浙江省杭州学军中学郑日锋2019年11月-PPT精选文档

对两圆的幂相等的点的轨迹的探究
郑日锋
【期刊名称】《中学教研：数学版》
【年(卷),期】2003(000)003
【摘要】1 问题的提出很多的解析几何教学用书上都有下面的结论: 已知两圆C_: x^2+y^2+D_(1x)+E_(1y)+F_1=0,C_2: x^2+y^2+D_(2x)+E_(2y)+F_2=0与直线l:(D_1-D_2)x+(E_1-E_2)_y+(F_1-F_2)=0. (1) 若圆C_1与圆C_2相切。

【总页数】3页(P40-42)
【作者】郑日锋
【作者单位】浙江杭州学军中学310012
【正文语种】中文
【中图分类】G633.64
【相关文献】
1.到n个定点距离的二次幂平均为定值的点的轨迹 [J], 张会凌
2.关于解析几何中一类题目的解法探讨——一种求到二平行直线距离相等的点的轨迹的简便方法 [J], 牛文雅
3.再探到两条异面直线的距离相等的点的轨迹 [J], 卢东波
4.到定点与定直线的距离差为定值的点的轨迹的探究 [J], 商轶玮;
5.对两圆的幂之比为定值的点的轨迹方程 [J], 李朋涛
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采菊东篱下 悠然见南山 ——高考复习策略探寻郑日锋 （浙江省杭州学军中学 310012）如何进行高效复习，这是每一位高三数学教师需要探索的问题．每年高考总是在继承传统的同时适度创新，而且为后一年的高考提供一些有用的信息，我们如能把握高考命题的特点，制定高考复习策略，可以使复习更有效，真可谓“采菊东篱下 悠然见南山”．本文以2014年浙江省高考数学试题为例，谈一些体会与做法，供同行参考．1．采菊东篱下——解读高考试题笔者仔细认真地做了浙江省2014年高考数学试卷上的每个题，并且对整份试卷从双基考查情况、对学生的能力要求、试题的创新性等方面作了一些探讨，认为2014年浙江省高考数学试题主要有以下三个特点．1．1入口宽 重思维试题设计了较多的内涵丰富，入口宽、方法多的试题，这些充满思辨性试题突出了对考生思维品质的考查．例1（理科卷第17题，文科卷第10题）如图1，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练. 已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值 ．此题在立体几何与三角函数知识的交汇处命题，是一道应用题， 又是立体几何中的线面角的正切值的最值问题．思路1 过P 作PD BC ⊥于D ，连结AD ，则PAD θ∠=，在Rt PDA ∆中，3tan .3PD DCAD ADθ==⋅ 在ADC ∆中，由正弦定理，得sin sin .sin 33DC DAC DAC AD DCA ∠==∠≤∠ 因此，当90DAC ∠=︒时，tan θ有最大值53.9思路2过P 作PD BC ⊥于D ，连结AD ，则PAD θ∠=，设,CD x =在ADC ∆中，由余弦定理，得240625,AD x x =-+在Rt PDA ∆中，3.3PD x =D（图1）Q(图1)tan333PDADθ====9≤因此，当1254x=时，tanθ有最大值9思路3 过点B作BQ BC⊥交CM于点Q,过点Q作//QR AP与直线CA交于点R,则.PAD QRBθ=∠=∠tan,BMBMBRθ=为定值，当BR AC⊥时，BR最小，tanθ最大，最大值为9思路1 利用转化思想，将求tanθ的最大值转化为求ADC∆中两边长之比的最大值，转化为三角函数的最值；思路2先以CD为自变量，建立函数关系，然后求最值，由于函数的解析式比较复杂，需要进行合理的变形才能得出答案，过程相对较繁；思路3运用动静转换，通过平移，转化为点与直线上的点的距离的最小值问题，解题过程简洁明快．类似的还有理科卷第8、9、10、13、15、16、20、21、22题，文科卷第9、15、17、22题等，这些题可以区分学生的思维能力，充分体现了以知识为载体，以方法为依托，以能力考查为考试目的的新课程观．1．2背景熟重通法许多试题以学生熟知的某知识为背景,给学生以似曾相识的感觉,有利于学生思维的顺利展开.将数学思想方法作为考查的重点,突出通性通法．例2（理科第22题）已知函数()).(33Raaxxxf∈-+=（Ⅰ）若()x f在[]1,1-上的最大值和最小值分别记为)(),(amaM，求)()(amaM-；（Ⅱ）设,Rb∈若()[]42≤+bxf对[]1,1-∈x恒成立，求ba+3的取值范围.本题沿袭前两年的压轴题，以带绝对值的三次函数为载体，入手明显比往年容易些，考查导数的应用，及分析问题、解决问题的能力．第（Ⅰ）小题起点较高，第（Ⅱ）小题只需利用第（Ⅰ）小题的结论解决．在解决问题的过程中，蕴涵了特殊化思想，观察、归纳、转化、分类与整合等思想方法．函数与方程、化归与转化思想、分析与综合、归纳与演绎、比较与类比、具体与抽象等数学思想及基本逻辑方法在试卷中均有很好地体现．全卷所有试题都可以用通性通法，规避了特殊技巧．1．3立意新重本质编制立意新颖，而问题的解决所需的知识不多的试题，凸显数学本质． 例3设函数21)(x x f =，),(2)(22x x x f -=|2sin |31)(3x x f π=，99,,2,1,0,99Λ==i ia i ，记|)()(||)()(||)()(|98991201a f a f a f a f a f a f I k k k k k k k -++-+-=Λ，.3,2,1=k 则 A.321I I I << B. 312I I I << C. 231I I I << D. 123I I I <<此题是考查学生理性思维的极好题目，是集函数、数列、不等式于一身且方法开放的问题，又渗透了微积分中的分割思想，本题相当于把函数的定义域[0,1]进行99等分，因此它具有高等数学背景．思路1 直接计算，利用图象结合函数的单调性， 并利用数列求和的方法，可得122493254998001,2()1,2[2()()]980124998(2sin sin ) 1.39999I I f a I f a f a ππ===<=-=->故选B.思路2 实质是求质点从起点（原点）出发，依次沿各自图象上的分点，跳动到终点，比较竖直方向上所走路程的和的大小问题，如图4，得12341,2||1,4|| 1.3I I AB I CD =<=≈=>（其中,,A C F 为各自图象上的最高点或最低点），故选B.思路2是深刻理解本题的本质，利用几何意义给出的解答；而思路1利用按部就班的方法，需要大量的计算，并且要耐心细致，才能得到正确的答案．本题考查了学生创新的潜质，是今年试卷的最大亮点．理科第5、8、10、14题，都是学习型问题，解题关键是对新定义的理解，及推理论证．体现了对考生学习潜能的考查．2．悠然见南山——探寻复习策略高考数学命题设计是从现实问题或几何背景出发，构造出素材朴实、内蕴丰富的试题，充分体现数学的内在实质，试卷中的题目处处闪现着问题解决的智慧，加强了概念、思维的考查，这种考查方式对于搞题海战术的学校是一种打击，而对我们的课堂教学起着很好的导向作用，引导教师、学生避免将大量精力消耗在盲目地套用所谓的解题技巧的教学和学习上．建构主义学习理论认为学习是根据自己的信念和价值观对客体或事件进行解释的过程，是一(图2)种主动地建构意义的过程，知识是学习者在一定的社会文化背景下，借助他人的帮助，利用必要的学习资料，通过意义建构的方式获得的．这启示我们，基于提升学生数学认知能力开展复习教学，进行知识、方法的重组，实现夯实基础、领悟思想（方法）、优化思维，从而使复习有效、高效． 2．1整合归纳总结各主干知识块的问题特征，解题策略，易错点，解题的误区。

2019学年杭州学军中学高三年级第一次月考地理试卷截止2019年8月27日，我国2019年救灾应急响应启动情况如下：1．从材料中判断，对我国影响最大的自然灾害是A ．地震B ．洪涝C ．旱灾D ．台风 2．2019年9月前，自然灾害对中国影响最大的地区是A ．西北B ．东北C ．东部D ．西南 3．下列省级行政区中，不可能启动台风救灾应急响应的是A ．甘肃B ．浙江C ．福建D ．广东读“中国特大、较大型岩崩、滑坡、泥石流分布直方图（中国地质灾害，1993）”，完成4-5题：4．云、贵、川灾害点数最高的主要原因是 A ．降水最多，且多暴雨 B ．都以喀斯特地貌为主，植被稀少C ．人口密度大，对生态环境的破坏严重D ．位于板块边界，地质活动强烈，山地陡峭 5．西藏灾害点数较低的原因，最有可能是 A ．人口稀少、经济发展程度低，成灾概率小 B ．高原地形平坦，地壳稳定C ．降水少，岩崩、滑坡、泥石流发生概率小D ．冰雪覆盖，不易发生岩崩、滑坡、泥石流现象2019年10月7日（农历八月廿七）16号台风“罗莎”正面袭击福建、浙江，浙江启动了防台风Ｉ级应急响应。

2019年10月7日20时至8日20时，杭州主城区日降水量达到191.3毫米，刷新1963年9月12日受12号台风影响日降水量189.3毫米的记录。

8日5时到8时，冷暖气流结合产生的小范围最强聚合区，正好处于杭州主城区上空，3小时雨量即达117毫米，创下历史上短时最强降雨纪录，降雨量远远超过当时台风中心区附近雨量。

运河水位爆涨，超过警戒线，出现排水系统倒灌现象。

40年未遇的强暴雨使杭州主城区街巷遭受罕见水灾，1500多户居民家中进水，部分小区停水停电，19所学校被淹停课，西湖水满外溢，九大出水口泄洪。

根据材料和图中信息，完成6-9题：6．杭州的这次强降水过程中，除了台风雨以外的降水类型还有A ．地形雨B ．城市热岛对流雨C ．对流雨D ．锋面雨7．引起这次杭州城市洪水除了降水强度大以外，最可能的原因还有 A ．运河交通被废，河道淤积变浅 B ．城市化过程导致地面径流增加 C ．杭州海拔低，排水不畅 D ．正值钱江大潮时期，钱塘江水倒灌8．当日，钱塘江潮水位比平常提高的原因是，杭州湾吹 A ．东南风 B ．西北风 C ．西南风 D ．东北风9．这次强降水过程，不可能导致的其他灾害是A ．公路塌方B ．滑坡C ．地震D ．泥石流北京时间2019年6月3日5时34分56秒，云南普洱哈尼族彝族自治县(北纬23.0，东经101.1) 发生6.4级地震，震中在宁洱县城老城区，震源深度仅为5公里。

一道竞赛题引发的探究∗叶硕海1,㊀郑日锋2(1.学军中学海创园学校,浙江杭州㊀311121;2.学军中学,浙江杭州㊀310012)摘㊀要:文章从学生给出的一个错解出发,对2019年全国高中数学联赛浙江赛区初赛第10题进行了探究与推广,得到一般性的结论.关键词:猜想;三角形;计数问题中图分类号:O123.1㊀㊀㊀㊀文献标识码:A㊀㊀㊀㊀文章编号:1003-6407(2021)07-0044-031㊀问题呈现近日,笔者的一个学生遇到了这样一个问题.例1[1]㊀在复平面上任取方程z100-1=0的3个不同的根为顶点组成三角形,则不同的锐角三角形的数目为.(2019年全国高中数学联赛浙江赛区初赛试题第10题)该学生是这样思考的:将单位圆100等分,任取其中3个不同的点,则三角形的个数为N0=C3100=161700.其中直角三角形可先确定其直径,共50条,每条直径的同侧可取49个顶点,共两侧,故直角三角形的个数为N1=52ˑ49ˑ2=4900.因此不同的锐角三角形与钝角三角形的个数之和便为N0-N1=156800.㊀㊀此时,该学生猜想:其中锐角三角形与钝角三角形个数相等,于是锐角三角形的个数为N2=156800ː2=78400.然而78400是一个错误的答案,显然错因出现在最后一步,即其中锐角三角形与钝角三角形的个数并不相等.在给该生讲解之后,笔者发现正确答案为39200,正好是78400的一半.这表示钝角三角形个数恰好是锐角三角形个数的3倍!这是巧合还是对任意的n都成立?就此,笔者与该生进行了如下的猜测:猜想1㊀将单位圆n等分(其中nȡ3),任取3个顶点组成三角形,则其中钝角三角形与锐角三角形的个数之比为3ʒ1.2㊀问题探究通过简单计算发现,该结论并不对任意的nȡ3均成立,事实上:当n=3时,此时仅有锐角三角形,故结论不成立;当n=4时,此时仅有直角三角形,故结论也不成立;当n=5时,可用枚举法得钝角三角形与锐角三角形的个数之比为1ʒ1,故结论还不成立.图1下面为方便起见,在各类情况中,记N0为所有三角形总数,N1为直角三角形总数,N2为锐角三角形总数,N3为钝角三角形总数.当n=6时,N0=C36=20,N1=12,N2=2(即图1中的әA1A3A5和әA2A4A6),此时N3=20-12-2=6,故N3ʒN2=3ʒ1.基于以上观察,笔者改变了猜想的方向,得到:猜想2㊀将单位圆2k等分(其中kȡ3),任取3个顶点组成三角形,则其中钝角三角形与锐角三角形的个数之比为3ʒ1.㊃44㊃中学教研(数学)2021年第7期∗收文日期:2020-12-29;修订日期:2021-01-29作者简介:叶硕海(1989 ),男,浙江舟山人,中学一级教师.研究方向:数学教育.证明㊀显然N 0=C 32k=2k(2k -1)(k -1)3,N 1=2k(k -1),则N 0-N 1=43k(k -1)(k -2).为了证明猜想2,下面只需证明N 2=13k(k -1)(k -2).图2如图2,不妨设这2k 个顶点按逆时针次序排列依次为A 1,A 2, ,A 2k .首先考虑所有以A 1为顶点的锐角三角形,显然另外两个点只能出现在直径A 1A k +1的两侧,故三角形第二个点只需考虑A 2,A 3, ,A k 即可.若第二个点取A 2,则下半圆中没有点能与A 1A 2构成锐角三角形;若第二个点取A 3,则下半圆中仅有点A k +2能与A 1A 3构成锐角三角形;㊀㊀依此类推,若第二个点取A m (其中2ɤm ɤk),则有m -2个点能与A 1A m 构成锐角三角形.因此,所有以点A 1为顶点的锐角三角形的个数为0+1+2+3+ +(k -2)=12(k -1)(k -2).由于共有2k 个顶点,每个三角形被计算了3次,从而N 2=13ˑ12(k -1)(k -2)éëêêùûúúˑ2k =13k(k -1)(k -2),于是N 1ʒN 2=3ʒ1.进一步,我们也可考虑当n 为大于5的奇数时,钝角三角形与锐角三角形的个数之比.过程如下:图3设n =2k +1(其中k ȡ3),显然此时无直角三角形.如图3,不妨设这2k +1个顶点按逆时针次序排列依次为A 1,A 2, ,A 2k +1,记A m 关于圆心的对称点为B m (其中1ɤm ɤ2k +1).首先考虑所有以A 1为顶点的锐角三角形,同理另外两个顶点只能出现在直径A 1B 1的两侧,故三角形第二个点只考虑A 2,A 3, ,A k +1即可.与n 为偶数情形类似,若第二个点取A m (其中2ɤm ɤk +1),则有m -1个点能与A 1A m 构成锐角三角形,故所有以A 1为顶点的锐角三角形的个数为12k (k +1).进而,锐角三角形的总数为N 2=13(2k +1)ˑ12k (k +1)éëêêùûúú=16k (k +1)(2k +1).另外,三角形的总数为N 0=(2k +1)2k (2k -1)6,则钝角三角形的个数为N 3=N 0-N 2=(k -1)2k (2k +1)2,因此,钝角三角形与锐角三角形的个数之比为N 3N 2=3(k -1)k +1.经检验,当k =1以及k =2(即当n =3以及n =5)时,上述公式也成立.综上,我们有如下结论:结论1㊀将单位圆n 等分(其中n ȡ3).任取3个顶点组成三角形,1)若n =4,则所有的三角形均为直角三角形;2)若n 为奇数,则钝角三角形与锐角三角形个数之比为3(n -3)n +1;3)若n 为偶数且n ȡ6,则钝角三角形与锐角三角形个数之比为3ʒ1.进而,我们有如下推论:推论1㊀将单位圆n 等分(其中n ȡ5),任取3个顶点组成三角形,记N 2为锐角三角形总数,N 3为钝角三角形总数,则lim n ң+ɕN 3N 2=3.3㊀问题引申进一步,我们还可考虑能否利用几何概型以及多重积分将该问题推广成连续型:猜想3㊀在单位圆上任取3个不同的点,则取到钝角三角形的概率与取到锐角三角形的概率之比为3.4㊀一点感悟(下转第46页)㊃54㊃2021年第7期中学教研(数学)一道浙江预赛题的解法与变式推广∗栾㊀功(南宁市第三中学,广西南宁㊀530021)摘㊀要:文章通过对2020年浙江省预赛试题第12题的解法探究,得到了相关研究对象在运动变化过程中保持的规律性及其变式推广,并由试题的解答与推广得出了关于圆锥曲线的一个统一结论,从而揭示了问题的本质和规律.关键词:圆锥曲线;一题多解;变式推广中图分类号:O123.1㊀㊀㊀㊀文献标识码:A㊀㊀㊀㊀文章编号:1003-6407(2021)07-0046-051㊀试题呈现题目㊀已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为32,且椭圆C的任意3个顶点构成的三角形面积为12.1)求椭圆C的方程;2)若过点P(λ,0)的直线l与椭圆交于相异的两个点A,B,且APң=2PBң,求实数λ的范围.(2020年全国高中数学联赛浙江赛区预赛试题第12题)分析㊀第1)小题考查椭圆的基本概念和基本性质,是圆锥曲线中最基本的题型,体现了竞赛试题的基础性及对考生的关怀.第2)小题以过点P 的直线l与椭圆交于相异的两个点A,B为背景,设计了APң=2PBң,求点P横坐标λ的范围;为求出实数λ的范围,必须从运动变化中的不变量APң= 2PBң入手寻找化归途径,即由此思考几何关系APң=2PBң如何转化,从而解决问题.该试题既考查了直线和椭圆的位置关系㊁平面向量的概念及基本运算㊁考生的逻辑推理能力和运算求解能力,还深入考查了解析几何的基本思想和基本方法.该试题蕴含着丰富的数学思想,值得深入探究.(上接第45页)‘普通高中数学课程标准(2017年版)“指出:高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向,创设合适的教学情境,启发学生思考,引导学生把握数学内容的本质[2].因此,由真实的问题引发的数学探究作为一种重要的数学活动,不仅能激发学生的学习兴趣以及探索精神,更能提升学生的思维能力以及数学素养.教师应当在教学过程中鼓励学生提出猜想并严谨求证.此外学生解题时的错解也是教师在教学过程中的一个重要的资源,教师应该用积极的眼光看待学生在解题中出现的错误并加以正确引导.通过对错解的分析,不仅能让师生明白其中的原理,还能得到一些有趣的结论,实现师生之间的教学相长.参㊀考㊀文㊀献[1]㊀中国数学会普及工作委员会及数学奥林匹克委员会.高中数学联赛备考手册㊃2020预赛试题集锦[M].上海:华东师范大学出版社,2020:103-111.[2]㊀中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2017年版)[S].北京:人民教育出版社,2018:1-3.㊃64㊃中学教研(数学)2021年第7期∗收文日期:2020-10-27;修订日期:2020-12-08作者简介:栾㊀功(1982 ),男,甘肃陇西人,中学高级教师.研究方向:数学教育.。

课堂“探究式教学”案例剖析郑日锋（浙江省杭州学军中学310012）一、引子不久前一位学生拿着下面的问题：“等差数列｛a n｝中，公差d是正整数，等比数列｛b n｝中，b1=a1, b2=a2,现有数据：①2；②3；③4；④5，当｛b n｝中所有的项都是数列｛a n｝中的项时，d可以取_______________（填上你认为正确的序号）”（注：本文中所提到的数列均指无穷数列）请教于笔者，待弄清问题后，笔者与学生进行了如下的对话：生：这是《中学数学教学参考》2001年第1—2期上的一道题，标准答案是①③，而我的答案是①②③④。

师：你能说说①②③④正确的理由吗？生：d可否取某一数据取决于能否找到满足条件的等差数列。

对于①，取等差数列a n=2n-1；对于②，取等差数列a n=3n-2；对于③，取等差数列a n=4n-3；对于④，取等差数列a n=5n-4。

分别利用二项式定理可证｛b n｝中所有项都是｛a n｝中的项。

师：你的想法完全正确。

笔者对这一问题作了一些探索，发现可作进一步探究。

于是萌发了一种想法，利用这道习题尝试一堂”探究式教学”课。

“探究式教学”提倡学生自己调查、查阅有关资料、请教有关专家、自己提出问题、设计解决问题的方案、寻找问题解决的途径、体验问题解决的过程。

”[1]在中学数学教学中，开展探究式教学活动，既是对教师的教学观念和教学能力的挑战，也是培养学生创新意识和实践能力的重要途径，同时是现代中学数学教育教学改革的一种新探索。

笔者在这里仅做抛砖引玉，供各位同仁商榷。

二、课堂“探究式教学”的案例（教学时间为90分钟）（一）呈现问题:等差数列｛a n｝中，公差d是正整数，等比数列｛b n｝中，b1=a1, b2=a2,现有数据：①2；②3；③4；④5，当｛b n｝中所有的项都是数列｛a n｝中的项时，d可以取_______________（填上你认为正确的序号）。

（二）探索求解（略）。

（三）思索问题，提出新问题。