轴对称(4)

数学教学设计教材：义务教育教科书·数学（八年级上册）2.4 线段、角的轴对称性（4）1．能利用所学知识提出问题并能解决实际问题；2．能利用角平分线性质定理和逆定理证明相关结论，做到每一步有根有据；3．经历探索角的轴对称应用的过程，在解决问题的过程中培养思考的严谨性和表达的条理性．综合运用角平分线的性质定理和逆定理解决问题．学会证明点在角平分线上．教学过程（教师）学生活动设计思路上节课我们知道了“角平分线上的点到角两边距离相等”，部到角两边距离相等的点在角的平分线上”．这两个定理能问题呢？回忆、思考．点明课题，制造悬念，习热情．知：△ABC的两内角∠ABC、∠ACB的角平分线相交于点P．求的角平分线上．证明点P在∠A的角平分线上，根据角的内部到角两边距离平分线上，只要点P到∠A两边的距离相等，所以过点P做PD、PE，证出PD＝PE，而要证PD＝PE，因为点P是∠ABC、分线的交点，根据角平分线的性质，点P到∠ABC、∠ACB两等，所以只要做出BC边上的垂线段PF，就可得PD＝PF，PE ＝PE，所以得证．上述问题，你发现三角形的三个内角的角平分线有什么位置1．结合图形认真审题．2．分析、讨论证明思路．3．口述证明思路及证明过程．4．讨论归纳得到结论：三角形的三个内角的角平分线相交于一点．运用例题引导学生逐渐性质定理和逆定理．采用“要证，只要证”导学生逐步学会“分析法”问题解决完后及时进行出三角形“内心”，为学习三打好基础．知：如图2-28，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，求证：AD垂直平分EF．证AD垂直平分EF，，．AD＝∠CAD， DE⊥AB，DF⊥AC，，．学生利用分析法填空；阐述证明思路；完成证明过程．利用分析法引导学生学培养学生良好的思考习惯．开放的分析过程，提供考路径．完成练习．，说说你的发现，提出你的问题．练习：课本P56练习．学生发现：三角形两外角的角平分线与第三个角的角平分线所在的直线相交于一点；可能提出“三角形三个外角的角平分线所在直线是否相交于一点的问题”．本题是角平分线性质定综合应用，实际上是例2的学生“一折，二画，三学生动手操作，获得成功，的积极性，再次鼓励学生使寻找证明方法．59习题2.4，分析第9、10、11题的思路，任选2题写出学生根据自身实际情况，选题作业．实行作业分层，便于不学生自我发展．。

第十三章《轴对称》一、知识点归纳（一）轴对称和轴对称图形1、有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．2、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。

这条直线就是它的对称轴。

（对称轴必须是直线）3、对称点：折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

4、轴对称图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。

5．画一图形关于某条直线的轴对称图形步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。

（二）、轴对称与轴对称图形的区别和联系区别：轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．联系：1：都是折叠重合2;如果把成轴对称的两个图形看成一个图形那么他就是轴对称图形，反之亦然。

（三）线段的垂直平分线（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．（证明是必须有两个点）因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．（四）用坐标表示轴对称1、点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（-x，y）；2、点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（x，-y）；(五）关于坐标轴夹角平分线对称点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y＝x对称的点的坐标是（y，x）点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y＝－x对称的点的坐标是（－y，－x）（六）关于平行于坐标轴的直线对称点P（x，y）关于直线x＝m对称的点的坐标是（2m－x，y）；点P（x，y）关于直线y＝n对称的点的坐标是（x，2n－y）；(七）等腰三角形1、等腰三角形性质：性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

4个方形轴对称图形画法步骤方形轴对称图形是指具有对称轴的正方形图形。

下面是四个常见的方形轴对称图形的画法步骤：1.十字花纹步骤一：在纸上画一个正方形，确定正方形的边长。

步骤二：从正方形的中心点画一条垂直线和一条水平线，将正方形分为四个小正方形。

步骤三：从每个小正方形的中心点向外画一条垂直线和一条水平线，与正方形的边相交。

步骤四：连接相交点，形成一个十字花纹的方形轴对称图形。

2.格子花纹步骤一：在纸上画一个正方形，确定正方形的边长。

步骤二：从正方形的中心点向四个方向分别画一条垂直线和一条水平线，将正方形分成四个小正方形。

步骤三：在每个小正方形的四个角上画一个小正方形。

步骤四：连接相邻小正方形的对角线，形成一个格子花纹的方形轴对称图形。

3.雪花花纹步骤一：在纸上画一个正方形，确定正方形的边长。

步骤二：从正方形的中心点向四个方向分别画一条垂直线和一条水平线，将正方形分成四个小正方形。

步骤三：在每个小正方形的中心点画一个小正方形。

步骤四：在每个小正方形的边上画一个小正方形。

步骤五：依次连接相邻小正方形的对角线，形成一个雪花花纹的方形轴对称图形。

4.旋转花纹步骤一：在纸上画一个正方形，确定正方形的边长。

步骤二：从正方形的中心点向四个方向分别画一条垂直线和一条水平线，将正方形分成四个小正方形。

步骤三：在每个小正方形的边上画一个小正方形。

步骤四：依次连接相邻小正方形的对角线，形成一个旋转花纹的方形轴对称图形。

这些方形轴对称图形的画法步骤简单明了，通过不同的组合和变化，可以创造出更多丰富多样的方形轴对称图形。

线段、角的轴对称性（4）课型：新授课主备人：董兰 审核人：凌林 授课时间：【学习目标】1．能利用所学知识提出问题并能解决实际问题；2．能利用线段垂直平分线、角平分线性质定理和逆定理证明相关结论，做到每一步有根有据；3．经历探索线段和角的轴对称应用的过程，在解决问题的过程中培养思考的严谨性和表达的条理性．【教学重点】综合运用线段垂直平分线和角平分线的性质定理和逆定理解决问题．【教学难点】理解“点在线段的垂直平分线上”和“点在角平分线上”的证明方法．【预习作业】1、线段是轴对称图形，它的对称轴是 。

线段垂直平分线是 的集合。

！角是轴对称图形，它的对称轴是 。

在角的内部，角平分线可以看成是 的集合。

2．如图，OC 是∠A O B 的平分线，点P 在OC 上，PD ⊥OA ， PE ⊥OB ，垂足分别是D 、E ，PD =4cm ，则PE =__________cm ．3．如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，点D 到AB 的距离为5cm ，则CD =_____cm ．4．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC ， 交AC 于点D ，AC ＝15cm ，且CD ∶AD ＝2∶3， 则点D 到AB 的距离为_________．5．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ， 则结论：①AD 平分∠CDE ；②∠BAC=∠BDE ；③DE 平分∠ADB ；[④BE+AC=AB ，其中正确的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．1个二次备课(P ODEC BACD BA%【创设情境】画⊿ABC的角平分线BD、CE，BD、CE相—交于点P，画射线AP，射线AP交边BC于点Q，AQ是特殊线段吗如果是，是怎样的特殊线段【探索活动】1、AQ是怎样的特殊线段2、你能说明理由吗3、由此，你发现三角形的三个内角的角平分线有什么位置关系，。

数学教学设计教材：义务教育教科书·数学（八年级上册）2.4 线段、角的轴对称性（4）1．能利用所学知识提出问题并能解决实际问题；2．能利用角平分线性质定理和逆定理证明相关结论，做到每一步有根有据；3．经历探索角的轴对称应用的过程，在解决问题的过程中培养思考的严谨性和表达的条理性．综合运用角平分线的性质定理和逆定理解决问题．学会证明点在角平分线上．教学过程（教师）学生活动设计思路，上节课我们知道了“角平分线上的点到角两边距离“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线定理能用来解决什么问题呢？回忆、思考．点明课题，制造悬念的学习热情．知：△ABC的两内角∠ABC、∠ACB的角平分线相求证：点P在∠A的角平分线上．要证明点P在∠A的角平分线上，根据角的内部到角等的点在角平分线上，只要点P到∠A两边的距离相点P做两边的垂线段PD、PE，证出PD＝PE，而要，因为点P是∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，根的性质，点P到∠ABC、∠ACB两边的距离都相等，1．结合图形认真审题．2．分析、讨论证明思路．3．口述证明思路及证明过程．4．讨论归纳得到结论：三角形的三个内角的角平分线相交于一点．运用例题引导学生逐合利用性质定理和逆定理采用“要证，只要证法引导学生逐步学会“分问题解决完后及时进纳，得出三角形“内心”角形的内切圆打好基础．出BC边上的垂线段PF，就可得PD＝PF，PE＝PF，E，所以得证．决上述问题，你发现三角形的三个内角的角平分线有系？知：如图2-28，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，足为E、F．求证：AD垂直平分EF．要证AD垂直平分EF，：，．∠BAD＝∠CAD，DE⊥AB，DF AC，，．学生利用分析法填空；阐述证明思路；完成证明过程．利用分析法引导学问题，培养学生良好的思开放的分析过程，提的思考路径．生完成练习．后，说说你的发现，提出你的问题．练习：课本P56练习．学生发现：三角形两外角的角平分线与第三个角的角平分线所在的直线相交于一点；可能提出“三角形三个外角的角平分线所在直线是否相交于一点的问题”．本题是角平分线性定理的综合应用，实际上式应用．学生“一折，二画，利于学生动手操作，获得学生学习的积极性，再次用逆推的思路寻找证明方-59习题2.4，分析第9、10、11题的思路，任选2．学生根据自身实际情况，选题作业．实行作业分层，便于平的学生自我发展．。

图形的轴对称（4种题型）【知识梳理】一．轴对称的性质（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．由轴对称的性质得到一下结论：①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．二．轴对称图形（1）轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．（3）常见的轴对称图形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．三．作图-轴对称变换几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．四．轴对称-最短路线问题1、最短路线问题在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．【考点剖析】一．轴对称的性质例1.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，点A与点E关于直线CD对称．若AB＝7，AC＝9，BC＝12，则△DBE的周长为（）A．9B．10C．11D．12【解答】解：∵点A与点E关于直线CD对称，∴AD＝DE，AC＝CE＝9，∵AB＝7，AC＝9，BC＝12，∴△DBE的周长＝BD+DE+BE＝BD+AD+BC﹣AC＝AB+BC﹣AC＝7+12﹣9＝10．故选：B．【变式】如图，在△ABC中，点P为AB和BC垂直平分线的交点，点Q与点P关于AC对称，连接PC，PQ，CQ．若△PCQ中有一个角是50°，则∠B＝度．【解答】解：连接AP、BP，如图：∵点P为AB和BC垂直平分线的交点，∴PA＝PB＝PC，∴∠PAB＝∠PBA，∠PBC＝∠PCB，∠PAC＝∠PCA，∵点Q与点P关于AC对称，∴PC＝QC，∠PCA＝∠QCA，∴∠CPQ＝∠CQP，①当∠CPQ＝∠CQP＝50°时，∠PCQ＝80°，∴∠PCA＝40°，∴∠PAC＝40°，∴∠PAB+∠PBA+∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠PAC﹣∠PCA＝100°，∴2∠ABP+2∠PBC＝100°，∴∠ABP+∠PBC＝50°，即∠ABC＝50°，②当∠PCQ＝50°时，∠PCA＝25°，∴∠PAC＝25°，∴∠PAB+∠PBA+∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠PAC﹣∠PCA＝130°，∴2∠ABP+2∠PBC＝130°，∴∠ABP+∠PBC＝65°，即∠ABC＝65°，综上所述，∠ABC为50°或65°，故答案为：50或65．二．轴对称图形例2.如图图案中，成轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；B．是轴对称图形，故本选项符合题意；C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；D．不是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：B．【变式1】如图，在3×3的正方形网格中，从空白的小正方形中再选择一个涂黑，使得3个涂黑的正方形成轴对称图形，则选择的方法有（）A．3种B．4种C．5种D．6种【解答】解：如图，将图中剩余的编号为1至7的小正方形中任意一个涂黑共7种情况，其中涂黑1，3，5，6，7有5种情况可使所得图案是一个轴对称图形，故选：C．【变式2】如图1，▱ABCD的对角线交于点O，▱ABCD的面积为120，AD＝20．将△AOD、△COB合并（A 与C、D与B重合）形成如图2所示的轴对称图形，则MN+PQ＝（）A．29B．26C．24D．25【解答】解：如图，连接PQ，则可得对角线PQ⊥MN，且PQ与平行四边形的高相等．∵平行四边形纸片ABCD的面积为120，AD＝20，∴MN＝AD＝20，12PQ⋅MN=12×12012EF×AD=12×120，∴PQ＝6，又MN＝20，∴MN+PQ＝26，故选：B．三．作图-轴对称变换例3.如图，在△ABC中，点A（﹣3，1），B（﹣1，0）．（1）根据上述信息在图中画平面直角坐标系，并求出△ABC的面积；（2）在平面直角坐标系中，作出△ABC关于y轴对称图形△A1B1C1．【解答】解：（1）如图所示，△ABC的面积＝2×3﹣×2×2﹣×1×2＝3；（2）如图所示，△A1B1C1即为所求．【变式1】如图都是3×3的正方形网格，点A、B、C均在格点上．在给定的网格中，按下列要求画图：（1）在图①中，画一条线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M、N为格点．（2）在图②中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称，且D、E、F为格点，并写出符合条件的三角形共有个．【解答】解：（1）如图①所示，线段MN即为所求（答案不唯一）；（2）如图②所示，△DEF即为所求（答案不唯一），符合条件的三角形共有4个，故答案为：4．【变式2】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点在网格的格点上．（1）写出点A，B的坐标：A，B．．（2）在图中作△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1．（3）求△ABC的面积．【解答】解：（1）由图知A（﹣1，1）、B（﹣3，3），故答案为：（﹣1，1）、（﹣3，3）；（2）如图所示，△A1B1C1即为所求．（3）△ABC的面积为3×5﹣×1×5﹣×2×2﹣×3×3＝6．【变式3】如图，△ABC的顶点分别为A（1，3），B（4，5），C（1，5），先将△ABC以第一象限的角平分线所在直线为对称轴通过轴对称得到△A′B′C′，再将△A′B′C′以x轴为对称轴通过轴对称得到△A″B″C″．（1）画出△A″B″C″；（2）写出A″，B″，C″三点的坐标；（3）一般地，某一点P（x，y）经过这样的两次轴对称变换后得到的点P″的坐标为．【解答】解：（1）如图，△A″B″C″即为所求；（2）A″（3，﹣1），B″（5，﹣4），C″（5，﹣1）；（3）点P″的坐标为（y，﹣x）．故答案为：（y，﹣x）．【变式4】在平面直角坐标系中，已知△ABC的位置如图所示，（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′（其中点A′，B′，C′分别是点A，B，C的对应点，不㝍画法）；（2）写出点A′，B′，C′的坐标．【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求；（2）A′（﹣1.3），B′（﹣3，0C′（﹣4，4）．四．轴对称-最短路线问题例4.如图所示，点P为∠O内一定点，点A，B分别在∠O的两边上，若△PAB的周长最小，则∠O与∠APB 的关系为（）A．2∠O＝∠APB B．∠O＝2∠APBC．∠O+∠APB＝180°D．2∠O+∠APB＝180°【解答】解：如图，作点P关于OM的对称点P'，点P关于ON的对称点P''，连接OP'，OP''，P'P''，其中P'P''交OM于A，交ON于B，此时△PAB的周长最小值等于P'P''的长，由轴对称性质可知：OP＝OP'，OP＝OP''，∠AOP＝∠AOP'，∠BOP＝∠BOP''，∴∠P'OP''＝2∠AOB，∴∠P'＝∠P''＝＝，∴∠APB＝∠P'+∠P''＝180°﹣2∠AOB，即2∠O+∠APB＝180°，故选：D．(1)求AP PB+；(2)若点M是直线l上异于点(3)如图2，在l上求作一点【详解】（1）点A'与A关于直线l对称，AP A P '∴=，AP PB A P PB A B ''∴+=+=，A B a '=，AP PB a ∴+=；（2）连接A M '，点A '与A 关于直线l 对称，AM A M '∴=，AP A P '=，AM MB A M MB '∴+=+，AP PB A P PB A B ''+=+=，A MB '△中A M MB A B ''+>，AM MB AP PB ∴+>+；（3）作点A 关于直线l 对称点A 'A B '交直线l 于点M ，如下图所示．【过关检测】一、单选题 1．（2021秋·浙江宁波·八年级浙江省余姚市实验学校校考期中）环保理念深入人心，垃圾分类的标识中，是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据轴对称图形的概念即可解决本题．【详解】由轴对称图形概念，平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，叫做轴对称图形，能够判断出A为轴对称图形．故答案为A．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，难度系数不高，解题的关键在于正确理解轴对称图形的概念．2．（2023·浙江·八年级假期作业）小明以四种不同的方式连接正六边形ABCDEF的两条不同的对角线，那么连接后的四个图形，不是轴对称图形的是（）．．．．【答案】D【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此可求解问题．【详解】解：由题意得：A、B、C选项都是轴对称图形，不符合轴对称图形的只有D选项；故选D．【点睛】本题主要考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．3．（2020秋·浙江温州·八年级校考期中）将一张长方形纸对折，然后用笔尖在纸上扎出“B”，再把纸铺平，可以看到的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】轴对称图形的定义是，在一个平面内，平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就是轴对称图形．根据定义即可得到正确答案【详解】解：A、不是轴对称图形，答案错误；B、不是轴对称图形，答案错误；C、是轴对称图形，答案正确；D、不是轴对称图形，答案错误．故选：C【点睛】本题考查轴对称图形的定义，根据定义解题是关键．八年级假期作业）如图，将ABC折叠，使A．2cm B．2.5cm C．3cm D．3.5cm【答案】C∠的角平分线，根据垂线段最短即可解答．【分析】由折叠可得：PA为BAC【详解】解：∵将ABC折叠，使AC边落在AB边上，∠的角平分线，∴PA为BAC∵点Q为AC上任意一点，∴PQ的最小值等于点P到AB的距离3cm．故选C．【点睛】本题主要考查了折叠的性质、角平分线的性质定理等知识点，掌握角平分线上的点到两边距离相等是解答本题的关键．5．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，将一个长方形纸条折成如图所示的形状，若253∠=︒，则1∠的度数是（ ）A ．86︒B ．74︒C ．106︒D ．126︒【答案】C 【分析】如图，记AD 的延长线为DC ，则由折叠的性质可得3253∠=∠=︒，得到106CDE ∠=︒，再根据平行线的性质即可得出答案.【详解】解：如图，记AD 的延长线为DC ，则由折叠的性质可得：3253∠=∠=︒，∴106CDE ∠=︒，∵BE AC ∥，∴1106CDE ∠=∠=︒；故选：C.【点睛】本题考查了折叠的性质和平行线的性质，正确添加辅助线，得出106CDE ∠=︒是解题的关键.6．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，弹性小球从点P 出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q ，第2次碰到矩形的边时的点为M ，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（ ）A ．点PB ．点QC ．点MD ．点N【答案】A【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2022除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．【详解】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点P，∵2022÷6=337，∴当点P第2022次碰到矩形的边时为第337个循环组的最后一次反弹，∴第2022次碰到矩形的边时的点为图中的点P，故选：A．【点睛】此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．A．1号袋B．2号袋C．3号袋D．4号袋【答案】B【分析】利用轴对称画图可得答案.【详解】解：如图所示，球最后落入的球袋是2号袋，故选：B.【点睛】此题主要考查了生活中的轴对称现象，关键是正确画出图形. 8．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，点A 在直线l 上，△ABC 与AB C ''关于直线l 对称，连接BB '，分别交AC ，AC '于点D ，D ¢，连接CC '，下列结论不一定正确的是（ ）A ．BACB AC ∠=∠''B ．CC BB '' C ．BD B D =''D ．AD DD ='【答案】D 【分析】利用轴对称的性质和全等三角形的性质逐项判断即可．【详解】解：ABC 与AB C ''关于直线l 对称，ABC AB C ∴≅''，BB l '⊥，CC l '⊥，AB AB ='，AC AC ='，BAC B AC ∴∠=∠''，CC BB ''，即选项A 、B 正确；由轴对称的性质得：,OD OD OB OB ='='，OB OD OB OD ∴−='−'，即BD B D =''，选项C 正确；由轴对称的性质得：AD AD ='，但AD 不一定等于'DD ，即选项D 不一定正确；故选：D ．【点睛】本题考查了轴对称的性质、全等三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． 9．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，小雨要用一个长方形纸片ABCD 折叠一个小兔子，第一步沿OG 折叠，使点B 落到CD 边上的点B '处，若35GB C ''∠=︒，则BOG ∠=（ ）A ．65︒B ．62.5︒C ．55︒D ．52.5︒【答案】B 【分析】根据折叠得出90OB C B ''∠=∠=︒，求出55OB G '∠=︒，根据平行线的性质得出18055125B OB '∠=︒−︒=︒．根据折叠得出162.52BOG B OB '∠=∠=︒．【详解】解：根据折叠可知，90OB C B ''∠=∠=︒，∵35GB C ''∠=︒，∴55OB G '∠=︒，∵AB CD ∥，∴18055125B OB '∠=︒−︒=︒．由折叠可知，162.52BOG B OB '∠=∠=︒，故B 正确．故选：B ．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，同旁内角互补．A ．152B ．【答案】D【分析】利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则EC EF +的最小值即为点C 到AB 的垂线段长度．【详解】解：在AB 上取一点G ，使AG AF =，如图，CAD BAD ∠=∠，AE AE =，(SAS)AEF AEG ∴≌，FE EG ∴=，CE EF CE EG ∴+=+，则最小值是CG 垂直AB 时，CG 的长度， ∵1122AB CG AC BC ⨯=⨯，125CG ∴=．故选：D ．【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，解题的关键是根据角平分线构造全等以及线段和差极值问题．二、填空题 11．（2023·浙江·八年级假期作业）将长方形纸片按如图方式折叠，EF FG ，为折痕，则EFG ∠的度数为 ．【答案】90︒/90度【分析】根据折叠的性质得到1112BFE B FE BFB ∠=∠=∠，1112CFG C FG CFC ∠=∠=∠，然后根据平角为180︒求解即可． 【详解】∵将长方形纸片按如图方式折叠，EF FG ，为折痕， ∴1112BFE B FE BFB ∠=∠=∠，1112CFG C FG CFC ∠=∠=∠， ∴111111190222EFG B FE C FG BFB CFC BFC ∠=∠+∠=∠+∠=⨯∠=︒． 故答案为：90︒．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应相等相等．也考查了平角的定义． 12．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，D 在AB 上，将ABC 沿CD 折叠，点B 落在AC 边上的点B '处，若35A ∠=︒，则ADB ∠'的度数为 ︒．【答案】20【分析】根据题意，可得ABC 是直角三角形，B ∠的度数，根据折叠可知，CB D B '∠=∠，再根据CB D '∠是AB D 'V 的外角，由外角的性质即可求解．【详解】解：在ABC 中，90ACB ∠=︒，35A ∠=︒，∴ABC 是直角三角形，且903555B ∠=︒−︒=︒，根据折叠，55CB D B '∠=∠=︒，∵CB D '∠是AB D 'V 的外角，即CB D A ADB ''∠=∠+∠，∴553520ADB CB D A '∠'=∠−∠=︒−︒=︒，故答案为：20．【点睛】本题主要考查直角三角形，三角形的外角知识的综合，掌握直角三角形的性质，折叠的性质，三角形外角的性质的知识是解题的关键．13．（2022秋·浙江·八年级专题练习）已知：如图，P 是AOB ∠内的一点，12,P P 分别是点P 关于OAOB 、的对称点，12PP 交于点OA 于点M ，交OB 于点N ，若125cm PP =，则PMN △的周长是 cm ．【答案】5【分析】根据轴对称的性质进行等量代换，便可知12PP与PMN △的周长是相等的，即可求解． 【详解】解：∵12PP ，分别是点P 关于OA OB 、的对称点， ∴12PM MPPN NP =，=， ∴2121++=++==5P M MN NP PM MN PN PPcm ， ∴PMN △的周长为5cm.故答案为：5．【点睛】本题考查轴对称的性质，难度一般，关键是熟练掌握轴对称的性质特点，并能灵活运用．【答案】40°/40度【分析】根据入射角等于反射角，可得,CDB EDO DEO AEF ∠=∠∠=∠，根据三角形内角和定理求得40OED ∠=︒，进而即可求解．【详解】解：依题意，,CDB EDO DEO AEF ∠=∠∠=∠，∵120AOB ∠=︒，20CDB ∠=︒，20CDB EDO ∴∠=∠=︒，∴18040OED ODE AOB ∠=−∠−∠=︒，∴40AEF DEO ∠=∠=︒．故答案为：40°．【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理的应用，掌握轴对称的性质是解题的关键． 15．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，在△ABC 中，点P 为AB 和BC 垂直平分线的交点，点Q 与点P 关于AC 对称，连接PC ，PQ ，CQ ．若△PCQ 中有一个角是50°，则∠B = 度．【答案】50或65【分析】连接AP 、BP ，由点P 为AB 和BC 垂直平分线的交点，得PA ＝PB ＝PC ，知∠PAB ＝∠PBA ，∠PBC ＝∠PCB ，∠PAC ＝∠PCA ，又点Q 与点P 关于AC 对称，可得PC ＝QC ，∠PCA ＝∠QCA ，∠CPQ ＝∠CQP ，分两种情况：①当∠CPQ ＝∠CQP ＝50°时，∠PCQ ＝80°，可得∠PCA ＝40°，∠PAC ＝40°，即得2∠ABP+2∠PBC ＝100°，∠ABC ＝50°，②当∠PCQ ＝50°时，同理可得∠ABC ＝65°．【详解】解：连接AP 、BP∵点P 为AB 和BC 垂直平分线的交点，∴PA ＝PB ＝PC ，∴∠PAB ＝∠PBA ，∠PBC ＝∠PCB ，∠PAC ＝∠PCA ，∵点Q 与点P 关于AC 对称，∴PC ＝QC ，∠PCA ＝∠QCA ，∴∠CPQ ＝∠CQP ，①当∠CPQ ＝∠CQP ＝50°时，∠PCQ ＝80°，∴∠PCA ＝40°，∴∠PAC ＝40°，∴∠PAB+∠PBA+∠PBC+∠PCB ＝180°﹣∠PAC ﹣∠PCA ＝100°，∴2∠ABP+2∠PBC ＝100°，∴∠ABP+∠PBC ＝50°，即∠ABC ＝50°，②当∠PCQ ＝50°时，∠PCA ＝25°，∴∠PAC ＝25°，∴∠PAB+∠PBA+∠PBC+∠PCB ＝180°﹣∠PAC ﹣∠PCA ＝130°，∴2∠ABP+2∠PBC ＝130°，∴∠ABP+∠PBC ＝65°，即∠ABC ＝65°，综上所述，∠ABC 为50°或65°，故答案为：50或65．【点睛】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握三角形内角和定理的应用及轴对称的性质．【答案】都是轴对称图形【分析】利用已知图形的特征分别得出其公共特征．【详解】解：答案不唯一，例如：都是轴对称图形，故答案为：都是轴对称图形．【点睛】本题考查了轴对称图形，解题的关键是正确把握轴对称图形的特征．17．（2022秋·浙江金华·八年级校考阶段练习）如图，在锐角ABC 中，8AB =，16ABC S =V ，BD 平分ABC ∠，M 、N 分别是 BD 、BC 上的动点，则CM MN +的最小值是 ．【答案】4【分析】过点C 作CE AB ⊥于点E ，交BD 于点M ，过点M 作MN BC ⊥于N ，则CE 为CM MN ＋的最小值，根据三角形的面积公式求出CE 的长，即为CM MN ＋的最小值．【详解】解：过点C 作CE AB ⊥于点E ，交BD 于点M ，过点M 作MN BC ⊥于N ，∵BD 平分ABC ∠，ME AB ⊥于点E ，MN BC ⊥于N ，∴MN ME =，∴CE CM ME CM MN =+=+，即CE 为CM MN +的最小值，∵ABC 的面积为16，8AB =，∴12816CE ⨯⨯=，∴4CE =，即CM MN +的最小值为4．故答案为：4．【点睛】本题考查的是轴对称—最短路线问题，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考常考题型．18．（2022秋·浙江杭州·八年级杭州绿城育华学校校考期中）如图，在ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，4,7AB BC ==，则ABD △的周长为 ．【答案】11【分析】根据垂直平分线的性质，可知AD CD =，进而可知B C B D C D B D A D =+=+，即可求出ABD △的周长．【详解】解：DE 是AC 的垂直平分线，AD CD ∴=，B C B D C D B D A D \=+=+，ABD ∴的周长4711A B B D A D A B B C =++=+=+=，故答案为：11．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，熟练掌握垂直平分线的性质是解题关键．三、解答题19．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，ABC 和ADE V 关于直线l 对称，已知15AB =，10DE =，70D ∠=︒．求B ∠的度数及BC 、AD 的长度．【答案】70B ∠=︒，10BC =、15AD =【分析】根据轴对称的性质，对应边相等，对应角相等即可得出答案．【详解】解：ABC 和ADE 关于直线l 对称，AB AD ∴=，BC DE =，B D ∠=∠，又15AB =，10DE =，70D ∠=︒．70B ∴∠=︒，10BC =，15AD =，【点睛】本题考查轴对称的性质，两个图象关于某直线对称，对应边相等，对应角相等． 20．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，△ABC 与△ADE 关于直线MN 对称，BC 与DE 的交点F 在直线MN 上．若ED ＝4cm ，FC ＝1cm ，∠BAC ＝76°，∠EAC ＝58°．(1)求出BF 的长度；(2)求∠CAD 的度数；(3)连接EC ，线段EC 与直线MN 有什么关系？【答案】(1)BF ＝3cm(2)∠CAD ＝18°(3)直线MN 垂直平分线段EC【分析】（1）先根据轴对称的性质得出BC ＝ED ＝4cm ，再根据FC ＝1cm ，求出BF 的长度即可；（2）根据轴对称的性质得出∠EAD ＝∠BAC ＝76°，再根据∠EAC ＝58°求出结果即可；（3）直接根据轴对称的性质即可得出答案．【详解】（1）解：∵△ABC 与△ADE 关于直线MN 对称，ED ＝4cm ，FC ＝1cm ，∴BC ＝ED ＝4cm ，∴BF ＝BC ﹣FC ＝3cm ．（2）解：∵△ABC 与△ADE 关于直线MN 对称，∠BAC ＝76°，∠EAC ＝58°，∴∠EAD ＝∠BAC ＝76°，∴∠CAD ＝∠EAD ﹣∠EAC ＝76°﹣58°＝18°．（3）解：直线MN 垂直平分线段EC ．理由如下：如图，∵E，C关于直线MN对称，∴直线MN垂直平分线段EC．【点睛】本题主要考查轴对称的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）在如图所示的正方形网格中，已有两个正方形涂黑，请再将其中的一个空白正方形涂黑，使涂黑部分图形是一个轴对称图形（最少三种不同方法）．【答案】见解析【分析】根据轴对称图形的定义，结合题意，补充图形即可【详解】如图：有5种方法：【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．22．（2022秋·八年级单元测试）如图，ABC的顶点A，B，C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图．(1)画111A B C △，使它与ABC 关于直线l 成轴对称；(2)在直线l 上找一点P ，使点P 到点A ，点B 的距离之和最短；(3)在直线l 上找一点Q ，使点Q 到边AC BC ，的距离相等．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析【分析】（1）如图所示，在网格上分别找到点A 、点B 、点C 的对称点点1A 、点1B 、点1C ，连接11A B 、11AC、11B C 即可；（2）连接1A B 交直线l 于P ，利用两点之间线段最短可判断P 点满足条件；（3）根据角平分线上的点到角两边的距离相等进行作图即可．【详解】（1）解：如图， 111A B C △为所作；（2）解：根据（1）的结论，点A 、点1A 关于直线l 成轴对称，∴1PA PA =∴1PA PB PA PB +=+，如下图，连接1A B∴当点P 在直线l 和1A B的交点处时，11PA PB A B +=为最小值， ∴当点P 在直线l 和1A B 的交点处时，PA PB +取最小值，即点P 到点A 、点B 的距离之和最短；（3）解：如图所示，连接1CC ，根据题意的：11ACC BCC ∠=∠∴点Q 在直线l 和1CC 的交点处时，点Q 到边AC BC ，的距离相等．【点睛】本题主要考查了画轴对称图形，轴对称最短路径问题，角平分线的性质等等，熟知相关知识是解题的关键． 23．（2023·浙江·八年级假期作业）如图所示，牧马人从A 地出发，到一条直的河流l 边的C 处饮马，然后到达B 地．牧马人到河边的什么地点饮马，可以使所走的路程最短？请用尺规作图，在图中找出路程最短的饮马点C ，并用轴对称的性质说明理由．【答案】牧马人到河边的点C 处饮马，可以使所走的路程最短，见解析【分析】过点B 作直线l 的对称点B '，连接AB '，与直线l 的交点即为点C ，此时所走的路程最短，取直线l 上另一点C '，根据三角形三边关系证明得到牧马人到河边的点C 处饮马，可以使所走的路程最短．【详解】解：如图，过点B 作直线l 的对称点B '，连接AB '，与直线l 的交点即为点C ，此时所走的路程最短，即AC BC AC B C AB ''+=+=，取直线l 上另一点C '，根据轴对称得到AC BC AC B C AB ''''''+=+≥，∴牧马人到河边的点C 处饮马，可以使所走的路程最短．．【点睛】此题考查了最短路径问题，轴对称作图，三角形三边关系的应用，正确理解最短路径问题作图方法是解题的关键．24．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，P 在AOB ∠内，点M ，N 分别是点P 关于AO BO ，的对称点，MN 分别交OA OB ，于E ，F ．(1)若PEF !的周长是10cm ，求MN 的长；(2)若30AOB ∠=︒，试求MON ∠的度数．【答案】(1)10cm(2)60︒【分析】（1）由轴对称的性质可得EM EP FP FN ==，，由三角形周长公式得到10cm PE EF PF ++=，则10cm EM EF FN ++=，即10cm MN =；（2）根据轴对称的性质得到AOM AOP BON BOP ==∠∠，∠∠，进一步推出260MON AOB ∠=∠=︒．【详解】（1）解：∵点M ，N 分别是点P 关于AO BO ，的对称点，∴EM EP FP FN ==，，∵PEF !的周长是10cm ，∴10cm PE EF PF ++=，∴10cm EM EF FN ++=，即10cm MN =；（2）解：如图所示，连接OM ON OP ，，，∵点M ，N 分别是点P 关于AO BO ，的对称点，∴AOM AOP BON BOP ==∠∠，∠∠，∴()2260MON AOM AOP BOP BON AOP BOP AOB =+++=+==︒∠∠∠∠∠∠∠∠ ．【点睛】本题主要考查了轴对称图形的性质，正确得到EM EP FP FN ==，，AOM AOP BON BOP ==∠∠，∠∠是解题的关键． 25．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，△ABC 和△ADE 关于直线MN 对称，BC 与DE 的交点F 在直线MN 上．(1)图中点C 的对应点是点 ，∠B 的对应角是 ；(2)若DE ＝5，BF ＝2，则CF 的长为 ；(3)若∠BAC ＝108°，∠BAE ＝30°，求∠EAF 的度数．【答案】(1)E ，∠D(2)3(3)∠EAF ＝39°【分析】（1）根据△ABC 和△ADE 关于直线MN 对称，得到图中点C 的对应点是点E ，∠B 的对应角是∠D ；（2）根据△ABC 与△ADE 关于直线MN 对称，得到△ABC ≌△ADE ，推出BC ＝DE ＝5，根据BF ＝2，得到CF ＝BC ﹣BF ＝3；（3）根据∠BAC ＝108°和∠BAE ＝30°，推出∠CAE ＝108°﹣30°＝78°，根据对称性得到∠EAF ＝∠CAF ，推出∠EAF ＝CAE 12Ð＝39°．【详解】（1）∵△ABC 与△ADE 关于直线MN 对称，∴图中点C 的对应点是点E ，∠B 的对应角是∠D ；故答案为：E ，∠D ．（2）∵△ABC 与△ADE 关于直线MN 对称，∴△ABC ≌△ADE ，∴BC ＝DE ＝5，∵BF ＝2，∴CF ＝BC ﹣BF ＝3．故答案为：3．（3）∵∠BAC ＝108°，∠BAE ＝30°，∴∠CAE ＝108°﹣30°＝78°，根据对称性知，∠EAF ＝∠CAF ，∴∠EAF ＝CAE 12Ð＝39°．【点睛】本题主要考查了轴对称，解决问题的关键是熟练掌握轴对称的定义，成轴对称的两个图形的全等性． (1)当70PEC ∠=︒时，求DPQ ∠；，将PDQ 沿PQ 【答案】(1)20︒；(2)72︒或120︒；(3)65︒．【分析】（1）结合已知先证AD BC ∥，利用平行线和平角的性质得到90PEC DPQ ∠+∠=︒可求解；（2）当点Q 在边CD 上时，利用（1）中关系可求解，当点Q 在CD 的延长线上时，如图，由（1）可知AD BC ∥，90EPQ ∠=︒可求得90DPE DPQ ∠=︒−∠，结合已知利用同旁内角互补可求解；（3）由翻折和已知可求得50PD E ∠='︒，从而得到DPD '∠，再由翻折可求得DPQ ∠，最后结合（1）中的关系可求解．【详解】（1）90D C ∠=∠=︒180D C ∴∠+∠=︒AD BC ∴∥70APE PEC ∴∠=∠=︒PQ PE ⊥90EPQ ∴∠=︒90APE DPQ ∴∠+∠=︒90PEC DPQ ∴∠+∠=︒90907020DPQ PEC ∠=︒−∠=︒−︒=︒（2）当点Q 在边CD 上时，由（1）有，90PEC DPQ ∠+∠=︒，APE PEC ∠=∠∵4PEC DPQ ∠=∠，∴18DPQ ∠=︒，72PEC ∠=︒，72APE ∴∠=︒；当点Q 在CD 的延长线上时，如图，由（1）可知AD BC ∥，90EPQ ∠=︒90DPE DPQ ∴∠=︒−∠180DPE PEC ∠+∠=︒，APE PEC ∠=∠∵4PEC DPQ ∠=∠，904180DPQ DPQ ∴︒−∠+∠=︒解得：30DPQ ∠=︒4120APE PEC DPQ ∴∠=∠=∠=︒即APE ∠为72︒或120︒．（3）∵90D D '∠=∠=︒，90QD C PD E ∴'+∠='∠︒，∵40QD C '∠=︒，50PD E ∴='∠︒，由（1）可知AD BC ∥，90PEC DPQ ∠+∠=︒50DPD PD E ∴'=∠='∠︒由翻折可知1252DPQ DPD ∴∠=∠='︒9065PEC DPQ ∠=︒−∠=︒故答案为65︒．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，翻折的性质；解题的关键是证明AD BC ∥并灵活应用平行线的性质求解．。

2020年人教新版八年级（上）《第13章轴对称》常考题套卷（4）一、选择题（共10小题）1．点M（1，2）关于y轴对称点的坐标为（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（1，﹣2）D．（2，﹣1）2．如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是（）A．点A B．点B C．点C D．点D3．如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线交边AB于点D，连接CD．若∠A＝50°，则∠BDC的大小为（）A．90°B．100°C．120°D．130°4．如图，在射线OA，OB上分别截取OA1＝OB1，连接A1B1，在B1A1，B1B上分别截取B1A2＝B1B2，连接A2B2，…按此规律作下去，若∠A1B1O＝α，则∠A10B10O＝（）A．B．C．D．5．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上，如果将△ABC先沿y轴翻折，再向上平移3个单位长度，得到△A'B'C'，那么点B的对应点B'的坐标为（）A．（1，7）B．（0，5）C．（3，4）D．（﹣3，2）6．如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝10，BD＝6，则△ADE的周长为（）A．4B．30C．18D．127．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B′恰好落在CD上，若∠BAD ＝100°，则∠ACB的度数为（）A．40°B．45°C．60°D．80°8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AD⊥AB，交BC于点D，AD＝4，则BC的长为（）A．8B．4C．12D．69．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（）A．8个B．7个C．6个D．5个10．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过O点作EF∥BC交AB 于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论．①EF＝BE+CF；②∠BOC＝90°+∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn，正确的结论有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（共10小题）11．已知△ABC中，AB＝AC＝4，∠A＝60度，则△ABC的周长为．12．一辆汽车的车牌号在水中的倒影是：那么它的实际车牌号是：．13．如图所示正五角星是轴对称图形，它有条对称轴．14．如图，△ABC中，AB＝AC＝14cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，且△DBC的周长是24cm，则BC＝cm．15．等腰三角形一边长为8，另一边长为5，则此三角形的周长为．16．如图在△ABC中，BF、CF是角平分线，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，DE经过点F．结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周长＝AB+AC；④BF＝CF．其中正确的是（填序号）．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于D点，若BD＝1，则AD＝．18．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE＝1，F为AB上的一点，AF ＝2，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为．19．已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，则此三角形的形状为．20．小南利用几何画板画图，探索结论，他先画∠MAN＝90°，在射线AM上取一点B，在射线AN上取一点C，连接BC，再作点A关于直线BC的对称点D，连接AD、BD，得到如图形，移动点C，小南发现：当AD＝BC时，∠ABD＝90°；请你继续探索；当2AD ＝BC时，∠ABD的度数是．三、解答题（共10小题）21．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：△ABC是等腰三角形．22．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．（1）若BC＝5，求△ADE的周长．（2）若∠BAD+∠CAE＝60°，求∠BAC的度数．23．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC交BC于点D，求证：BC＝3AD．24．如图，在△ABC中，∠B＝60°，过点C作CD∥AB，若∠ACD＝60°，求证：△ABC 是等边三角形．25．如图在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（4，0），B（﹣1，4），C （﹣3，1）（1）在图中作△A′B′C′使△A′B′C′和△ABC关于x轴对称；（2）写出点A′，B′，C′的坐标．26．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．（1）若∠ABC＝70°，则∠NMA的度数是度．（2）若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．①求BC的长度；②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．27．如图，在等边三角形ABC的外侧作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接AD，BD，其中BD交直线AP于点E．（1）依题意补全图形；（2）若∠P AC＝20°，求∠AEB的度数；（3）连接CE，写出AE，BE，CE之间的数量关系，并证明你的结论．28．如图，等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，DE⊥AC交BC于点F，且DF＝EF．（1）求证：CD＝BE；（2）若AB＝12，试求BF的长．29．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A →B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求△ABP的周长．（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？30．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上．求证：BE＝CE（要求：不用三角形全等的方法）2020年人教新版八年级（上）《第13章轴对称》常考题套卷（4）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题）1．点M（1，2）关于y轴对称点的坐标为（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（1，﹣2）D．（2，﹣1）【解答】解：点M（1，2）关于y轴对称点的坐标为（﹣1，2）．故选：A．2．如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【解答】解：可以瞄准点D击球．故选：D．3．如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线交边AB于点D，连接CD．若∠A＝50°，则∠BDC的大小为（）A．90°B．100°C．120°D．130°【解答】解：∵△ABC的边AC的垂直平分线DE交边AB于点D，交边AC于点E，∴AD＝DC，∴∠A＝∠ACD，∵∠A＝50°，∴∠ACD＝50°，∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝50°+50°＝100°，故选：B．4．如图，在射线OA，OB上分别截取OA1＝OB1，连接A1B1，在B1A1，B1B上分别截取B1A2＝B1B2，连接A2B2，…按此规律作下去，若∠A1B1O＝α，则∠A10B10O＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵B1A2＝B1B2，∠A1B1O＝α，∴∠A2B2O＝α，同理∠A3B3O＝＝α，∠A4B4O＝α，∴∠A n B n O＝α，∴∠A10B10O＝，故选：B．5．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上，如果将△ABC先沿y轴翻折，再向上平移3个单位长度，得到△A'B'C'，那么点B的对应点B'的坐标为（）A．（1，7）B．（0，5）C．（3，4）D．（﹣3，2）【解答】解：由坐标系可得B（﹣3，1），将△ABC先沿y轴翻折得到B点对应点为（3，1），再向上平移3个单位长度，点B的对应点B'的坐标为（3，1+3），即（3，4），故选：C．6．如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝10，BD＝6，则△ADE的周长为（）A．4B．30C．18D．12【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠AED＝∠B＝∠C＝60°，∴△ADE为等边三角形，∵AB＝10，BD＝6，∴AD＝AB﹣BD＝10﹣6＝4，∴△ADE的周长为12．故选：D．7．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B′恰好落在CD上，若∠BAD ＝100°，则∠ACB的度数为（）A．40°B．45°C．60°D．80°【解答】解：如图，连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，∵点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，∴AC垂直平分BB'，∴AB＝AB'，∴∠BAC＝∠B'AC，∵AB＝AD，∴AD＝AB'，又∵AE⊥CD，∴∠DAE＝∠B'AE，∴∠CAE＝∠BAD＝50°，又∵∠AEC＝90°，∴∠ACB＝∠ACB'＝40°，故选：A．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AD⊥AB，交BC于点D，AD＝4，则BC的长为（）A．8B．4C．12D．6【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∵AB⊥AD，∴BD＝2AD＝2×4＝8，∠B+∠ADB＝90°，∴∠ADB＝60°，∵∠ADB＝∠DAC+∠C＝60°，∴∠DAC＝30°，∴∠DAC＝∠C，∴DC＝AD＝4∴BC＝BD+DC＝8+4＝12，故选：C．9．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（）A．8个B．7个C．6个D．5个【解答】解：当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有5个，当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，可找出格点C的个数有3个；∴这样的顶点C有8个．故选：A．10．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过O点作EF∥BC交AB 于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论．①EF＝BE+CF；②∠BOC＝90°+∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn，正确的结论有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠OBC+∠OCB＝90°﹣∠A，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+∠A；故②正确；∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC＝∠OBE，∠OCB＝∠OCF，∵EF∥BC，∴∠OBC＝∠EOB，∠OCB＝∠FOC，∴∠EOB＝∠OBE，∠FOC＝∠OCF，∴BE＝OE，CF＝OF，∴EF＝OE+OF＝BE+CF，故①正确；过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴ON＝OD＝OM＝m，∴S△AEF＝S△AOE+S△AOF＝AE•OM+AF•OD＝OD•（AE+AF）＝mn；故④正确；∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴点O到△ABC各边的距离相等，故③正确．故选：D．二、填空题（共10小题）11．已知△ABC中，AB＝AC＝4，∠A＝60度，则△ABC的周长为12．【解答】解：∵AB＝AC＝4，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴BC＝AB＝AC＝4，∴△ABC的周长为12．故答案为12．12．一辆汽车的车牌号在水中的倒影是：那么它的实际车牌号是：K62897．【解答】解：实际车牌号是K62897．故答案为：K62897．13．如图所示正五角星是轴对称图形，它有5条对称轴．【解答】解：正五角星的对称轴是过中心和每个顶角的直线，共5条．故答案为：5．14．如图，△ABC中，AB＝AC＝14cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，且△DBC的周长是24cm，则BC＝10cm．【解答】解：∵C△DBC＝24cm，∴BD+DC+BC＝24cm①，又∵MN垂直平分AB，∴AD＝BD②，将②代入①得：AD+DC+BC＝24cm，即AC+BC＝24cm，又∵AC＝14cm，∴BC＝24﹣14＝10cm．故填10．15．等腰三角形一边长为8，另一边长为5，则此三角形的周长为18或21．【解答】解：当8为腰，5为底时；8﹣5＜8＜8+5，能构成三角形，此时周长＝8+8+5＝21；当8为底，5为腰时；8﹣5＜5＜8+5，能构成三角形，此时周长＝5+5+8＝18；故答案为18或21．16．如图在△ABC中，BF、CF是角平分线，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，DE经过点F．结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周长＝AB+AC；④BF＝CF．其中正确的是①②③（填序号）．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB，∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线，∴∠FBC＝∠DFB，∠FCE＝∠FCB，∵∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF，∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．∴DF＝DB，FE＝EC，即有DE＝DF+FE＝DB+EC，∴△ADE的周长AD+AE+DE＝AD+AE+DB+EC＝AB+AC．综上所述，命题①②③正确．故答案为①②③．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于D点，若BD＝1，则AD＝3．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠BCD+∠ACD＝90°，∠A+∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠A＝30°，∵BD＝1，∴BC＝2BD＝2，AB＝2BC＝2×2＝4，∴AD＝AB﹣BD＝4﹣1＝3．故答案为：3．18．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE＝1，F为AB上的一点，AF ＝2，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为．【解答】解：作E关于直线AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为所求，过F作FG⊥CD于G，在Rt△E′FG中，GE′＝CD﹣BE﹣BF＝4﹣1﹣2＝1，GF＝4，所以E′F＝＝．故答案为：．19．已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，则此三角形的形状为等边三角形．【解答】解：由已知条件a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0化简得，（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0∴a﹣b＝0，b﹣c＝0即a＝b，b＝c∴a＝b＝c故答案为等边三角形．20．小南利用几何画板画图，探索结论，他先画∠MAN＝90°，在射线AM上取一点B，在射线AN上取一点C，连接BC，再作点A关于直线BC的对称点D，连接AD、BD，得到如图形，移动点C，小南发现：当AD＝BC时，∠ABD＝90°；请你继续探索；当2AD ＝BC时，∠ABD的度数是30°或150°．【解答】解：分两种情况：如图，当AB＞AC时，取BC的中点E，连接AE，DE，则AE＝DE＝BC，即BC＝2AE＝2DE，又∵BC＝2AD，∴AD＝AE＝DE，∴△ADE是等边三角形，∴∠AED＝60°，又∵BC垂直平分AD，∴∠AEC＝30°，又∵BE＝AE，∴∠ABC＝∠AEC＝15°，∴∠ABD＝2∠ABC＝30°；如图，当AB＜AC时，同理可得∠ACD＝30°，又∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∴∠ABD＝150°，故答案为：30°或150°．三、解答题（共10小题）21．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F．求证：△ABC是等腰三角形．【解答】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE＝DF，在Rt△BDE和Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴∠B＝∠C，∴△ABC为等腰三角形．22．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．（1）若BC＝5，求△ADE的周长．（2）若∠BAD+∠CAE＝60°，求∠BAC的度数．【解答】解：（1）∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，∴DA＝DB，EA＝EC，∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝DB+DE+EC＝BC＝5；（2）∵DA＝DB，EA＝EC，∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，∴∠B+∠C＝∠DAB+∠EAC＝60°，∴∠BAC＝120°．23．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC交BC于点D，求证：BC＝3AD．【解答】证明：在△ABC中，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，又∵AD⊥AC，∴∠DAC＝90°，∵∠C＝30°∴CD＝2AD，∠BAD＝∠B＝30°，∴AD＝DB，∴BC＝CD+BD＝AD+DC＝AD+2AD＝3AD．24．如图，在△ABC中，∠B＝60°，过点C作CD∥AB，若∠ACD＝60°，求证：△ABC 是等边三角形．【解答】证明：证法一：∵CD∥AB，∴∠A＝∠ACD＝60°，∵∠B＝60°，在△ABC中，∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝60°，∴∠A＝∠B＝∠ACB．∴△ABC是等边三角形；证法二：∵CD∥AB，∴∠B+∠BCD＝180°．∵∠B＝60°，∴∠BCD＝120°．∴∠ACB＝∠BCD﹣∠ACD＝60°在△ABC中，∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝60°∴∠A＝∠B＝∠ACB．∴△ABC是等边三角形．25．如图在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（4，0），B（﹣1，4），C （﹣3，1）（1）在图中作△A′B′C′使△A′B′C′和△ABC关于x轴对称；（2）写出点A′，B′，C′的坐标．【解答】解：（1）如图，（2）点A′的坐标为（4，0），点B′的坐标为（﹣1，﹣4），点C′的坐标为（﹣3，﹣1）．26．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．（1）若∠ABC＝70°，则∠NMA的度数是50度．（2）若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．①求BC的长度；②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝70°，∴∠A＝40°，∵AB的垂直平分线交AB于点N，∴∠ANM＝90°，∴∠NMA＝50°，故答案为：50；（2）①∵MN是AB的垂直平分线，∴AM＝BM，∴△MBC的周长＝BM+CM+BC＝AM+CM+BC＝AC+BC，∵AB＝8，△MBC的周长是14，∴BC＝14﹣8＝6；②当点P与M重合时，△PBC周长的值最小，理由：∵PB+PC＝P A+PC，P A+PC≥AC，∴P与M重合时，P A+PC＝AC，此时PB+PC最小，∴△PBC周长的最小值＝AC+BC＝8+6＝14．27．如图，在等边三角形ABC的外侧作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接AD，BD，其中BD交直线AP于点E．（1）依题意补全图形；（2）若∠P AC＝20°，求∠AEB的度数；（3）连接CE，写出AE，BE，CE之间的数量关系，并证明你的结论．【解答】解：（1）图象如图所示；（2）在等边△ABC中，AC＝AB，∠BAC＝60°，由对称可知：AC＝AD，∠P AC＝∠P AD，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠D，∵∠P AC＝20°，∴∠P AD＝20°，∴∠BAD＝∠BAC+∠P AC+∠P AD＝100°，∴，∴∠AEB＝∠D+∠P AD＝60°．（3）结论：CE+AE＝BE．理由：在BE上取点M使ME＝AE，在等边△ABC中，AC＝AB，∠BAC＝60°由对称可知：AC＝AD，∠EAC＝∠EAD，设∠EAC＝∠DAE＝x．∵AD＝AC＝AB，∴，∴∠AEB＝60﹣x+x＝60°．∴△AME为等边三角形，易证：△AEC≌△AMB，∴CE＝BM，∴CE+AE＝BE．28．如图，等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，DE⊥AC交BC 于点F，且DF＝EF．（1）求证：CD＝BE；（2）若AB＝12，试求BF的长．【解答】解：（1）如图，作DM∥AB，交CF于M，则∠MDF＝∠E，∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝60°＝∠CDM＝∠CMD，∴△CDM是等边三角形，∴CD＝DM，在△DMF和△EBF中，，∴△DMF≌△EBF（ASA），∴DM＝BE，∴CD＝BE；（2）∵ED⊥AC，∠A＝60°＝∠ABC，∴∠E＝∠BFE＝∠DFM＝∠FDM＝30°，∴BE＝BF，DM＝FM，又∵△DMF≌△EBF，∴MF＝BF，∴CM＝MF＝BF，又∵AB＝BC＝12，∴CM＝MF＝BF＝4．29．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A →B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求△ABP的周长．（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？【解答】解：（1）如图1，由∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，∴AC＝4，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，∴出发2秒后，则CP＝2，∵∠C＝90°，∴PB＝＝，∴△ABP的周长为：AP+PB+AB＝2+5+＝7．（2）①如图2，若P在边AC上时，BC＝CP＝3cm，此时用的时间为3s，△BCP为等腰三角形；②若P在AB边上时，有三种情况：i）如图3，若使BP＝CB＝3cm，此时AP＝2cm，P运动的路程为2+4＝6cm，所以用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；ii）如图4，若CP＝BC＝3cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为2.4cm，作CD⊥AB于点D，在Rt△PCD中，PD＝＝＝1.8，所以BP＝2PD＝3.6cm，所以P运动的路程为9﹣3.6＝5.4cm，则用的时间为5.4s，△BCP为等腰三角形；ⅲ）如图5，若BP＝CP，此时P应该为斜边AB的中点，P运动的路程为4+2.5＝6.5cm 则所用的时间为6.5s，△BCP为等腰三角形；综上所述，当t为3s、5.4s、6s、6.5s时，△BCP为等腰三角形（3）如图6，当P点在AC上，Q在AB上，则PC＝t，BQ＝2t﹣3，∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，∴t+2t﹣3＝3，∴t＝2；如图7，当P点在AB上，Q在AC上，则AP＝t﹣4，AQ＝2t﹣8，∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，∴t﹣4+2t﹣8＝6，∴t＝6，∴当t为2或6秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．30．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上．求证：BE＝CE（要求：不用三角形全等的方法）【解答】证明：∵AB＝AC，点D是BC的中点，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴BE＝CE．。