天津市南开区2020届高三二模数学试题卷

天津市南开区2020年高考模拟考试（4月份）数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）设全集为U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合S＝{1，3，5}，T＝{3，6}，则∁U （S∪T）等于（）A．∅B．{1，3，5，6} C．{2，4，7} D．{2，4，6} 2．（3分）已知命题p：x2+2x﹣3＞0，命题q：x＞a，且q的一个必要不充分条件是p，则实数a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1] C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣3] 3．（3分）为了调查学生的复习情况，高三某班的全体学生参加了一次在线测试；成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．若成绩在[60，80）的人数是16，则低于60分的人数是（）A．6 B．12 C．15 D．184．（3分）函数的部分图象可能是（）A．B．C．D．5．（3分）若圆C的圆心在第一象限，圆心到原点的距离为，且与直线4x﹣3y＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1C．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5 D．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝56．（3分）已知函数f（x）＝，设，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．b＞a＞c7．（3分）已知函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，则f （x）的解析式为（）A．B．C．D．8．（3分）已知点A是抛物线y2＝4x与双曲线﹣＝1（b＞0）的一个交点，若抛物线的焦点为F，且|AF|＝4，则点A到双曲线两条渐近线的距离之和为（）A．2B．4 C．2D．29．（3分）已知函数，若方程f（x）＝ax有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（0，1] D．（1，+∞）二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）10．（3分）若（i是虚数单位，a是实数），则a＝．11．（3分）二项式的展开式中，常数项为．12．（3分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是CC1上一点，设四棱锥D﹣A1ABB1的体积为V1，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V2，则V1：V2＝．13．（3分）甲、乙两名枪手进行射击比赛，每人各射击三次，甲三次射击命中率均为；乙第一次射击的命中率为，若第一次未射中，则乙进行第二次射击，射击的命中率为，如果又未中，则乙进行第三次射击，射击的命中率为．乙若射中，则不再继续射击．则甲三次射击命中次数5的期望为，乙射中的概率为．14．（3分）已知存在正数a，b使不等式成立，则x的取值范围．15．（3分）在平面四边形ABCD中，AB＝BC＝2CD＝2，∠ABC＝60°，∠ADC＝90°，若＝＝＝，则2•+•＝；若P为边BC上一动点，当•取最小值时，则cos∠PDC的值为．三、解答题（共5小题，满分75分）16．（14分）在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若△ABC的面积为，a﹣b＝1，a cos C﹣c sin A＝0．（Ⅰ）求c及cos A；（Ⅱ）求cos （2A﹣C）的值．17．（15分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝AA1，AB⊥AC，p为线段BC1上一点．（Ⅰ）若BP＝PC1，求PC与AA1所成角的余弦值；（Ⅱ）若，求PC与平面ABB 1A1所成角的大小；（Ⅲ）若二面角A1﹣AC﹣P的大小为45°，求的值．18．（15分）已知数列{a n}的前n项和S n＝．数列{b n}满足：b1＝b2＝2，b n+1b n＝2n+1（n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求．19．（15分）已知点F是椭圆b＞0）的右焦点，过点F的直线I交椭圆于M，N两点．当直线l过C的下顶点时，l的斜率为，当直线l垂直于C的长轴时，△OMN的面积为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）当|MF|＝2|FN|时，求直线l的方程；（Ⅲ）若直线l上存在点P满足|PM|，|PF|，|PN|成等比数列，且点P在椭圆外，证明：点P在定直线上．20．（16分）已知函数f（x）＝axlnx﹣x a，其中a∈R．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为x﹣y﹣e＝0，其中e＝2.71828…是自然对数的底数，求a的值：（Ⅱ）若函数f（x）是（1，+∞）内的减函数，求正数a的取值范围；（Ⅲ）若方程f（x）＝0无实数根，求实数a的取值范围．天津市南开区2020年高考模拟（4月份）数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）设全集为U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合S＝{1，3，5}，T＝{3，6}，则∁U （S∪T）等于（）A．∅B．{1，3，5，6} C．{2，4，7} D．{2，4，6}【分析】先算出S与T的并集，再算出S∪T关于U的补集即可．【解答】解：因为全集为U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合S＝{1，3，5}，T＝{3，6}，所以：S∪T＝{1，3，5，6}；∴∁U（S∪T）＝{2，4，7}；故选：C．【点评】本题主要考查了集合的并、交、补集混合运算，属于基础知识的考查．2．（3分）已知命题p：x2+2x﹣3＞0，命题q：x＞a，且q的一个必要不充分条件是p，则实数a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1] C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣3] 【分析】先化简再判断充要性．【解答】解：命题p：x2+2x﹣3＞0，解之得x＜﹣3或x＞1，且q的一个必要不充分条件是p，则a≥1，故选：A．【点评】本题考查解不等式，以及充要性，属于基础题．3．（3分）为了调查学生的复习情况，高三某班的全体学生参加了一次在线测试；成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．若成绩在[60，80）的人数是16，则低于60分的人数是（）A．6 B．12 C．15 D．18【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系即可解答．【解答】解：有直方图得成绩在[60，80）的频率为1﹣（0.005+0.010+0.015）×20＝0.4，又成绩在[60，80）的人数是16，∴总人数＝40，则低于60分的人数是40×0.015×20＝12，故选：B．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应用问题，是基础题．4．（3分）函数的部分图象可能是（）A．B．C．D．【分析】由f（0）＞0，函数不具有奇偶性，以及x＞0时，函数值大于0，结合选项即可得解．【解答】解：，则可排除A；又函数不具有奇偶性，则可排除C；当x＞0时，e x+sin x＞0，3+cos x＞0，则可排除B．故选：D．【点评】本题考查利用函数性质确定函数图象，属于基础题．5．（3分）若圆C的圆心在第一象限，圆心到原点的距离为，且与直线4x﹣3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1C．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5 D．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5【分析】根据题意，设圆心C的坐标为（m，n），分析可得n＝r，由两点间距离公式可得m2+n2＝5，由直线圆相切的性质可得r＝，联立解可得m、n的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，设圆C的圆心C的坐标为（m，n），（m＞0，n＞0）由于圆C 与x轴相切，则圆C的半径n＝r，又由圆心到原点的距离为，则有m2+n2＝5，圆C与4x﹣3y＝0相切，则有r＝，即n2＝，解可得m＝2，n＝1，则圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1；故选：B．【点评】本题考查圆的标准方程的计算，涉及直线与圆相切的性质，属于基础题．6．（3分）已知函数f（x）＝，设，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．b＞a＞c【分析】分析得函数f（x）为奇函数且在R上单调递减，通过化简比较0.312，log20.31，ln4的大小，根据函数的单调性，比较a，b，c的大小关系．【解答】解：函数f（x）＝，f（﹣x）＝＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数．∵y＝e x在R上为增函数，∴f（x）在R上为减函数．a＝f（0.312），，c＝f（2ln2）＝f（ln4）．∵，∴b＞a＞c．故选：D．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性，需要熟练掌握常见函数的性质和图象，属基础题目．7．（3分）已知函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，则f （x）的解析式为（）A．B．C．D．【分析】先据图象的最高点与最低点求出A，然后根据零点间的横向距离是四分之一周期的倍数求出T，进而求出ω的值，最后利用对应的观点结合范围求出φ的值．【解答】解：易知A＝2．，T＝π，∴．∴，∴，又﹣π＜φ＜0，k＝0时，φ＝符合题意．故f（x）＝2cos（2x﹣）．故选：C．【点评】本题考查了利用五点法作图根据图象求解析式，要注意最后求φ时的对应思想．属于中档题．8．（3分）已知点A是抛物线y2＝4x与双曲线﹣＝1（b＞0）的一个交点，若抛物线的焦点为F，且|AF|＝4，则点A到双曲线两条渐近线的距离之和为（）A．2B．4 C．2D．2【分析】求出A的坐标，代入双曲线方程求出b，然后求解双曲线的渐近线方程．【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点为F，且F A＝4，可得F（1，0），则A（3，±2），点A是抛物线y2＝4x与双曲线﹣＝1（b＞0）一个交点，a＝，可得，解得b＝，则渐近线方程为y＝±x，不妨令A（3，2），则点A到这两条渐近线的距离之和d＝+＝2，故选：A．【点评】本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于中档题．9．（3分）已知函数，若方程f（x）＝ax有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（0，1] D．（1，+∞）【分析】显然x＝0满足，然后当x≠0时，研究与y＝a产生三个根，显然在x＜0时一个，在x＞0时，一元二次方程有两个正根，问题可求解．【解答】解：由题意x＝0满足方程f（x）＝ax．①当x＜0时，只需有一个负根，即，解得0＜a＜1；②当x＞0时，只需x2﹣（a+1）x+a＝0有两个正根即可．方程可化为（x﹣1）（x﹣a）＝0，故两根为1，或a．由题意只需a＞0且a≠1．综合①②可知，当0＜a＜1时，方程f（x）＝ax有4个不同的实数根．故选：B．【点评】本题考查了函数零点个数的判断方法，本题是直接解方程进行判断．注意方程与不等式的相互应用．同时考查学生运用转化与化归思想、函数与方程思想解题的能力．是一道中档题．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）10．（3分）若（i是虚数单位，a是实数），则a＝2．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0且实部大于求解a值．【解答】解：∵＞，∴，解得a＝2．故答案为：2．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．11．（3分）二项式的展开式中，常数项为﹣．【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得结论．【解答】解：二项式的展开式的通项公式为：T r+1＝•（）5﹣r•（﹣）r＝（﹣1）r•••x；令＝0⇒r＝3；∴展开式中，常数项为：（﹣1）3••＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．12．（3分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是CC1上一点，设四棱锥D﹣A1ABB1的体积为V1，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V2，则V1：V2＝2：3．【分析】设点D到底面ABC，A1B1C1的距离分别为h1，h2．三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为H，则h1+h2＝H．利用三棱锥、三棱柱的体积计算公式即可得出．【解答】解：设点D到底面ABC，A1B1C1的距离分别为h1，h2．三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为H，则h1+h2＝H．＝＝＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了三棱锥、三棱柱的体积计算公式，考查考生的计算能力，属于基础题．13．（3分）甲、乙两名枪手进行射击比赛，每人各射击三次，甲三次射击命中率均为；乙第一次射击的命中率为，若第一次未射中，则乙进行第二次射击，射击的命中率为，如果又未中，则乙进行第三次射击，射击的命中率为．乙若射中，则不再继续射击．则甲三次射击命中次数5的期望为，乙射中的概率为．【分析】甲击中的次数X～B（3，），由此能求出甲三次射击命中次数的期望，利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率加法公式能求出乙射中的概率．【解答】解：甲、乙两名枪手进行射击比赛，每人各射击三次，甲三次射击命中率均为，则甲击中的次数X～B（3，），∴甲三次射击命中次数的期望为E（X）＝3×＝，乙第一次射击的命中率为，第一次未射中，则乙进行第二次射击，射击的命中率为，如果又未中，则乙进行第三次射击，射击的命中率为．乙若射中，则不再继续射击．则乙射中的概率为：P＝＝．故答案为：，．【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布、互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．14．（3分）已知存在正数a，b使不等式成立，则x的取值范围（1﹣，1）．【分析】存在性问题转化为最大值，运用均值不等式＝≤＝，求出的最大值，转化成解对数不等式log2（1﹣x）＜，进而解出x．【解答】解：∵＝≤＝，由于a＞0，b＞0，则2a+3b＞0，∴≤，当且仅当2b＝2a+3b时，∴有最大值，＞＞＞＞＞又存在正数a，b使不等式成立，则log2（1﹣x）＜，即0＜1﹣x＜2，∴1﹣＜x＜1．故答案为：（1﹣，1）．【点评】本题考查均值不等式的应用，对数不等式的解法，和存在性问题，属于中档题．15．（3分）在平面四边形ABCD中，AB＝BC＝2CD＝2，∠ABC＝60°，∠ADC＝90°，若＝＝＝，则2•+•＝；若P为边BC上一动点，当•取最小值时，则cos∠PDC的值为．【分析】根据题意可知△ABC是等边三角形，△ADC是有一个内角为60°的直角三角形．又知道它们的边长，所以可以建立坐标系，将问题坐标化后进行计算求解．【解答】解：∵平面四边形ABCD中，AB＝BC＝2CD＝2，∠ABC＝60°，∠ADC＝90°，∴△ABC是边长为2的等边三角，在Rt△ADC中，AC＝2，CD＝1，所以∠ACD＝60°．又＝＝＝，∴E，F，G是BC边的四等分点．如图建立坐标系：则：A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），D（），E（﹣），F（0，0），G（）．所以2•+•＝2（）•（）+（）•（0，）＝．再设P（x，0），∴•＝•（1﹣x，0）＝x2﹣x＝（x﹣）2﹣．（﹣1≤x≤1）显然x＝时，•最小，此时P（）．∴＝＝．故答案为：，．【点评】本题考查平面向量在几何问题中的应用，通过建系将问题坐标化是一种常见的求角或距离的解题方法．同时考查学生运用转化思想、数形结合思想、函数思想等的解题能力．属于中档题．三、解答题（共5小题，满分75分）16．（14分）在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若△ABC的面积为，a﹣b＝1，a cos C﹣c sin A＝0．（Ⅰ）求c及cos A；（Ⅱ）求cos （2A﹣C）的值．【分析】（Ⅰ）由已知利用正弦定理，同角三角函数基本关系式结合sin A≠0可求tan C＝，结合范围C∈（0，π），可求C的值，利用三角形的面积公式可求ab的值，结合已知可求a，b的值，根据余弦定理即可求解．（Ⅱ）由（Ⅰ）利用同角三角函数基本关系式可得sin A，利用二倍角公式可求sin2A，cos2A 的值，进而根据两角差的余弦函数公式即可计算得解．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a cos C﹣c sin A＝0，∴sin A cos C﹣sin C sin A＝0，∵sin A≠0，∴cos C﹣sin C＝0，即tan C＝，∵C∈（0，π），∴C＝，∴S△ABC＝ab＝，解得ab＝6，又a﹣b＝1，解得a＝3，b＝2，又余弦定理可得c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝7，解得c＝，∴cos A＝＝，（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sin A＝，∴sin2A＝2sin A cos A＝，cos2A＝2cos2A﹣1＝﹣，∴cos（2A﹣C）＝cos2A cos C+sin2A sin C＝（﹣）×+＝﹣．【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，余弦定理，二倍角公式，两角差的余弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．17．（15分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝AA1，AB⊥AC，p为线段BC1上一点．（Ⅰ）若BP＝PC1，求PC与AA1所成角的余弦值；（Ⅱ）若，求PC与平面ABB 1A1所成角的大小；（Ⅲ）若二面角A1﹣AC﹣P的大小为45°，求的值．【分析】（Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PC与AA1所成角的余弦值．（Ⅱ）设P（a，b，c），由，得P（，2﹣，2﹣），从而＝（，1﹣，2﹣），求出平面ABB1A1的法向量，由此能求出PC与平面ABB1A1所成角的大小．（Ⅲ）求出平面ACP的法向量和平面A1AC的法向量，利用同量法能求出当二面角A1﹣AC﹣P的大小为45°时的值．【解答】解：（Ⅰ）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝AA1，AB⊥AC，p为线段BC1上一点．以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝1，则B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，1），C1（0，1，1），∵BP＝PC1，∴P（），∴＝（），＝（0，0，1），设PC与AA1所成角为θ，则PC与AA1所成角的余弦值为：cosθ＝＝．（Ⅱ）设P（a，b，c），由，得（a﹣1，b，c）＝（﹣a，1﹣b，1﹣c），解得P（，2﹣，2﹣），∴＝（，1﹣，2﹣），设PC与平面ABB1A1所成角为α，∵平面ABB1A1的法向量为＝（0，1，0），∴sinα＝＝＝，∴PC与平面ABB1A1所成角的大小为30°．（Ⅲ）设＝＝（﹣λ，λ，λ），则＝＝（1，﹣1，0）+（﹣λ，λ，λ），＝（1﹣λ，λ﹣1，λ），设平面ACP的法向量＝（a，b，c），则，取z＝λ﹣1，得＝（λ，0，λ﹣1），平面A1AC的法向量＝（1，0，0），∵二面角A1﹣AC﹣P的大小为45°，∴cos45°＝＝，解得．∴当二面角A1﹣AC﹣P的大小为45°时，＝1．【点评】本题考查民面直线所成角的余弦值、线面角的大小、满足二面角的两线段比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18．（15分）已知数列{a n}的前n项和S n＝．数列{b n}满足：b1＝b2＝2，b n+1b n＝2n+1（n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求．【分析】（Ⅰ）直接根据前n项和与通项的关系求出数列{a n}的通项公式，再根据递推关系式求出数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）先根据a i（b2i﹣1﹣）＝i•2i﹣；然后利用错位相减求和法分别求和，整理即可求得结论．【解答】解：（Ⅰ）当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣＝n；n＝1时，a1＝S1＝1适合上式，所以：a n＝n；∵b1＝b2＝2，b n+1b n＝2n+1；∴b n b n﹣1＝2n（n≥2）；∴b n+1＝2b n﹣1，（n≥2）；∴数列{b n}的奇数项和偶数项都是首项为2，公比为2的等比数列；∴b n＝．（Ⅱ）∵a i（b2i﹣1﹣）＝i•2i﹣；设M＝1•x+2•x2+3•x3+…+（n﹣1）•x n﹣1+n•x n，（x≠0，1）①∴xM＝1•x2+2•x3+…+（n﹣1）•x n+n•x n+1；②①﹣②得（1﹣x）M＝x+x2+x3+…+x n﹣n•x n+1＝﹣n•x n+1；∴M＝；∴i•2i＝＝（n﹣1）•2n+1+2；＝＝2﹣；∴a i（b2i﹣1﹣）＝（n﹣1）•2n+1+．【点评】本题主要考查数列递推公式的应用以及错位相减求和的应用，计算量较大，学生易错．19．（15分）已知点F是椭圆b＞0）的右焦点，过点F的直线I交椭圆于M，N两点．当直线l过C的下顶点时，l的斜率为，当直线l垂直于C的长轴时，△OMN的面积为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）当|MF|＝2|FN|时，求直线l的方程；（Ⅲ）若直线l上存在点P满足|PM|，|PF|，|PN|成等比数列，且点P在椭圆外，证明：点P在定直线上．【分析】（Ⅰ）根据题意得：＝，，及a2＝b2+c2，解得a，b，进而可得椭圆得方程．（Ⅱ）分两种情况：当直线l与x轴重合时，|MF|＝3|FN|，不合题意．当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为x＝ty+1，M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线与椭圆得方程，结合根与系数关系得y1+y2，y1y2，由|MF|＝2|FN|，得y1＝﹣2y2，组成方程组解得t，进而可得直线l得方程．（Ⅲ）设P（x0，y0），分两种情况讨论，当直线l与x轴重合时，当直线l与x轴不重合时，由|PM|•|PN|＝|PF|2，解得x0＝，所以点p在定直线x＝上．【解答】解：（Ⅰ）由题设：＝，，解得a＝2，b＝，所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）当直线l与x轴重合时，|MF|＝3|FN|，不合题意．当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为x＝ty+1，M（x1，y1），N（x2，y2），联立，消去x整理得（3t2+4）y2+6ty﹣9＝0，有y1+y2＝①，y1y2＝②，由|MF|＝2|FN|，得y1＝﹣2y2③，联立①②③得＝，解得t＝±．所以直线l的方程为x±2y﹣＝0．（Ⅲ）设P（x0，y0）当直线l与x轴重合时，因为点p在椭圆外，所以x0+2，x0﹣2同号，由|PM|•|PN|＝|PF|2，得（x0+2）（x0﹣2）＝（x0﹣1）2，解得x0＝，当直线l与x轴不重合时，由（Ⅱ）知y1+y2＝，y1y2＝，因为|PM|＝，|PN|＝，|PF|＝，因为点p在椭圆外，所以y1﹣y0，y2﹣y0同号，由|PM|•|PN|＝|PF|2，得（y1﹣y0）（y2﹣y0）＝y02，解得x0＝，整理得y1y2﹣y0（y1+y2）＝0，即，解得y0＝，代入直线l方程x＝ty+1，得x0＝，所以点p在定直线x＝上．【点评】本题考查椭圆得标准方程，直线与椭圆相交，等比数列，考查转化能力和计算能力．20．（16分）已知函数f（x）＝axlnx﹣x a，其中a∈R．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为x﹣y﹣e＝0，其中e＝2.71828…是自然对数的底数，求a的值：（Ⅱ）若函数f（x）是（1，+∞）内的减函数，求正数a的取值范围；（Ⅲ）若方程f（x）＝0无实数根，求实数a的取值范围．【分析】（I）先对函数求导，然后根据导数的几何意义及已知切线方程即可求解；（II）结合导数与单调性的关系可转化为f′（x）＝a（lnx+1）﹣ax a﹣1≤0在（1，+∞）内恒成立，结合函数的性质可求；（III）结合导数及函数的性质，进行合理的转化后结合导数可求．【解答】解：（I）f′（x）＝a（lnx+1）﹣ax a﹣1，由曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为x﹣y﹣e＝0可得e﹣f（e）﹣e＝0即f（e）＝ae﹣e a＝0，f′（e）＝2a﹣ae a﹣1＝1，故a＝1，（II）若函数f（x）是（1，+∞）内的减函数，则f′（x）＝a（lnx+1）﹣ax a﹣1≤0在（1，+∞）内恒成立，令g（x）＝lnx+1﹣x a﹣1，则，①0＜a≤1时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上单调递增，所以g（x）＞g（1）＝0，②若1＜a＜2，当x，g′（x）＞0，g（x）单调递增，g（x）＞g（1）＝0，③a≥2时，x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，g（x）＜g（1）＝9综上，a≥2时，满足题意；（III）由f（x）＝0可得alnx﹣x a﹣1＝0，若a＝1，则x＝1是方程alnx﹣x a﹣1＝0的根，故a≠1，令t＝x a﹣1，则＝x，原方程可化为，①a＝0时，没有实根，②a≠0，a≠1时，方程可化为，令h（t）＝，则，当t∈（0，e）时，h′（t）＞0，h（t）单调递增，当t∈（e，+∞）时，h′（t）＜0，h（t）单调递减，所以h（t）≤h（e）＝，若没有实根，则，解可得a＜0或a＞，综上a≤0或a＞【点评】本题综合考查了导数的几何意义，导数与单调性，导数与零点的综合应用，属于综合性试题．。

1天津市南开区2020届高三年级模拟考试(二)数学试卷一、选择题（共9小题）.1．复数z =4+3i3−4i(i 是虚数单位）在复平面内对应点的坐标为（ ） A ．（1，0） B ．（0，1）C ．(45，−35)D ．(35，−45)2．某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比依次为6：5：7，防疫站欲对该校学生进行身体健康调查，用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为n 的样本，样本中高三年级的学生有21人，则n 等于（ ） A ．35B ．45C ．54D ．633．方程x 2+y 2﹣kx +2y +k 2﹣2＝0表示圆的一个充分不必要条件是（ ） A ．k ∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B ．k ∈（2，+∞） C ．k ∈（﹣2，2）D ．k ∈（0，1]4．设a =2ln2，b =−log 124，c =log 32，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b ＞a ＞cB ．a ＞b ＞cC ．b ＞c ＞aD ．a ＞c ＞b5．如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面是面积为2的正方形，该长方体的外接球体积为323π，点E 为棱AB 的中点，则三棱锥D 1﹣ACE 的体积是（ ） A ．2√23B ．2√2C ．√33D ．126．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√62，以双曲线C 的右焦点F 为圆心，a 为半径作圆F ，圆F 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，则∠MFN ＝（ ） A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°7．某学校食堂为了进一步加强学校疫情防控工作，降低学生因用餐而交叉感染的概率，规定：就餐时，每张餐桌（如图）至多坐两个人，一张餐桌坐两个人时，两人既不能相邻，也不能相对（即二人只能坐在对角线的位置上）．现有3位同学到食堂就餐，如果3人在1号和2号两张餐桌上就餐（同一张餐桌的4个座位是没有区别的），则不同的坐法种数为（ ） A ．6 B ．12C ．24D ．488．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2），y ＝f （x ）的图象关于直线x =5π6对称，且与x 轴交点的横坐标构成一个公差为π2的等差数列，则函数f （x ）的导函数f ′（x ）的一个单调减区间为（ ） A ．[π12，7π12]B ．[−5π12，π12] C ．[π6，7π6]D ．[−π6，π3]9．如图，在边长2√3的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，O 为△ABC 的中心，过点O 的直线与直线BC 交于点P ，与直线DE 交于点Q ，则AP →⋅AQ →的取值范围是（ ） A ．[3，+∞） B ．（﹣∞，3）C ．(−∞，92)D ．(−∞，92]3二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.请将答案填在题中横线上． 10．已知集合A ＝{x |（x +1）（x ﹣2）≤0}，∁R B ＝{x |x ≤0或x ＞3}，则A ∩B ＝ ． 11．若（x 2+1ax ）6的二项展开式中x 3的系数为52，则a ＝ （用数字作答）． 12．过点(−√3，1)的直线l 与圆x 2+y 2＝4相切，则直线l 在y 轴上的截距为 ． 13．一袋中装有6个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是45，则袋中白球的个数为 ；从袋中任意摸出2个球，则摸到白球的个数X 的数学期望为 ．14．已知ab ＞0，则(a 2+4b 2)2+2(a 2+4b 2)+54ab+1的最小值为 ．15．已知定义在R 上的偶函数f （x ）在（﹣∞，0]上单调递增，且f （﹣1）＝﹣1．若f （x ﹣1）+1≥0，则x 的取值范围是 ；设函数g(x)={(√x +1)2−a −1，x ＞0，2x +x −a +1，x ≤0，若方程f （g （x ））+1＝0有且只有两个不同的实数解，则实数a 的取值范围为 ． 三、解答题：（本大题共5个小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知a 2+c 2＝b 2+√105ac ．（Ⅰ）求cos B 及tan2B 的值； （Ⅱ）若b ＝3，A =π4，求c 的值．417．如图所示，平面CDEF ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝45°，四边形CDEF 为直角梯形，EF ∥DC ，ED ⊥CD ，AB ＝3EF ＝3，ED ＝a ，AD =√2． （1）求证：AD ⊥BF ；（Ⅱ）若线段CF 上存在一点M ，满足AE ∥平面BDM ，求CMCF的值；（Ⅲ）若a ＝1，求二面角D ﹣BC ﹣F 的余弦值．18．已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，椭圆C 过点M (1，√22)，且MF 2⊥F 1F 2． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）经过点P （2，0）的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若存在点Q （m ，0），使得|QA |＝|QB |．（i ）求实数m 的取值范围：（i ）若线段F 1A 的垂直平分线过点Q ，求实数m 的值．19．设{a n }是各项都为整数的等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝1，a 3+b 2＝7，S 5b 2＝50，n ∈N *． （Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（Ⅱ）设c n ＝log 2b 1+log 2b 2+log 2b 3+…+log 2b n ，T n ＝a c n +1+ac n +2+ac n +3+⋯+ac n +n ．（i ）求T n ；（ii ）求证：∑n i=2√i2．20．（16分）设函数f（x）=k3x3−12x2−x，k∈R．（Ⅰ）若x＝1是函数f（x）的一个极值点，求k的值及f（x）单调区间；（Ⅱ）设g（x）＝（x+1）ln（x+1）+f（x），若g（x）在[0，+∞）上是单调增函数，求实数k的取值范围；（Ⅲ）证明：当p＞0，q＞0及m＜n（m，n∈N*）时，[p+qp2m−1∑2m−1i=1(−1)i−1p2m−1−i q i−1]2n−1＞[p+qp2n−1∑2n−1i=1（﹣1）i﹣1p2n﹣1﹣i q i﹣1]2m﹣1．5天津市南开区2020届高三年级模拟考试(二)数学试卷参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z=4+3i3−4i(i是虚数单位）在复平面内对应点的坐标为（）A．（1，0）B．（0，1）C．(45，−35)D．(35，−45)【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵z=4+3i3−4i=(4+3i)(3+4i)(3−4i)(3+4i)=25i25=i，∴复数z=4+3i3−4i(i是虚数单位）在复平面内对应点的坐标为（0，1）．故选：B．2．某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比依次为6：5：7，防疫站欲对该校学生进行身体健康调查，用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为n的样本，样本中高三年级的学生有21人，则n等于（）A．35 B．45 C．54 D．63【分析】由某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比为6：5：7，知高三年级学生的数量占总数的718，再由分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为n的样本，高三年级被抽到的人数为21人，能求出n．解：∵某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比为6：5：7，∴高三年级学生的数量占总数的718，∵分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为n的样本，若已知高三年级被抽到的人数为21人，67∴n ＝21÷718=54． 故选：C ．3．方程x 2+y 2﹣kx +2y +k 2﹣2＝0表示圆的一个充分不必要条件是（ ） A ．k ∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B ．k ∈（2，+∞） C ．k ∈（﹣2，2）D ．k ∈（0，1]【分析】化x 2+y 2﹣kx +2y +k 2﹣2＝0为(x −k 2)2+(y +1)2=3−34k 2，由3−34k 2＞0求得k 的范围，然后逐一核对四个选项得答案．解：由x 2+y 2﹣kx +2y +k 2﹣2＝0，得(x −k 2)2+(y +1)2=3−34k 2，若方程x 2+y 2﹣kx +2y +k 2﹣2＝0表示圆，则3−34k 2＞0，即﹣2＜k ＜2．∴A ，B 为方程x 2+y 2﹣kx +2y +k 2﹣2＝0表示圆的既不充分也不必要条件，C 为充要条件， 而（0，1]⊂（﹣2，2），则D 为充分不必要条件． 故选：D ．4．设a =2ln2，b =−log 124，c =log 32，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b ＞a ＞cB ．a ＞b ＞cC ．b ＞c ＞aD ．a ＞c ＞b【分析】根据0＜ln 2＜1即可得出1＜2ln 2＜2，并得出−log 124=2，log 32＜1，从而可得出a ，b ，c 的大小关系．解：0＜ln 2＜1，1＜2ln 2＜2，−log 124=2，log 32＜log 33＝1，∴b ＞a ＞c ． 故选：A ．85．如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面是面积为2的正方形，该长方体的外接球体积为323π，点E 为棱AB 的中点，则三棱锥D 1﹣ACE 的体积是（ ）A ．2√23B ．2√2C ．√33D ．1【分析】由该长方体的外接球体积为323π，求出该长方体的外接球半径为R ＝2，从而求出AA 1＝2√3，由此能求出三棱锥D 1﹣ACE 的体积．解：∵长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面是面积为2的正方形， 该长方体的外接球体积为323π，设长方体的外接球的半径为R ，则43πR 3=323π，解得该长方体的外接球半径为R ＝2， ∴√2+2+AA 122=2，解得AA 1＝2√3，S △ACE =12S △ABC =12×12×√2×√2=12，∴三棱锥D 1﹣ACE 的体积V =13×S △ACE ×DD 1=13×12×2√3=√33．故选：C ．6．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√62，以双曲线C 的右焦点F 为圆心，a 为半径作圆F ，圆F 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，则∠MFN ＝（ ）9A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°【分析】因为离心率e =√c 2a 2=√1+b 2a 2=√62，所以b a =√22，不妨设与圆F 相交的渐近线为y =b a x ，则点F （c ，0）到直线MN 的距离为d =|b a ⋅c|√1+ba 2=b ，所以sin ∠NMF =dMF =b a =√22，∠NMF ＝45°＝∠MNF ，所以∠MFN ＝180°﹣（∠NMF +∠MNF ）＝90°． 解：∵离心率e =√c 2a 2=√1+b 2a 2=√62，∴b a =√22，由题意可知，双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的渐近线方程为y =±ba x ，点F （c ，0）， 不妨设与圆F 相交的渐近线为y =ba x ，则点F 到直线MN 的距离为d =|b a ⋅c|√1+ba 2=b ， ∴sin ∠NMF =d MF =b a =√22，∠NMF ＝45°＝∠MNF ，∴∠MFN ＝180°﹣（∠NMF +∠MNF ）＝90°． 故选：C ．7．某学校食堂为了进一步加强学校疫情防控工作，降低学生因用餐而交叉感染的概率，规定：就餐时，每张餐桌（如图）至多坐两个人，一张餐桌坐两个人时，两人既不能相邻，也不能相对（即二人只能坐在对角线的位置上）．现有3位同学到食堂就餐，如果3人在1号和2号两张餐桌上就餐（同一张餐桌的4个座位是没有区别的），则不同的坐法种数为（ ）A ．6 B ．12C ．24D ．4810【分析】根据分类计数原理即可求出．解：若在2人在1号餐桌，1人在2号餐桌，则有C 32×2＝6种， 若在1人在1号餐桌，2人在2号餐桌，则有C 32×2＝6种， 则共有不同的坐法6+6＝12种． 故选：B ．8．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2），y ＝f （x ）的图象关于直线x =5π6对称，且与x 轴交点的横坐标构成一个公差为π2的等差数列，则函数f （x ）的导函数f ′（x ）的一个单调减区间为（ ） A ．[π12，7π12]B ．[−5π12，π12]C ．[π6，7π6]D ．[−π6，π3]【分析】先根据三角函数的图象和性质求出f （x ）的解析式，可得它的导数，再利用余弦函数的单调性，得出结论．解：∵函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2），y ＝f （x ）的图象关于直线x =5π6对称，且与x 轴交点的横坐标构成一个公差为π2的等差数列，故函数的周期为2×π2=2πω，∴ω＝2．故2×5π6+φ＝k π+π2，k ∈Z ，∴φ=−π6，f （x ）＝sin （2x −π6）． 则函数f （x ）的导函数f ′（x ）＝2cos （2x −π6）．令2k π≤2x −π6≤2k π+π，可得k π+π12≤x ≤k π+7π12，故f ′（x ）的减区间为[k π+π12，k π+7π12]，k ∈Z ， 故选：A ．119．如图，在边长2√3的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，O 为△ABC 的中心，过点O 的直线与直线BC 交于点P ，与直线DE 交于点Q ，则AP →⋅AQ →的取值范围是（ ）A ．[3，+∞）B ．（﹣∞，3）C ．(−∞，92)D ．(−∞，92]【分析】因为是等边三角形，所以可建立平面直角坐标系，设出PQ 的方程，解出P ，Q 的坐标，即可将问题转化为直线PQ 斜率k 的函数，求其值域即可． 解：由题意，如图建立平面直角坐标系：因为三角形ABC 边长为2√3，故高为2√3×√32=3，故：DE ：y =32；O （0，1），A （0，3）．所以直线PQ ：y ＝kx +1，（由对称性，不妨设k ＞0）．所以由{y =kx +1y =32得Q （12k ，32）；由{y =0y =kx +1得P （−1k ，0）． 所以AQ →=(12k ，−32)，AP →=(−1k，−3)，所以AP →⋅AQ →=−12k2+92＜92，特别的，当PQ ⊥x 轴时，P （0，0），Q （0，32），∴AP →⋅AQ →=(0，−3)⋅(0，−32)=92．12故AP →⋅AQ →≤92．故选：D ．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.请将答案填在题中横线上． 10．已知集合A ＝{x |（x +1）（x ﹣2）≤0}，∁R B ＝{x |x ≤0或x ＞3}，则A ∩B ＝ （0，2] ． 【分析】可以求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可． 解：∵∁R B ＝{x |x ≤0或x ＞3}，∴B ＝{x |0＜x ≤3}，且A ＝{x |﹣1≤x ≤2}， ∴A ∩B ＝（0，2]． 故答案为：（0，2]． 11．若（x 2+1ax ）6的二项展开式中x 3的系数为52，则a ＝ 2 （用数字作答）． 【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的第r +1项，令x 的指数为3，求出展开式中x 3的系数，列出方程求出a ．解：通项T r +1＝C 6r •a ﹣r x 12﹣3r ，当12﹣3r ＝3时，r ＝3，所以系数为C 63•a ﹣3=52，得a ＝2．故答案为21312．过点(−√3，1)的直线l 与圆x 2+y 2＝4相切，则直线l 在y 轴上的截距为 4 ． 【分析】根据题意，分析可得点（−√3，1）在圆x 2+y 2＝4上，由圆的切线方程可得切线l 的方程为−√3x +y ＝4，变形分析可得答案．解：根据题意，圆x 2+y 2＝4，对于点（−√3，1），有（−√3）2+12＝4， 即点（−√3，1）在圆x 2+y 2＝4上，则切线l 的方程为−√3x +y ＝4，变形可得y =√3x +4，直线l 在y 轴上的截距为4； 故答案为：413．一袋中装有6个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是45，则袋中白球的个数为 3 ；从袋中任意摸出2个球，则摸到白球的个数X 的数学期望为 1 ．【分析】设白球个数为m ，根据古代概型概率公式和对立事件概率公式列方程计算m ，计算X 的各种取值对应的概率，再计算数学期望． 解：设袋中有白球m 个，则有黑球6﹣m 个，设事件A ：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球，则P （A ）＝1−C 6−m2C 62=45，∴C 6−m 2=3，即(6−m)(5−m)2×1=3，解得m ＝3或m ＝8（舍）．P （X ＝0）＝1−45=15，P （X ＝1）=C 31C 31C 62=35，P （X ＝2）=45−35=15，∴E （X ）＝0×15+1×35+2×15=1．故答案为：3，1．1414．已知ab ＞0，则(a 2+4b 2)2+2(a 2+4b 2)+54ab+1的最小值为 4 ．【分析】根据题意，由基本不等式的性质分析可得a 2+4b 2≥2×√a 2×4b 2=4ab ，进而可得(a 2+4b 2)2+2(a 2+4b 2)+54ab+1≥(4ab)2+2(4ab)+54ab+1=(4ab+1)2+44ab+1=（4ab +1）+44ab+1，据此由基本不等式的性质分析可得（4ab +1）+44ab+1的最小值，即可得答案． 解：根据题意，ab ＞0，则有a 2+4b 2≥2×√a 2×4b 2=4ab ，当且仅当a ＝2b 时等号成立， 则原式=(a 2+4b 2)2+2(a 2+4b 2)+54ab+1≥(4ab)2+2(4ab)+54ab+1=(4ab+1)2+44ab+1=（4ab +1）+44ab+1，又由ab ＞0，则4ab +1＞1，则有（4ab +1）+44ab+1≥2×√(4ab +1)×44ab+1=4，当且仅当4ab +1＝2，即4ab ＝1时等号成立，综合可得：(a 2+4b 2)2+2(a 2+4b 2)+54ab+1的最小值为4，当且仅当a ＝2b =1√2时等号成立故答案为：4．15．已知定义在R 上的偶函数f （x ）在（﹣∞，0]上单调递增，且f （﹣1）＝﹣1．若f （x ﹣1）+1≥0，则x 的取值范围是 [0，2] ；设函数g(x)={(√x +1)2−a −1，x ＞0，2x+x −a +1，x ≤0，若方程f （g （x ））+1＝0有且只有两个不同的实数解，则实数a 的取值范围为 （﹣∞，﹣1]∪（3，+∞） ．【分析】根据f （x ）的奇偶性和单调性列不等式求出x 的范围，根据g （x ）的单调性和最值，分情况讨论最值和±1的关系，从而确定a 的范围． 解：∵f （x ）是偶函数，且f （x ）在（﹣∞，0]上单调递增， ∴f （x ）在（0，+∞）上单调递减，且f （1）＝f （﹣1）＝﹣1，由f（x﹣1）+1≥0可得：f（x﹣1）≥f（1），∴﹣1≤x﹣1≤1，即0≤x≤2．由f（g（x））+1＝0可得g（x）＝1或g（x）＝﹣1．由函数解析式可知g（x）在（﹣∞，0]和（0，+∞）上均为增函数，故当x∈（﹣∞，0]时，g（x）≤2﹣a，当x∈（0，+∞）时，g（x）＞﹣a，（1）若1＞2﹣a＞﹣1＞﹣a，则g（x）＝1有1解，g（x）＝﹣1有2解，不符合题意；（2）2﹣a＞1＞﹣a＞﹣1，此时g（x）＝1有2解，g（x）＝﹣1有1解，不符合题意；（3）若﹣a≥1，则g（x）＝1有1解，g（x）＝﹣1有1解，符合题意；（4）若2﹣a＜﹣1，则g（x）＝1有1解，g（x）＝﹣1有1解，符合题意；（5）若2﹣a＝1，则g（x）＝1有2解，g（x）＝﹣1有1解，不符合题意；（6）若2﹣a＝﹣1，则g（x）＝﹣1有2解，g（x）＝1有1解，不符合题意；综上，﹣a≥1或2﹣a＜﹣1，解得a≤﹣1或a＞3．故答案为：[0，2]，（﹣∞，﹣1]∪（3，+∞）．三、解答题：（本大题共5个小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a2+c2＝b2+√105ac．（Ⅰ）求cos B及tan2B的值；（Ⅱ）若b＝3，A=π4，求c的值．【分析】（Ⅰ）由已知利用余弦定理可得cos B，利用同角三角函数基本关系式可求sin B，利用二倍角公式可求sin2B，cos2B，进而根据同角三角函数基本关系式可求tan2B的值．（Ⅱ）由已知利用两角和的正弦函数公式可求sin C的值，进而由正弦定理可得c的值．1516解：（Ⅰ）∵a 2+c 2＝b 2+√105ac ，∴由余弦定理可得：cos B =a 2+c 2−b 22ac =√1010，∴sin B =√1−cos 2B =3√1010， ∴sin2B ＝2sin B cos B =35，cos2B ＝2cos 2B ﹣1=−45，∴tan2B =sin2B cos2B =−34； （Ⅱ）∵sin C ＝sin[π﹣（A +B ）]＝sin （A +B ）＝sin （B +π4）＝sin B cos π4+cos B sin π4=3√1010×√22+√1010×√22=2√55． ∴由正弦定理c sinC =bsinB，可得c =b⋅sinC sinB =3×2√5531010=2√2． 17．如图所示，平面CDEF ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝45°，四边形CDEF 为直角梯形，EF ∥DC ，ED ⊥CD ，AB ＝3EF ＝3，ED ＝a ，AD =√2． （1）求证：AD ⊥BF ；（Ⅱ）若线段CF 上存在一点M ，满足AE ∥平面BDM ，求CMCF的值；（Ⅲ）若a ＝1，求二面角D ﹣BC ﹣F 的余弦值．【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出直线AD 及直线BF 的方向向量，利用两向量的数量积为0，即可得证；17（2）设CM →=λCF →，根据题设数据，求出平面BDN 的一个法向量，以及直线AE 的方向向量，利用AE ∥平面BDM ，建立关于λ的方程，解出即可；（3）求出平面BCF 及平面BCD 的法向量，利用向量的夹角公式即可得解． 解：（1）∵平面CDEF ⊥平面ABCD ，ED ⊥CD ， ∴ED ⊥平面ABCD ，如图，以D 为原点，DC 所在直线为y 轴，过点D 垂直于DC 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系，∵∠DAB ＝45°，AB ＝3EF ＝3，ED =a ，AD =√2，∴A （1，﹣1，0），B （1，2，0），C （0，3，0），E （0，0，a ），F （0，1，a ），∴BF →=(−1，−1，a)，DA →=(1，−1，0)，∴BF →⋅AD →=−1+1+0=0， ∴AD ⊥EF ；（2）设CM →=λCF →=λ(0，−2，a)=(0，−2λ，aλ)，则DM →=DC →+CM →=(0，3，0)+(0，−2λ，λa)=(0，3−2λ，λa)，设平面BDM 的法向量为n 1→=(x 1，y 1，z 1)，则{n 1→⋅DB →=x 1+2y 1=0n 1→⋅CP →=(3−2λ)y 1+λaz 1=0，取x 1＝2，则n 1→=(2，−1，3−2λaλ)， 若AE ∥平面BDM ，则AE →⋅n 1→=(−1，1，a)⋅(2，−1，3−2λaλ)=0，即−2−1+3−2λλ=0，解得λ=35，∴线段CF 上存在一点M ，满足AE ∥平面BDM ，此时CMCF =35；18（3）设平面BCF 的法向量为n 2→=(x 2，y 2，z 2)，则{n 2→⋅CB →=(x 2，y 2，z 2)⋅(1，−1，0)=x 2−y 2=0n 2→⋅CF →=(x 2，y 2，z 2)⋅(0，−2，1)=−2y 2+z 2=0， 取x 2＝1，则n 2→=(1，1，2)，又平面BCD 的一个法向量为n 3→=(0，0，1)，∴|cos ＜n 2→，n 3→＞|=|n 2→⋅n 3→|n 2→||n 3→||=√63，由图可知，二面角D ﹣BC ﹣F 为锐角，故二面角D ﹣BC ﹣F 的余弦值为√63．18．已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，椭圆C 过点M (1，√22)，且MF 2⊥F 1F 2． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）经过点P （2，0）的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若存在点Q （m ，0），使得|QA |＝|QB |．（i ）求实数m 的取值范围：（i ）若线段F 1A 的垂直平分线过点Q ，求实数m 的值．【分析】（Ⅰ）由椭圆过M 点，及且MF 2⊥F 1F 2，可得c ＝1，可得a ，b 的值，求出椭圆的方程；（Ⅱ）（i ）设直线AB 的方程与椭圆联立求出两根之和，可得AB 的中点N 的坐标，由|QA|19＝|QB |．可得直线AB ⊥QN 可得斜率之积为﹣1，可得m 的表达式m =2k21+2k2，进而可得m 的范围；（ii ）由题意|QF 1|＝|QA |＝QB |，且F 1（﹣1，0），可得：x 2﹣4mx ﹣4m ＝0，所以x 1+x 2＝4m =8k21+2k 2，x 1x 2＝﹣4m =8k 2−21+2k2，可得8k 21+2k 2=−8k 2−21+2k 2，解得k 2=18，进而求出m 的值．解：（Ⅰ）因为椭圆过M （1，√22），MF 2⊥F 1F 2，所以{c 2=a 2−b 21a 2+12b 2=1解得：a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆的方程为：x 22+y 2＝1；（Ⅱ）设直线的方程为：y ＝k （x ﹣2），代入椭圆的方程{y =k(x −2)x 22+y 2=1，整理可得：（1+2k 2）x 2﹣8k 2x +8k 2﹣2＝0， 因为直线l 与椭圆C 由两个交点，所以△＝64k 4﹣4（1+2k 2）（8k 2﹣2）＞0， 解得2k 2＜1；设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有x 1+x 2=8k21+2k 2，x 1x 2=8k 2−21+2k2， （i ）设AB 中点为M （x 0，y 0）， 则有x 0=4k21+2k 2，y 0＝k （x 0﹣2）=−2k1+2k 2， 当k ≠0时，因为|QA |＝|QB |，∴QM ⊥l ，∴k QM •k =−2k1+2k2−04k21+2k2−m •k ＝﹣1，解得m =2k 21+2k2，20∴m =2k21+2k2=1−11+2k 2∈（0，12）， 当k ＝0，可得m ＝0， 综上所述：m ∈[0，12）．（ii ）由题意|QF 1|＝|QA |＝QB |，且F 1（﹣1，0），由{x 2+2y 2=2(x −m)2+y 2=(m +1)2，整理可得：x 2﹣4mx ﹣4m ＝0， 所以x 1，x 2也是此方程的两个根，所以x 1+x 2＝4m =8k 21+2k 2，x 1x 2＝﹣4m =8k 2−21+2k 2， 所以8k 21+2k 2=2−8k 21+2k 2，解得k 2=18， 所以m =2k21+2k2=15．所以m 的值为15．19．设{a n }是各项都为整数的等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝1，a 3+b 2＝7，S 5b 2＝50，n ∈一、选择题*． （Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（Ⅱ）设c n ＝log 2b 1+log 2b 2+log 2b 3+…+log 2b n ，T n ＝a c n +1+ac n +2+ac n +3+⋯+ac n +n ．（i ）求T n ；（ii ）求证：∑n i=2√i2．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式； （Ⅱ）（i ）运用对数的运算性质和等差数列的求和公式可得c n =12n （n﹣1），ac n +i=n 2﹣n﹣1+2i，再由数列的分组求和，结合等差数列的求和公式，计算可得所求和；（ii）推得√T n−n =√n3−n=√(n−1)n(n+1)√n−1−√n+1，再由数列的裂项相消求和和不等式的性质，即可得证．解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由a1＝b1＝1，a3+b2＝7，S5b2＝50，可得1+2d+q＝7，5（1+2d）q＝50，解得d＝2，q＝2或d=12，q＝5，由于{a n}是各项都为整数的等差数列，所以d＝2，q＝2，从而a n＝2n﹣1，b n＝2n﹣1，n∈N*；（Ⅱ）（i）∵log2b n＝log22n﹣1＝n﹣1，∴c n＝0+1+2+…+（n﹣1）=12n（n﹣1），∴a cn+i =2（n2−n2+i）﹣1＝n2﹣n﹣1+2i，∴T n＝（n2﹣n﹣1+2）+（n2﹣n﹣1+4）+…+（n2﹣n﹣1+2n）＝n（n2﹣n﹣1）+（2+4+…+2n）＝n（n2﹣n﹣1）+n（n+1）＝n3；（ii）证明：√T n−n =√n3−n=√(n−1)n(n+1)=1n+1−√n−1（√(n−1)n−√n(n+1)）=√n（√n−1−√n+1）•√n−1+√n+12，而√n−1+√n+12=√n−1+n+1+2√n2−14＜√2n+2n4=√n，∴T n−n√n−1−√n+1，2122∴∑n i=21√i =111√3121√41√3−151√4−1√6+⋯+1√n−21√n 1√n−1−√n+1 ＝1+√22−1√n 1n+1， 由于√n +√n+10， 可得1+√22√n √n+12． 则∑n i=21√i 2．20．（16分）设函数f （x ）=k 3x 3−12x 2−x ，k ∈R ． （Ⅰ）若x ＝1是函数f （x ）的一个极值点，求k 的值及f （x ）单调区间；（Ⅱ）设g （x ）＝（x +1）ln （x +1）+f （x ），若g （x ）在[0，+∞）上是单调增函数，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）证明：当p ＞0，q ＞0及m ＜n （m ，n ∈N *）时，[p+q p2m−1∑ 2m−1i=1(−1)i−1p 2m−1−i q i−1]2n−1＞[p+qp 2n−1∑ 2n−1i=1（﹣1）i ﹣1p 2n ﹣1﹣i q i ﹣1]2m ﹣1．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到关于k 的方程，求出k ，求出函数的单调区间即可； （Ⅱ）求出函数的导数，问题转化为g ′（x ）＝h （x ）＝ln （x +1）+kx 2﹣x ≥0恒成立，求出h （x ）的导数，通过讨论k 的范围，求出函数h （x ）的最小值，求出k 的范围即可；（Ⅲ）问题转化为证明12m−1ln [1+(q p )2m−1]＞12n−1ln [1+(q p )2n−1]，不妨设p ＞q ＞0，构造函数φ（x ）=1xln （1+a x ），（x ＞0），其中a =q p ∈（0，1），根据函数的单调性证明即可．解：（Ⅰ）f ′（x ）＝kx 2﹣x ﹣1，23∵x ＝1是函数f （x ）的一个极值点，∴f ′（1）＝k ﹣1﹣1＝0，解得：k ＝2，∴f ′（x ）＝2x 2﹣x ﹣1，当f ′（x ）＞0，即x ＜−12或x ＞1时，f （x ）递增， 当f ′（x ）＜0，即−12＜x ＜1时，f （x ）递减， ∴f （x ）在（﹣∞，−12）递增，在（−12，1）递减，在（1，+∞）递增； （Ⅱ）g （x ）＝（x +1）ln （x +1）+k 3x 3−12x 2﹣x ， g ′（x ）＝ln （x +1）+kx 2﹣x ，若g （x ）在[0，+∞）上是单调增函数，则g ′（x ）≥0对∀x ∈[0，+∞）恒成立， 令h （x ）＝ln （x +1）+kx 2﹣x ，h ′（x ）=1x+1+2kx 2﹣1=x(2kx+2k−1)x+1， （i ）若k ≤0，则h ′（x ）＜0，h （x ）在[0，+∞）递减，∴h （x ）≤h （0）＝0，不合题意；（ii ）若k ＞0，由h ′（x ）＝0解得：x ＝0，x =1−2k 2k ＞−1， ①当0＜k ＜12时，1−2k 2k＞0， ∴x ∈（0，1−2k 2k）时，h ′（x ）＜0，h （x ）递减， ∴h （x ）≤h （0）＝0，不合题意，∴g （x ）＞g （1）＝0；②当k ≥12时，1−2k 2k＜0，24∴x ∈[0，+∞）时，h ′（x ）＞0，h （x ）递增，∴h （x ）≥h （0）＝0，即g ′（x ）≥0对任意x ∈[0，+∞）恒成立，综上，k ≥12时，g （x ）在[0，+∞）是单调递增函数； （Ⅲ）∵p+q p 2m−1∑ 2m−1i=1（﹣1）i ﹣1p 2m ﹣1﹣i q i ﹣1=p+q p ∑ 2m−1i=1(−q p )i−1=p+q p •1−(−q p )2m−11−(−q p )=1+(q p )2m−1， ∴[p+q p 2m−1∑ 2m−1i=1(−1)i−1p 2m−1−i q i−1]2n−1＞[p+q p 2n−1n ∑ 2m−1i=1（﹣1）i ﹣1p 2n ﹣1﹣i q i ﹣1]2m ﹣1． ⇔[1+(q p )2m−1]2n ﹣1＞[1+(q p )2n−1]2m ﹣1，⇔[1+(q p )2m−1]12m−1＞[1+(q p)2n−1]12n−1 ⇔12m−1ln [1+(q p )2m−1]＞12n−1ln [1+(q p )2n−1]， 不妨设p ＞q ＞0，则0＜q p ＜1，构造函数φ（x ）=1xln （1+a x ），（x ＞0），其中a =q p ∈（0，1）， φ′（x ）=a x lna x(1+a x )−ln(1+a x )x 2， 由（Ⅱ）知ln （x +1）＞x −12x 2， ∴ln （a x +1）＞a x −12a 2x ， ∴φ′（x ）＜a x lna x(1+a x )−a x −12a 2xx 2， ∵a ∈（0，1），x ＞0，∴lna＜0，a x＞a2x＞12a2x，∴φ′（x）＜0，φ（x）在（0，+∞）递减，∵0＜m＜n，∴0＜2m﹣1＜2n﹣1，∴12m−1ln[1+(qp)2m−1]＞12n−1ln[1+(qp)2n−1]，故原不等式成立．25。

天津市南开区2019-2020学年高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数z 满足()1i z i +=（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．12B ．12-C ．12i D ．12i -【答案】A 【解析】 【分析】由()1i z i +=得1z ii=+,然后分子分母同时乘以分母的共轭复数可得复数z ,从而可得z 的虚部. 【详解】 因为(1)i z i +=,所以22(1)1111(1)(1)11221i i i i i i z i i i i i --+=====+++-+-, 所以复数z 的虚部为12. 故选A. 【点睛】本题考查了复数的除法运算和复数的概念,属于基础题.复数除法运算的方法是分子分母同时乘以分母的共轭复数,转化为乘法运算.2．已知{}1A x x =<，{}21xB x =<，则A B =U （ ） A ．()1,0- B ．()0,1C ．()1,-+∞D ．(),1-∞【答案】D 【解析】 【分析】分别解出集合,A B 、然后求并集. 【详解】解：{}{}111A x x x x =<=-<<，{}{}210xB x x x =<=<A B =U (),1-∞故选：D 【点睛】考查集合的并集运算，基础题.3．已知复数z 满足i•z ＝2+i ，则z 的共轭复数是（）A ．﹣1﹣2iB ．﹣1+2iC ．1﹣2iD ．1+2i【答案】D 【解析】 【分析】两边同乘-i ，化简即可得出答案． 【详解】i•z ＝2+i 两边同乘-i 得z=1-2i,共轭复数为1+2i ，选D. 【点睛】(,)z a bi a b R =+∈的共轭复数为z a bi =-4．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，对称轴与准线的交点为T ，P 为C 上任意一点，若2PT PF =，则PTF ∠=（ ） A ．30° B ．45°C ．60°D ．75°【答案】C 【解析】 【分析】如图所示：作PM 垂直于准线交准线于M ，则PM PF =，故2PT PM =，得到答案. 【详解】如图所示：作PM 垂直于准线交准线于M ，则PM PF =， 在Rt PTM ∆中，2PT PM =，故30PTM ∠=︒，即60PTF ∠=︒. 故选：C .【点睛】本题考查了抛物线中角度的计算，意在考查学生的计算能力和转化能力.5．已知等差数列{}n a 的公差为-2，前n 项和为n S ，若2a ，3a ，4a 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120︒，则n S 的最大值为（ ） A ．5 B ．11 C ．20 D ．25【答案】D 【解析】 【分析】由公差d=-2可知数列单调递减，再由余弦定理结合通项可求得首项，即可求出前n 项和，从而得到最值. 【详解】等差数列{}n a 的公差为-2，可知数列单调递减，则2a ，3a ，4a 中2a 最大，4a 最小， 又2a ，3a ，4a 为三角形的三边长，且最大内角为120︒，由余弦定理得22223434a a a a a =++，设首项为1a ，即()()()()()222111112a 4a 6a 4a 60a -=-+-+--=得()()11490a a --=，所以14a =或19a =，又41a 60a ，=->即1a 6>,14a =舍去，19a =故，d=-2 前n 项和()()()219n 25252n n n S n -=+⨯-=--+.故n S 的最大值为525S =. 故选：D 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，考查求前n 项和的最值问题，同时还考查了余弦定理的应用.6．若双曲线22214x y a -= ）A ．B ．C ．6D ．8【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得24b =，再根据离心率求出2a ，即可求出c ，从而得解； 【详解】解：∵双曲线22214x y a -=所以22413e a=+=，∴22a =，∴6c =，双曲线的焦距为26. 故选：A 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.7．已知ba b c a 0.2121()2,log 0.2,===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<【答案】B 【解析】 【分析】利用函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数12log y x =互为反函数，可得01a b <<<，再利用对数运算性质比较a,c 进而可得结论. 【详解】依题意，函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数12log y x =关于直线y x =对称，则0.21210log 0.22⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即01a b <<<，又0.211220.2log 0.2log 0.20.20.20.211110.22252bc a a ⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=====<= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，c a b <<. 故选：B. 【点睛】本题主要考查对数、指数的大小比较，属于基础题. 8．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】首先分析题目求用数学归纳法证明1+1+3+…+n 1=时，当n=k+1时左端应在n=k 的基础上加上的式子，可以分别使得n=k ，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1时等式的左端减去n=k 时等式的左端，即可得到答案． 【详解】当n=k 时，等式左端=1+1+…+k 1，当n=k+1时，等式左端=1+1+…+k 1+k 1+1+k 1+1+…+（k+1）1，增加了项（k 1+1）+（k 1+1）+（k 1+3）+…+（k+1）1． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查数学归纳法，属于中档题./9．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且80S =，33a =-，则9S =( ) A ．9 B ．12C ．15-D ．18-【答案】A 【解析】 【分析】由80S =，33a =-可得1,a d 以及9a ，而989S S a =+，代入即可得到答案. 【详解】设公差为d ，则1123,8780,2a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩解得17,2,a d =-⎧⎨=⎩ 9189a a d =+=，所以9899S S a =+=.故选：A. 【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，考查学生运算求解能力，是一道基础题. 10．执行如图所示的程序框图，如果输入2[2]t e ∈-，，则输出S 属于（ ）A ．[32]-，B ．[42]-，C ．[0]2，D ．2[3]e -，【答案】B 【解析】 【分析】由题意，框图的作用是求分段函数[]222321ln 1t t t S t t t e ⎧+-∈-⎪=⎨⎡⎤∈⎪⎣⎦⎩，，（），，的值域，求解即得解. 【详解】 由题意可知，框图的作用是求分段函数[]222321ln 1t t t S t t t e ⎧+-∈-⎪=⎨⎡⎤∈⎪⎣⎦⎩，，（），，的值域， 当[2,1),[4,0)t S ∈-∈-； 当2[1,],[0,2]t e S ∈∈综上：[]42S ∈-，. 故选：B 【点睛】本题考查了条件分支的程序框图，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题.11．已知1F ，2F 是双曲线222:1xC y a-=()0a >的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于A ，B两点，若AB =△2ABF 的内切圆的半径为（ ）A．3 B．3CD【答案】B 【解析】 【分析】设左焦点1F 的坐标， 由AB 的弦长可得a 的值，进而可得双曲线的方程，及左右焦点的坐标，进而求出三角形ABF 2的面积，再由三角形被内切圆的圆心分割3个三角形的面积之和可得内切圆的半径. 【详解】由双曲线的方程可设左焦点1(,0)F c -，由题意可得22b AB a==，由1b =，可得a =所以双曲线的方程为: 2212x y -=所以12(3,0),(3,0)F F -， 所以21211223622ABF S AB F F =⋅⋅=⋅⋅=V 三角形ABF 2的周长为()()22112242422262C AB AF BF AB a AF a BF a AB =++=++++=+=+=设内切圆的半径为r ，所以三角形的面积11623222S C r r r =⋅⋅=⋅⋅=， 所以326r =，解得33r =， 故选：B 【点睛】本题考查求双曲线的方程和双曲线的性质及三角形的面积的求法，内切圆的半径与三角形长周长的一半之积等于三角形的面积可得半径的应用，属于中档题.12．半正多面体(semiregular solid) 亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．83B ．4C ．163D ．203【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图作出该二十四等边体如下图所示，求出该几何体的棱长，可以将该几何体看作是相应的正方体沿各棱的中点截去8个三棱锥所得到的，可求出其体积. 【详解】如下图所示，将该二十四等边体的直观图置于棱长为2的正方体中，由三视图可知，2，它是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，∴该几何体的体积为11202228111323V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=，故选：D.【点睛】本题考查三视图，几何体的体积，对于二十四等边体比较好的处理方式是由正方体各棱的中点得到，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年天津市南开区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1.复数是虚数单位在复平面内对应点的坐标为A. B. C. D.2.某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比依次为6：5：7，防疫站欲对该校学生进行身体健康调查，用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为n的样本，样本中高三年级的学生有21人，则n等于A. 35B. 45C. 54D. 633.方程表示圆的一个充分不必要条件是A. B.C. D.4.设，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.5.如图，长方体的底面是面积为2的正方形，该长方体的外接球体积为，点E为棱AB的中点，则三棱锥的体积是A. B. C. D. 16.已知双曲线C：的离心率为，以双曲线C的右焦点F为圆心，a为半径作圆F，圆F与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，则A. B. C. D.7.某学校食堂为了进一步加强学校疫情防控工作，降低学生因用餐而交叉感染的概率，规定：就餐时，每张餐桌如图至多坐两个人，一张餐桌坐两个人时，两人既不能相邻，也不能相对即二人只能坐在对角线的位置上现有3位同学到食堂就餐，如果3人在1号和2号两张餐桌上就餐同一张餐桌的4个座位是没有区别的，则不同的坐法种数为A. 6B. 12C. 24D. 488.已知函数，的图象关于直线对称，且与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，则函数的导函数的一个单调减区间为A. B. C. D.9.如图，在边长的等边三角形ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，O为的中心，过点O的直线与直线BC交于点P，与直线DE交于点Q，则的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10.已知集合，或，则______．11.若的二项展开式中的系数为，则______用数字作答．12.过点的直线l与圆相切，则直线l在y轴上的截距为______．13.一袋中装有6个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，则袋中白球的个数为______；从袋中任意摸出2个球，则摸到白球的个数X的数学期望为______．14.已知，则的最小值为______．15.已知定义在R上的偶函数在上单调递增，且若，则x的取值范围是______；设函数若方程有且只有两个不同的实数解，则实数a的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，已知．Ⅰ求cos B及tan2B的值；Ⅱ若，，求c的值．17.如图所示，平面平面ABCD，且四边形ABCD为平行四边形，，四边形CDEF为直角梯形，，，，，．求证：；Ⅱ若线段CF上存在一点M，满足平面BDM，求的值；Ⅲ若，求二面角的余弦值．18.已知，为椭圆C：的左、右焦点，椭圆C过点，且．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ经过点的直线交椭圆C于A，B两点，若存在点，使得．求实数m的取值范围：若线段的垂直平分线过点Q，求实数m的值．19.设是各项都为整数的等差数列，其前n项和为，是等比数列，且，，，．Ⅰ求数列，的通项公式；Ⅱ设，．求；求证：．20.设函数．Ⅰ若是函数的一个极值点，求k的值及单调区间；Ⅱ设，若在上是单调增函数，求实数k的取值范围；Ⅲ证明：当，及时，．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：，复数是虚数单位在复平面内对应点的坐标为．故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.答案：C解析：解：某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比为6：5：7，高三年级学生的数量占总数的，分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为n的样本，若已知高三年级被抽到的人数为21人，．故选：C．由某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比为6：5：7，知高三年级学生的数量占总数的，再由分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为n的样本，高三年级被抽到的人数为21人，能求出n．本题考是查分层抽样的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．3.答案：D解析：解：由，得，若方程表示圆，则，即．，B为方程表示圆的既不充分也不必要条件，C为充要条件，而，，则D为充分不必要条件．故选：D．化为，由求得k的范围，然后逐一核对四个选项得答案．本题考查圆的一般式方程，考查充分必要条件的判定，是基础题．4.答案：A解析：解：，，，，．故选：A．根据即可得出，并得出，从而可得出a，b，c的大小关系．本题考查了指数函数和对数函数的单调性，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．5.答案：C解析：解：长方体的底面是面积为2的正方形，该长方体的外接球体积为，设长方体的外接球的半径为R，则，解得该长方体的外接球半径为，，解得，，三棱锥的体积．故选：C．由该长方体的外接球体积为，求出该长方体的外接球半径为，从而求出，由此能求出三棱锥的体积．本题考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查了学生运用数学基础知识解决实际问题的能力，是中档题．6.答案：C解析：解：离心率，，由题意可知，双曲线的渐近线方程为，点，不妨设与圆F相交的渐近线为，则点F到直线MN的距离为，，，．故选：C．因为离心率，所以，不妨设与圆F相交的渐近线为，则点到直线MN的距离为，所以，，所以．本题考查双曲线的性质，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．7.答案：B解析：解：若在2人在1号餐桌，1人在2号餐桌，则有种，若在1人在1号餐桌，2人在2号餐桌，则有种，则共有不同的坐法种．故选：B．根据分类计数原理即可求出．本题考查了分类计数原理，关键是分类，属于基础题．8.答案：A解析：解：函数，的图象关于直线对称，且与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，故函数的周期为，．故，，，则函数的导函数令，可得，故的减区间为，，故选：A．先根据三角函数的图象和性质求出的解析式，可得它的导数，再利用余弦函数的单调性，得出结论．本题主要考查三角函数的图象和性质，三角函数的导数，属于基础题．9.答案：D解析：解：由题意，如图建立平面直角坐标系：因为三角形ABC边长为，故，故：DE：；，．所以直线PQ：，由对称性，不妨设．所以由得；由得所以，所以，特别的，当轴时，，，．故．故选：D．因为是等边三角形，所以可建立平面直角坐标系，设出PQ的方程，解出P，Q的坐标，即可将问题转化为直线PQ斜率k的函数，求其值域即可．本题考查平面向量在几何问题中的应用，基本思路是：建立坐标系，将问题转化为关于k的函数，然后求其最值．属于中档题．10.答案：解析：解：或，，且，．故答案为：．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．11.答案：2解析：解：通项，当时，，所以系数为，得．故答案为2利用二项展开式的通项公式求出展开式的第项，令x的指数为3，求出展开式中的系数，列出方程求出a．本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．12.答案：4解析：解：根据题意，圆，对于点，有，即点在圆上，则切线l的方程为，变形可得，直线l在y轴上的截距为4；故答案为：4根据题意，分析可得点在圆上，由圆的切线方程可得切线l的方程为，变形分析可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的切线方程的计算，属于基础题．13.答案：3 1解析：解：设袋中有白球m个，则有黑球个，设事件A：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球，则，，即，解得或舍．，，，．故答案为：3，1．设白球个数为m，根据古代概型概率公式和对立事件概率公式列方程计算m，计算X的各种取值对应的概率，再计算数学期望．本题考查了组合数公式计算，离散型随机变量的分布列与数学期望，属于基础题．14.答案：4解析：解：根据题意，，则有，当且仅当时等号成立，则原式，又由，则，则有，当且仅当，即时等号成立，综合可得：的最小值为4，当且仅当时等号成立故答案为：4．根据题意，由基本不等式的性质分析可得，进而可得，据此由基本不等式的性质分析可得的最小值，即可得答案．本题考查基本不等式的性质以及应用，注意放缩法的应用，属于基础题．15.答案：，解析：解：是偶函数，且在上单调递增，在上单调递减，且，由可得：，，即．由可得或．由函数解析式可知在和上均为增函数，故当时，，当时，，若，则有1解，有2解，不符合题意；，此时有2解，有1解，不符合题意；若，则有1解，有1解，符合题意；若，则有1解，有1解，符合题意；若，则有2解，有1解，不符合题意；若，则有2解，有1解，不符合题意；综上，或，解得或．故答案为：，，．根据的奇偶性和单调性列不等式求出x的范围，根据的单调性和最值，分情况讨论最值和的关系，从而确定a的范围．本题考查了函数零点与方程的关系，函数单调性与零点个数判断，属于中档题．16.答案：解：Ⅰ，由余弦定理可得：，，，，；Ⅱ．由正弦定理，可得．解析：Ⅰ由已知利用余弦定理可得cos B，利用同角三角函数基本关系式可求sin B，利用二倍角公式可求sin2B，cos2B，进而根据同角三角函数基本关系式可求tan2B的值．Ⅱ由已知利用两角和的正弦函数公式可求sin C的值，进而由正弦定理可得c的值．本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．17.答案：解：平面平面ABCD，，平面ABCD，如图，以D为原点，DC所在直线为y轴，过点D垂直于DC的直线为x轴，建立空间直角坐标系，，，，，2，，3，，0，，1，，，，；设，则，设平面BDM的法向量为，则，取，则，若平面BDM，则，即，解得，线段CF上存在一点M，满足平面BDM，此时；设平面BCF的法向量为，则，取，则，又平面BCD的一个法向量为，，由图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为．解析：建立空间直角坐标系，求出直线AD及直线BF的方向向量，利用两向量的数量积为0，即可得证；设，根据题设数据，求出平面BDN的一个法向量，以及直线AE的方向向量，利用平面BDM，建立关于的方程，解出即可；求出平面BCF及平面BCD的法向量，利用向量的夹角公式即可得解．本题主要考查空间向量在立体几何中的运用，考查利用空间向量求证线线垂直以及线面平行，求解二面角等问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于基础题．18.答案：解：Ⅰ因为椭圆过，，所以解得：，，所以椭圆的方程为：；Ⅱ设直线的方程为：，代入椭圆的方程，整理可得：，因为直线l与椭圆C由两个交点，所以，解得；设，，则有，，设AB中点为，则有，，当时，因为，，，解得，，当，可得，综上所述：由题意，且，由，整理可得：，所以，也是此方程的两个根，所以，，所以，解得，所以．所以m的值为．解析：Ⅰ由椭圆过M点，及且，可得，可得a，b的值，求出椭圆的方程；Ⅱ设直线AB的方程与椭圆联立求出两根之和，可得AB的中点N的坐标，由可得直线可得斜率之积为，可得m的表达式，进而可得m的范围；由题意，且，可得：，所以，，可得，解得，进而求出m的值．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，属于中难题．19.答案：解：Ⅰ设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由，，，可得，，解得，或，，由于是各项都为整数的等差数列，所以，，从而，，；Ⅱ，，，；证明：，而，，，由于，可得．则．解析：Ⅰ设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；Ⅱ运用对数的运算性质和等差数列的求和公式可得，，再由数列的分组求和，结合等差数列的求和公式，计算可得所求和；推得，再由数列的裂项相消求和和不等式的性质，即可得证．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的裂项相消求和、放缩法的运用，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．20.答案：解：Ⅰ，是函数的一个极值点，，解得：，，当，即或时，递增，当，即时，递减，在递增，在递减，在递增；Ⅱ，，若在上是单调增函数，则对恒成立，令，，若，则，在递减，，不合题意；若，由解得：，，当时，，时，，递减，，不合题意，；当时，，时，，递增，，即对任意恒成立，综上，时，在是单调递增函数；Ⅲ，．，，不妨设，则，构造函数，，其中，，由Ⅱ知，，，，，，，，在递减，，，，故原不等式成立．解析：Ⅰ求出函数的导数，得到关于k的方程，求出k，求出函数的单调区间即可；Ⅱ求出函数的导数，问题转化为恒成立，求出的导数，通过讨论k的范围，求出函数的最小值，求出k的范围即可；Ⅲ问题转化为证明，不妨设，构造函数，，其中，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。

天津市南开区2023-2024学年高三上学期期末考试数学试题第I 卷注意事项：1.答第I 卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号､考试科目涂在答题卡上；2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；3.本卷共9小题，每小题5分，共45分.参考公式：●锥体的体积公式13V Sh=，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高.●对于事件(),,0A B P A >，那么()()()P AB P A P B A =⋅∣.一､选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}{}1,0,1,2,3,0,1,2,{12}U A B x x =-==∈-<<Z ∣，则()U A B =ð（）A.∅B.{}1 C.{}2 D.{}1,2【答案】C 【解析】【分析】由集合补集及交集的性质即可求得.【详解】{}{12}0,1B x x =∈-<<=Z ∣，{}1,0,1,2,3U =-{}U 1,2,3B ∴=-ð又{}0,1,2A = ∴()U A B = ð{}2故选：C2.函数2()sin 12xf x x =++的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】通过判断()f x 不是奇函数，排除A ，B ，又因为302f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，排除C ，即可得出答案.【详解】因为2()sin 12xf x x =++的定义域为R ，又因为()()222sin()sin 1221xxx f x x x f x -⋅-=-+=-+≠-++，所以()f x 不是奇函数，排除A ，B.33223322sin(10221212f ππππ⎛⎫=+=-+< ⎪⎝⎭++，所以排除C.故选：D.3.“1a <”是“2R,0x x x a ∃∈-+<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】将存在量词命题转化为有解问题，再利用一元二次不等式有解及充分条件和必要条件的定义即可求解.【详解】因为2R,0x x x a ∃∈-+<，所以()2140a ∆=-->，解得14a <.所以(),1-∞1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，故“1a <”是“2R,0x x x a ∃∈-+<”的必要不充分条件.故选：B.4.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示，则a 的值为（）A.0.02B.0.2C.0.04D.0.4【答案】A 【解析】【分析】根据题意结合频率和为1列式求解.【详解】由频率分布直方图可知：每组频率依次为0.1,10,0.45,10,0.05a a ，则0.1100.45100.05200.61a a a ++++=+=，解得0.020a =.故选：A.5.设0.40.40.3log ,log 022,.3a b c ===，则（）A.a c b <<B.b a c <<C.c b a <<D.a b c<<【答案】D 【解析】【分析】利用对数的运算性质、对数函数的性质和指数函数的性质即可求解.【详解】20.0.3243log ,o lo 1122log 0.4l g 0.g a b ====，由2log y x =在()0,∞+上单调递增，0.40.3>，得220.40.30>log log >，所以22110log 0.4log 0.3<<，即0.40.30log l 2og 2<<，于是有0a b <<，由0.40.30c =>，得0a b c <<<，所以a b c <<.故选：D.6.数列{}n a 满足12a =，111nn na a a ++=-，其前n 项积为n T ，则10T 等于（）A.16B.16-C.6D.6-【答案】D 【解析】【分析】依次代入1,2,3,4n =可得{}n a 是以4为周期的周期数列，由1231n n n n a a a a +++=可推导得到结果.【详解】当1n =时，121131a a a +==--；当2n =时，2321112a a a +==--；当3n =时，3431113a a a +==-；当4n =时，454121aa a +==-；…，∴数列{}n a 是以4为周期的周期数列，()()1231123123n n n n a a a a n N *+++⎛⎫∴=⨯-⨯-⨯=∈ ⎪⎝⎭，()10891012236T T a a a a ∴=⋅==⨯-=-.故选：D.7.已知圆柱12O O 的底面半径为1，高为2，AB ，CD 分别为上、下底面圆的直径，AB CD ⊥，则四面体ABCD 的体积为（）A.13B.23C.1D.43【答案】D 【解析】【分析】易证AB ⊥平面1CDO ，然后由11--=+ABCD A CDO B CDO V V V 求解.【详解】解：如图所示：连接11CO DO ，因为AB CD ⊥，12AB O O ⊥，且122O O CD O ⋂=，所以AB ⊥平面1CDO ，所以11--=+ABCD A CDO B CDO V V V ，111142223323=⋅=⨯⨯⨯⨯= CDO S AB ，故选：D8.设函数()()(0,π)f x x ωϕωϕ=-><.若π5π0,88f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则（）A.17π,312ωϕ==-. B.111π,324ωϕ==C.2π,312ωϕ==-D.211π,312ωϕ==【答案】C 【解析】【分析】由题意求得4T，再由周期公式求得ω，再由5π8⎛⎫= ⎪⎝⎭f π2π12k ϕ=--，结合||πϕ<，求得ϕ值，即可得解．【详解】由()f x 的最小正周期大于2π，可得π42T >，因为π5π0,88f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得5ππ3π4884=+=T ，则3πT =，且0ω>，所以2π23T ω==，即2()3ϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭f x x ，由5π25π838ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f ，即5πsin 112ϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可得5ππ2π122ϕ-=+k ，k ∈Z ，则π2π12k ϕ=--，k ∈Z ，且π<ϕ，可得0k =，π12ϕ=-，所以23ω=，π12ϕ=-.故选：C ．9.已知()13,0F -，()23,0F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点，点P 是双曲线上一点，若126PF PF a +=，且12PF F △的最小内角为6π，则双曲线的标准方程为（）A.22163x y -= B.22136x y -= C.2218y x -= D.2218x y -=【答案】B 【解析】【分析】设点P 为双曲线右支上一点，结合双曲线的定义与条件可得14PF a =，22PF a =，在12PF F △中，根据大边对大角可知12PF F ∠为最小角，进而根据余弦定理求得a ，再得到b ，即可得到答案.【详解】设点P 为双曲线右支上一点，则12PF PF >，因为122PF PF a -=，且126PF PF a +=，所以14PF a =，22PF a =，由题，因为1226F F c ==，则2242c a a a>⎧⎨>⎩，所以12PF F ∠为最小角，故126PF F π∠=，所以在12PF F △中，由余弦定理可得，()()()22242232422a c a a c+-=⋅⋅，解得a =所以b ，所以双曲线的标准方程为22136x y -=.故选：B第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔答题：2.本卷共11小题，共105分.二､填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10.已知复数1212i,i z z a =+=-，若12z z ⋅是实数，则实数a 的值为__________.【答案】12##0.5【解析】【分析】根据复数的乘法运算可得()()12221i ⋅=++-z z a a ，进而结合题意可得210a -=，运算求解即可.【详解】由题意可得：()()()()1212i i 221i ⋅=+-=++-z z a a a ，若12z z ⋅是实数，则210a -=，解得12a =.故答案为：12.11.6⎛⎫展开式中，3x 的系数等于________．【答案】15【解析】【详解】⎛⎫6的通项为T r ＋1＝C 6r⎛⎫6－r ⎛ ⎝r ＝C 6r (－1)r x6－32ry 32r －3，令6－32r ＝3，得r ＝2，32r －3＝0，故x 3的系数为C 62(－1)2＝15.12.直线21y x =+与圆C ：22450x y x +--=相交于M ，N 两点，则MN =______．【答案】4【解析】【分析】利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再根据勾股定理求解.【详解】解：圆C ：()2229x y -+=，其圆心坐标为()2,0，半径为3．圆心()2,0到直线2x －y ＋1＝0的距离d ==则4MN ===．故答案为:4.13.设甲乘汽车､动车前往某目的地的概率分别为0.4,0.6，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.7,0.9，则甲正点到达目的地的概率为__________.【答案】0.82##4150【解析】【分析】利用全概率公式求解即可.【详解】设事件1A =“甲乘汽车前往某目的地”，事件2A =“甲乘动车前往某目的地”，事件B =“甲正点到达目的地”.()()()()()11220.40.70.60.90.82P B P B A P A P B A P A =+=⨯+⨯=.故答案为：0.8214.在ABC 中，1,90AC BC C ∠===，则CA CB +=__________；若P 为ABC 所在平面内的动点，且3PC =，则PA PB ⋅ 的取值范围是__________.【答案】①.②.24,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】建立，利用向量的坐标运算求CA CB + ；设33cos ,sin 33P θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，利用向量的坐标运算结合辅助角公式可得()1sin 3PA PB θϕ⋅=-+ ，再结合正弦函数的有界性分析求解.【详解】如图，以C 为坐标原点，,AC BC 分别为,x y 轴所在直线，建立平面直角坐标系，则()(()1,0,,0,0A B C ，可得()(1,0,CA CB == ，则(CA CB +=，所以CA CB +==；因为3PC =，设cos ,sin 33P θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，可得1cos,sin,cos sin3333PA PBθθθθ⎛⎫⎛⎫=--=--⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则33331cos cos sin sin3333PA PBθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=--+--⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()11sin cos sin3333θθθϕ⎛⎫=-+=-+⎪⎪⎝⎭，其中cos,sin33ϕϕ==，因为()[]sin1,1θϕ+∈-，所以()124sin,333PA PBθϕ⎡⎤⋅=-+∈-⎢⎥⎣⎦.24,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.15.已知函数()()1221,1,log1,1,x xf xx x-⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩若方程()f x m=有三个不等的实根，则实数m的取值范围是__________；函数()()()()322g x f f x f x=--的零点个数是__________.【答案】①.(]1,2②.4【解析】【分析】作出()f x大致图象，结合图象可得实数m的取值范围；令()f x t=，将问题转化为()322f t t=+，根据图象分析得()122f t t=+有两个零点为10t=，()21,2t∈，从而考虑()1f x t=与()2f x t=根的个数即可求解.【详解】作出()f x大致图象如下：若方程()f x m=有三个不等的实根，由图象可得实数m的取值范围是(]1,2；令()f x t=，则()3202f t t--=，可得()322f t t=+，且()302f =，结合图象可知方程()322f t t =+的一个根10t =，另一个根()21,2t ∈，当10t =时，()f x 与1y t =的图象有1个交点，所以()1f x t =有1个实根，当()21,2t ∈时，()f x 与2y t =的图象有3个交点，所以()2f x t =有3个实根，综上所述：()g x 共有4个零点.故答案为：(]1,2；4.【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．三､解答题：本大题共5题，共5分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且)2222sin ac B a c b =+-，2a c =.（1）求角B 的大小；（2）求角A 的大小；（3）求2sin cos sin cos sin sin cos A B C A B C C -的值.【答案】（1）π3B =（2）π4A =（3）28【解析】【分析】（1）根据题意利用余弦定理边化角即可得解；（2）根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换分析求解；（3）可得5π12=C ，代入结合降幂公式分析求解.【小问1详解】因为)2222sin ac B a c b =+-，由余弦定理可得2sin cos =ac B B ，则tan B =.又因为0πB <<，所以π3B =.【小问2详解】因为2a c +=，由正弦定理可得sin 2sin A B C =，即π2sin 2sin π33A A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以sin sin 2A A A +=+，则cos 2A =.因为0πA <<，所以π4A =.【小问3详解】由（1）（2）可得()5ππ12=-+=C A B ，则2sin cos sin cos sin sin cos A B C A B C C -5π5π1cos sin ππππ66sin cos cos sin 432432-=⋅⋅-⋅3111222222228+=⨯-=.17.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱11AB 上一点（不含端点），F 为棱BC 的中点.（1）若E 为棱11A B 的中点，（i ）求直线EF 与平面11A BC 所成角的正弦值；（ii ）求平面11A BC 和平面AC 的夹角的余弦值；（2）求直线EF 与11A C 所成角余弦值的取值范围.【答案】（1）（i ）23；（ii）3（2）,102⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标；（i ）求出直线EF 的方向向量和平面A 1BC 1的法向量，利用向量的夹角与线面角的关系即可求解；（ii ）分别求出平面A 1BC 1和平面AC 的法向量，利用向量的夹角与线面角的关系即可求解；（2）根据（1）的结论，分别求出直线EF 和直线A 1C 1的方向向量，利用向量的夹角与线面角的关系，结合对勾函数的性质即可求解.【小问1详解】在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中以DA ,DC ,DD 1分别为x ,y ,z轴建立空间直角坐标系，如图所示设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，若E 为棱11A B 的中点，则()()2,1,2,1,2,0E F ，()()()112,2,0,2,0,2,0,2,2B A C .所以()()()1112,2,0,0,2,2,1,1,2A C BA FE =-=-=- .（i ）设平面11A BC 的一个法向量为(),,n x y z =，则1110,0,n A C n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即220,220,x y x z -+=⎧⎨-+=⎩令1x =，则()1,1,1n = .设EF 与平面11A BC 所成角为α，则有sin cos ,3n FE n FE n FEα⋅==== .故直线EF 与平面11A BC 所成角的正弦值为23.（ii ）易知平面AC 的一个法向量为()0,0,1m =，设平面PDC 和平面EAC 的夹角为β，则有||cos |cos ,|||||3m n m n m n β⋅=〈〉== .故平面11A BC 和平面AC的夹角的余弦值为3.【小问2详解】设直线EF 与11A C 所成角为(),2,,2(02)E m m θ<<，则()1,2,2FE m =- .所以111111cos cos ,A C FE A C FE A C FE θ⋅====因为02m <<，所以952m m +>，即1211954m m <-<+-1<，所以102102<，即102cos 102θ<<.故直线EF 与11A C所成角余弦值的取值范围为,102⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.18.设椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点226,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，且其左焦点坐标为()1,0-.（1）求椭圆的方程；（2）对角线互相垂直的四边形ABCD 的四个顶点都在E 上，且两条对角线均过E 的右焦点，求AC BD +的最小值.【答案】（1）22143x y +=（2）487.【解析】【分析】（1）根据焦点坐标和椭圆所过点，利用椭圆的定义可求方程；（2）设出直线方程，联立，结合韦达定理表示出AC BD +，利用二次函数可得答案.【小问1详解】因为椭圆E 的左焦点坐标为()1,0-，所以右焦点坐标为()1,0,1c =.又椭圆E经过点2,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以24,a b ====所以椭圆的方程为22143x y +=.【小问2详解】①当直线,AC BD 中有一条直线的斜率不存在时，7AC BD +=.②当直线AC 的斜率存在且不为0时，设直线AC 的方程()()11221,,,,x ty A x y C x y =+，由2213412x ty x y =+⎧⎨+=⎩，得()2234690t y ty ++-=，则12122269,3434t y y y y t t --+==++，()2212134t AC t +=+.设直线BD 的方程为11x y t =-+，同理得()2212134t BD t +=+，所以()()()22228413434t AC BD t t ++=++，设21m t =+，则1m >，则()()22284848448113141711491224m AC BD m m m m m +===≥+-⎛⎫-++--+ ⎪⎝⎭，所以2m =时，AC BD +有最小值487.综上，AC BD +的最小值是487.19.已知正项等比数列{}n a 满足1232,12a a a =+=，数列{}n b 的前n 项和为12,1n S b =，当2n ≥时，10n n n S S b -+=.（1）求{}n a 的通项公式：（2）证明1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求n S ；（3）设数列n n a S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若()29n n T n a λ≤+恒成立，求λ的取值范围.【答案】（1）2nn a =（2）证明见解析，11n S n =+（3）3λ≤.【解析】【分析】（1）利用等比数列基本量的计算求通项公式；（2）利用n a 与n S 的关系以及等差数列的定义求解；（3）利用错位相减法求和以及基本不等式求解.【小问1详解】设正项等比数列{}n a 的公比为(0)q q >，由1232,12a a a =+=，得22212q q +=，解得2q =，所以2n n a =.【小问2详解】当2n ≥时，10n n n S S b -+=，所以()110n n n n S S S S --+-=，整理得1111n n S S --=，所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以11112S b ==为首项，1为公差的等差数列.所以11n n S =+，即11n S n =+.【小问3详解】由（1）､（2）知()12n n n a n S =+⋅，所以()1231223242212n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++⋅++⋅ ，①()23412223242212,n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++⋅++⋅ ②①-②得()()231422212n n n T n +-=++++-+⋅ 12n n +=-⋅,所以12n n T n +=⋅.由()29n n T n a λ≤+得()12292n n n n λ+⋅≤+⋅，即922n nλ≤+，因为9322n n +≥=，当且仅当3n =时，等号成立，所以3λ≤.20.已知函数()()ln ,a f x x x g x x x =-=+，且函数()f x 与()g x 有相同的极值点.（1）求实数a 的值；（2）若对121,,3e x x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式()()12f x f x k -≤恒成立，求实数k 的取值范围；（3）求证：()()e cos x x f x g x x++<.【答案】（1）1（2）()2ln3,∞-+（3）证明见解析【解析】【分析】（1）先求得()f x 的极大值点为1x =，由(1)0g '=可得1a =，经检验可确定1a =；（2）先求得()f x 在1,3e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，然后分1k >-和1k <-两种情况可得k 的取值范围；21(0)2x x >和21ln e 2x x x x -<-即可证令()（3）所证不等式即为x ln x -e x <cos x -1，通过证明cos x -1>-得结果.【小问1详解】110f x x'=-=，解得1x =，当()0,1x ∈时，()()0,f x f x '>在()0,1单调递增，当()1,x ∈+∞时，()()0,f x f x '<在()1,+∞单调递减，故函数()f x 的极大值点为1x =.令()210a g x x=-='，由题意可得()110g a '=-=，解得1a =，经验证符合题意，故实数a 的值为1.【小问2详解】由（1）知，函数()f x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，在()1,3单调递减，又()()111,11,3ln33e e f f f ⎛⎫=--=-=- ⎪⎝⎭，且1ln3311e-<--<-，所以当1,3e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()max min ()11,()3ln33f x f f x f ==-==-，若不等式()()12f x f x k -≤恒成立，则()max min ()()1ln332ln3≥-=---=-k f x f x ，所以k 的取值范围为()2ln3,∞-+.【小问3详解】所证不等式即为ln e cos 1x x x x -<-.先证：21cos 1(0)2x x x ->->，即证21cos 102x x +->在()0,∞+上恒成立，设()()21cos 1,sin 2h x x x h x x x =+-='-+，设()()'=d x h x ，因为()cos 10'=-+>d x x 在()0,∞+上恒成立，所以()h x '在()0,∞+单调递增，则()()00h x h ''>=，所以()h x 在()0,∞+单调递增，则()()00h x h >=，所以21cos 1(0)2x x x >->.再证：21ln e 2x x x x -<-，即证2ln e 12x x x x <-.设()()2ln 1ln ,x x m x m x x x -'==，当()0,e x ∈时，()()0,m x m x '>单调递增，当()e,x ∈+∞时，()()0,m x m x '<单调递减，所以()()1e em x m <=.设()()()232e e 1,2x x x x x x x ϕϕ-=-='，当()0,2x ∈时，()()0,x x ϕϕ'<单调递减，当()2,x ∈+∞时，()()0,x x ϕϕ'>单调递增，所以()()2e 1242x ϕϕ>=-.所以22ln 1e 1e 1e 422x x x x <<-<-，即2ln e 12x x x x <-.综上，ln e cos 1x x x x -<-，得证.【点睛】关键点睛：第（3）问的关键点是：将证明ln e cos 1x x x x -<-转化为证明21cos 1(0)2x x x ->->和21ln e 2x x x x -<-.。

天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷二模试卷第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =，则实数a 的取值范围是（ ） （A ）(,2]-∞-（B ）[2,)-+∞（C ）(,2]-∞（D ）[2,)+∞解析：{|20}{|2}A x x x x =-<=<，,A B A A B =⊆,所以满足2a ≥，所以答案选择D.知识点;集合与常用逻辑用语--------集合的运算 难度系数：22．在复平面内，复数2=(12i)z +对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限解析：22=(12i)14434z i i i +=++=-+，所以复数对应的点（-3,4）点在第二象限。

知识点;推理与证明、数系的扩充与复数--------复数---复数乘除和乘方 难度系数：23．直线2y x =为双曲线2222 1(0,0)x y C a b a b-=>>：的一条渐近线，则双曲线C 的离心率是（ ）（A（B）2（C（D）2解析：双曲线的渐近线方程为b y x a =±，2222222,,5,5,bc a b c a e e a∴==+===，所以答案为C知识点：解析几何---------圆锥曲线--------双曲线 难度系数：34．某四棱锥的三视图如图所示，记A 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ） （A ） 2A ∈，且4A ∈ （BA ，且4A ∈ （C ） 2A ∈，且A （DAA的正方形，高为4的正四棱锥，所以每=D 。

知识点：立体几何-------空间几何体----------空间几何体的三视图和直观图 难度系数：25．设平面向量a ，b ，c 均为非零向量，则“()0⋅-=a b c ”是“=b c ”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件解析：平面向量a ，b ，c 均为非零向量，()0⋅-=a b c ，可以得出=b c 或者()⊥-a b c ；所以为必要不充分条件。

天津市部分区2020年高三质量调查试卷（二）数学试卷参考答案一、选择题：(本大题共9个小题，每小题5分，共45分)二、填空题：(本大题共6个小题，每小题5分，共30分)10．221916x y -= 11．2- 12． 13．2 14．2；10 15．920-三、解答题：（本大题共5个小题，共75分）16．解：（1）依题意，知语文、数学、英语三个兴趣小组的人数之比为2:2:3，因此，采用分层抽样方法从中抽取7人，应从语文、数学、英语三个兴趣小组中分别 抽取2人、2人、3人． ……………………………………………………………3分 （2）（ⅰ）依题意，得随机变量X 的所有可能取值为2，3，4．………………4分所以，45247()(2,3,4)k kC C P X k k C -⋅===．…………………………………………5分 因此，所求随机变量X 的分布列为………………………………………………10分故随机变量X 的数学期望为1020520()2343535357E X =⨯+⨯+⨯=． ……………………………………11分 （ⅱ）依题意，设事件B 为“抽取的4人中，三科成绩全及格的有2人，三科成绩不全及格的有2人”；事件C 为“抽取的4人中，三科成绩全及格的有3人，三科成绩不全及格的有1人”.则有M B C =U ，且B 与C 互斥. 由①知，()(2),()(3)P B P X P C P X ====，所以6()()(2)(3).7P M P B C P X P X ===+==U ………………………13分 故事件M 发生的概率为67． ……………………………………………………14分 17.（1）证明：因为()2=31n n S a -（n ∈N *）， ①所以，当2n ≥时，有()-1-12=31n n S a -， ② ……………………………1分 ①-②得()()112=3n n n n S S a a ----， 即12=33n n n a a a --，所以1=3n n a a -（n ∈N *，2n ≥）．………………………3分 所以数列{}n a 是公比为2的等比数列． …………………………………………4分 又由①得()112=31S a -，所以13a =． …………………………………………5分所以111333n n nn a a q --==⨯=． …………………………………………………7分（2）解：由题意及（1）得()()21213=-=-n n n b n a n ． ………………………8分 所以()121333213=⨯+⨯++-⋅L n n T n ， ③所以()()23131333233213+=⨯+⨯++-⋅+-⋅L n n n T n n ， ④ …………10分 ③-④，得()1231213232323213+-=⨯+⨯+⨯++⨯--⋅L n n n T n………………12分()()11231323333213+=-+++++--⋅L n n n()()()1133132213621331++-=-+⨯--⋅=----n n n n n ， …………14分故()1313n n T n +=+-． …………………………………………………………15分18.（1）证明：因为AB //CD ，90∠=oBAD ，所以90ADC ∠=o.又因为1==AD CD ，所以ACD ∆是等腰直角三角形,所以AC =45CAD ∠=o ． …………………………………………………2分又因为90∠=oBAD ，45ABC ∠=o，所以90ACB ∠=o，即AC BC ⊥． ………………………………………………3分 因为⊥PC 底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PC BC ⊥.又PC AC C =I ,所以BC ⊥平面PAC ． ………………………………………6分 （2）解：在Rt ∆ABC 中, 45ABC ∠=o，AC =BC =由（1）知，BC ⊥平面PAC ，所以BPC ∠是直线PB 与平面PAC所成的角，则sin BPC ∠=． ………7分 在Rt ∆PBC 中, sin 3BC PB BPC ===∠所以2PC ==． ……………………………………………………8分【方法一】以点C 为原点，分别以,,AC CB CP u u u r u u u r u u u r的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系C xyz -． …………………………9分 则()()()()0,0,0,0,0,2,,C P A B . 因为E 为PB的中点，所以0,12E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以(),0,2CA CE ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r ．…………10分设平面ACE 法向量为(),,m x y z =u r，则0,0,CA m CE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u r u u u r u r即0,0.2y z ⎧=+=⎩ 令2y =，得0,x z ==(0,2,m =u r． ………………………12分由BC ⊥平面PAC ，则()0,1,0n =r为平面PAC 的一个法向量． ……………13分所以cos ,m n m n m n⋅===u r ru r r u r r ． 故所求二面角P AC E --…………………………………15分 【方法二】以点C 为原点，分别以,,CB CA CP u u u r u u u r u u u r的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系C xyz -． ………………………9分 则()()())0,0,0,0,0,2,,C P A B.因为E 为PB的中点，所以012E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，所以(),2CA CE ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r ． …………10分设平面ACE 法向量为(),,m x y z =u r，则0,0,CA m CE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u r u u u r u r即0,0.2x z =+=⎩ 令2x =，得0,y z ==．所以(2,0,m =u r． ………………………12分由BC ⊥平面PAC ，则()1,0,0n =r为平面PAC 的一个法向量.………………13分所以cos ,3m n m n m n⋅===u r ru r r u r r ． 故所求二面角P AC E --……………………………………15分 19.（1）解：设椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2c （0c >），则26c =，所以3c =． ……………………………………………………………1分因为直线AB 过C 的焦点1F ，且2ABF ∆的周长是， 所以()()()2112224AB AF BF AF BF AF BF a ++=+++==所以a =． ……………………………………………………………………2分 所以2221899b a c =-=-=． …………………………………………………3分所以，椭圆C 的方程是221189x y +=． ……………………………………………4分（2）（ⅰ）证明：由题意得，直线OP ：1y k x =，直线OQ ：2y k x =. 因为直线,OP OQ 与圆M 相切，=,化简，得22210010(6)260x k x y k y --+-=； 同理，得222020020(6)260x k x y k y --+-=．……………………………………6分所以12,k k 是一元二次方程2220000(6)260x k x y k y --+-=的两实数根，则有20122066y k k x -⋅=-．………………………………………………………………7分又因为点00(,)M x y 在C 上，所以22001189x y +=，即2200192y x =-， 所以()22001222001136122662x x k k x x --===---（定值）． ……………………………9分 （ⅱ）解：22OP OQ +是定值，且定值为27． ……………………………10分 理由如下：【方法一】设),(,),(2211y x Q y x P .由（1）、（2）联立方程组122,1,189y k x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得212122112118,1218.12x k k y k ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩ …………11分 所以2221112118(1)12k x y k ++=+． …………………………………………………12分同理，得2222222218(1)12k x y k ++=+． ……………………………………………13分 由（2）知1212k k =-， 所以2222221122OP OQ x y x y +=+++2212221218(1)18(1)1212k k k k ++=+++ 22112211118(1())18(1)211212()2k k k k +-+=+++-2121275412k k +=+27=， 所以22=27OP OQ +（定值）．……………………………………………15分 【方法二】设),(,),(2211y x Q y x P , 由（2）知1212k k =-，所以2222121214y y x x =． ………………………………11分 因为),(,),(2211y x Q y x P 在C 上，所以221122221,1891,189x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 即 2211222219,219.2y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ………………………………12分 所以22221212111(9)(9)224x x x x --=，整理得221218x x +=， 所以222212121199922y y x x ⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ………………………………14分 故有22=27OP OQ +（定值）.………………………………………………15分 20.解：（1）由题意,得()()()()sin cos 4cos sin 2sin 4x x x f x e x x e x x e x '=-+++=+，………1分所以()04f '=．因为()03f =，所以()340y x -=-，即所求曲线()=y f x 在点()()0,0f 处的切线方程为430x y -+=． ………3分 （2）易知，函数()h x 的定义域为R ，()2sin '=+g x x ， 且有()()''=-h x f x ()'ag x()()()()2sin 4sin 22sin 2=+-+=-+x x e x a x e a x ．……………5分由于sin 20+>x 在∈x R 上恒成立，所以①当0≤a 时，20->xe a 在∈x R 上恒成立，此时()0'>h x ，所以，()h x 在区间(),-∞+∞上单调递增． ……………………………………7分 ②当0>a 时，由()0'>h x ，即20->xe a ，解得ln2>ax ； 由()0'<h x ，即20-<xe a ，解得ln2<a x . 所以，()h x 在区间,ln 2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭a 上单调递减； 在区间ln,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭a 上单调递增． ………………………………………9分 （3）易知，cos 0+-≤xx mx e等价于cos 0--≤x e x x m .设()cos ϕ=--x x e x x m （50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ）．…………………………………10分 由题意，对50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，不等式cos 0+-≤x x m x e 恒成立， 只需()max 0ϕ≤x ． ………………………………………………………………11分 易得()()cos sin 1'ϕ=--x x e x x ，50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x . 令()()cos sin 1=--x t x e x x ，50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ， 所以()()2sin '=-x t x e x ． ……………………………………………………13分 显然，当50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，()0'≤t x 恒成立. 所以函数()t x 在50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 上单调递减，所以()()00≤=t x t ， 即()0'ϕ≤x 在50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 恒成立．……………………………………………14分 所以，函数()ϕx 在50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 上单调递减. 所以有()()max 010ϕ=ϕ=-≤x m ， …………………………………………15分 所以1≥m .故所求实数m 的取值范围是[)1,+∞． …………………………………………16分。

2020年天津市部分区高考数学二模试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合{1A =-，0，1}，{1B =-，2，3}，{|11}C x R x =∈-<„，则()(A B C =U I)A ．{1}-B ．{1-，0}C ．{1-，1}D ．{1-，0，1}2．（5分）已知命题:p x R ∃∈，2230x x ++<，则命题p 的否定是( ) A ．x R ∃∈，2230x x ++> B ．x R ∀∈，2230x x ++„C ．x R ∀∈，2230x x ++…D ．x R ∀∈，2230x x ++>3．（5分）已知i 为虚数单位，若复数1()2aiz a R i+=∈-的实部为1-，则||(z = ) A ．13BC ．53D4．（5分）函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x …时，()2(x f x x a a =++为常数），则f （a ）(= )A ．12B ．32 C ．32-D ．2-5．（5分）若sin()3πθ-=，(0,)θπ∈，则cos()(6πθ-= )A ．0B ．12C ．1 D6．（5分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，10100S =，则7(a = ) A ．11B ．13C ．15D ．177．（5分）已知3log 0.3a =，0.3log 2b =，0.23c =，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>8．（5分）若函数()cos(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<在区间[,]66ππ-上单调递减，且在区间(0,)6π上存在零点，则ϕ的取值范围是( ) A ．(,]62ππB ．25[,)36ππ C ．2(,]23ππD ．[,)32ππ9．（5分）已知函数2171,20,()6,0,x x x f x lnx x e ⎧++-<⎪=⎨⎪<⎩„„函数()g x kx =．若关于x 的方程()()0f x g x -=有3个互异的实数根，则实数k 的取值范围是( )A ．15(,)6eB ．11[,]3eC ．15[,]36D ．1(0,)e二、填空题：本大题共6小题，共30分；答题直接填写结果，不必写计算或推证过程.10．（5分）双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为(5,0)F ，且一条渐近线方程是43y x =，则该双曲线的方程是 ．11．（5分）若6()ax x +的展开式中的常数项为160-，则实数a = ．12．（5分）已知点(,)P x y 在直线230x y +-=上，则24x y +的最小值为 ．13．（5分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若2sin cos()04a C c A π--=，则cos A = ．14．（5分）如图，点O 是长方体1111ABCD A B C D -的中心，E ，F ，G ，H 分别为其所在棱的中点，且1BC BB =．记棱AB 的长度为l ，点O 到平面11BCC B 的距离为0l ，则l = 0l ；若该长方体的体积为120，则四棱锥O EFGH -的体积为 ．15．（5分）在梯形ABCD 中，//AB CD ，90DAB ∠=︒，2AB =，1CD AD ==，若点M 在线段BD 上，则AM CM u u u u r u u u u rg的最小值为 ． 三、解答题：本大题共5个小题，共75分；解答应写出必要的文字说明、推证过程或演算步骤.16．（14分）天津市某中学为全面贯彻“五育并举，立德树人”的教育方针，促进学生各科平衡发展，提升学生综合素养．该校教务处要求各班针对薄弱学科生成立特色学科“兴趣学习小组”（每位学生只能参加一个小组），以便课间学生进行相互帮扶．已知该校某班语文、数学、英语三个兴趣小组学生人数分别为10人、10人、15人．经过一段时间的学习，上学期期中考试中，他们的成绩有了明显进步．现采用分层抽样的方法从该班的语文，数学，英语三个兴趣小组中抽取7人，对期中考试这三科成绩及格情况进行调查．（1）应从语文，数学，英语三个兴趣小组中分别抽取多少人？（2）若抽取的7人中恰好有5人三科成绩全部及格，其余2人三科成绩不全及格．现从这7人中随机抽取4人做进一步的调查．（ⅰ）记X 表示随机抽取4人中，语文，数学，英语三科成绩全及格的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（ⅱ）设M 为事件“抽取的4人中，有人成绩不全及格”，求事件M 发生的概率． 17．（15分）已知各项均为正数的数列{}n a ，满足*23(1)()n n S a n N =-∈． （1）求证：{}n a 为等比数列，并写出其通项公式； （2）设*(21)()n n b n a n N =-∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（15分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是直角梯形，PC ⊥底面ABCD ，//AB CD ，90BAD ∠=︒，1AD CD ==，45ABC ∠=︒，E 为PB 的中点． （1）求证：BC ⊥平面PAC ；（2）若直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值为3，求二面角P AC E --的余弦值．19．（15分）已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点，其焦距为6，过1F 的直线与C 交于A ，B 两点，且2ABF ∆的周长是122 （1）求C 的方程；（2）若0(M x ，0)y 是C 上的动点，从点(O O 是坐标系原点）向圆2200()()6x x y y -+-=作两条切线，分别交C 于P ，Q 两点．已知直线OP ，OQ 的斜率存在，并分别记为1k ，2k ． （ⅰ）求证：12k k 为定值；（ⅱ）试问22||||OP OQ +是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由． 20．（16分）已知函数()(sin cos 4)x f x e x x =-+，函数()2cos g x x x =-，其中 2.71828e =⋯。