2018届福建省福州市高三上学期期末质检数学(文)试题

⊂ ≠福州市2018—2018学年度高三第一学期期末质量检查数学试卷（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两分部.共150分，考试时间120分钟. 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P （A +B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合A {2，3，7}，且A 中元素至少有一个为奇数，则这样的集合共有 （ ）A ．2个B ．4个C ．5个D ．6个 2．下面给出的四组函数中，)(x f 和)(x g 是同一个函数的是（ ）A ．11)(,11)(2--=+=x x x g x x f B ．x x g x x f 222log 2)(,log )(==C ．|1|)(,)1()(2-=-=x x g x x fD ． 0)(,1)(x x g x f ==3．“a =1”是“函数y =cos ax ·sin ax 的最小正周期为π”的 （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件4．函数23-+=x x y 在1=x 处的导数为（ ）A ．0B ．2C ．3D ．45．若函数b a x f x+=)(的图象过点（1，7），且0)4(1=-f ，则)(x f 的表达式是（ ）A ．43)(+=xx f B ．34)(+=xx f C ．52)(+=xx f D ．25)(+=xx f6．椭圆短轴长为52，离心率32=e ，两焦点为F 1、F 2，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点， 则△ABF 2的周长为（ ）A ．6B ．12C ．24D ．487．若0,0>>y x ，则下列不等式成立的是（ ）A ．x y x y ->22B ．x y x y -<22C ．x y x y -≤22D ．x y xy -≥228．从0、3、4、5、7中任取三个不同的数，分别作一元二次方程的二次项系数，一次项系 数及常数项，则可以作出的不同方程的个数是 （ ） A ．10 B ．24 C ．48 D ．60 9．将一个函数的图象按)2,4(π=a 平移后得到的图象的函数解析式2)4sin(++=πx y ，那么原来的函数解析式是（ ）A ．x y sin =B ．x y cos =C ．x y sin =+2D ．x y cos =+410．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任取3个，那么其中至少有1个一等品的概率是 （ ）A ．32024116C C C B ．320219116C C C C ．32031624116C C C C + D ．320341C C - 11．若9)222(-x的展开式的第7项为421，则x 的值是（ ）A ．125-B ．125 C ．－31 D ．31 12．国际上通常用恩格尔系数来衡量一个国家和地区人民的生活水平，它的计算公式:(x yxn =人均食品支出总额，y :人均个人消费支出总额），且.4502+=x y王先生居住地2018年食品价格比2000年下降了7.5%，该家庭在2018年购买食品和2000年完全相同的情况下人均少支出75元，则该家庭2018年属于 （ ） A ．富裕 B ．小康 C ．温饱 D ．贫困第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.13．应用简单随机抽样方法，从总数为N 的一批产品中抽取一个容量为20的样本，若每个产品被抽取的概率均为0.1，则N = . 14．数列}{n a 是等比数列，若)0(1752≠=⋅⋅m m a a a ，则=⋅97a a . 15．圆1)1(22=++y x 在不等式组⎩⎨⎧≤+≤-00y x y x 所表示的平面区域中所围成的图形的面积为.16．在△ABC 中，有命题：（1）BC AC AB =- （2）0=++CA BC AB （3）若0)()(=-⋅+，则△ABC 为等腰三角形， （4）若0>⋅，则△ABC 为锐角三角形.其中真命题的编号为 （写出所有真命题的编号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）某种圆形射击靶由三个同心圆构成（如图），从里到外的三个区域分别记为A 、B 、C ，（B 、C 为圆环），某射手一次射击中，击中A 、B 、C 区域的概率分别为P （A ）=0.4， P （B ）=0.25，P （C ）=0.2，没有中靶的概率为P （D ）.（1）求P （D ）；（2）该射手一次射击中，求击中A 区或B 区的概率； （3）该射手共射击三次，求恰有两次击中A 区的概率.18．（本小题满分12分） 解关于x 的不等式1|232|≥---ax ax .已知△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，向量)2sin ,2(cosCC =， )2sin ,2(cosC C n -=，且与的夹角为.3π（1）求角C 的值； （2）已知27=c ，△ABC 的面积233=S ，求b a +的值.已知数列{}n a 为等差数列，且.30,226352=+=+a a a a（1）求{}n a 的通项公式；（2）设*)(2N n a b n n ∈=，求{}n b 的前n 项和.n S已知三次函数)0(5)(23≠++-=a d cx x ax x f 图象上点（1，8）处的切线经过点（3，0），并且)(x f 在x =3处有极值. （1）求)(x f 的解析式；（2）若当),0(m x ∈时，)(x f >0恒成立，求实数m 的取值范围.在△ABC 中，0,3||,4||=⋅==BC AB BC AB ，若双曲线经过点C ，且以A 、B 为焦点.（1）求双曲线的方程； （2）若点G 满足21=，问是否存在过边AC 的中点D ，且不平行于AB 的直线l 与双曲线交于不同两点M 、N ，使得||||=，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.福州市2018—2018学年度高三第一学期期末质量检查数学试卷（文科）参考答案一、选择题1．C 2．C 3．A 4．D 5．B 6．B 7．D 8．C 9．B 10．D 11．C 12．B 二、填空题13．200；14．32m ；15．12+π；16．（2）（3） 三、解答题 17．解：（1）415.02.025.04.01)()()(1)('=---=---= C P B P A P D P（2）P=P （A ）+P （B ）=0.4+0.25=0.65 答：击中A 区或B 区的概率为0.65…………………………8′（3）288.0)4.01()4.0(223=-=C P答：恰有两次击中A 区的概率为0.288……………………12′ 18．解法1： 由原不等式得1232≥---a x a x ……（1）或1232-≤---a x ax ……（2）……2′由（1）得：0)3(≥-+-a x a x 解得a x <或3+≥a x ………………6′ 由（2）得0333≤---a x a x ，即0)1(≤-+-ax a x解得1+≤<a x a …………………………………………10′∴ 原不等式的解为a x <或1+≤<a x a 或3+≥a x …………………………12′解法2：由原不等式得⎩⎨⎧-≥--≠|||232|a x a x ax ……………………………………2′⇒⎩⎨⎧-≥--≠22)()232(a x a x ax ⇒⎩⎨⎧≥----≠0)()232(22a x a x ax⇒⎩⎨⎧≥-+--+---≠0)232)(232(a x a x a x a x ax …………………………6′ ⇒⎩⎨⎧≥+-+-≠0)]1()][3([3a x a x ax ⇒⎩⎨⎧+≥+≤≠31a x a x ax 或……………………………………10′∴原不等式的解为a x <或1+≤<a x a 或3+≥a x …………………………12′19．解：（1）1||||,3cos ||||==⋅⋅=⋅n m n m n m 且π…………………………2′3cos )2sin (2sin 2cos 2cos π=-+∴C C C C 即3cos cos π=C ………………4′又3),0(ππ=∴∈∴C C ………………………………6′ （2）由C ab b a c cos 2222-+= 得ab b a -+=22449………………① 由6sin 21=⋅=∆ab c ab S 得………………②………………………………10′由（1）（2）得4121)(2=+b a a 、+∈R b211=+∴b a ………………………………………………………………12′20．解：（1）设等差数列首项为1a ，公差为d ，则………………………………1′⎩⎨⎧=+=+3072225211d a d a ………………………………3′解得⎩⎨⎧==411d a 344)1(1-=⋅-+=∴n n a n ………………6′（2）*)(2N n a b n n ∈=2183211321)21(243)2222(49)324()324()324()324(33232321'--='---⋅=-++++='-⋅++-⋅+-⋅+-⋅=++++=∴+ n n nb b b b S n n n n nn21．解：（1）)(x f 图象过点C （1，8） 85=++-∴d c a ………①………………1′Cx ax x f +-='103)(2点（1，8）处的切线经过（3，0），,43108)1(-=--='∴f 即4103-=+-c a63=+∴c a ………………②………………………………3′又)(x f 在3=x 处有极值.3027,0)3(=+='∴c a f 即……………③…………………………4′联立①、②、③解得9,3,1===d c a 935)(23++-=∴x x x x f ……………………………………………………6′（2）)3)(13(3103)(2--=+-='x x x x x f由0)(='x f 得3,3121==x x ……………………………………………………7′ 当)31,0(∈x 时，0)(>'x f ，)(x f 单调递增 9)0()(=>∴f x f ；…………………………………………………………9′当)3,31(∈x 时，0)(<'x f ，)(x f 单调递减 0)3()(=>∴f x f 又0)31(>f 又),0(0)(,3,0)3(m x f m f 在时当>>∴= 内不恒成立…………………………11′∴ 当且仅当]3,0(∈m 时，),0(0)(m x f 在>内恒成立m ∴取值范围为]3,0(……………………………………………………12′22．解：（1）由已知得△ABC 为直角三角形，以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，（如图），设双曲线方程为： )0,0(12222>>=-b a b y a x ……………………2′双曲线过点c ，2||||2=-=∴CB CA a ,1=∴a 又3,2222=-=∴=a c b c∴双曲线方程为1322=-y x ………………6′ （2）由已知得D （0，)3,0(),23G 设)0(23:≠+=k kx y l 代入双曲线方程，整理得：04213)3(22=---kx x k ……………………………8′直线l 与双曲线交于不同两点M 、N ，设),(),,(2211y x N y x M 0)3(219,03222>-+=∆≠-∴k k k 且解得3,0221221±≠≠<<-k k k 且 根据韦达定理：)3(421,33221221k x x k k x x --=⋅-=+…………………………9′ 又设MN 中点为F （00,y x ），则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=-=+=)3(2923)3(23)(212002210k kx y k k x x x …………………………11′ l GF ⊥∴=||||000,13x kx y 消去-=-∴、0y 得： 1,1)3(233)3(29222=-=---k kk k k0,1>∆±=∴满足k …………………………………………………………13′∴存在直线23:+±=x y l ，满足题设要求………………………………14′。

2018年福建省高三毕业班质量检查测试文科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|230A x x x =--<，{}2,1,1,2B =--，则AB =（ ）A ．{}1,2-B ．{}2,1-C ．{}1,2D ．{}1,2-- 2.已知向量()1,1AB =，()2,3AC =，则下列向量中与BC 垂直的是（ ） A ．()3,6a = B ．()8,6b =- C ．()6,8c = D ．()6,3d =-3.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12n n S λ+=+，则λ=（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．2 4.如图，曲线sin32xy π=+把边长为4的正方形OABC 分成黑色部分和白色部分.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A ．14 B ．13 C ．38 D ．345.若α是第二象限角，且3sin 5α=，则12sinsin 22παπα+--=（ ） A ．65- B ．45- C ．45 D ．656.已知0.30.4a =，0.40.3b =，0.20.3c -=，则（ ）A ．b a c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．a b c <<7. 程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序框图，求得该垛果子的总数S为（）A．120 B．84 C．56 D．288.某校有A，B，C，D四件作品参加航模类作品比赛.已知这四件作品中恰有两件获奖.在结果揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四件参赛作品的获奖情况预测如下：甲说：“A、B同时获奖”；乙说：“B、D不可能同时获奖”；丙说：“C获奖”；丁说：“A、C至少一件获奖”.如果以上四位同学中有且只有二位同学的预测是正确的，则获奖的作品是（）A．作品A与作品B B．作品B与作品CC．作品C与作品D D．作品A与作品D9.某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的表面积为（）A ．)2421π+-B ．()24222π+C ．()2451π+ D ．()24232π+10.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且x R ∈时，均有()()32f x f x +=-，()28f x ≤≤，则满足条件的()f x 可以是（ ） A ．()263cos 5x f x π=+ B ．()53cos 5xf x π=+ C ．()2,8,R x Q f x x C Q ∈⎧=⎨∈⎩ D ．()2,08,0x f x x ≤⎧=⎨>⎩11.已知1F ，2F 为双曲线C ：221169x y -=的左、右焦点，P 为C 上异于顶点的点.直线l 分别与1PF ，2PF 为直径的圆相切于A ，B 两点，则AB =（ ） A 7 B ．3 C ．4 D ．512.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2112n n n S a a ++=-，且29a a =，则所有满足条件的数列中，1a 的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知复数z 满足()3443z i i +=+，则z = ．14.若x ，y 满足约束条件2300260x y x y x y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则z x y =+的取值范围为 ．15.已知A ，B 分别为椭圆C 的长轴端点和短轴端点，F 是C 的焦点.若ABF ∆为等腰三角形，则C 的离心率等于 ．16.已知底面边长为42，侧棱长为25的正四棱锥S ABCD-内接于球1O.若球2O在球1O内且与平面ABCD相切，则球2O的直径的最大值为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.ABC∆的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3cos sin3b Cc B a-=.（1）求B；（2）若3a=，7b=，D为AC边上一点，且3sin3BDC∠=，求BD.18.如图，在直三棱柱111ABC A B C-中，AC BC⊥，133CC=，3BC=，23AC=.（1）试在线段1B C上找一个异于1B，C的点P，使得1AP PC⊥，并证明你的结论；（2）在（1）的条件下，求多面体111A B C PA的体积.19.某种常见疾病可分为Ⅰ、Ⅱ两种类型.为了解该疾病类型与地域、初次患该疾病的年龄（以下简称初次患病年龄）的关系，在甲、乙两个地区随机抽取100名患者调查其疾病类型及初次患病年龄，得到如下数据：初次患病年龄（单位：岁）甲地Ⅰ型患者（单位：人）甲地Ⅱ型患者（单位：人）乙地Ⅰ型患者（单位：人）乙地Ⅱ型患者（单位：人）[)10,208151[)20,304331[)30,403524（1）从Ⅰ型疾病患者中随机抽取1人，估计其初次患病年龄小于40岁的概率；（2）记“初次患病年龄在[)10,40的患者”为“低龄患者”，“初次患病年龄在[)40,70的患者”为“高龄患者”.根据表中数据，解决以下问题：（i ）将以下两个列联表补充完整，并判断“地域”“初次患病年龄”这两个变量中哪个变量与该疾病的类型有关联的可能性更大.（直接写出结论，不必说明理由） 表一：表二：（ii ）记（i ）中与该疾病的类型有关联的可能性更大的变量为X .问：是否有99.9%的把握认为“该疾病的类型与X 有关？”附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，20.在平面直角坐标系xOy 中，点F 的坐标为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，以MF 为直径的圆与x 轴相切. （1）求点M 的轨迹的方程；（2）设T 是E 上横坐标为2的点，OT 的平行线l 交E 于A ，B 两点，交E 在T 处的切线于点N .求证：252NT NA NB =⋅. 21.已知函数()12ln f x a x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）讨论()f x 的单调区间； （2）若12a =，证明：()f x 恰有三个零点. （二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线M 的参数方程为1cos 1sin x y ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），1l ，2l 为过点O 的两条直线，1l 交M 于A ，B 两点，2l 交M 于C ，D 两点，且1l 的倾斜角为α，6AOC π∠=.（1）求1l 和M 的极坐标方程； （2）当0,6πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，求点O 到A ，B ，C ，D 四点的距离之和的最大值.23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数()2f x x =-，()1g x a x =-.（1）若不等式()33g x -≥-的解集为[]2,4，求a 的值； （2）若当x R ∈时，()()f x g x ≥，求a 的取值范围.2018年福建省高三毕业班质量检查测试文科数学参考答案及评分细则一、选择题1-5:CDAAC 6-10:ABDBC 11、12：BB二、填空题13．1 14．[]24， 15．1216．8 三、解答题17．解：（1cos sin C c B -=，得cos sin sin B C C B A -=，因为A B C π++=()cos sin sin B C C B B C -=+，cos sin sin cos sin B C C B B C B C -=+，即sin sin sin C B B C -=，因为sin 0C ≠，所以sin B B =，所以tan B = 又()0,B π∈，解得23B π=. （2）在ABC ∆中，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-， 又3a =，7b =，所以222173232c c ⎛⎫=+-⨯⨯-⎪⎝⎭， 整理得()()850c c +-=，因为0c >，所以5c =，在ABC ∆中，由正弦定理sin sin b cB C =5sin C=，解得sin C =.在BCD ∆中，由正弦定理sin sin BD aC BDC=∠，因为sin 3BDC ∠==4514BD =.18．解：（1）当P满足11C P B C⊥时，1AP PC⊥.证明如下：在直三棱柱111ABC A B C-中，1C C⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以1C C AC⊥.又因为AC BC⊥，1C C BC C=，所以AC⊥平面11BCC B.因为1PC⊂平面11BCC B，所以1AC PC⊥.又因为11C P B C⊥，且1B C AC C=，所以1PC⊥平面1AB C，因为AP⊂平面1AB C，所以1AP PC⊥.（2）因为1CC⊥平面111A B C，11B C⊂平面111A B C，所以111CC B C⊥.在11Rt B C C∆中，113B C BC==，133CC=，所以16B C=.因为1111Rt RtB PC B C C∆∆，所以111111B P B CB C B C=，所以132B P=.在11Rt B C C∆中，11111tan3CCCB CB C∠==113CB Cπ∠=，所以11111111sin2B PCS B C B P CB C∆=⋅⋅∠1339332228=⨯⨯⨯=.因为AC⊥平面11BCC B，且23AC=所以111111939233384A B C P B PCV S AC-∆=⋅=⨯⨯=.因为1AA⊥平面111A B C，且1133AA CC==1123AC AC==，所以111111111139332A ABC A B C V S AA -∆=⋅=⨯⨯⨯=. 所以多面体111A B C PA 的体积为11111945944A B C P A A B C V V --+=+=.19．解：（1）依题意，从Ⅰ型疾病患者中随机抽取1人，其初次患病年龄小于40岁的概率估计值为15105408+=. （2）（i ）填写结果如下： 表一：表二：由表中数据可以判断，“初次患病年龄”与该疾病类型有关联的可能性更大. （ii ）根据表二的数据可得：25a =，15b =，15c =，45d =，100n =.则()221002545151514.06340604060K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.由于210.828K >，故有99.9%的把握认为该疾病类型与初次患病年龄有关. 20．解：（1）设点(),M x y ，因为10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以MF 的中点坐标为21,24x y +⎛⎫ ⎪⎝⎭. 因为以MF 为直径的圆与x 轴相切，所以2124MF y +=， 即212y MF +=，故2221122y x y +⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，化简得22x y =，所以M 的轨迹E 的方程为22x y =.（2）因为T 是E 上横坐标为2的点，由（1）得()2,2T ，所以直线OT 的斜率为1，因为l OT ∥，所以可设直线l 的方程为y x m =+，0m ≠. 由212y x =，得y x '=，则E 在T 处的切线斜率为22x y ='=，所以E 在T 处的切线方程为22y x =-.由,22y x m y x =+⎧⎨=-⎩得2,22,x m y m =+⎧⎨=+⎩所以()2,22N m m ++，所以()()2222222225NT m m m =+-++-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.由2,2y x m x y=+⎧⎨=⎩消去y 得2220x x m --=，由480m ∆=+>，解得12m >-. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则122x x +=，122x x m =-. 因为,,N A B 在l 上，所以()122NA m =-+，()222NB m =-+，所以()()12222NA NB x m x m ⋅=-+⋅-+()()()21212222x x m x x m =-++++ ()()222222m m m =--+++22m =.所以252NTNA NB =⋅.21．解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()2221221ax x a f x a x xx -+⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭. ①当0a ≤时，因为0x >，所以220ax x a -+<，所以()0f x '<，所以()f x 的单调递减区间为()0,+∞.②当0a >时，令()0f x '=，得220ax x a -+=，当1a ≥时，2440a ∆=-≤，()0f x '≥，所以()f x 的单调递增区间为()0,+∞， 当01a <<时，2440a ∆=->，由220ax x a -+=得1x =，2x =因为01a <<，所以210x x >>，所以，当10,x a ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭或1x a ⎛⎫+∈+∞⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当x ∈⎝⎭时，()0f x '<，所以()f x 的单调递增区间为⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭，()f x 的单调递减区间为⎝⎭. 综上，当0a ≤时，()f x 的单调递减区间为()0,+∞； 当1a ≥时，()f x 的单调递增区间为()0,+∞；当01a <<时，()f x 的单调递增区间为⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭；()f x 的单调递减区间为⎝⎭. （2）因为12a =，所以()112ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.由（1）知，()f x 的单调递增区间为()0,23-，()23,++∞，()f x 的单调递减区间为()23,23-+.又()10f =，()123,23∈-+， 所以()f x 在()23,23-+有唯一零点， 且()230f ->，()230f +<，因为30e 23-<<-，()333311e e 2ln e 2e f ----⎛⎫=-- ⎪⎝⎭3331e e 6702e 22=-+<-<， 所以()f x 在()0,23-有唯一零点.又()()33e e 0f f -=->，3e 23>+，所以()f x 在()23,++∞有唯一零点.综上，当12a =时，()f x 恰有三个零点. 22．解：（1）依题意，直线1l 的极坐标方程为()θαρ=∈R ， 由1cos ,1sin x y ϕϕ=+⎧⎨=+⎩消去ϕ，得()()22111x y -+-=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入上式， 得22cos 2sin 10ρρθρθ--+=，故M 的极坐标方程为22cos 2sin 10ρρθρθ--+=.（2）依题意可设()1,A ρα，()2,B ρα，3,6C πρα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，4,6D πρα⎛⎫+⎪⎝⎭， 且1234,,,ρρρρ均为正数，将θα=代入22cos 2sin 10ρρθρθ--+=， 得()22cos sin 10ρααρ-++=，所以()122cos sin ρραα+=+， 同理可得，342cos sin 66ππρραα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以点O 到,,,A B C D 四点的距离之和为()12342cos sin ρρρραα+++=+2cos sin 66ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦((1sin 3cos αα=+(21sin 3πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.因为0,6πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以当sin 13πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即6πα=时，1234ρρρρ+++取得最大值2+， 所以点O 到,,,A B C D四点距离之和的最大值为2+. 23．解：（1）由()33g x -≥-，得32a x -≥-， 因为不等式()33g x -≥-的解集为[]2,4， 所以0a <，故不等式可化为23x a-≤-， 解得2233x a a+≤≤-， 所以232,234,a a⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得2a =-.（2）①当0x =时，21x a x -≥-恒成立，所以a ∈R . ②当0x ≠时，21x a x -≥-可化为21x a x-+≤， 设()()210x h x x x-+=≠，则()31,0,31,02,11, 2.x x h x x x x x ⎧-+<⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩所以当2x =时，()min 12h x =，所以12a ≤. 综上，a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.。

福建省福州市 2018 届高三上学期期末质检数学试题（文）第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1. 已知集合 A. 【答案】C 【解析】因为 所以 2. 若复数 A. 【答案】A 【解析】复数 为纯虚数，所以 B. ，故选 C. 为纯虚数，则实数 C. 1 D. 2 （ ） , , B. C. ， D. ，则 （ ）,故选 A.3. 已知 A. 【答案】B 【解析】 4. B.， C.，则 D.（）， （ ），故选 B.A.B.C. 1D.【答案】D 【解析】 ，故选 D.5. 已知双曲线 的两个焦点 且 ，都在 轴上， 对称中心为原点， 离心率为 ，则 的方程为（ ）.若点在 上，到原点的距离为A. 【答案】C 【解析】B.C.D.由直角三角形的性质可得，又，的方程为，故选 C.6. 已知圆柱的高为 2，底面半径为 这个球的表面积等于（ A. 【答案】D 【解析】设球半径为 B. C. ） D.，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上， ，故选 D.可得，球的表面积为7. 如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的 .图中的 《孙子剩余定理》 示正整数 于（ ） 除以正整数 后的余数为 ，例如表.执行该程序框图，则输出的 等A. 23B. 38C. 44D. 58【答案】A 【解析】本题框图计算过程要求找出一个数除以 3 余数为 2；除以 5 余数为 3；除以 7 余数 为 2，那么这个数首先是 23，故选 8. 将函数 A. C. 【答案】D 【解析】 得到 函数 的周期为 函数 向右平移 个周期后， B. D. 的图象向右平移 个周期后，所得图象对应的函数为（ ），故选 D.9. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表 面积为（ ）A. 【答案】A 【解析】B.C.D.由三视图可知，该多面体是如图所示的三棱锥，其中三棱锥的高为 ，底面为等腰直角三角形，直角边长为 ，表面积为 ，故选 A.10. 已知函数若，则（）A. 【答案】A 【解析】 若B. 3C.或3D.或3， 得， 若，不合题意，，故选 A.11. 过椭圆的右焦点作 轴的垂线， 交 于两点， 直线 过 的左焦点和上顶点.若以 A. 【答案】A B.为直径的圆与 存在公共点，则 的离心率的取值范围是（ C. D.）【解析】直线 的方程为，圆心坐标为，半径为与圆有公共点，，可得，，，故选 A.12. 已知函数 最小值为（ A. 1 B. ） C.，若关于 的不等式恰有 3 个整数解，则实数 的D.【答案】C 【解析】 数解，即 有 个整数解， ， 当 ，等价于 ， 时， 由 ， ， ，即 恰有 个整 时， 递减， ，不等 ， ，时，不等式无解， 可得 在 时， 时， 的最小值为不等式只有一个整数解 ， 排除选项 由 式无解； 不等式无解； 故 故选 C. 可得 在 ， 递增， 合题意，合题意， 合题意，当时， 有且只有 个整数解， 又第Ⅱ卷（共 90 分） 二.填空题（每题 5 分，满分 20 分） 13. 某商店随机将三幅分别印有福州三宝（脱胎漆器、角梳、纸伞）的宣传画并排贴在同一 面墙上，则角梳与纸伞的宣传画相邻的概率是__________． 【答案】【解析】福州三宝的全排列共有种排法，角梳与纸伞相邻的排法，有种排法，根据古典概型概率公式可得，角梳与纸伞的宣传画相邻的概率是，故答案为 .14. 曲线 【答案】 【解析】由 切点坐标为 15. 的内角在处的切线方程为__________．，得 ，由点斜式得切线方程为 的对边分别为 ，已知 ，即，所以切线斜率为 ， ，故答案为 .，则 的大小为__________． 【答案】 【解析】由 ，根据正弦定理得 ，即，，又，，故答案为.16. 某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序.已知生产一把椅子需要木工 4 个工作时，漆工 2 个工作时；生产一张桌子需要木工 8 个工作时，漆工 1 个工作时.生产一 把椅子的利润为 1500 元， 生产一张桌子的利润为 2000 元.该厂每个月木工最多完成 8000 个 工作时、漆工最多完成 1300 个工作时.根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大 利润是__________元. 【答案】2100000 【解析】三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列 （1）证明数列 （2）设 解： （1）当 当 所以 所以数列 时， ， 是以 为首项，以 2 为公比的等比数列. ， ， （1） （2） （1）-（2）得： 前 项和为 ，且 .是等比数列； ，求数列 时， 的前 项和 ，所以 ， . ，（2）由（1）知， 所以 所以， 所以 .18. 随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现.某运营公司为 了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了 40 个用户，得到用户的满意度 评分如下：用系统抽样法从 40 名用户中抽取容量为 10 的样本， 且在第一分段里随机抽到的评分数据为 92. （1）请你列出抽到的 10 个样本的评分数据； （2）计算所抽到的 10 个样本的均值 和方差 ； （3）在（2）条件下，若用户的满意度评分在 之间，则满意度等级为“ 级”.试应用样本估计总体的思想，估计该地区满意度等级为“ 级”的用户所占的百分比是多少？（精 确到 ) .参考数据：解： （1）由题意得，通过系统抽样分别抽取编号为 4,8,12,16,20,24,28,32,36,40 的评分数据为 样本，则样本的评分数据为 92,84,86,78,89,74,83,78,77,89. （2） 由 （1） 中的样本评分数据可得 ，则有（3）由题意知评分在 由（1）中容量为 10 的样本评分在 的用户所占的百分比约为之间，即之间，之间有 5 人，则该地区满意度等级为“ 级” .另解：由题意知评分在 数据中在 . 19. 如图，在四棱锥 中点. 中，，即之间， ，从调查的 40 名用户评分共有 21 人，则该地区满意度等级为“ 级”的用户所占的百分比约为,，点 为棱的（1）证明： （2）若 （1）证明：取 因为点 为棱 所以 因为 所以 所以四边形 且 且 且平面； ，求三棱锥 的体积.的中点 的中点，，连接.， ， ， 为平行四边形，所以 因为 所以， 平面 平面 . ， 平面 ，（2）解：因为 所以 因为 所以 因为 所以 平面 ， , . 的中点，且 的距离为 2. 平面 . ，所以，，，平面,因为点 为棱 所以点 到平面，.三棱锥的体积.20. 抛物线 （1）若点与两坐标轴有三个交点，其中与 轴的交点为 . 在 上，求直线 斜率的取值范围；（2）证明：经过这三个交点的圆 过定点. （1）解：由题意得 .故 （2）证明：由（1）知，点 坐标为 .令，解得，故.故可设圆的圆心为，由得，，解得，则圆的半径为. 所以圆的方程为，所以圆的一般方程为，即.由得或，故都过定点.21. 已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：.解：（1），①若，则，在上为増函数；②若，则当时，；当时，故在上，为増函数；在上，为减函数.（2）因为，所以只需证，由（1）知，当时，在上为增函数，在上为减函数，所以.记，则，所以，当时，，为减函数；当时，，为增函数，所以.所以当时，，即，即.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线（为参数，）.在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线.（1）若与曲线没有公共点，求的取值范围；（2）若曲线上存在点到距离的最大值为，求的值.解：（1）因为直线的极坐标方程为，即，所以直线的直角坐标方程为；因为（参数，）所以曲线的普通方程为，由消去得，，所以，解得，故的取值范围为.（2）由（1）知直线的直角坐标方程为，故曲线上的点到的距离，故的最大值为由题设得，解得.又因为，所以.23. 选修4-5：不等式选讲设函数.（1）求不等式的解集；（2）已知关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围.解：（1）因为，所以，，或或解得或或，所以，故不等式的解集为.（2）因为，所以当时，恒成立，而，因为，所以，即，由题意，知对于恒成立，所以，故实数的取值范围.。

2017-2018学年福建省福州市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|（x﹣6）（x+1）＜0}，B＝{x|x﹣1＞0}，则A∩B＝（）A．（﹣1，6）B．（﹣1，1）C．（1，6）D．∅2．（5分）若复数为纯虚数，则实数a＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．23．（5分）已知，，则＝（）A．B．C．D．4．（5分）＝（）A．B．C．1D．5．（5分）已知双曲线C的两个焦点F1，F2都在x轴上，对称中心为原点，离心率为．若点M在C上，且MF1⊥MF2，M到原点的距离为，则C的方程为（）A．B．C．D．6．（5分）已知圆柱的高为2，底面半径为，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于（）A．4πB．C．D．16π7．（5分）如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的“孙子剩余定理”，图中的Mod （N，m）＝n表示正整数N除以正整数m后的余数为n，例如Mod（10，3）＝1．执行该程序框图，则输出i的等于（）A．23B．38C．44D．588．（5分）将函数y＝2sin x+cos x的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y＝sin x﹣2cos x B．y＝2sin x﹣cos xC．y＝﹣sin x+2cos x D．y＝﹣2sin x﹣cos x9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．8B．2C．2D．210．（5分）已知函数，若f（a）＝3，则f（a﹣2）＝（）A．B．3C．或3D．或311．（5分）过椭圆的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝e x+e2﹣x，若关于x的不等式[f（x）]2﹣af（x）≤0恰有3个整数解，则实数a的最小值为（）A．1B．2e C．e2+1D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）某商店随机将三幅分别印有福州三宝（脱胎漆器、角梳、纸伞）的宣传画并排贴在同一面墙上，则角梳与纸伞的宣传画相邻的概率是．14．（5分）曲线y＝x3﹣2x2+2x在x＝1处的切线方程为．15．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则A的大小为．16．（5分）某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序．已知生产一把椅子需要木工4个工作时，漆工2个工作时；生产一张桌子需要木工8个工作时，漆工1个工作时．生产一把椅子的利润为1500元，生产一张桌子的利润为2000元．该厂每个月木工最多完成8000个工作时、漆工最多完成1300个工作时．根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是元．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}前n项和为S n，且S n＝2a n﹣1．（1）证明数列{a n}是等比数列；（2）设b n＝（2n﹣1）a n，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现．某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下：用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92．（1）请你列出抽到的10个样本的评分数据；（2）计算所抽到的10个样本的均值和方差s2；（3）在（2）条件下，若用户的满意度评分在之间，则满意度等级为“A 级”．试应用样本估计总体的思想，估计该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比是多少？（精确到0.1%）参考数据：．19．（12分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，CD＝2AB＝2CE＝4，点F为棱DE的中点．（1）证明：AF∥平面BCE；（2）若，求三棱锥B﹣CEF的体积．20．（12分）抛物线C：y＝2x2﹣4x+a与两坐标轴有三个交点，其中与y轴的交点为P．（1）若点Q（x，y）（1＜x＜4）在C上，求直线PQ斜率的取值范围；（2）证明：经过这三个交点的圆E过定点．21．（12分）已知函数f（x）＝elnx﹣ax（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＝e时，证明：xf（x）﹣e x+2ex≤0．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线（α为参数，t＞0）．在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线．（1）若l与曲线C没有公共点，求t的取值范围；（2）若曲线C上存在点到l距离的最大值为，求t的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣1|，x∈R．（1）求不等式f（x）≤3﹣f（x﹣1）的解集；（2）已知关于x的不等式f（x）≤f（x+1）﹣|x﹣a|的解集为M，若，求实数a的取值范围．2017-2018学年福建省福州市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：∵集合A＝{x|（x﹣6）（x+1）＜0}＝{x|﹣1＜x＜6}，B＝{x|x﹣1＞0}＝{x|x＞1}，∴A∩B＝{x|1＜x＜6}＝（1，6）．故选：C．2．【解答】解：复数＝+1＝+1＝+1﹣i，由于复数为纯虚数，∴+1＝0，且﹣≠0，∴a＝﹣2，故选：A．3．【解答】解：∵，∴＝2（1，2）﹣（﹣1，1）＝（3，3），则＝3，故选：B．4．【解答】解：＝﹣2sin15°•sin30°＝﹣sin15°＝﹣2（）＝﹣2sin（﹣45°）＝．故选：D．5．【解答】解：双曲线C的两个焦点F1，F2都在x轴上，对称中心为原点，离心率为．若点M在C上，且MF1⊥MF2，M到原点的距离为，可得c＝，则a＝1，所以b＝，所以双曲线方程为：．故选：C．6．【解答】解：由题意，球心O为圆柱高的中点，如图OM＝1，MN＝，∴求半径ON＝2，∴＝16π，故选：D．7．【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：①被3除余2，②被5除余3，③被7除余2，最小两位数，故输出的n为23，故选：A．8．【解答】解：函数y＝2sin x+cos x的周期为2π，将函数y＝2sin x+cos x的图象向右平移个周期后，即平移π个单位，所得图象对应的函数为y＝2sin（x+π）+cos（x+π）＝﹣2sin x﹣cos x，故选：D．9．【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：是正方体列出为2的一部分，A﹣BCD，三棱锥的表面积为：＝2．故选：D．10．【解答】解：∵函数，f（a）＝3，∴当a＞0时，f（a）＝＝3，解得a＝2，f（a﹣2）＝f（0）＝4﹣2﹣1＝﹣；当a≤0时，f（a）＝4a﹣2﹣1＝3，解得a＝3，不成立．综上，f（a﹣2）＝﹣．故选：A．11．【解答】解：直线l的方程为：，椭圆的右焦点（c，0），过椭圆的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，可得：可得：b≥2c，即a2﹣c2≥4c2，即：e2，∵e∈（0，1），解得：0＜e≤．故选：A．12．【解答】解：函数f（x）的导数为f′（x）＝e x﹣e2﹣x，当x＞1时，f（x）递增，x＜1时，f（x）递减，x＝1处f（x）取得最小值2e，且f（0）＝f（2）＝1+e2，如图所示，[f（x）]2﹣af（x）≤0，当a＞0时，0≤f（x）≤a，由于关于x的不等式[f（x）]2﹣af（x）≤0恰有3个整数解，因此其整数解为0，1，2，可得a≥1+e2，a≤0不必考虑，可得实数a的最小值是1+e2，故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．【解答】解：某商店随机将三幅分别印有福州三宝（脱胎漆器、角梳、纸伞）的宣传画并排贴在同一面墙上，基本事件总数n＝＝6，角梳与纸伞的宣传画相邻包含的基本事件个数m＝＝4，∴角梳与纸伞的宣传画相邻的概率是p＝＝．故答案为：．14．【解答】解：y＝x3﹣2x2+2x的导数为y′＝3x2﹣4x+2，可得切线的斜率为k＝f′（1）＝3﹣4+2＝1，且切点为（1，1），可得切线的方程为y﹣1＝x﹣1．即y＝x．故答案为：y＝x．15．【解答】解：∵，∴由正弦定理可得：（sin A cos C﹣sin C cos A）＝sin B，可得：sin（A﹣C）＝sin B＝，∴sin（A﹣C）＝，∵A+C＝120°，又∵0°＜A＜120°，0°＜C＜120°，可得：﹣120°＜A﹣C＜120°，∴A﹣C＝30°，∴解得：A＝75°．故答案为：75°．16．【解答】解：设每天生产桌子x张，椅子y张，利润总额为p，目标函数为：p＝15x+20y，则，作出可行域：把直线l：3x+4y＝0向右上方平移至l'的位置时，直线经过可行域上的点B，此时p＝1500x+2000y取最大值，解方程，得B的坐标为（200，900）．p＝1500×200+2000×900＝2100000．∴每天应生产桌子200张，椅子900张才能获得最大利润2100000（元）．故答案为：2100000．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：（1）当n＝1时，a1＝S1＝2a1﹣1，所以a1＝1，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝（2a n﹣1）﹣（2a n﹣1﹣1），所以a n＝2a n﹣1，所以数列{a n}是以a1＝1为首项，以2为公比的等比数列．（2）由（1）知，，所以，所以（1）（2）（1）﹣（2）得：＝＝（3﹣2n）2n﹣3，所以．18．【解答】解：（1）由题意得，在第一分段里随机抽到的评分数据为92，其对应的编号为4，则通过系统抽样分别抽取编号为4，8，12，16，20，24，28，32，36，40的评分数据为样本，则样本的评分数据为92，84，86，78，89，74，83，78，77，89．（2）由（1）中的样本评分数据可得，则有（78﹣83）2+（77﹣83）2+（89﹣83）2]＝33（3）由题意知评分在，即（77.26，88.74）之间，从调查的40名用户评分数据中在（77.26，88.74）共有21人，则该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比约为．19．【解答】证明：（1）证法一：取CE的中点M，连接FM，BM．因为点F为棱DE的中点，所以FM∥CD且，因为AB∥CD且AB＝2，所以FM∥AB且FM＝AB，所以四边形ABMF为平行四边形，所以AF∥BM，因为AF⊄平面BCE，BM⊂平面BCE，所以AF∥平面BCE．证法二：在平面ABCD内，分别延长CB，DA，交于点N．因为AB∥CD，CD＝2AB，所以A为DN中点．又因为F为DE的中点，所以AF∥EN．因为EN⊂平面BCE，AF⊄平面BCE，所以AF∥平面BCE．证明法三：取棱CD的中点G，连接AG，GF，因为点F为棱DE的中点，所以FG∥CE，因为FG⊄平面BCE，CE⊂平面BCE，所以FG∥平面BCE；因为AB∥CD，AB＝CG＝2，所以四边形ABCG是平行四边形，所以AG∥BC，因为AG⊄平面BCE，BC⊂平面BCE，所以AG∥平面BCE；又因为FG∩AG＝G，FG⊂平面AFG，AG⊂平面AFG，所以平面AFG∥平面BCE；因为AF⊂平面AFG，所以AF∥平面BCE．解：（2）因为AB∥CD，∠ABC＝90°，所以CD⊥BC．因为，所以CD2+CE2＝DE2，所以CD⊥CE，因为BC∩CE＝C，BC⊂平面BCE，CE⊂平面BCE，所以CD⊥平面BCE．因为点F为棱DE的中点，且CD＝4，所以点F到平面BCE的距离为 2.．三棱锥B﹣CEF的体积＝．20．【解答】解法一：（1）由题意得P（0，a）（a≠0），Q（x，2x2﹣4x+a）（1＜x＜4）．故＝2x﹣4∈（﹣2，4）（2）由（1）知，点P坐标为（0，a）（a≠0）．令2x2﹣4x+a＝0，解得，故．故可设圆E的圆心为M（1，t），由|MP|2＝|MA|2得，，解得，则圆E的半径为．所以圆E的方程为，所以圆E的一般方程为，即．由得或，故E都过定点．解法二：（1）同解法一．（2）由（1）知，点P坐标为（0，a）（a≠0），设抛物线C与x轴两交点分别为A（x1，0），B（x2，0）．设圆E的一般方程为：x2+y2+Dx+Fy+G＝0，则因为抛物线C与x轴交于A（x1，0），B（x2，0），所以x1，x2是方程2x2﹣4x+a＝0，即的两根，所以，所以，所以圆E的一般方程为，即．由得或，故E都过定点．21．【解答】解：（1），①若a≤0，则f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上为増函数；②若a＞0，则当时，f'（x）＞0；当时，f'（x）＜0．故在上，f（x）为増函数；在上，f（x）为减函数．（2）因为x＞0，所以只需证，由（1）知，当a＝e时，f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数，所以f（x）max＝f（1）＝﹣e．记，则，所以，当0＜x＜1时，g'（x）＜0，g（x）为减函数；当x＞1时，g'（x）＞0，g（x）为增函数，所以g（x）min＝g（1）＝﹣e．所以当x＞0时，f（x）≤g（x），即，即xf（x）﹣e x+2ex≤0．解法二：（1）同解法一．（2）由题意知，即证exlnx﹣ex2﹣e x+2ex≤0，从而等价于．设函数g（x）＝lnx﹣x+2，则．所以当x∈（0，1））时，g'（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，g'（x）＜0，故g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．从而g（x）在（0，+∞）上的最大值为g（1）＝1．设函数，则．所以当x∈（0，1））时，h'（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0．故h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递増．从而h（x）在（0，+∞）上的最小值为h（1）＝1．综上，当x＞0时，g（x）＜h（x），即xf（x）﹣e x+2ex≤0．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）因为直线l的极坐标方程为，即ρcosθ+ρsinθ＝2，所以直线l的直角坐标方程为x+y＝2；因为（α参数，t＞0）所以曲线C的普通方程为，由消去x得，（1+t2）y2﹣4y+4﹣t2＝0，所以△＝16﹣4（1+t2）（4﹣t2）＜0，解得0＜t＜，故t的取值范围为．（2）由（1）知直线l的直角坐标方程为x+y﹣2＝0，故曲线C上的点（t cosα，sinα）到l的距离，故d的最大值为由题设得，解得．又因为t＞0，所以．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）因为f（x）≤3﹣f（x﹣1），所以|x﹣1|≤3﹣|x﹣2|，⇔|x﹣1|+|x﹣2|≤3，或或解得0≤x＜1或1≤x≤2或2＜x≤3，所以0≤x≤3，故不等式f（x）≤3﹣f（x﹣1）的解集为[0，3]．（2）因为，所以当时，f（x）≤f（x+1）﹣|x﹣a|恒成立，而f（x）≤f（x+1）﹣|x﹣a|⇔|x﹣1|﹣|x|+|x﹣a|≤0⇔|x﹣a|≤|x|﹣|x﹣1|，因为，所以|x﹣a|≤1，即x﹣1≤a≤x+1，由题意，知x﹣1≤a≤x+1对于恒成立，所以，故实数a的取值范围．。

2018-2019福建福州市高三上学期期末数学（文）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2≤4，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B（）A．（0，2） B．[0，2] C．{0，1，2} D．{0，2}2．已知i是虚数单位，则=（）A．B．C．3﹣i D．3+i3．已知向量=（3，4），=（sinα，cosα），若∥，则tanα的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣4．已知函数y=sin4x﹣cos4x是一个（）A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数C．周期为的奇函数D．周期为的偶函数5．函数f（x）=2x+4x﹣3的零点所在区间是（）A．（，） B．（﹣，0） C．（0，） D．（，）6．下列命题中正确的个数是（）①命题“任意x∈（0，+∞），2x＞1”的否定是“任意x∉（0，+∞），2x≤1；②命题“若cosx=cosy，则x=y”的逆否命题是真命题；③若命题p为真，命题￢q为真，则命题p且q为真；④命题“若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题是“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0”．A．1个B．2个C．3个D．4个7．已知变量x，y满足：：，则z=（）2x+y的最大值为（）A．B．2C．2 D．48．已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线y2=﹣4x 的焦点重合，则此椭圆方程为（）A． B．C．D．9．若两个正实数x，y满足+=1，且x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪[4，+∞） B．（﹣∞，﹣4）∪[2，+∞）C．（﹣2，4）D．（﹣4，2）10．函数y=（x+2）ln|x|的图象大致为（）A．B． C． D．11．已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且||=||，其中O为原点，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．或﹣12．记，，，其中e为自然对数的底数，则a，b，c这三个数的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＜b＜c C．b＞c＞a D．b＞a＞c二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tanα的值是．14．已知变量x，y满足，则的取值范围是．15．如下数表，为一组等式：某学生根据上表猜测S2n﹣1=（2n﹣1）（an2+bn+c），老师回答正确，则a﹣b+c=．16．在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E、F 分别为AB、BC的中点．点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧上变动（如图所示），若=λ+μ，其中λ，μ∈R．则2λ﹣μ的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b=1，，且a＞b，试求角B和角C．18．为了解甲、乙两校高三年级学生某次期末联考地理成绩情况，从这两学校中分别随机抽取30名高三年级的地理成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如图所示：（Ⅰ）若乙校高三年级每位学生被抽取的概率为0.15，求乙校高三年级学生总人数；（Ⅱ）根据茎叶图，分析甲、乙两校高三年级学生在这次联考中地理成绩；（Ⅲ）从样本中甲、乙两校高三年级学生地理成绩不及格（低于60分为不及格）的学生中随机抽取2人，求至少抽到一名乙校学生的概率．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点．（1）求证：PC∥平面BDE；（2）若PC⊥PA，PD=AD，求证：平面BDE⊥平面PAB．20．椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．21．设函数f（x）=lnx+a（1﹣x）．（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请涂清题号．[选修4-1：几何选讲]（本小题满分10分）[选修4-4：极坐标及参数方程选讲]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知定义在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为a．（1）求a的值；（2）解不等式f（x）＞4．2018-2019福建福州市高三上学期期末数学（文）试题参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2≤4，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B（）A．（0，2） B．[0，2] C．{0，1，2} D．{0，2}【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式解得：﹣2≤x≤2，即A=[﹣2，2]，由B中不等式解得：0≤x≤16，x∈Z，即B={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}，则A∩B={0，1，2}，故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知i是虚数单位，则=（）A．B．C．3﹣i D．3+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】分子分母同乘分母的共轭复数1﹣i即可求解．【解答】解：．故选A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法运算是分子分母同乘分母的共轭复数．3．已知向量=（3，4），=（sinα，cosα），若∥，则tanα的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣【考点】平行向量与共线向量；同角三角函数间的基本关系．【专题】三角函数的求值；平面向量及应用．【分析】由平面向量的数量积运算法则计算列出关系式，即可求出tanα的值．【解答】解：∵向量=（3，4），=（sinα，cosα），∥，∴3cosα=4sinα，则tanα=．故选C【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及平面向量与共线向量，熟练掌握基本关系是解本题的关键．4．已知函数y=sin4x﹣cos4x是一个（）A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数C．周期为的奇函数D．周期为的偶函数【考点】二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题；数形结合；分析法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】利用平方差公式及二倍角公式，同角三角函数基本关系式化简可得y=﹣cos2x，利用周期公式及余弦函数的图象和性质即可得解．【解答】解：∵y=sin4x﹣cos4x=（sin2x﹣cos2x）（sin2x+cos2x）=sin2x﹣cos2x=﹣cos2x，∴T=，利用余弦函数的图象和性质可得此函数为偶函数．故选：B．【点评】本题主要考查了平方差公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式，周期公式及余弦函数的图象和性质等知识的综合应用，属于基本知识的考查．5．函数f（x）=2x+4x﹣3的零点所在区间是（）A．（，） B．（﹣，0） C．（0，） D．（，）【考点】二分法求方程的近似解．【专题】函数的性质及应用．【分析】据函数零点的判定定理，判断出f（）与f（）的符号相反，即可求得结论．【解答】解：∵函数f（x）=2x+4x﹣3的图象是连续的，且在定义域R上为增函数，又∵f（）=﹣2＜0，f（）=＞0，故函数f（x）=2x+4x﹣3的零点所在区间是（，），故选：A．【点评】本题考查函数的零点的判定定理，解答关键是熟悉函数的零点存在性定理，属基础题．6．下列命题中正确的个数是（）①命题“任意x∈（0，+∞），2x＞1”的否定是“任意x∉（0，+∞），2x≤1；②命题“若cosx=cosy，则x=y”的逆否命题是真命题；③若命题p为真，命题￢q为真，则命题p且q为真；④命题“若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题是“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0”．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】命题的真假判断与应用．【专题】整体思想；定义法；简易逻辑．【分析】①根据含有量词的命题的否定进行判断．②根据逆否命题的等价性进行判断．③根据复合命题真假之间的关系进行判断．④根据否命题的定义进行判断．【解答】解：①命题“任意x∈（0，+∞），2x＞1”的否定是“存在x∈（0，+∞），2x≤1；故①错误，②命题“若cosx=cosy，则x=y”的为假命题，则逆否命题也是假命题；故②错误，③若命题p为真，命题￢q为真，则命题q为假命题，则命题p且q为假命题；故③错误，④命题“若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题是“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0”．故④正确，故命题中正确的个数为1个，故选：A【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及含有量词的命题的否定，四种命题的关系以及复合命题真假之间关系，比较基础．7．已知变量x，y满足：：，则z=（）2x+y的最大值为（）A．B．2C．2 D．4【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，设m=2x+y，利用线性规划的知识求出m的最大值即可求出z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．设m=2x+y得y=﹣2x+m，平移直线y=﹣2x+m，由图象可知当直线y=﹣2x+m经过点A时，直线y=﹣2x+m的截距最大，此时m最大．由，解得，即A（1，2），代入目标函数m=2x+y得z=2×1+2=4．即目标函数z=（）2x+y的最大值为z=（）4=4．故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，数形结合的数学思想是解决此类问题的基本思想．8．已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线y2=﹣4x 的焦点重合，则此椭圆方程为（）A． B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】先求出焦点的坐标，再由离心率求得半长轴的长，从而得到短半轴长的平方，写出椭圆的标准方程．【解答】解：抛物线y2=﹣4x的焦点为（﹣1，0），∴c=1，由离心率可得a=2，∴b2=a2﹣c2=3，故椭圆的标准方程为+=1，故选A．【点评】本题考查椭圆的简单性质，以及求椭圆的标准方程的方法．9．若两个正实数x，y满足+=1，且x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪[4，+∞） B．（﹣∞，﹣4）∪[2，+∞）C．（﹣2，4）D．（﹣4，2）【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由题意和基本不等式可得x+2y的最小值，再由恒成立可得m的不等式，解不等式可得m范围．【解答】解：∵正实数x，y满足+=1，∴x+2y=（x+2y）（+）=4++≥4+2=8，当且仅当=即x=4且y=2时x+2y取最小值8，∵x+2y＞m2+2m恒成立，∴8＞m2+2m，解关于m的不等式可得﹣4＜m＜2故选：D【点评】本题考查基本不等式求最值，涉及恒成立问题和不等式的解法，属中档题．10．函数y=（x+2）ln|x|的图象大致为（）A．B． C． D．【考点】函数的图象．【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】根据函数的零点，单调性及极限思想结合选项使用排除法得出答案．【解答】解：令y=（x+2）ln|x|=0得x=﹣2或x=1或x=﹣1，∴该函数由三个零点，排除B；当x＜﹣2时，x+2＜0，|x|＞2，∴ln|x|＞ln2＞0，∴当x＜﹣2时，y=（x+2）ln|x|＜0，排除C，D．故选A．【点评】本题考查了函数图象的判断，常从单调性、奇偶性、特殊点、定义域等几个方面进行判断．11．已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且||=||，其中O为原点，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．或﹣【考点】直线和圆的方程的应用；向量的模；向量在几何中的应用．【专题】计算题．【分析】条件“||=||”是向量模的等式，通过向量的平方可得向量的数量积|2=||2，•=0，可得出垂直关系，接下来，如由直线与圆的方程组成方程组求出A、B两点的坐标，势必计算很繁，故采用设而不求的方法．【解答】解：由||=||得||2=||2，•=0，⊥，三角形AOB为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为，即=，a=±2，故选C．【点评】若非零向量，，满足||=||，则．模的处理方法一般进行平方，转化成向量的数量积．向量是既有大小，又有方向的量，它既有代数特征，又有几何特征，通过向量可以实现代数问题与几何问题的互相转化，所以向量是数形结合的桥梁．12．记，，，其中e为自然对数的底数，则a，b，c这三个数的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＜b＜c C．b＞c＞a D．b＞a＞c【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用对数函数性质求解．【解答】解：∵=+1，=，=，∵e≈2.71828，＜ln2＜1，∴b＞a＞c．故选：D．【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数性质的合理运用．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tanα的值是﹣．【考点】二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系．【专题】三角函数的求值．【分析】依题意，利用二倍角的正弦可得cosα=﹣，又α∈（，π），可求得α的值，继而可得tanα的值．【解答】解：∵sin2α=2sinαcosα=﹣sinα，∴cosα=﹣，又α∈（，π），∴α=，∴tanα=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系与二倍角的正弦，属于基础题．14．已知变量x，y满足，则的取值范围是[，]．【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】作出可行域，变形目标函数可得=1+表示可行域内的点与A（﹣2，﹣1）连线的斜率与1的和，数形结合可得．【解答】解：作出所对应的区域（如图阴影），变形目标函数可得==1+，表示可行域内的点与A（﹣2，﹣1）连线的斜率与1的和，由图象可知当直线经过点B（2，0）时，目标函数取最小值1+=；当直线经过点C（0，2）时，目标函数取最大值1+=；故答案为：[，]【点评】本题考查简单线性规划，涉及直线的斜率公式，准确作图是解决问题的关键，属中档题．15．如下数表，为一组等式：某学生根据上表猜测S2n﹣1=（2n﹣1）（an2+bn+c），老师回答正确，则a﹣b+c=5．【考点】归纳推理．【专题】规律型．【分析】利用所给等式，对猜测S2n﹣1=（2n﹣1）（an2+bn+c），进行赋值，即可得到结论．【解答】解：由题意，，∴，∴a﹣b+c=5故答案为：5【点评】本题考查了归纳推理，根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理．16．在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E、F 分别为AB、BC的中点．点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧上变动（如图所示），若=λ+μ，其中λ，μ∈R．则2λ﹣μ的取值范围是[﹣1，1]．【考点】向量在几何中的应用．【专题】综合题；平面向量及应用．【分析】建立如图所示的坐标系，则A（0，0），E（1，0），D（0，1），F （1.5，0.5），P（cosα，sinα）（0°≤α≤90°），λ，μ用参数进行表示，利用辅助角公式化简，即可得出结论．【解答】解：建立如图所示的坐标系，则A（0，0），E（1，0），D（0，1），F（1.5，0.5），P（cosα，sinα）（0°≤α≤90°），∵=λ+μ，∴（cosα，sinα）=λ（﹣1，1）+μ（1.5，0.5），∴cosα=﹣λ+1.5μ，sinα=λ+0.5μ，∴λ=（3sinα﹣cosα），μ=（cosα+sinα），∴2λ﹣μ=sinα﹣cosα=sin（α﹣45°）∵0°≤α≤90°，∴﹣45°≤α﹣45°≤45°，∴﹣≤sin（α﹣45°）≤，∴﹣1≤sin（α﹣45°）≤1∴2λ﹣μ的取值范围是[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．【点评】本题考查平面向量知识的运用，考查学生的计算能力，正确利用坐标系是关键．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b=1，，且a＞b，试求角B和角C．【考点】正弦定理的应用；两角和与差的正弦函数．【专题】解三角形．【分析】（1）将f（x）解析式第一项利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，x∈Z列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）的递增区间；（2）由（1）确定的f（x）解析式，及f（）=﹣，求出sin（B﹣）的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出B的度数，再由b与c的值，利用正弦定理求出sinC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，由a大于b得到A大于B，检验后即可得到满足题意B和C的度数．【解答】解：（1）f（x）=cos（2x﹣）﹣cos2x=sin2x﹣cos2x=sin （2x﹣），令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，x∈Z，解得：kπ﹣≤x≤kπ+，x∈Z，则函数f（x）的递增区间为[kπ﹣，kπ+]，x∈Z；（2）∵f（B）=sin（B﹣）=﹣，∴sin（B﹣）=﹣，∵0＜B＜π，∴﹣＜B﹣＜，∴B﹣=﹣，即B=，又b=1，c=，∴由正弦定理=得：sinC==，∵C为三角形的内角，∴C=或，当C=时，A=；当C=时，A=（不合题意，舍去），则B=，C=．【点评】此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，正弦定理，正弦函数的单调性，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．为了解甲、乙两校高三年级学生某次期末联考地理成绩情况，从这两学校中分别随机抽取30名高三年级的地理成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如图所示：（Ⅰ）若乙校高三年级每位学生被抽取的概率为0.15，求乙校高三年级学生总人数；（Ⅱ）根据茎叶图，分析甲、乙两校高三年级学生在这次联考中地理成绩；（Ⅲ）从样本中甲、乙两校高三年级学生地理成绩不及格（低于60分为不及格）的学生中随机抽取2人，求至少抽到一名乙校学生的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图；古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】（I）利用等可能事件的概率，直接高三年级学生总数．（II）利用茎叶图甲校有22位，乙校有22位，判断成绩的平均数较大，方差较小．得到结果．（III）甲校有4位同学成绩不及格，分别记为：1、2、3、4；乙校有2位同学成绩不及格，分别记为：5、6．列出从两校不及格的同学中随机抽取两人的所有基本事件．乙校包含至少有一名学生成绩不及格的事件为A，列出A包含9个基本事件，然后求解概率．【解答】解：（I）因为每位同学被抽取的概率均为0.15，则高三年级学生总数…（3分）（I I）由茎叶图可知甲校有22位同学分布在60至80之间，乙校也有22位同学分布在70至80之间，乙校的总体成绩分布下沉且较集中即成绩的平均数较大，方差较小．所以，乙校学生的成绩较好．…（7分）（III）由茎叶图可知，甲校有4位同学成绩不及格，分别记为：1、2、3、4；乙校有2位同学成绩不及格，分别记为：5、6．则从两校不及格的同学中随机抽取两人有如下可能：（1，2）、（13）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、（3，4）、（3，5）、（3，6）、（4，5）、（4，6）、（5，6），总共有15个基本事件．其中，乙校包含至少有一名学生成绩不及格的事件为A，则A包含9个基本事件，如下：（1，5）、（1，6）、（2，5）、（2，6）、（3，5）、（3，6）、（4，5）、（4，6）、（5，6）．…（10分）所以，…（12分）【点评】本题考查茎叶图的应用，古典概型的概率的求法，考查计算能力．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点．（1）求证：PC∥平面BDE；（2）若PC⊥PA，PD=AD，求证：平面BDE⊥平面PAB．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；空间位置关系与距离．【分析】（1）连结AC，交BD于O，连结OE，E为PA的中点，利用三角形中位线的性质，可知OE∥PC，利用线面平行的判定定理，即可得出结论；（2）先证明PA⊥DE，再证明PA⊥OE，可得PA⊥平面BDE，从而可得平面BDE⊥平面PAB．【解答】证明：（1）连结AC，交BD于O，连结OE．因为ABCD是平行四边形，所以OA=OC．…（2分）因为E为侧棱PA的中点，所以OE∥PC．…（4分）因为PC⊂平面BDE，OE⊂平面BDE，所以PC∥平面BDE．…（6分）（2）因为E为PA中点，PD=AD，所以PA⊥DE．…（8分）因为PC⊥PA，OE∥PC，所以PA⊥OE．因为OE⊂平面BDE，DE⊂平面BDE，OE∩DE=E，所以PA⊥平面BDE．…（12分）因为PA⊂平面PAB，所以平面BDE⊥平面PAB．…（14分）【点评】本题考查线面平行的判定，考查面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用椭圆的离心率，以及椭圆经过的点，求解椭圆的几何量，然后得到椭圆的方程．（2）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），联立直线方程与椭圆方程，通过韦达定理求解K OM，然后推出直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．【解答】解：（1）椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上，可得，，解得a2=8，b2=4，所求椭圆C方程为：．（2）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），把直线y=kx+b代入可得（2k2+1）x2+4kbx+2b2﹣8=0，故x M==，y M=kx M+b=，于是在OM的斜率为：K OM==，即K OM•k=．∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．【点评】本题考查椭圆方程的综合应用，椭圆的方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．21．设函数f（x）=lnx+a（1﹣x）．（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】开放型；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）先求导，再分类讨论，根据导数即可判断函数的单调性；（2）先求出函数的最大值，再构造函数（a）=lna+a﹣1，根据函数的单调性即可求出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=lnx+a（1﹣x）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=﹣a=，若a≤0，则f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，若a＞0，则当x∈（0，）时，f′（x）＞0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，（Ⅱ），由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上无最大值；当a＞0时，f（x）在x=取得最大值，最大值为f（）=﹣lna+a﹣1，∵f（）＞2a﹣2，∴lna+a﹣1＜0，令g（a）=lna+a﹣1，∵g（a）在（0，+∞）单调递增，g（1）=0，∴当0＜a＜1时，g（a）＜0，当a＞1时，g（a）＞0，∴a的取值范围为（0，1）．【点评】本题考查了导数与函数的单调性最值的关系，以及参数的取值范围，属于中档题．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请涂清题号．[选修4-1：几何选讲]（本小题满分10分）[选修4-4：极坐标及参数方程选讲]22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．化为ρ2=2，把代入即可得出；．（II）设P，又C．利用两点之间的距离公式可得|PC|=，再利用二次函数的性质即可得出．【解答】解：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴ρ2=2，化为x2+y2=，配方为=3．（II）设P，又C．∴|PC|==≥2，因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P（3，0）．【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知定义在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为a．（1）求a的值；（2）解不等式f（x）＞4．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】分类讨论；转化法；不等式的解法及应用．【分析】（1）根据|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，求出f（x）的最小值；（2）讨论x的取值范围，求出f（x）的解析式，再求不等式f（x）＞4的解集．【解答】解：（1）因为|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，当且仅当﹣1≤x≤2时，等号成立，所以f（x）的最小值等于3，即a=3；（2）由（1）知，当﹣1≤x≤2时，f（x）=3，f（x）＞4不成立；当x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+1）﹣（x﹣2）=﹣2x+1，不等式f（x）＞4化为﹣2x+1＞4，解得x＜﹣；当x＞2时，f（x）=（x+1）+（x﹣2）=2x﹣1，不等式f（x）＞4化为2x﹣1＞4，解得x＞；所以，不等式f（x）＞4的解集为{x|x＜﹣或x＞}．【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了绝对值不等式的应用问题，是基础题目．。

福建省福州市2018-2019高三上学期期末质检试题文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合）2. ）B. C. 1 D. 23. ）（）5. 已知双曲线在且，到原点的距离为则（）6. 已知圆柱的高为2，底面半径为，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于（）7. 如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的《孙子剩余定理》.表示正整数后的余数为）A. 23B. 38C. 44D. 588. 的图象向右平移所得图象对应的函数为（）9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）10. ）B. 3C. 或3D. 311. 过椭圆的右焦点作轴的垂线，交过的左焦点和上顶点.若以存在公共点，则心率的取值范围是（）12. 3个整数解，）第Ⅱ卷（共90分）二.填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 某商店随机将三幅分别印有福州三宝（脱胎漆器、角梳、纸伞）的宣传画并排贴在同一面墙上，则角梳与纸伞的宣传画相邻的概率是__________．14. __________．的对边分别为已知则的大小为__________．16. 某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序.已知生产一把椅子需要木工4个工作时，漆工2个工作时；生产一张桌子需要木工8个工作时，漆工1个工作时.生产一把椅子的利润为1500元，生产一张桌子的利润为2000元.该厂每个月木工最多完成8000个工作时、漆工最多完成1300个工作时.根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是__________元.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. ，且（1（2，求数列的前项和18. 随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现.某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下：用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92.（1）请你列出抽到的10个样本的评分数据；（2）计算所抽到的10（3）在（219. 中，.（1）证明：平面（2.20. 轴的交点为（1上，求直线（2）证明：经过这三个交点的圆.21.（1（222. 选修4-4：坐标系与参数方程.轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线（1没有公共点，求的取值范围；（2）若曲线距离的最大值为.23. 选修4-5：不等式选讲（1（2的不等式实.福建省福州市2018-2019高三上学期期末质检试题文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合）【答案】C所以C.2. ）B. C. 1 D. 2【答案】A故选A.3. 已知）【答案】BB.（）【答案】DD.5.在且，到原点的距离为则（）【答案】C【解析】， C.6. 已知圆柱的高为2，底面半径为在同一个球面上，则这个球的表面积等于（）【答案】D可得，球的表面积为 D.7. 如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的《孙子剩余定理》.表示正整数后的余数为）A. 23B. 38C. 44D. 58【答案】A【解析】本题框图计算过程要求找出一个数除以3余数为2；除以5余数为3；除以7余数为2，那么这个数首先是238. 的图象向右平移所得图象对应的函数为（）【答案】D函数的周期为函数向右平移D.9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）【答案】A【解析】A.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查棱锥的体积公式、棱锥的表面积以及学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题. 三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.10. ）B. 3C. 或3D. 3【答案】A，不合题意，，故选A.11. 的右焦点作轴的垂线，交过的左焦点和上顶点.若以存在公共点，则心率的取值范围是（）【答案】A的方程为，圆心坐标为，，故选A.【方法点晴】本题主要考查利用椭圆的简单性质及求椭圆的离心率范围，属于难题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将示出来，围 ..12. 3个整数解，）【答案】C【解析】即个整数解，，递增，，题意，时，不等式无解；，合题意，合题意，当时，，不等式无解；故时，有且只有C.【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式、排除法解选择题，属于难题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前项和公式问题等等.第Ⅱ卷（共90分）二.填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 某商店随机将三幅分别印有福州三宝（脱胎漆器、角梳、纸伞）的宣传画并排贴在同一面墙上，则角梳与纸伞的宣传画相邻的概率是__________．【解析】福州三宝的全排列共有种排法，，故答案为14. 处的切线方程为__________．，得，即的对边分别为已知则的大小为__________．【解析】由根据正弦定理得即，故答案为.16. 某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序.已知生产一把椅子需要木工4个工作时，漆工2个工作时；生产一张桌子需要木工8个工作时，漆工1个工作时.生产一把椅子的利润为1500元，生产一张桌子的利润为2000元.该厂每个月木工最多完成8000个工作时、漆工最多完成1300个工作时.根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是__________元.【答案】2100000【解析】【方法点晴】本题主要考查利用线性规划解决现实生活中的最佳方案及最大利润问题，属于难题题. 求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. ，且（1（2，求数列的前项和【答案】（12为公比的等比数列. （2）【解析】试题分析：（1（2）由（1）知，，利用错位相减法可得数列试题解析：（1时，，所以2为公比的等比数列.（2）由（1（1）2）（1）-（2）得：【方法点睛】本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式以及错位项和，属于中档题.一般地，数列，求数列的前可采用“错位相减法”, 在”以便下一步准确写出“.18. 随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现.某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下：用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92.（1）请你列出抽到的10个样本的评分数据；（2）计算所抽到的10（3）在（2【答案】（1）样本的评分数据为92,84,86,78,89,74,83,78,77,89. （2）（3）【解析】试题分析：（1）由第一分段里随机抽到的评分数据为根据系统抽样方法先抽取样本的编号，再对应抽取评分数据即可；（2）再根据方差公式求出方差即可；（3试题解析：（1）由题意得，通过系统抽样分别抽取编号为4,8,12,16,20,24,28,32,36,40的评分数据为样本，则样本的评分数据为92,84,86,78,89,74,83,78,77,89.（2）由（1）中的样本评分数据可得则有（3之间，即由（1）中容量为105人，则该地区满之间，，从调查的402119. 中，.（1）证明：平面（2.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）取，连接，从而可得四边形（2得平面的距离为利用三角形面积公式求出底面积，根据等积变换及棱锥的体积公式可试题解析：（1）取的中点，连接为棱，（2平面平面为棱2.三棱锥的体积【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、利用等积变换求三棱锥体积，属于中档题. 证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.20. 轴的交点为（1上，求直线（2）证明：经过这三个交点的圆.【答案】（12）【解析】试题分析：（1）由可得（2的圆心为试题解析：（1）由题意得（2）由（1）知，点，解得故可设圆的圆心为得，，则圆的半径为所以圆的方程为，的一般方程为.得或都过定点.21. 已知函数（1（2【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1增区间，求得的范围，可得函数区间；（2）1）可得的单调性，可得以，即，即试题解析：（1，则当时，为増函数；在上，.（2）因为由（1）知，当在上为增函数，在所以，当时，，为减函数；当时，，为增函数，时，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程.轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线（1没有公共点，求的取值范围；（2）若曲线距离的最大值为.【答案】（12【解析】试题分析：（1）将曲线与直线转为直角坐标系方程，然后联立直线与方程组求得结果（2）利用三角函数求出点到直线的距离表达解析：（1）因为直线的极坐标方程为，即的直角坐标方程为（得，所以的取值范围为（2）由（1.点睛：本题考查了参数方程的知识点，先将参数方程或者极坐标方程转化为直角坐标系的方程，然后根据在直角坐标系的方法求得结果，在计算点到线的距离时，由三角函数的方法在计算中更为简单23. 选修4-5：不等式选讲（1（2的不等式实.【答案】（12【解析】试题分析：（1）根据题目进行分类讨论的化简继而算出结果（2）解析：（1解得或或，（2时，，所以由题意，知，故实数的取值范围。

福州市2018届高三上学期期末考试文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. ）A）2.A．1 D．23.c=）A（）A．1 D若点M在C5.）A6.已知圆柱的高为2个球的表面积等于（）A7. 如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的《孙子剩余定理》.执行该程序框图，则输出的）A．23 B．38 C．44 D．588. ）AC9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A10.）A．3 C． 3 D 311.左焦点和上顶点.）A3个整数解，则实12.A．1 B第Ⅱ卷（共90分）13、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 某商店随机将三幅分别印有福州三宝（脱胎漆器、角梳、纸伞）的宣传画并排贴在同一面墙上，则角梳与纸伞的宣传画相邻的概率是．14.处的切线方程为．大小为．16.某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序.已知生产一把椅子需要木工4个工作时，漆工2个工作时；生产一张桌子需要木工8个工作时，漆工1个工作时.生产一把椅子的利润为1500元，生产一张桌子的利润为2000元.该厂每个月木工最多完成8000个工作时、漆工最多完成1300个工作时.根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是元.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（1（218.随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现.某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下：用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92.（1）请你列出抽到的10个样本的评分数据；（2）计算所抽到的10（3）在（2.试应用样本估计总体的思想，估计该地区满意度等级为19..（1（2.20.（1（2.21.（1（2请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程.（1（2.23.选修4-5：不等式选讲（1（2取值范围.全优试卷参考答案一、选择题1-5: CABDC 6-10: DADAA 11、12：AC二、填空题三、解答题17. 解：（12为公比的等比数列.（2）由（1（1）2）（1）-（2）得：18.解：（1）由题意得，通过系统抽样分别抽取编号为4,8,12,16,20,24,28,32,36,40的评分数据为样本，则样本的评分数据为92,84,86,78,89,74,83,78,77,89.（2）由（1则有（3由（1）中容量为105人，则该地区满意度等级为40名用户评21人，则该地区满意度等级为19.解法一：（1（22.解法二：（1.（2）同解法一.解法三：（1（2）同解法一.20.解法一：（1（2）由（1解法二：（1）同解法一. （2）由（1）知，21.解：（1. （2由（1解法二：（1）同解法一.（2..22. 解：（1（2）由（123.解：（1（2。

2018-2019学年福建省福州市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合A＝{x∈N||x|≤2}，B＝{x|x2﹣2＜0}，则A∩B＝（）A．B．{0，1}C．{0，1，2}D．2．（5分）复数z＝1﹣2i，则＝（）A．2i B．﹣2C．﹣2i D．23．（5分）随机抽取某中学甲班9名同学、乙班10名同学，获得期中考试数学成绩的茎叶图如图：估计该中学甲、乙两班数学成绩的中位数分别是（）A．75，84B．76，83C．76，84D．75，834．（5分）如图，为一圆柱切削后的几何体及其正视图，则相应的侧视图可以是（）A．B．C．D．5．（5分）已知cos2α+3cosα＝1，则cosα＝（）A．B．C．D．6．（5分）已知点（0，3）到双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的渐近线的距离为2，则C的离心率是（）A．B．C．D．7．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2＝2，S3＝﹣6，则S5＝（）A．18B．10C．﹣14D．﹣228．（5分）函数f（x）＝2x2﹣ln|x|的部分图象大致为（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）＝sin2x+2sin2x﹣1在[0，m]单调递增，则m的最大值是（）A．B．C．D．π10．（5分）如图，已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F且斜率为1的直线依次交抛物线及圆（x﹣1）2+y2＝于点A，B、C、D四点，则|AB|+|CD|的值是（）A．6B．7C．8D．911．（5分）在边长为1的正方形ABCD中，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，若＝λ+，则λ+μ的最大值是（）A．3B．2C．2D．412．（5分）已知函数f（x）＝|x3﹣3x﹣2a|+a（a∈R），对于任意x1，x2∈[0，2]，|f（x1）﹣f （x2）|≤3恒成立，则a的取值范围是（）A．[，]B．[﹣1，1]C．[0，]D．[0，1]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量，，若，则m＝14．（5分）若实数x，y满足约束条件，则3x+y的最大值是．15．（5分）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°，若△SAB的面积为8，则该圆锥外接球的表面积是．16．（5分）在△ABC中，已知AC＝6，BC＝8，cos（A﹣B）＝，则sin（B﹣C）＝．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项为S n，且S5＝15，a2+a3＝5．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和T n．18．（12分）如图，在平行四边形ABCM中，D为CM的中点，以AD为折痕将△ADM折起，使点M到达点P的位置，且平面ABCD⊥平面P AD，E是PB中点，AB＝2BC．（Ⅰ）求证：CE∥平面P AD；（Ⅱ）若AD＝2，AB＝4，求三棱锥A﹣PCD的高．19．（12分）已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）的离心率为，点在E上．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设直线l：y＝kx+2与E交于A，B两点，若＝2，求k的值．20．（12分）随着我国中医学的发展，药用昆虫的使用相应愈来愈多．每年春暖以后至寒冬前，是昆虫大量活动与繁殖季节，易于采集各种药用昆虫．已知一只药用昆虫的产卵数y 与一定范围内的温度x有关，于是科研人员在3月份的31天中随机挑选了5天进行研究，现收集了该种药用昆虫的5组观测数据如表：（Ⅰ）从这5天中任选2天，记这两天药用昆虫的产卵分别为m，n，求事件“m，n均不小于25”的概率；（Ⅱ）科研人员确定的研究方案是：先从这五组数据中任选2组，用剩下的3组数据建立y关于x的线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（ⅰ）若选取的是3月2日与30日的两组数据，请根据3月7日、15日和22日这三天的数据，求出y关于x的线性回归方程；（ⅱ）若由线性回归方程得到的估计数据与选出的检验数据的误差均不超过2个，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（ⅰ）中所得的线性回归方程是否可靠？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝﹣•．21．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣1）e1﹣x．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）函数f（x）与函数y＝x2﹣4x+m（m∈R）的图象总有两个交点，设这两个交点的横坐标分别为x1，x2．（ⅰ）求m的取值范围；（ⅱ）求证：x1+x2＞4．请考生在第（22）、（23）二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，α为l的倾斜角），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线E的极坐标方程为ρ＝4sinθ，三条直线θ＝（ρ∈R），θ＝（ρ∈R），θ＝（ρ∈R）与曲线E分别交于不同于极点的三点A，B，C．（Ⅰ）求证：|OA|+|OC|＝|OB|；（Ⅱ）直线l过A，B两点，求y0与α的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+a|+3a，a∈R．（Ⅰ）若对于任意x∈R，总有f（x）＝f（4﹣x）成立，求a的值；（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≤﹣|2x﹣1|+a成立，求a的取值范围．2018-2019学年福建省福州市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：集合A＝{x∈N||x|≤2}＝{x∈N|﹣2≤x≤2}＝{0，1，2}，B＝{x|x2﹣2＜0}＝{x|﹣＜x＜}，则A∩B＝{0，1}．故选：B．2．【解答】解：复数z＝1﹣2i，则＝＝＝＝2．故选：D．3．【解答】解：根据茎叶图知，甲班9名同学的成绩从小到大依次为：52，66，72，74，76，76，78，82，96，中位数是76；乙班10名同学的成绩从小到大依次为：62，74，74，78，82，84，85，86，88，92，中位数是×（82+84）＝83．故选：B．4．【解答】解：圆柱被不平行于底面的平面所截，得到的截面为椭圆，结合正视图，可知侧视图最高点在中间，故选：C．5．【解答】解：∵cos2α+3cosα＝1，∴2cos2α+3cosα﹣2＝0，则cosα＝或cosα＝﹣2（舍），故选：C．6．【解答】解：双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线设为y＝x，即为bx﹣ay＝0，可得点P（0，3）到渐近线的距离为＝2，即有3a＝2c，可得e＝＝．故选：A．7．【解答】解：根据题意得，q≠1∴a+a2＝2 ①a3＝﹣8 ②又a1（1+q）＝2，a1q2＝﹣8∴q2＝﹣4﹣4q解得q＝﹣2，a1＝﹣2∴S5＝﹣22故选：D．8．【解答】解：函数f（x）＝2x2﹣ln|x|为偶函数，则其图象关于y轴对称，排除B；当x＞0时，f（x）＝2x2﹣lnx，f′（x）＝4x﹣．当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0．∴f（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数，∴f（x）有极小值f（）＝＞0．结合选项可得，函数f（x）＝2x2﹣ln|x|的部分图象大致为A．故选：A．9．【解答】解：f（x）＝sin2x+2sin2x﹣1＝sin2x﹣cos2x＝．由，得，k∈Z．取k＝0，可得f（x）的一个增区间为[]．∵函数f（x）＝sin2x+2sin2x﹣1在[0，m]单调递增，∴m的最大值是．故选：C．10．【解答】解：∵y2＝4x，焦点F（1，0），准线l0：x＝﹣1由定义得：|AF|＝x A+1，又∵|AF|＝|AB|+，∴|AB|＝x A+；同理：|CD|＝x D+，直线l：y＝x﹣1，代入抛物线方程，得：x2﹣6x+1＝0，∴x A x D＝1，x A+x D＝6，∴|AB|+|CD|＝6+1＝7．综上所述4|AB|+|CD|的最小值为7．故选：B．11．【解答】解：根据题意，如图，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立坐标系：则A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），则BD的方程为x+y＝1，点C为圆心且与BD相切的圆C，其半径r＝d＝＝，则圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝；P在圆C上，设P的坐标为（1+cosθ，1+sinθ），则＝（1，0），＝（0，1），＝（1+cosθ，1+sinθ），若＝λ+，则（1+cosθ，1+sinθ）＝λ（1，0）+μ（0，1），则有λ＝1+cosθ，μ＝1+sinθ；λ+μ＝2+（cosθ+sinθ）＝2+sin（θ+）≤3，即λ+μ的最大值为3；故选：A．12．【解答】解：当a＝1时，f（x）＝|x3﹣3x﹣2|+1，令g（x）＝x3﹣3x﹣2，则g′（x）＝3x2﹣3＝3（x﹣1）（x+1），当x∈[0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈（1，2]时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；故x＝1时，g（x）取得最小值﹣4；x＝2时，g（x）取得最大值0∴f（x）min＝1，f（x）max＝5，此时f（x）max﹣f（x）min＝5﹣1＝4≤3不成立，故a＝1不符合题意，排除B，D当a＝﹣时，f（x）＝|x3﹣3x+1|﹣，令g（x）＝x3﹣3x+1，则g′（x）＝3x2﹣3＝3（x﹣1）（x+1）当x∈[0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈（1，2]时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；故x＝1时，g（x）取得最小值﹣4；x＝2时，g（x）取得最大值0∴f（x）min＝0，f（x）max＝3，此时f（x）max﹣f（x）min＝3≤3恒成立，符合题意，故排除C故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【解答】解：向量，，若，则﹣2m﹣3×2＝0，解得m＝﹣3．故答案为：﹣3．14．【解答】解：由实数x，y满足约束条件，作出可行域如图，联立，解得A（2，3），化目标函数z＝2x+y为y＝﹣2x+z，由图可知，当直线y＝﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为9．故答案为：9．15．【解答】解：如图，设母线长为a，∵SA⊥SB，∴，∴a＝4，∵∠SAM＝30°，∴∠ASC＝120°，延长SM使MO＝MS，则O为外接球球心，半径为4，∴表面积为64π，故答案为：64π．16．【解答】解：因为BC＞AC，所以A＞B作AD＝BD＝x，则∠DAB＝B，则∠DAC＝A﹣B，在△ADC中由余弦定理得cos（A﹣B）＝cos∠DAC，∴＝，解得x＝4，∴AD＝BD＝DC＝4，cos C＝cos（A﹣B）＝，sin C＝＝＝，又cos C＝，∴＝，解得c＝2∴cos B＝＝，sin B＝，∴sin（B﹣C）＝sin B cos C﹣cos B sin C＝×﹣×＝．故答案为三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】（Ⅰ）解：设等差数列{a n}的公差为d，a2+a3＝5．又，∴a3＝3，∴a2＝2，∴a1＝d＝1，∴a n＝a1+（n﹣1）d＝n．（Ⅱ）解：由上问知a n＝n，∴a2n﹣1＝2n﹣1，a2n+1＝2n+1．∴＝，∴ ＝＝18．【解答】（Ⅰ）证明：取AP 的中点F ，连接DF ，EF ，如图所示．因为点E 是PB 中点，所以EF ∥AB 且．又因为四边形ABCM 是平行四边形，所以AB ∥CD 且，所以EF ∥CD 且EF ＝CD ，所以四边形EFDC 为平行四边形，所以CE ∥DF ， 因为CE ⊄平面P AD ，DF ⊂平面P AD ， 所以CE ∥平面P AD ．（Ⅱ）解：取AD 的中点O ，连结PO 、CO ，如图所示，因为在平行四边形ABCM 中，D 为CM 的中点，AB ＝2BC ，AD ＝2，AB ＝4 因为AD ＝2，所以PD ＝P A ＝AD ＝2，所以△ADP 为正三角形， 所以PO ⊥AD ，且，因为在平行四边形ABCM 中，D 为CM 的中点，以AD 为折痕将△ADM 折起，使点M 到达点F 的位置，且平面ABCD ⊥平面P AD ， 所以PO ⊥平面ABCD ，∠ADC ＝120°．所以＝..，，设三棱锥A ﹣PCD 的高为h ，因为V A﹣PCD＝V P﹣ACD，，所以，所以三棱锥A﹣PCD的高为．19．【解答】（Ⅰ）解：由题意得，所以，①，又点在E上，所以②，联立①②，解得a＝2，b＝1，所以椭圆E的标准方程为．（Ⅱ）解：设A，B的坐标为（x1，y1），（x2，y2），依题意得，联立方程组消去y，得（1+4k2）x2+16kx+12＝0．△＝（16k）2﹣48（1+4k2）＞0，，，，＝x1x2+（kx1+2）（kx2+2）＝（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4＝＝，∵，∴，，所以，．20．【解答】解：（Ⅰ）依题意得，m、n的所有情况为：{23，25}、{23，30}、{23，26}、{23，16}、{25，30}、{25，26}、{25，16}、{30，26}、{30，16}、{26，16}共有10个；设“m、n均不小于25”为事件A，则事件A包含的基本事件为：{25，30}、{25，26}、{30，26}共有3个，所以，即事件A的概率为；（Ⅱ）（ⅰ）由数据得，，，，∴＝＝，＝﹣•＝27﹣×12＝﹣3；∴y关于x的线性回归方程为＝x﹣3；（ⅱ）由（ⅰ）知，y关于x的线性回归方程为＝x﹣3，当x＝10时，＝×10﹣3＝22，且|22﹣23|＜2，当x＝8时，＝×8﹣3＝17，且|17﹣16|＜2；所以，所得到的线性回归方程＝x﹣3是可靠的．21．【解答】（Ⅰ）解：由已知得，∴∴f（1）＝0，又∵f（1）＝1，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y＝x﹣1．（Ⅱ）解法一：令g（x）＝f（x）﹣x2+4x﹣m＝（x﹣1）e1﹣x﹣x2+4x﹣m，∴g′（x）＝﹣（e1﹣x﹣2）（x﹣2），由g′（x）＜0得，x＞2；由g′（x）＞0得，x＜2易知，x＝2为g（x）极大值点，又x→﹣∞时g（x）→﹣∞，当x→+∞时，g（x）→﹣∞即函数g（x）在x＜2时有负值存在，在x＞2时也有负值存在．由题意，只需满足，∴m的取值范围是：解法二：f′（x）＝﹣e1﹣x（x﹣2），由f′（x）＜0得，x＞2；由f′（x）＞0得，x＜2易知，x＝2为极大值点．而y＝x2﹣4x+m（m∈R）在x＝2时取得极小值，由题意，只需满足，解得．②由题意知，x1，x2为函数g（x）＝f（x）﹣x2+4x﹣m﹣（x﹣1）e1﹣x﹣x2+4x﹣m的两个零点，由①知，不妨设x1＜2＜x2，则4﹣x2＜2，且函数g（x）在（﹣∞，2）上单调递增，欲证x1+x2＞4只需证明g（x1）＞g（4﹣x2），而g（x1）＝g（x2），所以，只需证明g（x2）＞g（4﹣x2）．令H（x2）＝g（x2）﹣g（4﹣x2）（x2＞2），则∴．∵x1＞2，∴，即所以，H′（x2）＞0，即H（x2）在（2，+∞）上为增函数，所以，H（x2）＞H（2）＝0，∴g（x2）＞g（4﹣x2）成立．所以，x1+x2＞4．请考生在第（22）、（23）二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（Ⅰ）证明：依题意，，，，∴|OA|+|OC|＝OB|；（Ⅱ）直线θ＝与圆的交点A的极坐标为（4sin，）＝（2，），B点的极坐标为（4sin，）＝（4，），从而，A、B两点的直角坐标分别为：A（，1），B（0，4），∴直线l的方程为：，所以，y0＝1，．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）＝f（4﹣x），x∈R，所以f（x）的图象关于x＝2对称，又的图象关于对称，所以，所以，a＝﹣4．（Ⅱ）∃x∈R，使得f（x）≤﹣|2x﹣1|+a等价于∃x∈R，使得|2x+a|+|2x﹣1|+2a≤0．等价于（|2x+a|+|2x﹣1|+2a）min≤0，设g（x）＝|2x+a|+|2x﹣1|+2a，则g（x）min＝|（2x+a）﹣（2x﹣1）|+2a＝|a+1|+2a，所以，|a+1|+2a≤0．当a≥﹣1时，a+1+2a≤0，，所以，；当a＜﹣1时，﹣a﹣1+2a≤0，a≤1，所以a＜﹣1，综上，．解法二：（Ⅰ）∵f（x）＝f（4﹣x）∴|2x+a|+3a＝|2（4﹣x）+a|+3a，∴|2x+a|＝|8﹣2x+a|，即2x+a＝﹣（8﹣2x+a），或2x+a＝8﹣2x+a（舍）所以，a＝﹣4（Ⅱ）由f（x）≤﹣|2x﹣1|+a得，|2x+a|+|2x﹣1|≤﹣2a而|2x+a|+|2x﹣1|≥|a+1|由题意知，只需满足|a+a|≤﹣2a，即2a≤a+1≤﹣2a即，∴．。

福建省福州一中2018届高三校质检数学文试题（WORD 版） 5本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分（满分150分 考试时间120分钟）参考公式：样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差 锥体体积公式V =31Sh其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式 球的表面积、体积公式V =Sh 24SR=π，343VR=π其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．） 1.设复数121,2zi z b i=+=+, 若12zz ⋅为纯虚数,则实数b =A.2B.2-C.1D.1-2.下列导数运算正确的是 A. 211()1x xx'+=+B. 2(c o s )2s in xx x'=-C. 3(3)3lo g xxe'= D. 21(lo g)ln 2x x '=3.一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前6项均为正数，第7项起为负数，则它 的公差为A ．－2B ．－3C ．－4D ．－6 4.运行下面的程序，如果输入的n 是6，那么输出的p 是A. 120B. 720C. 1440D. 5040 5.将一个总体分为A, B, C 三层,其个体数之比为523,若用分层抽样 抽取容量为200的样本,则应从C 中抽取的个体数是A. 20B. 40C. 60D. 80 6.将函数c o s ()3yx π=-的图像上各点的横坐标伸长到原的2倍(纵坐标不变),再向左平移6π个单位,所得函数图像的一条对称轴为A. 9xπ=B. 8xπ=C. 2xπ=D. xπ=7.已知函数2(10)(),01)x x f x x --≤≤⎧⎪=<≤则下列图象错误的是8.如图,在正方体1111A B C D A B C D -中,点E 在1AD上且12A EE D=,点F 在AC 上且2C F F A=, 则E F 与1B D 的位置关系是A. 相交不垂直B. 相交垂直C. 异面D. 平行9.已知A 、B 为平面内两定点, 过该平面内动点M 作直线AB 的垂线,垂足为N, 若2M NA N N Bλ=⋅, 其中λ为常数, 则动点M 的轨迹不可能是A.圆B.椭圆C.抛物线D.双曲线 10.已知12,FF 分别为双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的左、右焦点, P 为双曲线右支上一点,满足212P F F F =, 直线1P F 与圆222xy a+=相切, 则该双曲线的离心率是A. 43B. 53C. 54D.以上都不正确11.已知2a b >≥, 现有下列不等式 ①23bb a>-; ②41112()a bab+>+; ③a b a b >+;④lo g3lo g 3ab >; 其中正确的是A. ②④B.①②C.③④D.①③12.设A 是整数集的一个非空子集,对于k A ∈, 如果1k A +∉且1k A -∉, 那么称k 是A 的一个“孤立元素”. 现给定集合{}1,2,3,4,5,6,7,8S =由S 的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元素”的集合共有多少个A. 6B. 7C. 8D. 9第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置． 13.式子3lo g3的值为__________________________.14.设命题21:01x p x -<-. 命题2:(21)(1)0q xa x a a -+++≤. 若p 是q 的充分不必要条件.则实数a的取值范围是____________________________.1[0,]215.设点(,)a b 是区域4000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的随机点,记A ={}2()41(0)[1,)x f x a x b x a =-+>+∞关于的一元二次函数在上是增函数,则事件A 发生的概率是_____________________________. 1/3 16.如图所示, △ABC 是边长为1的正三角形，且点P 在边BC 上运动. 当P A P C ⋅取得最小值时，则co s P A B ∠的值为________________．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）已知等差数列{}na 中，n S 是它前n 项和，设10,2106==S a.(I)求数列{}na 的通项公式；(II)若从数列{}na 中依次取出第2项，第4项，第8项，……，第2n项，……，按取出的顺序组成一个新数列{}nb ，试求数列{}nb 的前n 项和nT .18.（本小题满分12分）某学校甲、乙两位学生参加数学竞赛的培训,在培训期间,他们参加5次预赛,成绩记录如下(I)用茎叶图表示这两组数据;(II)现要从甲、乙两人中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度考虑,你认为选派哪位学生参赛更合适? 并说明理由.19.（本小题满分12分） 在A B C∆中,角,,A B C所对的边分别为,,a b c, 且A∠满足22c o s A in c o s A A-1=-,(I)若2a c ==, 求A B C ∆的面积; (II)求2c o s (60)b c a C -⋅+的值.20.（本小题满分12分） 如图,在四棱锥P A B C D-中,底面ABCD 是边长为3的正方形,平面PCD⊥底面ABCD,E 是PC 的中点.(I)求证//P A B D E 平面;(II)若2P DP C D C==,求证平面P D A ⊥平面P C B ;(III)若侧棱P D⊥底面A B C D,PD=4.求P A D ∆以PA 为轴旋转所围成的几何体体积.21.（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by ax C，直线)(03)21()3(R m m y m x m ∈=---++恒过的定点F 为椭圆的一个焦点，且椭圆上的点到焦点的最大距离为3.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）若直线MN 为垂直于x 轴的动弦，且N M ,均在椭圆C 上，定点)0,4(T ，直线MF 与直线NT 交于点S ．①求证：点S 恒在椭圆C 上； ②求MST ∆面积的最大值．22.(本小题满分14分) 已知函数21()2ln 2f x x x a x=-+有两个极值点12,xx 且12xx <(I)求实数a 的取值范围,并写出函数()f x 的单调区间; (II)判断方程()(1)f x a x =+根的个数并说明理由; (III)证明232ln 2()8f x-->.高三 (文科)数学校质检试卷答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．13．1_________ ;4_____ ;14． __1[0,]215．1;3______ .16． ____26三、解答题本大题共6小题,满分74分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17．（本小题满分12分）解（Ⅰ）设数列da a n,,}{1公差分别为首项.则由已知得 251=+d a①，102910101=⨯+d a② …………4分 联立①②解得)(102,2,81*∈-==-=Nn n a d a n 所以…………6分（Ⅱ）),(102102212*+∈-=-⋅==N n ab n nn n………………9分所以41021021)21(4221--=---=+++=+n n b b b Tn nn n…………12分18．（本小题满分12分） 解 (1)作出的茎叶图如下…………4分(2)派甲参赛比较合适. 理由如下 1(8282799587)855x =++++=甲…………5分 1(9575809085)855x =++++=乙…………6分2222221[(7985)(8285)(8285)(8785)(9585)]31.65s =-+-+-+-+-=甲 (8)分2222221[(7585)(8085)(8585)(9085)(9585)]505s =-+-+-+-+-=乙 (10)分 ∵22,;xx s s <<乙乙甲甲 ∴甲的成绩较稳定,派甲参赛比较合适. ……12分19．（本小题满分12分） 解 (1)由已知 22c o sA in c o s A A -1=-, 可得sin (2)16A π-=,∵1102(,)266662A A A ππππππ<<∴-∈-⇒∴-=即3Aπ∠=.…………2分在A B C ∆中,由余弦定理得 22224121c o s 242b c ab A b cb+-+-===解得4b =或2b =-(舍去); ………… 4分∴11s in 42222A B CSb c A ∆==⨯⨯⨯=………… 6分(2)原式=2s in ()2s in 2s in 22s in s in 2s in 32s in c o s (60)s in c o s (60)s in c o s (60)C CR B R C B C R A C A C A C π---⨯-==⋅+⋅+⋅+……9分3o s s in o s (60)222C CC -+==………… 12分20．（本小题满分12分）解 (1)连接AC 交BD 于O, 连接EO.∵ABCD 是正方形, ∴O 为AC 中点, 已知E 为PC 的中点, ∴OE//PA. ………2分又∵OE ⊂平面BDE, PA ⊄平面BDE, ∴PA//平面BDE. …………3分 (2)在D P C∆中,222,2P D P C D C P DP CD C==∴+= , 即DP ⊥PC. ……4分又已知 平面PCD ⊥底面ABCD, 平面PCD ∩平面ABCD=DC BC ⊥DC; ∴BC ⊥平面PDC, PD ⊂平面PDC, ∴PD ⊥BC, ………… 6分BC 与PC 相交且在平面PBC 内. ∴PD ⊥平面PCB, PD ⊂平面PDA, ∴平面PDA ⊥平面PCB. ………… 8分(3)过D 作PA 的垂线.垂足为H,则几何体为以DH 为半径,分别以PH,AH 为高的两个圆锥 的组合体. …………9分侧棱PD ⊥底面ABCD, ∴PD ⊥DA, PD=4, DA=DC=3, ∴PA=5431255P D D A D H P A⋅⨯===,…………10分22221133111248()53355V D H P H D H A HD HP A πππππ=⋅+⋅=⋅=⨯⨯=…………12分21．（本小题满分12分）解：（1）直线)(03)21()3(R m m y m x m ∈=---++可化为 033)12(=-++--y x y x m ， (1)分 由⎩⎨⎧=-+=--033012y x y x 得⎩⎨⎧==01y x ，)0,1(F ∴， 1=∴c ， ………… 3分又3=+c a ，2=∴a ，.3222=-=∴ca b∴椭圆的方程为.13422=+yx………4分（2）①设直线MN 的方程为sx=，则可设),(),,(t s N t s M-，且.124322=+ts直线MF 的方程为)1(1--=x s t y，直线NT 的方程为).4(4---=x s t y (6)分联立求得交点)523,5285(---s ts s S ，…… 7分 代入椭圆方程124322=+yx得，222)52(1236)85(3-=+-s ts ，化简得：.124322=+ts∴点S 恒在椭圆C 上. ……………… 8分 ②直线MS 过点)0,1(F ，设其方程为1+=my x ，).,(),,(2211y x S y x M联立⎩⎨⎧=++=1243122y x my x 得096)43(22=-++my ym， .439,436221221+-=+-=+∴my y mm y y (9)分2222122112)43(1184)(23321++=-+=-⨯=∆mm y y y y y y SMST，令)1(12≥+=u m u，则.6191)13()43(12222++=+=++u u u u mmuu 19+ 在),1[+∞上是增函数， uu 19+∴的最小值为10..294118=⨯≤∴∆MSTS………………………………………12分22．（本小题满分14分）解(Ⅰ)由题设知,函数)(x f 的定义域为(0,)+∞,222()1a x x af x x xx-+'=-+=;…………………1分且()0f x '=有两个不同的根, ∴2220,2xx a a x x-+==-+且(0)x >有两个交点.2211112()()4424a x x x =--++=--+有两个交点求得1102,0.48a a <<⇒<<∴a的取值范围是1(0,)8.…………………3分(也可利用判别式1180,8a a ∆=-><即; 又110,02xa -=>∴>).∵1,212x ±=∴()()0;002121<'<<>'><<x f x x x x f x x x x 时，当时，或当∴()f x 单调增区间为1(0,2-和1(,)2++∞.单调减区间为22………………………5分(Ⅱ)由已知方程 ()(1)f x a x =+212ln 2x x a x a x x⇒-+--=0∴令21()(2)2ln 2t x x a x a x=-++,22(2)2()(2)()(2)a x a x ax a x t x x a xxx-++--'=-++== (7)分x(0,)aa(,2)a 2 (,)a +∞()t x + 0 - 0+21()22ln 02t a a a a a =--+<(2)222ln 20t a a =--+<x →时,()t x →-∞; x →+∞时,()t x →+∞;∴()t x 有且只有1个零点, ∴原方程有且只有一个根. ……………………9分 (III)由(Ⅰ)可知12221212(1)2x x a x x x x a+=⎧∴=-⋅⎨⋅=⎩ , ………………………10分并且由212x +=得21(,1)2x∈. ………………………11分∵21()2ln 2f x x x a x=-+=2121ln 2x x x x x-+⋅,222222221()()ln 2f x x x x x x =-+-2222222222()1(12)ln (12)ln x x f x x x x x x x -'⇒=-+-+=-, 其中21(,1)2x ∈………13分∴2()0f x'>, 函数()f x 在1(,1)2递增; ∴111111132ln 2()()()ln 22422428f x f -->=⨯-+-⋅=. ………………14分()t x极大值极小值。