高三数学二模卷

上海市长宁区2024届高三二模数学试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.已知集合 1,2A ， 1,3,B a ，若A B ，则a ．2.不等式213x 的解集为．3.在41x的展开式中2的系数为．4.在5.若3a6.直线27.8.的取值9.10.的横11.出租车没有载客行驶的里程出租车空驶率出租车行驶的总里程．依据上述数据，小明建立了求解三辆车空驶率的模型,,,u f t s k a ，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为23.26%、21.68%、%x ，则x．（精确到0.01）12.已知平面向量a 、b 、c满足：a b 2c ，若0c a c b ，则a b 的最小值为．二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.设z C ，则“z z ”是“z R ”的（）.A 充分不必要条件；.B 必要不充分条件；.C 充要条件；.D 既不充分也不必要条件．14.已知直线a 、b 和平面 ，则下列判断中正确的是（）.A 若//a ，//b ，则//a b ；.B 若//a b ，//b ，则//a ；.C 若//a ，b ，则a b ；.D 若a b ，//b ，则a ．15.某运动员8次射击比赛的成绩为：9.6，9.7，9.5，9.9，9.4，9.8，9.3，10.0．已知这组数据的第x百分位为m ，若从这组数据中任取一个数，这个数比m 大的概率为0.25，则x 的取值不可能是（）.A 65；.B 70；.C 75；.D 80．16.设数列 n a 的前n 项和为n S ，若存在非零常数c ，使得对任意正整数n ，都有n a c ，则称数列n a p ．.A .C 三、17.（1）（2） y g x 的值域．第18题图18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在长方体1111ABCD A B C D 中，2AB AD ，11AA ．（1）求二面角1D AC D 的大小；（2）若点P 在直线11A C 上，求证：直线//BP 平面1D AC ．19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）盒子中装有大小和质地相同的6个红球和3个白球．（1）从盒子中随机抽取出1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其颜色相同的球3个，然后再从盒子随机取出1个球，求第二次取出的球是红球的概率；（2）从盒子中不放回地依次随机取出2个球，设2个球中红球的个数为X ，求X 的分布、期望和方差．已知椭圆22:163x y ，O 为坐标原点．（1）求 的离心率e ；（2）设点 1,0N ，点M 在 上，求MN 的最大值和最小值；（3）点 2,1T ，点P 在直线3x y 上，过点P 且与OT 平行的直线l 与 交于A 、B 两点．试探究：是否存在常数 ，使得2PA PB PT 恒成立？若存在，求出该常数的值；若不存在，请说明理由．设函数 y f x 的定义域为D ，若存在实数k ，使得对于任意x D ，都有 f x k ，则称函数 y f x 有上界，实数k 的最小值为函数 y f x 的上确界．记集合 0,n n f x M f x y x在区间上是严格增函数．（1）求函数21y x（26x ）的上确界：（2）若 3212ln f x x hx x x M ，求h 的最大值；（3）设函数 y f x 的定义域为 0, ．若 2f x M ，且 y f x 有上界，求证： 0f x ，且存在函数 y f x ，它的上确界为0．上海市长宁区2024届高三二模数学试卷-简答D 1B 12023学年第二学期高三数学教学质量调研试卷参考答案和评分标准一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1.2； 2. 1,2 ；3.4；4.23； 5.1； 6.47.无关；8. 1,02,2；9.3 ；10.13；11.20.68；12.2二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）13.C ；14.C ；15.D ；16.B三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.解：（1）sin 26f x x.每空2分，解析式2分（2） 22sin sin sin sin sin cos 2g x x x x x x x1111cos 2sin 222242x x x，……..4分因为0,2x ，所以32,444x ，进而sin 242x，…….6分所以函数y g x的值域为12………8分18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.解：（1）设BD 与AC 相交与E ，连接1D E 因为ABCD 为正方形，所以BD AC ，又因为1DD 平面ABCD ，所以DE AC ，…….2分所以1D ED 即为二面角1D AC D 的平面角，……..4分由已知DE 1tan D EDD1B1二面角1D AC D的大小为arctan2.……..6分（2）连接1BA、1BC因为11//BA CD，所以1//BA平面1D AC，…….2分因为11//BC AD，所以1//BC平面1D AC，……..4分所以平面11//BA C平面1D AC，………6分因为直线BP 平面11BA C，所以直线//BP平面1D AC.………8分方法二：以AB、AD、1AA为x y z、、轴，建立空间直角坐标系.则0,0,0A，2,0,0B，2,2,0C，10,2,1D，………2分因为点P在直线11A C上，所以可设,,1P a a，……..4分设平面1D AC的法向量为,,n x y z，由0n AC，1n AD，得220x y，20y z，所以可取1,1,2n，……..6分因为2,,1BP a a，所以0n BP，进而n BP，又因为BP不在平面1D AC上，所以直线//BP平面1D AC.…….8分19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.解：（1）第一次取出红球的概率为23，取出白球的概率为13，…….2分第一次取出红球，第二次取出红球的概率为231342第一次取出白球，第二次取出红球的概率为111326……..4分所以第二次取出的球是红球的概率为112263………6分（2）2329C112CP X ，116329C C112CP X ，2629C5212CP X ，所以X的分布为01211512212，……….4分1154012122123E X……..6分2151342126E X ，所以 22131676918D XE X E X，…….8分20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.解：（1）设 的半长轴长为a ，半焦距为c ，则a，c ，………2分所以2c e a.……..4分（2）设 ,M x y ，MN……2分因为x ……3分所以当2x时，MN ，……..4分当x 时，MN 取得最大值为1 .…….6分（3）设 ,3P a a ， 11,A x y ， 22,B x y ，则直线13:322l y x a，………2分2222PT a ，………3分11111,3,22a PA x a y a x a x，22221,3,22a PB x a y a x a x………4分将直线l 方程代入椭圆方程得 2222240x a x a 所以 1222x x a ， 21224x x a ，……..5分21212125544PA PB x a x a x x a x x a 25224a ,……..6分得254PA PB PT ，所以存在54，使得2PA PB PT 恒成立.……..8分21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.x得 10f x ，0k ，……3分取21x x ，且2x，由21x x ，得212221f x f x x x①由2x，得 12222122f x f x k x x x ②①式与②式矛盾，所以假设不成立，即对于任意 0,x ，均有 0f x .……6分令 10f x x x，则 231f x y x x因为当0x 时，430y x，所以2f x y 在 0, 上严格增， 2y f x M。

第12题图上海市徐汇区2024届高三二模数学试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.已知集合22A y y x ，集合2430B x x x ，那么A B ．2.已知复数1iz i（i 为虚数单位），则z z ．3.在ABC 中，1AC ，2C ，A，则ABC 的外接圆半径为．4.5.6.7.8.9.10.11.不与O 点重合，轨道与直杆的宽度等因素均可忽略不计），直杆上的点P 满足OP AB ，则OAP 面积的取值范围是．12.如图所示，已知ABC 满足8BC ，3AC AB ，P 为ABC 所在平面内一点．定义点集13,3P AP AB AC R D．若存在点0P D ，使得对任意P D ，满足0AP AP恒成立，则0AP的最大值为．第11题图二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.在下列函数中，值域为R 的偶函数是（）.A 13y x ；.B lg y x ；.C x x y e e ；.D 3cos y x x ．14.为了研究y 关于x 的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）：.A ˆa.B 当x .C .D 15.）.A 若 .B 若 .C .D 若16.三棱锥90 ，二面角P BC A 的大小为45 ，则对以下两个命题，判断正确的是（）①三棱锥O ABC 的体积为83；②点P 形成的轨迹长度为．.A ①②都是真命题；.B ①是真命题，②是假命题；.C ①是假命题，②是真命题；.D ①②都是假命题．第18题图三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须写出必要的步骤】17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数 y f x ，其中 122log 2xf x x ．（1）求证： y f x 是奇函数；（2）若关于x 的方程 12log f x x k 在区间 3,4上有解，求实数k 的取值范围．18.如图，4，ABC 是底面圆O （1）（2）19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）为了解中草药甲对某疾病的预防效果，研究人员随机调查了100名人员，调查数据如右表．（单位：个）（1）若规定显著性水平0.05 ，试分析中草药甲对预防此疾病是否有效；（2）已知中草药乙对该疾病的治疗有效率数据如下：对未服用过中草药甲的患者治疗有效率为12，对服用过中草药甲的患者治疗有效率为34．若用频率估计20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知椭圆224:13x y C ，1A 、2A 分别为椭圆C 的左、右顶点，1F 、2F 分别为左、右焦点，直线l 交椭圆C 于M 、N 两点（l 不过点2A ）．（1）若Q 为椭圆C 上（除1A 、2A 外）任意一点，求直线1QA 和2QA 的斜率之积；（2）若112NF F M，求直线l 的方程；（3）若直线2MA 与直线2NA 的斜率分别是1k 、2k ，且1294k k，求证：直线l 过定点．21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题（i ）满分6分，第2小题（ii ）满分8分）已知各项均不为0的数列 n a 满足2211n n n n n a a a a a（n 是正整数），121a a ，定义函数111!nkn k y f x x k（0x ），e 是自然对数的底数．（1）求证：数列1n n a a是等差数列，并求数列 n a 的通项公式；（2）记函数 n y g x ，其中 1xn n g x e f x ；（i ）证明：对任意0x ， 3430g x f x f x ；（ii ）数列 n b 满足12n n nb a ，设n T 为数列 n b 的前n 项和．数列 n T 的极限的严格定义为：若m 满足：当n m n T 的极限T ．上海市徐汇区2024届高三二模数学试卷-简答参考答案及评分标准2024.4一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1． 3, 2.2 3.14.35.816.17.2108.79.76410.7211.12.3二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.B 14.D 15.C 16.A三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）【解】（1）证明:函数122log 2xy x 的定义域为 22D x x x 或，在D 中任取一个实数x ，都有x D ，并且1111222222()log log log ()222x x x f x f x x x x.因此，122log 2xy x 是奇函数.（2） 12()log f x x k 等价于22x x k x即24122x k x x x x在 3,4上有解．记4()12g x x x，因为()g x 在 3,4上为严格减函数，所以，max ()(3)2g x g ，min ()(4)1g x g ，故()g x 的值域为 1,2 ，因此，实数k 的取值范围为 1,2 ．18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）【解】（1）在椭圆22:143x y C 中，左、右顶点分别为12(2,0)(2,0)A A 、，设点 000,(2)Q x y x ，则12202000220000312244344QA QA x y y y k k x x x x ．（2）设 1122,,,M x y N x y ，由已知可得1(1,0) F ，122111(1,)(+1,)NF x y F M x y，，由112 NF FM 得2211(1,)2(+1,) x y x y ，化简得2121=322 x x y y 代入2222431 x y 可得22114(32)(32)1 x y ，联立2211431 x y 解得117=4=8x y 由112 NF FM 得直线l 过点1(1,0) F ，7(,4 N ，所以，所求直线方程为=(1)2y x.（3）设 3344,,,M x y N x y ，易知直线l 的斜率不为0，设其方程为x my t （2 t ），联立22143x my tx y ，可得2223463120m y mty t ，由2222364(34)(312)0m t m t ，得2234t m ．由韦达定理，得234342263123434， mt t y y y y m m ．1294k k ，34349224y y x x ．可化为 343449220 y y my t my t ，整理即得 223434499(2)9(2)0 m y y m t y y t ，222223126499(2)9(2)03434t mt m m t t m m ，由20t ，进一步得2222(49)(2)183(2)03434m t m t t m m ，化简可得16160t ，解得1t ，直线MN 的方程为1x my ，恒过定点(1,0)．21.（本题满分18分，第（1）小题满分4分，第（2）（i ）满分6分，第（2）（ii ）满分8分）（方法二）而对于任意0u ，只需22e n u 且4n 时，可得22222222222!123n n e e e u e n n u个…….故存在22max ,5e m u，当n m 时，恒有n T T u ，因而n T 的极限2T e .。

上海市静安区2024届高三二模数学试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.中国国旗上所有颜色组成的集合为．2.已知i 是虚数单位，复数2z im i是纯虚数，则实数m 的值为．3.函数1lnxy 的定义域为． 4.5.N 闭区间6.2,6 内，7.8.①a 9.10.0,1,2i ）个次品的概率如下：则各批产品通过检查的概率为．（精确到0.01）11.已知实数 0,6a ，记 f x x a．若函数 y f x 在区间 0,2上的最小值为2 ，则a 的值为．12.我们称右图的曲线为“爱心线”，其上的任意一点 ,P x y都满足方程2220x x y y ．现将一边在x 轴上，另外两个顶点在爱心线上的矩形称为心吧．若已知点,2M到“爱心线”上任意一点的最小距离为d ，则用d 表示心吧面积的最大值为．二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.函数2sin cos y x x （x R ）的最小正周期为（）.A14.设）.A // ；.C ，则// ．15.设.A16.于任意的,a b Z ，方程x a b 与a y b 都有整数解；而实数集R 关于实数的乘法（ ）不构成群，因为方程01y 没有实数解．以下关于“群”的真命题有（）①自然数集N 关于自然数的加法（ ）构成群；②有理数集Q 关于有理数的乘法（ ）构成群；③平面向量集关于向量的数量积（ ）构成群；④复数集C 关于复数的加法（ ）构成群．.A 0个；.B 1个；.C 2个；.D 3个．第12题图第18题图三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须写出必要的步骤】17.（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3a ，5b ，7c ．（1）求角C 的大小；（2）求 sin A C 的值．18.（本题满分15分，第1小题满分5分，第2小题满分10分）某高中随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：cm ），按照区间 160,165， 165,170， 170,175，175,180， 180,185分组，得到样本身高的频率分布直方图（如下图所示）．（1）求身高不低于170cm 的学生人数；（2）将身高在 170,175， 175,180， 180,185区间内的学生依次记为A 、B 、C 三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人．①求从这三个组分别抽取的学生人数；②若要从6名学生中抽取2人，求B 组中至少有1人被抽中的概率．第19题图1第19题图219.（本题满分15分，第1小题满分6分，第2小题满分9分）如图1所示，ABCD是水平放置的矩形，AB ，2BC ．如图2所示，将ABD 沿矩形的对角线BD 向上翻折，使得平面ABD 平面BCD ．（1）求四面体ABCD 的体积V ；（2）试判断与证明以下两个问题：①在平面BCD 上是否存在经过点C 的直线l ，使得l AD ？②在平面BCD 上是否存在经过点C 的直线l ，使得//l AD ？第20题图江南某公园内正在建造一座跨水拱桥．如平面图所示，现已经在地平面以上造好了一个外沿直径为20米的半圆形拱桥洞，地平面与拱桥洞外沿交于点A 与点B ．现在准备以地平面上的点C 与点D 为起点建造上、下桥坡道，要求：①BD AC；②在拱桥洞左侧建造平面图为直线的坡道，坡度为1:（坡度为坡面的垂直高度和水平方向的距离的比）；③在拱桥洞右侧建造平面图为圆弧的坡道；④在过桥的路面上骑车不颠簸．（1）请你设计一条过桥道路，画出大致的平面图，并用数学符号语言刻画与表达出来；（2）并按你的方案计算过桥道路的总长度；（精确到0.1米）（3）若整个过桥坡道的路面宽为10米，且铺设坡道全部使用混凝土.请设计出所铺设路面的相关几何体，提出一个实际问题，写出解决该问题的方案，并说明理由（如果需要，可通过假设的运算结果列式说明，不必计算）．已知k R ，记 xxf x a k a （0a 且1a ）．（1）当e a （e 是自然对数的底）时，试讨论函数 y f x 的单调性和最值；（2）试讨论函数 y f x 的奇偶性；（3）拓展与探究：①当k 在什么范围取值时，函数 y f x 的图像在x 轴上存在对称中心？请说明理由；②请提出函数 y f x 的一个新性质，并用数学符号语言表达出来．（不必证明）上海市静安区2024届高三二模数学试卷-简答）2211030,3032210100,03250040,030x x x x x x ；（2）63.9m ；（3）略．参考答案与评分标准一、1．{红，黄}；2．21；3．)1,2( ；4．2；5．1360；6．5π3；7．1 ；8．②③④；9．5；10．0.91；11．3；12．225d ．二、13．A ；14．C ；15．D ．16．B ．三、17．解：(1)由余弦定理，有212cos 222ab c b a C ，所以3π2 C …………………6分(2)解1：由正弦定理，有C c B b sin sin ，即.1435sin sin c C b B 所以B B C A sin )πsin()sin( .1435………………………6分解2：由正弦定理，有C cA a sin sin ，即.1433sin sin c C a A 所以.1413sin 1cos 2 A A 故，.1435sin cos cos sin )sin( C A C A C A ………………………6分解3：由余弦定理，有14132cos 222 bc a c b A ，所以.1433sin A 故，.1435sin cos cos sin )sin( C A C A C A ………………………6分18．解:(1)由频率分布直方图可知515(0.070.040.020.01)x ，所以1[150.14]0.065x ．身高在170cm 以上的学生人数为100(0.0650.0450.025)60 (人)．(2)A ,B ,C 三组的人数分别为30人,20人,10人.因此应该从A ,B ,C 三组中每组各抽取630360(人),620260 (人),610160(人)．………………………4分设A 组的3位同学为1A ,2A ,3A ,B 组的2位同学为1B ,2B ,C 组的1位同学为1C ,则从6名学生中抽取2人有15种可能：12(,)A A ,13(,)A A ,11(,)A B ,12(,)A B ,11(,)A C ,23(,)A A ,21(,)A B ,22(,)A B ,21(,)A C ,31(,)A B ,32(,)A B ,31(,)A C ,12(,)B B ,11(,)B C ,21(,)B C .其中B 组的2位学生至少有1人被抽中有9种可能：11(,)A B ,12(,)A B ,21(,)A B ,22(,)A B ,31(,)A B ,32(,)A B ,12(,)B B ,11(,)B C ,21(,)B C .所以B 组中至少有1人被抽中的概率为93155P．……………6分19．解：(1)过点A 作AE BD ，垂足为E ．因为平面 ABD 平面BCD ，有AE 平面BCD，则AE ……………………4分所以11122332BCD V S AE△．.........2分(2)①在平面BCD 上存在经过点C 的直线l ，使得AD l ． (1)证明：过点C 作CF BD ，垂足为F ．因为AE 平面BCD ，则DE 为AD 在平面BCD 内的投影．由三垂线定理，CF AD ，则存在l AD ．…4分②在平面BCD 上不存在经过点C 的直线l ，使得AD l //…1证明：假设存在//l AD ，因为AD 不在平面BCD 内，则//AD 平面BCD ，与AD 平面BCD D 矛盾．…3分所以不存在//l AD ．注：用异面直线判断定理证明给满分．20．解1：如图，以线段AB 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系.…………………1分则，圆O 的方程为10022 y x ；由221tanC ，10 OE 得220 ，30 CO ．过点C 作圆O 的切线DE ，切点为E ，直线CE 的斜率为221，其方程为)30(221x y ．所以直线OE 的斜率为22 ，其方程为x y 22 ，将其代入10022 y x ，得点E 的坐标为3220,310．经过点D 作圆M 与圆O 切于点F （圆O 与y 轴的交点），设圆M 的半径为r ，则，222DM OM OD ，即222)10(30r r ，解得50 r ．所以，圆M 的方程为22250)40( y x ，故，用函数表示过桥道路为：.300,402500,0310,100,31030),30(22122x x x x x x y ……………………3分BD(2)解1：由点E 的坐标为3220,310，得22arctan 2πEOF ，所以圆弧EF 的长为22arctan 2π10 3.398，……………………2分由点D 的坐标为 0,30，点M 的坐标为 40,0 ，得43arctan DMF ，所以圆弧FD 的长为43arctan 50 32.175，……………………2分故，过桥道路的总长度为 22022arctan 2π1043arctan 50 9.63 m ．……2分解2：(1)如图建系…………………………………………………………1分作圆N 与x 轴相切于点D ，并和圆O 切于点G ，设圆M 的半径为r ，则，222ON DN OD ，即222)10(30 r r ，解得40 r ．所以，圆N 的方程为22240)40()30( y x ，将直线OG 的方程代入10022 y x 得，点G 的坐标为6,8故，用函数表示过桥道路为：.306,)30(160040,6310,100,31030),30(22122x x x x x x y …………………3分(2)因为3220,310OE ，)8,6( OG ，则15283,cosOG OE OG OE ，即，15283arccos , OG OE ．所以圆弧EG 的长为15283arccos10 9.833．……………………2分又由点G 的坐标为)8,6(，得34arctan 2π OND ，所以圆弧GD 的长为 34arctan 2π40 25.740．………………………2分故，过桥道路的总长度为 22015283arccos10 34arctan 2π40 63.9m ． (2)分(3)设计让桥的侧面所在平面垂直于地平面，则桥拱左侧铺设的是以曲边形ACE 为底面，高为10米的柱体；桥拱右侧铺设的是以曲边形BDF (BDG )为底面，高为10米的柱体；……………………2分提问：铺设坡道共需要混凝土多少立方米？……………………2分方案1：AOE COE ACE S S S 扇形曲边形BOFDOM DMF BDF S S S S 扇形扇形曲边形 所以，铺设过桥路需要混凝土10(BOF DOM DMF AOC COD S S S S S 扇形扇形扇形 )3m ．………2分方案2：AOE COE ACE S S S 扇形曲边形BOGDNG ODN BDG S S S S 扇形扇形曲边形 所以，铺设过桥路需要混凝土10(BOF DNG ODN AOC COD S S S S S 扇形扇形扇形 )3m ．………2分注:1、用直线和圆的方程表示坡道给满分；2、在拱桥右边设计与圆拱相切，切点不在圆拱最高点的上凸圆弧坡道，若计算正确，可酌情给满分；3、在拱桥右边设计与圆拱相切，与水平线相交的下凸圆弧作为坡道，若计算正确，可酌情给满分．4、若学生在拱桥左边设计圆的割线段，建议各扣1分；5、在拱桥右边设计相交圆弧作为坡道，但计算正确，建议各扣1分．21．解：(1)xx k x f e e )('，当0 k 时，0)(' x f ，故函数)(x f y 在R 上为严格增函数；……………………1分函数)(x f y 在R 上无最值．……………………1分当0 k 时，令0)(' x f ，得k x ln 21，所以，当k x ln 21,时，0)(' x f ，函数)(x f y 在k ln 21,上为严格减函数；…1分当 ,ln 21k x 时，0)(' x f ，函数)(x f y 在,ln 21k 上为严格增函数．…………1分函数)(x f y 在R 上有最小值0，无最大值．……………………1分(2)因为“)(x f y 为偶函数” “对于任意的R x ，都有)()(x f x f ”对于任意的R x ，都有R x ，并且x x x x a k a a k a ； 对于任意的R x ，0))(1( x x a a k 1 k ．故，1 k 是)(x f y 为偶函数的充要条件．……………………3分因为“)(x f y 为奇函数” “对于任意的R x ，都有)()(x f x f ”对于任意的R x ，都有R x ，并且x x x x a k a a k a ； 对于任意的R x ，0))(1( x x a a k 1 k ．故，1 k 是)(x f y 为奇函数的充要条件．……………………3分当1 k 时，)(x f y 是非奇非偶函数.(3)①当0 k 时，函数)(x f y 有对称中心0),log(21k ．即，当0 k 时，对于任意的R x ，都有R x ，并且))((log x k f a )(x f ．………2分证明：当0 k 时，令0)( x f ，解得)(log 21k x a为函数)(x f y 的零点由xx a k a x f )(得，))((log x k f a ))((log )(log x k x k a a a k a xx a a k )(x f ．……………………2分②答案1：当0 k 时，函数)(x f y 有对称轴k x a log 21．即，当0 k 时，对于任意的R x ，都有R x ，并且)(log x k f a )(x f ．………………3分参考证明：当0 k 时，由xx a k a x f )(得，)(log x k f a )(log log x k xk a aa k a x x a a k )(x f ．答案2：当1 k 时，)(x f y 的图像关于y 轴对称，即，对于任意的R x ，都有)()(x f x f ．………………………………………………1分答案3：当0 k 时，函数)(x f y 的零点为)(log 21k x a，即.0)(log 21k f a …………1分答案4：表述函数)(x f y 的单调性和最值，并写出定义形式各给1分.。

上海市松江区2024届高三二模数学试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.函数 lg 2y x 的定义域是．2.在复平面内，复数z 对应点的坐标是 1,2，则i z ．3.4.已知点5.已知7x 6.7.8.9.已知1F 10.11.已知0 的取值范围是．12.某校高一数学兴趣小组一共有30名学生，学号分别为1,2,3,,30 ，老师要随机挑选三名学生参加某项活动，要求任意两人的学号之差绝对值大于等于5，则有种不同的选择方法．二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.已知集合04A x x ，2,B x x n n Z ，则A B （）.A 1,2；.B 2,4；.C 0,1,2；.D 0,2,4．14.某小区为了倡导居民对生活垃圾进行分类，对垃圾分类后处理垃圾x （千克）所需的费用y （角）的情况作了调研，并统计得到右表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到y 关于x 的线性回归方程为0.70.4y x ，则下列说法错误的是（）.A 变量x 、y 之间呈正相关关系；.B 可以预测当8x 时，y 的值为6；.C 3.9m ；.D 由表格中数据知样本中心点为 3.5,2.85．15.已知某个三角形的三边长为a 、b 及c ，其中a b ．若a 、b 是函数2y ax bx c 的两个零点，则a 的取值范围是（）.A 12．16.设n S ,2k N k ，则12S S ,2k N k ，则12S S .A .C 三、17.设 f x 为 ．（1）（2）， 32f A，求角C ．18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PD 平面ABCD ，E 为PD 的中点．（1）设平面ABE 与直线PC 相交于点F ，求证：//EF CD ；（2）若2AB ，60DAB ，PD ，求直线BE 与平面PAD 所成角的大小．19.现有甲、乙、，且每人能否闯（1）（2） E X ；（3）丙第20题图如图，椭圆22:12y x 的上、下焦点分别为1F 、2F ，过上焦点1F 与y 轴垂直的直线交椭圆于M 、N两点，动点P 、Q 分别在直线MN 与椭圆 上．（1）求线段MN 的长；（2）若线段PQ 的中点在x 轴上，求2F PQ 的面积；（3）是否存在以2F Q 、2F P 为邻边的矩形2F QEP ，使得点E 在椭圆 上？若存在，求出所有满足条件的点Q 的纵坐标；若不存在，请说明理由．已知函数 ln f x x x a （a 为常数），记 y f x x g x ．（1）若函数 y g x 在1x 处的切线过原点，求实数a 的值．（2）对于正实数t ，求证： ln 2f x f t x f t t a ；（3）当1a 时，求证： e cos xg x x x．上海市松江区2024届高三二模数学试卷-简答1参考答案一、填空题1．(2,)2．2i3．0.24．1225．216．37．58．4910．(1,2)11．10,1212．1540二、选择题13．D14．C15．B16．C三、解答题17．解：（1）2()sin sin222f x x x x1cos 1=sin()2262x x x .……3分因为函数()y f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为 ，所以2 T ，即22,1T.所以1()sin(62f x x .……6分（2）由3()2f A，得13sin(),sin()16226A A .2(0,)3A A.……9分，由sin sin a b A B ,sin B，化简得sin 2 B 所以角4 B .……12分所以角23412C .……14分218．解：（1）因为底面ABCD 为菱形，所以//CD AB ，解法2：如图建系，由题可得：2AC BD ，则A， 0,1,0B ， 0,1,0D ， 0,1,P ， 0,1,E ，……8分所以 0,2,BE ， DA， 0,0,DP，设平面PAD 的法向量为 ,,z n x y，由00n DA n DP，得00y ，解得0y z，取1x ，可得平面PAD 的一个法向量为n.……12分设直线BE 与平面PAD 所成角的大小为090，x yzO3则1sin cos 22n BE n BE，解得30 ,所以，直线BE 与平面PAD 所成角的大小为30 .……14分19．解：（1）设“计划依次派出甲乙丙进行闯关，该小组比赛胜利”为事件A ， 甲乙丙各自闯关成功的概率分别为134p ，223p ，312p ，每人能否闯关成功相互独立，解法1： 3323212311144343224P A解法2： P A 123111231(1)(1)(1)143224p p p ．……4分（2）按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，所需派出的人员数目X 的可能取值是1、2、3，11P X p ， 1221P X p p ， 12311P X p p ，所以X 的分布是： 11212123111p p p p p，……7分所以 1121212122(1)3(1)(1)23E X p p p p p p p p p ．……10分（3）若先派丙，再派乙，最后派甲，所需派出的人员数目Y 的分布是： 33232123111p p p p p，则 323223E Y p p p p ，所以 121232322323E X E Y p p p p p p p p ，21313213220p p p p p p p p ……13分所以先派甲，再派乙，最后派丙时，派出的人员数目的数学期望较小．……14分4521.(1)因为 ln +g x x x ，所以 22'g x x x x ，所以 '11g a ．……2分又因为 1ln11a g a ，所以 g x 在1x 处的切线方程为： 11y a x a ．点 0,0O 代入切线方程可得12a ．……4分(2)设函数 0h x f x f t x t ，ln ln +2h x x x t x t x a ，0x t .ln 1ln 1ln x h x x t x t x.……6分令 0h x ，得：2102x x t t x t t x t x ． h x 在,2t t 上严格递增；在0,2t 上严格递减； h x 的最小值为2t h，即总有： 2t h x h ．……8分而 ln +2ln 22222t t t t h f f t t a f t t a∴ ln 2f x f t x f t t a ．……10分6(3)当1a 时，即证1e ln cos xx x x x，（0x ）由于 cos 1,1x ，故e e cos 1x x x x x，只需证1e ln 1xx x x ，……12分令 1e ln 10xk x x x x x，只需证明 0k x .而 22211e e 111x x x x k x x x x x’，……14分因为0x ，所以1e 0x ，令 '0k x 得：01x ，令 '0k x 得：1x ，所以 k x 在1x 处取得极大值，也是最大值，……16分所以 max 12e<0k x k ，故 0k x 在 0,x 上恒成立，结论得证.……18分。

2024届长宁区二模2024.04.07一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分）1.已知集合{}{}1,2,1,,3A B a ==，且A B ⊆，则=a ______．【答案】2【解析】【分析】根据集合自己的概念即可求解．【详解】∵{}{}1,2,1,,3A B a ==，且A B ⊆，∴集合A 里面的元素均可在集合B 里面找到，∴a =2．故答案为：22.不等式|21|3x -<的解集为________.【答案】{|12}x x -<<【解析】【分析】根据绝对值定义化简求解，即得结果.【详解】∵|21|3x -<3213x ⇔-<-<12x ⇔-<<，∴不等式|21|3x -<的解集为{|12}x x -<<.故答案为：{|12}x x -<<.【点睛】本题考查解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.3.在41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为_______．【答案】4【解析】【分析】利用二项式定理的通项公式即可求解.【详解】由二项式定理可知，41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为4421441C C rr r r r r T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令422r -=，解得1r =，所以12224C 4T x x ==，所以二项式41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中含2x 项的系数为4.故答案为：4.4.在ABC ∆中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若222a b bc c =++，则A =_____________.【答案】120︒【解析】【分析】根据已知可化为余弦定理的形式，从而求出A 的余弦，进而求出A.【详解】由题意可知，2221cos 222b c a bc A bc bc +--===-，所以120A =︒.【点睛】本题主要考查了利用余弦定理公式求三角形的角，属于中档题.5.已知236a b ==，则11a b +=________.【答案】1【解析】【分析】首先利用指数和对数互化得到2log 6a =，3log 6b =，再利用换底公式即可得到答案.【详解】由236a b ==可知2log 6a =，3log 6b =，所以66611log 2log 3log 61a b+=+==.故答案为：16.直线230x y --=与直线350x y --=的夹角大小为_______．【答案】π4##45︒【解析】【分析】先由斜率的定义求出两直线的倾斜角，然后再利用两角差的正切展开式计算出夹角的正切值，最后求出结果.【详解】设直线230x y --=与直线350x y --=的倾斜角分别为,αβ，则1tan 2,tan 3αβ==，且[),0,παβ∈，所以αβ>，因为()12tan tan 3tan 121tan tan 13αβαβαβ---===++，所以π4αβ-=，即两条直线的夹角为π4，故答案为：π4.7.收集数据，利用22⨯列联表，分析学习成绩好与上课注意力集中是否有关时，提出的零假设为：学习成绩好与上课注意力集中_______（填：有关或无关）【答案】无关【解析】【分析】根据题意，由零假设的定义，即可得到结果.【详解】零假设等价于两个变量相互独立，所以此题中的零假设为：学习成绩好与上课注意力集中无关.故答案为：无关8.已知函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()2log f x x =，若()1f a >，则实数a 的取值范围为_______．【答案】{1|02a a -<<或}2a >【解析】【分析】由已知结合奇函数的定义可求出0x <及0x =时的函数解析式，然后结合对数函数性质即可求解不等式.【详解】因为函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，所以()00f =，当0x >时，()2log f x x =，当0x <时，0x ->，所以()()()2log f x x f x -=-=-，所以()()2log f x x =--，若()1f a >，当0a >时，可得2log 1a >，解得2a >，当a<0时，可得()2log 1a -->，解得102a -<<，当0a =时，可得01>，显然不成立，故a 的取值范围为{1|02a a -<<或}2a >.故答案为：{1|02a a -<<或}2a >.9.用铁皮制作一个有底无盖的圆柱形容器，若该容器的容积为π立方米，则至少需要_______平方米铁皮【答案】3π【解析】【分析】由柱体的体积公式可得21r h ⋅=，再求出圆柱形容器的表面积，由基本不等式求解即可.【详解】设圆柱形容器的底面半径为r ，高为h ，所以圆柱形容器的体积为2ππV r h =⋅=，所以21r h ⋅=，所以圆柱形容器的表面积为：()22π2ππ3π3πS r rh r rh rh =+=++≥⋅,当且仅当2r rh =，又21r h ⋅=，即1r h ==时等号成立，故至少需要3π平方米铁皮.故答案为：3π.10.已知抛物线2Γ:4y x =的焦点为F ，准线为l ，点M 在Γ上，,30MN l NFM ⊥∠=︒，则点M 的横坐标为_______．【答案】13【解析】【分析】过点F 作FH NM ⊥于点H ，由抛物线定义以及三角函数可用含M 的横坐标M x 的式子表示,NM HM ，注意到()112MN MH NH +==--=，由此即可列方程求解.【详解】如图所示：过点F 作FH NM ⊥于点H ，显然抛物线2Γ:4y x =的焦点为()1,0F ，准线为:l =1x -，由抛物线定义有MF MN =，结合30NFM ∠=︒得180230120NMF ∠=︒-⨯︒=︒，而()11,cos 6012M M MF MN x MH MF x ==+=︒=+，所以()()111111223M M M MN MH x x x +=+++=--=⇔=.故答案为：13.11.甲、乙、丙三辆出租车2023年运营的相关数据如下表：甲乙丙接单量t （单）783182258338油费s （元）107150110264110376平均每单里程k （公里）151515平均每公里油费a （元）0.70.70.7出租车空驶率=出租车没有载客行驶的里程出租车行驶的总里程；依据以述数据，小明建立了求解三辆车的空驶率的模型(),,,u f s t k a =，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为23.26%21.68%%x 、、，则x =_______（精确到0.01）【答案】20.68【解析】【分析】根据题意得到出租车空驶率的模型，检验甲、乙两辆出租车的空驶率，满足题意，从而利用该模型求得丙的空驶率，从而得解.【详解】依题意，因为出租车行驶的总里程为s a，出租车有载客时行驶的里程为tk ，所以出租车空驶率1s tk tka a u s s a -==-，对于甲，7831150.710.232623.26%107150⨯⨯-≈=，满足题意；对于乙，8225150.710.216821.68%110264⨯⨯-≈=，满足题意；所以上述模型满足要求，则丙的空驶率为8338150.7%10.206820.68%110376x ⨯⨯=-≈=，即20.68x =.故答案为：20.68.12.已知平面向量,,a b c 满足：2a b c === ，若()()0c a c b -⋅-= ，则a b - 的最小值为_______．【答案】2【解析】【分析】先利用()2214a b a b a b ⋅=+-- 和()()2240a b a b ++-= 证明228a b --≤ ，再解不等式得到22824a b --≤ ，从而有2a b -≥ ，再验证()3,1a = ，()3,1b =- ，()2,0c =时2a b -= ，即得到a b - 的最小值是2.【详解】由于()()()()()()()2222222211122444a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⋅=++⋅-+-⋅=+--=+-- ，且()()()()()()222222222222101040a b a b a b a b a b a b a b ++-=++⋅++-⋅=+=+= ，故有()()0c a c b =-⋅- ()2c a b c a b =-+⋅+⋅ 2c a b c a b ≥-++⋅ 42a b a b =-++⋅ ()()()221424a b a b a b =-+++-- ()()21424024a b a b =-++-- ()2144024a b =-+--21142a b =--- ，所以228a b --≤ ，记228a b x --= ，则有x ≤，从而120x -≤≤或()21612x x ≤+，即120x -≤≤或824x ≤≤.总之有24x ≤，故22824a b --≤ ，即2a b -≥ .存在()3,1a = ，()3,1b =- ，()2,0c = 时条件满足，且此时2a b -= ，所以a b - 的最小值是2.故答案为：2.【点睛】关键点点睛：对于a b - 的最小值问题，我们先证明2a b -≥ ，再给出一个使得2a b -= 的例子，即可说明a b - 的最小值是2，论证不等关系和举例取到等号两个部分都是证明最小值的核心，缺一不可.二、选择题（13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分）13.设C z ∈，则“z z =”是“R z ∈”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由充分条件和必要条件的定义结合复数的定义求解即可.【详解】设i z a b =+，则i z a b =-，由z z =可得0b =，所以R z a =∈，充分性成立，当R z ∈时，即z a =，则z a =，满足z z =，故“z z =”是“R z ∈”的充要条件.故选：C .14.已知直线,a b 和平面α，则下列判断中正确的是（）A.若//,//a b αα，则//a bB.若//,//a b b α，则//a αC.若//,a b αα⊥，则a b⊥ D.若,//a b b α⊥，则a α⊥【答案】C【解析】【分析】利用空间线线线面的位置关系判断A 错误；举反例判断B 错误；利用线面平行的性质定理和线面垂直性质得到C 正确；由线面平行和线线垂直的性质判断D 错误.【详解】A ：若//,//a b αα，则两直线平行或异面或相交，故A 错误；B ：若//,//a b b α，当直线a 在平面α内时，则直线a 不平行于平面α，故B 错误；C ：若//a α，设过a 的平面与α相交于c ，则//a c ，又因为b α⊥，c α⊂，所以b c ⊥，所以b a ⊥，所以a b ⊥ ，故C 正确；D ：若,//a b b α⊥，则a α⊥或//a α或a α⊂，故D 错误；故选：C.15.某运动员8次射击比赛的成绩为：9.6、9.7、9.5、9.9、9.4、9.8、9.3、10.0；已知这组数据的第x 百分位为m ，若从这组数据中任取一个数，这个数比m 大的概率为0.25，则x 的取值不可能是（）A.65B.70C.75D.80【答案】D【解析】【分析】先利用古典概型分析m 的取值范围，再利用百分位数的定义逐一分析各选项，从而得解.【详解】将该运动员8次射击比赛的成绩从小到大排列：9.3、9.4、9.5、9.6、9.7、9.8、9.9、10.0，因为从这组数据中任取一个数，这个数比m 大的概率为0.25，一共有8个数，所以比m 大的数有两个，则9.89.9m ≤<，对于A ，因为80.65 5.2⨯=，所以第65百分位为第6个数，即9.8，满足题意；对于B ，因为80.7 5.6⨯=，所以第70百分位为第6个数，即9.8，满足题意；对于C ，因为80.756⨯=，所以第75百分位为第6,7个数的平均数，即9.89.99.852+=，满足题意；对于D ，因为80.8 6.4⨯=，所以第80百分位为第7个数，即9.9，不满足题意.故选：D.16.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若存在非零常数c ，使得对任意正整数n ，都有n a c =+，则称数列{}n a 具有性质p ：①存在等差数列{}n a 具有性质p ；②不存在等比数列{}n a 具有性质p ；对于以上两个命题，下列判断正确的是（）A.①真②真B.①真②假C.①假②真D.①假②假【答案】B【解析】【分析】直接构造21n a n =-和()11n n a -=-，说明存在等差数列{}n a 具有性质p ，且存在等比数列{}n a 具有性质p ，从而得到①真②假.【详解】一方面，对21n a n =-，知{}n a 是等差数列.而()211212n S n n n =⋅+-=，令1c =就有2211n n n a c ==-+=+，所以{}n a 具有性质p ，这表明存在等差数列{}n a 具有性质p ；另一方面，对()11n n a -=-，知{}n a 是等比数列.当n 为奇数时，1n a =；n 为偶数时，1n a =-.故当n 为奇数时，1n S =；n 为偶数时，0n S =.故当n为奇数时，2111n a ==+=+；n为偶数时，0111n a ==-+=+.这表明1n a =+恒成立，再令1c =就有n a c =+，所以{}n a 具有性质p ，这表明存在等比数列{}n a 具有性质p .综上，①正确，②错误，故B 正确.故选：B.【点睛】关键点点睛：构造21n a n =-和()11n n a -=-作为例子，直接判断命题的真假，是判断选项正确性的简单有效的方法.三、解答（共78分）17.某同学用“五点法”画函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0π2π3π22πx ∆π65π122π311π12()sin x ωϕ+01∆1-0（1）请在答题卷上将上表Δ处的数据补充完整，并直接写出函数()y f x =的解析式；（2）设()()()2ππ1,0,0,22g x f x f x fx x ωϕ⎛⎫⎛⎫⎡⎤===+-∈ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎣⎦⎝⎭，求函数()y g x =的值域；【答案】（1）补充表格见解析，()πsin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）10,2⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）由表得ππ622π3π32ωϕωϕ⎧⋅+=⎪⎪⎨⎪⋅+=⎪⎩，解方程组即可得,ωϕ，进一步可据此完成表格；（2）由题意结合二倍角公式、诱导公式以及辅助角公式先化简()g x 的表达式，进一步通过整体换元法即可求解.【小问1详解】由题意ππ622π3π32ωϕωϕ⎧⋅+=⎪⎪⎨⎪⋅+=⎪⎩，解得π2,6ωϕ==，所以函数()y f x =的解析式为()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令π206x +=时，解得π12x =-，当5π12x =时，ππ2π,sin 2066x x ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，将表中Δ处的数据补充完整如下表：x ωϕ+0π2π3π22πx π12-π65π122π311π12()sin x ωϕ+0101-0【小问2详解】若1,0ωϕ==，则()22πsin sin sin sin sin cos 2g x x x x x x x ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭1cos 212π1πsin 2sin 20,222422x x x x ⎛⎫-⎛⎫⎡⎤=+=-+∈⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭，因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ3π2,444x⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，进而πsin 2,142x ⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以函数()y g x =的值域为10,2⎡⎤+⎢⎢⎥⎣⎦.18.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AB AD AA ===；（1）求二面角1D AC D --的大小；（2）若点P 在直线11A C 上，求证：直线//BP 平面1D AC ；【答案】（1）6arccos 3（2）见解析【解析】【分析】（1）以A 为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面1ACD 和平面ACD 的一个法向量()1,1,2n =- 和()0,0,1m =，结合向量的夹角公式，即可求解.（2）设()11101A P A C λλ=≤≤ ，求出()2,2,1P λλ，则()22,2,1BP λλ=- ，再由0BP n ⋅=可证明直线//BP 平面1D AC .【小问1详解】以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，所以()()()()0,0,0,0,2,0,2,0,0,2,2,0A D B C ，()()()()11110,0,1,0,2,1,2,0,1,2,2,1A D B C ，因为()()12,2,0,0,2,1AC AD ==，设平面1ACD 的法向量为(),,n x y z = ，则122020n AC x y n AD y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1y =-，可得1,2x z ==，所以()1,1,2n =-，设平面ACD 的法向量为()0,0,1m =所以6cos ,361m nn m n m ⋅===⨯，所以二面角1D AC D --的大小为6arccos3.【小问2详解】设(),,P x y z ，则设()11101A P A C λλ=≤≤ ，()()111,,1,2,2,0A P x y z A C =-=，所以2,2,1x y z λλ===，所以()2,2,1P λλ，()22,2,1BP λλ=-平面1ACD 的法向量为()1,1,2n =-，22220BP n λλ⋅=--+=，因为BP ⊄平面1D AC ，所以直线//BP 平面1D AC .19.盒子中装有大小和质地相同的6个红球和3个白球；（1）从盒子中随机抽取出1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其颜色相同的球3个，然后再从盒子随机取出1个球，求第二次取出的球是红球的概率；（2）从盒子中不放回地依次随机取出2个球，设2个球中红球的个数为X ，求X 的分布、期望与方差；【答案】（1）23（2）分布见解析，期望()()47,318E X D X ==【解析】【分析】（1）由独立乘法公式、互斥加法公式即可运算求解古典概型概率；（2）X 的所有可能取值为0，1，2，它服从超几何分布，结合超几何分布概率的求法求得相应的概率进而可得X 的分布，结合期望、方差计算公式即可求解.【小问1详解】第一次取出红球的概率为23，取出白球的概率为13，第一次取出红球，第二次取出红球的概率为231342⨯=，第一次取出白球，第二次取出红球的概率为111326⨯=，所有第二次取出的球是红球的概率为112263+=；【小问2详解】X 的所有可能取值为0，1，2，()()()21123636222999C C C C 1150,12C 12C 2C 12P X P X P X =========，所以X 的分布为01211512212⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，它的期望为()1154012122123E X =⨯+⨯+⨯=，它的方差为()22214145470121232312318D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.20.已知椭圆22Γ:1,63x y O +=为坐标原点；（1）求Γ的离心率e ；（2）设点()1,0N ，点M 在Γ上，求MN 的最大值和最小值；（3）点()2,1T ，点P 在直线3x y +=上，过点P 且与OT 平行的直线l 与Γ交于,A B 两点；试探究：是否存在常数λ，使得2PA PB PT λ⋅= 恒成立；若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由；【答案】（1）22（2）MN 的最大值为1+（3）54λ=【解析】【分析】（1）利用椭圆方程即可直接求得其离心率；（2）利用椭圆的几何性质，结合两点距离公式与二次函数的性质即可得解；（3）分别利用向量的模与线性运算的坐标表示求得2,,PT PA PB，再联立直线l 与椭圆方程得到1212,x x x x +关于a 的表达式，进而化简PA PB ⋅ 得到PA PB ⋅ 与2PT 的关系，由此得解.【小问1详解】设Γ的半长轴长为a ，半短轴长为b ，半焦距为c ，则a b ==，则c =22c e a ===.【小问2详解】依题意，设(,)M x y，则x ≤≤22163x y +=，故2232x y =-，则MN ==所以由二次函数的性质可知，当2x =时，MN取得最小值为，当x =时，MN1=+【小问3详解】设()()1122(,3),,,,P a a A x y B x y -，又()2,1T，易得12OT k =，则直线l 为()()132y a x a --=-，即13322y x a =+-，而()()22222312(2)PT a a a =-+--=- ，()111111131,3,33,2222a PA x a y a x a x a a x a x ⎛⎫⎛⎫=--+=-+--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，()222222131,3,33,2222a PB x a y a x a x a a x a x ⎛⎫⎛⎫=--+=-+--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，联立2213322163y x a x y ⎧=+-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ，得222(2)3(2)40x a x a +-+--=则()222Δ4(2)43(2)48420a a a a ⎡⎤=--⨯--=--+>⎣⎦，得22a -<<+所以212122(2),3(2)4x x a x x a +=--=--，故()()()()121214PA PB x a x a x a x a ⋅=--+--()()()21212125544x a x a x x a x x a =--=-++()2253(2)4224a a a a =--+-+252(2)4a =-，所以25||||4PA PB PT ⋅= ，故存在54λ=，使得2||||PA PB PT λ⋅= 恒成立.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.21.设函数()y f x =的定义域为D ，若存在实数k ，使得对于任意x D ∈，都有()f x k ≤，则称函数()y f x =有上界，实数k 的最小值为函数()y f x =的上确界；记集合n M ={()()nf x f x y x =在区间()0,∞+上是严格增函数}；（1）求函数2(26)1y x x =<<-的上确界；（2）若()3212ln f x x hx x x M =-+∈，求h 的最大值；（3）设函数()y f x =一定义域为()0,∞+；若()2f x M ∈，且()y f x =有上界，求证：()0f x <，且存在函数()y f x =，它的上确界为0；【答案】（1）2（2）4（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由函数的单调性求出值域再根据题意可得；（2）求出()f x y x=的表达式，求导，再利用()nf x y x=在()0,∞+上严格递增得到导函数大于等于零恒成立，然后利用基本不等式求出最小值即可；（3）假设存在，由单调性可得()()102210f x f x xx>>，再取21x x >，且2x >可得()()212221f x f x x x >，推出①②互相矛盾，然后令()1,0f x x x=->，根据题意求出值域最后确定上确界即可.【小问1详解】因为函数21y x =-在区间()2,6上严格递减，所以函数2(26)1y x x =<<-的值域为2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以函数2(26)1y x x =<<-的上确界为2.【小问2详解】()22ln f x y x hx x x==-+，22,0y x h x x'=-+>，因为记集合n M ={()()nf x f x y x =在区间()0,∞+上是严格增函数}，所以0y '≥恒成立，因为224x h h h x -+≥=-，当且仅当1x =时取等号，所以4h ≤，所以h 的最大值为4.【小问3详解】证明：因为函数()y f x =有上界，设()f x k ≤，假设存在()00,x ∈+∞，使得()00f x ≥，设10x x >，因为()2y f x M =∈，所以()2f x y x=在()0,∞+上严格递增，进而()()102210f x f x xx>>，得()10,0f x k >>，取21x x >，且2x >，由于21x x >，得到()()212221f x f x xx>，①由2x >，得()()12222122f x f x k x x x >≥，②显然①②两式矛盾，所以假设不成立，即对任意()0,x ∈+∞，均有()0f x <，令()1,0f x x x =->，则()231f x y x x==-，因为当0x >时，430y x'=>，所以()2f x y x=在()0,∞+上严格递增，()2y f x M =∈，因为()1,0f x x x=->的值域为(),0∞-，所以函数()1f x x=-的上确界为零.【点睛】关键点点睛：（1）第二问的关键是导函数大于等于零恒成立，用基本不等式求解；（2）第三问关键是根据不等式的结构能够想到取2x >，再得到()()12222122f x f x k x x x >≥与当21x x >，得到()()212221f x f x x x >矛盾.。

上海市浦东新区2024届高三二模数学试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.已知集合 0,1,2A ，集合23xB x ，则A B．2.若复数12z i （i 是虚数单位），则z z z ．3.已知等差数列 n a 满足1612a a ，47a ，则3a．4.23x5.6.已知y7.比为6现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一8.已知圆9.已知f 10.沿着上底面圆周运动半周时，11.为双曲线上一点，若122F MF ，3OM b，则双曲线的离心率为．12.正三棱锥S ABC 中，底面边长2AB ，侧棱3AS ，向量a 、b满足 a a AC a AB ，b b AC b AS，则a b 的最大值为．第10题图第15题图二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.“1a ”是“直线220ax y 与直线 110x a y 平行”的（）.A 充分非必要条件；.B 必要非充分条件；.C 充要条件；.D 既非充分又非必要条件．14.已知a R ，则下列结论不恒成立的是（）.A 114a a ；.B 12a a；.C 123a a ；.D 1sin 02sin a a．15.通过随机抽样，我们绘制了如图所示的某种商品每千克价格（单位：百元）与该商品消费者年需求量（单位：千克）的散点图．若去掉图中右下方的点A 后，下列说法正确的是（）.A “每千克价格”与“年需求量”这两个变量由负相关变为正相关；.B “每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关程度不变；.C “每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大；.D “每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小．16.设 10110mm m m f x a x a xa x a （0m a ，10m ，m Z ），记1n n f x f x （1,2,,1n m ），令有穷数列n b 为 n f x 零点的个数（1,2,,1n m ），则有以下两个结论：①存在 0f x ，使得n b 为常数列；②存在 0f x ，使得n b 为公差不为零的等差数列．那么（）.A ①正确，②错误；.B ①错误，②正确；.C ①②都正确；.D ①②都错误．第18题图三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须写出必要的步骤】17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数 y f x ，其中 sin f x x ．（1）求42f x在 0,x 上的解；（2）已知2g x x f x f x f x，若关于x 的方程 12g x m 在0,2x时有解，求实数m 的取值范围．18.在四棱其中//AD BC ，2AD BC （1）（2）某商店随机抽取了当天100名客户的消费金额，并分组如下： 0,200， 200,400， 400,600，…，1000,2000(单位：元)，得到如图所示的频率分布直方图．（1）800元；（2）人中随机抽取2人（3）次当天消费金额可已知椭圆22:12x C y ，点1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点．（1）若椭圆上点P 满足212PF F F ，求1PF 的值；（2）点A 为椭圆的右顶点，定点 ,0T t 在x 轴上，若点S 为椭圆上一动点，当ST 取得最小值时点S 恰与点A 重合，求实数t 的取值范围；（3）已知m 为常数，过点2F 且法向量为 1,m 的直线l 交椭圆于M 、N 两点，若椭圆C 上存在点R满足OR OM ON（,R ），求 的最大值．已知函数 y f x 及其导函数 'y f x 的定义域均为D ．设0x D ，曲线 y f x 在点00,x f x 处的切线交x 轴于点 1,0x ．当1n 时，设曲线 y f x 在点,n n x f x 处的切线交x 轴于点 1,0n x ．依此类推，称得到的数列 n x 为函数 y f x 关于0x 的“N 数列”．（1）若 ln f x x ， n x 是函数 y f x 关于01x e的“N 数列”，求1x 的值；（2）若 24f x x ， n x 是函数 y f x 关于03x 的“N 数列”，记32log 2n n n x a x ，证明： n a 是等比数列，并求出其公比；（3）若 2xf x a x，则对任意给定的非零实数a ，是否存在00x ，使得函数 y f x 关于0x 的“N 数列” n x 为周期数列？若存在，求出所有满足条件的0x ；若不存在，请说明理由．上海市浦东新区2024届高三二模数学试卷-简答1答案一、填空题1．{2}．2．42 i ．3．5． 4.270．5．0.3．6．425．7．0.18．8． ．9． 1,2．10．2．11．2．12．4．二、选择题13．C 14．B 15．D 16．C三、解答题从而有ππ2π+43x k或π2π2π+43x k ，Z k 解得7π2π+12x k 或11π2π+12x k ，Z k 又 0,πx ，所以7π12x或11π12x .因此π4f x在 0,πx 上的解为7π12、11π12.2cos sin x x x1cos 2sin 222xx2π1sin 262x故1()2g x m在π0,2x时有解等价于πsin 26m x在π0,2x时有解.所以，EC ∥平面PAB .3（2）取AD 中点H ，过P 作 PG AB ，垂足为G ，连接GH由题，PA PD ，H 为AD 的中点，所以PH AD .又平面 PAD 底面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD ，且 PH 平面PAD ，因而PH 平面ABCD ,故PH AB ,PH GH .又PG AB ，故AB 平面PGH .得AB GH .又 PG AB ，所 PGH 就是二面角 P AB D 的平面角.经计算，在△PAD中，PH 在△ABH 中，3BH AB ，2AH，故122ABH S 又11322ABH S AB GH GH,得AB因而，在△PGH 中,3tan 2PH PGH GH所以二面角 P AB D 的大小3arctan 2.（法二）（1）取AD 中点O ，因为PA PD ，O 为AD 中点，所以PO AD .又平面 PAD 底面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD ， PO 平面PAD ，所以PO ABCD 平面.取BC 中点M ，显然，OM OD .如图，以点O 为坐标原点，分别以射线OM 、OD 、OP 为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系.由题意得， E、 C，故 EC.又 P 、 0,2,0A、1,0B ，故 AP，AB.设平面PAB 的法向量 ,, n u v w，则有20v v 不妨取1u，则v 2 ,即1,n.经计算得0 n EC ，故 n EC.又EC 在平面PAB 外，所以EC ∥平面PAB .（2）由题（1）知，平面PAB的法向量11, n ，平面ABCD 的法向量 200,1 ，n，从而121212cos ,13n n n n n n,因此，二面角 P AB D的大小为.19．【解析】因为850840.7 ，所以应选择第二种促销方案.20．【解析】（1）由题得，2(1,0)F ，设点(1,)P P y ，代入椭圆方程，得212Py ，因而22PF.由12PF PF12PF .（2）设动点(,)S x y ，则22222222()212122x x ST x t y x tx t tx t 221(2)12x t t 由题，ST 取得最小值时点S 恰与点A 重合，即函数221(2)12y x t t在x 处取得最小值，又[x，因而2t2t.因此，实数t 的取值范围为[,)2.（3）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，(,)R x y 由OR OM ON ,得1212x x x y y y ，又点R 在椭圆上，代入得221212()2()2x x y y ，化简得22222211221212(2)(2)2(2)2x y x y x x y y ，又点M 、N 在椭圆上，得221212222(2)2x x y y （*）.由题，可设直线:(1)0l x my .联列直线与椭圆方程，得22122x my x y ，得22(2)210m y my .故12222m y y m，12212y y m 因而22121212122221222(1)(1)2(2)1222m m x x y y my my y y m m m m m .代入（*）式，得222222422m m ,因而22221222m m ，（等号当且仅当 时成立）即224m （等号当且仅当 时成立）.所以， 的最大值为224m .21．【解析】（1）曲线ln y x 在点 00,ln x x 处的切线斜率为01x ，又1ln 1e故曲线ln y x 在点1,1e 处的切线方程为11y e x e，令0y ，得2x e.所以12x e.（2）由题， y f x 在n x 处的切线方程为n n n y f x f x x x 令0y ，可得 1n n n n f x x x f x ，即2142n n n x x x .故 21212222n n n n x x x x ，即12n n a a .又1136x，故13log 25a .因此 n a 是以3log 25为首项，2为公比的等比数列.（3）由题，222a x f x a x，故以0020,x x a x 为切点的切线方程为 200022200x a x y x x a x a x .令0y ,可得到301202x x x a.1当0a 时，函数 2xf x a x的大致图像如图所示:因为300202x x x a等价于20x a ,因此，当20x a 时，数列 n x 严格增；同理，当20x a 时，数列 n x 严格减.所以不存在0x 使得 n x 是周期数列.②当0a 时，函数 2xf x a x的大致图像如图所示:令10x x ,可得300202x x x a ，即20=3ax .依此类推，显然可得21x x ，…，-1n n x x .所以，当0x 时，数列 n x 为周期数列，且周期2T .下证唯一性：当203ax 时，322000000222000222<x x x x x x x a x a a x ；因此,数列 n x 严格减；当203ax 时， 202200222,12,x a x a x a ，所以320000220022>--x x x x x a x a ，因此数列 n x 严格增.综上,当0a 时，不存在0x ,使得 n x 为周期数列；当0a时，当且仅当03x a 时，函数 y f x 关于0x 的“N 数列” n x 为周期数列，且周期2T .。

陕西省西安市西北工业大学附属中学2025届高三上学期二模数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.|2+i 2+i 3|=( )A.2B. 2C. 3D. 42.已知集合A ={y∣y =x 2+1}，B ={y∣y =x +1}，则A ∩B =( )A. {y∣y ≥1}B. {0,1}C. {1,2}D. {(0,1),(1,2)}3.cos 2π12−cos 25π12=( )A. 12B.33C.22D.324.若向量a ，b ，c 都是单位向量，且a +b =c ，则a 与a−b 的夹角为( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π65.已知椭圆C:x 2m +y 2=1，则“m=2”是“椭圆C 的离心率为22”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.某商场举办购物抽奖活动，其中将抽到的各位数字之和为8的四位数称为“幸运数”(如2024是“幸运数”)，并获得一定的奖品，则首位数字为2的“幸运数”共有( )A. 32个B. 28个C. 27个D. 24个7.已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n S n =4n −2n2，设b n = 2log 2(S n +1)，将数列{b n }中的整数项组成新的数列{c n }，则c 2024=( )A. 2022B. 2023C. 4048D. 40468.已知可导函数f (x )的定义域为R ，f (x2−1)为奇函数，设g (x )是f (x )的导函数，若g (2x +1)为奇函数，且g (0)=12，则∑10k =1kg (2k )=( )A. 132B. −132C. 112D. −112二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.下列命题中正确的是( )A. 若样本数据x 1，x 2，⋯，x 20的样本方差为3，则数据2x 1+1，2x 2+1，⋯，2x 20+1的方差为7B. 经验回归方程为y =0.3−0.7x 时，变量x 和y 负相关C. 对于随机事件A 与B ，P(A)>0，P(B)>0，若P(A|B)=P(A)，则事件A 与B 相互独立D. 若X ~B (7,12),则P (X =k )取最大值时k =410.已知抛物线C:y 2=2px(p >0)的焦点为F ，准线为l ，过F 的一条直线与C 交于A ，B 两点，若点M 在l 上运动，则( )A. 当|AM |=|AF |时，AM ⊥lB. 当|AM |=|AF |=|MF |时，|AF |=2|BF |C. 当MA ⊥MB 时，A ，M ，B 三点的纵坐标成等差数列D. 当MA ⊥MB 时，|AM |⋅|BM |≥2|AF |⋅|BF |11.如图，在四棱锥P−ABCD 中，已知PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为等腰梯形，AD//BC ，AB =AD =CD =1，BC =PA =2，记四棱锥P−ABCD 的外接球为球O ，平面PAD 与平面PBC 的交线为l ，BC 的中点为E ，则( )A. l//BCB. AB ⊥PCC. 平面PDE ⊥平面PADD. l 被球O 截得的弦长为1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

顺义区2024年高三第二次质量监测数学试卷本试卷共9页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。

1. 设集合{}24U x x =∈≤Z ，{}1,2A =，则U C A = A.[2,0]−B.{}0C.{}2,1−−D.{}2,1,0−−2. 已知复数z 的共轭复数z 满足(1i)2i z +⋅=，则z z ⋅=B.1C.2D.43. 在5(21)x −的展开式中，4x 的系数为 A.80− B.40− C.40 D.804. 已知4log 2a =，e1()2b =，12πc =，则A.a b c >>B.b a c >>C.c b a >>D.c a b >>5. 已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，1lg lg lg 2n n n a a ++=，*n ∈N ， 则9S = A.511 B.61 C.41 D.96. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上一点，直线PF 与l 相交于点Q ，与y 轴交于点M . 若F 为PQ 的中点，则||PM =A.4B.6C. D.87. 若函数1,0()0, 01,0x x f x x x x −<⎧⎪==⎨⎪+>⎩，则“120x x +>”是“12()()0f x f x +>”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8. 如图，正方体1111ABCD A B C D −中，P 是线段1BC 上的动点，有下列四个说法： ①存在点P ，使得1//D P 平面1A DB ；②对于任意点P ，四棱锥11P A ADD −体积为定值； ③存在点P ，使得1A P ⊥平面1C DB ； ④对于任意点P ，1A DP △都是锐角三角形， 其中，不正确．．．的是 A.①B.②C.③D.④9. 已知在平面内，圆22:1O x y +=，点P 为圆外一点，满足||2PO =，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为,A B . 若圆O 上存在异于,A B 的点M ，使得2(1)PM PA PB λλ=+−，则λ的值是A.23B.12C.14 D.12−10. 设1237,,,a a a a 是1,2,3,,7的一个排列. 且满足122367||||||a a a a a a −≥−≥≥−，则122367||||||a a a a a a −+−++−的最大值是A.23B.21C.20D.18第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

第10题图1第10题图2上海市虹口区2024届高三二模数学试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.若3sin 5x ，则cos 2x ．2.已知一个球的表面积为36 ，则该球的体积为．3.过抛物线24y x 焦点的弦AB 的中点横坐标为2，则弦AB 的长度为．4.5.6.7.8.则lim n n S9.c a 的最大值为10.O ，将篮球且AB BC11.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D 中，底面ABCD 为菱形，且60BAD ．若12AB AA ，点M 为棱1CC 的中点，点P 在1A B 上，则线段PA 、PM 的长度和的最小值为．第11题图12.已知关于x 的不等式 2ln 340x k x x k x 对任意 0,x 均成立，则实数k 的取值范围为．二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.欧拉公式e cos sin i i把自然对数的底数e ，虚数单位i ，三角函数cos 和sin 联系在一起，被誉为“数学的天桥”．若复数z 满足32e 2i z i i，则z （）.A 14.设 f x y g x 的.A 2x对称；.C 2 ．15.②数据③已知.A 16.①对任意12,x x R ，都有 1212f x f x g x g x ；②若 g x 的值域为 ,m M ， 1f m ， 1f M ，则对任意x R 都有 f x g x ．则下列判断正确的是（）.A ①②都是假命题；.B ①②都是真命题；.C ①是假命题，②是真命题；.D ①是真命题，②是假命题．第18题图三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须写出必要的步骤】17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知等差数列 n a 满足25a ，9672a a ．（1）求 n a 的通项公式；（2）设数列 n b 前n 项和为n S ，且221n n n b a a ，若432m S ，求正整数m 的最小值．18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，CA CB ，D 为AB 的中点，2CA CB ，13CC ．（1）求证：1//AC 平面1B CD ；（2）若1CC 平面ABC ，点P 在棱1AA 上，且PD 平面1B CD ，求直线CP 与平面1B CD 所成角的正弦值．19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表：（1）求样本质量差的平均数x ；假设零件的质量差 2~,X N，其中216，用x 作为 的近似值，求 5668P X 的值；（2）0.9973．20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知椭圆2222:1x y a b（0a b ）的焦距为 0,1P 在椭圆 上，动直线l 与椭圆 相交于不同的两点A 、B ，且直线PA 、PB 的斜率之积为1．（1）求椭圆 的标准方程；（2）若直线PA 的法向量为 1,2n，求直线l 的方程；（3）是否存在直线l ，使得PAB 为直角三角形？若存在，求出直线l 的斜率；若不存在，请说明理由．21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）若函数 y f x 满足：对任意12,x x R ，120x x ，都有12120f x f x x x ，则称函数 y f x 具有性质P ．（1）设 e xf x ， 3g x x x ，分别判断 y f x 与 y g x 是否具有性质P ？并说明理由；（2）设 sin 2f x x a x 若函数 y f x 具有性质P ，求实数a 的取值范围；（3）已知函数 y f x 具有性质P ，且图像是一条连续曲线，若 y f x 在R 上是严格增函数，求证： y f x 是奇函数．上海市虹口区2024届高三二模数学试卷-简答（第18题图1）A 11参考答案和评分标准2024年4月一、填空题（本大题共12题，满分54分；第1-6题每题4分;第7-12题每题5分）1．7252．36π3.64．,226.1445．127.9.8．3112.1,1e二、选择题（本大题共4题，满分18分；第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13.A14.D15.C16.B三、解答题（本大题共5题，满分78分）17．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)解：(1)设等差数列 n a 的公差为d ，则由条件，得11155278a d a d a d ， (3)分解得13a ，2d ，故 1121n a a n d n ……6分．（2）由（1）可得123n a n ，则228(1).1)(23)(2n n n b n ……8分所以18,n n b b 故数列 n b 是以116b 为首项、8为公差的等差数列，故168(1)4(3).2m m m T m m……11分因为432m T ，所以23108m m ，所以 1290m m ，所以9m 或12m ．因为m 为正整数，所以m 的最小值是10……14分．18．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)证：（1）连接B 1C 与CB 1底相交于点E ，因四边形1BCC B 为平行四边形，所以点E 是B 1C ……2分的中点.又因D 为AB 的中点，故DE 为1BAC 的中位线，从而1.AC DE ∥……4分故由111B CD DE B D A C C 平面,平面，得（第18题图2）1AC ∥平面1B CD .……6分解：(2)由条件知1,,CA CB CC 两两垂直，故以点C 为坐标原点，直线1,,CA CB CC 分别为,,x y z ：的坐标为点;则相关轴，建立空间直角坐标系1(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(2,0,3),C A B D A 11(0,2,3),(0,0,3).B C ……8分设点(2,0,t),P 的坐标为则1(1,1,t),(1,1,3),DP DB从而由1(1,1,t)(1,1,3)3t 20,DP DB 得2t .3所以点22(2,0,),(2,0,).33P CP 的坐标为故……10分设平面1B CD 的一个法向量为(,,),n则1(,,)(1,1,0)0,(,,)(0,2,3)230,n CD x y z x y n CB x y z y z即,2,3x y z y取3,y 得(3,3,2).n (12)分设直线CP 与平面1B CD 所成的角为,则222(2,0,)(3,3,2)3cos ,sin 2(3,3,2)(2,0,)3CP n (14)分19．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)解：（1）由条件得：样本平均数为54557216046632566360100x (2)分由22,,60,16,X N x 得：(5668)(6046024)P X P X ……4分()(22)P X P X0.68270.95450.8186.……6分解：（1）由条件知1,b c (2)分所以2224,a b c 于是椭圆 的方程为22 1.4x y ………4分（2）由条件知：直线PA 的斜率为12，方程为11,2y x 则由2211,214y x x y得，220,x x 所以 2.A x 从而(2,0).A ………6分由于1PA PB k k ，所以直线PB 的方程为21,y x 同理可得1615(,).1717B所以直线l 的斜率为150()5171662()17A Bk，………8分从而直线l 的方程为50(2),6y x 即55(56100).63y x x y或……10分（3）假设存在满足条件的直线l ，并设直线PA 的方程为1(0),y mx m 则由221,14y mx x y 得22(41)80,m x mx 以所2841A mx m．………12分由于1PA PB k k ，所以直线PB 的方程为11,y x m同理可得221881414()B m mx m m故直线l 的斜率为11(1)(1)A B A B A B A B A BA Bmx x mx x y y m m k x x x x x x222222222222222421818(()41(4)41441488(41)(4)))((4144411111(15333(1)m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m mm m m 分当PAB 为直角三角形时，只有可能90,90,PAB PBA 或于是1.,m k k m或若1k m，由111(),3m mm可得m k 从而若k m ，由11(3m m m可得22m k 也有因此，直线l的斜率为2………18分21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)解：（1）()y f x 不具有性质P .理由：取122,1x x ，有22112()()e e01f x f x x x (2)分()y g x 具有性质P .理由：对任意12,x x R ，120x x ，有23322212112221122121212()()1310124f x f x x x x x x x x x x x x x x x x (4).分（2）函数()y f x 具有性质P ，故对12,x x R ，120x x ，都有1212()()0f x f x x x ，而()y f x 是奇函数，故2112()()0f x f x x x ，即()y f x 是严格增函数， '12cos 20f x a x恒成立. (7)分若0a ，则 min '120f x a ，解得102a ；若0a ，则 '10f x 恒成立；若0a ，则 min '120f x a ，解得102a.综合上述，实数a 的取值范围为11,.22……10分证明：（3）因函数()y f x 的定义域为R ,要证明()y f x 是奇函数，只要证明：对任意实数0,x 000f x f x 即可.对任意实数0,x 设 0,f x c 则由()y f x 具有性质P 知：当00x x 时，000.f x f x x x ① (12)分设 0(),h x f x f x f x c 当000,x x x x 即时，由①得0()()0,f x f x 即0(,)x x 当时，()0.h x ② (14)分当000,x x x x 即时，由①得0()()0,f x f x 即0(,)x x 当时，()0.h x ③于是由曲线()y h x 的连续性，函数()y h x 在R 上存在零点,x 即0()()()0.h x f x f x ④……16分由函数()y f x 在R 上严格增，知：函数()y h x 在R 上严格增；所以由②知0,x x 由③知0;x x 故0.x x 故由④得：000()()()0,h x f x f x 即对任意对任意实数0,x 均有000f x f x ；因此，函数()y f x ……18分是奇函数.另证：（3）由()y f x 具有性质P ，知：当0x 时 00f x f ，当0x 时00f x f ，由零点存在定理知 000f f ，即 00f ……12分.下面用反证法证明()y f x 是奇函数.假设存在0x 使得 000f x f x ，不妨设00x ，则由()y f x 在R 上严格增，知000f x f f x .若 000f x f x ，则构造函数00()2f x f x F x f x，00000000(0)222f x f x f f x f f x F f，0000000()22f x f x f x f x F x f x，由零点存在定理知，存在0(),t x 0,使得()0F t ……14分,即000()2f x f x f t f x；而()y f x 在R 上严格增，同样由单调性知00000()()()()102f t f x f x f x t x t x ，从而有00000()()()()102f t f x f x f x t x t x ，与()y f x 具有性质P 矛盾.……16分若 000f x f x ，构造函数00()2f x f x G x f x，同理也可推出与()y f x 具有性质P 矛盾.综合上述，存在0x 使得 000f x f x 的假设不能成立，即对任意R x 都有0f x f x ，故()y f x 是奇函数.……18分。

2024北京昌平高三二模数 学本试卷共5页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}{21,0,1,2,3,20A B x x x =-=->∣∣，则A B = （ ）A ．{}0,1,2B ．{}1C ．{}1,0,1,2-D ．1,3-2．已知数列{}n a 满足122,4n n a a a +==，则数列{}n a 的前4项和等于（ ）A ．16B ．24C ．30D ．623．已知抛物线()220y px p =>的焦点和双曲线2213y x -=的右顶点重合，则p 的值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．64．在61x ⎫⎪⎭的展开式中，常数项为（ ）A ．－15B ．15C ．30D ．3605．若01,1a b c <<<>，则（ ）A ．bac c<B ．log log c c a b>C ．sinsin c ca b>D ．c c a b <6．若圆22860x x y y m ++-+=与x 轴，y 轴均有公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(],9-∞B ．(],16-∞C ．[)9,25D ．[)16,257．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，且,//m ααβ⊂，则“n β⊥”是“n m ⊥”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知函数()()24,1,ln 1, 1.x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩若对任意的x 都有()f x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],0-∞B ．[]4,0-C ．[]3,0-D ．(],2-∞9．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用90℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生极佳口感在20℃室温下，茶水温度从90℃开始，经过t min 后的温度为y ℃，可选择函数()600.920 0ty t =⨯+≥来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律，则在上述条件下，该种绿茶茶水达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是（ ）（参考数据：lg20.30,lg30.48≈≈）A ．2.5min B ．4.5min C ．6min D ．8min10．已知数列n a 满足434121,1,n n n n a a a a --=-==，该数列的前n 项和为n S ，则下列论断中错误的是（ ）A ．311a =B ．20241a =-C ．∃非零常数*,N T n ∀∈，使得n T n a a +=D ．*n ∀∈N ，都有22n S =-第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知复数1iiz +=，则z z ⋅=______．12．已知ABC △中，34,2,cos 4a b c A ===-，则ABC S = ______．13．已知正方形ABCD 的边长为1，点P 满足()0AP AB λλ=> ．当13λ=时，AC PD ⋅= ______；当λ=______．时，PC DP ⋅取得最大值．14．已知p ：设函数()f x 在区间()0,+∞上的图象是一条连续不断的曲线，若()()120f f ⋅>，则()f x 在区间()1,2内无零点．能说明p 为假命题的一个函数的解析式是______．15．已知曲线:4,0G x x y y +=为坐标原点．给出下列四个结论：①曲线G 关于直线y x =成轴对称图形；②经过坐标原点0的直线l 与曲线G 有且仅有一个公共点；③直线:2l x y +=与曲线G 所围成的图形的面积为2π-；④设直线:2l kx γ=+，当()1,0k ∈-时，直线l 与曲线G 恰有三个公共点．其中所有正确结论的序号是______．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．本小题13分已知函数())cos 3cos f x xx x a =+-的图像经过点3,62π⎛⎫⎪⎝⎭．（I ）求实数a 的值，并求()f x 的单调递减区间；（II ）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x m ≥恒成立，求实数m 的取值范围．17．本小题14分如图，在棱长均为2的四棱柱1111ABCD A B C D -中，点E 是1CC 的中点，BC 交平面1AD E 于点F ．（I ）求证：点F 为线段BC 的中点；（II ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得四棱柱1111ABCD A B C D -存在且唯一确定．（i ）求二面角1D AF B --的余弦值；（ii ）求点1B 到平面1AD EF 的距离．条件①：1DD ⊥平面ABCD ；条件②：四边形ABCD 是正方形；条件③：平面11AA D D ⊥平面11CC D D ．注：如果选择的条件不符合要求，则第II 问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题13分）某行业举行专业能力测试，该测试由,,A B C 三项组成，每项测试成绩分为合格和不合格，三项测试结果相互独立．当三项测试成绩均合格时，认定分为10分；当C 项测试成绩合格，且,A B 两项中恰有一项成绩合格时，认定分为5分；当C 项测试成绩不合格，且,A B 两项测试成绩都合格时，认定分为2分；其它测试成绩，认定分为0分．甲在参加该专业能力测试前进行了20次模拟测试，测试成绩合格的频数统计如下表：测试项ABC频数161510用频率估计概率．（I ）试估计甲参加该专业能力A 项测试成绩合格的概率；（II ）设X 表示甲获得的认定分，求X 的分布列和数学期望()E X ；（III ）若乙参加该专业能力测试，三项测试成绩合格的概率均为23．试估计甲、乙两人获得认定分的大小，并说明理由．19．本小题15分已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率为12，短轴长为（I ）求椭圆E 的方程；（II ）设,A B 是椭圆E 的左、右顶点，F 是椭圆E 的右焦点．过点F 的直线l 与椭圆E 相交于,M N两点（点M 在x 轴的上方），直线,AM BN 分别与y 轴交于点,P Q ，试判断OP OQ是否为定值？若是定值，求出这个定值；若不是定值，说明理由．20．（本小题15分）已知函数()e xaf x x =+．（I ）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（II ）求()f x 在区间[]0,1上的最小值；（III ）若0a >，当0x >时，求证：()()ln ln f a x f a x ->+．21．本小题15分已知12:,,,N Q a a a 为有穷正整数数列，12N a a a ≤≤≤ ，且12N s a a a =+++ ．从Q 中选取第1i 项，第2i 项， ，第m i 项()12m i i i <<< ，称数列1,i i i a a ，,m i a 为Q 的长度为m 的子列．规定：数列Q 的任意一项都是Q 的长度为1的子列．若对于任意的正整数t s ≤，数列Q 存在长度为m 的子列12,,,m t t t a a a ，使得12m t t t a a a t +++= ，则称数列Q 为全覆盖数列．（I ）判断数列1,1,1,5和数列1,2,4,8是否为全覆盖数列；（II ）在数列Q 中，若21s N ≤-，求证：当2n N ≤≤时，1211n n a n a a a -≤≤++++ ；（III ）若数列Q 满足：11a =，且当2n N ≤≤时，1211n n a a a a -≤++++ ，求证：数列Q 为全覆盖数列．参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。