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2020-12月浦东高三第二次六校联考数学试卷（理工类）考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、座位号、准考证号等填写清楚。
2.本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟。
一. 填空题 (本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1．若复数z 满足()1z i i +=（i 为虚数单位），则z z ⋅=____________． 2．已知数列{}n a 是等比数列，则行列式1425a a a a =_______ ．3．已知集合{}3A x x =<，集合401x B xx ⎧+⎫=>⎨⎬-⎩⎭，则A B =I ______________．4．已知矩阵2134A -⎛⎫=⎪⎝⎭，2143B -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则A B ⨯=______________． 5．若函数()log m f x x =的反函数图象过点()2,n ，则n m -的最小值是______．6．822x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含21x 项的系数为 ____________．7．已知()1,3a =-r ，()6,2b =r，向量a b λ+r r 与3a b -r r垂直，则实数λ=_______．8．对任意非零实数a 、b ，若a b ⊗的运算原理如 右图程序框图所示，则32⊗= ． 9．将甲、乙、丙、丁四名志愿者分到三个不同的 社区进行社会服务，每个社区至少分到一名志愿 者，则不同分法的种数为___ __．10．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+*()n N ∈，则limnn nna S →∞=_______．11．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数，且第()2n n ≥行两端的数均 为1n，每个数都是它下一行左右相邻两数的和，如 111122=+，111236=+，1113412=+，…，则第7行第3 个数（从左往右数）为___________．12．设ABC ∆的三个内角分别为A 、B 、C ，则下列条件中能够确定ABC ∆为钝角三角形的条件共有________个． ①::7:20:25A B C =；②sin :sin :sin 7:20:25A B C =； ③cos :cos :cos 7:20:25A B C =； ④tan :tan :tan 7:20:25A B C =。
2 a 2 + b 2 n n1⎩ ⎩2 精品文档，欢迎下载！浦东新区 2019 学年度第二学期期中教学质量监测2020.05一、填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题，1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分或 5 分，否则一律得零分．1．设全集U = {0,1,2 }，集合 A = {0 ,1}，则C U A = ．2. 某次考试，5 名同学的成绩分别为：96,100,95,108,115，则这组数据的中位数为 ．3. 若函数 f (x ) = x 2，则 f -1(1) = ．4. 若 1- i 是 关 于 x 的 方 程 p + q = ．x 2 + px + q = 0 的 一 个 根 （ 其 中 i 为 虚 数 单 位 ， p ,q ∈ R ）， 则5. 若两个球的表面积之比为1: 4 则这两个球的体积之比为．⎧x = t -1 6. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 ⎨y = t(t 为参数) ，圆 O 的参数方程为⎧x = cos θ⎨y = sin θ (θ为参数)，则直线l 与圆O 的位置关系是 ．7. 若二项式(1 + 2x )4展开式的第4 项的值为4 ，则lim (x + x 2+ x 3 + + xn)=．n →∞8. 已知双曲线的渐近线方程为 y = ± x ，且右焦点与抛物线 y 2 = 4x 的焦点重合，则这个双曲线的方程是 ．9. 从 m (m ∈ N *，且m ≥ 4 )个男生、6 个女生中任选 2 个人当发言人，假设事件 A 表示选出的2 个人性 别相同，事件 B 表示选出的2 个人性别不同．如果 A 的概率和 B 的概率相等，则m = ． 10. 已知函数 f (x ) = x 2 + alog (x 2 + 2)+ a - 2 的零点有且只有一个，则实数a 的取值集合为{1} ．11. 如图，在∆ABC 中， ∠BAC = π， D 为 AB 中点， P 为CD 上一点，且满足 AP = t AC + 1AB ，若∆ABC 的面积为3 3 ，则 233的最小值为．12. 已知数列 {a },{b } 满足 a = b = 1 ， 对任何正整数 n 均有 a= a + b + ， nn11n +1n n b = a + b -，设c = 3n⎛ 1 + 1 ⎫，则数列{c } 的前2020 项之和为 .n +1nnna b ⎪ n ⎝ n n ⎭二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分．AP a 2 + b2n n⎨⎩8 813.若x 、y 满足⎧x -y ≥ 0⎪x +y ≤1 ，则目标函数f= 2x +y 的最大值为( )⎪y ≥ 0A． 1 B． 2 C． 3 D. 414.如图，正方体A1B1C1D1 -ABCD 中，E 、F 分别为棱A1 A 、BC 上的点，在平面ADD1 A1 内且与平面DEF 平行的直线( )A．有一条B．有二条C．有无数条D. 不存在15.已知函数f (x)=cos x ⋅cos x .给出下列结论：① f (x)是周期函数；② 函数f (x)图像的对称中心（kπ③ 若f (x1 )=f (x2 )，则x1 +x2 =kπ(k ∈Z )；π+ ,0) (k2∈Z ) ；④ 不等式sin 2πx ⋅sin 2πx >cos 2πx ⋅cos 2πx 的解集为⎧x k +1<x <k +5,k ∈Z⎫.⎨⎬⎩⎭则正确结论的序号是( )A．① ②B．② ③ ④C．① ③ ④D. ① ② ④16.设集合S ={1, 2,3,..., 2020}，设集合A 是集合S 的非空子集，A 中的最大元素和最小元素之差称为集合A 的直径. 那么集合S 所有直径为71 的子集的元素个数之和为( )A．71⋅1949 B．270 ⋅1949C．270 ⋅37⋅1949D. 270 ⋅72⋅1949三、解答题（本大题满分76 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分7 分，第2 小题满分7 分.如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2 的正方形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴顺时针旋转120 得到的．（1）求此几何体的体积；（2）设P是弧EC上的一点，且BP ⊥BE ，求异面直线FP与CA 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）3 10 、5 18．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分6 分，第 2 小题满分 8 分.已知锐角α 、β 的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴正方向重合，终边与单位圆分别交于 P 、Q 两点，2 若 P 、Q 两点的横坐标分别为 ． 10 5（1） 求cos ( α + β )的大小；（2） 在∆ABC 中， a 、b 、c 为三个内角 A 、B 、C 对应的边长，若已知角C = α + β ，tan A = 3，且 4 a 2 = λbc + c 2 ，求λ 的值．19．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在3 万元至6 万 元（包括3 万元和6 万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备下列两个条件：①补助款 f ( x )（万元）随企业原纳税额 x （万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额 x （万元）的50% ．经测算政府 决定采用函数模型 f ( x ) = x - b+ 4 （其中b 为参数）作为补助款发放方案．4 x（1） 判断使用参数b = 12 是否满足条件，并说明理由； （2） 求同时满足条件①、②的参数b 的取值范围．2 a19 - a 20．（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分.x 2 2在平面直角坐标系 xOy 中， F 1 ， F 2 分别是椭圆Γ： 2 + y = 1(a > 0) 的左、右焦点，直线l 与椭圆交于不同的两点 A 、 B ，且 AF 1 + （1） 求椭圆Γ 的方程；AF 2 = 2 .（2） 已知直线l 经过椭圆的右焦点 F 2 ，P ,Q 是椭圆上两点，四边形 ABPQ 是菱形，求直线l 的方程；（3） 已知直线l 不经过椭圆的右焦点 F 2 ，直线 AF 2 ， l ， BF 2 的斜率依次成等差数列，求直线l 在 y轴上截距的取值范围.21．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分.若数列{a n } 对任意连续三项 a i , a i +1, a i +2 ，均有(a i - a i +2 )(a i +2 - a i +1 ) > 0，则称该数列为“跳跃数列”.（1） 判断下列两个数列是否是跳跃数列：① 等差数列：1,2 ,3,4 ,5, ；② 等比数列：1,- 1 2 , 1 ,- 1 4 8 , 1； 16 （2） 若数列{a }满足对任何正整数 n ，均有a = a a n (a > 0) .证明：数列{a } 是跳跃数列的充分必要 n条件是0 < a 1 < 1.n +111n2（3） 跳跃数列{a n } 满足对任意正整数n 均有a n +1 =n ，求首项a 1的取值范围. 521⎩ ⎩2 浦东新区 2019 学年度第二学期期中教学质量监测高三数学答案及评分细则2020.05一、填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题，1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分或 5 分，否则一律得零分．1．设全集U = {0,1,2 }，集合 A = {0 ,1}，则C U A = {2 } ．2. 某次考试，5 名同学的成绩分别为：96,100,95,108,115，则这组数据的中位数为 100 ．3. 若函数 f (x ) = x 2，则 f -1(1) = 1．4. 若1- i 是关于 x 的方程 x 2 + px + q = 0 的一个根（ 其中 i 为虚数单位， p ,q ∈ R ）， 则 p + q = 0．1: 4 则这两个球的体积之比为 1: 8．⎧x = t -16. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 ⎨y = t(t 为参数) ，圆 O 的参数方程为⎧x = cos θ⎨y = sin θ (θ为参数)，则直线l 与圆O 的位置关系是 相交 ．17. 若二项式(1 + 2x )4展开式的第4 项的值为4 ，则lim (x + x 2 + x 3 + + xn)= 5 ．n →∞8. 已知双曲线的渐近线方程为 y = ± x ，且右焦点与抛物线 y 2 = 4x 的焦点重合，则这个双曲线的方程是2x 2 - 2 y 2 = 1.9. 从 m (m ∈ N *，且m ≥ 4 )个男生、6 个女生中任选 2 个人当发言人，假设事件 A 表示选出的2 个人性 别相同，事件 B 表示选出的2 个人性别不同．如果 A 的概率和 B 的概率相等，则 m = 10 ． 10. 已知函数 f (x ) = x 2 + alog (x 2 + 2)+ a - 2 的零点有且只有一个，则实数a 的取值集合为{1} ．11. 如图，在∆ABC 中， ∠BAC = π ， D 为 AB 中点， P 为CD 上一点，且满足 AP = t AC + 1AB ，若∆ABC 的面积为3 3 233的最小值为12. 已知数列 {a },{b } 满足 a = b = 1 ， 对任何正整数 n 均有 a= a + b +，nn11n +1n nb = a + b -，设c = 3n⎛ 1 + 1 ⎫ ，则数列{c } 的前2020 项之和为 .n +1 n n n a b ⎪ n 【解】a + b ⎝ n n ⎭= 2(a +b ) ⇒ a + b = 2n，n +1n +1 n n n na b = 2a b ⇒ a + b = 2n -1，c = 2⋅3n = 3n +1 - 3n ， S = 32021 - 3n +1 n +1n nnnn20203 3 ⎨⎩ 88二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相 应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分．⎧x - y ≥ 0 13. 若 x 、 y 满足 ⎪x + y ≤ 1 ， 则目标函数 f = 2x + y 的最大值为( B ) ⎪y ≥ 0A ． 1B ． 2C ． 3D . 414. 如图，正方体 A 1B 1C 1D 1 - ABCD 中， E 、 F 分别为棱 A 1 A 、BC 上的点，在平面 ADD 1 A 1 内且与平面 DEF 平行的直线( C )A ． 有 一 条B ． 有 二 条C ． 有 无 数 条D . 不 存 在16. 已知函数 f (x ) = cos x ⋅ cos x .给出下列结论：① f (x )是周期函数； ② 函数 f (x )图像的对称中心（k π ③ 若 f (x 1 ) = f (x 2 )，则 x 1 + x 2 = k π ( k ∈ Z )； π+ ,0) (k 2∈ Z ) ；④ 不等式 sin 2πx ⋅ sin 2πx > cos 2πx ⋅ cos 2πx 的解集为⎧ x k + 1 < x < k + 5 ,k ∈ Z ⎫.⎨ ⎬ ⎩⎭则正确结论的序号是 ( D )A ． ① ②B ． ② ③ ④C ． ① ③ ④D . ① ② ④16. 设集合 S = {1, 2,3,..., 2020}，设集合 A 是集合S 的非空子集，A 中的最大元素和最小元素之差称为集合 A 的直径. 那么集合S 所有直径为71 的子集的元素个数之和为( C )A ． 71⋅1949B ． 270⋅1949C ． 270⋅37⋅1949D . 270⋅72⋅1949三、解答题（本大题满分 76 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分.如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为 2 的正方形 ABCD (及其内部)以 AB 边所在直线为旋转轴顺时针旋转120得到的．（1） 求此几何体的体积；（2） 设 P 是弧 EC 上的一点，且 BP ⊥ BE ，求异面直线 FP 与CA 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【解答】（1）因为 S= 1 θr 2 = 1 ⨯ 2π ⨯ 22 = 4π． ...... （4 分）扇形EBC2 23 3 所以，V = S ⋅ h = 4π ⨯ 2 = 8π．………（7 分）3 3（2）如图所示，以点 B 为坐标原点建立空间直角坐标系．则 A ( 0 ,0 ,2 )， F ( 2 ,0 ,2 )， P ( 0 ,2 ,0 )， C (-1, ,0 )．所以， FP = ( - 2 ,2 ,- 2 )， AC = (-1, ,- 2)（11 分）设异面直线 FP 与CA 所成的角为α ，则zcos α = =(- 2)⨯(-1)+ 2 (- 2)2 + 22 + (- 2)2 ⋅ .…………（13 分）xy3 10 、5 22 222 2-⨯ 3 + (- 2)⨯(- 2)(-1)2 + ( 3)2 + (- 2)2FP ⋅ ACFP ⋅AC4所以，异面直线 FP 与CA 所成角为α = arccos6 + 42 .…………（14 分） 18．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.已知锐角α 、β 的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴正方向重合，终边与单位圆分别交于 P 、Q 两点，2 若 P 、Q 两点的横坐标分别为 ． 10 5（1） 求cos ( α + β )的大小；（2） 在∆ABC 中， a 、b 、c 为三个内角 A 、B 、C 对应的边长，若已知角C = α + β ，tan A = 3，且 4 a 2 = λbc + c 2 ，求λ 的值．【解答】（1）由已知cos α = 3 10 ，sin α = 10 ，cos β = 2 5 ,sin β = 5 .................. (2 分)10 10 5 5因而cos(α +β )= cos α cos β - sin α sin β = 3 10 ⨯ 2 5 - 10 ⨯ 5 = 2..................（6 分）10 5 10 5 2 （2）法一：（正弦定理）由已知， C = π , c os C = 2 ,sin C = 2 ..................(7 分)4 2 2sin B = sin( A + C ) = sin(π + A ) = 3⨯ 2 + 4 ⨯ 2 = 7 2 …………(10 分)4 5 2 5 2 109 1 2 2 2 2λ = a - c = sin A - sin C = 25 2 = - 1 …………(14 分) bc sin B s in C 7 2 ⋅ 25 10 2法二：（余弦定理）a 2 - c 2 =b 2 - 2bc cos A ， b - 2 ⨯ 4 c 7 2因而由已知得b 2 - 2bc cos A =λbc ⇒ λ = 5 = b - 8 = sin B - 8 = 10- 8 = - 1c c 5 sin C 5 2 55 2法三：（余弦定理、正弦定理） cos B = -cos(π + C ) = - 24 10⎧b 2 = a 2 + c 2- 2ac ⨯ cos B ⇒ 2 2因而由余弦定理得： ⎨ ⎩c = a + b - 2ab ⨯ cos C⎧a 2 = b 2 + c 2 - 2bc ⨯ cos A ⇒ a = c cos B + b c os C = - c + b 10 2 4 2同理 ⎨ ⎩c = a + b - 2ab ⨯cos Cb =c c os A + a c os C = c + a 5 2 +2 =6得 a = c ,b = 得λ= 3 2 7c a 2 - c 2 =-15 5 bc 2法四：（射影定理）可得a = c cos B + b cos C = -2 c +2 b ， b = c cos A + a cos C = 4 c + 2a 下同解法二102 5 219．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在3 万元至6 万 元（包括3 万元和6 万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备下列两个条件：①补助款 f ( x )（万元）随企业原纳税额 x （万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额 x （万元）的50% ．经测算政府 决定采用函数模型 f ( x ) = x - b+ 4 （其中b 为参数）作为补助款发放方案．4 x（1） 判断使用参数b = 12 是否满足条件，并说明理由； （2） 求同时满足条件①、②的参数b 的取值范围．【解答】（1）法一：因为当b = 12 时， f (3) = 3 < 3，所以当b = 12 时不满足条件②．4 2…………（6 分）法二：由条件②可知 f ( x ) = x -12 + 4 ≥ 1x ⇔ x ∈[4,12] ．4 x 2因为3∉[4,12]，所以当b = 12 时不满足条件②． ........（6 分） 法三：由条件②可知 f ( x ) ≥ x在[3, 6] 上恒成立，所以b ≤ ⎛ - 1x 2+ 4x⎫， 24 ⎪ ⎝ ⎭max解得b ≤39 ，所以当b = 12 时不满足条件②． ....... （6 分）4(注：如果证明了当b = 12 时满足条件①得 2 分)（2）法一：由条件①可知， f ( x ) 在[3, 6] 上单调递增，则对任意3 ≤ x 1 < x 2 ≤ 6 时，有 f (x ) - f (x ) =⎛ x 1 - b + 4 ⎫ - ⎛ x 2 - b+ 4 ⎫ = (x - x ) x 1x 2 + 4b< 0 恒成立，1 2 ⎝⎪ x 1 ⎭ ⎝ ⎪ x 2 ⎭ 4x 1x 2 即 x x + 4b > 0 ⇔ b >- 1 x x 恒成立，所以b ≥- 9； ....... （10 分）1 2 4 1 2 4由条件②可知， f ( x ) ≥ x ，即不等式 x - b + 4 ≥ 1x 在[3, 6] 上恒成立，2 4 x 2所以b ≤ ⎛ - 1 x 2+ 4x ⎫ = 39…………（13 分）4 ⎪ 4 ⎝ ⎭max综上，参数b 的取值范围是⎡- 9 , 39 ⎤． ....... （14 分）⎣⎢ 4 4 ⎥⎦ 法二：由条件①可知， f ( x ) x - b+ 4 在[3, 6] 上单调递增，4 x4 4 1 22 ay 所以当b ≥ 0 时，满足条件；当b < 0 时，得2 ≤ 3 ⇔ - 9≤ b < 0 ， 4所以b ≥- 9 4…………（10 分）⎧3 + b ≤4 由条件②可知，f ( x ) ≥ x ，即不等式 x + b ≤ 4 在[3, 6] 上恒成立，所以⎪ 4 3 ，得b ≤ 39…………2 4 x⎨ 6 b 4（13 分）综上，参数b 的取值范围是⎡- 9 , 39 ⎤． ....... （14 分）⎪ + ≤ 4 ⎩ 4 6 ⎣⎢ 4 4 ⎥⎦20．（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分.x 2 2在平面直角坐标系 xOy 中， F 1 ， F 2 分别是椭圆Γ： 2 + y = 1(a > 0) 的左、右焦点，直线l 与椭圆交于不同的两点 A 、 B ，且 AF 1 + （1） 求椭圆Γ 的方程；AF 2 = 2 .（2） 已知直线l 经过椭圆的右焦点 F 2 ，P ,Q 是椭圆上两点，四边形 ABPQ 是菱形，求直线l 的方程；（3） 已知直线l 不经过椭圆的右焦点 F 2 ，直线 AF 2 ， l ， BF 2 的斜率依次成等差数列，求直线l 在 y轴上截距的取值范围. 【解答】（1）由 AF 1 + AF 2 =2可得2a = 2 ，从而a = 2 ，椭圆方程为 x 2 + 22= 1 ....................(4 分) （2） 由于四边形 ABPQ 是菱形，因此 AB / /PQ 且| AB |=| PQ |.由对称性， F 1 在线段 PQ 上. 因此， AP , BQ 分别关于原点对称；并且由于菱形的对角线相互垂直，可得AP ⊥ BQ ，即OA ⊥ OB.................... (6 分) 设 l : x -1 = my ， 与 椭 圆 方 程 联 立 可 得 (m 2 + 2) y 2 + 2my -1 = 0 ， 设 A (x , y ) , B (x , y ), 因 此y + y = - 2m1 2 m 2+ 2 ， y y =- 1 .......................(8 分) 1 2 m 2+ 22m 2 +1 2m 21 12 2由 x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 ，可得(m +1) y 1 y 2 + m ( y 1 + y 2 ) +1 = - m 2+ 2 - m 2 + 2+1 = 0 ， 解得m = ，即直线方程为 x ± 2y -1 = 0 ................(10 分) （3） 设l : y = kx + b ，由k + k = 2k ，可得y 1 + y 2 = 2k ， 1 2 x -1 x -11 2即kx 1 + b + kx 2 + b = 2k .x 1 -1 x 2 -1化简可得2kx 1 x 2 + (b - k )(x 1 + x 2 ) - 2b = 2k (x 1 -1)(x 2 -1) ， 即(b + k )(x 1 + x 2 - 2) = 0 .若b + k = 0 ，则l : y = kx - k 经过 F 2 ，不符，因此 x 1 + x 2 = 2 ................. (12 分)联立直线与椭圆方程， (2k 2 +1)x 2 + 4kbx + (2b 2- 2) = 0 .-b2 2 ± 219 - a , , - , ,... 是跳跃数列 ......... (4 分) 因为∆ = 8(2k 2 - b 2+1) > 0 ①4kb2k 2 +1由 x 1 + x 2 = - 2k 2 +1 = 2 ，可得， b =- 2k② .........(14 分)将②代入①， 4k 2 > 2k 2 +1, k 2 > 1 ；再由b = - 1 (2k + 1 ) ，2 2 k可得， b ∈(-∞, -2 2) ⋃(2 2, +∞) .................... (16 分)21．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分.若数列{a n } 对任意连续三项 a i , a i +1, a i +2 ，均有(a i - a i +2 )(a i +2 - a i +1 ) > 0，则称该数列为“跳跃数列”.（1） 判断下列两个数列是否是跳跃数列：① 等差数列：1,2 ,3,4 ,5, ；② 等比数列：1,- 1 2 , 1 ,- 1 4 8 , 1； 16 （2） 若数列{a }满足对任何正整数 n ，均有a = a a n (a > 0) .证明：数列{a } 是跳跃数列的充分必要 n条件是0 < a 1 < 1.n +111n2（3） 跳跃数列{a n } 满足对任意正整数n 均有a n +1 =n ，求首项a 1的取值范围. 5【解答】（1）① 等差数列：1, 2,3, 4,5,...不是跳跃数列；… ...... (2 分)1, - 1 11 12 4 8 16（2）必要性：若a 1 > 1，则{a n } 是单调递增数列，不是跳跃数列；若 a 1 = 1，{a n } 是常数列，不是跳跃数列 .................... (6 分)充 分 性 ： 下 面 用 数 学 归 纳 法 证 明 ： 若 a 2n -1 < a 2n +1 < a 2n , a 2n > a 2n +2 > a 2n +1 成立. 0 < a 1 < 1 ， 则 对 任 何 正 整 数 n ， 均 有（1）当n = 1 时，， a = a a 1 > a 1 = a ， a = a a 2 < a a 1 = a ，211 1 3 1 1 2<1,∴a = a a 2> a 1= a ，∴ a > a > a ................. (8 分) 3 1 1 12 3 1 a > a > a ,∴a a 2 < a a 3 < a a 1, a < a < a ，所以n = 1 命题成立 ........ (9 分)231111342（2）若n = k 时， a 2k -1 < a 2k +1 < a 2k , a 2k > a 2k +2 > a 2k +1 ， 则 a a 2 k < a a 2 k +2 < a a 2 k +1 ,∴a < a < a ，2k +12k +32k +2a a 2 k +1 > a a 2 k +3 > a a 2 k +2 ,∴a > a > a ，所以当n = k +1时命题也成立……… (10 分) 2k +2 2k +4 2k +3根据数学归纳法，可知命题成立，数列满足(a i - a i +2 )(a i +2 - a i +1 ) > 0，故{a n } 是跳跃数列. （3） a- a =1(19 - a2- 5a )，n +1na - a = 1 5 (a 2- 5a nn-19)(19 - a 2 - 5a )， ........ (11 分) n +2 n +1 125 n n n na - a = 1(a - 2)(a - 3)(19 - a 2 - 5a )，… ..... (12 分) n +2 n 125 nn n na = a a 1 2 1 ② 等比数列：第 11 页 ⎛ 5 - 101 ⎫ ⎛ 5 + 101 ⎫ [1] 若a > a ，则a > a > a ，此时a ∈⎛ 5 - 101 ⎫ ；… ...... (14 分) n +1 n n +1 n +2 n n ,2 ⎪[2] 若a < a ，则a < a< a ，此时a ⎝ ⎭ ⎛ 5 + 101 ⎫ ∈ 3, ； ........ (16 分) n +1 n n +1 n +2 n n 2 ⎪⎝ ⎭ 19 - a 2 ⎛ 5 + 101 ⎫ 若 a n ∈ ,2 ⎪ ，则a n +1 = n ∈ 3, ⎪ ，所以a n ∈(-2, 2) .⎝ 2 ⎭ 5 ⎝ 2 ⎭ 19 - a 2 若 a ∈ 3, ⎪ ，则a += n ∈(-2, 2) ，所以a n ∈(3, 21) . n ⎝ ⎭ n 1 5所以a 1 ∈(-2, 2) (3, 21)， 此时对任何正整数n ，均有a n ∈(-2, 2) (3, 21)(18 分)。
浦东新区2019学年度第二学期高中教学质量检测试题高三数学2020.05考生注意：1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，另有答题纸。
2.作答前，在答题纸正面填写姓名，编号等信息。
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号相对应的区域，不得错位，在试卷上作签一律不得分，4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题。
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每题填对得4分，7-12题每题填对得5分，否则一律得零分。
1.设全集{0,1,2}U =，集合{0,1}A =，则u C A = . 【答案】{}22.某次考试，5名同学的成绩分别为：96、100、95、108、115，则这组数据的中位数为 . 【答案】1003.若函数12()f x x =，则1(1)f -= .【答案】14.若1i -是关于x 的方程20x px q ++=的一个根（其中i 为虚数单位，,p q R ∈），则p q += .【答案】05.若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比 . 【答案】81:6.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1x t y t=-⎧⎨=⎩（t 为参数），圆O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则直线l 与圆O 的位置关系是 .【答案】相交7.若二项式4(12)x +展开式的第4项的值为，则23lim()nn x x x x →∞+++⋅⋅⋅+= .【答案】158.已知双曲线的渐近线方程为y x =±，且右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则这个双曲线的方程是 . 【答案】12222=-y x9.从(,4)m m N m *∈≥且个男生、6个女生中任选2个人发言.假设事件A 表示选出2个人性别相同，事件B 表示选出的2个人性别不同.如果事件A 和事件B 的概率相等，则m = .【答案】1010．已知函数222()log (2)2f x x a x a =+++-的零点有且只有一个，则实数a 的取值集合为 . 【答案】{}111、如图，在ABC V 中，3BACπ∠=，D 为AB 中点，P 为CD 上一点，且满足13AP t AC AB =+u u u r u u u r u u u r ，若ABC V 的面积为2，则AP u u u r 的最小值为 . .【解析】1323AP t AC AB t AC AB =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，21133t t ∴+=∴=设||,||AC b AB C ==u u u r u u u r11sin 2222ABC S bC A bc ∆==⋅⋅=，6bc ∴= 22222c 91112os 26932AP AC AB AC AB b c π∴⎪⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅=++⨯⨯ ⎪ ⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r1(269)2bc ≥+=||min AP ∴=u u u r【点评】此题与2019长宁嘉定二模第10题相似在ABC V 中，已知2CD DB =u u u r u u u r，P 为线段AD 上的一点，且满足49CP mCA CB =+u u u r u u u r u u u r ，若ABC V3ACB π∠=，则CP u u u r的最小值为 .【解析】4293CP mCA CB mCA CD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，由共线定理，13m =，由ABC S =V 可得4,2,CA CB CA CB ⋅=∴⋅=u u u r u u u r222214148393927CP CA CB CA CB CA CB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r14161642,392793CA CB CP ⎛⎫⎛⎫≥⋅⋅+=∴≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u ur12.已知数列{}{},n n a b ，满足111a b ==，对任何正整数n均有1n n n a a b +=++，1n n n b a b +=+，设113n n n n c a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则数列{}n c 的前2020项之和为 . 【答案】202133-【解析】()()222112n n n n n n n n a b a b a b a b ++⋅=+-+=，12n n n a b -=()1122,n n n n n n n a b a b a b ++++∴=+= 113323nn n n nn n n n n a b c b b a a ⎛⎫+∴=+==⨯ ⎪⎝⎭2020202120206133313S ⎡⎤-⎣⎦∴==--二、选择题（本大愿满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分，13．若x y 、满足01,0x y x y y +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则目标函数2f x y =+的最大值为（ ）.A 1 .B 2 .C 3 .D 4【答案】.B14.如图，正方体1111A B C D ABCD -中，E F 、分别为棱1AA BC 、上的点，在平面11ADD A 内且与平面DEF 平行的直线（ ）.A 有一条 .B 有两条 .C 有无数条 .D 不存在【答案】.C15.已知函数()cos cos ,f x x x =⋅ 给出下列结论： ① ()f x 是周期函数；② 函数()f x 图像的对称中心(),0;2k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭③ 若()()12,f x f x =则()12;x x k k Z π+=∈④ 不等式sin 2sin 2cos2cos2x x x x ππππ⋅>⋅的解集为15,.88x k x k k Z ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭.A ①② .B ②③④ .C ①③④ .D ①②④【答案】D 16.设集合{1,2,3,,2020}S=⋯，设集合A 是集合S 的非空子集，A 中最大元素和最小元素之差称为集A 合的直径，那么集合S 所有直径为71的子集元素个数之和为（ ）7070.711949.21949.2371949.2721949x A B C D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅【答案】C【解析】n 和71n +为最小和最大元素的子集有702个其中1,2,,70n n n +++L 每个元素出现次数是692所以n 和71n +出现次数是702,这些子集元素个数之和为69707070222372⨯+⨯=⨯ -11949n ∴≤≤，所以总的元素个数之和为702371949⋅⋅，故选C .三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.-17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形ABCD （及其内部）AB 边所在直线为旋转轴顺时针旋转120︒得到的. （1）求此几何体的体积；（2）设P 是弧EC 上的一点，且BP BE ⊥，求异面直线FP 与CA 所成角的大小.（结果用反三角函数表示【解析】（1）因为34232212122π=⨯π⨯=θ=r S EBC 扇形． 所以，38234π=⨯π=⋅=h S V ． （2）如图所示，以点B 为坐标原点建立空间直角坐标系．则()200,,A ，()202,,F ，()020,,P ，()031,,C -．所以，()222--=,,FP ，()231--=,,AC设异面直线FP 与CA 所成的角为α=αcos 426+=所以，异面直线FP 与CA 所成角426+=αarccos【点评】考察几何体体积的计算公式，比较常规。
绝密★启用前2020届上海市浦东新区高三二模数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．若x 、y 满足010x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B作出可行域和目标函数，找到目标函数取最大值的最优解即可.解：由已知，可作出满足条件的可行域和目标函数如下：由图可知目标函数2y x z =-+中z 取最大值的最优解为：(1,0)max 22z x y ∴=+=.故选：B点评：本题考查了线性规划求线性目标函数的最值问题，考查了数形结合思想，属于中档题.2．如图，正方体1111A B C D ABCD -中，E 、F 分别为棱1A A 、BC 上的点，在平面11ADD A 内且与平面DEF 平行的直线（）A ．有一条B ．有二条C ．有无数条D ．不存在答案：C 易知当//l DE 时即可满足要求，所以存在无数条.解：若l ∃⊂平面11ADD A ，使得//l DE ，又DE ⊂平面DEF ，l ⊄平面DEF ，//l ∴平面DEF ，显然满足要求的直线l 有无数条.故选：C点评：本题考查了线面平行的判定，属于基础题.3．已知函数()cos cos f x x x =⋅.给出下列结论：①()f x 是周期函数；②函数()f x 图像的对称中心+,0)()2（ππ∈k k Z ；③若()()12f x f x =，则()12x x k k Z π+=∈； ④不等式sin 2sin 2cos2cos2x x x x ππππ⋅>⋅的解集为15,88x k x k k Z ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭. 则正确结论的序号是（）A ．①②B ．②③④C ．①③④D ．①②④答案：D 由()()2f x f x π+=，可知()f x 是周期为2π的函数，当22x ππ-≤≤时，()11cos 222f x x =+；当322x ππ<≤时，()11cos 222f x x =--，画出()f x 在一个周期3,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的函数图象，通过图象去研究问题. 解：()()()()2cos 2cos 2cos cos f x x x x x f x πππ+=+⋅+=⋅=()f x ∴是周期为2π的函数，①正确； 当22x ππ-≤≤时，cos 0x ≥，()211cos cos 222f x x x ==+ 当322x ππ<≤时，cos 0x <，()211cos cos 222f x x x =-=-- 可以画出()f x 在一个周期3,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的函数图象，如下由图可知：函数()f x 的对称中心为+,0)()2（ππ∈k k Z ，②正确； 函数()f x 的对称轴为,x k k Z π=∈若()()12f x f x =，则122x x k π+=，即()122x x k k Z π+=∈，③错误； sin 2sin 2cos 2cos 2cos 2cos 22222x x x x x x ππππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭不等式sin 2sin 2cos2cos2x x x x ππππ⋅>⋅等价于：()222f x f x πππ⎛⎫-> ⎪⎝⎭由图可知：52+2,+2,44x k k k Z πππππ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭解得15,,88x k k k Z ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭，④正确. 故选：D.点评： 本题考查了诱导公式，降幂公式及三角函数的性质，考查了数形结合思想，属于难题.4．设集合{}1,2,3,...,2020S =，设集合A 是集合S 的非空子集，A 中的最大元素和最小元素之差称为集合A 的直径.那么集合S 所有直径为71的子集的元素个数之和为（）A ．711949⋅B ．7021949⋅C ．702371949⋅⋅D ．702721949⋅⋅ 答案：C先考虑最小元素为1，最大元素为72的情况：{}1,72只有1种情况；{}1,,72,271a a ≤≤且a Z ∈，共有170C 种情况；{}1,,,72,2,71b c b c ≤≤且,b c Z ∈，共有种270C 情况；以此类推……{}1,2,3,,71,72L ，有1（7070C ）种情况.所以，此类满足要求的子集元素个数之和012697070707070702347172M C C C C C =+++++L ，计算可得：70372M =⨯.再思考可以分为{}{}{}{}{}1,,72,2,,73,3,,74,4,,75,1949,,2020L L L L L L 等1949类，问题可得解.解：当最小元素为1，最大元素为72时，集合有如下情况：集合只含2个元素：{}1,72只有1种情况；集合含有3个元素：{}1,,72,271a a ≤≤且a Z ∈，共有170C 种情况； 集合含有4个元素：{}1,,,72,2,71b c b c ≤≤且,b c Z ∈，共有270C 种情况； 以此类推……集合含有72个元素：{}1,2,3,,71,72L ，有（7070C ）种情况. 所以，此类满足要求的子集元素个数之和M 为：012697070707070702347172,M C C C C C =+++++L L ①70696810707070707072717032,M C C C C C ∴=+++++L L ②707070,070,r r C C r r Z -=≤≤∈Q①②两式对应项相加，得：()0126970707070707070274742M C C C C C =+++++=⨯L70372M ∴=⨯同理可得：{}{}{}{}2,,73,3,,74,4,,75,1949,,2020,L L L L L 所有子集元素个数之和都是70372⨯，所以集合S 所有直径为71的子集的元素个数之和为702371949⋅⋅. 故选：C点评：本题考查了集合的子集个数和组合数及其计算，考查了分类讨论思想，属于难题.二、填空题5．设全集{}0,1,2U =，集合{}0,1A =，则U C A =________．答案：{}2由补集的运算法则可得解.解：{}{}0,1,2,0,1U A ==Q{}2U C A ∴=故答案为：{}2点评：本题考查了补集的运算，属于基础题.6．某次考试，5名同学的成绩分别为：96,100,95,108,115，则这组数据的中位数为___．答案：100数据个数为奇数时，中位数为从小到大排列后中间的那一个数字.解：5名同学的成绩由小到大排序为：95,96,100,108,115，∴这组数据的中位数为100.故答案为：100点评：本题考查了一组数据中中位数的求法，属于基础题.7．若函数()12f x x =，则()11f -=__________． 答案：1由()12f x x=可得：()12,0f x x x -=≥，问题得解. 解：由()12f x x =可得：()12,0f x x x -=≥()12111f -∴==故答案为：1。
浦东新区2019学年度第二学期期中教学质量监测高三数学试卷一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1.设全集{}0,1,2U =，集合{}0,1A =，则U C A =________． 【答案】{}2 【解析】 【分析】由补集的运算法则可得解.【详解】{}{}0,1,2,0,1U A ==Q{}2U C A ∴=故答案为：{}2【点睛】本题考查了补集的运算，属于基础题.2.某次考试，5名同学的成绩分别为：96,100,95,108,115，则这组数据的中位数为___． 【答案】100 【解析】 【分析】数据个数为奇数时，中位数为从小到大排列后中间的那一个数字. 【详解】5名同学的成绩由小到大排序为：95,96,100,108,115，∴这组数据的中位数为100.故答案为：100【点睛】本题考查了一组数据中中位数的求法，属于基础题. 3.若函数()12f x x =，则()11f -=__________．【答案】1 【解析】 【分析】由()12f x x=可得：()12,0f x x x -=≥，问题得解.【详解】由()12f x x =可得：()12,0f x x x -=≥()12111f -∴==故答案为：1【点睛】本题考查了反函数的求法，属于基础题.4.若1i -是关于x 的方程20x px q ++=的一个根（其中i 为虚数单位，,p q R ∈），则p q +=__________． 【答案】0 【解析】 【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数关系求解.【详解】1i -Q 是关于x 的实系数方程20x px q ++=的一个根，1i ∴+是关于x 的实系数方程20x px q ++=的另一个根，则(1)(1)2p i i -=-++=，即2p =-，2(1)(1)12q i i i =-+=-=，0p q ∴+=.故答案为：0【点睛】本题考查了一元二次方程的虚根特征和虚数的运算,考查了计算能力，属于中档题. 5.若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比为 ． 【答案】1:8 【解析】试题分析：由求得表面积公式24S R π=得半径比为1:2，由体积公式343V R π=可知体积比为1:8 考点：球体的表面积体积6.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1x t y t =-⎧⎨=⎩（t 为参数），圆O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则直线l 与圆O 的位置关系是________． 【答案】相交 【解析】【分析】由已知可得：直线l 的标准方程为10x y -+=，圆O 的标准方程为221x y +=，再计算出圆心到直线的距离d r =<，问题得解. 【详解】由直线l 的参数方程1x t y t =-⎧⎨=⎩，可得：直线l 的标准方程为：10x y -+=，由圆O 的参数方程cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，可得：圆O 的标准方程为：221x y +=，圆心为(0,0)，半径1r = 圆心为(0,0)到直线l的距离12d ==< 则直线l 与圆O 的位置关系是相交. 故答案为：相交【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的转化，考查了直线与圆的位置关系，属于中档题. 7.若二项式()412x +展开式的第4项的值为，则()23lim nn x x x x →∞++++=L __．【答案】15【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式，得：3344(2)x T C ==，解得16x =，再由等比数列求和公式，得：2311156nnx x x x ⎡⎤⎛⎫=⨯-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣+⎦+L ，从而极限可求.【详解】由已知可得：3344(2)x T C ==，即33(2)2x x ==16x =， 2311166(1)111115616nn n nx x x x x x x ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪∴+++⎡⎤⎝⎭-⎢⎥⎛⎫⎣⎦===⨯-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦-+L ，()231111565lim lim nnn n x x x x →∞→∞+++⎡⎤⎛⎫∴⨯-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+=L . 故答案为：15【点睛】本题考查了二项式定理，等比数列求和公式以及求极限，考查了计算能力，属于中档题. 8.已知双曲线的渐近线方程为y x =±，且右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则这个双曲线的方程是____________. 【答案】22221x y -= 【解析】 【分析】由已知可得双曲线的右焦点为(1,0)，即1c =，由双曲线的渐近线方程为y x =±，可设其方程为：22,0x y λλ-=>，再由222+=a b c 可得：1λλ+=，求出λ，问题得解.【详解】Q 抛物线24y x =的焦点为：(1,0)∴双曲线的右焦点为：(1,0)，即1c = Q 双曲线的渐近线方程为y x =±，∴双曲线的方程可设为：22,0x y λλ-=>，即221x y λλ-=，22a b λ∴==由222+=a b c 可得：1λλ+=，12λ∴=， 双曲线的方程是22221x y -=. 故答案为：22221x y -=【点睛】本题考查了双曲线的标准方程和其渐近线方程，关键是掌握共渐近线的曲双线方程的设法，属于中档题.9.从m （N m *∈且4m ≥）个男生、6个女生中任选2个人当发言人，假设事件A 表示选出2个人性别相同，事件B 表示选出的2个人性别不同．如果A 的概率和B 的概率相等，则m =_____________． 【答案】10 【解析】【分析】从m 个男生、6个女生中任选2个人当发言人,共有26m C +种情况，事件A 表示选出的2个人性别相同，共有226m C C +情况，事件B 表示选出的2个人性别不同，共有116m C C情况，由已知可得：2211662266m m m m C C C C C C +++=，即221166m m C C C C +=，解之即可.【详解】从m 个男生、6个女生中任选2个人当发言人,共有26m C +种情况，事件A 表示选出的2个人性别相同，共有226m C C +情况， 事件B 表示选出的2个人性别不同，116m C C 情况()()P A P B =Q ，2211662266m m m m C C C C C C +++∴= 221166m m C C C C ∴+=，即(1)65622m m m -⨯+= 整理，得：213300m m -+=，即(3)(10)0m m --=N m *∈Q 且4m ≥，10m ∴=故答案为：10【点睛】本题考查了概率计算和组合数及其计算，考查了计算能力和分析能力，属于中档题.10.已知函数()()222log 22f x x a x a =+++-的零点有且只有一个，则实数a 的取值集合为________．【答案】{}1 【解析】 【分析】由已知可得：()f x 为R 上的偶函数，又函数()f x 的有且只有一个零点，所以()00f =，由此可得：2log 220a a +-=，解得1a =【详解】显然，由()()222log 22f x x a x a =+++-，可得：()()f x f x =-， ()f x \为R 上的偶函数.函数()f x 的有且只有一个零点， ()0=0f ∴ 由此可得：2log 220a a +-=，解得1a =故答案为：{}1【点睛】本题考查了偶函数的对称性，属于中档题.11.如图，在ABC V 中，3BAC π∠=，D 为AB 中点，P 为CD 上一点，且满足13t AC AB AP =+u u u r u u u r u u u r，若ABC V 的面积为332，则AP u u u r 的最小值为__________.2 【解析】 【分析】设,AB AC m n ==u u u r u u u r ，由133sin 2BA AB A C C ⋅⋅∠=u u u r u u u r ，可得：6mn =再由1233t AC AB t AC A AP D =++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，可得：13t =，则2221123393m n AP AC AB +⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r 后由222m n mn +≥可得解.【详解】设,AB AC m n ==u u u r u u u rABC QV 33， 1sin 2AB AC S BAC =⋅⋅∠u u u r u u u r 13332mn ==6mn ∴=Q D 为AB 中点，2AB AD ∴=u u u r u u u r1233t AC AB t AC AD AP +==+∴u u u r u u u u r u u r u u u r u u u r又C 、P 、Q 三点共线，213t ∴+=，即13t =1133AP AC AB ∴=+u u u r u u u r u u u r则()2222911112=3399APAC AB AC AB AC AB ⎛⎫=+++⋅ ⎪⎝⎭u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22112=cos 999AC AB AC AB BAC ++⋅⋅∠u u ur u u u r u u u r u u u r 222211212=992993m n m n m n +++⋅⋅=+AP ∴=≥=u u u r当且仅当m n ==时取得最小值.【点睛】本题考查了向量的模的运算和数量积运算及三角形的面积公式，考查了计算能力，属于中档题.12.已知数列{}{},n n a b 满足111a b ==，对任何正整数n均有1n n n a a b +=+1n n n b a b +=+，设113nn n n c a b ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则数列{}n c 的前2020项之和为_____________. 【答案】202133- 【解析】 【分析】由已知得：()112+n n n n a b a b +++=，2,n n n a b n N *∴+=∈；11n n a b ++=2n n a b ，12,n n n a b n N -*∴=∈，由此可得：12333n n n n c +=⋅=-，再由等比数列求和公式可得解.【详解】1n n n a a b +=++Q ①，1n n n b a b +=+②两式相加可得：()112+n n n n n n n n a b a b a b a b ++++=+=，{}n n a b ∴+是公比为2的等比数列，首项112a b +=2,n n n a b n N *∴+=∈两式相乘可得：(11n n n n nna b a b a b ++=++()22n n n n a b a b =+=-{}n n a b ∴是公比为2的等比数列，首项111a b =113323n n n n n n n n n n a bc a b a b ⎛⎫+=+=⋅=⋅ ⎪⎝⎭，由等比数列求和公式，得：()2020202120206133313S -==--故答案为：202133-【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，考查了转化能力和计算能力，属于中档题.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13.若x 、y 满足 010x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩， 则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】作出可行域和目标函数，找到目标函数取最大值的最优解即可. 【详解】由已知，可作出满足条件的可行域和目标函数如下：由图可知目标函数2y x z =-+中z 取最大值的最优解为：(1,0)故选：B【点睛】本题考查了线性规划求线性目标函数的最值问题，考查了数形结合思想，属于中档题.14.如图，正方体1111A B C D ABCD -中，E 、F 分别为棱1A A 、BC 上的点，在平面11ADD A 内且与平面DEF 平行的直线（ ）A. 有一条B. 有二条C. 有无数条D. 不存在【答案】C 【解析】 【分析】易知当//l DE 时即可满足要求，所以存在无数条. 【详解】若l ∃⊂平面11ADD A ，使得//l DE ， 又DE ⊂平面DEF ，l ⊄平面DEF ，//l ∴平面DEF ，显然满足要求的直线l 有无数条. 故选：C【点睛】本题考查了线面平行的判定，属于基础题. 15.已知函数()cos cos f x x x =⋅.给出下列结论： ①()f x 是周期函数；② 函数()f x 图像的对称中心+,0)()2（ππ∈k k Z ；③ 若()()12f x f x =，则()12x x k k Z π+=∈；④不等式sin 2sin 2cos2cos2x x x x ππππ⋅>⋅的解集为15,88x k x k k Z ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭.则正确结论的序号是（ ）A. ①②B. ②③④C. ①③④D. ①②④【答案】D 【解析】 【分析】由()()2f x f x π+=，可知()f x 是周期为2π的函数， 当22x ππ-≤≤时，()11cos 222f x x =+；当322x ππ<≤时，()11cos 222f x x =--，画出()f x 在一个周期3,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的函数图象，通过图象去研究问题.【详解】()()()()2cos 2cos 2cos cos f x x x x x f x πππ+=+⋅+=⋅=()f x ∴是周期为2π的函数，①正确；当22x ππ-≤≤时，cos 0x ≥，()211cos cos 222f x x x ==+当322x ππ<≤时，cos 0x <，()211cos cos 222f x x x =-=--可以画出()f x 在一个周期3,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的函数图象，如下由图可知：函数()f x 的对称中心为+,0)()2（ππ∈k k Z ，②正确；函数()f x 的对称轴为,x k k Z π=∈ 若()()12f x f x =，则122x x k π+=，即()122x x k k Z π+=∈，③错误； sin 2sin 2cos 2cos 2cos 2cos 22222x x x x x x ππππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭不等式sin 2sin 2cos2cos2x x x x ππππ⋅>⋅等价于：()222f x f x πππ⎛⎫-> ⎪⎝⎭由图可知：52+2,+2,44x k k k Z πππππ⎛⎫∈∈⎪⎝⎭解得15,,88x k k k Z ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭，④正确. 故选：D.【点睛】本题考查了诱导公式，降幂公式及三角函数的性质，考查了数形结合思想，属于难题.16.设集合{}1,2,3,...,2020S =，设集合A 是集合S 的非空子集，A 中的最大元素和最小元素之差称为集合A 的直径. 那么集合S 所有直径为71的子集的元素个数之和为（ ）A. 711949⋅B. 7021949⋅C. 702371949⋅⋅D. 702721949⋅⋅【答案】C 【解析】 【分析】先考虑最小元素为1，最大元素为72的情况：{}1,72只有1种情况；{}1,,72,271a a ≤≤且a Z ∈，共有170C 种情况；{}1,,,72,2,71b c b c ≤≤且,b c Z ∈，共有种270C 情况；以此类推……{}1,2,3,,71,72L ，有1（7070C ）种情况.所以，此类满足要求的子集元素个数之和012697070707070702347172M C C C C C =+++++L ，计算可得：70372M =⨯.再思考可以分为{}{}{}{}{}1,,72,2,,73,3,,74,4,,75,1949,,2020L L L L L L 等1949类，问题可得解.【详解】当最小元素为1，最大元素为72时，集合有如下情况： 集合只含2个元素：{}1,72只有1种情况；集合含有3个元素：{}1,,72,271a a ≤≤且a Z ∈，共有170C 种情况；集合含有4个元素：{}1,,,72,2,71b c b c ≤≤且,b c Z ∈，共有270C 种情况；以此类推……集合含有72个元素：{}1,2,3,,71,72L ，有（7070C ）种情况.所以，此类满足要求的子集元素个数之和M 为：012697070707070702347172,M C C C C C =+++++L L ① 70696810707070707072717032,M C C C C C ∴=+++++L L ② 707070,070,r r C C r r Z -=≤≤∈Q①②两式对应项相加，得：()0126970707070707070274742M C C C C C =+++++=⨯L70372M ∴=⨯同理可得：{}{}{}{}2,,73,3,,74,4,,75,1949,,2020,L L L L L 所有子集元素个数之和都是70372⨯，所以集合S 所有直径为71的子集的元素个数之和为702371949⋅⋅. 故选：C【点睛】本题考查了集合的子集个数和组合数及其计算，考查了分类讨论思想，属于难题.三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17.如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴顺时针旋转120o 得到的．（1）求此几何体的体积；（2）设P 是弧EC 上的一点，且BP BE ⊥，求异面直线FP 与CA 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示） 【答案】（1）83π（2）62arccos 4【解析】 【分析】（1）先算底面积212EBC S r θ=扇形，再由V S h =⋅算出体积； （2）以点B 为坐标原点建立空间直角坐标系，用空间向量法算出cos FP AC FP ACα⋅=⋅u u u r u u u r u u ur u u u r ，即可得解. 【详解】（1）由已知可得：22112422233EBC S r ππθ==⨯⨯=扇形．48233V S h ππ∴=⋅=⨯=．（2）如图所示，以点B 为坐标原点建立空间直角坐标系B xyz -，则()0,0,2A ，()2,0,2F ，()0,2,0P ，()3C -，所以，()2,2,2FP =--u u u r，()32AC =--u u u r .设异面直线FP 与CA 所成的角为α，则cos FP ACFP ACα⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r()()()()()()()()()222222212322222132-⨯-+⨯+-⨯-=-++-⋅-++-624=所以，异面直线FP 与CA 所成角为62arccos4α=. 【点睛】本题考查了柱体体积计算和空间向量法计算异面直线的夹角，考查了计算能力，属于中档题.18.已知锐角αβ、的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴正方向重合，终边与单位圆分别交于P 、Q 两点，若P 、Q 31025、（1）求()cos αβ+的大小；（2） 在ABC ∆中，a b c 、、为三个内角、、A B C 对应的边长，若已知角C αβ=+，3tan 4A =，且22a bc c λ=+，求λ的值．【答案】（1）2（2）1=2λ-【解析】 【分析】（1）由已知得：cos αβ==，故而sin α=，sin β=，再由cos(+)cos cos sin sin αβαβαβ=-可得解.（2）由（1）得：4C παβ=+=，所以cos C C =，由3tan 4A =可得34sin ,cos 55A A ==，再由sin sin()B A C =+可得sin B =，最后由正弦定理可得：2222sin sin =sin sin a c A C bc B C λ--=，问题得解.【详解】（1）由三角函数定义，得：cos αβ==αβQ 、为锐角，sin α∴==，sin β== cos(+)cos cos sin sin αβαβαβ∴=-2-=（2）由cos(+)2αβ=，αβQ 、为锐角，得：4C παβ=+=，cos C C ∴=由3tan 4A =，得sin 3cos 4A A =，又22sin cos 1A A +=， 解得34sin ,cos 55A A == []sin sin ()sin()B A C A C π=-+=+sin cos cos sin A C A C =+3455=+=由正弦定理可得：222291sin sin 1=sin sin 5a c A C bc B C λ---===- 【点睛】本题考查了三家函数定义及正余弦和的展开公式，考查了正弦定理边化角的技巧，考查了计算能力，属于中档题.19.疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在3万元至6万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备下列两个条件：①补助款()f x （万元）随企业原纳税额x （万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额x （万元）的50%．经测算政府决定采用函数模型()44x bf x x=-+（其中b 为参数）作为补助款发放方案． （1）判断使用参数12b =是否满足条件，并说明理由； （2）求同时满足条件①、②的参数b 的取值范围． 【答案】（1）当12b =时不满足条件②，见解析（2）939,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）因为当12b =时，()33342f =<，所以不满足条件② ； （2）求导得：()2221444b x bf x x x+'=+=，当0b ≥时，满足条件①；当0b <时，()f x在)⎡+∞⎣上单调递增，所以3≤.由条件②可知，()2x f x ≥，即44x bx+≤，等价于()2211481644b x x x ≤-+=--+在[]3,6上恒成立，问题得解.【详解】（1）因为当12b =时，()33342f =<，所以当12b =时不满足条件② .（2）由条件①可知，()44x bf x x=-+在[]3,6上单调递增，()2221444b x bf x x x+'=+=Q 所以当0b ≥时，()0f x ¢³满足条件；当0b <时，由()0f x ¢=可得x =当)x ⎡∈+∞⎣时()0f x ¢³，()f x 单调递增，3∴≤，解得904b -≤<， 所以94b ≥-由条件②可知，()2x f x ≥，即不等式44x bx+≤在[]3,6上恒成立， 等价于()2211481644b x x x ≤-+=--+当3x =时，()218164y x =--+取最小值394394b ∴≤综上，参数b 的取值范围是939,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查了导数求函数单调性以及恒成立问题，考查了转化思想，属于中档题.20.在平面直角坐标系xOy 中，1F ，2F 分别是椭圆()222 10x y a aΓ+=>：的左、右焦点，直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且12AF AF +=（1）求椭圆Γ的方程；（2）已知直线l 经过椭圆的右焦点2F ，,P Q 是椭圆上两点，四边形ABPQ 是菱形，求直线l 的方程； （3）已知直线l 不经过椭圆的右焦点2F ，直线2AF ，l ，2BF 的斜率依次成等差数列，求直线l 在y 轴上截距的取值范围.【答案】（1）2212x y +=（20y ±-=（3）(,)-∞+∞U【解析】 【分析】（1）由已知得：2a =，问题得解；（2）由已知可得：OA OB ⊥，设直线l 方程为：1x my -=，()11,A x y ,()22,B x y ，与椭圆方程2212x y +=联立可得：22(2)210m y my ++-=，由韦达定理，得：12222m y y m +=-+，12212y y m =-+，最后由0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，可得：1212x x y y +21212(1)()10m y y m y y =++++=，代入解方程即可；（3）设直线l 方程为：y kx b =+，由已知可得：1212211y y k x x +=--，即1212211kx b kx bk x x +++=--，化简得：12()(2)0b k x x ++-=，有已知可得:122x x +=，联立直线与椭圆方程得：222(21)4(22)0k x kbx b +++-=，由228(21)0k b ∆=-+>，和1224221kbx x k +=-=+可求b 的取值范围.【详解】（1）由12+AF AF =2a =，从而a =2212x y +=.（2）由于四边形ABPQ 是菱形，因此//AB PQ 且||||AB PQ =. 由对称性，1F 在线段PQ 上. 因此，,AP BQ 分别关于原点对称； 并且由于菱形的对角线相互垂直，可得AP BQ ⊥，即OA OB ⊥. 设直线l 方程为：1x my -=，且()11,A x y ,()22,B x y与椭圆方程2212x y +=联立可得：22(2)210m y my ++-=，12222m y y m ∴+=-+，12212y y m =-+， 由0OA OB ⋅=u u u r u u u r，可得：12121212(1)(1)x x y y my my y y +=+++ 21212(1)()1m y y m y y =++++2222121022m m m m +=--+=++解得m =0y ±=. （3）设直线l 方程为：y kx b =+，()()()11222,,,,1,0A x y B x y F Q ，由已知可得： 1212211y y k x x +=--，即1212211kx b kx bk x x +++=--. 1212122()()22(1)(1)kx x b k x x b k x x ∴+-+-=--，化简得：12()(2)0b k x x ++-=.若0b k +=，则:l y kx k =-经过2F ，不符合条件， 因此122x x +=.联立直线与椭圆方程得：222(21)4(22)0k x kbx b +++-=. 因为228(21)0k b ∆=-+>，即22210k b -+>L ①由1224221kb x x k +=-=+得：2212k b k+=-L ②将②代入①得：222212102k k k ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，解得：212k >令()12f k k k =--，则()222112122k f k k k-'=-+= 当212k >时，()0f k '<，()12f k k k∴=--,2⎛-∞- ⎝⎭或2⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，()2f k f ⎛∴>-= ⎝⎭()2f k f ⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭所以b 的取值范围为：(,)-∞+∞U .【点睛】本题考查了椭圆与直线的综合性问题，关键是联立方程组，用韦达定理进行求解，考查了分析能力和计算能力，属于难题.21.若数列{}n a 对任意连续三项12,,i i i a a a ++，均有()()2210i i i i a a a a +++-->，则称该数列为“跳跃数列”. （1）判断下列两个数列是否是跳跃数列： ①等差数列：1,2,3,4,5,L ； ②等比数列：11111,,,,24816--L ； （2）若数列{}n a 满足对任何正整数n ，均有11na n a a +=()10a >.证明：数列{}n a 是跳跃数列的充分必要条件是101a <<.（3）跳跃数列{}n a 满足对任意正整数n 均有21195nn a a +-=，求首项1a 的取值范围.【答案】（1）① 等差数列：1,2,3,4,5,...不是跳跃数列；② 等比数列：11111,,,,, (24816)--是跳跃数列.（2）证明见解析（3）()(12,2a ∈-U【解析】 【分析】（1）①数列通项公式为n a n =，计算可得：()()22120i i i i a a a a +++--=-<，所以它不是跳跃数列；②数列通项公式为：112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，计算可得：()()222191042ii i i i a a a a +++⎛⎫--=⨯-> ⎪⎝⎭，所以它是跳跃数列；（2）必要性：若11a >，则{}n a 是单调递增数列，若11a =，{}n a 是常数列，均不是跳跃数列；充分性：用数学归纳法证明证明，1n =命题成立，若n k =时2121222221,k k k k k k a a a a a a -+++<<>>，可得：222423k k k a a a +++>>，所以当1n k =+时命题也成立；（3）有已知可得：21n n a a ++-()()221519195125n n n n a a a a =----，2n n a a +-()()()2123195125n n n n a a a a =----，若1n n a a +>，则12n n n a a a ++>>，解得522n a ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭；若1n n a a +<，则12n n n a a a ++<<，解得53,2n a ⎛+∈ ⎝⎭，由2n a ⎫∈⎪⎪⎝⎭，则1n a +⎛∈ ⎝⎭，得()2,2n a ∈-；当n a ⎛∈ ⎝⎭，则()12,2n a +∈-，得(n a ∈，问题得解.【详解】（1）①等差数列：1,2,3,4,5,L 通项公式为：n a n =()()[][]221(2)2(1)20i i i i a a a a i i i i +++--=-++-+=-<Q所以此数列不是跳跃数列；②等比数列：11111,,,,,24816--L 通项公式为：112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭()()11122211111910222242i i i i ii i i i a a a a -+++++⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=------=⨯->⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Q所以此数列是跳跃数列 （2）必要性：若11a >，则{}n a 是单调递增数列，不是跳跃数列； 若11a =，{}n a 是常数列，不是跳跃数列. 充分性：（下面用数学归纳法证明）若101a <<，则对任何正整数n ，均有2121222221,n n n n n n a a a a a a -+++<<>>成立.①当1n =时，112111a a a a a =>=， 213112a a a a a a =<=，1212131111,a a a a a a a a =<∴=>=Q ，231a a a ∴>> 321231111342,,a a a a a a a a a a a a >>∴<<<<Q ，所以1n =命题成立②若n k =时，2121222221,k k k k k k a a a a a a -+++<<>>，则22221212322,kk k a a a k k k aa a a a a +++++<<∴<<，212322222423,k k k a a a k k k a a a a a a ++++++>>∴>>，所以当1n k =+时命题也成立，根据数学归纳法，可知命题成立，数列满足()()2210i i i i a a a a +++-->， 故{}n a 是跳跃数列.（3）21195n n a a +-=Q()222212191919251919555125n n n n a a a a ++-⎛⎫- ⎪⨯---⎝⎭∴===()22221192519191255n n n n a a a a ++⨯---∴-=-()()221519195125n n n n a a a a =----()222192519125nn n n a a a a +⨯---=-()()()2123195125n n n n a a a a =---- ①若1n n a a +>，则12n n n a a a ++>>，()()()()()222151919501251231950125n n n n n n n n a a a a a a a a ⎧----<⎪⎪∴⎨⎪---->⎪⎩解得2n a ⎫∈⎪⎪⎝⎭； ②若1n n a a +<，则12n n n a a a ++<<，()()()()()222151919501251231950125n n n n n n n n a a a a a a a a ⎧---->⎪⎪∴⎨⎪----<⎪⎩解得53,2n a ⎛+∈ ⎝⎭；若522n a ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭，则211953,52n n a a +⎛⎫-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，所以()2,2n a ∈-，若n a ⎛∈ ⎝⎭，则()21192,25n n a a +-=∈-，所以(n a ∈， 所以()(12,2a ∈-U ，此时对任何正整数n ，均有()(2,2n a ∈-U【点睛】本题考查了与数列相关的不等式证明，考查了数学归纳法，考查了分类与整合思想，属于难题.。
浦东新区2019学年度第二学期期中教学质量监测高三数学答案及评分细则2020.05一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1．设全集{}210,,U =，集合{}10,A =，则=A U C {}2 ．2. 某次考试，5名同学的成绩分别为：115,108,95,100,96，则这组数据的中位数为 100 ．3. 若函数()21x x f =，则()=-11f1 ．4. 若i -1是关于x 的方程02=++q px x 的一个根（其中i 为虚数单位，R q ,p ∈），则=+q p 0 ．5.41:则这两个球的体积之比为 81: ．6.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t t y t x ⎩⎨⎧=-=1，圆O 的参数方程为()为参数θ⎩⎨⎧θ=θ=sin y cos x ，则直线l 与圆O 的位置关系是 相交 ． 7. 若二项式()421x +展开式的第4项的值为24，则()=++++∞→n n x x x x Λ32lim ．8. 已知双曲线的渐近线方程为x y ±=，且右焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则这个双曲线的方程是__12222=-y x __________.9. 从()4N ≥∈*m m m ，且个男生、6个女生中任选2个人当发言人，假设事件A 表示选出的2个人性别相同，事件B 表示选出的2个人性别不同．如果A 的概率和B 的概率相等，则=m 10 ．10. 已知函数()()2222-+++=a x log a x x f 的零点有且只有一个，则实数a 的取值集合为 {1} ．11. 如图，在ABC ∆中，3π=∠BAC ，D 为AB 中点，P 为CD 上一点，且满足AB AC t AP 31+=，若ABC ∆的面积为233，则AP 的最小值为 2 . 12.已知数列{}{},n n a b 满足111a b ==，对任何正整数n 均有221n n n n n a a b a b +=+++，221n n n n n b a b a b +=+-+，设113n n n n c a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则数列{}n c 的前2020项之和为 .【解】()112+2nn n n n n n a b a b a b +++=⇒+=，11122n n n n n n n a b a b a b -++=⇒+=，12333n n n n c +=⋅=-，2021202033S =-二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须51在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．若x 、y 满足 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-010y y x y x ， 则目标函数y x f +=2的最大值为( B )A ． 1B ． 2C ． 3 D. 4 14. 如图，正方体ABCD D C B A -1111中，E 、F 分别为棱A A 1、BC 上的点，在平面11A ADD 内且与平面DEF 平行的直线( C )A ． 有一条B ． 有二条C ． 有无数条 D. 不存在15. 已知函数()x cos x cos x f ⋅=.给出下列结论：①()x f 是周期函数； ② 函数()x f 图像的对称中心+,0)()2（ππ∈k k Z ；③ 若()()21x f x f =，则()Z k k x x ∈π=+21；④ 不等式x cos x cos x sin x sin π⋅π>π⋅π2222的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k ,k x k x 8581. 则正确结论的序号是 ( D )A ． ① ②B ． ② ③ ④C ． ① ③ ④ D. ① ② ④16. 设集合{}1,2,3,...,2020S =，设集合A 是集合S 的非空子集，A 中的最大元素和最小元素之差称为集合A 的直径. 那么集合S 所有直径为71的子集的元素个数之和为( C )A ． 711949⋅B ． 7021949⋅ C ． 702371949⋅⋅ D. 702721949⋅⋅三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴顺时针旋转ο120得到的．（1）求此几何体的体积；（2）设P 是弧EC 上的一点，且BE BP ⊥，求异面直线FP 与CA 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【解答】（1）因为34232212122π=⨯π⨯=θ=r S EBC 扇形．…………（4分） 所以，38234π=⨯π=⋅=h S V ．………（7分）（2）如图所示，以点B 为坐标原点建立空间直角坐标系．则()200,,A ，()202,,F ，()020,,P ，()031,,C -．所以，()222--=,,FP ，()231--=,,AC .…………………（11分）设异面直线FP 与CA 所成的角为α，则z=αcos426+=.…………（13分） 所以，异面直线FP 与CA 所成角为426+=αarccos.…………（14分） 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知锐角βα、的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴正方向重合，终边与单位圆分别交于P 、Q 两点，若P 、Q 两点的横坐标分别为55210103、． （1）求()β+αcos 的大小；（2） 在ABC ∆中，c b a 、、为三个内角C B A 、、对应的边长，若已知角β+α=C ，43=A tan ，且22c bc a +λ=，求λ的值． 【解答】（1）由已知cos =sin =cos 101055ααββ==，………… (2分) 因而cos(+)=cos cos sin sin αβαβαβ-==…………（6分） （2）法一：（正弦定理）由已知，,cos C C C π===………….(7分) 34sin sin()sin()4525210B AC A π=+=+=⨯+⨯=…………(10分) 222291sin sin 1=sin sin 5a c A C bc B C λ---===- …………(14分) 法二：（余弦定理）2222cos a c b bc A -=-，因而由已知得2428sin 88152cos =5sin 555b cb B b bc A bc c c C λλ-⨯-⇒==-=-=-=- 法三：（余弦定理、正弦定理）cos cos()410B C π=-+=-因而由余弦定理得：2222222cos cos cos 2cos b a c ac B a c B b C c a b ab C⎧=+-⨯⇒=+=+⎨=+-⨯⎩ 同理 2222222cos 4cos cos 52cos a b c bc A b c A a C c c a b ab C ⎧=+-⨯⇒=+=⎨=+-⨯⎩得7,55c a b ==得221=2a c bc λ-=-()()()()()()()()()222222231222223212-++-⋅-++--⨯-+⨯+-⨯-=法四：（射影定理）可得cos cosa c Bb C=+=，4cos cos5b c A a C c=+=下同解法二19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在3万元至6万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备下列两个条件：①补助款()f x（万元）随企业原纳税额x（万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额x（万元）的50%．经测算政府决定采用函数模型()44x bf xx=-+（其中b为参数）作为补助款发放方案．（1）判断使用参数12b=是否满足条件，并说明理由；（2）求同时满足条件①、②的参数b的取值范围．【解答】（1）法一：因为当12b=时，()33342f=<，所以当12b=时不满足条件②．…………（6分）法二：由条件②可知()[]12144,1242xf x x xx=-+≥⇔∈．因为[]34,12∉，所以当12b=时不满足条件②．…………（6分）法三：由条件②可知()2xf x≥在[]3,6上恒成立，所以2max144b x x⎛⎫≤-+⎪⎝⎭，解得394b≤，所以当12b=时不满足条件②．…………（6分）(注：如果证明了当12b=时满足条件①得2分)（2）法一：由条件①可知，()f x在[]3,6上单调递增，则对任意1236x x≤<≤时，有1212121212124()()44()0444x x x x bb bf x f x x xx x x x⎛⎫⎛⎫+-=-+--+=-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，即1240x x b+>⇔1214b x x>-恒成立，所以94b≥-；…………（10分）由条件②可知，()2xf x≥，即不等式1442x bxx-+≥在[]3,6上恒成立，所以2max139444b x x⎛⎫≤-+=⎪⎝⎭…………（13分）综上，参数b的取值范围是939,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．…………（14分）法二：由条件①可知，()44x bf xx-+在[]3,6上单调递增，所以当0b≥时，满足条件；当0b<时，得3≤94b⇔-≤<，所以94b ≥-…………（10分） 由条件②可知，()2x f x ≥，即不等式44x b x +≤在[]3,6上恒成立，所以34436446b b ⎧+≤⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，得394b ≤ …………（13分） 综上，参数b 的取值范围是939,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．…………（14分）20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.在平面直角坐标系xOy 中，1F ，2F 分别是椭圆()222 10x y a aΓ+=>：的左、右焦点，直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且2221=+AF AF .（1）求椭圆Γ的方程；（2）已知直线l 经过椭圆的右焦点2F ，,P Q 是椭圆上两点，四边形ABPQ 是菱形，求直线l 的方程；（3）已知直线l 不经过椭圆的右焦点2F ，直线2AF ，l ，2BF 的斜率依次成等差数列，求直线l 在y 轴上截距的取值范围.【解答】（1）由12AF +AF2a =，从而a =椭圆方程为2212x y +=. ………… (4分) （2）由于四边形ABPQ 是菱形，因此//AB PQ 且||||AB PQ =.由对称性，1F 在线段PQ 上. 因此，,AP BQ 分别关于原点对称；并且由于菱形的对角线相互垂直，可得AP BQ ⊥，即OA OB ⊥. ………… (6分)设:1l x my -=，与椭圆方程联立可得22(2)210m y my ++-=，设A(x 1,y 1),B (x 2,y 2),因此12222m y y m +=-+，12212y y m =-+. ………… (8分)由12120x x y y +=，可得22212122212(1)()11022m m m y y m y y m m +++++=--+=++，解得m =10x ±-=.………… (10分)（3） 设:l y kx b =+，由122k k k +=，可得1212211y y k x x +=--， 即1212211kx b kx bk x x +++=--. 化简可得1212122()()22(1)(1)kx x b k x x b k x x +-+-=--，即12()(2)0b k x x ++-=.若0b k +=，则:l y kx k =-经过2F ，不符，因此122x x +=.………… (12分) 联立直线与椭圆方程，222(21)4(22)0k x kbx b +++-=. 因为228(21)0k b ∆=-+> ①由1224221kbx x k +=-=+，可得，2212k b k +=-② ………… (14分) 将②代入①，2221421,2k k k >+>；再由11(2)2b k k=-+，可得，(,)b ∈-∞-⋃+∞. ………… (16分)21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.若数列{}n a 对任意连续三项12,,i i i a a a ++，均有()()2210i i i i a a a a +++-->，则称该数列为“跳跃数列”.（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列： ① 等差数列：Λ,,,,,54321； ② 等比数列：Λ1618141211,,,,--； （2）若数列{}n a 满足对任何正整数n ，均有11na n a a +=()10a >.证明：数列{}n a 是跳跃数列的充分必要条件是101a <<.（3）跳跃数列{}n a 满足对任意正整数n 均有21195nn a a +-=，求首项1a 的取值范围.【解答】（1）① 等差数列：1,2,3,4,5,...不是跳跃数列；………… (2分)② 等比数列：11111,,,,, (24816)--是跳跃数列. ………… (4分)（2）必要性：若11a >，则{}n a 是单调递增数列，不是跳跃数列；若11a =，{}n a 是常数列，不是跳跃数列. ………… (6分)充分性：下面用数学归纳法证明：若101a <<，则对任何正整数n ，均有2121222221,n n n n n n a a a a a a -+++<<>>成立.（1）当1n =时，，112111aa a a a =>=， 213112aaa a a a =<=，1212131111,a a a a a a a a =<∴=>=Q ，231a a a ∴>>………… (8分)321231111342,,a a a a a a a a a a a a >>∴<<<<Q ，所以1n =命题成立………… (9分)（2）若n k =时，2121222221,k k k k k k a a a a a a -+++<<>>， 则22221212322,kk k a a a k k k aa a a a a +++++<<∴<<，212322222423,k k k a a a k k k a a a a a a ++++++>>∴>>，所以当1n k =+时命题也成立……… (10分)根据数学归纳法，可知命题成立，数列满足()()2210i i i i a a a a +++-->，故{}n a 是跳跃数列.（3）()2111955n n n n a a a a +-=--， ()()22211519195125n n n n n n a a a a a a ++-=----，………… (11分) ()()()22123195125n n n n n n a a a a a a +-=----，………… (12分)[1]若1n n a a +>，则12n n n a a a ++>>，此时2n a ⎫∈⎪⎪⎝⎭；………… (14分)[2]若1n n a a +<，则12n n n a a a ++<<，此时51013,2n a ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭；………… (16分) 若5101,22n a ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭，则211951013,52nn a a +⎛⎫-+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，所以()2,2n a ∈-. 若51013,2n a ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭，则()21192,25nn a a +-=∈-，所以()3,21n a ∈. 所以()()12,23,21a ∈-U ，此时对任何正整数n ，均有()()2,23,21n a ∈-U ………… (18分)。
上海市浦东新区2020届高三二模数学试卷2020.5一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1．设全集{}210,,U =，集合{}10,A =，则=A U C _______．2.某次考试，5名同学的成绩分别为：115,108,95,100,96，则这组数据的中位数为_______．3.若函数()21x x f =，则()=-11f_______．4.若i -1是关于x 的方程02=++q px x 的一个根（其中i 为虚数单位，R q ,p ∈），则=+q p _______．5.若两个球的表面积之比为41:则这两个球的体积之比为_______．6.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t t y t x ⎩⎨⎧=-=1，圆O 的参数方程为()为参数θ⎩⎨⎧θ=θ=sin y cos x ，则直线l 与圆O 的位置关系是_______．7.若二项式()421x+展开式的第4项的值为24，则()=++++∞→nn xx x x 32lim _______．8.已知双曲线的渐近线方程为x y ±=，且右焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则这个双曲线的方程是_______.9.从()4N ≥∈*m m m ，且个男生、6个女生中任选2个人当发言人，假设事件A 表示选出的2个人性别相同，事件B 表示选出的2个人性别不同．如果A 的概率和B 的概率相等，则=m _______．10.已知函数()()22222-+++=a x log a x x f 的零点有且只有一个，则实数a 的取值集合为_______．11.如图，在ABC ∆中，3π=∠BAC ，D 为AB 中点，P 为CD 上一点，且满足AB AC t AP 31+=，若ABC ∆的面积为233，的最小值为_______.12.已知数列{}{},n n a b 满足111a b ==，对任何正整数n均有1n n n a a b +=++，1n n n b a b +=+，设113n n n n c a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则数列{}n c 的前2020项之和为_______.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．若x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-010y y x y x ，则目标函数y x f +=2的最大值为()A ．1B ．2C ．3 D.414.如图，正方体ABCD D C B A -1111中，E 、F 分别为棱A A 1、BC 上的点，在平面11A ADD 内且与平面DEF 平行的直线()A ．有一条B ．有二条C ．有无数条D.不存在15.已知函数()x cos x cos x f ⋅=.给出下列结论：①()x f 是周期函数；②函数()x f 图像的对称中心+,0)()2（ππ∈k k Z ；③若()()21x f x f =，则()Z k k x x ∈π=+21；④不等式x cos x cos x sin x sin π⋅π>π⋅π2222的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k ,k x k x 8581.则正确结论的序号是()A ．①②B ．②③④C ．①③④D ．①②④16.设集合{}1,2,3,...,2020S =，设集合A 是集合S 的非空子集，A 中的最大元素和最小元素之差称为集合A 的直径.那么集合S 所有直径为71的子集的元素个数之和为()A ．711949⋅B ．7021949⋅C ．702371949⋅⋅D ．702721949⋅⋅三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴顺时针旋转120得到的．（1）求此几何体的体积；（2）设P 是弧EC 上的一点，且BE BP ⊥，求异面直线FP 与CA 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知锐角βα、的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴正方向重合，终边与单位圆分别交于P 、Q 两点，若P 、Q 两点的横坐标分别为55210103、．（1）求()β+αcos 的大小；（2）在ABC ∆中，c b a 、、为三个内角C B A 、、对应的边长，若已知角β+α=C ，43=A tan ，且22c bc a +λ=，求λ的值．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在3万元至6万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备下列两个条件：①补助款()f x （万元）随企业原纳税额x （万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额x （万元）的50%．经测算政府决定采用函数模型()44x bf x x=-+（其中b 为参数）作为补助款发放方案．（1）判断使用参数12b =是否满足条件，并说明理由；（2）求同时满足条件①、②的参数b 的取值范围．20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.在平面直角坐标系xOy 中，1F ，2F 分别是椭圆()222 10x y a aΓ+=>：的左、右焦点，直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且2221=+AF AF .（1）求椭圆Γ的方程；（2）已知直线l 经过椭圆的右焦点2F ，,P Q 是椭圆上两点，四边形ABPQ 是菱形，求直线l 的方程；（3）已知直线l 不经过椭圆的右焦点2F ，直线2AF ，l ，2BF 的斜率依次成等差数列，求直线l 在y 轴上截距的取值范围.21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.若数列{}n a 对任意连续三项12,,i i i a a a ++，均有()()2210i i i i a a a a +++-->，则称该数列为“跳跃数列”.（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列：①等差数列： ,,,,,54321；②等比数列： 1618141211,,,,--；（2）若数列{}n a 满足对任何正整数n ，均有11na n a a +=()10a >.证明：数列{}n a 是跳跃数列的充分必要条件是101a <<.（3）跳跃数列{}n a 满足对任意正整数n 均有21195nn a a +-=，求首项1a 的取值范围.上海市浦东新区2020届高三二模数学试卷答案解析版一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1.设全集{}0,1,2U =，集合{}0,1A =，则U C A =________．【答案】{}2【解析】【分析】由补集的运算法则可得解.【详解】{}{}0,1,2,0,1U A == {}2U C A ∴=故答案为：{}2【点睛】本题考查了补集的运算，属于基础题.2.某次考试，5名同学的成绩分别为：96,100,95,108,115，则这组数据的中位数为___．【答案】100【解析】【分析】数据个数为奇数时，中位数为从小到大排列后中间的那一个数字.【详解】5名同学的成绩由小到大排序为：95,96,100,108,115，∴这组数据的中位数为100.故答案为：100【点睛】本题考查了一组数据中中位数的求法，属于基础题.3.若函数()12f x x =，则()11f -=__________．【答案】1【解析】【分析】由()12f x x =可得：()12,0f x x x -=≥，问题得解.【详解】由()12f x x =可得：()12,0f x x x -=≥()12111f -∴==故答案为：1【点睛】本题考查了反函数的求法，属于基础题.4.若1i -是关于x 的方程20x px q ++=的一个根（其中i 为虚数单位，,p q R ∈），则p q +=__________．【解析】【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数关系求解.【详解】1i - 是关于x 的实系数方程20x px q ++=的一个根，1i ∴+是关于x 的实系数方程20x px q ++=的另一个根，则(1)(1)2p i i -=-++=，即2p =-，2(1)(1)12q i i i =-+=-=，0p q ∴+=.故答案为：0【点睛】本题考查了一元二次方程的虚根特征和虚数的运算,考查了计算能力，属于中档题.5.若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比为．【答案】1:8【解析】试卷分析：由求得表面积公式24S R π=得半径比为1:2，由体积公式343V R π=可知体积比为1:8考点：球体的表面积体积6.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1x t y t =-⎧⎨=⎩（t 为参数），圆O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则直线l 与圆O 的位置关系是________．【答案】相交【分析】由已知可得：直线l 的标准方程为10x y -+=，圆O 的标准方程为221x y +=，再计算出圆心到直线的距离2d r =<，问题得解.【详解】由直线l 的参数方程1x t y t =-⎧⎨=⎩，可得：直线l 的标准方程为：10x y -+=，由圆O 的参数方程cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，可得：圆O 的标准方程为：221x y +=，圆心为(0,0)，半径1r =圆心为(0,0)到直线l的距离12d ==<则直线l 与圆O 的位置关系是相交.故答案为：相交【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的转化，考查了直线与圆的位置关系，属于中档题.7.若二项式()412x+展开式的第4项的值为()23lim nn x x x x →∞++++= __．【答案】15【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式，得：3344(2)x T C ==，解得16x =，再由等比数列求和公式，得：2311156nnx x x x ⎡⎤⎛⎫=⨯-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣+⎦+ ，从而极限可求.【详解】由已知可得：3344(2)x T C ==，即33(2)2x x ==，解得16x =，2311166(1)111115616nnn nx x x x x xx ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪∴+++⎡⎤⎝⎭-⎢⎥⎛⎫⎣⎦===⨯-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦-+ ，()231111565lim lim nnn n x x x x→∞→∞+++⎡⎤⎛⎫∴⨯-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+= .故答案为：15【点睛】本题考查了二项式定理，等比数列求和公式以及求极限，考查了计算能力，属于中档题.8.已知双曲线的渐近线方程为y x =±，且右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则这个双曲线的方程是____________.【答案】22221x y -=【解析】【分析】由已知可得双曲线的右焦点为(1,0)，即1c =，由双曲线的渐近线方程为y x =±，可设其方程为：22,0x y λλ-=>，再由222+=a b c 可得：1λλ+=，求出λ，问题得解.【详解】 抛物线24y x =的焦点为：(1,0)∴双曲线的右焦点为：(1,0)，即1c =双曲线的渐近线方程为y x =±，∴双曲线的方程可设为：22,0x y λλ-=>，即221x y λλ-=，22a b λ∴==由222+=a b c 可得：1λλ+=，12λ∴=，双曲线的方程是22221x y -=.故答案为：22221x y -=【点睛】本题考查了双曲线的标准方程和其渐近线方程，关键是掌握共渐近线的曲双线方程的设法，属于中档题.9.从m （N m *∈且4m ≥）个男生、6个女生中任选2个人当发言人，假设事件A 表示选出的2个人性别相同，事件B 表示选出的2个人性别不同．如果A 的概率和B 的概率相等，则m =_____________．【答案】10【解析】【分析】从m 个男生、6个女生中任选2个人当发言人,共有26m C +种情况，事件A 表示选出的2个人性别相同，共有226m C C +情况，事件B 表示选出的2个人性别不同，共有116m C C 情况，由已知可得：2211662266m m m m C C C C C C +++=，即221166m m C C C C +=，解之即可.【详解】从m 个男生、6个女生中任选2个人当发言人,共有26m C +种情况，事件A 表示选出的2个人性别相同，共有226m C C +情况，事件B 表示选出的2个人性别不同，116m C C 情况()()P A P B = ，2211662266m m m m C C C C C C +++∴=221166m m C C C C ∴+=，即(1)65622m m m -⨯+=整理，得：213300m m -+=，即(3)(10)0m m --=N m *∈ 且4m ≥，10m ∴=故答案为：10【点睛】本题考查了概率计算和组合数及其计算，考查了计算能力和分析能力，属于中档题.10.已知函数()()222log 22f x x a x a =+++-的零点有且只有一个，则实数a 的取值集合为________．【答案】{}1【解析】【分析】由已知可得：()f x 为R 上的偶函数，又函数()f x 的有且只有一个零点，所以()00f =，由此可得：2log 220a a +-=，解得1a =【详解】显然，由()()222log 22f x x a x a =+++-，可得：()()f x f x =-，()f x \为R 上的偶函数.函数()f x 的有且只有一个零点，()0=0f ∴由此可得：2log 220a a +-=，解得1a =故答案为：{}1【点睛】本题考查了偶函数的对称性，属于中档题.11.如图，在ABC 中，3BAC π∠=，D 为AB 中点，P 为CD 上一点，且满足13t AC AB AP =+ ，若ABC 的面积为332，则AP 的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】设,AB AC m n ==，由1sin 22BA AB A C C ⋅⋅∠= ，可得：6mn =再由1233t AC AB t AC A AP D =++= ，可得：13t =，则AP == 222m n mn +≥可得解.【详解】设,AB AC m n== ABC 的面积为332，1sin 2AB AC S BAC =⋅⋅∠1222mn ==6mn ∴= D 为AB 中点，2AB AD ∴=1233t AC AB t AC AD AP +==+∴ 又C 、P 、Q 三点共线，213t ∴+=，即13t =1133AP AC AB ∴=+ 则()2222911112=3399AP AC AB AC AB AC AB ⎛⎫=+++⋅ ⎪⎝⎭ 22112=cos 999AC AB AC AB BAC ++⋅⋅∠ 222211212=992993m n m n m n +++⋅⋅=+AP ∴=当且仅当m n ==时取得最小值.【点睛】本题考查了向量的模的运算和数量积运算及三角形的面积公式，考查了计算能力，属于中档题.12.已知数列{}{},n n a b 满足111a b ==，对任何正整数n均有1n n n a a b +=++1n n n b a b +=+，设113n n n n c a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则数列{}n c 的前2020项之和为_____________.【答案】202133-【解析】【分析】由已知得：()112+n n n n a b a b +++=，2,n n n a b n N *∴+=∈；11n n a b ++=2n n a b ，12,n n n a b n N -*∴=∈，由此可得：12333n n n n c +=⋅=-，再由等比数列求和公式可得解.【详解】1n n n a a b +=+ ①，1n n n b a b +=+②两式相加可得：()112+n n n n n n n n a b a b a b a b +++++=+=，{}n n a b ∴+是公比为2的等比数列，首项112a b +=2,n n n a b n N *∴+=∈两式相乘可得：(11n n n n n n a b a b a b ++=++()22n n n na b a b =+={}n n a b ∴是公比为2的等比数列，首项111a b =12,n n n a b n N -*∴=∈113323nn n n n n n n n n a b c a b a b ⎛⎫+=+=⋅=⋅ ⎪⎝⎭，由等比数列求和公式，得：()2020202120206133313S -==--故答案为：202133-【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，考查了转化能力和计算能力，属于中档题.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13.若x 、y 满足010x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】作出可行域和目标函数，找到目标函数取最大值的最优解即可.【详解】由已知，可作出满足条件的可行域和目标函数如下：由图可知目标函数2y x z =-+中z 取最大值的最优解为：(1,0)max 22z x y ∴=+=.故选：B【点睛】本题考查了线性规划求线性目标函数的最值问题，考查了数形结合思想，属于中档题.14.如图，正方体1111A B C D ABCD -中，E 、F 分别为棱1A A 、BC 上的点，在平面11ADD A 内且与平面DEF 平行的直线（）A.有一条B.有二条C.有无数条D.不存在【答案】C【解析】【分析】易知当//l DE 时即可满足要求，所以存在无数条.【详解】若l ∃⊂平面11ADD A ，使得//l DE ，又DE ⊂平面DEF ，l ⊄平面DEF ，//l ∴平面DEF ，显然满足要求的直线l 有无数条.故选：C【点睛】本题考查了线面平行的判定，属于基础题.15.已知函数()cos cos f x x x =⋅.给出下列结论：①()f x 是周期函数；②函数()f x 图像的对称中心+,0)()2（ππ∈k k Z ；③若()()12f x f x =，则()12x x k k Z π+=∈；④不等式sin 2sin 2cos 2cos 2x x x x ππππ⋅>⋅的解集为15,88x k x k k Z ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭.则正确结论的序号是（）A.①②B.②③④C.①③④D.①②④【答案】D【解析】【分析】由()()2f x f x π+=，可知()f x 是周期为2π的函数，当22x ππ-≤≤时，()11cos 222f x x =+；当322x ππ<≤时，()11cos 222f x x =--，画出()f x 在一个周期3,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的函数图象，通过图象去研究问题.【详解】()()()()2cos 2cos 2cos cos f x x x x x f x πππ+=+⋅+=⋅=()f x ∴是周期为2π的函数，①正确；当22x ππ-≤≤时，cos 0x ≥，()211cos cos 222f x x x ==+当322x ππ<≤时，cos 0x <，()211cos cos 222f x x x =-=--可以画出()f x 在一个周期3,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内的函数图象，如下由图可知：函数()f x 的对称中心为+,0)()2（ππ∈k k Z ，②正确；函数()f x 的对称轴为,x k k Zπ=∈若()()12f x f x =，则122x x k π+=，即()122x x k k Z π+=∈，③错误；sin 2sin 2cos 2cos 2cos 2cos 22222x x x x x x ππππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭不等式sin 2sin 2cos 2cos 2x x x x ππππ⋅>⋅等价于：()222f x f x πππ⎛⎫-> ⎪⎝⎭由图可知：52+2,+2,44x k k k Z πππππ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭解得15,,88x k k k Z ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭，④正确.故选：D.【点睛】本题考查了诱导公式，降幂公式及三角函数的性质，考查了数形结合思想，属于难题.16.设集合{}1,2,3,...,2020S =，设集合A 是集合S 的非空子集，A 中的最大元素和最小元素之差称为集合A 的直径.那么集合S 所有直径为71的子集的元素个数之和为（）A.711949⋅ B.7021949⋅ C.702371949⋅⋅ D.702721949⋅⋅【答案】C【解析】【分析】先考虑最小元素为1，最大元素为72的情况：{}1,72只有1种情况；{}1,,72,271a a ≤≤且a Z ∈，共有170C 种情况；{}1,,,72,2,71b c b c ≤≤且,b c Z ∈，共有种270C 情况；以此类推……{}1,2,3,,71,72 ，有1（7070C ）种情况.所以，此类满足要求的子集元素个数之和012697070707070702347172M C C C C C =+++++ ，计算可得：70372M =⨯.再思考可以分为{}{}{}{}{}1,,72,2,,73,3,,74,4,,75,1949,,2020 等1949类，问题可得解.【详解】当最小元素为1，最大元素为72时，集合有如下情况：集合只含2个元素：{}1,72只有1种情况；集合含有3个元素：{}1,,72,271a a ≤≤且a Z ∈，共有170C 种情况；集合含有4个元素：{}1,,,72,2,71b c b c ≤≤且,b c Z ∈，共有270C 种情况；以此类推……集合含有72个元素：{}1,2,3,,71,72 ，有（7070C ）种情况.所以，此类满足要求的子集元素个数之和M 为：012697070707070702347172,M C C C C C =+++++ ①70696810707070707072717032,M C C C C C ∴=+++++ ②707070,070,r r C C r r Z-=≤≤∈ ①②两式对应项相加，得：()0126970707070707070274742M C C C C C =+++++=⨯ 70372M ∴=⨯同理可得：{}{}{}{}2,,73,3,,74,4,,75,1949,,2020, 所有子集元素个数之和都是70372⨯，所以集合S 所有直径为71的子集的元素个数之和为702371949⋅⋅.故选：C【点睛】本题考查了集合的子集个数和组合数及其计算，考查了分类讨论思想，属于难题.三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17.如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴顺时针旋转120得到的．（1）求此几何体的体积；（2）设P 是弧EC 上的一点，且BP BE ⊥，求异面直线FP 与CA 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【答案】（1）83π（2）62arccos 4+【解析】【分析】（1）先算底面积212EBC S r θ=扇形，再由V S h =⋅算出体积；（2）以点B 为坐标原点建立空间直角坐标系，用空间向量法算出cos FP AC FP ACα⋅=⋅ ，即可得解.【详解】（1）由已知可得：22112422233EBC S r ππθ==⨯⨯=扇形．48233V S h ππ∴=⋅=⨯=．（2）如图所示，以点B 为坐标原点建立空间直角坐标系B xyz -，则()0,0,2A ，()2,0,2F ，()0,2,0P ，()3C -，所以，()2,2,2FP =--，()32AC =-- .设异面直线FP 与CA 所成的角为α，则cos FP ACFP ACα⋅=⋅()()()()()()()()()222222212322222132-⨯-+⨯+-⨯-=-++-⋅-++-624=所以，异面直线FP 与CA 所成角为62arccos4α=.【点睛】本题考查了柱体体积计算和空间向量法计算异面直线的夹角，考查了计算能力，属于中档题.18.已知锐角αβ、的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴正方向重合，终边与单位圆分别交于P 、Q 两点，若P 、Q 两点的横坐标分别为31025105、．（1）求()cos αβ+的大小；（2）在ABC ∆中，a b c 、、为三个内角、、A B C 对应的边长，若已知角C αβ=+，3tan 4A =，且22a bc c λ=+，求λ的值．【答案】（1）22（2）1=2λ-【解析】【分析】（1）由已知得：cos 105αβ==，故而sin 10α=，sin 5β=，再由cos(+)cos cos sin sin αβαβαβ=-可得解.（2）由（1）得：4C παβ=+=，所以22cos ,sin 22C C ==，由3tan 4A =可得34sin ,cos 55A A ==，再由sin sin()B A C =+可得72sin 10B =，最后由正弦定理可得：2222sin sin =sin sin a c AC bc B C λ--=，问题得解.【详解】（1）由三角函数定义，得：cos αβ==αβ 、为锐角，10sin 10α∴==，sin 55β==cos(+)cos cos sin sin αβαβαβ∴=-22=（2）由2cos(+)2αβ=，αβ 、为锐角，得：4C παβ=+=，22cos ,sin 22C C ∴==由3tan 4A =，得sin 3cos 4A A =，又22sin cos 1A A +=，解得34sin ,cos 55A A ==[]sin sin ()sin()B AC A C π=-+=+sin cos cos sin A C A C=+34525210=⨯+⨯=由正弦定理可得：222291sin sin 1252=sin sin 5a c A C bc B C λ---==-【点睛】本题考查了三家函数定义及正余弦和的展开公式，考查了正弦定理边化角的技巧，考查了计算能力，属于中档题.19.疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在3万元至6万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备下列两个条件：①补助款()f x （万元）随企业原纳税额x （万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额x （万元）的50%．经测算政府决定采用函数模型()44x bf x x=-+（其中b 为参数）作为补助款发放方案．（1）判断使用参数12b =是否满足条件，并说明理由；（2）求同时满足条件①、②的参数b 的取值范围．【答案】（1）当12b =时不满足条件②，见解析（2）939,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）因为当12b =时，()33342f =<，所以不满足条件②；（2）求导得：()2221444b x bf x x x+'=+=，当0b ≥时，满足条件①；当0b <时，()f x 在)⎡+∞⎣上单调递增，所以3≤.由条件②可知，()2x f x ≥，即44x b x +≤，等价于()2211481644b x x x ≤-+=--+在[]3,6上恒成立，问题得解.【详解】（1）因为当12b =时，()33342f =<，所以当12b =时不满足条件②.（2）由条件①可知，()44x bf x x=-+在[]3,6上单调递增，()2221444b x bf x x x +'=+=所以当0b ≥时，()0f x ¢³满足条件；当0b <时，由()0f x ¢=可得x =当)x ⎡∈+∞⎣时()0f x ¢³，()f x 单调递增，3∴≤，解得904b -≤<，所以94b ≥-由条件②可知，()2xf x ≥，即不等式44x b x +≤在[]3,6上恒成立，等价于()2211481644b x x x ≤-+=--+当3x =时，()218164y x =--+取最小值394394b ∴≤综上，参数b 的取值范围是939,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查了导数求函数单调性以及恒成立问题，考查了转化思想，属于中档题.20.在平面直角坐标系xOy 中，1F ，2F 分别是椭圆()222 10x y a aΓ+=>：的左、右焦点，直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且12AF AF +=（1）求椭圆Γ的方程；（2）已知直线l 经过椭圆的右焦点2F ，,P Q 是椭圆上两点，四边形ABPQ 是菱形，求直线l 的方程；（3）已知直线l 不经过椭圆的右焦点2F ，直线2AF ，l ，2BF 的斜率依次成等差数列，求直线l 在y 轴上截距的取值范围.【答案】（1）2212x y +=（20y ±-=（3）(,)-∞+∞ 【解析】【分析】（1）由已知得：2a =，问题得解；（2）由已知可得：OA OB ⊥，设直线l 方程为：1x my -=，()11,A x y ,()22,B x y ，与椭圆方程2212x y +=联立可得：22(2)210m y my ++-=，由韦达定理，得：12222m y y m +=-+，12212y y m =-+，最后由0OA OB ⋅= ，可得：1212x x y y +21212(1)()10m y y m y y =++++=，代入解方程即可；（3）设直线l 方程为：y kx b =+，由已知可得：1212211y y k x x +=--，即1212211kx b kx b k x x +++=--，化简得：12()(2)0b k x x ++-=，有已知可得:122x x +=，联立直线与椭圆方程得：222(21)4(22)0k x kbx b +++-=，由228(21)0k b ∆=-+>，和1224221kbx x k +=-=+可求b 的取值范围.【详解】（1）由12+AF AF =2a =，从而a =2212x y +=.（2）由于四边形ABPQ 是菱形，因此//AB PQ 且||||AB PQ =.由对称性，1F 在线段PQ 上.因此，,AP BQ 分别关于原点对称；并且由于菱形的对角线相互垂直，可得AP BQ ⊥，即OA OB ⊥.设直线l 方程为：1x my -=，且()11,A x y ,()22,B x y 与椭圆方程2212x y +=联立可得：22(2)210m y my ++-=，12222m y y m ∴+=-+，12212y y m =-+，由0OA OB ⋅=，可得：12121212(1)(1)x x y y my my y y +=+++21212(1)()1m y y m y y =++++2222121022m m m m +=--+=++解得22m =±0y ±=.（3）设直线l 方程为：y kx b =+，()()()11222,,,,1,0A x y B x y F ，由已知可得：1212211y y k x x +=--，即1212211kx b kx b k x x +++=--.1212122()()22(1)(1)kx x b k x x b k x x ∴+-+-=--，化简得：12()(2)0b k x x ++-=.若0b k +=，则:l y kx k =-经过2F ，不符合条件，因此122x x +=.联立直线与椭圆方程得：222(21)4(22)0k x kbx b +++-=.因为228(21)0k b ∆=-+>，即22210k b -+> ①由1224221kb x x k +=-=+得：2212k b k+=-②将②代入①得：222212102k k k ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，解得：212k >令()12f k k k =--，则()222112122k f k k k -'=-+=当212k >时，()0f k '<，()12f k k k ∴=--在,2⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭或,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，()2f k f ⎛⎫∴>-= ⎪ ⎪⎝⎭或()2f k f ⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭所以b 的取值范围为：(,)-∞+∞ .【点睛】本题考查了椭圆与直线的综合性问题，关键是联立方程组，用韦达定理进行求解，考查了分析能力和计算能力，属于难题.21.若数列{}n a 对任意连续三项12,,i i i a a a ++，均有()()2210i i i i a a a a +++-->，则称该数列为“跳跃数列”.（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列：①等差数列：1,2,3,4,5, ；②等比数列：11111,,,,24816-- ；（2）若数列{}n a 满足对任何正整数n ，均有11na n a a +=()10a >.证明：数列{}n a 是跳跃数列的充分必要条件是101a <<.（3）跳跃数列{}n a 满足对任意正整数n 均有21195nn a a +-=，求首项1a 的取值范围.【答案】（1）①等差数列：1,2,3,4,5,...不是跳跃数列；②等比数列：11111,,,,, (24816)--是跳跃数列.（2）证明见解析（3）()(12,23,a ∈-U 【解析】【分析】（1）①数列通项公式为n a n =，计算可得：()()22120i i i i a a a a +++--=-<，所以它不是跳跃数列；②数列通项公式为：112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，计算可得：()()222191042ii i i i a a a a +++⎛⎫--=⨯-> ⎪⎝⎭，所以它是跳跃数列；（2）必要性：若11a >，则{}n a 是单调递增数列，若11a =，{}n a 是常数列，均不是跳跃数列；充分性：用数学归纳法证明证明，1n =命题成立，若n k =时2121222221,k k k k k k a a a a a a -+++<<>>，可得：222423k k k a a a +++>>，所以当1n k =+时命题也成立；（3）有已知可得：21n n a a ++-()()221519195125n n n n a a a a =----，2n n a a +-()()()2123195125n n n n a a a a =----，若1n n a a +>，则12n n n a a a ++>>，解得5,22n a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭；若1n n a a +<，则12n n n a a a ++<<，解得53,2n a ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭，由5101,22n a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，则153,2n a +⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭，得()2,2n a ∈-；当51013,2n a ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭，则()12,2n a +∈-，得(n a ∈，问题得解.【详解】（1）①等差数列：1,2,3,4,5, 通项公式为：n a n=()()[][]221(2)2(1)20i i i i a a a a i i i i +++--=-++-+=-< 所以此数列不是跳跃数列；②等比数列：11111,,,,,24816-- 通项公式为：112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭()()11122211111910222242i i i i ii i i i a a a a -+++++⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=------=⨯->⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 所以此数列是跳跃数列（2）必要性：若11a >，则{}n a 是单调递增数列，不是跳跃数列；若11a =，{}n a 是常数列，不是跳跃数列.充分性：（下面用数学归纳法证明）若101a <<，则对任何正整数n ，均有2121222221,n n n n n n a a a a a a -+++<<>>成立.①当1n =时，112111a a a a a =>=，213112a aa a a a =<=，1212131111,a a a a a a a a =<∴=>=Q ，231a a a ∴>>321231111342,,a a a a a a a a a a a a >>∴<<<<Q ，所以1n =命题成立②若n k =时，2121222221,k k k k k k a a a a a a -+++<<>>，则22221212322,kk k a a a k k k aa a a a a +++++<<∴<<，212322222423,k k k a a a k k k a a a a a a ++++++>>∴>>，所以当1n k =+时命题也成立，根据数学归纳法，可知命题成立，数列满足()()2210i i i i a a a a +++-->，故{}n a 是跳跃数列.（3）21195n n a a +-=()222212191919251919555125n n n n a a a a ++-⎛⎫- ⎪⨯---⎝⎭∴===()22221192519191255n n n n a a a a ++⨯---∴-=-()()221519195125n n n n a a a a =----()222192519125n n n n a a a a +⨯---=-()()()2123195125n n n n a a a a =----①若1n n a a +>，则12n n n a a a ++>>，()()()()()222151919501251231950125n n n n n n n n a a a a a a a a ⎧----<⎪⎪∴⎨⎪---->⎪⎩解得5101,22n a ⎛⎫∈ ⎪⎪⎝⎭；②若1n n a a +<，则12n n n a a a ++<<，()()()()()222151919501251231950125n n n n n n n n a a a a a a a a ⎧---->⎪⎪∴⎨⎪----<⎪⎩解得51013,2n a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭；若5101,22n a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，则211951013,52n n a a +⎛-+=∈ ⎝⎭，所以()2,2n a ∈-，若51013,2n a ⎛+∈ ⎝⎭，则()21192,25n n a a +-=∈-，所以(n a ∈，所以()(12,2a ∈-U ，此时对任何正整数n ，均有()(2,2n a ∈-U 【点睛】本题考查了与数列相关的不等式证明，考查了数学归纳法，考查了分类与整合思想，属于难题.。
浦东新区2019学年度第二学期期中教学质量监测高三数学答案及评分细则2020.05一、填空题（本大题满分54分）本大题共有 12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分•考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分.1 •设全集 U 0,1,2，集合 A 0,1，则 C u A _2 _______________ •2. 某次考试，5名同学的成绩分别为：96,100,95,108,115，则这组数据的中位数为_100_ 13. 若函数 f xx 2，贝U f 1 1 —1 ______ •4•若1 i 是关于x 的方程x 2 px q 0的一个根（其中i 为虚数单位，p,q R ），则 p q 0 5•若两个球的表面积之比为 1: 4则这两个球的体积之比为 ____ 1: 8 _______ •x t 16•在平面直角坐标系xOy 中，直线I 的参数方程为t 为参数，圆O 的参数方程y tx cos为为参数，则直线I 与圆O 的位置关系是相交y sin1x 4{—23n厂7.若二项式1 2 展开式的第4项的值为4.2，则lim x x xx _5_.n-- 28•已知双曲线的渐近线方程为 y x ，且右焦点与抛物线 y4x 的焦点重合，则这个双曲线的方程是 _2x 2 2y 21 ________ .9.从mm N ，且m 4个男生、6个女生中任选2个人当发言人，假设事件A 表示选 出的2个人性别相同，事件B 表示选出的2个人性别不同.如果A 的概率和B 的概率相等， 则 m 10 • x 2 a log 2 x 2 2 a 2的零点有且只有一个，则实数a 的取值集合、选择题（本大题满分 20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案•考生必须10.已知函数f x 为⑴•11.如图，在 ABC中,BAC —，D 为AB 中点，P 为3 CD 上一点，且满足 AP tAC 1-AB ，若 ABC 的面积为 312.已知数列a n ,b n 满足a 1bi 对任何正整数 n均有 a n 1 a nbnanQi ，bn 1anC n 3n1 丄 a nb n'则数列 q 的前2020项之和为 ______________ . 【解】a n 1 b n 1 2 a n +bna n 1b n 1 2a n b na n bn 2“a n 1，C n b n 2n ，2 3n 3n 1n 20213 ， S2020 3 3警，则网的最小值为」—.16.设集合S 1,2,3,...,2020，设集合A 是集合S 的非空子集，A 中的最大元素和最小 元素之差称为集合 A 的直径.那么集合 S 所有直径为71的子集的元素个数之和为（C ） A .71 1949 B . 270 1949 C .270 37 1949 D. 270 72 1949三、解答题（本大题满分 76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤.17 .（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为 2 的正方形ABCD （及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴顺 时针旋转120得到的. （1） 求此几何体的体积；（2） 设P 是弧EC 上的一点，且 BP BE ，求异面 直线FP 与CA 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）【解答】（°因为S 扇形EBC48 所以，V S h 2. ........ (7 分)33（2）如图所示，以点 B 为坐标原点建立空间直 角坐标系.则 A 0,0,2 , F 2,0,2 , P 0,2,0 ,C 1, ■ 3,0 .所以，FP 2,2, 2 ,AC 1, .3, 2 ................. ..................... （ 11 分）设异面直线FP 与CA 所成的角为 ，则在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得x y 0 y1，则目标函数f 2x 13 .若x 、y 满足 xA .114.如图，正方体 上的点， A .C . 在平面 有一条 有无数条 y B .A 1B 1C 1D 1 ABCD 中，E 、F 分别为棱ADD 1A 内且与平面DEF 平行的直线B .有二条 D.不存在C .35分，否则一律得零分.15.已知函数f X cosx cosx •给出下列结论:①f X 是周期函数;函数f X图像的对称中心 (k + ?,0)(kf x 2 ，则 X i x 2 k④不等式sin2 x sin2 cos2 x cos2 x 的解集为则正确结论的序号是 A .①②（B .②③④C . ①③④ D. ①②④y 的最大值为B(Z)；(4分)cos FP ACFP AC 2 1 2 3 2 2 2 （13 分）晶迈arccos — 4 14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 、的顶点与坐标原点重合， 始边与x 轴正方向重合，终边与单位圆分别交3.10 2、5所以，异面直线FP 与CA 所成角为 18.（本题满分已知锐角于P 、Q 两点, P 、Q 两点的横坐标分别为105（14 分） （1 ）求 cos （2）在 ABC 中, tan A -，且 a 2 4 的大小；a 、b 、c 为三个内角A 、C 对应的边长，若已知角 C【解答】（1）由已知 因而 cos （ + ）=cos bccos cosc 2，求 3 10 10sin （2）法一：（正弦定理）由已知, sin B s "（A C ）叫A）的值.sinsin10 .cos 10 3 10 102,5 2.5 . ,sin 5 102 a I bc • 2 A ■ 2sin A sin C sin BsinC 3 5 _9 25 ,cosC 4 丄2 1 2 5迈i C ,sin C 2 7.2 10J 5 辽2.5 5 J 2（2分） 6分）法二：（余弦定理） 7 2 2 10 2 2b 2bccosA , （14 分）•（7 分）（10 分）因而由已知得b 2 2bccosA= bc 法三：（余弦定理、 正弦定理）因而由余弦定理得: b 2 2 c 2a 2a sin B sin C7.2102cosBcos （— 4 C ） 102c b 2 2ac cosBccosB bcosC2ab cosC 22c b 1022同理a 2c 得 a L^c,b5b 22 a 2cb 22bc 2ab cosAb ccosA acosCcosC2 2a c bc24定理）可得a ccosB bcosC而c pb ,4 b ccosA acosC c5下同解法二19. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额 在3万元至6万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案. 方案要求同时具备下列 两个条件：①补助款 f x （万元）随企业原纳税额 x （万元）的增加而增加；②补助款不 低于原纳税额x （万元）的50% •经测算政府决定采用函数模型b 为参数）作为补助款发放方案.（1）判断使用参数b 12是否满足条件，并说明理由; （2）求同时满足条件①、②的参数 b 的取值范围.3 3，所以当b 12时不满足条件②.4 2....... （6 分）解得b，所以当b 12时不满足条件②. .......... （6分）4（注：如果证明了当b 12时满足条件①得2分）（2）法一：由条件①可知， f x 在3,6上单调递增，则对任意 3 x , x 2 6时,有 f （xj f （X ） x b 4昼 b 4 （音X 2）儿2 0恒成立,44 X 24x^2即 x 1x 2 4b 0b 1 x/2恒成立，所以 b9 ♦ ........."•（ 10 分）44由条件②可知，fxxx 即不等式一b 4 1 x 在 3,6 上恒成立，24 x2十 1239所以bx 4x-（ 134max4综上，参数b 的取值范围是9 39••…（14分）4’ 4x b法二：由条件①可知，f x 4在3,6上单调递增，4 x所以当b 0时，满足条件；当b 0时，得^~b 39b 0,x b , f x4 （其中4 x【解答】（1）法一：因为当b 12时，f 3法二：由条件②可知 x 12 1x — 4 —x x 4,124 x 2 因为34,12，所以当b法三：由条件②可知xx2在吐上恒成立，所以b4xmax12时不满足条件②.6分）9所以b - ..................... ( 10分)4b........... ( 13 分)4-39 综上，参数b 的取值范围是-,3 4 420. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小 题满分6分.2x 在平面直角坐标系xOy 中，F 1, F 2分别是椭圆 ：飞 y 2 1 a 0的左、右焦点, a直线I 与椭圆交于不同的两点 A 、B ，且AF 1 AF 2 2J2.(1) 求椭圆 的方程；(2) 已知直线I 经过椭圆的右焦点 F 2 , P,Q 是椭圆上两点，四边形 ABPQ 是菱形, 求直线I 的方程；(3) 已知直线I 不经过椭圆的右焦点 F 2,直线AF 2 , I , BF 2的斜率依次成等差数列， 求直线I 在y 轴上截距的取值范围.【解答】(1)由AF 1 + AF 2 =^/2可得2a 2血，从而a 42 ,2椭圆方程为y 2 1. ..................... (4分)2(2)由于四边形 ABPQ 是菱形，因此 AB//PQ 且| AB | |PQ|.由对称性，F 1在线段PQ 上. 因此, AP,BQ 分别关于原点对称；并且由于菱形的对角线相互垂直，可得 AP BQ , 即 OA OB . .........(6分)设I : x 1 my,与椭圆方程联立可得 (m 22)y 2 2my 10, 设??(????),????,??),因2m1此y ry 22小 ，y 〃22小.(8分)m 21 292m 12m 2由ym 0 ,可得(m1)y 1 y 2 m(y 1 y 2)1221 0,m 2 m 2解得m2,即直线方程为 x 2y 1 0.••…-(10 分)(3) 设I : y kx b ，由k 1k22k ，可得1y 22kX 1 1 x 2 1即心b kx 2 b2k .X 1 1x 2 1化简可得2kx 1x 2 (b k)(X 1 X 2) 2b 2k(x 11)(x 2 1),即(b k)(X 1 X 2 2) 0.若b k 0，则I ： y kx k 经过 F 2，不符，因此 X 1 X 2 2.……(12分)联立直线与椭圆方程， (2k 2 1)x 2 4kbx (2 b 22) 0.因为8(2k 2 b 2 1) 0 ①由条件②可知,x x b小2，即不等式4 x 4在3,6上恒成立，所以3 b4 3 6 b 4 64，得(14 分)② （14 分）列的充分必要条件是 0^1.1 1 1 1② 等比数列：1,,,,,...是跳跃数列. ........................ （4分）2 4 8 16（2）必要性：若a 1 1，则a n 是单调递增数列，不是跳跃数列; 若a 1 1， a n 是常数列，不是跳跃数列 ............... （6分） 充分性：下面用数学归纳法证明：右0 a 11，则对任何正整数n ，均有a 2 n 1a2n 1 a2 n, a2n a 2n 2 a2n 1 成立.（1 ）当 n 1 时，，a 2a/ a 1， a 3 a/2 耳丙 &2，Qa 2 护 1, a 2a 3 a 12ar a 1，a 2 Qa 2 a 3 ai, a/2 a 「a「 ,a 3a 4（2） 若n k 时, a2k1a 2k 1a2k,a2k则 a a2k a a2k2—a2k 1a ,a2k 1a2k 3a 2k aa2k1aa2k 3aa2k 2Ja2k 2 a2k 4a2k根据数学归纳法，可知命题成立, 数列满足列.（3）a n 1 a n119 2 an5an1 5a n 2an 12 a5a n19 19 a ；125an 2a n1 a n2 a n3 19 2 a n125[1]若 a n 1an ， 则a n1an 2an ， 此时由 x 1 x 24kb2k 212，可得，b 2k 2 1 2k将②代入①，可得，b （4k 2 2k 2 1,k 21；再由 b2,2、2） （2、.2,）. ................ 1 12（2k k ），（16 分）21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小 题满分8分.若数列a n 对任意连续三项 a i , a i 1,a i 2，均有 为“跳跃数列”.（1 ）判断下列两个数列是否是跳跃数列： ①等差数列： 3i 3i 2a i 2 a i 1 0 ,则称该数列②等比数列: （2）若数列1,234,5,; ,1111 1 ;1J J JJ ?2 48 16a n 满足对任何正整数n ,均有a n 1ai 0 •证明：数列a n 是跳跃数 2a 5【解答】（1）① 等差数列：1,2,3,4,5，…不是跳跃数列；••… （3）跳跃数列 a n 满足对任意正整数 n 均有a . 119 ，求首项31的取值范围.（2分）② （14 分）a 3 q ................ （8 分）a 2，所以n 1命题成立 ......... （9分）a2k 2 a2k 1 ，2， 3，所以当n k 1时命题也成立 .......................................... （10分）a i a i 2 a i 2 a i 10，故 a n 是跳跃数5a n ，........... （11 分） 5a n ，…............ （12 分）5 而小... （4 Aan,2； (2)（14 分 ）右a n5 . 101,2 ，则 a n 119 a 2 53 — .而 所以a n2,2252若a n3 5 V 10T，则 a n 12 19 an2,2 ，所以a r .3,刀.25所以a 12,2 U 3,21 ,此时对任何正整数 n , 均有a n2,2 U 3, ..2（18 分）[2]若 a n 1 a n ，则 a n 1 a n 2 a n ，此时 a n3,」2（16 分）。
