ，y 满足约束条件1310y x x y ⎧≥-⎨-+≥⎩，则目标函数z x y =+的最小值为______________.答案：1-作出可行域，y x z =-+，截距为z ，截距越小，z 越小，平移直线y x =-，数形结合即可得到答案. 解：作出可行域如图所示y x z =-+，截距为z ，截距越小，z 越小，平移直线y x =-，当y x z =-+与1y x =--重合时，截距最小，此时线段AB 上任意一点都是最优解，所以min 011z =+-=-. 故答案为：1-点评：本题考查简单线性规划的应用，考查学生数形结合思想，是一道基础题.14．已知梯形ABCD 中，//,3,4,60,45AD BC AD AB ABC ACB ︒︒==∠=∠=，则DC =_____________.15分别过A 、D 作BC 的垂线，垂足为E 、F ，连接AC ，易得2BE =，AE 23=ABC 中，由正弦定理可得26AC =进一步得到23EC =3FC =，再利用勾股定理即可得到答案.解：分别过A 、D 作BC 的垂线，垂足为E 、F ，连接AC ，由已知，60,4ABC AB ∠==， 所以2BE =，AE 23=ABC 中，由正弦定理，得sin sin AC ABB ACB=∠，即4sin 60sin 45AC =，解得6AC =所以22241223EC AC AE =-=-=所以2333FC EC EF EC AD =-=-==故2222(23)(3)15DC DF FC =+=+=故答案为：15点评：本题考查正弦定理解三角形，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.15．已知6270127(1)(21)x x a a x a x a x --=++++，则2a 等于_______________.答案：72-666((1)21))(21)(21x x x x x -----=，只需找到6(21)x -的展开式中的2,x x 项系数即可得到答案. 解：因为6(21)x -的展开式通项为666166(2)(1)(1)2r rr r r r r r T C x C x ---+=-=-，所以666((1)21))(21)(21x x x x x -----=展开式中2x 项为5154242266(1)2(1)272x C x C x x ⋅---=-，所以272a =-.故答案为：72- 点评：本题考查二项式定理的应用，涉及到求指定项的系数，考查学生的数学运算能力，是一道中档题. 16．已知正四棱锥P ABCD -中，PAC 是边长为3的等边三角形，点M 是PAC 的重心，过点M 作与平面PAC 垂直的平面α，平面α与截面PAC 交线段的长度为2，则平面α与正四棱椎P ABCD -表面交线所围成的封闭图形的面积可能为______________.（请将可能的结果序号．．填到横线上）①2；②223；④23答案：①③ 设ACBD O =，因为P ABCD -为正四棱锥，易知BO ⊥平面PAC ，过M 作MT ∥BO 分别交棱PB 、PD 于点T 、L ，则MT ⊥平面PAC ，由题意，只需所作的平面α是包含TL 且与截面PAC 交线段的长度为2即可，数形结合，作出截面即可得到答案. 解： 设ACBD O =，因为P ABCD -为正四棱锥，易知平面PAC ⊥平面ABCD ，又BO AC⊥，平面PAC平面ABCD AC=，BO⊂平面ABCD，所以BO⊥平面PAC，过M作MT∥BO分别交棱PB、PD于点T、L，则MT⊥平面PAC，由题意，只需所作的平面α是包含TL且与截面PAC交线段的长度为2即可，又PAC是边长为3的等边三角形，点M是PAC的重心，过M作MQ∥AC分别交棱PA、PC于点E、Q，所以EQ PQAC PC=，即233EQ=，所以2EQ=，如图1，则平面ETQL为满足题意的平面α，因为3AC=，所以322AB=，所以24=()9ETQLABCDS PTS PB=菱形正方形，所以2432()29ETQLS=⨯=菱形，故①正确；如图2，过T作TH∥GF，过L作LQ∥GF，易知平面GLQHT为满足题意的平面α，且GLQHT为两个全等的直角梯形，易知T、H分别为GE、EF的中点，所以112HT GF==，所以五边形GLQHT的面积122221322GFHTTH GFS S FH++==⨯⨯=⨯⨯=梯形，故③正确.当GF∥PA与GF∥PC是完全相同的，所以，综上选①③.故答案为：①③点评：本题空间立体几何中的截面问题，考查学生空间想象能力，数形结合的思想，是一道有一定难度的题.三、解答题17．已知等差数列{}n a的公差为()d d≠0，前n项和为nS，且满足____________.（从①()101051S a=+）；②126,,a a a成等比数列；③535S=，这三个条件中任选两个．．补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题）（I ）求n a ； （Ⅱ）若12n n b =，求数列{}n n a b 的前n 项和n T . 答案：（I ）选择①②、①③、②③条件组合，均得32n a n =-﹔（Ⅱ）3442n nn T +=- （I ）先将①②③条件简化，再根据选择①②、①③、②③条件组合运算即可； （Ⅱ）322n n nn a b -=，利用错位相减法计算即可. 解：（I ）①由()101051S a =+，得()11109105912a d a d ⨯+=++，即11a =； ②由1a ，2a ，6a 成等比数列，得2216a a a =，222111125a a d d a a d ++=+，即13d a =﹔③由535S =，得()15355352a a a +==，即3127a a d =+=； 选择①②、①③、②③条件组合，均得13a =、3d =，即32n a n =-﹔（Ⅱ）由（I ）得322n n nn a b -=， 所以234147103222222n nn T -=+++++，2345111471035322222222n n n n n T +--=++++++， 两式相减得：23411111113232222222n nn n T +-⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭， 得123111(1)11113232221313122222212n n n n n n n T -----⎛⎫=+++++-=+⨯- ⎪⎝⎭-1132341314222n n n n n --+⎛⎫=+--=- ⎪⎝⎭.【点晴】本题考查等差数列、等比数列的综合计算问题，涉及到基本量的计算，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.18．如图所示，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是以,AB CD 为底边的等腰梯形，且124,60,AB AD DAB AD D D ︒==∠=⊥.（I ）求证：平面11D DBB ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若112D D D B ==，求直线AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值. 答案：（I ）证明见解析；（Ⅱ）217. （Ⅰ）要证明平面11D DBB ⊥平面ABCD ，只需证明AD ⊥平面11D DBB 即可；（Ⅱ）取BD 的中点O ，易得1D O ⊥面ABCD ，以O 为原点，分别以1,,OB OC OD 为,,x y z 的非负半轴建立空间直角坐标系，计算平面1B BC 的法向量为n 与AB ，再利用公式||sin |cos ,|||||n AB n AB n AB θ⋅=<>=⋅计算即可.解：（Ⅰ）ABD △中，4AB =，2AD =，60DAB ∠=︒，由余弦定理得222cos6023BD AB AD AB AD +-⋅=则222AD BD AB +=，即AD BD ⊥， 而11,AD D D BD D D D ⊥⋂=，故AD ⊥平面11D DBB ，又AD ⊂面ABCD ，所以平面11D DBB ⊥平面ABCD.（Ⅱ）取BD 的中点O ，由于11D D D B =，所以1D O BD =， 由（Ⅰ）可知平面11D DBB ⊥面ABCD ，故1D O ⊥面ABCD. 由等腰梯形知识可得DC CB =，则CO BD ⊥，2211431D O DD DO =-=-=，以O 为原点，分别以1,,OB OC OD 为,,x y z 的非负半轴建立空间直角坐标系， 则1(3,2,0),(3,0,0),(0,1,0),(3,0,0),(0,0,1)A B C D D ---， 则11(23,2,0),(3,0,1),(3,1,0)AB BB DD BC ====-设平面1B BC 的法向量为(,,)n x y z =，则111300030x z n BB n BC xy ⎧⎧+=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=-+=⎪⎪⎩⎩， 令1x =，则3,3y z ==-，有(1,3,3)n =-，所以，||2323021sin |cos ,|7||||74n AB n AB n AB θ⋅++=<>===⋅⨯，即直线AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值为21.【点晴】本题考查面面垂直的证明、向量法求线面角，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.19．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上任意一点（异于顶点）与双曲线两顶点连线的斜率之积为19. （I ）求双曲线渐近线的方程；（Ⅱ）过椭圆22221(0)x y m n m n+=>>上任意一点P （P 不在C 的渐近线上）分别作平行于双曲线两条渐近线的直线，交两渐近线于,M N 两点，且22||||5PM PN +=，是否存在,m n 使得该椭圆的离心率为223，若存在，求出椭圆方程：若不存在，说明理由. 答案：（I ）13y x =±；（Ⅱ）存在，2219x y +=.（I ）设()12(,0),(,0),,M M A a A a M x y -，由1219MA MA k k ⋅=可得ba，进一步得到渐近线方程； （Ⅱ）设()00,P x y ，则PM 方程为()0013y x x y =--+，联立渐近线方程13y x =得到M x ，进一步得到OM ，同理得到ON ，再利用2222PM PN OM ON +=+计算即可得到答案. 解：（1）设()12(,0),(,0),,M M A a A a M x y -，由22221M M x y a b-=，知()22222M M y b x a a =-，所以，1222219M M MA M M M A M M y y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+--，得2219b a =，即13b a =， 即双曲线渐近线方程为13y x =±；（Ⅱ）由2222319x y e m n n n=⇒=⇒+=，设()00,P x y ，则PM 方程为()0013y x x y =--+， 由()00133y x x y x y ⎧=--+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得0032M y x x +=；由()00133y x x y x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得0032N y x x -+=又1tan 3MOx ∠=，所以tan MOx ∠=，所以M x OM=，OM ==，同理可得，ON ==， 由OMPN 是平行四边形，知2222PM PN OM ON +=+，所以，2222220091092y x PM PN OM ON ++=+=⋅222200595599x n x n ⎡⎤⎛⎫=-+==⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，即21n =所以，存在符合题意的椭圆，其方程为2219x y +=.【点晴】本题考查椭圆与双曲线的综合运用，涉及到求双曲线渐近线方程以及椭圆的标准方程，考查学生的数学运算能力，是一道中档题. 20．已知函数2()ln()f x x ax e=+（a R ∈，且0a ≠，e 为自然对数的底）. （I ）求函数()f x 的单调区间（Ⅱ）若函数()()ag x f x e -=-在(0,)+∞有两个不同零点，求a 的取值范围. 答案：（I ）当0a >时，增区间为1,ae ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，减区间为10,ae ⎛⎫ ⎪⎝⎭；当0a <时，增区间为1,ae ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，减区间为1,0ae ⎛⎫⎪⎝⎭；（Ⅱ）(1ln 2,1)-. （I ）()ln 1ln()f x ax aex '=+=，分0a >，0a <两种情况讨论解不等式即可； （Ⅱ）因为2()ln a g x x ax e e -=+-有两个正零点，由（I ）知0a >且()g x 在10,ae ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,ae ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增.当20,()e e a x g x -→→-，当,()0x g x →+∞>，min112()e e e e a g x g a a -⎛⎫==-+- ⎪⎝⎭，所以只需20120aa e e e ae e--⎧->⎪⎪⎨⎪-+-<⎪⎩①②，对于①直接解不等式，对于②，构造12()xh x e ex e-=-+-，结合单调性解决. 解：（I ）由2()ln f x x ax e=+，知()ln 1ln()f x ax aex '=+= ①当0a >时，定义域为(0,),()0f x '+∞>得1x ae >，'()0f x <得10x ae<<；②当0a <时，定义域为(,0),()0f x '-∞>得1x ae <，'()0f x <得10x ae<< 所以，当0a >时，增区间为1,ae ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，减区间为10,ae ⎛⎫⎪⎝⎭； 当0a <时，增区间为1,ae ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，减区间为1,0ae ⎛⎫ ⎪⎝⎭； （Ⅱ）因为2()ln ag x x ax e e-=+-有两个正零点，由（I ）知0a > 且()g x 在10,ae ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,ae ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.设,ln ,t tx e x x te t ==→-∞时，指数函数是爆炸增长，||||e 0e tt t t =-→， 当20,()e e a x g x -→→-，当,()0x g x →+∞>，min 112()e e e e a g x g a a -⎛⎫==-+- ⎪⎝⎭因为()g x 有两个正零点，所以有20120aa e ee ae e--⎧->⎪⎪⎨⎪-+-<⎪⎩①②，由①得1ln 2a >-， 对于②，令12()x h x e ex e-=-+-，'21()0x h x e ex -∴=+>，()h x 在(0,)+∞上单调递增，且(1)0h =，由()0h x <知(0,1)x ∈，由②120ae ae e--+-<得(0,1)a ∈ 综上所述，(1ln 2,1)a ∈- 【点晴】本题考查利用导数研究函数的单调性以及已知函数零点个数求参数范围的问题，考查学生逻辑推理能力，是一道中档题.21．某班级共有50名同学（男女各占一半），为弘扬传统文化，班委组织了“古诗词男女对抗赛”，将同学随机分成25组，每组男女同学各一名，每名同学均回答同样的五个不同问题，答对一题得一分，答错或不答得零分，总分5分为满分.最后25组同学得分如下表：（I ）完成22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为“该次对抗赛是否得满分”与“同学性别”有关；（Ⅱ）某课题研究小组假设各组男女同学分差服从正态分布()2,N μσ，首先根据前20组男女同学的分差确定μ和σ，然后根据后面5组同学的分差来检验模型，检验方法是：记后面5组男女同学分差与μ的差的绝对值分别为(1,2,3,4,5)i x i =，若出现下列两种情况之一，则不接受该模型，否则接受该模型.①存在3i x σ≥；②记满足23i x σσ<<的i 的个数为k ，在服从正态分布()2,N μσ的总体（个体数无穷大）中任意取5个个体，其中落在区间(3,2)(2,3)μσμσμσμσ--⋃++内的个体数大于或等于k 的概率为P ，0.003P ≤.试问该课题研究小组是否会接受该模型.参考公式和数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++540.949,0.9570.803,430.95736≈≈≈⨯≈，3343430.957 1.6210⨯⨯≈⨯；若()2~,X Nμσ，有(22)0.9544P X μσμσ-<<+≈，(33)0.9974P X μσμσ-<<+≈.答案：（I ）列联表见解析，没有把握；（Ⅱ）第②种情况出现，所以该小组不会接受该模型. （I ）由已知可得列联表，再利用卡方公式计算即可； （Ⅱ）20,0.8μσ==，由题知123450,2,0,2,2x x x x x =====，而2 1.788,3 2.682σσ≈≈，故不存在3i x σ≥而满足23i x σσ<≤的i 的个数为3，算出(32)(23)P X P X μσμσμσμσ-<<-++<<+的概率为0.043，从服从总体（个体数无穷大）中任意取5个个体，其中值属于(3,2)(2,3)μσμσμσμσ--⋃++的个体数为Y ，则~(5,0.043)Y B ，再利用二项分布概率公式计算即可.解：（I ）由表可得所以，2250(10111415) 1.282 2.70624262525K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯所以没有90%的把握说“该次大赛是否得满分”与“同学性别”有关； （Ⅱ）由表格可得2210,(1111111121111)0.820μσ==++++++++++++=； 由题知123450,2,0,2,2x x x x x =====，而2 1.788,3 2.682σσ≈≈，故不存在3i x σ≥，而满足23i x σσ<≤的i 的个数为3，即3k = 当()2~,,X N μσ(32)(23)P X P X μσμσμσμσ-<<-++<<+0.99740.95440.043≈-≈设从服从正态分布()2,N μσ的总体（个体数无穷大）中任意取5个个体，其中值属于(3,2)(2,3)μσμσμσμσ--⋃++的个体数为Y ，则~(5,0.043)Y B ，所以，51422355(3)10.9570.0430.9570.0430.9570.00080.003P Y C C ≥=--⨯⨯-⨯⨯≈<，综上，第②种情况出现，所以该小组不会接受该模型.【点晴】本题考查独立性检验与正态分布的综合应用，涉及到正态分布的概率计算问题，考查学生的数学运算能力，是一道有一定难度的题.22．平面直角坐标系xOy 中，抛物线E 顶点在坐标原点，焦点为()1,0.以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求抛物线E 的极坐标方程；（Ⅱ）过点()3,2A 倾斜角为α的直线l 交E 于M ，N 两点，若2AN AM =，求tan α. 答案：（Ⅰ）2sin 4cos 0ρθθ-=；（Ⅱ）2或23. （Ⅰ）由已知24y x =，利用cos ,sin x y ρθρθ==代入即可；（Ⅱ）设过点A 的直线l 参数方程为3cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）代入24y x =中得到根与系数的关系，再由2AN AM =，利用直线参数方程的几何意义解决.解：（Ⅰ）由题意抛物线E 的焦点为()1,0，所以标准方程为24y x =， 故极坐标方程为2sin 4cos 0ρθθ-=﹔ （Ⅱ）设过点A 的直线l 参数方程为3cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）， 代入24y x =，化简得()22sin 4sin 4cos 80t t ααα+--=，设,M N 所对的参数分别为 12,t t ， 则1224sin 4cos sin t t ααα-++=，1228sin t t α=-⋅， 且()224sin 4cos 32sin 0ααα∆=-+> 由2AN AM =，A 在E 内部，知212t t =-，2121282sin t t t α=-=-⋅ 得122sin 4sin t t αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或122sin 4sin t t αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以，当1224sin 4cos 2sin sin t t αααα-++==-时，解得tan 2α=， 当1224sin 4cos 2sin sin t t αααα-++==时，解得2tan 3α= 所以tan 2α=或2tan 3α=. 【点晴】本题考查普通方程与极坐标方程的互化，以及直线的参数方程的几何意义解决线段长度等问题，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.23．已知()1a f x ax x x x=-+-，()()22g x x a x a R =---∈. （Ⅰ）当1a =时，求不等式()()3f x g x <+的解集；（Ⅱ）求证：()()f x g x ≥.答案：（Ⅰ）112,,222⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（Ⅱ）证明见解析. （Ⅰ）当1a =时，不等式为123x x -<，平方转化为解不等式4241740x x -+<即可； （Ⅱ）利用绝对值三角不等式即可证明.解：（Ⅰ）当1a =时，不等式为123x x -<，平方得224489x x-+<， 则4241740x x -+<，得2144x <<，即122x -<<-或122x <<， 所以，所求不等式的解集112,,222⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （Ⅱ）因为()1111a a f x ax x ax x a x x x x x x⎛⎫⎛⎫=-+-≥---=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1121a x a x ⎛⎫=-+≥- ⎪ ⎪⎝⎭，又()()()222221g x x a x x a x a =---≤---=-，所以，不等式()()f x g x ≥得证.【点晴】本题考查解绝对值不等式以及利用绝对值三角不等式证明不等式，考查学生的数学运算能力，逻辑推理能力，是一道容易题.。

2022届江西省南昌市高三第二次模拟测试数学（理）试卷理科数学一、选择题1.已知集合{|13}A x N x =∈≤≤，2{|650}B x x x =-+<，则A B =（ ）A.∅B.{1,2,3}C.(1,3]D.{2,3} 答案： D解析：{1,2,3}A =，{|15}B x x =<<，∴{2,3}A B =.2.已知i 为虚数单位，若1z i =+，则|2|z i +=（ ） A.1i +C.2答案： B解析：21z i i +=+，∴|2|z i +==3.已知圆锥内部有一个半径为1的球与其侧面和底面均相切，且圆锥的轴截面为等边三角形，则圆锥的侧面积为（ ） A.2π B.4π C.6π D.8π 答案： C解析：可画出截面图如图，∵三角形ABC 为等边三角形，可得=AB 设圆锥底面的半径为r，则12r AB ==母线长l =∴6S rl πππ=⋅==侧.4.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若5b =，1cos 8A =，sin 16B =，则a =（ ） A.8 B.6 C.5 D.3 答案： B解析： 由正弦定理可得sin sin a b A B =，∵1cos 8A =，∴sin A =. ∴sin 6sin b Aa B==. 5.已知6log 2a =，sin1b =，12c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A.a c b << B.b a c << C.c b a << D.a b c << 答案： A解析：261log log 2a =<=，故a c <，又∵1sin1sin 62π>=，∴b c >，故b c a >>. 6.已知实数,x y 满足约束条件103301x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则22z x y =+的最小值为（ ）B.5C.10D.910答案： D解析：画出可行域得，又∵22z x y =+，可表示为平面区域到原点的距离的平方.此时，最小值为原点到直线330x y +-=的距离的平方.故222min (09)1x y +==.7.已知函数3()|cos |()22f x x x x ππ=+-≤≤，则方程()f x = （ ）A.1B.2C.3D.4 答案： C解析：可化简为2sin() [,] 622()32sin() ,622ππππππ⎧+∈-⎪⎪=⎨⎛⎤⎪-∈ ⎥⎪⎝⎦⎩x x f x x x .∴()f x =sin()6x π+=，[,]22x ππ∈-，6x π=或2x π=.或sin()6x π-=，3,22ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦x .∴6x π5=.∴()f x =3个. 8.如图1，正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在正方形1111A B C D 内（包含边界），若三棱锥P ABC -的左视图如图2所示，则此三棱锥的俯视图不可能是（ ）A.B.C.D.答案：D解析：A 选项，当P 到平面1111ABCD 中心上时满足.B 选项，当P 在11BC 中点时满足C 选项，当P 在11AD 中点时满足.故选D9.已知:12p x -<<，12:2log (2)1x q x +-+<，则p 是q 的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案： B解析：充分性，当0x =时.1222log 1-=.故充分性不成立.又122log (2)1x x +-+<，1221log (2)x x +-<+画图令1121x y +=-，22log (2)y x =+.∴12y y <，1y 图像要在2y 图像下方. ∴:q 10x -<<， ∵(1,0)(1,2)--.即必要性成立.∴p 是q 的必要不充分条件.10.的图形.图中四边形ABCD 的对角线相交于点O ，若DO OB λ=，则λ=（ ）A.1C.答案： B解析：如图所示，以C 点为原点，CD 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，∴(0,0)C ，(1,0)D -，22B ，所在直线BD 的斜率12BDk -==，所以直线BD 方程为：1)(1)y x =+，令0x =，所以1y =，∴1)O ，∴(1,1)DO =，2(22OB =-，∴2DO OB =，∴λ=故选B.11.已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点，2F 也是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，点P 是双曲线E 与抛物线C 的一个公共点，若112||||PF F F =，则双曲线E 的离心率为（ ）A.2+B.2C.答案：A解析：设点()00,P x y ，2(,0)F c ，过点P 作抛物线的准线的垂线，垂足为A ，连接1PF （如图） 由题意得：2p c =，由双曲线的定义可得：21222PF PF a c a =-=-，由抛物线的定义得：02||22PA x c PF c a =+==-，所以22104(2)48AF y c c a c ac ==-=-.在1Rt F AP ∆中有：22211||AF PA PF +=，即222(48)(22)(2)c ac c a c -+-=.所以2240a c ac +-=，即2410e e -+=.解得：2e =+2（舍去），故选A.12.已知函数11e ,0,()(0)e ,0x x a x f x a a x ---⎧≥=>⎨<⎩，若函数()f x 的图象上存在两个点11(,)A x y ，22(,)B x y ，满足12120y y x x -<，则a 的取值范围为（ ）A.2a ≥B.1a ≥C.01a <<D.02a << 答案： C解析：()f x 的图像如图所示，若120x x <<，则1212112212121212()()0x x x x y y x x ae ae x x a e x x ----+--=-=->，与题意不符，所以点A 与点B 在同侧.因为函数()f x 为偶函数，不妨设120x x <<，则12121212011OA OB y y y y x x k K x x -<⇔⋅<⇔⋅<.转化为求曲线过原点的切线，设切点为010(,)x P x ae -，切线方程为00110()x x y ae ae x x ---=-代入原点坐标得01x =，切点为(1,)a ，切线斜率为a 若1a ≥则1OA OB k K ⋅≥.仅当121x x ==时取等号，所以01a <<.二、填空题13.已知向量(1,3)a =，||1b =，若a b ⊥，则||a b += . 答案：解析：222||||25a b a b a a b b +=+=+⋅+=.14.3(n x -的展开式共有8项，则常数项为 .答案：764解析：展开式有8项，则7n =，故37(x 展开式为7212171()2-+=⋅-⋅r rr r T C x .∴72102r -=，∴6r =.∴常数项为66717()264C ⋅-=. 15.从装有4个红球和3个蓝球（除颜色外完全相同）的盒子中任取两个球，则在选到的两个球颜色相同的条件下，都是红球的概率为 . 答案：23解析：记事件A 为从盒子中取到两个相同颜色的球，事件B 为从盒子中取到两个红球.则在选到的两个球颜色相同的条件下，都是红球的概率为(|)P B A .所以2422742222434327()2(|)()3C C P AB C P B A C C P A C C C ====++. 16.交通信号灯由红灯、绿灯、黄灯组成，红灯表示禁止通行，绿灯表示准许通行，黄灯表示警示，黄灯设置的时长与路口宽度、限定速度、停车距离有关.经过安全数据统计，驾驶员反应距离1s （单位：m ）关于车速v （单位：m/s ）的函数模型为10.7584s v =：刹车距离2s （单位：m ）关于车速v （单位：m/s ）的函数模型为220.072s v =，反应距离与刹车距离之和称为停车距离.在某个十字路口标示小汽车最大限速50km/h v =（约14m/s ），路口宽度为30m ，如果只考虑小车通行安全，黄灯亮的时间是允许最大限速的车辆离停车线距离小于停车距离的汽车通过十字路口，那么信号灯的黄灯至少要亮 s （保留两位有效数字）. 答案： 3.9 解析：由题意，当停车距离等于离停车线距离时，设通过路口所需时间为t ，则1230vt s s =++，即2140.7584140.0721430t =⨯+⨯+，所以 3.9t ≈，所以黄灯至少亮3.9s .三、解答题17.已知{}n a 是公差为(0)d d ≠的等差数列，11a =，11n n a xa +=+. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设121(1)nn n n n b a a ++=-，求数列{}n b 的前10项和10S . 答案： 见解析 解析：因为11(0)n n a xa x +=+≠，所以211(0)n n a xa x ++=+≠，两式相减可得d xd =，因为0d ≠，所以1x =，则11n n a a +=+，所以1d =， 因为11a =，所以1(1)n a a n d n =+-=；（2）因为n a n =，121(1)nn n n n b a a ++=-， 所以2111(1)(1)[](1)(1)nn n n b n n n n +=-=-+++，则10111111111110(1)()()()()1223344510111111S =--+++--+++++=-+=-.18.国际上常用体重指数作为判断胖瘦的指标，体重指数是体重（单位：千克）与身高（单位：米）的平方的比值.高中学生由于学业压力，缺少体育锻炼等原因，导致体重指数偏高.某市教育局为督促各学校保证学生体育锻炼时间，减轻学生学习压力，准备对各校学生体重指数进行抽查，并制定了体重指数档次及所对应得分如下表：某校为迎接检查，学期初通过调查统计得到该校高三学生体重指数服从正态分布2(23.9,3.3)N ，并调整教学安排，增加学生体育锻炼时间.4月中旬，教育局聘请第三方机构抽查了该校高三50名学生的体重指数，得到数据如下表：请你从肥胖率、体重指数学生平均得分两个角度评价学习采取措施的效果. 附：参考数据与公式若2~(,)X N μσ，则①()0.6827P X μσμσ-≤≤+=；②(22)0.9545P X μσμσ-≤≤+=；③(33)0.9973P X μσμσ-≤≤+= 答案： 见解析 解析：因为学期高三学生体重指数服从正态分布2(23.9,3.3)N 则学期初期肥胖率：1(23.9 3.323.9 3.3)10.6827(27.2)0.1586522P X P X --≤≤+->===，4月中旬教体局抽查时，学生肥胖率为50.10.1586550=<，又因为1(23.9 3.323.9 3.3)10.6827(27.2)0.1586522P X P X --≤≤+->===， (23.9 3.323.9 3.3)0.6827(23.927.2)0.31413522P X P X -≤≤+≤<===，(23.92 3.323.92 3.3)0.9545(17.323.9)0.4772522P X P X -⨯≤≤+⨯≤≤===，1(23.92 3.323.92 3.3)10.9545(17.3)0.0227522P X P X --⨯≤≤+⨯-<===，所以初期体重指数学生平均得分为800.022751000.47725800.34135600.1586586.372⨯+⨯+⨯+⨯=.4月中旬教体局抽查时，体重指数学生平均得分为：8031002580176058886.37250⨯+⨯+⨯+⨯=>，所以从肥胖率、体重指数学生平均得分两个角度来看学校采取措施的效果是较好的.19.如图，四边形ABCD ，CDEF 都是边长为6的正方形，23BCF π∠=，四边形ABGH 是矩形，平面ABGH ⊥平面ABCD ，平面EFGH ⊥平面CDEF . （1）求直线BE 与平面ABCD 所成的角的正弦值；（2）在线段AB 上是否存在一点M ，使得//DM 平面BEG ；若存在，求出BM 的长，若不存在，请说明理由.答案： 见解析 解析：方法一：（1）因为CD DA ⊥，CD DE ⊥，所以CD ⊥平面ADE ，所以面ABCD ⊥平面ADE ， 过E 作平面ABCD 的垂线，垂足为N ，则点N 在平面ABCD 与平面ADE 的交线AD 的延长线上，因为CD CB ⊥，CD CF ⊥，所以FCB ∠即为二面角F CD B --的平面角， 同理EDA ∠即为二面角F CD B --的平面角， 则23EDA FCB π∠=∠=，故132DN DE ==，2EN DE ==，所以BN =，12BE =，所以直线BE 与平面ABCD 所成的EBN ∠的正弦值为sin 4EN EBN BE ∠==；（2）因为平面ABGH ⊥平面ABCD ，所以GB ⊥平面ABCD ，又因为EN ⊥平面ABCD ，所以//EN GB ，所以E ，G ，B ，N 四点共面， 又因为3DN =，6AD =，所以23AD AN =， 所以当点M 满足23AM AB =时，//DM BN ，因为BN ⊂平面BEG ，所以//DM 平面BEG ，所以在线段AB 上存在一点M ，当2BM =时，//DM 平面BEG .方法二：因为CD DA ⊥，CD DE ⊥， 所以CD ⊥平面ADE ，过E 作平面ABCD 的垂线，垂足为N ， 则点N 在AD 的延长线上，因为CD CB ⊥，CD CF ⊥，所以FCB ∠即为二面角F CD B --的平面角， 则23EDA FCB π∠=∠=，故132DN DE ==，EN DE ==， 以A 为坐标原点，分别以AD ，AB ，AH 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，因为6FC CB ==，23FCB π∠=，2GBC GFC π∠=∠=，所以GB HA ==.（1）因为E ，(0,6,0)B，所以(9,BE =-， 平面ABCD 的一个法向量为1(0,0,1)n =，所以111cos ,||||81n BE n BE n BE ⋅<>===⋅，所以直线BE 与平面ABCD（2）假设在线段AB 上是存在一点M ，设(0,,0)(06)Mm m ≤≤， 因为E ，(0,6,0)B ，G ，所以(9,BE =-，BG =，设平面BEG 的法向量为2(,,)nx y z =，则2200BE n BG n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则960x y ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，令2x =，则2(2,3,0)n =，因为(0,,0)M m ，(6,0,0)D ，所以(6,,0)DM m =-， 所以20DM n ⋅=，则4m =，则2BM =，所以在线段AB 上存在一点M ，当2BM =时，//DM 平面BEG .20.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右顶点分别为(2,0)A -，(2,0)B，点H 是直线:1l x =上的动点，以点H 为圆心且过原点的圆与直线l 交于M ，N 两点.当点H 在椭圆E 上时.圆H 的半径为2.（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线AM ，AN 与椭圆E 的另一个交点分别为P ，Q ，记直线PQ ，OH 的斜率分别为1k ，2k ，判断12k k 是否为定值？ 若是，求出这个定值；若不是，说明理由.答案： 见解析 解析：（1）由题意知2a =32=，所以3(1,)2H ±， 所以229141a b +=，所以23b =，即椭圆方程为22143x y +=； （2）方法一：设(1,)M m ，(1,)N n ，(1,)2m nH +， 因为MN 为圆H 的直径，所以0OM ON ⋅=，则1mn =-，设直线AM ：(2)3m y x =+，则22(2)3143m y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 整理得到2222(427)16(16108)0m x m x m +++-=，所以2216108(2)427P m x m -⋅-=+，则22548427Pm x m -=+，236427P m y m =+， 同理可得：22548427Q n x n -=+，236427Q n y n =+，所以22122223636427427548548427427P Q P Q m ny y m n k m n x x m n --++==----++22222236(427)36(427)311(548)(427)(548)(427)12m n n m m n n m m n+-+==-⋅-+--++， 因为22m n k +=，所以123113112224m n k k m n +⋅=-⋅⋅=-+.方法二：AM ：(2)y k x =+，AN ：(2)y t x =+，可得(1,3)M k ，(1,3)N t ，3()(1,)2k t H +，因为OM ON ⊥，所以91kt =-，由22(2)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理可得：2222(43)16(1612)0k x k x k +++-=，所以221612(2)43P k x k -⋅-=+，则226843P k x k -=+，21243P k y k =+，同理可得：226843Q t x t -=+，21243Q t y t =+，所以2212222121243311434368684()364343P Q P Q k t y y kt k t k k t x x k t k tk t ---++====-⨯---++-++，因为23()2k k t =+，所以123124k k ⋅=-.21.已知函数e ()ln ln(1)(0)x af x x a a x-=-++>（e 是自然对数的底数）. （1）当1a =时，试判断()f x 在(1,)+∞上极值点的个数；（2）当11>-a e 时，求证：对任意1x >，1()f x a >.答案： 见解析 解析：（1）当1a =时，1e ()ln ln 2xf x x x -=-+，则1122e (1)1(1)()(e )1x x x x xf x x x x x ----'=-=--，设1()e1x xx x ϕ-=--，则()x ϕ在(1,)+∞为增函数. 当1x →时，()x ϕ→-∞，(2)20e ϕ=->.所以存在0(1,2)x ∈，使得0()0x ϕ=. 当0(1,)x x ∈时，()0x ϕ<，则()0f x '<，即()f x 在0(1,)x 为减函数； 当0(,)x x ∈+∞时，()0x ϕ>，则()0f x '>，即()f x 在0(,)x +∞为增函数； 所以函数()f x 在(1,)+∞只有一个极值点，即唯一极小值点；（2）由22(1)1(1)()()1x a x a e x x xf x e x x x x ----'=-=--，设()e1x axx x ϕ-=--，则()x ϕ在(1,)+∞为增函数. 当1x →时，()x ϕ→-∞，因为11e 1a <≤-，11(1)e e 10a a a aϕ++=-=-->. 所以存在0(1,1)x a ∈+，使得000()01x ax x ex ϕ-=-=-.由于（1）可知0000e ()()ln ln(1)x af x f x x a x -≥=-++， 又因为000e1x ax x -=-，所以0001()ln ln(1)1f x x a x =-++-， 即证：对任意1x >，0011ln ln(1)1x a x a-++>-， 即证：对任意1x >，0011ln ln(1)1x a x a->-+-.设1()ln (1)1=->-g x x x x ，则()g x 在(1,)+∞单调递减， 因为0(1,1)x a ∈+，所以0()(1)g x g a >+，即0011ln ln(1)1x a x a->-+-， 故对任意1x >，1()f x a>.四、选做题（二选一）22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程22cos sin 2x y αα⎧=⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()04a πρθ++=.（1）求曲线C 极坐标方程及直线l 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且4AOB π∠=，求a .答案： 见解析 解析：（1）因为曲线C 的参数方程为22cos sin 2x y αα⎧=⎨=⎩（α为参数）所以1cos 2sin 2x y αα-=⎧⎨=⎩，所以曲线C 的普通方程为22(1)1x y -+=，所以曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.因为直线l 的极坐标方程为cos()04a πρθ++=，所以cos sin 0ρθρθ-+=，即直线l的直角坐标方程为0x y -+=.（2）方法一：设曲线C 的圆心为(1,0)C ，因为点O 在圆上，且4AOB π∠=，所以2ACB π∠=，则点(1,0)C 到直线l的距离为2，所以2d ==，则0a =或a =当0a =时，直线l 过原点O ，不符合题意；所以a =方法二：设10(,)A ρθ，20(,)4B πρθ+，所以102cos ρθ=，202cos()4πρθ=+，又因为点A ，B 在直线l 上，所以10cos()04a πρθ++=，20cos()02a πρθ++=， 则00002cos cos()2cos()cos()442πππθθθθ+=++，则04πθ=或034πθ=，则0a =或a = 当0a =时，直线l 过原点O ，不符合题意；所以a =23.已知函数|1|()2x f x -=（1）求不等式()4xf x ≤的解集； （2）求()(4)y f x f x =++的最小值. 答案： 见解析 解析：（1）因为1()2x f x -=，所以124x x -≤，则12x x -≤，①112x x x ≥⎧⎨-≤⎩，解得1x ≥，②112x x x<⎧⎨-≤⎩，解得113x ≤<，所以不等式的解集为1[,)3+∞；（2）13()(4)22x x y f x f x -+=++=+≥8==.当且仅当1x =-时，()(4)y f x f x =++取得最小值8.。

南昌市第二次模拟测试卷理科数学本试卷共4页，23小题，满分150分。

考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．3．非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效． 4．考生必须保证答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数12121,,z z i z z z ===⋅，则||z 等于（ ）A ．2B ．4CD ．2．集合{|},{}A y y x N B x N N ==∈=∈，则A B ⋂=（ ）A ．{0,2}B ．{0,1,2}C ．2}D ．∅3．已知,,a b c 是三条不重合的直线，平面,αβ相交于直线c ，,a b αβ⊂⊂，则“,a b 相交”是“,a c 相交”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知1,1()ln ,1x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，则不等式()1f x >的解集是（ ）A ．(1,)eB ．(2,)+∞C ．(2, )eD ．(,)e +∞5．已知ABC V 中角, , A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,sin 2cos 2a c A C ==，则角A 等于（ ）A ．6π B ．2π C ．23π D ．56π6．已知,a b r r 为不共线的两个单位向量，且a r 在b r上的投影为12-，则|2|a b -=r r （ ）A ．3B ．5C ．6D ．7 7．函数ln ()xx xf x e =的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ．8．直线2sin 0x y θ⋅+=被圆222520x y y +-+=截得最大弦长为（ ）A ．25B ．23C ．3D ．229．函数()sin()(0)f x A x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则(0)f =（ ）A ．6B ．3C ．2-D ．6 10．春秋以前中国已有“抱瓮而出灌”的原始提灌方式，使用提水吊杆——桔槔，后发展成辘轳．19世纪末，由于电动机的发明，离心泵得到了广泛应用，为发展机械提水灌溉提供了条件．图形所示为灌溉抽水管道在等高图的上垂直投影，在A 处测得B 处的仰角为37度，在A 处测得C 处的仰角为45度，在B 处测得C 处的仰角为53度，A 点所在等高线值为20米，若BC 管道长为50米，则B 点所在等高线值为（参考数据3sin 375︒=）A ．30米B ．50米C ．60米D ．70米11．已知F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，直线3y x =交双曲线于A ，B 两点，若23AFB π∠=，则双曲线的离心率为（ ） A 5 B 6 C 102+ D 52+ 12．已知函数3()sin cos (0)4f x x x a x a π⎛⎫=+--> ⎪⎝⎭有且只有三个零点()123123,,x x x x x x <<，则()32tan x x -属于（ ）A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．3,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若变量x ，y 满足约束条件||1310y x x y ≥-⎧⎨-+≥⎩，则目标函数z x y =+的最小值为______________．14．已知梯形ABCD 中，//,3,4,60,45AD BC AD AB ABC ACB ︒︒==∠=∠=，则DC =_____________．15．已知6270127(1)(21)x x a a x a x a x --=++++L ，则2a 等于_______________．16．已知正四棱椎P ABCD -中，PAC V 是边长为3的等边三角形，点M 是PAC V 的重心，过点M 作与平面P AC 垂直的平面α，平面α与截面P AC 交线段的长度为2，则平面α与正四棱椎P ABCD -表面交线所围成的封闭图形的面积可能为______________．（请将可能的结果序号．．填到横线上） ①2； ②22 ③3； ④3三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

— 高三理科数学参考答案（模拟二）第1页(共6页) —理科数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一13．0.614．215．1216．17[,1212三．解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 第17题-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、23题为选考题，考生根据要求作答． 17．【解析】（1）将图象平移至A 与原点O 重合，则3(0,0),(,1),(,1)44T TA B C ，所以3(,1),(,1)44T TA B A C ，所以23116T AB AC A B A C，…………………… 4分所以231216T ，解得4T ，故2π4 ，解得π2.…………………… 6分（2）因为42π1π(2)(sin(π)sin()sin cos sin(33223f f，所以πsin()32，即πsin(32 ， …………………… 9分所以ππ2π33k 或π2π2π()33k k Z ，即2πk 或π2π()3k k Z ，…………………… 11分 又π02 ，所以π3 .…………………… 12分18．【解析】（1）如图，取AB 的中点F ， 连接,,DB EF DF ，因为底面ABCD 是边长为4的菱形，π3DAB ，所以DF AB ，…………………… 因为CD DE ，所以AB DE ，因为DF DE D ，所以AB 平面DEF ，所以AB EF ， (4)— 高三理科数学参考答案（模拟二）第2页(共6页) —B在PAB 中，如图，因为4AB ， 所以3PE； …………………… 6分（2）因为平面PAB 平面ABCD ，DF AB ，所以DF如图，以FE 为x 轴，以FA 为y 轴，以FD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则(,0,0)3E，D ，(0,4,C则(PC ，(0,4,0)CD ，设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z，则00PC nCD n，所以3040y y ， 令2x ，得(2,0,1)n， …………………… 因为(3DE ， ……………………所以cos ,10||||n DE n DE n DE，所以直线DE 与平面CDP 所成角的正弦值10. …………………… 12分19. 【解析】（1）由已知，3x ，所以21(10nii x x，因此，如果选择模型y a bx ， 则相关系数1r， …………………… 2分如果选择模型ln y a b x，即y a bu ， 则相关系数2r， (4)分因为2220.9 ，2232.56 ， 所以120r r ，故选择ln y a b x 更适宜作为y 关于x 的回归模型. ……… 6分（2）因为514.79ii u，5162i i y ，所以 4.79620.958,12.455u y， …………………… 8分— 高三理科数学参考答案（模拟二）第3页(共6页) —121()()19.38121.615(niii nii u u y y b u u， …………………… 10分 所以12.4120.9580.904a y bu，所以y 关于x 的回归方程为0.90412ln y x . …………………… 12分 20. 【解析】（1）因为直线2A B 的斜率为12，所以12b a ， 焦距2c ，因此223a b ， …………………… 2分解得2,1a b ，所以椭圆C 的方程是2214x y ； …………………… 4分（2）因为2(2,0)A ，所以直线2l 的方程为1(2)()2y k x k联立22(2)14y k x x y ，整理得2222(41)16k x k x 则2216241Q k x k ，故228241Qk x k ， 则24241Q Q k y k x k ．所以222824(4141k kQ k k ，．又直线1A B 的方程为112y x ．联立 1122y x y k x，解得424(2121k k P k k ，． …………………… 9分 122||||||||11Q P Q P Q Q Q Qy y y y y S QR QP S QB QA y y y 22228(21)2(21)1681(21)(82)21824k k k k k k k k k k ， 因为12k ，所以2211,044k k，所以12(2,)S S . …………………… 12分21.【解析】（1）当1,2a k 时，此时1()2ln f x x x x，则2211(21)(1)()2x x f x x x x， ………………………… 2分— 高三理科数学参考答案（模拟二）第4页(共6页) —当01x 时，()0f x ，则()f x 在(0,1)单调递增； 当1x 时，()0f x ，则()f x 在 1, 单调递减；所以()f x 的极大值为(1)3f ，无极小值. ………………………… 5分 （2）不妨设12x x ，因为12()()f x f x ， 则11221211ln ln kx a x kx a x x x12112122ln ()x x x a k x x x x x ，所以121212ln 1xx a k x x x x ， …………………… 7分由21()a f x k x x ，则122212121111()()()2f x f x a k x x x x ， 12122212121212ln 11111()()()2()x x f x f x a a x x x x x x x x即12122212121212ln 11211()()(2x x f x f x a x x x x x x x x 所以2221212112221212122()1()()(2ln )x x x x x f x f x a x x x x x x x 即21212112221212212()1()()(2ln x x x x x f x f x a x x x x x x x ， …………………… 10分 设12(1,)x t x ，构造函数1()2ln (1)t t t t t ， 则2221221()10t t t t t t， 所以()t 在(1,) 上为增函数， 所以()(1)0t ，因为212221212()10,0x x x x x x ，0a ， 所以12()()0f x f x . …………………………………… 12分 22. 【解析】（1）由题意，点P的极坐标为3π)4， …………………… 2分 因为分界线1C 的圆心在y 轴上，且直径为4，则其直角坐标方程为22(2)4x y ，即2240x y y (0)x ， 可得其极坐标方程为24sin 0 (π02)，— 高三理科数学参考答案（模拟二）第5页(共6页) —即4sin (π02). …………………… 5分 （2）由太极图的对称性可知，M ，N 两点关于极点对称，所以122||||sin 2PMN OPM S S OP OM POM ,设直线l 的极坐标方程为 （π02），则(4sin ,)M ，3π4POM ，所以13224sin sin(π)24PMN OPM S Scos sin )224sin 24(1cos 2)π44， …………………… 8分因为π02，则ππ3π2444 ，所以当ππ242 ，即3π8时，PMN面积的最大值为4 . ……………… 10分23. 【解析】（1）3,1,()|1||22|31,11,3,1,x x f x x x x x x x………………… 3分其图象如下图所示：………………… 5分（2）由（1）知函数()f x 与x 轴的交点为1(,0)3和(3,0)， 结合函数()f x 和()g x 的图象可以知道，当3a 时，只需133b ， 则()()f x g x 在R 上恒成立，— 高三理科数学参考答案（模拟二）第6页(共6页) —此时110333b a ， …………………… 7分 当31a 时，过点(1,4) 且斜率为a 的直线方程为4y ax a ，令0y ，则41x a，要()()f x g x 在R 上恒成立，则413b a，此时441113b a a a a a ，当且仅当2a 时等号成立.综上：b a 的最小值为3. …………………… 10分。

2024届江西省南昌市第二中学高三高考冲刺模考二数学试卷一、单选题(★★) 1. 已知集合，，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．(★★) 2. 已知复数z满足，则=（）A．2B．4C．D．(★★) 3. 在等比数列中，，则（）A．-4B．8C．-16D．16(★★) 4. 的展开式中的系数为，则（）A．2B．C．4D．(★★) 5. 已知圆锥的轴截面是等边三角形，则其外接球与内切球的表面积之比为（）A．B．C．D．(★★★) 6. 甲、乙、丙等5名同学参加政史地三科知识竞赛，每人随机选择一科参加竞赛，则甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，且这三科竞赛都有人参加的概率为（）A．B．C．D．(★★★) 7. 函数的图象经过点，则关于的不等式解集为（）A．B．C．D．(★★★★) 8. 已知点为拋物线的焦点，过点作两条互相垂直的直线，直线与交于两点，直线与交于两点，则的最小值为（）A．32B．48C．64D．72二、多选题(★★★) 9. 已知一组样本数据、、、均为正数，且，若由生成一组新的数据、、、，则这组新数据与原数据的（）可能相等A．极差B．平均数C．中位数D．标准差(★★★) 10. 在平面直角坐标系中，已知圆的动弦，圆，则下列选项正确的是（）A．当圆和圆存在公共点时，则实数的取值范围为B．的面积最大值为1C．若原点始终在动弦上，则不是定值D．若动点满足四边形为矩形，则点的轨迹长度为(★★★★) 11. 已知函数，下列选项正确的是（）A．为偶函数B．的图象关于直线对称C．的值域是D．在区间上的零点个数为4三、填空题(★) 12. 某公司为了了解某商品的月销售量（单位：万件）与月销售单价（单位：元/件）之间的关系，随机统计了个月的销售量与销售单价，并制作了如下对照表：月销售单价10（元/件）月销售量11（万件）由表中数据可得回归方程中，则 ______ .(★★) 13. 已知，若，则的取值为______ .(★★★) 14. 如图所示，四边形是边长为4的正方形，分别为线段上异于点的动点，且满足，点为的中点，将点沿折至点处，使⊥平面，则五棱锥体积的最大值为______ .四、解答题(★★) 15. 在中，角的对边分别为，满足.(1)求角的大小；(2)若的面积为，求的最小值.(★★★) 16. 已知点在抛物线上，也在斜率为1的直线上.(1)求抛物线和直线的方程；(2)若点在抛物线上，且关于直线对称，求直线的方程.(★★★) 17. 如图，在平行六面体中，，.(1)求证：四边形为正方形；(2)求体对角线的长度；(3)求异面直线与所成角的余弦值.(★★★★) 18. 南昌二中一直有个优秀的传统“毕业学习经验分享会”：每届高考结束后，各班推荐优秀学生代表与下一届学生进行学习经验分享.2024届高三年级班号依次为0，1，2，…，27，高三0班推荐2名男生和2名女生，其余各班均推荐1名男生和1名女生参加分享会；第一场分享会的4名学生嘉宾是从高三0班的优秀学生代表中选出的2名和高三1班的2名优秀学生代表共同形成，第二场分享会的4名学生嘉宾是从上一场4名嘉宾中选出的2名和高三2班的2名优秀学生代表共同形成，…，按照这样的方式，依次进行到第二十七场分享会.(1)求在第一场分享会学生嘉宾中有2名男生的概率；(2)求在第二场分享会学生嘉宾中有2名男生的概率；(3)记在第二十七场分享会学生嘉宾中男生人数为，求的分布列和期望.(★★★★) 19. 微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段.对于函数在区间上的图像连续不断，从几何上看，定积分便是由直线和曲线所围成的区域（称为曲边梯形ABQP）的面积，根据微积分基本定理可得，因为曲边梯形ABQP的面积小于梯形ABQP的面积，即，代入数据，进一步可以推导出不等式：，用同样的方式也可以推导不等式.已知函数，其中.(1)请参考上述材料证明：函数图象上的任意两点切线均不重合；(2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围.。

2010—2011学年度南昌市高三第二次模拟测试卷数 学（理）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至4页，共150分．第I 卷考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．第I 卷每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回． 参考公式：样本数据12,,,n x x x 的标准差锥体体积公式公式s =13V Sh =其中x 为样本平均数其中S 为底面积，h 为高柱体体积公式 球的表面积，体积公式V Sh =24πS R =，34π3V R =其中S 为底面积，h 为高 其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,3,5}A =,集合{3,4}B =，则()UC A B =A ．{}4 B ．{3,4} C ．{2,3,4} D ．{3}2．若复数(1-i )(a +i )是实数(i 是虚数单位)，则实数a 的值为 A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 3．1-=m 是直线01)12(=+-+y m m x 和直线033=++m y x 垂直的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．一个几何体的三视图如右图所示，这个几何体的体积是A ．253πB ．343πC ．1633π+D ．16123π+5．定义行列式运算：,32414321a a a a a a a a -=将函数c o s () sin x f x x=的图象向左平移m 个单位(0)m >，若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是( )A ．8πB ．3πC ．π65D ．32π6．现有四所大学进行自主招生，同时向一所高中的已获省级竞赛一等将的甲、乙、丙、丁四位学生发出录取通知书，若这四名学生都愿意进这四所大学的任一所就读，则仅有两名学生被录取到同一所大学的就读方式有 A ．288种 B ．144种 C ．108种 D ．72种7．已知函数xx f x 2log )31()(-=，正实数a 、b 、c 成公差为正数的等差数列且满足0)()()(<⋅⋅c f b f a f ，若实数0x 是方程0)(=x f 的一个解，那么下列不等式中不可能成立的是 A ．a x <0B ．b x >0 C ．c x <0D ．c x >08．已知抛物线2y ＝2px （p>1）的焦点F 恰为双曲线2221x a b 2y －＝（a>0,b>0）的右焦点，且两曲线的交点连线过点F ，则双曲线的离心率为AB＋1 C ．2 D ．29．如图正四棱锥S ABCD -的底面边长为8SE =，点F 在高SE 上，且SF x =，记过点,,,,A B C D F 的球的半径为()R x ，则函数()R x 的大致图像是10．已知函数21(0)()(1)1(0)x x f x f x x ⎧-≤=⎨-+>⎩，把函数()()g x f x x =-的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为A ．*(1)()2n n n a n N -=∈B ．*1()n a n n N =-∈C ．*(1)()n a n n n N =-∈ D ．*22()n n a n N =-∈二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．已知向量,a b 满足||||1,||1a b a b ==-=，则||a b +=_________.12．在程序框图(见右图)中输入611π=a 、35π=b ，则输出=c ___.13．（理科）随机地向区域内2040y x y x ⎧≤≤⎪≥⎨⎪≥⎩内投点，点落在区域的每个位置是等可能的，则坐标原点与该点连线的倾斜角小于3π的概率为_____.14．设M 1(0，0)，M 2(1，0)，以M 1为圆心，| M 1 M 2 | 为半径作圆交x 轴于点M 3 (不同于M 2)，记作⊙M 1；以M 2为圆心，| M 2 M 3 | 为半径作圆交x 轴于点M 4 (不同于M 3)，记作⊙M 2；……；以M n 为圆心，| M n M n +1 | 为半径作圆交x 轴于点M n +2 (不同于M n +1)，记作⊙M n ；……当n ∈N *时，过原点作倾斜角为30°的直线与⊙M n 交于A n ，B n ． 考察下列论断：当n ＝1时，| A 1B 1 |＝2；当n ＝2时，| A 2B 2 |；当n ＝3时，| A 3B 3 |＝；当n＝4时，| A4B4 |＝3；……由以上论断推测一个一般的结论：对于n∈N*，| A n B n |＝．三．选作题：本大题共2小题，任选一题作答. 若做两题，则按所做的第①题给分，共5分．15．①在极坐标系中，点A的极坐标是()1,π，点P是曲线:2sinCρθ=上的动点，则PA的最最大值是__________.②不等式1211x x-++>的解集是___________.四．解答题：本大题共6小题，共75分。

参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．小题,13．0.79（或79%） 14. 1 15. 100π 16.12三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.17．【解析】（Ⅰ）由34552,,22a a a 成等差数列得：435522a a a =+， 设{}n a 的公比为q ，则22520q q -+=，解得2q =或12q =（舍去），3分所以515(12)3112a S -==-，解得11a =， 所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=. 6分（Ⅱ）由2135(21)100n n ++++-==得10n =，所以所求数列的前100项和100123103519T a a a a =++++，8分即2910013252192T =+⨯+⨯++⨯，所以239101002123252172192T =⨯+⨯+⨯++⨯+⨯，两式相减得：23910100122222222192T -=+⨯+⨯+⨯++⨯-⨯所以1023410101010012(22222)192121921,12T --=+++++-⨯-=⨯-⨯--所以101001723(17411).T =⨯+=12分18．【解析】（Ⅰ）因为平面//CEF 平面PAD ，平面CEF 平面ABCD CE =，平面PAD平面ABCD AD =，所以//CE AD ，又因为//AB DC ，所以四边形AECD 是平行四边形， 所以12DC AE AB ==，即点E 是AB 的中点， 3分因为平面//CEF 平面PAD ，平面CEF平面PAB EF =，平面所以//EF PA ，点E 是AB 的中点，所以点F 是PB 的中点， 综上，,E F 分别是,AB PB 的中点. 6分（Ⅱ）因为,PA PB AE EB ==，所以PE ⊥AB ， 又因为平面PAB ⊥平面ABCD ，所以PE ⊥平面ABCD ， 又AB AD ⊥，所以CE AB ⊥.如图以点E 为坐标原点，,,EC EB EP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则(0,2,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,0,0)B C D E -，由中点公式得到(0,1,1)F ， 设平面CEF ，平面DEF 的法向量分别为111222(,,),(,,)m x y z n x y z ==， 由,m EC m EF ⊥⊥得：1111112000,00x y z x y z +⋅+⋅=⎧⎨⋅++=⎩，令11y =，得(0,1,1)m =-，8分由,n ED n EF ⊥⊥得：2222222200,00x y z x y z -+⋅=⎧⎨⋅++=⎩，令21y =，得(1,1,1)n =-10分所以cos ,m n <>== 综上，二面角D EF C --12分.2分所以选手的均分及最终排名表如下：4分（Ⅱ）对4号评委分析：排名偏差平方和为：2222222222102112210117.+++++++++= 6分对5号评委分析：排名偏差平方和为：2222222222215111301043+++++++++=， 8分由于1743<，所以评委4更准确.（Ⅲ）10位选手中，评委4比评委5评分偏差小的有5位，X 可能取值有0,1,2,3.所以353101(0)12C P X C ===，12553105(1)12C C P X C ===，21553105(2)12C C P X C ===，35361(3)12C P X C ===，10分所以X 的分布列为：所以数学期望0123121212122EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．12分20．【解析】（Ⅰ）由已知34AC BC k k ⋅=-34=-， 所以223424x y +=，又三点构成三角形，得0y ≠所以点C 的轨迹E 的方程为221(0)86x y y +=≠. （缺定义扣1分）5分（Ⅱ）设点P 的坐标为(0,)t ，当直线MN 斜率不存在时，可得,M N分别是短轴的两端点，得到t =，6分当直线MN 斜率不存在时，设直线MN 的方程为y kx t =+，1122(,),(,)M x y N x y ， 则由2MP PN =得122x x =-①，联立22186y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(34)84240k x ktx t +++-=，由0∆>得2222644(34)(424)0k t k t -+->，整理得2286t k <+.由韦达定理得21212228424,3434kt t x x x x k k -+=-=++，②9分由①②，消去12,x x 得2226128t k t -+=-， 由2222260128686128t t t t t ⎧-+≥⎪⎪-⎨-+⎪<⋅+⎪-⎩，解得2263t <<，10分又因为M为长轴端点(-时，可求得N点，此时t =， 综上，2223t ≤<或226t <<，又因为以AP 为直径的圆面积284t S π+=⋅，所以S 的取值范围是13557[,)(,)6222ππππ． （缺区间断点扣1分）12分21．【解析】（Ⅰ）解法1：记()F x ()()2l n (2)f x g x x x a x a=-=+-+，则()2l n 4F x x a '=+-，当4a ≤时，因为1x >，()0F x '>，函数()F x 单调递增，()(1)2F x F >=， 函数()y F x =无零点，即函数()f x 与()g x 的图像无交点； 3分当4a >时，22()0e(1)aF x x -'=⇒=>，且221ea x -<<时，()0F x '<，22ea x ->时，()0F x '>，所以，22min ()(e )a F x F -=，函数()f x 与()g x 的图像有且只有一个交点，得22(e)0a F -=，化简得：222e 0a a --=，4分记22()2ea h a a -=-，22()1e0a h a -'=-<，所以()h a 在(4,)a ∈+∞上单调递减，又(6)62e>0h =-，32(7)72e 772 4.480h =-=-≈-⨯<， 所以(6,7)a ∈，即6n =. 6分解法2：因为()2ln 2f x x x x =+，所以()2ln 4f x x '=+， 当1x >时，()0f x '>恒成立，所以()f x 在(1,)+∞上单调递增.由图像可知，若函数()f x 与()g x 的图像有且只有一个交点，则()f x 在点00(,())x f x 处的切线即为()g x 的图像. 所以00()2ln 4a f x x '==+.2分因为()f x 在点00(,())x f x 处的切线方程为000002ln 2(2ln 4)()y x x x x x x --=+-， 且切线过点(1,0)，所以000002ln 2(2ln 4)(1)x x x x x --=+-，即00ln 2x x +=，4分 令()ln 2,1h x x x x =-+>，则11()10xh x x x-'=-=<， 所以()h x 在(1,)+∞上单调递减，因为(3)ln 310h =->，(4)ln 420h =-<， 所以0(3,4)x ∈，所以02ln 4(6,7).a x =+∈ 所以6n =. 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：当3x >时，()()(1)6(1)≥=->-f x g x a x x ，只要证明：3x >时，4(3)6(1)eln(2)x x x -->-即e 2(3)ln(2)03(1)x x x --->-， 8分记2(3)()eln(2)3(1)x G x x x -=---，则222e 43e (6e+4)3e 8()23(1)3(2)(1)x x G x x x x x -++'=-=----， 10分记2()3e (6e+4)3e 8x x x φ=-++，图像为开口向上的抛物线，对称轴为21(3)3ex =+<，且(3)12e 4>0φ=-，所以当3x >时，()0x φ>，即()0G x '>， 所以()G x 在区间(3,)+∞上单调递增，从而()(3)0G x G >=，即e 2(3)ln(2)03(1)x x x --->-成立，所以4(3)()eln(2)x f x x ->-成立．12分22．【解析】（Ⅰ）曲线1C 的极坐标方程可以化为：24sin 0ρρθ-=， 所以曲线1C 的直角坐标方程为：2240x y y +-=， 2分曲线2C的极坐标方程可以化为：1sin cos 222ρθρθ⋅+⋅=， 所以曲线2C的直角坐标方程为：40x +-=； 5分（Ⅱ）因为点E 的坐标为(4,0)，2C 的倾斜角为6π5， 所以2C的参数方程为：412x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 将2C 的参数方程代入曲线1C的直角坐标方程得到：22(4)2024t t -+-=，整理得：22)160t t -+=，判别式0>△，中点对应的参数为1，所以线段AB 中点到E点距离为1． 10分23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()||f x x a a =--+，()|21||24|g x x x =-++． （Ⅰ）解不等式()6g x <；（Ⅱ）若对任意的1R x ∈，存在2R x ∈,使得12()()g x f x -=成立, 求实数a 的取值范围． 【解析】（Ⅰ）由|21||24|6x x -++<- 11 - ①当2x ≤-时，21246x x -+--<，得94x >-,即924x -<≤-； ②当122x -<<时，21246x x -+++<，得56<,即122x -<<； ③当12x ≥时，21246x x -++<，得34x <,即1324x ≤<； 综上，不等式()6g x <解集是93()44-，.5分（Ⅱ）对任意的1R x ∈，存在2R x ∈,使得12()()g x f x -=成立，即()f x 的值域包含()g x -的值域，由()||f x x a a =--+，知()(,]f x a ∈-∞， 由()|21||24||(21)(24)|5g x x x x x =-++≥--+=，且等号能成立，所以()(,5]g x -∈-∞- 所以5a ≥-，即a 的取值范围为[5,)-+∞． 10分。

2021届江西省南昌市高三二模数学（理）试题一、单选题1．复数z 对应复平面上的点12Z ⎛ ⎝⎭，则2z 在复平面上对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B【分析】首先根据复数的几何意义表示出复数z ，再根据复数的乘方运算求出2z 即可得到其坐标，即可判断；【详解】解：因为复数z 对应复平面上的点122Z ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以12z =+，所以221122z ⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，在复平面内对应的点的坐标为12⎛- ⎝⎭位于第二象限. 故选：B. 2．已知集合()()(){},1210A x y x y x y =++-+=，则集合A 中元素个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个【答案】D【分析】根据集合A 是由两条直线上的所有点组成的集合可得答案.【详解】因为()()1210x y x y ++-+=等价于10x y ++=或210x y -+=， 所以集合A 是直线10x y ++=和直线210x y -+=上的所有点组成的集合， 所以集合A 中的元素个数有无数个. 故选：D3．从编号依次为01，02，…，20的20人中选取5人，现从随机数表的第一行第3列和第4列数字开始，由左向右依次选取两个数字，则第五个编号为（ ）A ．09B ．02C ．15D ．18【答案】A【分析】从随机数表的第一行第3列和第4列数字开始，依次读取，舍去不在范围内的和重复的数字，可得答案．【详解】从随机数表的第一行第3列和第4列数字开始，依次读取08，33（舍），95（舍），55（舍），02，62（舍），15，27（舍），02（舍），43（舍），69（舍），32（舍），18，18（舍），26（舍），09 则第五个编号为09 故选：A4．心脏每跳动一次，就完成一次收缩和舒张.心脏跳动时，血压在增大或缩小，并呈周期性变化，血压的最大值和最小值分别称为收缩压和舒张压.某人的血压满足函数()11025sin(150)p t t π=+，其中()p t 为血压(单位：mmHg )，t 为时间(单位：min )，则相邻的收缩压和舒张压的时间间隔是（ ） A ．1150B ．1110C ．170D ．175【答案】A【分析】相邻血压的最大值与最小值之间的间隔，由三角函数性质易知为半个周期，求得血压函数的周期即可求得.【详解】由题知，血压的最大值与最小值分别为收缩压和舒张压，又血压函数为正弦三角函数，则相邻的收缩压和舒张压即血压函数的半个周期， 则2115075T ππ==，时间间隔为112150T =. 故选：A.5．已知等比数列{}n a 中，142524a a a a +=+=，，则数列{}n a 的前6项和6S =（ ）A ．12B ．14C ．16D ．18【答案】B【分析】首先根据条件先求公比，再求首项，代入公式求6S .【详解】25142a a q a a +==+，31411192a a a a q a ∴+=+==，129a ∴=，()6621291412S -∴==-.故选：B.6．如图，正四棱锥P ABCD -的高为12，62AB =，E ，F 分别为PA ，PC 的中点，过点B ，E ，F 的截面交PD 于点M ，截面EBFM 将四棱锥分成上下两个部分，规定BD 为主视图方向，则几何体CDAB FME -的俯视图为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据主视图所给方向即可知俯视图中底面正方形，计算可知M 点投影位置，即可得出答案.【详解】研究平面DPB ，设AC 与BD 的交点为O ，BM 与EF 交点为N ,,E F 为,PA PC 的中点，N ∴为PO 的中点，12PO =，6ON OB ∴==，又因为12tan 26PO PDB OD ∠===, 过点M 作MG DB ⊥， 设GB x =，45NBO ∠=︒，GB MG x ∴==，又12DB =，12DG x ∴=-，tan 212xPDB x∠==-,8x GB ∴==,DG ∴为4个格，GB 为8个格，故选：C【点睛】关键点点睛：研究并计算平面PDB ,确定点M 在底面上的投影G 的位置，是解题的关键，属于中档题.7．已知F 是抛物线24y x =的焦点，P 是抛物线上的一个动点，()3,1A ，则APF 周长的最小值为（ ） A ．225+B ．45 C ．35 D ．65【答案】B【分析】根据抛物线的定义，结合两点间距离公式进行求解即可.【详解】抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，准线l 的方程为1x =-，过P 做PQ l ⊥，垂足为Q ，设APF 周长为c ，22(31)15c PA PF AF PA PF PA PF =++=+-+=+知：PF PQ =，因此5c PQ AP =++,,P A Q 在同一条直线上时，c 有最小值，即PA l ⊥时，min 3(1)545c =--=故选：B8．已知2(0,1)()log ,[1,2)a ax x f x x x ⎧∈=⎨∈⎩，，若()2af x =有两解，则a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(1,2]D ．(1,2)【答案】D【分析】首先求解()0,1x ∈时的实数根，再根据函数图象，判断[)1,2x ∈时，方程有一个解时，a 的取值范围.【详解】由条件可知0a >且1a ≠，当()0,1x ∈时，22a ax =，解得：22x =，成立，当[)1,2x ∈时，若01a <<，log0ax <，02a >，log 2a a x ≠， ∴log 2a ax =有解，则1a >， 如图，当log 22a a >时，有交点，a 越大，log 2a 越小，2a 越大，当2a =时，log 22a a=， ()1,2a ∴∈故选：D【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数，以及根据方程实数根的个数，求参数的取值范围，本题的关键是数形结合分析，当[)1,2x ∈时，log2aax =有解，求参数的取值范围.9．已知2()1x f x e =+，则“120x x +=”是“()()122f x f x +=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】利用等价转化的方式探讨“120x x +=”与“()()122f x f x +=”的关系而得解. 【详解】因为2()1x f x e =+， 所以()()()()111221121122011x x x x x x f x f x f x f x e e -+=⇔=-⇔+=+-=+++ 111111112(1)2(1)2(2)2(1)(1)2x x x x x x x x e e e e e e e e ----+++++===++++，从而有“120x x +=”是“()()122f x f x +=”充要条件. 故选：C.10．将双曲线绕其对称中心旋转，会得到我们熟悉的函数图象，例如将双曲线22122x y -=的图象绕原点逆时针旋转45︒后，能得到反比例函数1y x =的图象（其渐近线分别为x 轴和y 轴）；同样的，如图所示，常见的“对勾函数”()0,0ny mx m n x=+>>也能由双曲线的图象绕原点旋转得到（其渐近线分别为y mx =和y 轴）．设3m =，3n =，则此“对勾函数”所对应的双曲线的实轴长为（ ）A ．3B ．4C ．26D ．7【答案】C【分析】求出旋转后实轴所在直线方程，求出双曲线的两个顶点坐标，再由两点间的距离公式可得解.【详解】旋转后两条渐近线分别为3y =和0x =，夹角为60， 旋转前后两条渐近线的夹角不变，实轴所在直线是两条渐近线所夹角的平分线， 所以旋转后，双曲线的实轴所在直线的倾斜角为6033y x =，联立333y x y x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，解得6322x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩6322x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以旋转后的双曲线的两个顶点为6322或632(2-， 22663232()()262222+++=故选：C11．四面体ABCD 中，90,4,2ABC BCD AD BC ∠=∠=︒==，且AB 与CD 所成角为60︒，则该四面体的外接球表面积为（ ） A ．10π B ．16πC ．18πD ．20π【答案】D【分析】把四面体放入符合条件的长方体中，四面体外接球即长方体外接球，从而求得半径，求出表面积.【详解】如图所示，把四面体放入符合条件的长方体中，在Rt AED △中，2ED BC ==，4=AD ，则224223AE =-=又AB 与CD 夹角为60，则60ABE ∠=，在Rt ABE △中，2tan 60AEBE ==，则四面体ABCD 的外接球即为长方体的外接球，则外接球半径为()222112322522AC =++=故外接球表面积为24520ππ=故答案为：D.【点睛】方法点睛：将四面体外接球转化为长方体外接球，从而求得半径. 12．已知直线0:1,:1176862n x y x yl l a a n a n a+=+=++----(a 为常数，1,2,3n =，…)，点()1,n n a a +是0l 与n l 的交点，则数列{}n a 的前20项和为（ ）A ．320B ．360C ．590D ．600【答案】C【分析】联立直线方程，解出x ，y 的表达式，因交点是1(,)n n a a +，则求得的1,n n a x a y +==，从而根据数列递推关系求得参数a 的值，代入可求得数列通项公式，从而求得前20项和.【详解】联立11716862x y a a x y n a n a ⎧+=⎪⎪++⎨⎪+=⎪----⎩①②，1111()()0168762x y a n a a n a-+-=+--+--， 即()()()()6926920168762n a n ax y a n a a n a ----+=+--+--，n N +∈，则6920n a --≠，即()()()()762168a n a y xa n a +--=-+--，代入①式，得()()()()()626111168168n a x x x a a n a a n a ----=⇒=++--+--， ()()1686a n a x +--=-，则()()7626a n a y +--=， 故()()1686n a n a a +--=-，()()17626n a n a a++--=，由n a 的通项可以推出：()()11[618]6n a n a a +++--=-()()()1(62)76266a n a a n a +--+--=-=，又n N +∈，620n a --≠，则(1)74a a a -+=+⇒=-， 故32n a n =-，1321a =-=，20320258a =⨯-=， 故数列{}n a 的前20项和为20(158)5902⨯+=.故选：C.【点睛】方法点睛：联立求得交点，满足数列的递推关系，求得参数和通项公式，进而求得前20项和.二、填空题13．已知()1,2a =-，()3,1b =-，则与a b -同方向的单位向量是___________． 【答案】43,55⎛⎫-⎪⎝⎭ 【分析】求出a b -的坐标与模，进而可求得与a b -同方向的单位向量为a b a b--，即可得解.【详解】由已知条件可得()4,3a b -=-，则()45a b -=-=，所以，与a b -同方向的单位向量为43,55a ba b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭-. 故答案为：43,55⎛⎫-⎪⎝⎭. 【点睛】结论点睛：（1）与非零向量a 共线的单位向量为a a±；（2）与非零向量11,ax y 垂直的单位向量为e ⎛⎫=±. 14．某学科视导团有三名男专家和两名女专家，安排到五所学校进行教学视导，这五所学校中省级重点中学有三所，省级建设重点中学有两所，要求每所学校各派一位专家，两类学校都要有男专家，则不同的分派方案有___________种(结果用数字作答). 【答案】108【分析】先求总的分派方案再减去不符合要求的方案即可．【详解】两类学校都要有男专家，则不同的分派方案有53253212012108A A A -=-= 故答案为：10815．若函数2()1x af x x +=+在(1,)-+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为___________.【答案】(,1]-∞-【分析】函数在(1,)-+∞上单增，说明其导数在(1,)-+∞上大于等于0，恒成立，从而解得参数取值范围.【详解】22222(1)()2()(1)(1)x x x a x x af x x x +-++-'==++，(1,)x ∈-+∞()f x 在(1,)-+∞上单增，等价于2()020f x x x a '≥⇔+-≥，在(1,)-+∞上恒成立，22y x x a =+-的对称轴为1x =-，则22y x x a =+-在(1,)-+∞上单增， 则22120x x a a +-≥--≥ 即1a ≤-故答案为：(,1]-∞-【点睛】关键点点睛：函数在区间上单调递增，则其导数在去上大于等于0，恒成立.16．通过研究发现：点光源P 斜照射球，在底面上形成的投影是椭圆，且球与底面相切于椭圆的一个焦点1F (如图所示)，如图是底面边长为2､高为3的正四棱柱，一实心小球与正四棱柱的下底面及四个侧面均相切，若点光源P 位于AD 的中点处时，则在平面1111D C B A 上的投影形成的椭圆的离心率是___________.【答案】12【分析】作出光源投影后的图形，在三角形中分别解得椭圆参数a ，c ，从而求得离心率.【详解】从P 作11PM A D ⊥于M 点，在平面POM 内作球的切线PN ，交平面1111D C B A 于N 点，则在平面POM 内形成的图形如图所示：底面边长为2､高为3的正四棱柱，实心小球与正四棱柱的下底面及四个侧面均相切， 则3PM =，11OQ MF MQ ===，故2PQ =，212142tan tan 23112QPO MPN ⨯∠=⇒∠==⎛⎫- ⎪⎝⎭， 则4tan 343MN PM MPN =⋅∠=⨯=， 根据题目条件知，1F 是椭圆焦点，MN 是长轴，即24a =，11MF a c =-=，则2,1a c ==，离心率12e = 故答案为：12三、解答题17．在钝角ABC 中，A 为钝角，角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，sin cos A B =，2C B =.（1）求角C ；（2）若22c =，求ABC 的面积. 【答案】（1）4Cπ；（2）2.【分析】（1）由sin cos A B =可得,A B 关系，结合内角和为π可求得B ，由2C B =得到结果；（2）利用正弦定理可求得,a b ，利用三角形面积公式，结合二倍角公式可求得结果.【详解】（1）A 为钝角，sin cos A B =，2A B π∴=+，又2C B =，A B C π++=，22B B B ππ∴+++=，解得：8B π=，4C π∴=.（2）由（1）得：()58A B C ππ=-+=， 由正弦定理得：sin 54sin sin 8c A a C π∴==，sin 4sin sin 8c B b C π==， 15sin 8sin sin sin 8cos sin sin 2884884ABC S ab C ππππππ∴===24sin 24π==.18．如图，菱形ABCD 的边长为4，对角线交于点23E ABC π∠=，，将ADC 沿AC折起得到三棱锥D ABC -.（1）求证：平面DBE ⊥平面ABC ； （2）若CD 与平面ABC 3D BCE --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）55或31313. 【分析】（1）若要证面面垂直，只要证平面内一条直线垂直于另外一个平面即可； （2） 两种情况，1°点D 在面ABC 内的投影O 落在ABC 内，2°点D 在面ABC 内的投影H 落在ABC 外两种情况分类讨论，建立空间直角坐标系，利用平面的法向量进行求解即可.【详解】（1） （2） （1）因为折叠前BD AC ⊥，所以,AC BE AC DE ⊥⊥，因为DE BE E ⋂=，所以AC ⊥平面BDE ， 又AC ⊂平面ABC ，平面DBE ⊥平面ABC . （2）由（1）知，平面DBE ⊥平面ABC ， 过点D 作DO BE ⊥，则DO ⊥平面ABC ，1°当点D 在面ABC 内的投影O 落在ABC 内时，如图（1）， 因为24,3AB ABC π=∠=， 所以23,2CE AE DE BE ====，因为34OD DC DC ==，所以3OD = 则1BO OE ==，如图所示，建立空间直角坐标系， 则(1,0,0),3)B D ，(1,23,0),(1,0,0)C E --，则(1,23,3),(2,3,0)CD BC =-=-，设平面BCD 的法向量为1(,,)n x y z =，则230330x x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，则(3,1,1)n =，因为平面BCE 的法向量为2(0,0,1)n =，所以12125cos 5n n n n θ⋅==⋅； 2°当点D 在面ABC 内的投影H 落在ABC 外时，如图（2）， 因为面BDE ⊥面ABC ， 所以点H 在BE 的延长线上，Rt DHE △中，2,1DE DH HE ==⇒=.如图以E 为原点，,EB EC 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立空间直角坐标系， 则(2,0,0),(0,((0,0,0)B C D E -， 所以(3,0,3),(2,DB BC =-=-， 设平面DBC 的法向量为()1111,,m x y z =，由110,0mDB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得到111130,20x x ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，令10y =，有1(3,1,3)m =，而平面BCE 的一个法向量为2(0,0,1)m =，121212cos ,3m m m m m m ⋅<>===⋅所以二面角D BC E --【点睛】本题考查了空间面面垂直的在证明，考查了利用空间直角坐标系求二面角，同时考查了分类讨论思想，要求较高的计算能力，属于较难题.本题的关键有： （1）证明面面垂直，先证明线面垂直；（2）建系求二面角关键是利用方程求法向量.19．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的离心率2e =，椭圆E 与x 轴交于A ，B两点，与y 轴交于C ，D 两点，四边形ACBD 的面积为4． （1）求椭圆E 的方程；（2）若P 是椭圆E 上一点（不在坐标轴上），直线PC ，PD 分别与x 轴相交于M ，N 两点，设PC ，PD ，OP 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，过点P 的直线l 的斜率为k ，且123k k kk =，直线l 与x 轴交于点Q ，求MQ NQ -的值．【答案】（1）2214x y +=；（2）0． 【分析】（1）由离心率得32c a =，由四边形面积得24ab =，结合222a b c =-可求得,a b 得椭圆方程；（2）设()00,P x y ，不妨设()0,1C ，()0,1D -，得直线,PC PD 方程，可得,M N 点坐标，求出直线l 斜率，得直线l 方程，从而可得Q 点坐标，计算MQ NQ -即可得结论．【详解】（1）由题：32c a =，且12242a b ⋅⋅=，又222a c b -=， 所以2a =，1b =，所以椭圆的方程为2214x y +=．（2）设()00,P x y ，则220014x y +=即()220041x y =-，不妨设()0,1C ，()0,1D -，直线PC ：0011y y x x -=+， 令0y =得001x x y =-，故00,01x M y ⎛⎫ ⎪-⎝⎭；同理可求00,01x N y⎛⎫ ⎪+⎝⎭． 则200012200011114y y y k k x x x -+-=⋅==-，030y k x =，所以004x k y =-， 所以直线l 为()00004x y y x x y -=--，令0y =得220004x y x x +=，又220014x y +=， 故04x x =即04,0Q x ⎛⎫⎪⎝⎭．()()0000000002881111x MQ NQ x x y y x y y x =+-=--++--， 又220014x y +=即()220041x y =-，代入上式得，02002804x x MQ N x Q --==． 【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆标准方程，考查直线椭圆方程的应用，解题关键是设00(,)P x y ，由P 在椭圆上得()220041x y =-，解题方法是解析几何的基本方程，写出直线方程求得交点坐标，计算两点间距离，然后计算距离之差，得出结论．考查了学生的运算求解能力．20．某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同.甲每道题自己有把握独立答对的概率为12，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为p ，假设每道题答对与否互不影响. （1）当15p =时， （i ）若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率；（ii ）甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量X ，求随机变量X 的分布列和数学期望EX ；（2）乙答对每道题的概率为23(含亲友团)，现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于1536，求甲的亲友团每道题答对的概率p 的最小值.【答案】（1）（i ）56；（ii ）分布列答案见解析，数学期望：125；（2）最小值为23.【分析】（1）（i ）记事件A 为“甲答对了某道题”，事件B 为“甲确实会做”，分别求得(),()P A P AB 的概率，结合条件概率的计算公式，即可求解；（ii ）求得甲答对某道题的概率为3()5P A =，得到3~4,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，结合独立重复试验的概率计算公式和二项分布的期望公式，即可求解；（2）记事件i A 为“甲答对了i 道题”，事件i B 为“乙答对了i 道题”，求得()()()012,,P A P A B P ， 根据甲答对题数比乙多的概率列出不等式，即可求解.【详解】（1）（i ）记事件A 为“甲答对了某道题”，事件B 为“甲确实会做”，则1111(),()2252P A P AB =+⨯=，所以1()52()111()6225P AB P B A P A ===+⋅∣. （ii ）随机变量X 可取01234、、、、，甲答对某道题的概率为1113()2255P A =+⋅=，则3~4,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则4432()(0,1,2,3,4)55k kk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则随机变量X 的分布列为则()455E X =⨯=. （2）记事件i A 为“甲答对了i 道题”，事件i B 为“乙答对了i 道题”，其中甲答对某道题的概率为111(1)222p p +=+， 答错某道题的概率为111(1)(1)22p p -+=-则()()1212111(1)(1)1222P A C p p p =⋅+⋅-=-，()22211(1)(1)24P A p p ⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦， ()201139P B ⎛⎫==⎪⎝⎭，()112214339P B C =⋅⋅=，所以甲答对题数比乙多的概率为()()()()102120102120P A B A B A B P A B P A B P A B ⋃⋃=++()()22221114111151(1)(1)31072949493636p p p p p =-⋅++⋅++⋅=⋅++≥ 解得213p ≤<，即甲的亲友团助力的概率P 的最小值为23.【点睛】方法点拨：记事件i A 为“甲答对了i 道题”，事件i B 为“乙答对了i 道题”， 分别求得()1P A ，()()20,P A P B ，根据独立事件的概率计算公式，根据甲答对题数比乙多的概率，列出不等式是解答的关键.21．已知函数()()sin ln f x x x a x a R =-∈，的图象在2x π=处的切线斜率为1-.（1）求证：0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >；（2）求证：3141111sin sin sin ln 23233332n n n n ππππ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.2,()n n N ≥∈. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）对复合函数求导，在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，利用sin tan <<x x x 进行放缩或者利用辅助角公式，来证明导数恒小于0，从而求得()f x 的最小值，与0进行比较即可. （2）10,32n ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，利用11sin sin 13n n π⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭放缩，结合（1）中函数得出的结论sin ln x x x π>，进一步放缩，最后转化为对数的累加，从而证得结果. 【详解】证明：（1）()sin cos af x x x x x'=+-， 由题2112a f ππ'⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，所以a π=. 故()sin ln ,()sin cos f x x x x f x x x x xππ'=-=+-，在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，易知0sin tan x x x <<< 方法一：()sin cos sin tan cos 2sin f x x x x x x x x xxxπππ'=+-<+⋅-=-，令()2sin g x x x π=-，知()g x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增，所以()02g x g π⎛⎫<=⎪⎝⎭，也即()0f x '<， 所以()f x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，2()ln 1ln 022224f x f ππππππ⎛⎫⎛⎫>=-=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，在0,,()02x f x π⎛⎫∈> ⎪⎝⎭得证；方法二：2()sin cos cos 1cos f x x x x x x x x x xx x πππ'⎛⎫=+-<+⋅-=+- ⎪⎝⎭， 令232()1cos ,()sin h x x h x x xx ππ'=+-=-+，知()h x '在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递减，所以216()102h x h ππ''⎛⎫>=-> ⎪⎝⎭，知()h x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增， 所以4()102h x h ππ⎛⎫<=-<⎪⎝⎭，也即()0f x '<， 所以()f x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，2()ln 1ln 022224f x f ππππππ⎛⎫⎛⎫>=-=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，在0,,()02x f x π⎛⎫∈> ⎪⎝⎭得证；方法三：()sin cos )f x x x x x xxππϕ'=+-=+-，因为sin()1,()x f x xπϕ'+≤≤，设()g x xπ=，显然()g x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增，()20g x x π=<<，所以()0f x '<， 所以()f x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递减，故()ln 222f x f ππππ⎛⎫>=-⎪⎝⎭，因为1ln 22π<， 所以()ln 0222f x f ππππ⎛⎫>=->⎪⎝⎭. （2）当,2n N n ∈≥时，10,32n ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 因为1113n n π+>+，所以11sin sin 13n n π⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则1111sin sin 13n n n n n n π++⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由（1）知：0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin ln x x x π>，令111111,(2,,),sin sin 1ln 3k n n x k n n kn n n n n ππ+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+>+>+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以313414111sin ln ,sin ln ,,sin ln 232233333n n n n n ππππππ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+>+>+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 相加得3141111sin sin sin ln 23233332n n n n ππππ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【点睛】方法点睛：导数解决函数最值问题，对于复杂函数，可以利用放缩的办法求得函数值恒成立，从而证得结论.22．在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为2cos2sinxyθθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），曲线2C：xy=．以原点O为极点，x的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线1C的普通方程和曲线2C的极坐标方程；（2）曲线1C与2C交于A，B，C，D四点，求以A，B，C，D为顶点的四边形ABCD 的面积．【答案】（1）224x y+=；2sin cosρθθ=；（2）4．【分析】（1）根据曲线1C的参数方程，消去参数θ即可；将cosxρθ=，sinyρθ=代入xy=即可；（2）联立224x yxy⎧+=⎪⎨=⎪⎩，分别求得A，B，C，D的坐标，结合图象，利用曲线1C和曲线2C的对称性得到ABCD为矩形求解.【详解】（1）因为曲线1C的参数方程为2cos2sinxyθθ=⎧⎨=⎩，解得cos2sin2xyθθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去θ得曲线1C的普通方程为224x y+=．曲线2C：xy=．将cosxρθ=，sinyρθ=代入得：2sin cosρθθ=（2）由224x yxy⎧+=⎪⎨=⎪⎩解得1xy=⎧⎪⎨=⎪⎩1xy⎧=⎪⎨=⎪⎩1xy=-⎧⎪⎨=⎪⎩1xy⎧=⎪⎨=-⎪⎩不妨设(A，)B，(1,C-，()1D-，如图所示：由图可知四边形ABCD 为矩形，()231AB =，)231BC =， 所以四边形面积4S AB BC =⋅=．【点睛】关键点点睛：明确曲线1C 和曲线2C 都是中心对称，得到ABCD 为矩形是求解本题的关键.23．已知()11f x x a x b =-+++-的最小值是c ．（其中a ，b 都是0到1之间的正数）（1）求a b c ++的值；（2）证明：22424a ab bc ac +++≤．【答案】（1）2a b c ++=；（2）证明见解析．【分析】（1）利用绝对值三角不等式可得()f x 的最小值为2a b +-，结合a ，b 的范围可得结果；（2）结合（1）中的结论，将2a b c ++=进行平方，由基本不等式得222b c bc +≥，进而可得结果.【详解】（1）()()11112f x x a x b x a x b a b =-+++-≥-+-+-=+-， 因为(),0,1a b ∈，所以()2f x a b ≥--，当11a x b -≤≤-时取到最小值2a b --，所以2c a b =--即2a b c ++=；（2）因为2a b c ++=，所以()24a b c ++=，即2222224a b c ab bc ac +++++=，因为222b c bc +≥，所以2222a b c ab bc ac a bc ab bc ac+++++≥++++，2222222即22424+++≤．a ab bc ac。

江西省南昌市2023届高三二模数学（理〉试题学校姓名：班级考号：一、单选题I. 己知集合A={xlx 2-4x-5豆叶，8= {x l l og 2 x < 2｝，则A 「B =C )A .(-1,4)B.(-1,4)c.(-1,5)D.(0,4)2.己知经数z满足（z+i)i=l+z，则经数z在复平面内对应的点在（〉A.第一象111�B.第二象限c.第三象跟D.第四象限3. 己知数列｛α，，），若αI +a 2n -l =4n-6，则。

7= ()A.9B.llc.]3 D.154. 己知函数j （对＝2川，命题p ：坷，与ε（0，吟，使得f (x 1)+ ！（々）＝2，命题q: Vλ；＂,s e l －豆，Z l，当引〈与时，都有f (x 1)<f（功，则下列命题中为真命题的是（〉飞 2 2 JA.pvqB.pAq c.J)I', （「q)D.(-p )A(-q)5.己知抛物线C:/＝虹的准线为l，点M是抛物线上一点，若因M过点A (3,0）且与直线l相切，则因M与y轴相交所得弦长是（A. 2,J2B . 2../3c.4D .2./56.如图，A,B, C 是正方体的顶点，AB=2，点P 在正方体的表丽上运动，若三棱锥P-ABC 的主视剧、左视国的面积都是1，俯视剧的面积为2则PA 的取值范围为（〉,1/1A .[J ,./5]8.［..／言，3]c .[2,./5]D.(1,3)7.己知单位向盘。

，b 满足la+bl+2a·h=O ，则d,b 的夹角为〈〉A.旦6B.主3h －3CD.5π68.己知a=log 4 l .25,b = log 5 I .2,c = log, 8，则（〉A.c>a>b B.c>b ＞αc.α＞b>cD.a>c>b9己知数列（。

”｝的通项公式为a ,,=2时，保持数列｛饵，｝中各项顺序不变，对任意的ke 尺，在数列（。

2021届高三数学第二次模拟测试试题理〔二模，扫描版〕本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

2021—2021学年度高三第二次模拟测试卷数学(理科)参考答案及评分HY一、选择题〔本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分〕题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案AABACBDACD二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5，一共20分〕 11. 3； 12.29； 13. 4 14. 222sin 2sin 2sin 22sin 2sin 2cos 2A B C B C A =++ 三、选做题〔此题一共5分〕15.①②{|1x x ≤-或者2}x ≥ 四、解答题〔本大题一一共6小题，一共75分〕16.解：〔1〕由题意可知，第3组的人数为0.0651000300⨯⨯=，第4组的人数为0.0451000200⨯⨯=，第5组的人数为0.025*******⨯⨯=。

…………………3分所以利用分层抽样在600名志愿者中抽取12名志愿者，每组抽取的人数为： 第3组123006600⨯=，第4组122004600⨯=，第5组121002600⨯=……………6分 〔2〕ξ的所有可能取值为0,1,2,3，03663121(0)11C C P C ξ===，12663129(1)22C C P C ξ===，21663129(2)22C C P C ξ===，363121(3)11C P C ξ===，……………………………………………………………………10分所以，ξ的分布列为：ξ0 1 2 3本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

江西省南昌市2016届高三数学下学期第二次模拟考试试题理（扫描版）NCS20160607项目第二次模拟测试卷 数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CCDCDABADBAB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．2π； 14．7； 15．20π； 16．98 三、解答题：本大题共6个题，共70分．17．解：（Ⅰ）当点P 在三角形ABC 外，且CP AB ⊥时，23BCP π∠=， 又1,cos36CP BC AB π==⋅=，所以22||19213cos133BP π=+-⨯⨯=，…………4分 所以11339sin 2sin 26sin 3BCP BCP π=⇒∠=∠；………………………………………6分（Ⅱ）以点C 为原点，过点C 且平行于AB 的直线为x 轴，建立直角坐标系， 则33333(,),(,)2222A B ---，设(cos ,sin )P θθ，则 33333(cos ,sin )(cos ,sin )2222PA PB θθθθ⋅=++⋅-+u u u r u u u r 2299cos 3cos sin 3sin 3sin 3cos 144θθθθθθ=--+++=-+23sin()16πθ=-+，…………………………………………………………………10分所以PA PB ⋅u u u r u u u r的取值范围是[231,231]-++．……………………………………12分18．解：（Ⅰ）投资甲项目4万元，一年后获利1万元、12万元、1-万元的概率分别是0.2,0.4,0.4，投资项目乙4万元，一年后获利2万元、0万元、1-万元的概率分别是0.4,0.2,0.4，……2分 所以一年后这两个项目盈利和不低于0万元的概率是：0.410.20.60.40.20.6P =⨯+⨯+⨯=；………………………………………………5分（Ⅱ）设投资项目甲x 万元，投资项目乙8x -万元， 盈利期望和11110.20.40.4(1)0.4(8)0.4()(8)4424y x x x x =⨯+⨯+⨯-+⨯-+⨯-- 化简得820x x y -+=，………………………………………………………………9分所以当1x =时，y 最大，最大值是25万元， 综上：应该投资项目甲1万元，项目乙7万元．…………………………………………12分19．（Ⅰ）证明：2221112cos 603AB AB BB AB BB =+-⋅︒=，所以22211AB AB BB +=，zyxBDB 1AA 1CC 1D 1E所以1B A AB ⊥，又因为侧面11AA B B ⊥底面ABCD ，所以1B A ⊥底面ABCD ，所以1B A BD ⊥，………………………………………………3分 又因为ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，所以BD ⊥平面1AB C ， 所以平面1AB C ⊥平面1BDC ；……………………………5分 （Ⅱ）由（1）知11,B A AB B A AD ⊥⊥，如图以1,,AB AD AB 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则1(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,3)A B C D B ，平面1AB C 的法向量为(1,1,0)BD =-u u u r ，设111A E A D λ=u u u r u u u u r ， 平面ACE 的法向量(,,)m x y z =u r，则1(0,,0)A E AD λλ==u u u r u u u r，所以1111(1,3)AE AA A E BB A E λ=+=+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 由030m AE x y z λ⋅=⇒-++=u r u u u r，由00m AC x y ⋅=⇒+=u r u u u r ，令1x =，则1,3y z =-=，即(1,3m =-u r ，………………………………………………………………8分 所以2cos ,(1)223BD m λ<>=+⋅+u u u r u r ，226(1)2333(1)223λλ+=⇒+=+⋅+，解得31λ=，所以在棱11A D 上存在点E ，使二面角1E AC B --611131A EA D =．…12分 20．解：（1）设点1122(,),(,)A x y D x y ，则11(,)B x y --，则2222112222221,1,x y x y a b a b+=+= 因为AD AB ⊥，所以1AD k k=-，因此2121212111,4y y y y k k x x x x -+-==-+，所以22222221221222222121()1144b x x y y b a x x x x a ----==⇒=--，………………………………4分 又223a b -=，解得224,1a b ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.……………………………6分 （2）因为11y k x =，所以12111:()4yl y y x x x +=+， 令0y =得13M x x =，令0x =得134N y y =-， 所以1119||||||28OMN S OM ON x y =⋅=△，……………………………………………9分 因为2211111||4x y x y =+≥，且当11||2||x y =时，取等号， 所以OMN △面积的最大值是98．………………………………………………………12分 21．解：（Ⅰ）22'()[(1)1](21)[(1)]xxxf x e x m x e x m e x m x m ---=-+-+++-=-++-()(1)x e x m x -=---，………………………………………………………………1分设切点为(,0)t ，则'()0,()0f t f t ==，即2()(1)0[(1)1]0tt e t m t e t m t --⎧---=⎪⎨+-+=⎪⎩，…………3分解得：13t m =⎧⎨=⎩或1t mm =⎧⎨=-⎩，所以m 的值是3或1-；………………………………………………………………5分 （Ⅱ）依题意，当[0,1]x ∈时，函数max min ()2()f x f x >，………………………6分 （一）1m ≥时，当[0,1]x ∈时，'()0f x ≤，函数()f x 单调递减， 所以(0)2(1)f f >，即31232m em e ->⨯⇒>-；……………………………7分 （二）0m ≤时，[0,1]x ∈时，'()0f x ≥，函数()f x 单调递增， 所以(1)2(0)f f >，即3232mm e e->⇒<-；………………………………8分 （三）当01m <<时，当(0,)x m ∈时'()0f x <，当(,1)x m ∈时，'()0f x >， 所以min 1()()m m f x f m e+==，max ()(0)f x f =或(1)f ，………………………………9分记函数1()m m g m e +=，'()mmg m e -=，当0m ≥时，'()0g m ≤，()g m 单调递减， 所以(0,1)m ∈时，2()(1)g m g e >=，所以min 2(1)42()1(0)m m f x f e e+=>>=，min 2(1)4332()(1)mm mf x f e e e e+-=>>>=，不存在(0,1)m ∈使得max min ()2()f x f x >， 综上:实数m 的取值范围是(,32)(3,)2ee -∞-⋃-+∞．………………………………12分请考生在22～24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 解：（Ⅰ）设圆B 交线段AB 于点C ， 因为AB 为圆O 一条直径，所以BF FH ⊥，………………2分又DH BD ^，故B 、D 、F 、H 四点在以BH 为直径的圆上所以，B 、D 、F 、H 四点共圆.……………………3分 所以AB AD AF AH ⋅=⋅．……………………4分 （Ⅱ）因为AH 与圆B 相切于点F ，由切割线定理得 2AC AB BD =-=，2AF AC AD =⋅,即()2222AD =⋅，=4AD ，………………………………6分所以()1=112BD AD AC BF BD -===，又AFB ADH ∆∆:, 则DH AD BF AF=, 得2DH =………………………………8分 连接BH ,由（1）可知BH 为BDF D 的外接圆直径223BH BD DH =+=,故BDF D 的外接圆半径为32……………10分23.解：（Ⅰ）由2sin 2cos ρθθ=-，可得22sin 2cos ρρθρθ=-所以曲线C 的直角坐标方程为2222x y y x +=-，…………………………4分（Ⅱ）直线l 的方程为222:22x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，化成普通方程为2y x =+……………………………………………………………7分由22222x y y x y x ⎧+=-⎨=+⎩，解得02x y =⎧⎨=⎩或20x y =-⎧⎨=⎩…………………………………9分所以22AB =．………………………………………………………………………10分 24．解：（Ⅰ）当1a =时，不等式()2f x ³可化为|1||21|2x x ++-?①当12x ≥时，不等式为32x ³，解得23x ≥，故23x ≥；②当112x -≤<时，不等式为22x -?，解得0x ≤，故10x -≤≤；③当1x <-时，不等式为32x -?，解得23x ≤-，故1x <-；……………4分综上原不等式的解集为20,3x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或………………………………………5分 （Ⅱ）()2f x x £在1[,1]2x ∈时恒成立，当1[,1]2x ∈时，不等式可化为|1|1ax +≤，………………………………………7分解得2200ax a x-≤≤⇒-≤≤， 因为1[,1]2x ∈，所以2[4,2]x-∈--，……………………………………………9分所以a 的取值范围是[2,0]-．………………………………………………………10分。