2019年高考数学一轮复习 专题37 空间几何体的结构及其三视图和直观图押题专练 文

2019年高考数学大一轮总复习第7篇第1节空间几何体的结构、三视图和直观图课时训练理新人教A版一、选择题1．下列结论正确的是( )A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以正方形的一条对角线旋转一周围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则此棱锥可能是正六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：三棱锥的侧面是有公共顶点的三角形，选项A错；由正方形的一条对角线旋转一周围成的几何体为两个圆锥形成的一个组合体，选项B错；六棱锥的侧棱长大于底面多边形的边长，选项C错；选项D正确．故选D.答案：D2．已知一个几何体的三视图如图所示，分析此几何体的组成为( )A．上面为棱台，下面为棱柱B．上面为圆台，下面为棱柱C．上面为圆台，下面为圆柱D．上面为棱台，下面为圆柱解析：由俯视图可知，该几何体的上面与下面都不可能是棱台或棱柱，故排除选项A、B、D.故选C.答案：C3．如图所示的几何体的正视图和侧视图可能正确的是( )解析：由于几何体是规则的对称几何体，所以其正视图和侧视图是相同的．故选A. 答案：A4．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A ．2＋ 2 B.1＋22C.2＋22D ．1＋ 2解析：由题意画出斜二测直观图及还原后原图，由直观图中底角均为45°，腰和上底长度均为1，得下底长为1＋2，所以原图上、下底分别为1,1＋2，高为2的直角梯形．所以面积S ＝12(1＋2＋1)×2＝2＋ 2.故选A.答案：A5．(xx 辽宁沈阳二检)一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )解析：若俯视图为选项C ，侧视图的宽应为俯视图中三角形的高32，所以俯视图不可能是选项C.答案：C6．(xx 河北保定一模)三棱锥V －ABC 的底面三角形ABC 为正三角形，侧面VAC 垂直于底面，VA ＝VC ，已知其正视图△VAC 的面积为23，则其侧视图的面积为( )A.32B.36C.34D.33解析：由题得几何体直观图如图，设底面△ABC 边长为a ，棱锥高为h ，S △VAC ＝12ah ＝23，即ah ＝43，取AC 的中点H ，连接VH ，BH ，△VHB 即侧视图，其面积为12×h ×a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝34ah ＝33.故选D. 答案：D 二、填空题7．如图所示的Rt △ABC 绕着它的斜边AB 旋转一周得到的图形是________．解析：过Rt △ABC 的顶点C 作线段CD ⊥AB ，垂足为D ，所以Rt △ABC 绕着它的斜边AB 旋转一周后应得到是以CD 作为底面圆的半径的两个圆锥的组合体．答案：两个圆锥的组合体8．已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为________．解析：如图①②所示的实际图形和直观图．由斜二测画法可知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ，在图②中作C ′D ′⊥A ′B ′于D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a .∴S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×a ×68a ＝616a 2.答案：616a 2 9．(xx 北京房山一模)某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的面积为________．解析：由题中三视图可知该几何体是底面边长为4的正三角形，棱AD 垂直底的三棱锥，如图所示．其中三棱锥四个面中，最大的为△ABC ，AD ＝4，BD ＝4，EC ＝23，取BC 的中点F ，则AF ＝AD 2＋DF 2＝42＋232＝27，所以△ABC 的面积为12×4×27＝47.答案：4710.(xx 合肥三检)已知正四面体(所有棱长都相等的三棱锥)的俯视图如图所示，其中四边形ABCD 是边长为2 cm 的正方形，则这个正四面体的正视图的面积为______ cm 2.解析：构造一个边长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，在正方体内作出一个正四面体AB 1CD 1，易得该正四面体的正视图是一个底边长为22，高为2的等腰三角形．从而可得正视图的面积是22(cm 2)．答案：2 2 三、解答题11．(xx 银川调研)正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少？解：如图所示，正四棱锥S －ABCD 中， 高OS ＝3，侧棱SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝7， 在Rt △SOA 中，OA ＝SA 2－OS 2＝2， ∴AC ＝4.∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2 2. 作OE ⊥AB 于E ，则E 为AB 中点． 连接SE ，则SE 即为斜高，在Rt △SOE 中，∵OE ＝12BC ＝2，SO ＝3，∴SE ＝5，即斜高为 5.12．已知正三棱锥VABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图； (2)求出侧视图的面积． 解：(1)直观图如图所示．(2)根据题中三视图间的关系可得BC ＝23， ∴侧视图中VA ＝42－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32×232＝23，∴S △VBC ＝12×23×23＝6.7 32401 7E91 纑T{26959 694F 楏30084 7584 疄?H20708 50E4 僤30977 7901 礁24449 5F81 征40800 9F60 齠。

第50讲 空间几何体的结构及三视图、直观图1．下列关于简单几何体的说法中： ①斜棱柱的侧面中不可能有矩形； ②侧面是等腰三角形的棱锥是正棱锥；③圆台也可看成是圆锥被平行于底面的平面所截，截面与底面之间的部分． 其中正确的个数为(B) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3①是错误的；②是错误的；③是正确的，故选B. 2．下图为一个平面图形水平放置的直观图．按斜二测画法的规则，平行于x 轴的线段的长度在新坐标系中不变，在y 轴上或平行于y 轴的线段长度在新坐标系中变为原来的12，并注意到∠xOy ＝90°，∠x ′O ′y ′＝45°，则还原图形知选C.3．(2017·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为(B)A ．3 2B ．2 3C ．2 2D ．2在正方体中还原该四棱锥，如图所示，可知SD 为该四棱锥的最长棱． 由三视图可知正方体的棱长为2， 故SD ＝22＋22＋22＝2 3.4．(2016·郑州市二模)如图是正三棱锥V -ABC 的正视图、侧视图和俯视图，则其侧视图的面积是(C)A ．4B ．5C ．6D ．7如图，由三视图在长方体中作出正三棱锥的直观图V -ABC ，其中△VAD 为正视图，易知AD 为正三角形ABC 的高，AC ＝23， 故AD ＝23×32＝3， 过V 作VO ⊥AD 交AD 于O ，易知O 为正三角形ABC 的中心，所以AO ＝23AD ＝2，所以在Rt △VOA 中，VO ＝VA 2－AO 2＝23，正三棱锥V -ABC 的侧视图为△V ′BC ， 由高平齐得△V ′BC 的高h ＝VO ＝23， 因为△ABC 为正三角形，所以BC ＝AC ＝23，所以侧视图的面积S ＝12BC ×h ＝12×(23)2＝6.5．已知在斜二测画法下△ABC 的平面直观图(如图)是直角边长为a 的等腰直角三角形A 1B 1C 1(∠A 1B 1C 1＝90°)，那么原△ABC 的面积为2a 2 .△ABC 也是直角三角形，且两直角边AB ＝a ，AC ＝22a ，故面积为2a 2.6．若三棱锥的底面为正三角形，侧面为等腰三角形，侧棱长为2，底面周长为9，则棱锥的高为 1 .三棱锥P -ABC 中，设P 在底面ABC 的射影为O ，则PO 为所求．因为PC ＝2，底面边长AB ＝3，所以OC ＝32×23×3＝3，所以PO ＝22－(3)2＝1.7．某一简单几何体的实物图如下图所示，试根据实物图画出此几何体的三视图．三视图如下图所示．8．棱长为2所示，则图中三角形的面积是(C)A.22B.32C. 2D.3如图(1)中△ABE 为题中的三角形，图(2)为立体图．由已知，得AB ＝2，BE ＝2×32＝3，BF EF ＝33. 所以AF ＝AB 2－BF 2＝4－43＝83.所以S △ABE ＝12×BE ×AF ＝12×3×83＝ 2.9．若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别是 2,4 .三棱柱为正三棱柱，侧视图与过侧棱与相对的侧面垂直的截面相等，其高为2，设底面边长为a ，则32a ＝23， 所以a ＝4.10．如图是一个几何体的正视图和俯视图．(1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积．(1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥．(2)该几何体的侧视图如图所示．其中AB ＝AC ，AD ⊥BC ，且BC 的长是俯视图正六边形中对边的距离，即BC ＝3a . AD 是正六棱锥的高，即AD ＝3a . 所以该平面图形的面积 S ＝12·3a ·3a ＝32a 2.。

第七章立体几何第37讲空间几何体的三视图、直观图、表面积和体积1．空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征(1)三视图的名称几何体的三视图包括：！！！！__正视图__####、！！！！__侧视图__####、！！！！__俯视图__####.(2)三视图的画法①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成！！！！__虚线__####.②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的！！！！__正前__####方、！！！！__正左__####方、！！！！__正上__####方观察几何体的正投影图．3．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用！！！！__斜二测__####画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为！！！！__45°或135°__####，z′轴与x′轴和y′轴所在平面！！！！__垂直__####.(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别！！！！__平行于坐标轴__####；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度！！！！__不变__####；平行于y轴的线段在直观图中长度为！！！！__原来的一半__####.4．空间几何体的表面积与体积1．思维辨析(在括号内打“√”或“ ”)． (1)底面是正方形的四棱柱为正四棱柱．( × )(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( × ) (3)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱．( × )(4)用斜二测画法画水平放置的∠A 时，若∠A 的两边分别平行于x 轴和y 轴，且∠A ＝90°，则在直观图中，∠A ＝45°.( × )(5)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．( × ) 解析 (1)错误．因为侧棱不一定与底面垂直．(2)错误．尽管几何体满足了一个面是多边形，其余各面都是三角形，但不能保证各三角形具有公共顶点．(3)错误．因为两个平行截面不能保证与底面平行． (4)错误．∠A 应为45°或135°.(5)错误．正方体的三视图由于正视的方向不同，其三视图的形状可能不同，圆锥的侧视图与俯视图显然不相同．2．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( C ) A ．圆柱 B ．圆锥C ．球体D ．圆柱、圆锥、球体的组合体解析 当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．3．某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8，高为5的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6，高为5的等腰三角形，则该几何体的体积为( B )A ．24B ．80C ．64D ．240解析 结合题意知该几何体是四棱锥，棱锥底面是长和宽分别为8和6的矩形，棱锥的高是5，可由锥体的体积公式得V ＝13×8×6×5＝80.4．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为！！！！__2__####.解析 设圆锥的母线为l ，圆锥底面半径为r ，则πrl ＋πr 2＝3π，πl ＝2πr ，解得r ＝1，即直径为2.5．(2017·全国卷Ⅱ)长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为！！！！__14π__####.解析依题意得，长方体的体对角线长为32＋22＋12＝14，记长方体的外接球的半径为R，则有2R＝14，R＝142，因此球O的表面积等于4πR2＝14π.一空间几何体的结构特征解决与空间几何体结构特征有关问题的三个技巧(1)把握几何体的结构特征，要多观察实物，提高空间想象能力．(2)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型．(3)通过反例对结构特征进行辨析．【例1】(1)给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是(A)A．0B．1C．2D．3(2)以下命题：①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；③一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为(B)A．0B．1C．2D．3解析(1)①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，当以斜边所在直线为轴旋转时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误，棱台上的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．(2)由圆台的定义可知①错误，②正确．对于命题③，只有平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，③不正确．二空间几何体的三视图和直观图(1)三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，即“长对正，宽相等，高平齐”．(2)解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系．【例2】(1)(2016·天津卷)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为(B)(2)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是(A)解析(1)由几何体的正视图、俯视图以及题意可画出几何体的直观图，如图所示，该几何体的侧视图为B 项．故选B ．(2)由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为2，所以原图形为平行四边形，位于y 轴上的对角线长为2 2.三 空间几何体的表面积和体积(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图，确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；求组合体的表面积时要注意衔接部分的处理；求旋转体的表面积时要注意其侧面展开图的应用．(3)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积．(4)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解．(5)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．【例3】 (1)(2016·山东卷)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( C )A ．13＋23πB ．13＋23πC ．13＋26πD ．1＋26π (2)(2016·全国卷Ⅲ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( B )A ．18＋36 5B ．54＋18 5C ．90D ．81解析 (1)由三视图可知四棱锥为正四棱锥，底面正方形的边长为1，四棱锥的高为1，球的直径为正四棱锥底面正方形的对角线，所以球的直径2R ＝2，即R ＝22，所以半球的体积为23πR 3＝26π.又正四棱锥的体积为13×12×1＝13，所以该几何体的体积为13＋26π.故选C ．(2)由三视图可知，该几何体是底面为正方形(边长为3)，高为6，侧棱长为3 5 的斜四棱柱，其表面积S ＝2×32＋2×3×35＋2×3×6＝54＋18 5.故选B ．四 与球有关的切、接问题(1)正方体的内切球的直径为棱长，外接球的直径为正方体的体对角线长，此问题也适合长方体，或由同一顶点出发的两两互相垂直的三条棱构成的三棱柱或三棱锥．(2)直棱柱外接球的球心到直棱柱底面的距离恰为棱柱高的12.求球的半径关键是找到由球的半径构成的三角形，解三角形即可求球的半径．(3)球与旋转体的组合通常作出它们的轴截面解题．(4)球与多面体的组合，通常过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．【例4】 (1)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( A )A ．81π4B ．16πC ．9πD ．27π4(2)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( C )A ．3172B ．210C ．132D ．310(3)若一个正四面体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，则S 1S 2＝！！！！π(4)(2017·全国卷Ⅰ)已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S －ABC 的体积为9，则球O 的表面积为！！！！__36π__####.解析 (1)如图所示，设球的半径为R ，底面中心为O ′且球心为O .∵正四棱锥P －ABCD 中AB ＝2， ∴AO ′＝ 2.∵PO ′＝4，∴在Rt △AOO ′中，AO 2＝AO ′2＋OO ′2， ∴R 2＝(2)2＋(4－R )2，解得R ＝94.∴该球的表面积为4πR 2＝4π×⎝⎛⎭⎫942＝81π4.(2)如图所示，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M .又AM ＝12BC ＝52，OM ＝12AA 1＝6，所以球O 的半径 R ＝OA ＝⎝⎛⎭⎫522＋62＝132.(3)设正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4·34·a 2＝3a 2，其内切球半径为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2π6a 2＝63π. (4)设球O 的半径为R ，∵SC 为球O 的直径，∴点O 为SC 的中点，连接AO ，OB ，∵SA ＝AC ，SB ＝BC ，∴AO ⊥SC ，BO ⊥SC ，∵平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，∴AO ⊥平面SCB ，所以V S －ABC ＝V A －SBC ＝13×S △SBC ×AO ＝13×⎝⎛⎭⎫12×SC ×OB ×AO ，即9＝13×⎝⎛⎭⎫12×2R ×R ×R ，解得R ＝3，∴球O 的表面积S ＝4πR 2＝4π×32＝36π.1．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( A )A ．π2＋1B ．π2＋3C ．3π2＋1D ．3π2＋3解析 由几何体的三视图可得，该几何体是由半个圆锥和一个三棱锥组成的，故该几何体的体积V ＝13×12π×3＋13×12×2×1×3＝π2＋1.故选A ．2．若几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( A )A ．34πB ．35πC ．36πD ．17π解析 由几何体的三视图知它的底面是正方形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥，可把它补成一个长、宽、高分别为3,3,4的长方体，该长方体的外接球即为原四棱锥的外接球，所以4R 2＝32＋32＋42＝18＋16＝34(其中R 为外接球的半径)，外接球表面积为S ＝4πR 2＝34π.故选A ．3．某几何体的三视图如图所示，其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，则该几何体的表面积为( D )A ．4π＋16＋43B ．5π＋16＋4 3C ．4π＋16＋23D ．5π＋16＋2 3解析 由三视图可知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体，三棱柱的两个侧面面积之和为2×4×2＝16，两个底面面积之和为2×12×2×3＝23；半圆柱的侧面积为π×4＝4π，两个底面面积之和为2×12×π×12＝π，所以几何体的表面积为5π＋16＋2 3.故选D ．4．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2.若它们的侧面积相等且V 1V 2＝32，则S 1S 2的值是！！！！__94__####. 解析 设甲、乙两个圆柱的底面半径分别为r 1，r 2，高分别为h 1，h 2，则有2πr 1h 1＝2πr 2h 2，即r 1h 1＝r 2h 2.又V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2，∴V 1V 2＝r 1r 2，∴r 1r 2＝32，则S 1S 2＝⎝⎛⎭⎫r 1r 22＝94.易错点 不能巧妙运用长方体和正方体解题错因分析：不能借助长方体和正方体协助解题，使解题受阻．【例1】 某几何体的一条棱长为m ，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为7的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为6和5的线段，则m 的值为( )A ．3B ．23C ．4D ．2 5解析 将这条棱放在长方体内，设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，对角线A ′C 为该棱，则CD ′为该棱的正视图，长为7，A ′C ′为俯视图，长为5，CB ′为侧视图，长为6，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝5，a 2＋c 2＝7，b 2＋c 2＝6，则A ′C 2＝a 2＋b 2＋c 2＝9，则A ′C ＝3. 答案 A【跟踪训练1】 (2017·北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( D)A ．60B ．30C ．20D ．10解析 如图，把三棱锥A －BCD 放到长方体中，长方体的长、宽、高分别为5,3,4，△BCD 为直角三角形，直角边分别为5和3，三棱锥A －BCD 的高为4，故该三棱锥的体积V ＝13×12×5×3×4＝10.课时达标 第37讲[解密考纲]考查空间几何体的结构特征、三视图、体积与表面积，以选择题或填空题的形式出现．一、选择题1．下列说法正确的是( D )A ．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C ．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D ．棱台各侧棱的延长线交于一点解析 由棱柱和棱锥的概念可知，A ，B ，C 项均错误．由于棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥所得到的截面与底面之间的部分，故棱台各侧棱的延长线交于一点．2．某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( D )解析 由几何体的正视图和侧视图，结合四个选项中的俯视图知，若为D 项，则正视图应为，故D 项不可能．故选D ．3．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( B )A ．2＋5B ．2＋25C ．43D ．23解析 三棱锥的高为1，底面为等腰三角形，如图，因此表面积是12×2×2＋2×12×5×1＋12×5×2＝2＋2 5.故选B ．4．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得出这个几何体的内切球半径是( C )A ．43B ．49C ．6－2D ．36－6解析 由三视图可知，该几何体为三棱锥，设内切球半径为r ，则由棱锥的体积公式有13Sh ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r ，其中S ＝12×2×2＝2，h ＝2，S 1，S 2，S 3，S 4分别是三棱锥四个面的面积，S 1＝S 2＝S ＝2，S 3＝S 4＝12×22×3＝6，所以4＝(4＋26)r ，解得r ＝6－2.5．一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为( A )A ．72m 3B ．92m 3C ．73m 3D ．94m 3解析 由三视图可知，该几何体为如图所示的几何体，其体积为3个正方体的体积加三棱柱的体积，所以V ＝3＋12＝72.故选A ．6．(2017·全国卷Ⅱ)如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( B )A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π解析 依题意，题中的几何体是用一个平面将一个底面半径为3、高为10的圆柱截去一部分后所剩余的部分，可在该几何体的上方拼接一个与之完全相同的几何体，从而形成一个底面半径为3、高为10＋4＝14的圆柱，因此该几何体的体积等于12×π×32×14＝63π.故选B ．二、填空题7．边长为2的正方体的顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积和体积分别为！！！！解析 ∵正方体的顶点都在球O 的球面上， ∴正方体的体对角线的长度就是其外接球的直径．设球的半径为R ，则2R ＝22＋22＋22＝23，即R ＝3， ∴球O 的表面积为S ＝4π×(3)2＝12π， 体积为V ＝43πR 3＝43π.8．等腰梯形ABCD ，上底CD ＝1，腰AD ＝CB ＝2，下底 AB ＝ 3，以下底所在直线为x 轴，则由斜二测画法画出的直观图A ′B ′C ′D ′的面积为！！！！2解析 如图所示：因为OE ＝(2)2－1＝1，所以O ′E ′＝12，E ′F ＝24，则直观图A ′B ′C ′D ′的面积为S ′＝12×(1＋3)×24＝22.9解析 根据三视图可知原几何体如图所示，最长棱为AC ， 所以AE ＝2，EB ＝2，ED ＝3，DC ＝4，所以EC ＝5，所以AC ＝29. 三、解答题10．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面ABCD 垂直，图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形．(1)根据图所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积； (2)求P A .解析 (1)该四棱锥的俯视图是边长为6 cm 的正方形(内含对角线)，如图，其面积为36 cm 2.(2)由侧视图可求得PD ＝PC 2＋CD 2＝62＋62＝6 2. 由正视图可知AD ＝6，且AD ⊥PD ， 所以在Rt △APD 中，P A ＝PD 2＋AD 2＝(62)2＋62＝6 3 (cm)．11．现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P －A 1B 1C 1D 1，下部的形状是ABCD －A 1B 1C 1D 1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍．AB ＝6 m ，PO 1 ＝2 m ，则仓库的容积是多少？解析 由PO 1＝2知O 1O ＝4PO 1＝8.因为A 1B 1＝AB ＝6，所以正四棱锥P －A 1B 1C 1D 1的体积 V 锥＝13·A 1B 21·PO 1＝13×62×2＝24(m 3)； 正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积 V 柱＝AB 2·O 1O ＝62×8＝288(m 3)．所以仓库的容积V ＝V 锥＋V 柱＝24＋288＝312(m 3)．12．如图所示，半径为R 的半圆内的阴影部分以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的体积(其中∠BAC ＝30°)．解析 如图所示，过C 作CO 1⊥AB 于O 1，在半圆中∠BCA ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝2R ，∴AC ＝3R ，BC ＝R ，CO 1＝32R . ∵V 球＝43πR 3，V 圆锥AO 1＝13·AO 1·πCO 21＝14πR 2·AO 1， V 圆锥BO 1＝13BO 1·πCO 21＝14πR 2·BO 1， ∴V 几何体＝V 球－(V 圆锥AO 1＋V 圆锥BO 1) ＝43πR 3－12πR 3＝56πR 3.。

7.1 空间几何体的结构特征及三视图与直观图[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是( )A ．三棱锥B ．四棱锥C ．四棱台D ．三棱台解析：因为正(主)视图和侧(左)视图都为三角形，可知几何体为锥体，又因为俯视图为三角形，故该几何体为三棱锥．答案：A2．(2017年浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A.π2＋1 B ．π2＋3C.3π2＋1 D ．3π2＋3解析：由图可知，几何体由半个圆锥与一个三棱锥构成，∵半圆锥的体积V 1＝12×(π×12)×3×13＝π2，三棱锥的体积V 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2×1×12×3×13＝1，∴该几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝π2＋1.答案：A3．(2017年全国卷Ⅱ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A ．πB ．3π4C.π2D ．π4解析： 过圆柱的轴作截面，所得截面如图，则圆柱的底面半径为r ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32，所以圆柱的体积为 πr 2·h ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫322×1＝3π4. 答案：B4．(2017年全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )A ．10B ．12C ．14D ．16解析：由三视图可画出立体图形，如图所示．该多面体有两个面是梯形，其面积之和为 2×(2＋4)×2÷2＝12.故选B. 答案：B5.把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起形成的三棱锥A －BCD 的正(主)视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为( )A.22 B ．12 C.24D ．14解析：由正(主)视图与俯视图可得三棱锥A －BCD 的一个侧面与底面垂直，其侧视图是直角三角形，且直角边长均为22，所以侧(左)视图的面积为S ＝12×22×22＝14. 答案：D6．已知四棱锥P －ABCD 的三视图如图所示，则四棱锥P －ABCD 的四个侧面中面积最大的是( )A ．3B ．2 5C ．6D ．8解析：四棱锥如图所示，取AD 的中点N ，BC 的中点M ，连接PM ，PN ，则PM ＝3，PN ＝5，S △PAD ＝12×4×5＝25， S △PAB ＝S △PDC ＝12×2×3＝3， S △PBC ＝12×4×3＝6.所以四个侧面中面积最大的是6. 答案：C7．(2018届山东泰安统考)一个几何体的三视图如图所示，且其侧(左)视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为( )A.＋π33B ．(4＋π) 3C.＋π32D ．＋π36解析：该几何体为一个四棱锥与一个半圆锥的组合体，四棱锥的高为3，底面为正方形；半圆锥高为3，底面是半径为1的半圆，因此体积为13×3×22＋13×3×π×122＝＋π36.答案：D8．(2017届山西太原三模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2B ．83C ．4D ．209解析：观察三视图并依托正方体，可得该几何体直观图为A 1－ABEF ，如图所示，其体积为V正方体－V AFD －BEC －VA 1－BEC 1B 1－VA 1－FEC 1D 1＝2×2×2－12×2×1×2－13×2×(1＋2)×2×12－13×1×2×2＝83.答案：B9.一水平放置的平面四边形OABC ，用斜二测画法画出它的直观图O ′A ′B ′C ′如图所示，此图为一个边长是1的正方形，则原平面四边形OABC 的面积为________．解析：因为直观图的面积是原图形面积的24倍，且直观图的面积为1，所以原图形的面积为2 2.答案：2 210．(2017年江苏卷)如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．解析：设球的半径为R ，则V 1＝2R ×πR 2＝2πR 3，V 2＝43πR 3，所以V 1V 2＝32.答案：3211．已知正三角形ABC 的边长为2，那么△ABC 的直观图△A ′B ′C ′的面积为________． 解析：如图，图①、图②所示的分别是实际图形和直观图． 从图②可知，A ′B ′＝AB ＝2，O ′C ′＝12OC ＝32， 所以C ′D ′＝O ′C ′sin45°＝32×22＝64. 所以S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×2×64＝64.答案：6412．已知正三棱锥V －ABC 的正(主)视图、侧(左)视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图； (2)求出侧(左)视图的面积． 解：(1)直观图如图所示．(2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴侧视图中VA ＝42－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32×232＝23，∴S △VBC ＝12×23×23＝6.[能 力 提 升]1.(2017年全国卷Ⅰ)如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D 、E 、F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm 3)的最大值为________．解析：设△ABC 的边长为x ，则0<x <53，连接OD 交BC 于点P (图略)， 则OP ＝36x ，PD ＝5－36x ， ∴三棱锥的高h ＝⎝⎛⎭⎪⎫5－36x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫36x 2＝25－533x ，∴三棱锥的体积V ＝13·34x ·x ·25－533x ＝51215x 4－3x 5.令f (x )＝15x 4－3x 5，则f ′(x )＝60x 3－53x 4＝5x 3(12－3x )． 令f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝4 3. 当0<x <43时，f ′(x )>0； 当x >43时，f ′(x )<0，所以当x ＝43时，f (x )取最大值． 当x ＝43时，最大体积V ＝51234－335＝415(cm3)．答案：4152．(2017年江苏卷)如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32 cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为107 cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14 cm和62 cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12 cm.现有一根玻璃棒l，其长度为40 cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；(2)将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．解：(1)设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面ACM中，过N作NP∥MC交AC于点P.∵A1B1C1D1－ABCD为正四棱柱，∴CC1⊥平面ABCD.又∵AC⊂平面ABCD，∴CC1⊥AC，∴NP⊥AC，即NP＝12 cm，且AM2＝AC2＋MC2，解得MC＝30 cm.∵NP∥MC，∴△ANP∽△AMC，∵ANAM＝NPMC，即AN40＝1230，则AN＝16 cm.即l没入水中部分的长度为16 cm.(2)设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面E 1EGG 1中，过点N 作NP ⊥EG 交EG 于点P ， 过点E 作EQ ⊥E 1G 1交E 1G 1于点Q . ∵EFGH －E 1F 1G 1H 1为正四棱台， ∴EE 1＝GG 1，EG ∥E 1G 1，EG ≠E 1G 1，∴EE 1G 1G 为等腰梯形，画出平面E 1EGG 1的平面图． ∵E 1G 1＝62 cm ，EG ＝14 cm ， ∴E 1Q ＝24 cm ，又在Rt △EE 1Q 中EQ ＝32 cm ，根据勾股定理得E 1E ＝40 cm. ∴sin ∠EE 1Q ＝45，sin ∠EGM ＝sin ∠EE 1G 1＝45，cos ∠EGM ＝－35.根据正弦定理得EM sin ∠EGM ＝EGsin ∠EMG ，得sin ∠EMG ＝725，∴cos ∠EMG ＝2425，∴sin ∠GEM ＝sin(∠EGM ＋∠EMG )＝ sin ∠EGM cos ∠EMG ＋cos ∠EGM sin ∠EMG ＝35，又NP ＝12 cm ， ∴EN ＝NPsin ∠GEM ＝1235＝20 cm.即l 没入水中部分的长度为20 cm.。

2019年高考数学一轮复习：空间几何体的结构、三视图和直观图空间几何体的结构、三视图和直观图1．棱柱、棱锥、棱台的概念(1)棱柱：有两个面互相______，其余各面都是________，并且每相邻两个四边形的公共边都互相______，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．※注：棱柱又分为斜棱柱和直棱柱．侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．(2)棱锥：有一个面是________，其余各面都是有一个公共顶点的__________，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．※注：如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥．(3)棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，叫做棱台．※注：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．※2.棱柱、棱锥、棱台的性质(1)棱柱的性质侧棱都相等，侧面是______________；两个底面与平行于底面的截面是__________的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是______________；直棱柱的侧棱长与高相等且侧面、对角面都是________．(2)正棱锥的性质侧棱相等，侧面是全等的______________；棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影构成一个____________；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也构成一个____________；斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个____________；侧棱在底面上的射影、斜高在底面上的射影及底面边长的一半也构成一个____________．(3)正棱台的性质侧面是全等的____________；斜高相等；棱台的高、斜高和两底面的边心距组成一个____________；棱台的高、侧棱和两底面外接圆的半径组成一个____________；棱台的斜高、侧棱和两底面边长的一半也组成一个____________．3．圆柱、圆锥、圆台(1)圆柱、圆锥、圆台的概念分别以______的一边、__________的一直角边、________中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台．(2)圆柱、圆锥、圆台的性质圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是________、________、________；平行于底面的截面都是________．4．球(1)球面与球的概念以半圆的______所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球．半圆的圆心叫做球的________．(2)球的截面性质球心和截面圆心的连线________截面；球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r的关系为______________．5．平行投影在一束平行光线照射下形成的投影，叫做__________．平行投影的投影线互相__________．6．空间几何体的三视图、直观图(1)三视图①空间几何体的三视图是用正投影得到的，在这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的．三视图包括__________、__________、__________．②三视图尺寸关系口诀：“长对正，高平齐，宽相等．”长对正指正视图和俯视图长度相等，高平齐指正视图和侧(左)视图高度要对齐，宽相等指俯视图和侧(左)视图的宽度要相等．(2)直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：①在已知图形所在空间中取水平面，在水平面内作互相垂直的轴Ox，Oy，再作Oz轴，使∠xOz＝________且∠yOz＝________．②画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的轴O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝____________，∠x′O′z′＝____________．x′O′y′所确定的平面表示水平面．③已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成____________x′轴、y′轴或z′轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．④已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的__________．⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图．自查自纠1．(1)平行四边形平行(2)多边形三角形2．(1)平行四边形全等平行四边形矩形(2)等腰三角形直角三角形直角三角形直角三角形直角三角形(3)等腰梯形直角梯形直角梯形直角梯形3．(1)矩形直角三角形直角梯形(2)矩形等腰三角形等腰梯形圆4．(1)直径球心(2)垂直于d＝R2－r25．平行投影平行6．(1)①正(主)视图侧(左)视图俯视图(2)①90°90°②45°(或135°)90°③平行于④一半以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是()A．球的三视图总是三个全等的圆B．正方体的三视图总是三个全等的正方形C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆解：几何体的三视图要考虑视角，只有球无论选择怎样的视角，其三视图总是三个全等的圆．故选A.(2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A．90πB．63πC．42πD．36π解法一：由三视图知，该几何体可以看作由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，故其体积V＝π×32×10－12×π×32×6＝63π.解法二：该几何体可以看作由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，其体积等于底面半径为3，高为7的圆柱的体积，所以其体积V＝π×32×7＝63π.故选B.(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为()A．10 B．12 C．14 D．16解：由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，上面是底面为等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长、直三棱柱的高、三棱锥的高均为2，易知该多面体有2个面是梯形，这2个梯形的面积之和为（2＋4）×22×2＝12，故选B.(2017·北京)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为________．解：由三视图还原为如图所示的四棱锥A -BCC 1B 1，易得，最长的棱为AC 1，且AC 1＝AC 2＋CC 21＝（22＋22）＋22＝2 3.故填23.(2017·山东)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________．解：由三视图可知V ＝1×2×1＋2×14×π×12×1＝2＋π2.故填2＋π2.类型一 空间几何体的结构特征给出下列四个命题：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱； ②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥； ③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；④若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．其中所有错误命题．．．．的序号是( ) A ．②③④ B. ①②③C ．①②④ D. ①②③④解：认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故①③错误，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故②错误，平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行，故④错误．故选D .【点拨】解决该类题目需要准确理解几何体的定义，要真正把握几何体的结构特征，并且学会通过反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可．下面是关于四棱柱的四个命题：①若有一个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若过两个相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱； ④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．其中，真命题的编号是________．解：①显然错；②正确，因两个过相对侧棱的截面都垂直于底面可得到侧棱垂直于底面；③错，可以是斜四棱柱；④正确，对角线两两相等，则此两对角线所在的平行四边形为矩形．故填②④.类型二 空间几何体的三视图已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为()解：三视图中正侧高平齐，排除A ，俯侧宽相等，排除C ，D.故选B .【点拨】根据几何体的直观图画三视图，要根据三视图的画法规则进行．要严格按以下几点执行：①三视图的安排位置，正视图、侧视图分别放在左、右两边，俯视图放在正视图的下边．②正俯长对正，正侧高平齐，俯侧宽相等．③注意实虚线的区别．如图，几何体的正视图与侧视图都正确的是()解：侧视时，看到一个矩形且不能有实对角线，故A 、D 排除．而正视时，有半个平面是没有的，所以应该有一条实对角线，且其对角线位置应为B 中所示．故选B .类型三 空间多面体的直观图已知几何体的三视图如图所示，用斜二测画法画出它的直观图．(单位：cm)解：由三视图可知该几何体是底面边长为2 cm ，高为3 cm 的正六棱锥，其直观图如图①所示，画法如下：(1)画轴：画底面中心O ′，画x ′轴，y ′轴和z ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°，∠x ′O ′z ′＝90°.(2)画底面：在水平面x ′O ′y ′内画边长为2 cm 正六边形的直观图．(3)画高线：在O ′z ′上取点P ′，使O ′P ′＝3 cm. (4)成图：连接P ′A ′，P ′B ′，P ′C ′，P ′D ′，P ′E ′，P ′F ′，去掉辅助线，并将遮住部分改为虚线，就得到如图②所示的直观图．【点拨】①根据三视图可以确定一个几何体的长、宽、高，再按照斜二测画法，建立x 轴、y 轴、z 轴，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°，确定几何体在x 轴、y 轴、z 轴方向上的长度，最后连线画出直观图．②平行于x轴和z 轴的线段长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的一半，且平行于轴的线段平行关系不变．③原图形面积S 与其直观图面积S ′之间的关系为S ′＝24S .已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为( )A. 2 B ．6 2 C.13D ．2 2解：因为四棱锥的底面直观图是一个边长为1的正方形，该正方形的对角线长为2，根据斜二测画法的规则，原图底面的底边长为1，高为直观图中正方形的对角线长的两倍，即22，则原图底面积为S ＝2 2.因此该四棱锥的体积为V ＝13Sh ＝13×22×3＝2 2.故选D .类型四 空间旋转体的直观图一个圆台的母线长为12 cm ，两底面面积分别为4π cm 2和25π cm 2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．解：(1)O 1A 1＝2，OA ＝5，所以圆台的高h ＝122－32＝315 cm.(2)由SA －12SA ＝25，得SA ＝20 cm. 【点拨】用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的轴截面(经过旋转轴的截面)的几何性质，利用相似三角形中的相似比，设相关几何变量列方程求解．一个直角梯形上底、下底和高之比为2∶4∶5，将此直角梯形以垂直于底的腰为轴旋转一周形成一个圆台，求这个圆台上底面积、下底面积和侧面积之比．解：由题意可设直角梯形上底、下底和高为2x ，4x ，5x ，它们分别为圆台的上、下底半径和高．如图示，过点B 作BC ⊥OA 于C ，则Rt △ABC 中，AC ＝OA －OC ＝OA －O ′B ＝4x －2x ＝2x ，BC ＝O ′O ＝5x ，所以AB ＝AC 2＋BC 2＝（2x ）2＋（5x ）2＝3x .所以S 上∶S 下∶S 侧＝[π(2x )2]∶[π(4x )2]∶[π(2x ＋4x)×3x ]＝2∶8∶9.1．在研究圆柱、圆锥、圆台的相关问题时，主要方法就是研究它们的轴截面，这是因为在轴截面中容易找到这些几何体的有关元素之间的位置关系以及数量关系．2．建议对下列一些具有典型意义的重要空间图形的数量关系予以推证并适当记忆．(1)正多面体①正四面体就是棱长都相等的三棱锥，正六面体就是正方体，连接正方体六个面的中心，可得到一个正八面体，正八面体可以看作是由两个棱长都相等的正四棱锥拼接而成．棱长为a 的正四面体中：a ．斜高为32a ；b ．高为63a ； c ．对棱中点连线长为22a ；d ．外接球的半径为64a ，内切球的半径为612a ；e ．正四面体的表面积为3a 2，体积为212a 3.②如图，在棱长为a 的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，连接A 1B ，BC 1，A 1C 1，DC 1，DA 1，DB ，可以得到一个棱长为2a 的正四面体A 1­BDC 1，其体积为正方体体积的13.③正方体与球有以下三种特殊情形：一是球内切于正方体；二是球与正方体的十二条棱相切；三是球外接于正方体．它们的相应轴截面如图所示(正方体的棱长为a ，球的半径为R )．(2)长方体的外接球①长、宽、高分别为a ，b ，c 的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即a 2＋b 2＋c 2＝2R .②棱长为a 的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即3a ＝2R .3．三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线，主视图反映了物体的长度和高度；俯视图反映了物体的长度和宽度；左视图反映了物体的宽度和高度．由此得到：主俯长对正，主左高平齐，俯左宽相等．4．一个平面图形在斜二测画法下的直观图与原图形相比，有“三变、三不变”．三变：坐标轴的夹角改变，与y 轴平行线段的长度改变(减半)，图形改变．三不变：平行性不变，与x 轴平行的线段长度不变，相对位置不变．5．对于直观图，除了了解斜二测画法的规则外，还要了解原图形面积S 与其直观图面积S′之间联系：S ′＝24S ，并能进行相关的计算．1．一图形的投影是一条线段，这个图形不可能是( )①线段；②直线；③圆；④梯形；⑤长方体 A ．①③ B ．②④ C ．④⑤ D ．②⑤ 解：线段、圆、梯形都是平面图形，且在有限范围内，投影都可能为线段；长方体是三维空间图形，其投影不可能是线段；直线的投影，只能是直线或点．故选D .2．下列命题：①若一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体；②若一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体；③若一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体；④若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台．其中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 解：①假命题，也可以是球；②假命题，也可以是横放的圆柱；③是真命题；④是假命题，也可以是棱台．故选B.3．四个正方体按如图所示的方式放置，其中阴影部分为我们观察的正面，则该物体的三视图正确的为( )解：正视图、侧视图、俯视图分别从几何体的正面、左边和上面正投影即可知B 正确．故选B .4．某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是( )解：D 选项的正视图应为如图所示的图形．故选D .5．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面中面积最大的是( )A ．8B ．6 2C ．10D ．8 2解：由三视图可知，该几何体的四个面都是直角三角形，面积分别为6，62，8，10，所以面积最大的是10.故选C .6．如图，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为1 cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是( )A ．8 cmB ．6 cmC ．2(1＋3) cmD ．2(1＋2) cm 解：根据直观图的画法可知，在原几何图形中，OABC为平行四边形，且有OB ⊥OA，OB ＝22，OA ＝1，所以AB ＝3.从而原图的周长为8.故选A .7．一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________．(填入所有可能的几何体前的编号)①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱解：三棱锥、四棱锥和圆锥显然合要求，当三棱柱的一个侧面平行于水平面，底面对着观测者时其正视图是三角形，其余的正视图均不是三角形．故填①②③⑤.8．有一枚正方体骰子，每一个面都有一个英文字母，如图所示的是从3种不同角度看同一枚骰子的情况，则与H 相对的字母是________．解：正方体的骰子共有6个面，每个面都有一个字母，从每一个图，都可看到有公共顶点的三个面，与标有S 的面相邻的面共有四个，由这三个图知这四个面分别标有字母H ，E ，O ，d ，翻转图②，使S 面调整到正前面，则O 为正下面，所以与H 相对的是O .故填O .9．如图是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图．解：图中几何体的三视图如图所示：10．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3cm ，求圆台的母线长．解：设圆台的母线长为l ，截得圆台的上、下底面半径分别为r ，4r .根据相似三角形的性质得，33＋l ＝r4r，解得 l ＝9. 所以，圆台的母线长为9cm.11．在四棱锥P -ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面ABCD 垂直．该四棱锥的正视图和侧视图如图所示，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形．(1)根据所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求P A 的长度．解：(1)该四棱锥的俯视图为边长为6 cm 的正方形，如图，其面积为36cm 2.(2)在正方形ABCD 中，易得AC ＝62cm ，因为PC ⊥面ABCD ，所以PC ⊥AC .在Rt △ACP中，P A ＝PC 2＋AC 2＝62＋（62）2＝63cm.某长方体的一条体对角线长为7，在该长方体的正视图中，这条对角线的投影长为6，在该长方体的侧视图与俯视图中，这条体对角线的投影长分别为a 和b ，求ab 的最大值．解：如图，则有AC 1＝7，DC 1＝6， BC 1＝a ，AC ＝b ，设AB ＝x ，AD ＝y ，AA 1＝z ，有 x 2＋y 2＋z 2＝7，x 2＋z 2＝6，所以y 2＝1.因为a 2＝y 2＋z 2＝z 2＋1，b 2＝x 2＋y 2＝x 2＋1，所以a ＝z 2＋1，b ＝x 2＋1.所以ab ＝（z 2＋1）（x 2＋1）≤z 2＋1＋x 2＋12＝4，当且仅当z 2＋1＝x 2＋1，即x ＝z ＝3时，ab 的最大值为4.2019年高考数学一轮复习第9 页共9 页。

2019届高考数学难点突破--立体几何初步：空间几何体的结构及其三视图和直观图（带解析）空间几何体的结构及其三视图和直观图【考点梳理】．简单多面体的结构特征棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等的多边形；棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点的三角形；棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形．．旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形任一直角边所在的直线圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线球半圆直径所在的直线．空间几何体的三视图三视图的名称几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图．三视图的画法①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察到的几何体的正投影图．．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半．【考点突破】考点一、空间几何体的结构特征【例1】给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是A．0B．1c．2D．3[答案]A[解析]①错误，只有这两点的连线平行于旋转轴时才是母线；②错误，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如图所示；③错误，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．【类题通法】解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧把握几何体的结构特征，要多观察实物，提高空间想象能力；紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型；通过反例对结构特征进行辨析．【对点训练】下列结论正确的是A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体c．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线[答案]D[解析]如图①知，A不正确．如图②，两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，则B不正确．①②c错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．由母线的概念知，选项D正确．考点二、空间几何体的三视图【例2】一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是ABcD[答案]B[解析]该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此选项B适合．【类题通法】由几何体的直观图画三视图需注意的事项①注意正视图、侧视图和俯视图对应的观察方向；②注意能看到的线用实线画，被挡住的线用虚线画；③画出的三视图要符合“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征．【对点训练】“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合在一起的方形伞.其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是[答案]B[解析]由直观图知，俯视图应为正方形，又上半部分相邻两曲面的交线为可见线，在俯视图中应为实线，因此，选项B可以是几何体的俯视图.【例3】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．[答案]22[解析]由题中三视图可知，三棱锥的直观图如图所示，其中PA⊥平面ABc，为Ac的中点，且B⊥Ac，故该三棱锥的最长棱为Pc.在Rt△PAc中，Pc＝PA2＋Ac2＝22＋22＝22.【类题通法】由三视图还原到直观图的思路根据俯视图确定几何体的底面.根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置.确定几何体的直观图形状.【对点训练】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱棱长为A．1B．2c．3D．2[答案]c[解析]由三视图知，该四棱锥的直观图如图所示，其中PA⊥平面ABcD.又PA＝AD＝AB＝1，且底面ABcD是正方形，所以Pc为最长棱．连接Ac，则Pc＝Ac2＋PA222＋1＝3.考点三、空间几何体的直观图【例4】有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，∠ABc＝45°，AB＝AD＝1，Dc⊥Bc，则这块菜地的面积为________.[答案]2＋22[解析]如图1，在直观图中，过点A作AE⊥Bc，垂足为E.在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝22.又四边形AEcD为矩形，AD＝Ec＝1.∴Bc＝BE＋Ec＝22＋1.由此还原为原图形如图2所示，是直角梯形A′B′c′D′.在梯形A′B′c′D′中，A′D′＝1，B′c′＝22＋1，A′B′＝2.∴这块菜地的面积S＝12•A′B′＝12×1＋1＋22×2＝2＋22.【类题通法】．画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”和“二测”来掌握．对直观图的考查有两个方向，一是已知原图形求直观图的相关量，二是已知直观图求原图形中的相关量．．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝24S原图形．【对点训练】已知正三角形ABc的边长为a，那么△ABc的平面直观图△A′B′c′的面积为A．34a2 B．38a2c．68a2 D．616a2[答案]D[解析]如图①②所示的实际图形和直观图，由②可知，A′B′＝AB＝a，o′c′＝12oc＝34a，在图②中作c′D′⊥A′B′于D′，则c′D′＝22o′c′＝68a，所以S△A′B′c′＝12A′B′•c′D′＝12×a×68a＝616a2.。

精英特训（1）空间几何体的结构及其三视图和直观图一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二侧画法所画的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为( ) A ．2 2 B ．6 2 C ．1 D. 2答案 A解析 因为底面用斜二侧画法所画的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，所以在直角坐标系中，底面是边长为1和3的平行四边形，且平行四边形的一条对角线垂直于平行四边形的短边，此对角线的长为22，所以该四棱锥的体积为V ＝13×22×1×3＝2 2.2.对于用“斜二测画法”画平面图形的直观图,下列说法正确的是 ( ) A.等腰三角形的直观图仍为等腰三角形 B.梯形的直观图可能不是梯形 C.正方形的直观图为平行四边形 D.正三角形的直观图一定为等腰三角形【解析】选C.根据“斜二测画法”的定义可得正方形的直观图为平行四边形.3.点M ，N 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱A 1B 1，A 1D 1的中点，用过平面AMN 和平面DNC 1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图，则该几何体的正(主)视图，侧(左)视图、俯视图依次为( )A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．②④③答案 B解析由直视图可知，该几何体的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图依次为②③④，故选B.4.如图,在空间直角坐标系中,已知直三棱柱的顶点A在x轴上,AB平行于y轴,侧棱AA1平行于z轴.当顶点C在y轴正半轴上运动时,以下关于此直三棱柱三视图的表述正确的是( )A.该三棱柱正视图的投影不发生变化B.该三棱柱侧视图的投影不发生变化C.该三棱柱俯视图的投影不发生变化D.该三棱柱三个视图的投影都不发生变化【解析】选B.A:该三棱柱正视图的长度是AB或者AC在y轴上的投影,随C点的运动发生变化,故错误;B:设O1是z轴上一点,且AA1=OO1,则该三棱柱侧视图就是矩形AOO1A1,图形不变,故正确;C:该三棱柱俯视图就是△ABC,随C点的运动发生变化,故错误.故D也错误.【一题多解】选B.三视图主要刻画几何体的长宽高,在C点运动过程中,只有高和宽一定不会发生改变,所以侧视图的投影不发生改变.5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长棱的长度为( )A．4 B．3 2C．2 2 D．2 3答案D解析由三视图可知，该几何体为如图所示的四棱锥P－ABCD，由图可知其中最长棱为PC，因为PB2＝PA2＋AB2＝22＋22＝8，所以PC2＝PB2＋BC2＝8＋22＝12，则PC＝23，故选D.6.已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是( )A.88 cm3B.104 cm3C.98 cm3D.134 cm3【解析】选D.由三视图可得,原几何体为一个长宽高分别为6 cm、4 cm、6 cm的长方体砍去一个三棱锥,且三棱锥的底面是直角边分别为3 cm、5 cm的直角三角形,高为4 cm,如图.所以该几何体的体积V=4×6×6-××3×5×4= 134(cm3).7.某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大为( )A．2 2 B．4C．2 3 D．2 6答案 C解析由三视图知该几何体为棱锥S－ABD，其中SC⊥平面ABCD，将其放在正方体中，如图所示．四面体S－ABD的四个面中△SBD的面积最大，三角形SBD是边长为22的等边三角形，所以此四面体的四个面中面积最大为34×8＝2 3.故选C.二、填空题(每小题5分,共15分)8.如图,BD是边长为3的正方形ABCD的对角线,将△BCD绕直线AB旋转一周后形成的几何体的体积等于____________.【解析】对角线BD绕着AB旋转,形成圆锥的侧面;边BC绕着AB旋转形成圆面;边CD绕着AB旋转,形成圆柱的侧面,所以该几何体是由圆柱挖去一个同底面的圆锥,所以V=π·32·3-·π·32·3=18π.答案:18π9.已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD 是边长为2的正方形，则这个四面体的正视图的面积为________．答案 2 2解析 由俯视图可得，原正四面体AMNC 可视作是如图所示的正方体的一内接几何体，则该正方体的棱长为2，正四面体的正视图为三角形，其面积为12×2×22＝2 2.答案:4π【方法点晴】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时,一般过球心及接、切点作截面,把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题,再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.(2)若球面上四点P,A,B,C 构成的三条线段PA,PB,PC 两两互相垂直,且PA=a,PB=b,PC=c,一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体,利用4R 2=a 2+b 2+c 2求解.10.如图是一个棱长为1的无盖正方体盒子的平面展开图,A,B,C,D 为其上四个点,以A,B,C,D 为顶点的三棱锥的体积为______________.【解析】根据图示可知三棱锥的底面积为,高为1,进而得到三棱锥的体积为.答案:1.(5分)已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图是( )答案 C解析A项中的几何体，正视图不符，侧视图也不符，俯视图中没有虚线；B项中的几何体，俯视图中不出现虚线；C项中的几何体符合三个视图；D项中的几何体，正视图不符．故选C.2.(5分)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,记该正方体的正视图与侧视图的面积分别为S1,S2,则( )A.-为定值B.为定值C.+为定值D.+为定值【解析】选 A.设投影面与侧面所成的角为α⇒S1=sin α+cos α,S2=sin(90°-α)+cos(90°-α)=sin α+cos α,S1=S2⇒-为定值.3.(5分)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱答案 B解析由题知，该几何体的三视图为一个三角形，两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱，故选B.4.(5分)一个透明密闭的正方体容器中,恰好盛有该容器一半容积的水,任意转动这个正方体,则水面在容器中的形状可以是:①三角形;②长方形;③正方形;④正六边形.其中正确的结论是________________.(把你认为正确的序号都填上)【解析】因为正方体容器中盛有一半容积的水,无论怎样转动,其水面总是过正方体的中心,三角形截面不过正方体的中心,故①不正确;过正方体的一对棱和中心可作一截面,截面形状为长方形,故②正确;过正方体四条互相平行的棱的中点得截面形状为正方形,该截面过正方体的中心,故③正确; 过正方体一面上相邻两边的中点以及正方体的中心得截面形状为正六边形,故④正确.答案:②③④5.(10分)已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的( )答案 C解析通过对以下四个四棱锥的三视图对照可知，只有选项C是符合要求．。

空间几何体的结构、三视图和直观图考纲要求1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图；3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．知识梳理1．空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似相交于一点，但不侧棱平行且相等延长线交于一点一定相等侧面形状平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形互相平行且相等，相交于一点延长线交于一点母线垂直于底面轴截面矩形等腰三角形等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环2.直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．3．三视图(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．(2)画出的三视图要长对正，高平齐，宽相等．1．常见旋转体的三视图(1)球的三视图都是半径相等的圆．(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图二者为全等的等腰三角形.(3)水平放置的圆台的正视图和侧视图二者为全等的等腰梯形．(4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图二者为全等的矩形．2．在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”．在三视图的判断与识别中要特别注意其中的虚线．3．直观图与原平面图形面积间关系S直观图＝24S原图形．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．()(3)菱形的直观图仍是菱形．()(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．()答案(1)×(2)×(3)×(4)×解析(1)反例：由两个平行六面体上下组合在一起的图形满足条件，但不是棱柱．(2)反例：如图所示的图形满足条件但不是棱锥．(3)用斜二测画法画水平放置的菱形的直观图是平行四边形，但邻边不一定相等，(3)错误．(4)球的三视图均相同，而圆锥的正视图和侧视图相同，且为等腰三角形，其俯视图为圆心和圆，正方体的三视图不一定相同．2．在如图所示的几何体中，是棱柱的为________(填写所有正确的序号)．答案③⑤解析由棱柱的定义可判断③⑤属于棱柱．3．如图，长方体ABCD－A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′.剩下的几何体是()A．棱台B．四棱柱C．五棱柱D．六棱柱答案 C解析由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱．4．(2021·兰州一中调研)如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知直观图OA′B′C′的面积为4，则该平面图形的面积为()A. 2 B．4 2C．8 2 D．2 2答案 C解析由S原图形＝22S直观图，得S原图形＝22×4＝8 2.5．(2018·全国Ⅲ卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()答案 A解析由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A.6.设四面体ABCD各棱长均相等，S为AD的中点，Q为BC上异于中点和端点的任一点，则△SQD在四面体的面上的射影不可能是()答案 A解析设BC的中点为P，则由题意可知DP⊥BC且平面ADP⊥平面BDC，从而S在平面BCD上的射影在DP上，△SQD在面BCD上的射影为选项C，同理△SQD在面ABC、面ACD上的射影分别为选项B、D，故选A.考点一空间几何体的结构特征1．给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3答案 A解析①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．2．以下四个命题中，真命题为()A．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥B．底面是矩形的平行六面体是长方体C．直四棱柱是直平行六面体D．棱台的侧棱延长后必交于一点答案 D解析A中等腰三角形的腰不一定是侧棱，A是假命题，B中，侧棱与底面矩形不一定垂直，B是假命题，C中，直四棱柱的底面不一定是平行四边形，C不正确，根据棱台的定义，选项D是真命题．3．若四面体的三对相对棱分别相等，则称之为等腰四面体，若四面体的一个顶点出发的三条棱两两垂直，则称之为直角四面体，以长方体ABCD－A1B1C1D1的顶点为四面体的顶点，可以得到等腰四面体、直角四面体的个数分别为()A．2,8 B．4,12 C．2,12 D．12,8答案 A解析因为矩形的对角线相等，所以长方体的六个面的对角线构成2个等腰四面体．因为长方体的每个顶点出发的三条棱都是两两垂直的，所以长方体中有8个直角四面体．感悟升华 1.关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例．2．圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．3．既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．考点二空间几何体的三视图【例1】(1)(2020·全国Ⅱ卷)如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为()A．E B．FC．G D．H(2)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在侧视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A．217 B．2 5 C．3 D．2答案(1)A(2)B解析(1)根据三视图可得直观图如图所示，图中的点U在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，所以该端点在侧视图中对应的点为E.(2)由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN，则MS＝2，SN＝4，则从M到N的路径中，最短路径的长度为MN＝MS2＋SN2＝22＋42＝2 5.感悟升华 1.由直观图确定三视图，一要根据三视图的含义及画法和摆放规则确认．二要熟悉常见几何体的三视图．2．由三视图还原到直观图要抓住关键几点：(1)根据俯视图确定几何体的底面．(2)根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置．(3)确定几何体的直观图形状．(4)要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图形成原理．【训练1】(1)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为()(2)(2021·邯郸检测)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为()A．2 2 B．2 5 C．2 6 D．4 2答案(1)C(2)C解析(1)如图(1)所示，过点A，E，C1的截面为AEC1F，则剩余几何体的侧视图为选项C 中的图形．(2)由三视图知，该几何图是如图(2)所示的四棱锥A－BCC1B1.易知AC1为最长棱，因此AC1＝42＋22＋22＝2 6.考点三空间几何体的直观图角度1水平放置的直观图【例2】已知等腰梯形ABCD中，上底CD＝1，腰AD＝CB＝2，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________．答案2 2解析如图(1)和(2)的实际图形和直观图所示．图(1)图(2) 因为OE＝22－1＝1，由斜二测画法可知O′E′＝1 2，E′F＝24，D′C′＝1，A′B′＝3，则直观图A′B′C′D′的面积S′＝1＋32×24＝22.感悟升华 1.画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”(两坐标轴成45°或135°)和“二测”(平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴和z轴的线段长度不变)来掌握．2．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝24S 原图形．【训练2】 如图，一个水平放置的平面图形的直观图(斜二测画法)是一个底角为45°、腰和上底长均为2的等腰梯形，则这个平面图形的面积是( )A ．2＋ 2B ．1＋ 2C ．4＋2 2D ．8＋4 2答案 D解析 由已知直观图根据斜二测画法规则画出原平面图形，如图所示．由于O ′D ′＝2，D ′C ′＝2， ∴OD ＝4，DC ＝2，过D ′作D ′H ⊥A ′B ′，易知A ′H ＝2sin 45°＝ 2. ∴AB ＝A ′B ′＝2A ′H ＋DC ＝22＋2.故平面图形的面积S ＝DC ＋AB 2·AD ＝4(2＋2)．角度2 几何体的直观图中计算【例3】 (2020·新高考山东卷)已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD ＝60°.以D 1为球心，5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为__________． 答案2π2解析 如图，连接B 1D 1，易知△B 1C 1D 1为正三角形，所以B 1D 1＝C 1D 1＝2.分别取B 1C 1，BB 1，CC 1的中点M ，G ，H ，连接D 1M ，D 1G ，D 1H ，则易得D 1G ＝D 1H ＝22＋12＝5，D 1M ⊥B 1C 1，且D 1M ＝ 3. 由题意知G ，H 分别是BB 1，CC 1与球面的交点．在侧面BCC 1B 1内任取一点P ，使MP ＝2，连接D 1P ，则D 1P ＝D 1M 2＋MP 2＝32＋22＝5，连接MG ，MH ，易得MG ＝MH ＝2，故可知以M 为圆心，2为半径的圆弧GH 为球面与侧面BCC 1B 1的交线．由∠B 1MG ＝∠C 1MH ＝45°知∠GMH ＝90°，所以GH ︵的长为14×2π×2＝2π2. 感悟升华 1.本题求解的关键是明确球面与侧面BCC 1B 1交线的位置，从而转化为以M 为圆心，以MH ＝2为半径的圆弧GH ︵的计算．2．题目考查直四棱柱的结构特征与直观图，核心素养是直观想象和数学运算．【训练3】 (2020·全国Ⅰ卷)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )A.5－14 B ．5－12 C ．5＋14 D ．5＋12答案 C解析 如图，设正四棱锥的底面边长BC ＝a ，侧面等腰三角形底边上的高PM ＝h ，则正四棱锥的高PO ＝h 2－a 24，∴以PO 的长为边长的正方形面积为h 2－a 24， 一个侧面三角形面积为12ah ， ∴h 2－a 24＝12ah ，∴4h 2－2ah －a 2＝0. 则a ＝(5－1)h ，∴h a ＝5＋14.A 级 基础巩固一、选择题1．下列说法中，正确的是( )A ．棱柱的侧面可以是三角形B ．若棱柱有两个侧面是矩形，则该棱柱的其他侧面也是矩形C ．正方体的所有棱长都相等D ．棱柱的所有棱长都相等答案 C解析 棱柱的侧面都是平行四边形，选项A 错误；其他侧面可能是平行四边形，选项B 错误；棱柱的侧棱与底面边长并不一定相等，选项D 错误；易知选项C 正确．2．如图为一圆柱切削后的几何体及其正视图，则相应的侧视图可以是( )答案 B解析由圆柱切削后的几何体及其正视图知，截得的截面为椭圆，结合正视图，可知侧视图应该是从实物图的左边正投影，右边的轮廓线为不可见轮廓，故用虚线表示，故选B. 3．一个菱形的边长为4 cm，一内角为60°，用斜二测画法画出的这个菱形的直观图的面积为()A．2 3 cm2B．2 6 cm2C．4 6 cm2D．8 3 cm2答案 B解析直观图的面积为24×32×42＝26(cm2)．4．如图为某个几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为()A．圆锥B．三棱椎C．三棱柱D．三棱台答案 C解析由三视图可知，该几何体是一个横放的三棱柱，故选C.5．在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水，将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是()A．圆面B．矩形面C．梯形面D．椭圆面或部分椭圆面答案 C解析将圆柱桶竖放，水面为圆面；将圆柱桶斜放，水面为椭圆面或部分椭圆面；将圆柱桶水平放置，水面为矩形面，所以圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是梯形面．6.某几何体的正视图和侧视图均为如图所示的图形，则在下面的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是()A ．①③B ．①④C ．②④D ．①②③④答案 A 解析 由正视图和侧视图知，该几何体为球与正四棱柱或球与圆柱体的组合体，故①③正确．7.如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，∠ACB ＝90°，AB ＝2，P A ＝BC ＝1，则此几何体的侧视图的面积是( )A.14B ．1 C.32 D ．12答案 D解析 由题知，BC ⊥AC ，BC ⊥P A ，又AC ∩P A ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ，∴该几何体的侧视图为直角三角形，两直角边长分别等于P A 的长与AC的长，∵AB ＝2，BC ＝1，∴AC ＝1＝P A ，∴侧视图的面积S ＝12×1×1＝12. 8．已知某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图是全等的等腰直角三角形，则该四面体的四个面中直角三角形的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析在棱长为1的正方体中作出该几何体的直观图，记为四面体D－ABC，如图，由图可知在此四面体中，△ABC，△DAB，△DAC，△DBC都是直角三角形．二、填空题9.如图是水平放置的正方形ABCO，在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则由斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．答案2 2解析利用斜二测画法作正方形ABCO的直观图如图，在坐标系x′O′y′中，|B′C′|＝1，∠x′C′B′＝45°.过点B′作x′轴的垂线，垂足为点D′.在Rt△B′D′C′中，|B′D′|＝|B′C′|sin 45°＝1×22＝22.10．下列结论正确的是________(填序号)．①各个面都是三角形的几何体是三棱锥②夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥④圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线解析 如图1知，①不正确．如图2，两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，则②不正确．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，③错误．由圆锥母线的概念知，④正确．11．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈、长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少？”已知该楔体的正视图和俯视图如图中粗实线所示，则该楔体的侧视图的周长为________丈．答案 8解析 由题意可知该楔体的侧视图是等腰三角形，它的底边长为3丈，相应高为2丈，所以腰长为22＋⎝⎛⎭⎫322＝52(丈)，所以该楔体侧视图的周长为3＋2×52＝8(丈)． 12.如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4 m ，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P 处．若该小虫爬行的最短路程为4 3 m ，则圆锥底面圆的半径等于________ m.答案 43 解析 圆锥顶点记为O ，把圆锥侧面沿母线OP 展开成如图所示的扇形，由题意OP ＝4，PP ′＝43，则cos ∠POP ′＝42＋42－4322×4×4＝－12， 又∠POP ′为△POP ′一内角，所以∠POP ′＝2π3. 设底面圆的半径为r ，则2πr ＝2π3×4，所以r ＝43. B 级 能力提升13. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图1，图2中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是( )图1图2A．a，b B．a，c C．c，b D．b，d答案 A解析当正视图和侧视图完全相同时，“牟合方盖”相对的两个曲面正对前方，正视图为一个圆，俯视图为一个正方形，且两条对角线为实线，故选项A正确．14．(2021·江西重点中学联考)现有编号为①、②、③的三个棱锥(底面水平放置)，俯视图分别为图1、图2、图3，则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的编号是()A．①②B．①③C．①②③D．②③答案 A解析还原出空间几何体，编号为①的三棱锥的直观图如图(1)的三棱锥P－ABC，平面P AC⊥平面ABC，平面PBC⊥平面ABC，满足题意；编号为②的三棱锥的直观图如图(2)的三棱锥P－ABC，平面PBC⊥平面ABC，满足题意；编号为③的三棱锥的直观图如图(3)的三棱锥P－ABC，不存在侧面与底面互相垂直，所以满足题意的编号是①②.15．一个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为________．答案4 2解析由三视图可知该几何体的直观图如图所示，由三视图特征可知，P A⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AB⊥AC，P A＝AB＝AC＝4，DB＝2，则易得S△P AC＝S△ABC＝8，S△CPD＝12，S梯形ABDP＝12，S△BCD＝12×42×2＝4 2.16．(2019·全国Ⅱ卷)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图①)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图②是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．答案262－1解析依题意知，题中的半正多面体的上部分有9个面，中间部分有8个面，下部分为9个面，共有9＋8＋9＝26(个)面，因此题中的半正多面体共有26个面．注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x，则22x＋x＋22x＝1，解得x＝2－1，故题中的半正多面体的棱长为2－1.。

高考数学一轮复习课后限时集训37空间几何体的结构及其三视图和直观图文含解析北师大版课后限时集训(三十七)(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1．下列说法正确的是( )A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点B[如图①所示，可知A错．如图②，当PD⊥底面ABCD，且四边形ABCD为矩形时，则四个侧面均为直角三角形，B正确．图①图②根据棱台的定义，可知C，D不正确．]2．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )C[A，B，D选项满足三视图作法规则，C不满足三视图作法规则中的宽相等，故C不可能是该锥体的俯视图．]3．(2018·南昌模拟)如图，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是( )A．4 B．6C．8 D．10D[以C为原点，以CA为x轴，CB为y轴建立平面直角坐标系，在x轴上取点A，使得CA＝C′A′＝6，在y轴上取点B，使得BC＝2B′C′＝8，则AB＝AC2＋BC2＝10.] 4．将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为( )A B C DD[易知侧视图的投影面为矩形．又AF的投影线为虚线，∴该几何体的侧视图为选项D.]5．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )A B C DD[由正视图排除A，B，由俯视图排除C，故选D.]二、填空题6.一水平放置的平面四边形OABC，用斜二测画法画出它的直观图O′A′B′C′如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC的面积为________．2 2 [因为直观图的面积是原图形面积的24倍，且直观图的面积为1，所以原图形的面积为2 2.]7．一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm，若两底面圆心的连线长为12 cm，则这个圆台的母线长为________cm.13[如图，过点A作AC⊥OB，交OB于点C．在Rt△ACB中，AC＝12 cm，BC＝8－3＝5(cm)．所以AB＝122＋52＝13(cm)．]8．(2018·合肥模拟)已知某组合体的主视图与左视图相同，如图所示，其中AB＝AC，四边形BCDE为矩形，则该组合体的俯视图可以是________．(填正确的序号)①②③④[由组合体的主视图与左视图可知，该组合体可以是正四棱柱与正四棱锥的组合体，则该组合体的俯视图为①；该组合体可以是圆柱与正四棱锥的组合体，则该组合体的俯视图为②；该组合体可以是圆柱与圆锥的组合体，则该组合体的俯视图为③；该组合体可以是正四棱柱与圆锥的组合体，则该组合体的俯视图为④.]三、解答题9．某几何体的三视图如图所示．(1)判断该几何体是什么几何体？ (2)画出该几何体的直观图．[解] (1)该几何体是一个正方体切掉两个14圆柱后的几何体．(2)直观图如图所示．图110．如图1，在四棱锥P ­ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面ABCD 垂直，如图2为该四棱锥的主视图和左视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形．图2(1)根据图中所给的主视图、左视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；俯视图(2)求PA ．[解] (1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6 cm 的正方形，如图，其面积为36 cm 2.(2)由左视图可求得PD＝PC2＋CD2＝62＋62＝6 2.由主视图可知AD＝6，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，PA＝PD2＋AD2＝622＋62＝6 3 cm.B组能力提升1．(2017·北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )A．3 2 B．2 3 C．2 2 D．2B[在正方体中还原该四棱锥，如图所示，可知SD为该四棱锥的最长棱．由三视图可知正方体的棱长为2，故SD＝22＋22＋22＝2 3.故选B.]2．(2019·泰安模拟)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的主视图与俯视图如图所示，则该几何体的左视图为( )B[由几何体的主视图和俯视图可知该几何体为图①，故其侧视图为图②.]3．三棱锥S­ABC及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱SB的长为________．42[由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形，在△ABC中AC＝4，AC边上的高为23，故BC＝4，在Rt△SBC中，由SC＝4，可得SB＝4 2.]4．如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4 m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处．若该小虫爬行的最短路程为4 3 m，则圆锥底面圆的半径等于________m.4[把圆锥侧面沿过点P的母线展开成如图所示的扇形，3由题意OP＝4，PP′＝43，则cos∠POP ′ ＝42＋42－4322×4×4＝－12，所以∠POP ′＝2π3.设底面圆的半径为r ， 则2πr ＝2π3×4，所以r ＝43.]。

2019年高考数学（文）考点一遍过空间几何体（1）认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.（2）能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图.（3）会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.（4）会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）.一、空间几何体的结构1．多面体②侧面都是平行四边形2．旋转体二、空间几何体的三视图与直观图1．空间几何体的三视图（1）三视图的概念①光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的正视图;②光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的侧视图;③光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图.几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.如图.（2）三视图的画法规则①排列规则：一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边.如下图：正侧俯②画法规则ⅰ)正视图与俯视图的长度一致，即“长对正”；ⅱ)侧视图和正视图的高度一致，即“高平齐”；ⅲ)俯视图与侧视图的宽度一致，即“宽相等”.③线条的规则ⅰ)能看见的轮廓线用实线表示；ⅱ)不能看见的轮廓线用虚线表示.（3）常见几何体的三视图常见几何体正视图侧视图俯视图长方体矩形矩形矩形正方体正方形正方形正方形圆柱矩形矩形圆圆锥等腰三角形等腰三角形圆圆台等腰梯形等腰梯形两个同心的圆球圆圆圆2．空间几何体的直观图（1）斜二测画法及其规则对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图.斜二测画法是一种特殊的画直观图的方法，其画法规则是： ①在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，两轴相交于点O .画直观图时，把它们画成对应的x ′轴和y ′轴，两轴相交于点O ′，且使∠x ′O ′y ′=45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面. ②已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ′轴或y ′轴的线段.③已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的一半. （2）用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤①在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox ，Oy ，再作Oz 轴使∠xOz =90°，且∠yOz =90°. ②画直观图时，把它们画成对应的轴O ′x ′，O ′y ′，O ′z ′，使∠x ′O ′y ′=45°(或135°)，∠x ′O ′z ′=90°，x ′O ′y ′所确定的平面表示水平平面.③已知图形中，平行于x 轴、y 轴或z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ′轴、y ′轴或z ′轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同.④已知图形中平行于x 轴或z 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y 轴的线段，长度变为原来的一半. ⑤画图完成以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图. （3）直观图的面积与原图面积之间的关系 ①原图形与直观图的面积比为22SS ='，即原图面积是直观图面积的22 2422倍.考向一 空间几何体的结构特征关于空间几何体的结构特征问题的注意事项：(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．(2)通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可.典例1 给出下列四个命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱； ②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥； ④长方体一定是正四棱柱. 其中正确的命题个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】A1．正三棱锥内有一个内切球,经过棱锥的一条侧棱和高作截面,正确的图是典例2 边长为5 cm 的正方形EFGH 是圆柱的轴截面，则从E 点沿圆柱的侧面到相对顶点G 的最短距离是 A ．10 cm B ．2C ．D 25π+42【答案】D【解析】圆柱的侧面展开图如图所示，展开后155·2π·π222E F '==，∴)25π4cm 2E G '==+．【名师点睛】求几何体的侧面上两点间的最短距离问题，常常把侧面展开，转化为平面几何问题处理．2．已知正三棱柱的底面边长为1,侧棱长为2,为的中点,则从拉一条绳子绕过侧棱到达点的最短绳长为 A ． B ． C ．D ．考向二 空间几何体的三视图三视图问题的常见类型及解题策略：(1)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．(2)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线，不能看到的部分用虚线表示．(3)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合.典例3 如图所示，在放置的四个几何体中，其正视图为矩形的是A B C D【答案】B3．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱11,DD BB 的中点，用过点1,,,A E C F 的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体（下半部分）的侧视图为典例4 如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D ．四棱柱【答案】B【解析】由三视图中的正视图可知，有一个面为直角三角形，由侧视图和俯视图可知其他的面为长方形.综合可判断为三棱柱.4．某几何体的三视图如图所示，则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离的最大值为A ．B ．C ．D ．考向三 空间几何体的直观图斜二测画法中的“三变”与“三不变”：“三变”y ⎧⎪⎨⎪⎩坐标轴的夹角改变与轴平行的线段的长度变为原来的一半图形改变；“三不变”x z ⎧⎪⎨⎪⎩平行性不改变与,轴平行的线段的长度不改变相对位置不改变.典例5 如图是水平放置的平面图形的直观图,则原平面图形的面积为A ．3B 32C ．6D ．32【答案】C【方法点晴】本题主要考查了平面图形的直观图及其原图形与直观图面积之间的关系，属于基础题，解答的关键是牢记原图形与直观图的面积比为22SS ='，即原图面积是直观图面积的224倍.5．已知梯形ABCD 是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图A B C D ''''（如图所示），其中2A D ''=， 4B C ''=，1A B ''=，则直角梯形DC 边的长度是A B ．22C ．D 31．有下列三个说法：①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台； ②有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．其中正确的有A．0个B．1个C．2个D．3个2．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的正视图为A B C D3．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱4．某正四棱锥的正（主）视图和俯视图如图所示，则该正四棱锥的侧棱长是A．B．C．D．5．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形，则原来的图形是A．B．C．D．6．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为①长方形；②正方形；③圆；④椭圆中的A．①②B．②③C．③④D．①④7．一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，绘制该四面体的三视图时，按照如下图所示的方向画正视图，则得到的正视图为A．B．C．D．8．已知用一个平行于棱锥底面的平面截这个棱锥，截得的棱台上、下底面面积比为1∶4，截去的棱锥的高是3cm ，则棱台的高是 A ．12cm B ．9cm C ．6cmD ．3cm9．一个正方体的内切球1O 、外接球2O 、与各棱都相切的球3O 的半径之比为 A ．1:3:2 B ．1:1:1C ．D ．1:2:310．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和虚线画出的是某几何体的三视图，该几何体的各个面中有若干个是梯形，则这些梯形的面积之和为A ．28B ．30C ．32D ．3611．长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，12BB ，设点A 关于直线1BD 的对称点为P ，则P 与1C 两点之间的距离是A ．1B 2C ．3D ．3212．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长度为A ．B ．C ．D ．13．如图所示,E ,F 分别为正方体ABCD-A'B'C'D'的面ADD'A'、面BCC'B'的中心,现给出图①~④的4个平面图形,则四边形BFD'E 在该正方体的面上的射影可能是图 .(填上所有正确图形对应的序号)14．如图所示是一个几何体的表面展开平面图,该几何体中与“数”字面相对的是“ ”.15．已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示，则下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有_____________.（填序号）16．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45︒，腰和上底均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积为____________.17．正三棱锥P −ABC 中，90APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒，，AB 的中点为M ，一小蜜蜂沿锥体侧面由M 爬到C 点，最短路程是____________.1．（2018新课标全国Ⅰ文科）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A ．172B ．52C ．3D ．22．（2018新课标全国Ⅲ文科）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是3．（2016天津文科）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为A B C D4．（2015北京文科）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥最长棱的棱长为A ．1B 2 CD ．21．【答案】C2．【答案】C【解析】将正三棱柱展开,如图所示.,,则,所以从拉一条绳子绕过侧棱到达点时最短,最短绳长为.选C ．3．【答案】C变式拓展【解析】通过观察剩余几何体（下半部分），可以发现C 图正确，故选C ． 4．【答案】B5．【答案】B【解析】根据斜二测画法，原来的高变成了45︒方向的线段，且长度是原高的一半，则原高为2AB =，而横向长度不变，且梯形ABCD 是直角梯形，如图，()2242222DC ∴==-+=，故选B.1．【答案】A【解析】本题主要考查棱台的结构特征．①中的平面不一定平行于底面，故①错；②③可用反例去检验，如图所示，故②③错．2．【答案】D【解析】所得几何体的正视图为一个长方形，且有一条从左下到右上的对角线，如下所示：故选D ． 3．【答案】A【解析】因为圆柱的三视图有两个矩形，一个圆，正视图不可能是三角形，而圆锥、四面体（三棱锥）、三棱柱的正视图都有可能是三角形，所以选A ．考点冲关4．【答案】B【解析】由三视图可知该正四棱锥的底面正方形的对角线长是，高为3，所以正四棱锥的侧棱长为，故选B ．5．【答案】A6．【答案】B【解析】若俯视图为正方形，则正视图中的边长3不成立；若俯视图为圆，则正视图中的边长3也不成立．所以其俯视图不可能为②正方形；③圆，故选B ． 7．【答案】D【解析】根据空间直角坐标系中点的位置，画出直观图如图，则正视图为D 中图形.故选D ．8．【答案】D【解析】面积比为底面边长比的平方,从而由面积比可得底面边长的比,底面边长的比与截去棱锥和原棱锥高的比相等，从而可求得原棱锥的高,即可得棱台的高.设原棱锥的高为h .依题意可得231()4h=,解得6h =，所以棱台的高为633(cm)-=.故D 正确. 9．【答案】C【解析】设正方体的棱长为1，那么其内切球的半径为21，外接球的半径为23（正方体体对角线的一半），与各棱都相切的球的半径为22（正方体面对角线的一半），所以比值是132∶∶，故选C ． 【方法点睛】球与几何体的组合体的问题，尤其是相切，一般不画组合体的直观图，而是画切面图，圆心到切点的距离是半径并且垂直，如果是内切球，那么对面切点的距离就是直径，而对面切点的距离是棱长，如果与棱相切，那么对棱切点的距离就是直径，而切点在棱的中点，所以对棱中点的距离等于面对角线长，而如果外接球，那么相对顶点的距离就是直径，即正方体的体对角线是直径．10．【答案】C【解析】由三视图可知该几何体如图所示，各个面中有两个梯形，一个矩形，两个直角三角形，则这两个梯形的面积和为.故选C．11．【答案】A【解析】如下图所示：12．【答案】C【解析】由三视图可知：原三棱锥为，其中，，如图，∴这个三棱锥最长棱的棱长是.故选C．13．【答案】②③【解析】四边形BFD'E 在正方体ABCD-A'B'C'D'的面BCC'B'上的射影是③;在面ABCD 上的射影是②;易知①④的情况不可能出现. 14．【答案】学【解析】由图形可知,该几何体为三棱台，两个三角形为三棱台的上下底面，∴与“数”字面相对的是“学”. 15．【答案】①②③④16．【答案】22【解析】由题意得，水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45︒，腰和上底均为1的等腰梯形，其面积为122(112)2)2S '=⨯++=+， 又原图形与直观图的面积比为22SS='， 所以原图形的面积为2222S S '==．17． 【解析】由题意，将侧面PBC 展开，那么点M 到C 的距离，就是在MBC △中的长度，由题中数据易得,2MB BC a ==，90MBC PBA PBC ∠=∠+∠=︒，，如果将侧面PAC 展开，同理可得2MC a =.直通高考1．【答案】B【解析】根据圆柱的三视图以及其本身的特征，知点M在上底面上，点N在下底面上，且可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为，故选B．【名师点睛】该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果.2．【答案】A3．【答案】B【解析】由题意得截去的是长方体前右上方顶点处的一个棱锥，故选B.【名师点睛】（1）解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．（2）三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何体中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．4．【答案】C【解析】四棱锥的直观图如图所示：由三视图可知，SB⊥平面ABCD，SD是四棱锥最长的棱，连接BD，则SD SB AB AD==++=，故选C.。