2020长宁高三数学二模(含答案)

上海市长宁区2020届高三二模数学试卷2020.5一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.已知集合(2,1]A ，(0,)B ，则A B2.行列式5182的值等于 3.5(1)x 的二项展开式的第三项的系数是4.若复数z 满足23z ，则||z5.若实数x 、y 满足0022x y x y，则z x y 的最小值为 6.直线2:12x t l y t（t 是参数）的斜率为 7.如图，已知正四棱柱1111ABCD A B C D边长为1，则直线1D B 和底面ABCD 所成的角的大小为8.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31a ，714S ，则5a9.已知111{2,1,,,,1,2,3}232，若函数()f x x 在(0,) 上递减且为偶函数，则 10.在听课不停学期间，某校有四位教师参加了三项不同的公益教学活动，每位教师任选、一项，则每个项目都有该校教师参加的概率为 （结果用数值表示） 11.已知M 、N 在以AB 为直径的圆上，若5AB ，3AM ，2BN ，则AB MN12.已知函数1()||1f x x，若关于x 的方程()f x x b 有三个不同的实数解，则实数b 的取值范围是二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13.已知向量(1,,1)a x ，(,1,1)b x ，R x ，则“1x ”是“a ∥b ”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件 14.某单位现有职工52人，将所有职工编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本， 已知6号、32号、45号职工在样本中，则另一个在样本中的职工编号为（） A. 18 B. 19 C. 20D. 2115.在直角坐标系xOy 中，角 的始边为x 轴的正半轴，顶点为坐标原点O ，已知角 的终边l 与单位圆交于点(0.6,)A m ，将l 绕原点逆时针旋转2与单位圆交于点(,)B x y ，若4tan 3，则x （ ） A. 0.6 B. 0.8 C. 0.6 D. 0.816.在数列的极限一节，课本中给出了计算由抛物线2y x 、x 轴以及直线1x 所围成的曲边区域面积S 的一种方法：把区间[0,1]平均分成n 份，在每一个小区间上作一个小矩形，使得每个矩形的坐上端点都在抛物线2y x 上（如图），则当n 时，这些小矩形面积之和的极限就是S ，已知22221123(1)(21)6n n n n ，利用此方法计算出的由曲线y 、x 轴以及直线1x 所围成的曲边区域的面积为（ ）A. 3B. 2C. 34 D. 23三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.如图，已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2，母线长为（1）求该圆锥的体积；（2）已知AB 为圆锥底面的直径，C 为底面圆周上一点，且90BOC ，M 为线段AC 的中点，求异面直线OM 与PB 所成的角的大小.18.已知函数()sin f x x x ，R x .（1）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，若()0f A ，且2b ，3c ，求a 的值；（2）求函数()cos y f x x 的最大值.19.培养某种水生植物需要定期向培养植物的水中加入物质N ，已知向水中每投放1个单位的物质N ，x （单位：天）时刻后水中含有物质N 的量增加/ymol L ，y 与x 的函数关系 可近似地表示为16806212612x y x xx ，根据经验，当水中含有物质的量N 不低于4 /mol L 时，物质N 才能有效发挥作用.（1）若在水中首次投放1个单位的物质N ，计算物质N 能持续有效发挥作用几天？（2）若在水中首次投放1个单位的物质N ，第8天再投放1个单位的物质N ，试判断第8天至第12天，水中所含物质N 的量是否始终不超过6/mol L ，并说明理由.20.已知椭圆2222:1x y a b（0a b ）的右焦点的坐标为(2,0)，且长轴长为短轴长的的上、下顶点分别为A 、B ，经过点(0,4)P 的直线l 与椭圆 相交于M 、 N 两点（不同于A 、B 两点）.（1）求椭圆 的方程；（2）若直线BM l ，求点M 的坐标；（3）设直线AN 、BM 相交于点，求证：n 是定值.21.若数列{}n c 满足“对任意正整数i 、j ，i j ，都存在正整数k ，使得k i j c c c ”，则称数列{}n c 具有“性质P ”，已知数列{}n a 为无穷数列.（1）若{}n a 为等比数列，且11a ，判断数列{}n a 是否具有“性质P ”，并说明理由；（2）若{}n a 为等差数列，且公差0d ，求证：数列{}n a 不具有“性质P ”；（3）若等差数列{}n a 具有“性质P ”，且32a ，求数列{}n a 的通项公式n a .参考答案一. 填空题1.(0,1]2.23.104.5.16.27. 48.39.2 10. 4911.1212.(,1)(3,) 二. 选择题13.C14.B 15.B 16.D 三. 解答题17.（1）83 ；（2）3.18.（1）a ；（2）max 12y. 19.（1）物质N 能持续有效发挥作用6天；（2）是.20.（1）22184x y ；（2）(M 或；（3）1n ，证明略. 21.（1）是；（2）证明略；（3）1n a n .。

2019-2020学年上海市长宁区高三年级二模考试数学试卷 2020.05一.填空题（本大题满分54分）本大愿共有12题，考生应在各题纸相应编号的空格内直接写结果，1-6题每个空填对得4分，7-12题每个空格填对得5分1.已知集合(2,1],(0,)A B =-=+∞，则A B =I . 【答案】(]0,1 【解析】(]0,12.行列式5182的值等于 .【答案】2 【解析】51258282=⨯-=3．5(1)x +的二项展开式的第三项的系数是 . 【答案】10【解析】223510T C x x ==，所以系数为104.若复数z 满足23z =-，则||z = . 【答案】3【解析】2233z i =-=，所以系数为3z i =±5.若实数x 、y 满足0022x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则z x y =-的最小值为 .【答案】1-【解析】作出可行域易得6.直线2:12x tl y t=+⎧⎨=-+⎩（t 是参数）的斜率为 .【答案】2【解析】由直线的参数方程定义可知7.如图，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的侧棱长为2，底面边长为1，则直线1D B 和底面ABCD 所成的角的大小为 .【答案】4π 【解析】由题意可得， 1DBD ∠即为所求角，易得其为4π8.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若371,14a S ==，则5a = . 【答案】3【解析】由题意可得，()()()71735557771143222S a a a a a a =+=+=+=⇒=9.已知111{2,1,,,,1,2,3}232α∈---，若函数()f x x α=在(0,)+∞上递减且为偶函数，则α= .【答案】2-【解析】由题意可得α为负偶数10.在停课不停学期间，某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项，则每个项目都有老师参加的概率为 .（结果用数值表示） 【答案】49【解析】由题意可得概率23434439C P P == 11．已知函数,M N 是以AB 为直径的圆上，若5,3,2AB AM BN ===,则AB MN u u u r u u u u rg =__【答案】12【解析】 由图形对称性，不妨设,M N 如梭所示位置，则()=AB MN AB AN AM -u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u rg g 可考察投影 ()22222=12AB MN AB AF AB AE AN AM AB BN AM -=-=--=u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg12.已知函数1()1f x x =-，若关于x 的方程()f x x b -=有三个不同的实数解，则实数b的取值范围________ 【答案】()(),13+b ∈-∞-∞U ，【解析】11x b x =+-， 观察函数图像显然可知：1=0131x b b x =+⇒∆→=---或者则()(),13+b ∈-∞-∞U ，二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答来，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。

2020-2021年第二学期高三数学教学质量检测试卷考生注意：1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1. 设集合()1,3A =-，[)0,4B =，则AB = . 2. 复数z 满足11iz =+（i 为虚数单位），则z = . 3. 已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的标准差是 .4. 若向量()1,0,1a =，()0,1,1b =-，则向量a 与b 的夹角为__________．5. 若实数x y 、满足002x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，则2z x y =-的最小值为 .6. 函数()sin 2111x f x =的最小正周期为__________．7. 在公差不为零的等差数列{}n a 中，3a 是1a 与9a 的等比中项，则1299a a a a ++⋯+= ． 8. 在二项式()51x +的展开式中任取两项，则所取两项中至少有一项的系数为偶数的概率是 .9. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，1n n a S +=，则12111lim ()n na a a →+∞++⋅⋅⋅+= . 10. 定义域为R 的奇函数()y f x =，在(],0-∞上单调递减. 设()()g x xf x =，若对于任意[]1,2x ∈，都有()()2g x g ax +≤，则实数a 的取值范围为 .11. 设12F F 、分别为椭圆22:13x y Γ+=的左、右焦点，点A B 、在椭圆Γ上，且不是椭圆的顶点. 若120F A F B λ+=，且0λ>，则实数λ的值为 ．12. 在ABC ∆中，2AC =，211tan tan A B+=，若ABC ∆的面积为2，则AB = .二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13. 设()f x x α=（11{2,1,,,1,2}32α∈--），则“()y f x =图像经过点()1,1-”是“()y f x =是偶函数”的（ ）.A. 充分非必要条件；B. 必要非充分条件 ；C. 充要条件；D. 既非充分又非必要条件.14. 直线l 的参数方程是()122x t t y t =+⎧∈⎨=-⎩R ，则l 的方向向量d 可以是（ ）. A ．(1,2)； B ．(2,1)-； C ．(2,1)； D ．(1,2)-.15. 设正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，高为2，平面α经过顶点A ，且与棱AB 、AD 、1AA 所在直线所成的角都相等，则满足条件的平面α共有（ ）个.A ．1；B ．2；C ．3；D ．4.16. 已知函数()y f x =与()y g x =满足： 对任意12,x x ∈R ，都有()()()()1212f x f x g x g x -≥-.命题p ：若()y f x =是增函数，则()()y f x g x =-不是减函数；命题q ：若()y f x =有最大值和最小值，则()y g x =也有最大值和最小值.则下列判断正确的是（ ）.A. p 和q 都是真命题B. p 和q 都是假命题C. p 是真命题，q 是假命题D. p 是假命题，q 是真命题三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，1AA 是圆柱的一条母线，AB 是圆柱的底面直径，C 在圆柱下底面圆周上，M 是线段1A C 的中点. 已知14AA AC ==，3BC =.（1）求圆柱的侧面积；（2）求证：BC AM ⊥18．（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）设()sin 2cos(2)6f x x x π=++([0,])2x π∈. （1）若3sin 5x =，求()f x 的值； （2）设02πϕ<<，若方程()12f x ϕ-=有两个解，求ϕ的取值范围.19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某种生物身体的长度()f x （单位：米）与其生长年限x （单位：年）大致关系如下： ()4101x f x t-=+（其中0.5t e -=（e 为自然对数的底2.71828…），该生物出生时0x =）. （1）求需要经过多少年，该生物身长才能超过8米（精确到0.1）；（2）该生物出生x 年后的一年里身长生长量()g x 可以表示为()()()1g x f x f x =+-，求()g x 的最大值（精确到0.01）.20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 设双曲线22:13x y Γ-=的上焦点为F ，M 、N 是双曲线Γ上的两个不同的点． （1）求双曲线Γ的渐近线方程；（2）若2FM =，求点M 纵坐标的值；（3）设直线MN 与y 轴交于点()0,Q q ，M 关于y 轴的对称点为`M . 若`M 、F 、N 三点共线，求证：q 为定值．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）数列{}n a 满足：11a =，n a ∈*N ，且对任意n ∈*N ，都有1n n a a +<，2124n n n a a a -+=. （1）求2a ，3a ，4a ；（2）设1n n n d a a +=-，求证：对任意*n ∈N ，都有1n d ≠；（3）求数列{}n a 的通项公式n a .2020学年第二学期高三数学质量检测试卷参考答案与评分标准一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7---12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．()1,4- 2．2 3．3 4．23π 5．2- 6．2π 7．5 8．359．3 10．[]2,2- 11．1 12．二．选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13. C 14. B 15. D 16 . C三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必须的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）因为AC BC ⊥，4AC =，3BC =所以5AB =， (2)所以圆柱的侧面积为120AA AB ππ⨯⨯= (6)(2)因为1AA ⊥底面ABC ，所以1AA BC ⊥ (3)又因为AC BC ⊥，所以BC ⊥平面1AA C (6)因为AM ⊂平面1AA C ，所以BC AM ⊥. (8)18．（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）解：（1）因为3sin ,[0,]52x x π=∈，所以4cos 5x = (2)()1sin 22sin 22f x x x x =+- (4))2sin cos 12sin x x x =+- (6)2450+= (8)（2）()1sin 22sin(2)223f x x x x π=+=+ ()sin(22)3f x x πϕϕ-=+- …..…2 由[0,]2x π∈及02πϕ<< 得42422[2,2][,]33333x πππππϕϕϕ+-∈--⊆- …..…3 因为1sin 2x =在24[,]33ππ-内的解为6π和56π ….….4 所以23645236ππϕππϕ⎧-≤⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩，解得124ππϕ≤≤ (6)19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）解不等式41081x t-≥+， 得414x t -≥， ……..2 所以14log 42ln 4 6.84tx ≥+=+≈ ........5 所以需要经过6.8年 (6)（2） ()()()341010111x x g x f x f x t t --=+-=-++ ()()()43341011x x x x t t t t -----=++()433427101x x x x t t t t t t ------=+++()4334710x x t t t t t t -------=+++ (3)因为()0.50,1t e -=∈，所以430t t --->， (5)又因为7 3.52x x t t t ---+≥（当 3.5x =时取等）， (6)所以()()433.53410 1.242t t g x t t t ------≤≈++所以()g x 最大为1.24（当 3.5x =时取得）. (8)20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）解：（1）双曲线Γ的渐近线方程为y x =； ......4 （2）点F 的坐标为()0,2， (1)设()11,M x y ，则()221124x y +-= …….2 因为点M 在双曲线Γ上，所以221133x y =-，代入上式， 得()21214y -=，解得132y =或112y =- …….4 因为11y ≥，所以132y =. ......6 （3）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为y kx q =+ (1)则()11`,M x y - (2)因为`M 、F 、N 三点共线，所以121222y y x x --=- …….3 得()1221122x y x y x x +=+，因为11y kx q =+，22y kx q =+所以()()1212220kx x q x x +-+= ...* (4)将y kx q =+代入双曲线方程得()222316330k x kqx q -++-= 21223331q x x k -=-，122631kq x x k +=--，代入*式得12q = …….6 21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）解：（1）124a a +=，得23a =； (1)由3412a a +=，234a a a <<，得336a <<； (2)当34a =时，48a =，563416a a a +== (3)又由56a a <，得58a <，与54a a >矛盾，所以35a =，47a =. (4)（2）假设存在*k ∈N ，使得1k d =，即11k k a a +=+，则 (1)由2124k k k a a a -+=，及212k k a a -<，得22k k a a >， (3)由21221444k k k k a a a a ++++==+，及2122k k a a ++<，得2122k k a a +<+ (4)得22121k k k a a a +==+，与221k k a a +<矛盾， (5)所以对任意*n ∈N ，都有1n d ≠. (6)（3）由（2）知12n n n d a a +=-≥ (2)()12122124n n n n n n a a a a a a ++--=+--()()()()2221212212221k k k k k k k k a a a a a a a a ++++-=-+-+-+-所以对任意*n ∈N ，都有2122142n n n n d d d d +-=++ (4)当1n =时，得3211248d d d d ++==，又由22d ≥ 32d ≥，得232d d ==， (6)设2k d =，由21221248k k k k d d d d +-++==，及()*2n d n ≥∈N 得212212k k k a a a +-=== (7)所以对任意*n ∈N ，2n d =，进而21n a n =- (8)坚持希望一天，一个瞎子和一个瘸子结伴去寻找那种仙果，他们一直走呀走，途中他们翻山越岭。

2020年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学模拟试卷（2）考生注意：1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸，试卷包括试题与答题要求，作答必须涂(选择题)或写(非选择题)在答题纸上，在试卷上作答一律不得分3.答卷前，务必用黑色钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名､班级､准考证号. 一､填空题(本大题共有12题，满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1题至第6题每个空格填对得4分，第7题至第12题每个空格填对得5分，否则一律得零分1.若集合{}|1,A x y x x R ==-∈，{}|1,B x x x R =≤∈，则A B =________.【答案】{}1 【解析】 【分析】求出A 中x 的范围确定出A ，求出B 中不等式的解集确定出B ，找出两集合的交集即可． 【详解】解：由A 中1y x =-10x -，解得：1x ，即{|1}Ax x ，由B 中不等式变形得：11x -，即{|11}B x x =-， 则{1}A B ⋂=， 故答案为：{1}．【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题． 2.若函数()1f x x =，()1g x x x -，则()()f x g x +=__________． 【答案】11x +-(01)x ≤≤ 【解析】 分析】根据偶次根式被开方数大于等于零可求得()(),f x g x 定义域，取交集得到()()f x g x +的定义域，将()(),f x g x 解析式相加可得所求结果. 【详解】()f x 定义域为：{}0x x ≥；()g x 定义域为：{}01x x ≤≤()()f x g x ∴+的定义域为{}01x x ≤≤()())1101f x g x x ∴+==≤≤故答案为)101x ≤≤【点睛】本题考查函数解析式的求解，易错点是忽略了函数定义域的要求，造成所求函数的定义域缺失. 3.若3sin 5α=且α是第二象限角，则cot 24απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________.【答案】2 【解析】 【分析】由α是第二象限角，及sin α的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos α的值，进而确定出tan α的值，利用二倍角的正切函数公式化简，求出tan 2α的值，将所求式子利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，把tan 2α的值代入计算，即可求出值．【详解】解：α是第二象限角，且3sin 5α=，4cos 5α∴==-，3tan 4α=-，22tan32tan 412tan ααα∴==--，即23tan8tan 3022αα--=， 解得：1tan23α=-或tan 32α=， 因为α是第二象限角，2α是第一象限或第三象限角，tan 02α∴> tan32α∴=则tantan31124tan 241321tan tan 24απαπαπ--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+．则1cot 224tan 24απαπ⎛⎫-== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭． 故答案为：2．【点睛】此题考查了两角和与差的正切函数公式，二倍角的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键，属于中档题． 4.若函数())0f x x =≥的反函数是()1f x -,则不等式()()1f x f x ->的解集为______.【答案】{}|1x x > 【解析】 【分析】 由())0f x x =≥求出反函数，直接解不等式即可.【详解】设())0y f x x ==≥,则3x y =,x ,y 互换,得()13f x x -=,0x ≥,,∵()()1fx f x ->,∴3x >,∴9x x >,∴81x >,解得1x >. ∴不等式()()1fx f x ->的解集为{}|1x x >.故答案为:{}|1x x >.【点睛】本题主要考查了反函数，不等式的解，属于容易题.5.函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(,0]-∞上单调递减，且(1)0f =，则使得()0f x <的实数x 的取值范围是________. 【答案】(1,1)- 【解析】 【分析】先由题意，得到函数()f x 在()0,∞+上单调递增，(1)(1)0f f -==；再由函数单调性，即可求出结果.【详解】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，在(,0]-∞上单调递减， 所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增； 又(1)0f =，所以(1)(1)0f f -==， 所以当0x >时，由()0f x <得：01x <<；当0x ≤时，因为函数单调递减，由()0f x <可得：10x -<≤； 综上，使得()0f x <的实数x 的取值范围是(1,1)-. 故答案为(1,1)-【点睛】本题主要考查由函数奇偶性与单调性解不等式，熟记函数奇偶性与单调性即可，属于常考题型.6.已知()2sin (0)f x x ωω=>在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，则实数ω的最大值为______ 【答案】32【解析】 【分析】根据正弦函数的单调区间,结合函数在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增,即可求得ω的最大值. 【详解】设()sin g x x =,()2sin (0)f x x ωω=> 因为(0)2sin 00f == ()f x 且0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增,()sin g x x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 所以32ππω⋅≤即32ω≤所以ω的最大值为32故答案为:32【点睛】本题考查了正弦函数单调性的简单应用,由函数单调性求参数的最值,属于中档题.7.设P是曲线2sec (2tan x y θθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩为参数）上的一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹的普通方程为_____． 【答案】22841x y -= 【解析】 【分析】由sec 2θ﹣tan 2θ＝1，可得曲线的方程为2x 2﹣y 2＝1，设P （x 0，y 0），M （x ，y ），运用中点坐标公式，代入曲线方程，化简整理即可得到所求轨迹方程． 【详解】曲线（θ为参数），即有sec 2tan xyθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 由sec 2θ﹣tan 2θ＝1，可得曲线的方程为2x 2﹣y 2＝1， 设P （x 0，y 0），M （x ，y ），可得0022x x y y =⎧⎨=⎩，代入曲线方程，可得2x 02﹣y 02＝1，即为2（2x ）2﹣（2y ）2＝1， 即为8x 2﹣4y 2＝1． 故答案为8x 2﹣4y 2＝1．【点睛】本题考查中点的轨迹方程的求法，注意运用代入法和中点坐标公式，考查参数方程和普通方程的互化，注意运用同角的平方关系，考查运算能力，属于中档题．8.如图,已知正方体1111ABCD A B C D -,若在其12条棱中随机地取3条,则这三条棱两两是异面直线的概率是______(结果用最简分数表示)【答案】255【解析】 【分析】12条棱随机取出3条，利用组合数确定基本事件总数，再求出三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数，利用古典概型求解.【详解】正方体1111ABCD A B C D -,在其12条棱中随机地取3条, 基本事件总数312220n C ==,这三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数8m =, ∴这三条棱两两是异面直线的概率是8222055m p n ===. 故答案为:255. 【点睛】本题主要考查了正方体的结构特点，异面直线，古典概型，属于中档题. 9.若函数()()2sin ,3sin f x x t x t R x=++∈+最大值记为()g t ,则函数()g t 的最小值为______. 【答案】34【解析】 【分析】 化简2sin 3sin y x x=++，利用对勾函数求值域，分类讨论t 与值域中点的大小，即可写出最大值()g t . 【详解】∵22sin sin 333sin 3sin x x x x+=++-++,∵1sin 1x -≤≤, ∴2sin 34x ≤+≤,∴293sin 33sin 2x x ≤++≤+,∴230sin 333sin 2x x ≤++-≤+,∴()()max 3,433,24t t g t f x t t ⎧≥⎪⎪==⎨⎪-<⎪⎩,∴当3t 4=时,函数()g t 有最小值为34;故答案为34. 【点睛】本题主要考查了对勾函数的应用及分段函数的应用，同时考查了正弦函数的性质及整体思想与分类讨论的思想，属于难题．10.如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边33B C 上有10个不同的点1210,,,P P P ，记2i iM AB AP =⋅（1,2,,10i =），则1210M M M +++=________.【答案】180 【解析】 【分析】以A 为坐标原点，1AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，可得23)B ，33)B ，3(6,0)C ，求出直线33B C 的方程，可设(i i P x ，)i y 363i i x y +=，运用向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求和．【详解】解：以A 为坐标原点，1AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系， 可得23)B ，33)B ，3(6,0)C ， 直线33B C 的方程为3(6)y x =--， 可设(i i P x ，)i y 363i i x y +=， 即有233i i i i M AB AP x =⋅=+ 3(3)18i i x y =+=，则12101810180M M M++⋯+=⨯=．故答案为：180．【点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示，注意运用直线方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．11.设函数2,1()(0,1),2,1xa xf x a ax x x⎧<⎪=>≠⎨-≥⎪⎩若不等式()3f x≤的解集为(],3,-∞则实数a的取值范围为___________.【答案】(]1,3【解析】【分析】利用分段函数，结合指数函数的单调性，推出不等式，求解即可得到答案．【详解】0a>，且1a≠，设函数21()21xa xf xx x x⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，若不等式()3f x的解集是(-∞，3]，当1x时，2|2|3x x-，可得2323x x--，解得13x ；当1x<，即(,1)x∈-∞时，3xa，不等式恒成立可得13a<．综上可得13a<．∴实数a的取值范围为：(1，3]．故答案为：(1，3]．【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．12.已知*n N∈，从集合{}1,2,3,,n中选出k（k∈N,2k≥）个数12,,,kj j j，使之同时满足下面两个条件：①121kj j j n≤<<≤；②1i ij j m+-≥（1,2,,1i k=-），则称数组()12,,k j j j 为从n 个元素中选出k 个元素且限距为m的组合，其组合数记为(),k m nC . 例如根据集合{}1,2,3可得()2,133C =.给定集合{}1,2,3,4,5,6,7，可得()3,27C =______.【答案】10 【解析】 【分析】由题意得(3,2)7C 即从定集{1，2，3，4，5，6，7}中选出3个元素且限距为2的组合，即可得出结论．【详解】解：由题意得(3,2)7C 即从定集{1，2，3，4，5，6，7}中选出3个元素且限距为2的组合．于是若从{1，3，5，7}中任选3个均符合要求则有344C =个，若选{2，4，6}也满足条件；另外还有{1，3，7}，{1，3，6}，{1，4，7}，{1，5，7}，{2，5，7}均满足条件，故(3,2)741510C =++=，故答案为：10．【点睛】本题考查进行简单的合情推理，考查学生的计算能力，正确转化是关键，属于难题． 二､选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. 3πB. 4πC. 24π+D. 34π+【答案】D 【解析】该几何体为半圆柱，底面为半径为1的半圆，高为2，因此表面积为21π12π12+223π+42⨯+⨯⨯⨯⨯= ,选D.14.过抛物线28y x =的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，且这两点的横坐标之和为9，则满足条件的直线（ ） A. 有且只有一条 B. 有两条C. 有无穷多条D. 必不存在【答案】B 【解析】 【分析】设出AB 的方程，联立方程组消元，根据根与系数的关系列方程判断解得个数． 【详解】解：抛物线的焦点坐标为(2,0)， 若l 无斜率，则l 方程为2x =，显然不符合题意．若l 有斜率，设直线l 的方程为：(2)y k x =-，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立方程组28(2)y xy k x ⎧=⎨=-⎩，消元得：2222(48)40k x k x k -++=，∴2122489k x x k ++==，∴k =．故选：B ．【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系，分类讨论思想，属于中档题． 15.若z C ∈，则“Re 1,1z Imz ≤≤”是“||1z ≤”成立的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 【答案】B 【解析】 【分析】设z x yi =+，由||1x ，||1y ，可得||2z ，充分性不成立；反之成立．【详解】解：设z x yi =+，由||1x ，||1y ，则||2z ，故充分性不成立；由||1z ，则221x y+，所以||1x ，||1y ，即必要性成立．所以“Re 1,1z Imz ≤≤”是“||1z ≤”必要不充分条件. 故选：B ．【点睛】本题考查了不等式的性质、复数的有关知识、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.对于正实数α,记M α是满足下列条件的函数()f x 构成的集合:对于任意的实数12,x x R ∈且12x x <,都有()()()()212121x x f x f x x x αα--<-<-成立.下列结论中正确的是( )A. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈,则()()12f x g x M αα⋅⋅∈B. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈且()0g x ≠,则()()12M f x g x M αα∈ C. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈,则()()12f x g x M αα++∈D. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈()2g x M α∈且12αα>,则()()12f x g x M αα--∈ 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意知2121()()f x f x x x αα--<<-，从而求得．【详解】解：对于()()()()212121x x f x f x x x αα--<-<-,即有()()()2121f x f x x x αα--<<-, 令()()()2121f x f x k x x -=-, 则k αα-<<,若()1f x M α∈,()2g x M α∈, 即有11f k αα-<<,22g k αα-<<, 所以1212f g k k αααα--<+<+,则有()()12f x g x M αα++∈, 故选：C .【点睛】本题考查了函数的性质的判断与应用，属于中档题．三､解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.在锐角△ABC 中，2sin sin sin()sin()44A B B B ππ=++-．（1）求角A 的值；（2）若12AB AC ⋅=，求△ABC 的面积．【答案】（1）6A π=；（2）【解析】试题分析：（1）将等式2sin sin sin()sin()44A B B B ππ=++-左边利用两角和与差的正弦公式展开后，再利用同角三角函数之间的关系可得定值12，进而得6A π=；（2）由cos126AB AC AB AC π⋅==，可得83AB AC =ABC 的面积.试题解析：（1）在△ABC 中，2sin sin sin()sin()44A B B B ππ=++-2sin )B B B B B =+ 2221sin (cos sin )2B B B =+-221sin (12sin )2B B =+-12= 又A 为锐角，∴6A π=．（2）cos 126AB AC AB AC π⋅==，∴83AB AC =∴111sin 2622ABC S AB AC π∆==⨯=考点：1、利用两角和与差的正弦公式；2、平面向量数量积公式.18.某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24cm π，高为30cm ，圆锥的母线长为20cm .（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到0.13cm ）；（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？【答案】（1）11158.9；（2）110425π【解析】 【分析】（1）根据“笼具”的构造，可知其体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积，即可求出； （2）求出“笼具”的表面积，即可求出50个“笼具”的总造价． 【详解】设圆柱的底面半径为r ，高为h ；圆锥的母线长为l ，高为1h ， 根据题意可知：（1）224r ππ=，12r =cm ，221201216h =-=cm ，所以“笼具”的体积2211355211158.93V r h r h πππ=-=≈cm 3．（2）圆柱的侧面积12720S rh ππ==cm 2，圆柱的底面积22144S r ππ==cm 2，圆锥侧面积3240S rl ππ==cm 2，所以“笼具”的表面积为1104π cm 2， 故造50个“笼具”的总造价：4110450811041025ππ⨯⨯=元． 答：这种“笼具”的体积约为11158.9 cm 3，生产50个“笼具”的总造价为110425π元. 【点睛】本题主要考查简单组合体的体积和表面积的计算，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．19.某企业参加A 项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元.根据现实的需要，从A 项目中调出x 人参与B 项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润310500x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元（0a >），A 项目余下的工人每人每年创造利图需要提高0.2%x（1）若要保证A 项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加B 项目从事售后服务工作？（2）在（1）的条件下，当从A 项目调出的人数不能超过总人数的40%时，才能使得A 项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）500；（2）(0,5.1]. 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出不等式10(1000)(10.2%)101000x x -+≥⨯，求解即可； （2）求出x 的范围，得出不等式310(500xa -)10(1000)(10.2%)x x x ≤-+，整理可得210001500x a x≤++恒成立，根据x 的范围，可知函数在定义域内为减函数，当400x =时，函数取得最小值．【详解】设调出x 人参加B 项目从事售后服务工作 （1）由题意得：10(1000)(10.2%)101000x x -+≥⨯，即25000x x -≤，又0x >，所以0500x <≤．即最多调整500名员工从事第三产业． （2）由题知，0400x <≤，从事第三产业的员工创造的年总利润为310()500xa x -万元， 从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)(1)500x x -+万元， 则310(500xa -)10(1000)(10.2%)x x x ≤-+， 所以23110002500500x ax x x -≤+--2x ，所以221000500x ax x ≤++，即210001500x a x≤++恒成立， 因为0400x <≤，所以210002400100011 5.1500500400x x ⨯++≥++=， 所以 5.1a ≤，又0a >，所以0 5.1a <≤， 即a 的取值范围为(0,5.1]．【点睛】考查了利用不等式解决实际问题，难点是建立不等式关系，利用函数单调性求出最值．20.教材曾有介绍：圆222x y r +=上的点()00,x y 处的切线方程为200x x y y r +=．我们将其结论推广：椭圆()222210x y a b a b+=>>上的点()00,x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，在解本题时可以直接应用．已知，直线30x y -+=与椭圆()222:11x E y a a+=>有且只有一个公共点.（1）求a 的值；（2）设O 为坐标原点，过椭圆E 上的两点A 、B 分别作该椭圆的两条切线1l 、2l ，且1l 与2l 交于点()2,M m ．当m 变化时，求OAB ∆面积的最大值；（3）在（2）条件下，经过点()2,M m 作直线l 与该椭圆E 交于C 、D 两点，在线段CD上存在点N ，使CN MCND MD=成立，试问：点N 是否在直线AB 上，请说明理由. 【答案】（1）2a =22（3）见解析 【解析】 【分析】（1）将直线y ＝x 3得到x 的方程，由直线和椭圆相切的条件：判别式为0，解方程可得a 的值；（2）设切点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得切线1l ,22x xy y 12+=,CN MC ND MD =，再将M 代入上式，结合两点确定一条直线，可得切点弦方程，AB 的方程为x+my ＝1，将直线与椭圆方程联立，运用韦达定理，求得△OAB 的面积，化简整理，运用基本不等式即可得到所求最大值；（3）点N 在直线AB 上，因为()C C C x ,y设()D D D x ,y 、()00N x ,y 、()CN λND λ0,λ1=>≠，且CM λMD =-，于是C D 0x λx x 1λ+=+，向量坐标化，得C D 0y λy y 1λ+=+、C D x λx 21λ-=-、C Dy λy m 1λ-=-、00x my 10+-=，将()CN λND λ0,λ1=>≠代入椭圆方程，结合()D D D x ,y 、()00N x ,y在椭圆上，整理化简得222x y 1ay x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，即N 在直线AB 上.【详解】（1）联立2211x 20(1)a a ⎛⎫+++=>⎪⎝⎭，整理得(2214120a a ⎛⎫-⋅+⋅=⇒= ⎪⎝⎭依题意Δ0=，即()11A x ,y（2）设()22B x ,y 、11x xy y 12+=,于是直线1l 、2l 的方程分别为()M 2,m 、CN MC ND MD = 将11x my 10+-=代入1l 、2l 的方程得22x my 10+-=且x my 10+-=所以直线AB 的方程为()222210m 2y 2my 10x y 12x my +-=⎧⎪⇒+--=⎨+=⎪⎩ 联立1221y y m 2=-+显然Δ0>，由1y ，2y 是该方程的两个实根，有1222my y m 2+=+，ΔOAB 121S y y 2=-面积()()()()222121222222m 1121S y y 4y y 142m 2m 12m 1+⎡⎤=+-==≤⎣⎦+++++即22C C x y 12+=当且仅当m 0=时，“=”成立，S取得最大值2（3）点N 在直线AB 上，因为()C C C x ,y设()D D D x ,y 、()00N x ,y 、()CN λND λ0,λ1=>≠，且CM λMD =- 于是C D 0x λx x 1λ+=+，即C D 0y λy y 1λ+=+、C D x λx 21λ-=-、C Dy λy m 1λ-=-、00x my 10+-=又22222222C D DD C D x x x y 1y λy 1λ222⎛⎫+=⇒+-+=- ⎪⎝⎭，C D C D C D C D x λx x λx y λy y λy 1121+λ1λ1+λ1λ+-+-⇒⋅⋅+⋅=-- 00001x 2y m 1x my 102⇒⋅⋅+=⇒+-=， ()()()()()f 2,j f 1,j f 1,j 12f 1,j 48j 4j 1,2,,n 1=++=+=+=-，即N 在直线AB 上.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系的判断，考查直线和椭圆相切的条件：判别式为0，以及切线的方程的运用，同时考查直线和椭圆相交的三角形的面积的最值的求法，注意运用基本不等式，属于中档题．21.已知各项不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，112n n n S a a +=⋅（*n N ∈） （1）求证：数列{}n a 是等差数列； （2）设数列{}n b 满足：122n n a a n b +-=，且()11211lim 384k k k k n n n b b b b b b ++++→∞+++=，求正整数k 的值；（3）若m 、k 均为正整数，且2m ≥，k m <，在数列{}k c 中，11c =，11k k k c k mc a ++-=，求12m c c c +++.【答案】（1）见解析（2）2（3）1m【解析】 【分析】（1）通过112n n n S a a +=，利用11n n n a S S ++=-整理得22n n a a +-=，进而可知数列{}n a 是首项、公差均为1的等差数列； （2）通过（1）可知212n n b +=，进而可知151124n n nb b +=，进而利用等比数列的求和公式计算、取极限即得结论； （3）通过11k k k c k m c a ++-=及n a n =分别计算出21c c 、32c c 、43c c 、1n n c c -的表达式，进而累乘化简，利用二项式定理计算即得结论． 【详解】（1）证明：112n n n S a a +=，111211122n n n n n n n a S S a a a a +++++∴=-=-，整理得：22n n a a +-=， 又11a =，12122S a a ==， ∴数列{}n a 的通项公式n a n =，即数列{}n a 是首项、公差均为1的等差数列；（2）解：由（1）可知122(1)21222n n a a n n n n b +--++===，123511112224n n n n nb b +++∴=⋅=⋅， 1121511111()2444k k k k n n k k nb b b b b b +++++∴++⋯+=++⋯+ 151111412414n k k-+-=⋅⋅-321111(1)324k n k ++-=⋅-， 又11211lim()384k k k k n n n b b b b b b ++++→∞++⋯+=，即3211132384k +⋅=， 解得：2k =； （3）解：11c =，11k k k c k mc a ++-=，n a n =， ∴11k k c k m c k +-=+，1(1)(1)(,2)k k c m k m k m c k---=-⋅>， 2211(1)2c m c c -∴==-，232321(2)(1)(1)32c c m m c c c --=⋅=-⨯，3343424321(1)(2)(3)1(1)(1)4321m c c c m m m c C c c c m ---=⋅⋅=-⋅=-⋅⋅⨯⨯⨯， ⋯11(1)k kk m c C m-=-⋅⋅， 显然当1m =时满足上式 12m c c c ∴++⋯+1211(1)m m m m m C C C m-⎡⎤=-+⋯+-⋅⎣⎦ 02314(1)111m mmm m m m m C C C C C C m ⎡⎤+⋯+--=⎢⎥-+-⎣-+⎦⋅ 1(11)11m m --=⋅- 1m=． 【点睛】本题考查数列的通项及前n 项和，考查累乘法，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．。

绝密★启用前
上海市长宁区普通高中
2020届高三毕业班下学期在线学习效果评估(二模)
数学试题
(解析版)
2020年5月
考生注意：
1.答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码.
2.解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分.
3.本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟.
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1.已知集合 ， ，则 _______________.
【答案】
【解析】
【分析】
直接根据交集的运算即可得出答案.
【详解】解：由于 ， ，
【答案】3
【解析】
分析】
根据题意,由 为等差数列, , ,结合等差数列的通项公式和前 项和公式,列式求出 和 ,即可求出 .
【详解】解：已知 为等差数列, , ,设公差为 ,
则 ,解得： ,
所以 .
故答案为：3.
【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前 项和公式,属于基础题.
9.已知 .若函数 在 上递减且为偶函数,则 ________.
【答案】10
【解析】
【分析】
由二项展开式的通项公式写出第三项，结合组合数的运算公式，即可求出第三项的系数.
【详解】解： 的二项展开式的第三项为：
，
则第三项的系数为：10.
故答案为：10.
【点睛】本题考查根据二项展开式的通项公式求出指定项的系数，属于基础题.
4.若复数z满足 ，则 ________.
【答案】
7.如图,已知正四棱柱 的侧棱长为 ,底面边长为1,则直线 和底面 所成的角的大小为___________.

嘉定（长宁）区高2020届三第二次质量调研（二模）数学试卷一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1.已知集合，则__________．【答案】【解析】【分析】直接进行交集的运算即可．【详解】解：∵A＝{1，2，3，4}，B＝{x|2＜x＜5，x∈R}；∴A∩B＝{3，4}．故答案为：{3，4}．【点睛】本题考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算．2.已知复数满足（是虚数单位），则__________．【答案】【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简z，再由复数模的计算公式求解．【详解】解：由i＝3+4i ，得，∴|z|＝||．故答案为：5．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.若线性方程组的增广矩阵为，若该线性方程组的解为，则__________．【答案】【解析】【分析】根据增广矩阵的定义增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值，从而求出结果．【详解】解：由增广矩阵的定义：增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值而线性方程组的增广矩阵为，可直接写出线性方程组为即把x＝1，y＝1，代入得，解得＝3．故答案为：【点睛】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的性质的合理运用．4.在的二项展开式中，常数项的值为______________．【答案】【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式即可得出【详解】解：在的二项展开式中，通项公式为：T r+1x4﹣r x4﹣2r，令4﹣2r＝0，解得r＝2．∴常数项6．故答案为：6．【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.已知一个圆锥的主视图(如图所示)是边长分别为的三角形，则该圆锥的侧面积为_________.【答案】【解析】【分析】根据圆锥的主视图可知：圆锥的母线长为5，底面半径为2，所以底面周长为4π再代入侧面积公式可得．【详解】解：根据圆锥的主视图可知：圆锥的母线长为5，底面半径为2，所以底面周长为4π，侧面积为5×4π＝10π，故答案为：10π．【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，考查了计算能力，属基础题．6.已知实数满足，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】解：由实数x，y满足，作出可行域如图，由解得A（0，﹣1）．化z＝x+2y为y x，由图可知，当直线y x过A（0，﹣1）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值等于z＝0+2×（﹣1）＝﹣2．故答案为：﹣2．点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．7.设函数(其中为常数)的反函数为，若函数的图像经过点，则方程的解为__________．【答案】【解析】【分析】求出原函数的反函数，代入已知点的坐标求得a，则方程f﹣1（x）＝2的解可求．【详解】解：由y＝f（x），得x﹣a＝y2（y≥0），∴函数f（x）的反函数f﹣1（x）＝x2+a（x≥0）．把点（0，1）代入，可得a＝1．∴f﹣1（x）＝x2+1（x≥0）．由f﹣1（x）＝2，得x2+1＝2，即x＝1．故答案为：x＝1．【点睛】本题考查函数的反函数的求法，关键是明确反函数的定义域是原函数的值域，是基础题．8.学校从名男同学和名女同学中任选人参加志愿者服务活动，则选出的人中至少有名女同学的概率为____________(结果用数值表示)【答案】【解析】【分析】基本事件总数n10．选出的2人中至少有1名女同学包含的基本事件个数m7，由此能求出选出的2人中至少有1名女同学的概率．【详解】解：学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动，基本事件总数n10．选出的2人中至少有1名女同学包含的基本事件个数m7，则选出的2人中至少有1名女同学的概率为p．故答案为：．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.已知直线（为参数）与抛物线相交于两点，若线段中点的坐标为，线段的长为__________．【答案】【解析】【分析】化简直线的参数方程为普通方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求出m，通过弦长公式求解即可．【详解】解：直线（t为参数），可得直线的方程y＝k（x﹣1），k＝tanα，把直线的方程代入抛物线方程可得：ky2﹣4y﹣4k＝0，直线（t为参数）与抛物线y2＝4x相交于A、B两点，设A（，），B（，），线段AB中点的坐标为（m，2），可得+＝4，解得k＝1，y2﹣4y﹣4＝0，＝﹣4，线段AB的长：•8．故答案为：8．【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，弦长公式的应用，考查计算能力．10.在中，已知，为线段上的一点，且满足，若的面积为，，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】利用A，P，D三点共线可求出m，并得到．再利用平面向量的基本性质和基本不等式即可求出的最小值．【详解】解∵∵A，P，D三点共线，∴，即m．∴，又∵．∴，即CA•CB＝8．∴∴．故答案为：2．【点睛】本题考查平面向量共线定理，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量线性运算的运用．11.已知有穷数列共有项，记数列的所有项和为，第二项及以后所有项和为第项及以后所有项和为，若是首项为，公差为的等差数列的前项和，则当时，__________．【答案】【解析】【分析】设数列{}的前n项和为T n，则S（n）＝T m﹣T n，又知道S（n）是首项为1，公差为2的等差数列的前n项和，则当1≤n＜m时，即可得到的表达式．【详解】解：S（n）是首项为1，公差为2的等差数列的前n项和，所以S（n）＝n n2，则＝S（n）﹣S（n+1）＝n2﹣（n+1）2＝﹣2n﹣1，故填：﹣2n﹣1．【点睛】本题考查了数列通项的求法，等差数列的前n项和公式，属于基础题．12.已知定义在上的奇函数满足，且当时，，若对于属于都有，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】【分析】f（x）为周期为4的函数，且是奇函数．0在函数定义域内，故f（0）＝0，得a＝1，先得到[﹣1，3]一个周期内f（x）的图象，求出该周期内使f（x）≥1﹣log23成立的x的范围，从而推出的范围，再分t的范围讨论即可．【详解】解：由题意，f（x）为周期为4的函数，且是奇函数．0在函数定义域内，故f（0）＝0，得a＝1，所以当0≤x≤1时，f（x）＝log2（x+1），当x∈[﹣1，0]时，﹣x∈[0，1]，此时f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣log2（﹣x+1），又知道f（x+2）＝﹣f（x）＝f（﹣x），所以f（x）以x＝1为对称轴．且当x∈[﹣1，1]时f（x）单调递增，当x∈[1，3]时f（x）单调递减．当x∈[﹣1，3]时，令f（x）＝1﹣log23，得x，或x，所以在[﹣1，3]内当f（x）＞1﹣log23时，x∈[，]．设g（x），若对于x属于[0，1]都有，因为g（0）∈[，]．故g（x）∈[，]．①当0时，g（x）在[0，1]上单调递减，故g（x）∈[t，]⊆[，]．得t≥0，无解．②0≤t≤1时，，此时g（t）最大，g（1）最小，即g（x）∈[t﹣1，]⊆[，]．得t∈[0，1]．③当1＜t≤2时，即，此时g（0）最小，g（t）最大，即g（x）∈[，]⊆[，]．得t∈（1，2]，④当t＞2时，g（x）在[0，1]上单调递增，故g（x）∈[，t]⊆[，]．解得，t∈（2，3]，综上t∈[0，3]．故填：[0，3]．【点睛】本题考查了复合函数的值域、对称区间上函数解析式的求法、二次函数在闭区间上的最值、函数的对称性、周期性、恒成立等知识．属于难题．二、选择题(本题共有4题，满分20分，每题5分)13.已知,则“”是“”的．A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】A【解析】【分析】解不等式简化条件，结合充分必要性定义即可作出判断.【详解】解：“”⇔0＜x＜1．∴“”是“x＜1”的充分不必要条件．故选：A．【点睛】本题考查了不等式的解法、充分必要性的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14..产能利用率是指实际产出与生产能力的比率，工业产能利用率是衡量工业生产经营状况的重要指标，下图为国家统计局发布的年至年第季度我国工业产能利用率的折线图（％）．在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如年第二季度与年第二季度相比较:环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如二季度与年第一季度相比较根据上述信息，下列结论中正确的是( )A. 年第三季度环比有所提高B. 年第一季度同比有所提高C. 年第三季度同比有所提高D. 年第一季度环比有所提高【答案】C【解析】【分析】根据同比和环比的定义比较两期数据得出结论．【详解】解：2020年第二季度利用率为74.3%，第三季度利用率为74.0%，故2020年第三季度环比有所下降，故A错误；2020年第一季度利用率为74.2%，2020年第一季度利用率为72.9%，故2020年第一季度同比有所下降，故B错误；2020年底三季度利用率率为73.2%，2020年第三季度利用率为76.8%，故2020年第三季度同比有所提高，故C正确；2020年第四季度利用率为78%，2020年第一季度利用率为76.5%，故2020年第一季度环比有所下降，故D错误．故选：C．【点睛】本题考查了新定义的理解，图表认知，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题．15.已知圆的圆心为，过点且与轴不重合的直线交圆两点，点在点与点之间。

2020届二模分类汇总-立体几何一、点线面关系1、【2020年闵行区二模第13题】在空间中，“两条直线不平行”是“这两条直线异面”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案： B 】二、棱锥、棱柱2、【2020年长宁区二模第7题】 如图，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的侧棱长为2，底面边长为1，则直线1D B 和底面ABCD 所成的角的大小为 【答案：4π】3、【2020年奉贤区二模第9题】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是【答案：2π】 4、【2020年浦东新区二模第14题】如图，正方体1111A B C D ABCD -中，E F 、分别为棱1AA BC 、上的点，在平面11ADD A 内且与平面DEF 平行的直线（ ）.A 有一条 .B 有两条 .C 有无数条 .D 不存在【答案：C 】5、【2020年嘉定区二模第15题】如图，若正方体1111ABCD A B C D -的侧面11BCC B 内动点P 到棱11A B 的距离等于它到棱BC 的距离，则点P 所在的曲线为（ ）A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 圆 【答案：C 】6、【2020年松江区二模第15题】在正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 两点分别从点B 和点1A 出发，以相同的速度在棱BA 和11A D 上运动至点A 和点1D ，在运动过程中，直线PQ 与平面ABCD 所成角θ的变化范围为（ ）A. [,]43ππB. 2[arctan,arctan 2]2 C. [,arctan 2]4πD. 2[arctan,]2π 【答案：C解析：如图，作QE ⊥AD 交AD 于点E ，联结PE ， ∴∠QPE 即θ，设AE BP x ==，∴222(1)PE x x =+-，由2222[(1)](1)[(1)]2x x x x x x +-≤+-≤+-，∴2112PE ≤≤，2[,1]2PE ∈，1tan [1,2]QE PE PE θ==∈，即θ∈[,arctan 2]4π。

2020年上海市长宁区高考数学二模试卷一．填空题（共12小题）1．已知集合A ＝（﹣2，1]，B ＝（0，+∞），则A ∩B ＝ ． 2．行列式|5182|的值等于 ．3．（1+x ）5的二项展开式的第三项的系数是 ． 4．若复数z 满足z 2＝﹣3，则|z |＝ ．5．若实数x 、y 满足{x ≥0y ≥0x +2y ≤2，则z ＝x ﹣y 的最小值为 ．6．直线l ：{x =2+ty =−1+2t（t 是参数）的斜率为 ．7．如图，已知正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的侧棱长为√2，底面边长为1，则直线D 1B 和底面ABCD 所成的角的大小为 ．8．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若a 3＝1，S 7＝14，则a 5＝ ．9．已知α∈{﹣2，﹣1，−12，13，12，1，2，3}．若函数f （x ）＝x α在（0，+∞）上递减且为偶函数，则α＝ ．10．在停课不停学期间，某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项，则每个项目都有该校教师参加的概率为 （结果用数值表示）．11．已知点M 、N 在以AB 为直径的圆上．若AB ＝5，AM ＝3，BN ＝2，则AB →⋅MN →= ． 12．已知函数f （x ）=1|x|−1．若关于x 的方程f （x ）﹣x ＝b 有三个不同的实数解，则实数b 的取值范围是 ．二．选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．已知向量a →=(1，x ，−1)，b →=(x ，1，1)，x ∈R ，则“x ＝﹣1”是“a →∥b →”的（ ） A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件14．某单位现有职工52人，将所有职工编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本．已知6号、32号、45号职工在样本中，则另一个在样本中的职工编号为（）A．19B．20C．18D．2115．在直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的正半轴，顶点为坐标原点O．已知角α的终边l与单位圆交于点A（0.6，m），将l绕原点逆时针旋转π2与单位圆交于点B（x，y），若tanα=−43，则x＝（）A．0.6B．0.8C．﹣0.6D．﹣0.816．在数列的极限一节，课本中给出了计算由抛物线y＝x2、x轴以及直线x＝1所围成的曲边区域面积S的一种方法：把区间[0，1]平均分成n份，在每一个小区间上作一个小矩形，使得每个矩形的左上端点都在抛物线y＝x2上（如图），则当n→∞时，这些小矩形面积之和的极限就是S．已知12+22+32+…+n2=16n（n+1）（2n+1）．利用此方法计算出的由曲线y=√x、x轴以及直线x＝1所围成的曲边区域的面积为（）A．√63B．√32C．34D．23三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，母线长为2√2．（1）求该圆锥的体积；（2）已知AB为圆锥底面的直径，C为底面圆周上一点，且∠BOC＝90°，M为线段AC的中点，求异面直线OM与PB所成的角的大小．18．已知函数f （x ）＝sin x −√3cos x ，x ∈R ．（1）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ．若f （A ）＝0，且b ＝2，c ＝3，求a 的值；（2）求函数y ＝f （x ）cos x 的最大值．19．培养某种水生植物需要定期向培养植物的水中加入物质N ．已知向水中每投放1个单位的物质N ，x （单位：天）时刻后水中含有物质N 的量增加ymol /L ，y 与x 的函数关系可近似地表示为y ={8−16x+2，0≤x ≤612−x ，6＜x ≤12．根据经验，当水中含有物质N 的量不低于4mol /L 时，物质N 才能有效发挥作用．（1）若在水中首次投放1个单位的物质N ，计算物质N 能持续有效发挥作用几天？ （2）若在水中首次投放1个单位的物质N ，第8天再投放1个单位的物质N ，试判断第8天至第12天，水中所含物质N 的量是否始终不超过6mol /L ，并说明理由． 20．（16分）已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点的坐标为（2，0），且长轴长为短轴长的√2倍．椭圆Γ的上、下顶点分别为A 、B ，经过点P （0，4）的直线l 与椭圆Γ相交于M 、N 两点（不同于A 、B 两点）． （1）求椭圆Γ的方程；（2）若直线BM ⊥l ，求点M 的坐标；（3）设直线AN 、BM 相交于点Q （m ，n ），求证：n 是定值．21．（18分）若数列{c n }满足“对任意正整数i ，j ，i ≠j ，都存在正整数k ，使得c k ＝c i c j ”，则称数列{c n }具有“性质P ”．已知数列{a n }为无穷数列．（1）若{a n }为等比数列，且a 1＝1，判断数列{a n }是否具有“性质P ”，并说明理由； （2）若{a n }为等差数列，且公差d ＜0，求证：数列{a n }不具有“性质P ”； （3）若等差数列{a n }具有“性质P ”，且a 3＝2，求数列{a n }的通项公式a n ．参考答案一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知集合A ＝（﹣2，1]，B ＝（0，+∞），则A ∩B ＝ （0，1] ． 【分析】进行交集的运算即可． 解：∵A ＝（﹣2，1]，B ＝（0，+∞）， ∴A ∩B ＝（0，1]． 故答案为：（0，1]．2．行列式|5182|的值等于 2 ．【分析】利用行列式的计算公式即可得出． 解：|5182|=5×2﹣8×1＝2． 故答案为：2．3．（1+x ）5的二项展开式的第三项的系数是 10 ．【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求出第三项的系数． 解：（1+x ）5的二项展开式的第三项的系数是C 52=10， 故答案为：10．4．若复数z 满足z 2＝﹣3，则|z |＝ √3 ．【分析】由已知求得|z 2|＝|z |2＝3，开方后得答案． 解：由z 2＝﹣3，得|z 2|＝|z |2＝3，则|z |=√3． 故答案为：√3．5．若实数x 、y 满足{x ≥0y ≥0x +2y ≤2，则z ＝x ﹣y 的最小值为 ﹣1 ．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 解：由实数x 、y 满足{x ≥0y ≥0x +2y ≤2，作出可行域，化目标函数z ＝x ﹣y 为y ＝x ﹣z ，由图可知，当直线y ＝x ﹣z 过点A （0，1）时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为﹣1．故答案为：﹣1．6．直线l ：{x =2+ty =−1+2t（t 是参数）的斜率为 2 ．【分析】直线l ：{x =2+ty =−1+2t （t 是参数），消去参数可得方程，即可得出斜率．解：直线l ：{x =2+ty =−1+2t （t 是参数），消去参数为：y ＝2x ﹣5，可得斜率k ＝2．故答案为：2．7．如图，已知正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的侧棱长为√2，底面边长为1，则直线D 1B 和底面ABCD 所成的角的大小为π4．【分析】连结BD ，推导出BD =√2，DD 1⊥平面ABCD ，∠D 1BD 是直线D 1B 和底面ABCD 所成的角，由此能求出直线D 1B 和底面ABCD 所成的角的大小． 解：连结BD ，∵正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的侧棱长为√2，底面边长为1， ∴BD =√12+12=√2，DD 1⊥平面ABCD ， ∴∠D 1BD 是直线D 1B 和底面ABCD 所成的角， ∵D 1D ＝BD ，D 1D ⊥BD ， ∴∠D 1BD =π4，∴直线D 1B 和底面ABCD 所成的角的大小为π4．故答案为：π4．8．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若a 3＝1，S 7＝14，则a 5＝ 3 ． 【分析】由等差数列的性质可得：a 3+a 5＝a 1+a 7．再利用求和公式即可得出． 解：由等差数列的性质可得：a 3+a 5＝a 1+a 7． ∴S 7＝14＝7×12×（a 1+a 7）=72（1+a 5）， 解得：a 5＝3， 故答案为：3．9．已知α∈{﹣2，﹣1，−12，13，12，1，2，3}．若函数f （x ）＝x α在（0，+∞）上递减且为偶函数，则α＝ ﹣2 ．【分析】根据题意，由幂函数的单调性分析可得a ＝﹣2、﹣1或−12，据此验证函数f （x ）的奇偶性，即可得答案．解：根据题意，函数f （x ）＝x α为幂函数，若函数f （x ）＝x α在（0，+∞）上递减，必有a ＜0，则a ＝﹣2、﹣1或−12， 当a ＝﹣2时，f （x ）＝x ﹣2=1x 2，为偶函数，符合题意， 当a ＝﹣1时，f （x ）＝x ﹣1=1x，为奇函数，不符合题意， 当a =−12时，f （x ）=√x，为非奇非偶函数，不符合题意； 则a ＝﹣2； 故答案为：﹣210．在停课不停学期间，某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项，则每个项目都有该校教师参加的概率为49（结果用数值表示）．【分析】基本事件总数n ＝34＝81，每个项目都有该校教师参加包含的基本事件总数m =C 42C 31⋅A 22=36，由此能求出每个项目都有该校教师参加的概率．解：某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项， 基本事件总数n ＝34＝81，每个项目都有该校教师参加包含的基本事件总数m =C 42C 31⋅A 22=36，则每个项目都有该校教师参加的概率为p =m n=3681=49． 故答案为：49．11．已知点M 、N 在以AB 为直径的圆上．若AB ＝5，AM ＝3，BN ＝2，则AB →⋅MN →= 12 ． 【分析】连接BM ，BN ，利用数量积公式表示AB →⋅MN →，再结合其几何意义即可求出结果．解：连接BM ，BN ，因为AB 为直径，所以∠AMB ＝∠ANB ＝90°， 又因为AB ＝5，AM ＝3，BN ＝2， ∴BM =√52−32=4；∴AB →•MN →=AB →•（BN →−BM →） =AB →•BN →−AB →•BM →=−BA →•BN →+BA →•BM →＝|BA →|•|BM →|cos ∠ABM ﹣|BA →|•|BN →|•cos ∠ABN=BM →2−BN →2=42﹣22＝12．故答案为：12．12．已知函数f （x ）=1|x|−1．若关于x 的方程f （x ）﹣x ＝b 有三个不同的实数解，则实数b 的取值范围是 （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） ．【分析】利用函数的奇偶性画出函数f （x ）的大致图象，关于x 的方程f （x ）﹣x ＝b 有三个不同的实数解，等价于函数y＝f（x）与函数y＝x+b有三个不同的交点，利用导数的几何意义求出直线y＝x+b与函数f（x）相切时，b的值，根据函数图象，即可求出有三个不同的交点时b的取值范围．解：显然函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，画出函数f（x）的图象，如图所示：，关于x的方程f（x）﹣x＝b有三个不同的实数解，等价于函数y＝f（x）与函数y＝x+b 有三个不同的交点，设当x＜0且x≠﹣1时，直线y＝x+b与f（x）=1−x−1相切时，切点坐标为（x0，y0），∴f'（x）=1(x+1)2，∴1(x0+1)2=1，解得：x0＝﹣2或0，∴切点坐标为（﹣2，1）或（0，﹣1），代入直线y＝x+b得：b＝3或﹣1，∴由函数f（x）的图象可知，当b＞3或b＜﹣1时，函数y＝f（x）与函数y＝x+b有三个不同的交点，故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．二．选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．已知向量a→=(1，x，−1)，b→=(x，1，1)，x∈R，则“x＝﹣1”是“a→∥b→”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】由a →∥b →，可设a →=k b →，于是（1，x ，﹣1）＝k （x ，1，1），解出即可得出． 解：由a →∥b →，可设a →=k b →，于是（1，x ，﹣1）＝k （x ，1，1）， ∴{1=kxx =k −1=k ，解得k ＝﹣1＝x ． ∴“x ＝﹣1”是“a →∥b →”的充要条件． 故选：C ．14．某单位现有职工52人，将所有职工编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本．已知6号、32号、45号职工在样本中，则另一个在样本中的职工编号为（ ） A ．19B ．20C ．18D ．21【分析】根据系统抽样的特征可知抽样是等距抽样的原则，构造一个等差数列，将四个职工的号码从小到大成等差数列，建立等式关系，解之即可． 解：设样本中还有一个职工的编号是x 号，则用系统抽样抽出的四个职工的号码从小到大排列：6号、x 号、32号、45号，它们构成等差数列， ∴6+45＝x +32， x ＝6+45﹣32＝19因此，另一学生编号为19． 故选：A ．15．在直角坐标系xOy 中，角α的始边为x 轴的正半轴，顶点为坐标原点O ．已知角α的终边l 与单位圆交于点A （0.6，m ），将l 绕原点逆时针旋转π2与单位圆交于点B （x ，y ），若tan α=−43，则x ＝（ ） A ．0.6B ．0.8C ．﹣0.6D ．﹣0.8【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得x 的值．解：在直角坐标系xOy 中，角α的始边为x 轴的正半轴，顶点为坐标原点O ，已知角α的终边l 与单位圆交于点A （0.6，m ），将l 绕原点逆时针旋转π2与单位圆交于点B （x ，y ），若tan α=−43=m0.6，∴m ＝﹣0.8，故A （0.6，﹣0.8）．由题意，x＝cos（α+π2）＝﹣sinα＝0.8，故选：B．16．在数列的极限一节，课本中给出了计算由抛物线y＝x2、x轴以及直线x＝1所围成的曲边区域面积S的一种方法：把区间[0，1]平均分成n份，在每一个小区间上作一个小矩形，使得每个矩形的左上端点都在抛物线y＝x2上（如图），则当n→∞时，这些小矩形面积之和的极限就是S．已知12+22+32+…+n2=16n（n+1）（2n+1）．利用此方法计算出的由曲线y=√x、x轴以及直线x＝1所围成的曲边区域的面积为（）A．√63B．√32C．34D．23【分析】由题意画出图形，结合已知求出曲线y=√x、y轴、y＝1围成的曲边梯形的面积，再由正方形的面积减去该面积可得曲线y=√x、x轴以及直线x＝1所围成的曲边区域的面积．解：如图，把纵轴区间[0，1]，n等分，得到n个矩形，每一个矩形的底边长都是1n ，高分别为12n2，22n2，32n2，…，n2n2．∴n个矩形的面积和为1n (12n2+22n2+32n2+⋯+n2n2)=1n3（12+22+32+…+n2）=n(n+1)(2n+1)6n3．∴曲线y=√x、y轴、y＝1围成的曲边梯形的面积为limn→∞n(n+1)(2n+1)6n3=limn→∞2n3+3n2+n6n3=limn→∞2+3n+1n26=13．∴由曲线y=√x、x轴以及直线x＝1所围成的曲边区域的面积为1−13=23．故选：D．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，母线长为2√2．（1）求该圆锥的体积；（2）已知AB为圆锥底面的直径，C为底面圆周上一点，且∠BOC＝90°，M为线段AC的中点，求异面直线OM与PB所成的角的大小．【分析】（1）在Rt△POB中，由已知结合勾股定理求得PO，即该圆锥的高h＝2．再由圆锥体积公式求解；（2）连接PC，BC，由M为线段AC的中点，得OM∥BC，则异面直线OM与PB所成的角就是直线BC与PM所成的角．由已知结合勾股定理得到PB＝PC＝BC，得到△PBC为等边三角形，则异面直线OM与PB所成的角的大小可求．解：（1）如图，由题意得PB=2√2，OB＝2．在Rt△POB中，PO=√PB2−OB2=2，即该圆锥的高h＝2．由圆锥的体积公式得V=13πr2h=8π3．即该圆锥的体积为8π3．（2）连接PC，BC，由M为线段AC的中点，得OM∥BC，∴异面直线OM与PB所成的角就是直线BC与PB所成的角．∵∠POC＝90°，∠BOC＝90°，∴PC=2√2，BC=2√2．在△PBC中，PB=BC=PC=2√2，∴△PBC 为等边三角形，即 ∠PBC =π3．因此异面直线OM 与PB 所成的角的大小为π3．18．已知函数f （x ）＝sin x −√3cos x ，x ∈一、选择题．（1）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ．若f （A ）＝0，且b ＝2，c ＝3，求a 的值；（2）求函数y ＝f （x ）cos x 的最大值．【分析】（1）由sinA −√3cosA =0，得 tanA =√3，解得得出A ，再利用余弦定理即可得出．（2）由题意得 y =(sinx −√3cosx)cosx ，利用倍角公式、三角函数的单调性即可得出最值．解：（1）由sinA −√3cosA =0，得 tanA =√3，因为A 为△ABC 的内角，所以 A =π3．…………………………………………………… 由余弦定理得 a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A =22+32−2×2×3×cos π3=7，所以 a =√7． ……………………………………………………… （2）由题意得 y =(sinx −√3cosx)cosx =sinxcosx −√3cos 2x =12sin2x −√3×1+cos2x 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ =sin(2x −π3)−√32⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 因为x ∈R ，所以y 的最大值为1−√32． ……………………………………… 19．培养某种水生植物需要定期向培养植物的水中加入物质N ．已知向水中每投放1个单位的物质N ，x （单位：天）时刻后水中含有物质N 的量增加ymol /L ，y 与x 的函数关系可近似地表示为y ={8−16x+2，0≤x ≤612−x ，6＜x ≤12．根据经验，当水中含有物质N 的量不低于4mol /L 时，物质N 才能有效发挥作用．（1）若在水中首次投放1个单位的物质N，计算物质N能持续有效发挥作用几天？（2）若在水中首次投放1个单位的物质N，第8天再投放1个单位的物质N，试判断第8天至第12天，水中所含物质N的量是否始终不超过6mol/L，并说明理由．【分析】（1）由题意x，（单位：天）时刻后水中含有物质N的量列出分段函数的解析式，推出在水中首次投放1个单位的物质N，物质N能持续有效发挥作用的天数．（2）设第x（8≤x≤12）天水中所含物质N的量为ymol/L，化简函数的解析式，利用基本不等式求解函数的最大值，推出结果即可．解：（1）由题意x，（单位：天）时刻后水中含有物质N的量为y={8−16x+2，0≤x≤6 12−x，6＜x≤12．解y≥4，得2≤x≤8．所以若在水中首次投放1个单位的物质N，物质N能持续有效发挥作用6天．（2）设第x（8≤x≤12）天水中所含物质N的量为ymol/L，则y=(12−x)+[8−16(x−8)+2]=20−x−x x−6，y=14−[(x−6)+16x−6]≤14−2√(x−6)×16x−6=6，当且仅当x−6=16x−6，即x＝10∈[8，12]时，等号成立．即当x＝10时，y max＝6．所以第8天至第12天，水中所含物质N的量始终不超过6mol/L．20．（16分）已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点的坐标为（2，0），且长轴长为短轴长的√2倍．椭圆Γ的上、下顶点分别为A、B，经过点P（0，4）的直线l与椭圆Γ相交于M、N两点（不同于A、B两点）．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若直线BM⊥l，求点M的坐标；（3）设直线AN、BM相交于点Q（m，n），求证：n是定值．【分析】（1）利用已知条件得到a=√2b，a2﹣b2＝4，求出a，b然后求解椭圆方程．（2）由题意点B的坐标为（0，﹣2），设点M（x，y）．求出M的轨迹方程，结合椭圆方程求出M的坐标．（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线l的方程为y＝kx+4．联立直线与椭圆方程，利用韦达定理结合直线方程求解即可．解：（1）由题意得a=√2b，a2﹣b2＝4，解得 a =2√2，b ＝2，所以所求椭圆Γ的方程为x 28+y 24=1．（2）由题意点B 的坐标为 （0，﹣2），设点M （x ，y ）．因为BM ⊥MP ，所以x 2+（y +2）•（y ﹣4）＝0，又x 28+y 24=1，解得 {x =−2√2y =0或 {x =2√2y =0或 {x =0y =−2（舍去） 所以所求点M 的坐标为 (−2√2，0)或(2√2，0)．（3）设 M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），直线l 的方程为y ＝kx +4．由方程组 {y =kx +4x 28+y 24=1，得（1+2k 2）x 2+16kx +24＝0． 所以x 1+x 2=−16k1+2k 2，x 1x 2=241+2k 2，直线AN 的方程为 y −2=y 2−2x 2⋅x ，得m =(n −2)⋅x 2kx 2+2， 直线BM 的方程为 y +2=y 1+2x 1⋅x ，得m =(n +2)⋅x 1kx 1+6， 所以n =2+2kx 1x 2+4x 13x 2−x 1， 因为2kx 1x 2＝﹣3（x 1+x 2），得n =2+−3(x 1+x 2)+4x 13x 2−x 1=2−1=1， 所以n 为定值1．21．（18分）若数列{c n }满足“对任意正整数i ，j ，i ≠j ，都存在正整数k ，使得c k ＝c i c j ”，则称数列{c n }具有“性质P ”．已知数列{a n }为无穷数列．（1）若{a n }为等比数列，且a 1＝1，判断数列{a n }是否具有“性质P ”，并说明理由； （2）若{a n }为等差数列，且公差d ＜0，求证：数列{a n }不具有“性质P ”； （3）若等差数列{a n }具有“性质P ”，且a 3＝2，求数列{a n }的通项公式a n ．【分析】（1）由等比数列的通项公式、有理指数幂的运算性质结合新定义判定； （2）由已知a n ＝a 1+（n ﹣1）d ≤a 1，可得若a 1≤0，不存在正整数k ，使得a k ＝a 2a 3；若a 1＞0，当n ＞−a 1+√a 1d+1时，不存在正整数k ，使得a k ＝a 2a 3．说明当d ＜0时，数列{a n }不具有“性质P ”；（3）设数列{a n }的公差为d ，则a n ＝2+（n ﹣3）d ．由已知，对任意n ∈N *，都存在正整数k，使得a k＝a3a n，整理可得d≠0，且2d=k−2n+3∈Z，对任意a n，设a k1=a n a n+1=a n(a n+d)，a k2=a n a n+2=a n(a n+2d)，n，k1，k2∈N∗，整理可得d＝a n+1﹣a n∈Z，再由由（2）知d≥0，综合解得d＝1或d＝2．分析d＝2时，不满足要求．d＝1，a n＝n ﹣1满足要求，即可求得a n＝n﹣1．【解答】（1）解：数列{a n}具有“性质P”．事实上，设数列{a n}的公比为q，则a n=q n−1，n∈N*．对任意正整数i，j，i≠j，a i a j=q i+j−2，∵i+j﹣1≥2，∴a i+j﹣1＝a i a j．∴数列{a n}具有“性质P”；（2）证明：由已知a n＝a1+（n﹣1）d≤a1，①若a1≤0，则a3＜a2＜0，a2a3＞0≥a1，∴不存在正整数k，使得a k＝a2a3；②若a1＞0，则当n＞−a1+√a1d+1时，a n+1＜a n＜−√a1，a n a n+1＞a1，∴不存在正整数k，使得a k＝a2a3．综上，当d＜0时，数列{a n}不具有“性质P”；（3）解：设数列{a n}的公差为d，则a n＝2+（n﹣3）d．由已知，对任意n∈N*，都存在正整数k，使得a k＝a3a n，即2+（k﹣3）d＝2[2+（n﹣3）d]，∴d≠0，且2d=k−2n+3∈Z，①对任意a n，设a k1=a n a n+1=a n(a n+d)，a k2=a n a n+2=a n(a n+2d)，n，k1，k2∈N∗，∴(k2−k1)d=a k2−a k1=a n d，得a n＝k2﹣k1∈Z，因此d＝a n+1﹣a n∈Z，②由（2）知d≥0，又由①、②可得d＝1或d＝2．当d＝2时，a1＝﹣2，a1a3＝﹣4＜a1≤a n，不满足要求．∴d＝1，a n＝n﹣1．验证a n＝n﹣1满足要求，故a n＝n﹣1．。

上海市长宁区2020届高三二模数学试卷2020.5一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.已知集合，，则2.行列式的值等于3.的二项展开式的第三项的系数是4.若复数满足，则5.若实数、满足，则的最小值为6.直线（是参数）的斜率为7.如图，已知正四棱柱的侧棱长为，底面边长为1，则直线和底面所成的角的大小为8.记等差数列的前项和为，若，，则9.已知，若函数在上递减且为偶函数，则10.在听课不停学期间，某校有四位教师参加了三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项，则每个项目都有该校教师参加的概率为（结果用数值表示）11.已知、在以为直径的圆上，若，，，则12.已知函数，若关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.已知向量，，，则“”是“∥”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.某单位现有职工52人，将所有职工编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号职工在样本中，则另一个在样本中的职工编号为（）A.18B.19C.20D.2115.在直角坐标系中，角的始边为轴的正半轴，顶点为坐标原点，已知角的终边与单位圆交于点，将绕原点逆时针旋转与单位圆交于点，若，则（）A.0.6B.0.8C.D.16.在数列的极限一节，课本中给出了计算由抛物线、轴以及直线所围成的曲边区域面积的一种方法：把区间平均分成份，在每一个小区间上作一个小矩形，使得每个矩形的坐上端点都在抛物线上（如图），则当时，这些小矩形面积之和的极限就是，已知，利用此方法计算出的由曲线、轴以及直线所围成的曲边区域的面积为（）A.B.C.D.三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.如图，已知圆锥的顶点为，底面圆心为，半径为2，母线长为.（1）求该圆锥的体积；（2）已知为圆锥底面的直径，为底面圆周上一点，且，为线段的中点，求异面直线与所成的角的大小.18.已知函数，.（1）设△的内角、、所对的边长分别为、、，若，且，，求的值；（2）求函数的最大值.19.培养某种水生植物需要定期向培养植物的水中加入物质，已知向水中每投放1个单位的物质，（单位：天）时刻后水中含有物质的量增加，与的函数关系可近似地表示为，根据经验，当水中含有物质的量不低于4时，物质才能有效发挥作用.（1）若在水中首次投放1个单位的物质，计算物质能持续有效发挥作用几天？（2）若在水中首次投放1个单位的物质，第8天再投放1个单位的物质，试判断第8天至第12天，水中所含物质的量是否始终不超过6，并说明理由.20.已知椭圆（）的右焦点的坐标为，且长轴长为短轴长的倍，椭圆的上、下顶点分别为、，经过点的直线与椭圆相交于、两点（不同于、两点）.（1）求椭圆的方程；（2）若直线，求点的坐标；（3）设直线、相交于点，求证：是定值.21.若数列满足“对任意正整数、，，都存在正整数，使得”，则称数列具有“性质”，已知数列为无穷数列.（1）若为等比数列，且，判断数列是否具有“性质”，并说明理由；（2）若为等差数列，且公差，求证：数列不具有“性质”；（3）若等差数列具有“性质”，且，求数列的通项公式.参考答案一.填空题1.2.23.104.5.6.27.8.39.10.11.1212.二.选择题13.C14.B15.B16.D三.解答题17.（1）；（2）.18.（1）；（2）.19.（1）物质能持续有效发挥作用6天；（2）是.20.（1）；（2）或；（3），证明略.21.（1）是；（2）证明略；（3）.。

2019学年长宁区学科教学质量调研高三数学（2020.05）一.填空题（本大题满分54分）本大愿共有12题，考生应在各题纸相应编号的空格内直接写结果，1-6题每个空填对得4分，7-12题每个空格填对得5分 1.已知集合(2,1],(0,)A B =-=+∞，则A B =I . 2.行列式5182的值等于 .3.5(1)x +的二项展开式的第三项的系数是 . 4.若复数z 满足23z =-，则||z = .5.若实数x 、y 满足0022x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则z x y =-的最小值为 .6.直线2:12x tl y t=+⎧⎨=-+⎩（t 是参数）的斜率为 .7.如图，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的侧棱长为2，底面边长为1，则直线1D B 和底面ABCD 所成的角的大小为 .8.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若371,14a S ==，则5a = .9.已知111{2,1,,,,1,2,3}232α∈---，若函数()f x x α=在(0,)+∞上递减且为偶函数，则α= .10.在停课不停学期间，某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项，则每个项目都有老师参加的概率为 .（结果用数值表示）11．已知函数,M N 是以AB 为直径的圆上，若5,3,2AB AM BN ===,则AB MN uuu r uuu u rg =__12.已知函数1()1f x x =-，若关于x 的方程()f x x b -=有三个不同的实数解，则实数b的取值范围________二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答来，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。

13.已知向量(1,,1),(,1,1),a x b x x R =-=∈r r ，则“1x =-”是“a b r r∥”的（ ）()A 充分非必要条件 ()B 必要非充分条件 ()C 充要条件 ()D 既非充分又非必要条件14.某单位现有职员52人，将所有职工编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号职工在样本中，则另一个在样本中的职工编号为（ ）()A 18 ()B 19 ()C 20 ()D 2115.在直角坐标系xOy 中，角α的始边为x 轴的正半轴，顶点为坐标原点O .已知角α的终边l 与单位圆交于点(0.6,)A m ，将l 绕原点逆时针旋转2π与单位圆交于点(,)B x y ，若4tan 3α=-，则x =（ ）()A 0.6 ()B 0.8 ()C 0.6- ()D 0.8-16.在数列的极限一节，课本中绘出了计算由抛物线2y x x =、轴以及直线1x =所围成的曲边区域面积S 的一种方法：把区间[]0,1平均分成n 份，在每一个小区间上作一个小矩形，使得每个矩形的左上端点都在抛物线2y x =上（如图），则当n →∞时，这些小矩形的面积之和的极限就是S 。

2020 宝山高三二模一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）已知集合A＝（﹣2，1]，B＝（0，+∞），则A∩B＝．2．（4分）行列式的值等于．3．（4分）（1+x）5的二项展开式的第三项的系数是．4．（4分）若复数z满足z2＝﹣3，则|z|＝．5．（4分）若实数x、y满足，则z＝x﹣y的最小值为．6．（4分）直线l：（t是参数）的斜率为．7．（5分）如图，已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱长为，底面边长为1，则直线D1B和底面ABCD所成的角的大小为．8．（5分）记等差数列{a n}的前n项和为S n．若a3＝1，S7＝14，则a5＝．9．（5分）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，，，1，2，3}．若函数f（x）＝xα在（0，+∞）上递减且为偶函数，则α＝．10．（5分）在停课不停学期间，某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项，则每个项目都有该校教师参加的概率为（结果用数值表示）．11．（5分）已知点M、N在以AB为直径的圆上．若AB＝5，AM＝3，BN＝2，则＝．12．（5分）已知函数f（x）＝．若关于x的方程f（x）﹣x＝b有三个不同的实数解，则实数b的取值范围是．二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）已知向量，，x∈R，则“x＝﹣1”是“∥”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件14．（5分）某单位现有职工52人，将所有职工编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本．已知6号、32号、45号职工在样本中，则另一个在样本中的职工编号为（）A．19B．20C．18D．2115．（5分）在直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的正半轴，顶点为坐标原点O．已知角α的终边l与单位圆交于点A（0.6，m），将l绕原点逆时针旋转与单位圆交于点B（x，y），若tanα＝﹣，则x ＝（）A．0.6B．0.8C．﹣0.6D．﹣0.816．（5分）在数列的极限一节，课本中给出了计算由抛物线y＝x2、x轴以及直线x＝1所围成的曲边区域面积S的一种方法：把区间[0，1]平均分成n份，在每一个小区间上作一个小矩形，使得每个矩形的左上端点都在抛物线y＝x2上（如图），则当n→∞时，这些小矩形面积之和的极限就是S．已知12+22+32+…+n2＝n（n+1）（2n+1）．利用此方法计算出的由曲线y＝、x轴以及直线x＝1所围成的曲边区域的面积为（）A．B．C．D．三. 解答题（本大题共4题，每题5分，共20分）17．（14分）如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，母线长为2．（1）求该圆锥的体积；（2）已知AB为圆锥底面的直径，C为底面圆周上一点，且∠BOC＝90°，M为线段AC的中点，求异面直线OM与PB所成的角的大小．18．（14分）已知函数f（x）＝sin x﹣cos x，x∈R．（1）设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c．若f（A）＝0，且b＝2，c＝3，求a的值；（2）求函数y＝f（x）cos x的最大值．19．（14分）培养某种水生植物需要定期向培养植物的水中加入物质N．已知向水中每投放1个单位的物质N，x（单位：天）时刻后水中含有物质N的量增加ymol/L，y与x的函数关系可近似地表示为y＝．根据经验，当水中含有物质N的量不低于4mol/L时，物质N才能有效发挥作用．（1）若在水中首次投放1个单位的物质N，计算物质N能持续有效发挥作用几天？（2）若在水中首次投放1个单位的物质N，第8天再投放1个单位的物质N，试判断第8天至第12天，水中所含物质N的量是否始终不超过6mol/L，并说明理由．20．（16分）已知椭圆Γ：＝1（a＞b＞0）的右焦点的坐标为（2，0），且长轴长为短轴长的倍．椭圆Γ的上、下顶点分别为A、B，经过点P（0，4）的直线l与椭圆Γ相交于M、N两点（不同于A、B 两点）．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若直线BM⊥l，求点M的坐标；（3）设直线AN、BM相交于点Q（m，n），求证：n是定值．21．（18分）若数列{c n}满足“对任意正整数i，j，i≠j，都存在正整数k，使得c k＝c i c j”，则称数列{c n}具有“性质P”．已知数列{a n}为无穷数列．（1）若{a n}为等比数列，且a1＝1，判断数列{a n}是否具有“性质P”，并说明理由；（2）若{a n}为等差数列，且公差d＜0，求证：数列{a n}不具有“性质P”；（3）若等差数列{a n}具有“性质P”，且a3＝2，求数列{a n}的通项公式a n．参考答案一、填空题1．（0，1]；2．2；3．10；4．；5．﹣1；6．2；7．；8．3；9．﹣2；10．；11．12；12．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）；二、选择题13．C；14．A；15．B；16．D；三、解答题17.解：（1）如图，由题意得，OB＝2．在Rt△POB中，，即该圆锥的高h＝2．由圆锥的体积公式得．即该圆锥的体积为．（2）连接PC，BC，由M为线段AC的中点，得OM∥BC，∴异面直线OM与PB所成的角就是直线BC与PB所成的角．∵∠POC＝90°，∠BOC＝90°，∴，．在△PBC中，，∴△PBC为等边三角形，即．因此异面直线OM与PB所成的角的大小为．18.解：（1）由，得，因为A为△ABC的内角，所以．……………………………………………………（3分）由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝，所以．………………………………………………………（6分）（2）由题意得＝＝（4分）＝………………………………………（6分）因为x∈R，所以y的最大值为．………………………………………（8分）19.解：（1）由题意x，（单位：天）时刻后水中含有物质N的量为．解y≥4，得2≤x≤8．所以若在水中首次投放1个单位的物质N，物质N能持续有效发挥作用6天．（2）设第x（8≤x≤12）天水中所含物质N的量为ymol/L，则，，当且仅当，即x＝10∈[8，12]时，等号成立．即当x＝10时，y max＝6．所以第8天至第12天，水中所含物质N的量始终不超过6mol/L．20.解：（1）由题意得，a2﹣b2＝4，解得，b＝2，所以所求椭圆Γ的方程为．（2）由题意点B的坐标为（0，﹣2），设点M（x，y）．因为BM⊥MP，所以x2+（y+2）•（y﹣4）＝0，又，解得或或（舍去）所以所求点M的坐标为或．（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线l的方程为y＝kx+4．由方程组，得（1+2k2）x2+16kx+24＝0．所以，，直线AN的方程为，得，直线BM的方程为，得，所以，因为2kx1x2＝﹣3（x1+x2），得，所以n为定值1．21.（1）解：数列{a n}具有“性质P”．事实上，设数列{a n}的公比为q，则，n∈N*．对任意正整数i，j，i≠j，，∵i+j﹣1≥2，∴a i+j﹣1＝a i a j．∴数列{a n}具有“性质P”；（2）证明：由已知a n＝a1+（n﹣1）d≤a1，①若a1≤0，则a3＜a2＜0，a2a3＞0≥a1，∴不存在正整数k，使得a k＝a2a3；②若a1＞0，则当时，，a n a n+1＞a1，∴不存在正整数k，使得a k＝a2a3．综上，当d＜0时，数列{a n}不具有“性质P”；（3）解：设数列{a n}的公差为d，则a n＝2+（n﹣3）d．由已知，对任意n∈N*，都存在正整数k，使得a k＝a3a n，即2+（k﹣3）d＝2[2+（n﹣3）d]，∴d≠0，且，①对任意a n，设，，，∴，得a n＝k2﹣k1∈Z，因此d＝a n+1﹣a n∈Z，②由（2）知d≥0，又由①、②可得d＝1或d＝2．当d＝2时，a1＝﹣2，a1a3＝﹣4＜a1≤a n，不满足要求．∴d＝1，a n＝n﹣1．验证a n＝n﹣1满足要求，故a n＝n﹣1．。

排列组合与概率统计一、排列组合1、【2020年徐汇区二模第11题】如图为某街区道路示意图，图中的实线为道路，每段道路旁的数字表示单向通过此段道路时会遇见的行人人数，在防控新冠肺炎疫情期间，某人需要从A 点由图中的道路到B 点，为避免人员聚集，此人选择了一条遇见的行人总人数最小的从A 到B 的行走线路，则此人从A 到B 遇见的行人总人数最小值是【答案：34解析：枚举比较，可知按如图方式行走，遇见行人最少。

】二、二项式定理、组合数运算2、【2020年长宁区二模第3题】()51x +的二项展开式的第三项的系数是 _______________． 【答案：10】3、【2020年嘉定区二模第4题】4. 在5(2)x -的二项展开式中，项的系数为【答案： 40 】4、【2020年青浦区二模第4题】若5(1)ax +的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是__________．【答案：2】 5、【2020年徐汇区二模第7题】二项式52x x ⎛+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项等于 . 【答案：5 】6、【2020年松江区二模第5题】若的展开式中项的系数为，则实数= ． 8()x a +5x 56a【答案：1 】7、【2020年宝山区二模第8题】已知1()2n x x-的展开式的常数项为第6项，则常数项为 【答案：638- 】 8、【2020年崇明区二模第6题】241(2)x x +的展开式中含5x 项的系数是 （用数字作答）【答案：32】9、【2020年虹口区二模第7题】若25(ax的展开式中的常数项为52-，则实数a 的值为 【答案： 12-】10、【2020年闵行区二模第6题】在 81x ⎫⎪⎭的二项展开式中，常数项的值为 ． 【答案：28】11、【2020年浦东新区二模第7题】若二项式4(12)x +展开式的第4项的值为，则23lim()n n x x x x →∞+++⋅⋅⋅+= . 【答案：15】12、【2020年杨浦区二模第10题】设*n N ∈，若(2n +的二项展开式中，有理项的系数之和为29525，则n =【答案：10解析：(2n +的二项展开式中，有理项系数之和为02222n n nn C C -++⋅⋅⋅，无理项系数之和为113322n n n n C C --++⋅⋅⋅，作差即01122332222(21)1n n n n n n n n n C C C C ----+-+⋅⋅⋅=-=，∴当有理项的系数之和为29525，则无理项的系数之和为29524，即所有项系数之和为59049，令1x =，∴35904910n n =⇒=。

2020届二模分类汇总-数列一、等差等比数列的性质与判定1、【2020年闵行区二模第4题】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3122S S S =+，12a =，则5a = 【答案：6】2、【2020年松江区二模第4题】等差数列的前项和为，若，则= ． 【答案：28 】3、【2020年长宁区二模第8题】记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若31a =，714S =，则5a =__________．【答案：3】4、【2020年奉贤区二模第8题】已知等差数列{}n a 的各项不为零，且3a 、13a 、63a 成等比数列，则公比是 【答案： 5 】5、【2020年嘉定区二模第7题】设各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，236a a +=，则6S = 【答案： 63 】6、【2020年崇明区二模第15题】设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A 是边长为i a 、1i a +的矩形的周长（1,2,i =⋅⋅⋅），则“数列{}n A 为等差数列”的充要条件是（ ） A. {}n a 是等差数列B. 1321,,,,n a a a -⋅⋅⋅⋅⋅⋅或242,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是等差数列C. 1321,,,,n a a a -⋅⋅⋅⋅⋅⋅和242,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅都是等差数列D. 1321,,,,n a a a -⋅⋅⋅⋅⋅⋅和242,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅都是等差数列，且公差相同 【答案： D 】{}n a n n S 15374,12a a a a +=+=7S7、【2020年嘉定区二模第16题】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S 是6和n a 的等差中项．若对任意的*n N ∈，都有13[n nS s S -∈，]t ，则t s -的最小值为( ) A ．23 B ．94 C ．12 D ．16【答案： B解析：由题意，64n n a S +=，∴1164n n a S --+=，作差11143n n n n n a a a a a ---=⇒=-， 为等比数列，由111642a S a +=⇒=，1(1)31[1()]123n n n a q S q -==---，111()[,]339n -∈-， ∴4[,2]3n S ∈，∴113113[,]42n n S S -∈，∴min 1113()24t s -=-=94。

2020年上海市长宁区、嘉定区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.已知x∈R，则“”是“x＜1”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件2.产能利用率是指实际产出与生产能力的比率，工业产能利用率是衡量工业生产经营状况的重要指标，下图为国家统计局发布的2015年至2018年第2季度我国工业产能利用率的折线图（%）．在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2016年第二季度与2015年第二季度相比较：环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2015二季度与2015年第一季度相比较根据上述信息，下列结论中正确的是（）A. 2015年第三季度环比有所提高B. 2016年第一季度同比有所提高C. 2017年第三季度同比有所提高D. 2018年第一季度环比有所提高3.已知圆（x-2）2+y2=9的圆心为C，过点M（-2，0）且与x轴不重合的直线l交圆A、B两点，点A在点M与点B之间．过点M作直线AC的平行线交直线BC于点P，则点P的轨迹为（）A. 圆的一部分B. 椭圆的一部分C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分4.对于△ABC，若存在△A1B1C1，满足，则称△ABC为“V类三角形”．“V类三角形”一定满足（）A. 有一个内角为30°B. 有一个内角为45°C. 有一个内角为60°D. 有一个内角为75°二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.已知集合A={1，2，3，4}，B={x|2＜x＜5，x∈R}，则A∩B=______6.已知复数z满足i=3+4i（i是虚数单位），则|z|=______7.若线性方程组的增广矩阵为，解为则m+n=______8.在的二项展开式中，常数项的值为______9.已知一个圆锥的主视图（如图所示）是边长分别为5，5，4的三角形，则该圆锥的侧面积为______.10.已知实数x，y满足，则x+2y的最小值为______11.设函数（其中a为常数）的反函数为f-1（x），若函数f-1（x）的图象经过点（0，1），则方程f-1（x）=2的解为______12.学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动，则选出的2人中至少有1名女同学的概率为______（结果用数值表示）13.已知直线（t为参数）与抛物线y2=4x相交于A、B两点，若线段AB中点的坐标为（m，2），线段AB的长为______．14.在△ABC中，已知，P为线段AD上的一点，且满足，若△ABC的面积为，，则的最小值为______．15.已知有穷数列{a n}共有m项，记数列{a n}的所有项和为S（1），第二项及以后所有项和为S（2），……第n（1≤n≤m）项及以后所有项和为S（n），若S（n）是首项为1，公差为2的等差数列的前n项和，则当1≤n＜m时，a n=______16.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=-f（x），且当0≤x≤1时，f（x）=log2（x+a），若对于x属于[0，1]都有，则实数t的取值范围为______三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.已知正四棱柱的底面边长为，与底面所成的角为(1)求三棱锥的体积；(2)求异面直线与所成的角的大小.18.已知函数，（1）若，且，求f（α）的值；（2）求函数f（x）最小正周期及函数f（x）在上单调递减区间．19.为了在夏季降温和冬季取暖时减少能源消耗，业主决定对房屋的屋顶和外墙喷涂某种新型隔热材料，该材料有效使用年限为20年，已知该房屋外表喷涂一层这种隔热材料的费用为每毫米厚6万元，且每年的能源消耗费用H（万元）与隔热层厚度x（毫米）满足关系（0≤x≤10）设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（1）请解释H（0）的实际意义，并求f（x）的表达式；（2）当隔热层喷涂厚度为多少毫米时，业主所付的总费用f（x）最少？并求此时与不建隔热层相比较，业主可节省多少钱？20.已知椭圆Γ：的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线l与椭圆Γ相交于P、Q．（1）求△F1PQ的周长；（2）设点A为椭圆Γ的上顶点，点P在第一象限，点M在线段AF2上，若，求点P的横坐标；（3）设直线l不平行于坐标轴，点R为点P关于x轴对称点，直线QR与x轴交于点N求△QF2N面积的最大值．21.记无穷数列{a n}的前n项中最大值为M n，最小值为m n，令．求：（1）若，写出b1，b2，b3，b4的值；（2）设，若b3=-3，求λ的值及n≥4时数列{b n}的前n项和S n；（3）求证：“数列{a n}是等差数列”的充要条件是“数列{b n}是等差数列．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：“”⇔0＜x＜1．∴“”是“x＜1”的充分不必要条件．故选：A．利用不等式的解法解出：“”，即可判断出结论．本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.答案：C解析：解：2015年第二季度利用率为74.3%，第三季度利用率为74.0%，故2015年第三季度环比有所下降，故A错误；2015年第一季度利用率为74.2%，2016年第一季度利用率为72.9%，故2016年第一季度同比有所下降，故B错误；2016年底三季度利用率率为73.2%，2017年第三季度利用率为76.8%，故2017年第三季度同比有所提高，故C正确；2017年第四季度利用率为78%，2018年第一季度利用率为76.5%，故2018年第一季度环比有所下降，故D错误．故选：C．根据同比和环比的定义比较两期数据得出结论．本题考查了新定义的理解，图表认知，属于基础题．3.答案：C解析：解：可得圆（x-2）2+y2=9的圆心为C（2，0），半径为R=3．如图，∵CB=CA=R=3，∴∠CBA=∠CAB，∵AC∥MP，∴，∴∠CBA=∠CAB=∠PMA，∴PM=PB=PC+BC⇒PM-PC=BC=3（定值），且3＜MC．∴点P的轨迹是双曲线的一部分，故选：C．根据题意可得PM-PC=BC=3（定值），且3＜MC．即可得点P的轨迹是双曲线的一部分．本题考查了动点根据的求解，考查了转化思想，属于中档题．4.答案：B解析：【分析】本题主要考查三角函数的化简求值，注意新定义运算法则，诱导公式的应用，属于基础题．设等腰△ABC中A=B，由已知得，则，结合同角三角函数关系进行化简求值即可．【解答】解：设A=B，由已知得，则，所以，（舍），或，解得：．故选：B．5.答案：{3，4}解析：解：∵A={1，2，3，4}，B={x|2＜x＜5，x∈R}；∴A∩B={3，4}．故答案为：{3，4}．进行交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算．6.答案：5解析：解：由i=3+4i，得，∴|z|=||=．故答案为：5．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．7.答案：3解析：解：由题意，可将增广矩阵的形式还原为线性方程组，得：，∵解为，∴m=2，n=1．∴m+n=3．故答案为：3．本题可可将增广矩阵的形式还原为线性方程组的形式，然后将解代入方程组即可得到m、n的值，即可得到结果．本题主要考查增广矩阵的相关概念及线性方程组的求参数．本题属基础题．8.答案：6解析：解：在的二项展开式中，通项公式为：T r+1=x4-r=x4-2r，令4-2r=0，解得r=2．∴常数项==6．故答案为：6．利用通项公式即可得出．本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.答案：10π解析：【分析】本题考查圆锥的侧面积，属于基础题.根据圆锥的主视图可知：圆锥的母线长为5，底面半径为2，由侧面积公式可得．【解答】解：根据圆锥的主视图可知：圆锥的母线长为5，底面半径为2，所以该圆锥的侧面积为5×2π=10π，故答案为：10π．10.答案：-2解析：解：由实数x，y满足，作出可行域如图，由解得A（0，-1）．化z=x+2y为y=-x+，由图可知，当直线y=-x+过A（0，-1）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值等于z=0+2×（-1）=-2．故答案为：-2．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．11.答案：x=1解析：解：由y=f（x）=，得x-a=y2（y≥0），∴函数f（x）的反函数f-1（x）=x2+a（x≥0）．把点（0，1）代入，可得a=1．∴f-1（x）=x2+1（x≥0）．由f-1（x）=2，得x2+1=2，即x=1．故答案为：x=1．求出原函数的反函数，代入已知点的坐标求得a，则方程f-1（x）=2的解可求．本题考查函数的反函数的求法，关键是明确反函数的定义域是原函数的值域，是基础题．12.答案：解析：解：学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动，基本事件总数n==10．选出的2人中至少有1名女同学包含的基本事件个数m==7，则选出的2人中至少有1名女同学的概率为p=．故答案为：．基本事件总数n==10．选出的2人中至少有1名女同学包含的基本事件个数m==7，由此能求出选出的2人中至少有1名女同学的概率．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.答案：8解析：【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，弦长公式的应用，考查计算能力．根据直线的参数方程可得直线经过抛物线的焦点，利用点差法求出直线AB的斜率，根据抛物线的弦长公式即可求出线段AB的长.【解答】解：直线（t为参数），过定点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，由，可得，即,所以,所以直线AB的方程为，所以，因为抛物线y2=4x的焦点坐标为，所以直线AB过抛物线的焦点，所以,故答案为：8．14.答案：2解析：解∵=∵A，P，D三点共线，∴，即m=．∴===，又∵．∴，即CA•CB=8．∴====．故答案为：2．利用A，P，D三点共线可求出m=，并得到．再利用平面向量的基本性质和基本不等式即可求出的最小值．本题考查平面向量共线定理，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量线性运算的运用．15.答案：-2n-1解析：解：S（n）是首项为1，公差为2的等差数列的前n项和，所以S（n）=n+=n2，则a n=S（n）-S（n+1）=n2-（n+1）2=-2n-1，故填：-2n-1．设数列{a n}的前n项和为T n，则S（n）=T m-T n，又知道S（n）是首项为1，公差为2的等差数列的前n项和，则当1≤n＜m时，即可得到a n的表达式．本题考查了数列通项的求法，等差数列的前n项和公式，属于基础题．16.答案：[0，3]解析：解：由题意，f（x）为周期为4的函数，且是奇函数．0在函数定义域内，故f （0）=0，得a=1，所以当0≤x≤1时，f（x）=log2（x+1），当x∈[-1，0]时，-x∈[0，1]，此时f（x）=-f（-x）=-log2（-x+1），又知道f（x+2）=-f（x）=f（-x），所以f（x）以x=1为对称轴．且当x∈[-1，1]时f（x）单调递增，当x∈[1，3]时f（x）单调递减．当x∈[-1，3]时，令f（x）=1-log23，得x=-，或x=，所以在[-1，3]内当f（x）＞1-log23时，x∈[-，]．设g（x）=-，若对于x属于[0，1]都有，因为g（0）=∈[-，]．，故g（x）∈[-，]．①当＜0时，g（x）在[0，1]上单调递减，故g（x）∈[t-，]⊆[-，]．得t≥0，无解．②0≤t≤1时，，此时g（t）最大，g（1）最小，即g（x）∈[t-1，]⊆[-，]．得t∈[0，1]．③当1＜t≤2时，即，此时g（0）最小，g（t）最大，即g（x）∈[，]⊆[-，]．得t∈（1，2]，④当t＞2时，g（x）在[0，1]上单调递增，故g（x）∈[，t-]⊆[-，]．解得，t∈（2，3]，综上t∈[0，3]．故填：[0，3]．f（x）为周期为4的函数，且是奇函数．0在函数定义域内，故f（0）=0，得a=1，先得到[-1，3]一个周期内f（x）的图象，求出该周期内使f（x）≥1-log23成立的x的范围，从而推出的范围，再分t的范围讨论即可．本题考查了复合函数的值域、对称区间上函数解析式的求法、二次函数在闭区间上的最值、函数的对称性、周期性、恒成立等知识．属于难题．17.答案：解：（1）∵正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，A1B与底面ABCD所成的角为，AA1⊥平面ABCD，∴∠A1BA是A1B与底面ABCD所成的角，∴∠A1BA=，∴AA1=AB=1，∴三棱锥A1-BCD的体积：=AA1×S△BCD==．（2）∵A1D∥B1C，∴∠DA1B是异面直线A1B与B1C所成的角（或所成角的平面角），∵由（1）知AA1=1，∴A1D=BD=A1B，∴∠DA1B=，∴异面直线A1B与B1C所成的角的大小为．解析：本题考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．（1）由AA1⊥平面ABCD，得∠A1BA是A1B与底面ABCD所成的角，从而∠A1BA=，进而AA1=AB=1，由此能求出三棱锥A1-BCD的体积．（2）由A1D∥B1C，得∠DA1B是异面直线A1B与B1C所成的角（或所成角的平面角），由此能求出异面直线A1B与B1C所成的角的大小.18.答案：解：（1）∵函数，若，且，∴cosα==，∴f（α）=cosα（sinα+cosα）-=（+）-=．（2）由题意知函数=sin2x+-=sin（2x+），故f（x）的最小正周期为=π．令2kπ+≤2x+≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，可得函数f（x）的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．∵x∈[0]，∴函数f（x）在上单调递减区间为[，]．故f（x）在上单调递减区间为[，].解析：本题主要考查同角三角函数的基本关系，三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性，属于中档题．（1）由题意利用同角三角函数的基本关系求得f（α）的值．（2）利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性得出结论．19.答案：解：（1）H（0）==8，H（0）的实际意义为不使用新型隔热材料时，每年的能源消耗费用为8万元．f（x）的解析式为：（0≤x≤10）．（2）f（x）=+6x=2（3x+5）-10≥2-10=70．当且仅当=2（3x+5）即x=5时取等号．∴厚度为5mm时，总费用最小70万元．若不使用隔热材料，则20年的能源消耗总费用为8×20=160万元，故业主可节省90万元．解析：（1）将建造费用和能源消耗费用相加得出f（x）的解析式；（2）利用基本不等式得出f（x）的最小值及对应的x的值，与不使用隔热材料的总费用比较得出结论．本题考查了函数解析式的求解，函数最值的计算，属于中档题．20.答案：解：（1）由题意可得a=2，则△F1PQ的周长=|PF1|+|QF1|+|PQ|=|PF1|+|QF1|+|PF2|+|QF2|=4a=4×2=8，（2）设P（x0，y0），0＜x0＜2，∴+=1，∵A（0，），F2（1，0），∴直线AF的方程为y=-x+，设M的坐标为（x M，y M），∴y M=-x M+，∵，∴（x M+1，y M）=（x0+1，y0），∴x M=x0-，y M=y0，∴y0=-（x0-）+，即y0=-（x0-2），代入到+=1，整理化简可得5x02-16x0+12=0，解得x0=2（舍去）或x0=，故点P的横坐标为，（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），设直线l的方程为x=my+1，联立，得（3m2+4）y2+6my-9=0．∴y1+y2=-，y1y2=-，由题设知，R（x1，-y1），∴直线QR的方程为y+y1=（x-x1）．令y=0，得x=x1+=my1+1+=1+m（）=1+m•=1+2m•=4，∴点N（4，0）．∴|F2N|=4-1=3，∴△QF2N面积S=|F2N|•|y2|=|y2|，∵0＜|y2|≤，当|y2|=时，△QF2N面积最大，最大值为．解析：（1）根据椭圆的性质可得周长为4a，即可求出答案，（2）设P（x0，y0），求出直线AF，设M的坐标为（x M，y M），根据，可得x M=x0-，y M=y0，即可得到y0=-（x0-2），代入到+=1，整理即可求出（3）联立直线方程与椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系求得P，Q的纵坐标的和与积，再求出N的坐标，写出三角形面积公式，即可求出．本题考查椭圆方程的性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，向量的运算，直线方程，韦达定理，考查计算能力和转化能力，是中档题．21.答案：（1）b1=-1，，，b4=1；（2）λ=4，；（3）证明略．解：（1）∵a n=2n-3n，∴a1=-1，a2=-2，a3=-1，a4=4，∴b1=-1，b2=-，b3=-，b4=1；（2）设，可得a1=2-λ，a2=4-2λ，a3=8-3λ，若b3=-3，可得λ＞0，由6-3λ=-6，可得λ=4；由10-4λ=-6，可得λ=4；由12-5λ=-6，可得λ=，若λ=4，可得a1=-2，a2=-4，a3=-4，满足题意；λ=时，a1=-，a2=-，a3=-，可得b3=-，不符题意，舍去，综上可得λ=4，即有数列中的项为-2，-4，-4，0，12，40，…，可得b n=，n≥5，则前n项和S n=-10+（24+25+…+2n-1）-2（6+7+…+n+1）=-10+-2•（（n-4）（6+n+1）=2n-n2-3n+2；（3）证明：充分性：若“数列{a n}是等差数列”，设其公差为d，则b n=，b n+1==b n+，故“数列{b n}是等差数列”；必要性：若“数列{b n}是等差数列”，设其公差为d′，则b n+1-b n=-=+=d′，根据定义，M n+1≥M n，m n+1≤m n，至少有一个取等号，当d′＞0时，M n+1＞M n，a n+1=M n+1＞M n≥a n，即数列{a n}为增数列，则M n=a n，m n=a1，则b n+1-b n=-==d′，即a n+1-a n=2d′，即“数列{a n}是等差数列”，同理可得d′＜0时，“数列{a n}是等差数列”；当d′=0时，M n+1=M n，且m n+1=m n，故{a n}为常数列，是等差数列．综上可得：“数列{a n}是等差数列”是“数列{b n}是等差数列”的充要条件．解析：（1）分别计算出a1，a2，a3，a4结合题意即可得b1，b2，b3，b4的值；（2）由新定义，可得λ＞0，考虑三种情况求得λ，检验可得所求λ；进而得到b n，由数列的分组求和，可得所求和；（3）充分性易证，无论d为何值，始终有b n=，即可证得结果，必要性须分类证明．本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，考查数列性质、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于难题．。