第二章 实数回顾与思考

第二章实数回顾与思考执笔人：小组审核：审核人：执教人：一、学习目标：1.通过复习学生能够准确掌握数开平方、开立方的有关概念和表示方法及其运算。

2.通过复习学生能充分理解实数的概念。

3.增强学生进行实数运算的能力。

4.理解有关二次根式的概念、有意义的条件、二次根式的性质，并能灵活运用.二、重点：平方根、立方根的性质和运算难点：实数的计算，二次根式的相关概念及运算。

三、学法指导：学习完平方根、立方根之后的阶段性复习，内容侧重基础，旨在把前面较凌乱的知识点做一个系统归纳，掌握二次根式的各种运算方法，并能熟练的解决问题。

四、教学过程：（一）引入：［知识结构］乘方−−−−→←互为逆运算开方⎪⎩⎪⎨⎧−−→−−−→−立方根平方根开立方开平方实数无理数有理数→⎭⎬⎫（课前让学生看书整理，形成知识系统，课上交流）（二）原理的探究：［知识回顾］（一）数的开方：算术平方根的定义：平方根的定义：平方根的性质：立方根的定义：立方根的性质：（三）例题分析：（1）算术平方根1.1的算术平方根为（）（A ）131 （B ）－131 （C ）±131 （D ）（1691）2 2.1691的算术平方根可表示为 ，即 = 算术平方根的表示方法： （用含a 的式子表示） 3. －1691有算术平方根吗？8的算术平方根是－2吗？ 算术平方根具有 性，即⑴被开方数 a 0，⑵a 本身 0，必须同时成立。

（2）平方根1. 49的平方根是 ，算术平方根是 ，它的平方根可表示为2.快速地表示并求出下列各式的平方根⑴1169⑵|－5| ⑶0.81 ⑷（－9）2 3.判断下列各数是否有平方根，并说明理由①（-4）2 ②0 ③x 2+1 ④-a 24.用平方根定义解方程⑴16（x+2）2=81 ⑵x 2-225=0（3）立方根1. －8的立方根是 ，表示为 立方根的定义：立方根的表示方法： （用含a 的式子表示） 2.说出下列各式表示的意义并求值：⑴3512.0-= ⑵－3729-= ⑶33)2(-= ⑷（38）3= 3.如果32-x 有意义，x 的取值范围为 4.用立方根的定义解方程⑴（x-2）3=27 ⑵［2（x+3）3］=512（4）二次根式【复习提纲】初步感知、激发兴趣一．填空1.二次根式的定义：式子叫做二次根式，其中ａ叫做被开方数．2. 二次根式有意义的条件：当a时，式有意义，只要使被开方数即可．3. 二次根式的性质一：即一个非负数的算术平方根是一个．4.性质二：2)(a=（a≥0）可把任何一个非负数写成平方的形式，即可逆用，故因式分解可在实数范围内进行．5.==(00(0)(0a aaa a⎧⎪=⎨⎪-⎩＞）＜），这一性质的主要应用：①正向应用于二次根式的化简与计算；②逆向应用：可将根号外的非负因式移到根号内．6. 最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式是最简二次根式：（１）被开方数的因数是整数，因式是；（２）被开方数中不含有开得尽方的．7. 二次根式的乘法：＝（a≥0，b≥0）即两个二次根式相乘，根指数不变，被开方数相乘．8. 二次根式的除法：=（a≥0，）即两个二次根式相除，根指数不变，被开方数相除.9.同类二次根式：几个二次根式化成以后，如果，这几个二次根式叫做同类二次根式.10.二次根式的加减：先把二次根式化成最简二次根式再．11.二次根式的混合运算：二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先，后，最后，有括号的先.算括号内的在运算过程中，有理数（式）中的运算二．化简。

实数回顾与思考一．教学目标：①复习无理数、算术平方根、平方根、立方根、实数、二次根式及相关概念，会用根号表示，并会求数的平方根、立方根并进行相关运算；②在实数的有关概念和运算律、运算法则的教学中，让学生体会类比的思想；③通过复习提高学生归纳整理的能力，并在师生互动、生生互动的过程中让学生学会倾听学会交流；本章概念较多，学生容易混淆，因此本节的重点应帮助学生理清无理数、算术平方根、平方根、立方根、实数、二次根式的概念．本章的难点体现在以下几处：①算术平方根的双重非负性有着重要的作用，常与平方、绝对值等具有非负性的知识结合在一起应用；②实数的混合运算也一向是学生计算的难点，学生往往在运算顺序、运算法则上出错；③本章对学生数形结合的能力有较高要求，如实数与几何知识勾股定理结合在一起就是学生掌握的难点．本章的知识结构框图222330)x a x a x ax a xx a a xx a x a x ax a xa⎧⎧⎨⎪⎪⎩⎨⎧⎪⎨⎪⎩⎩⎧=⎪⎪==⎨⎪=⎪⎩⎧=⎪⎨==⎪⎩≥整数有理数分数实数分类正无理数无理数负无理数定义：如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的平方根平方根表示：若，则算术平方根：若，则的算术平方根为定义：如果一个数的立方等于，即，那么这个数叫做的立方根立方根表示：若，则实数叫做二次根式二次根式最简二次23(0)0,0)0,0)a aaaaa ba b⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧=≥⎪⎪=⎪⎪=⎪⎪⎪=⎪⎪=≥≥⎪⎪=≥≥⎪⎪⎪⎩根式：被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式重要性质实数的性质应用二、教学过程设计本节课设计了五个教学环节：第一环节：知识回顾；第二环节：典例精析；第三环节：运用巩固；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业．第一环节 知识回顾知识点填空:（1）叫做无理数．（2）统称为实数．⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎨⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩整数有理数分数实数分类正无理数无理数负无理数（3）和数轴上的点是一一对应的．（4）=2a a ；)0()(2≥=a a a ；a a =33)(；a a =33；)0,0(≥≥=⋅b a ab b a ；)0,0(≥≥=b a ba b a（5）把分母中的根号化去，叫做分母有理化．（6）最简二次根式应满足的条件是被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式（7）同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式；化简时，有同类二次根式要合并，可以约分的分式要约分．设计说明：以上7个填空题老师可带着学生共同完成，通过填空让学生清晰本章的几个重要概念，特别是（4）中的几个易混点可通过此环节帮助学生理清楚．这样也为解决下一环节中的经典例题做好知识点的扎实铺垫. 第二环节 典例精析（一）实数的相关概念例1 下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？23，3.14159265π-1，2(…（相邻两个1之间0的各数逐次加1）（二）实数的相关性质及运算例2 实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简2()a b b a ++-.例3 计算：(1)14010- (2)4821319125+- 例4 （1）已知a 、b 满足230a b -++=，求2013()a b +的值 （2）已知242423y x x =---+，求y x 的值.（三）实数中的数形结合例5、已知△ABC 中，AB =17，AC =10，BC 边上的高AD =8，则边BC 的长为多少？分析：（1）当△ABC 为锐角三角形时，易求BD =15，DC =6，从而求得BC =15+6=21.（2）当△ABC 为钝角三角形时，易求BD =15，DC =6，从而求得BC =15－6=9. 第三环节 运用巩固1．下列说法错误的是（ ）A ．4的算术平方根是2B ．2是2的平方根C ．－1的立方根是－1D ．－3是2(3)-的平方根2．当32<<x 时，求代数式21616426x x x -++-的值．3．若12x x +-有意义，求x 的取值X 围. 4．一等腰三角形的腰长与底边之比为5:6，它底边上的高为68，求这个等腰三角形的周长与面积．设计说明：通过这几道题意在巩固第二环节的学习效果，让学生自己动笔练习，并在独立完成后通过小组合作来进行交流订正．第四环节 课堂小结请同学们认真思考下列问题：B C AD1、通过本堂课的学习我收获了什么？2、我还有哪些没有解决的困惑？设计说明：用2分钟左后时间让学生思考这两个问题，并请学生回答，及时肯定学生的收获并加以归纳，同时发现学生的困惑及时答疑．第五环节 布置作业完成课本4749P -复习题知识技能1题、4题、10题；数学理解14题；问题解决21题．四、教学设计反思拓展练习1计算（1）()2210610275231---+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--π （2）()()220122011)21(814322322----+ 21a +的平方根是±3，522a b +-的算术平方根是4，求34a b -的平方根．3．已知a ，b ，c 都是实数，且满足(2－a )2＋82++++c c b a ＝0，且ax ２＋bx ＋c ＝0，求代数式3x 2＋6x ＋1的值．4．若a ，b 为实数，且11122++-+-=a a a a b ，求3-+-b a 的值． 5．问题背景：在△ABC 中，AB 、BC 、AC 三边的长分别为5、10、13，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC (即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图①所示．这样不需求△ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积．(1)请你将△ABC 的面积直接填写在横线上．__________________思维拓展：(2)我们把上述求△ABC 面积的方法叫做构图法．．．．若△ABC 三边的长分别为5a 、22a 、17a (a ＞0)，请利用图②的正方形网格(每个小正方形的边长为a )画出相应的△ABC ，并求出它的面积．探索创新：(3)若△ABC 三边的长分别为m 2＋16n 2、9m 2＋4n 2、2m 2＋n 2(m ＞0，n ＞0，且m ≠n )，试运用构图法．．．求出这三角形的面积．图① 图②ACB。

课题第二章实数回顾与思考课时 2 课型复习课教学目标①复习无理数、算术平方根、平方根、立方根、实数、二次根式及相关概念，会用根号表示，并会求数的平方根、立方根并进行相关运算；②在实数的有关概念和运算律、运算法则的教学中，让学生体会类比的思想；③通过复习提高学生归纳整理的能力，并在师生互动、生生互动的过程中让学生学会倾听学会交流；重点难点重点：无理数、算术平方根、平方根、立方根、实数、二次根式的概念．难点：①算术平方根的双重非负性有着重要的作用，常与平方、绝对值等具有非负性的知识结合在一起应用；②实数的混合运算也一向是学生计算的难点，学生往往在运算顺序、运算法则上出错；教学方法独立学习与合作探究相结合教学准备幻灯片教学过程个性设计第一环节知识回顾知识点填空:（1）无限不循环小数叫做无理数．（2）有理数和无理数统称为实数．（3）实数和数轴上的点是一一对应的．（4）；；；；；（5）把分母中的根号化去，叫做分母有理化．（6）最简二次根式应满足的条件是被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式（7）同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式；化简时，有同类二次根第二环节典例精析（一）实数的相关概念例1 下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？，，3.14159265，，，，，3.1010010001…（相邻两个1之间0的各数逐次加1）式要合并，可以约分的分式要约分．（二）实数的相关性质及运算例2 实数、在数轴上的位置如图所示，化简.例3 计算：(1) (2)例4 （1）已知、满足，求的值（2）已知，求的值.第三环节运用巩固1．下列说法错误的是（）A．4的算术平方根是2 B．是2的平方根C．－1的立方根是－1 D．－3是的平方根2．当时，求代数式的值．3．若有意义，求的取值范围.4．一等腰三角形的腰长与底边之比为5:6，它底边上的高为，求这个等腰三角形的周长与面积．第四环节课堂小结请同学们认真思考下列问题：1、通过本堂课的学习我收获了什么？2、我还有哪些没有解决的困惑？第五环节布置作业完成课本复习题知识技能1题、4题、10题；数学理解14题；问题解决21题．板书设计教学反思《实数》这一章我对概念的处理上，重点抓住主要概念，注重概念的形成过程，让学生在具体的活动中获得认识，增强理解；本章概念较多，学生容易混淆，因此本节的重点应帮助学生理清无理数、算术平方根、平方根、立方根、实数、二次根式的概念．本章的难点体现在以下几处：①算术平方根的双重非负性有着重要的作用，常与平方、绝对值等具有非负性的知识结合在一起应用；②实数的混合运算也一向是学生计算的难点，学生往往在运算顺序、运算法则上出错；③本章对学生数形结合的能力有较高要求，如实数与几何知识勾股定理结合在一起就是学生掌握。

《实数(回顾与思考)》(一)——《实数的运算》内容分析1、课标要求《课标》要求：理解绝对值的意义，掌握求有理数的绝对值的方法，知道a的含义（a为有理数）；掌握有理数的加、减、乘、除、乘方的简单混合运算（以三步以内为主）；理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算；能运用有理数的运算解决简单的问题；了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根；能求实数的相反数和绝对值；了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除预算法则，会用它们进行有关的简单运算.2、教材分析知识层面：学生通过实数相关知识的学习，掌握了有关实数的基本概念. 此节复习课是复习和巩固实数运算的法则，并熟练运用实数的运算法则进行计算，解决问题. 后续的整式和分式的化简求值、几何类型问题、概率统计问题等都需要实数的运算.能力层面：学生通过学习，已经积累了较为丰富的数学基础知识，培养了一定的数感、符号意识，具备了基本的运算能力. 此节复习课通过实数的运算提高学生的运算能力，提升学生的自信.思想层面：进一步体会归纳与整合、转化与化归等思想与方法.3、学情分析针对不同层面的学生，本设计将一条主线交叉两条副线以满足教学需要，对于基础较差学生，注重基础；对于基础较好学生，注重提高，在讨论学习过程去提升学生交流互助，营造学习氛围. 教学目标1、知识技能：掌握实数的运算法则，熟练运用实数的运算法则进行计算.2、数学能力：会根据题目进行分析，能判断该题考查的实数运算的相关知识点，用已掌握的运算法则进行计算，从而培养学生分析问题、解决问题的能力，发展应用意识.3、数学思想：进一步体会归纳与整合、转化与化归等思想与方法.教学重难点重点：实数的准确运算。

难点：实数运算的审题、识题教学过程第一环节 展示目标，明确方向（板书，预计用时1分钟）1、复习和巩固实数的运算法则；2、熟练运用实数的运算法则进行计算，解决问题.【设计意图】通过板书复习目标，让学生清楚本节课要掌握的知识.第二环节 情境引入，纠错反思（预计用时10分钟）2018漳州市质检第17题：计算：91301-+-π 学生的作答情况：解答一： 解答二：解答三： 解答四：回答老师提出的问题： （1）这道题考查了哪些知识点？ （2）他们错在哪里？（3）该怎样避免出现类似错误？ 学生思考，并请一个学生回答问题.【设计意图】通过观察，让学生找到出错的地方，发现出错的原因，避免自己在计算中也出现类似的错误.第三环节 当堂训练，技能固化（预计用时8分钟）完成以下计算：1、（1）12= （2）18=（3）81= （4）()22-=2、（1）1-＝（2）π-14.3= （3）21-＝（4）53---＝ 3、（1）12-＝（2）()23--＝（3）221-⎪⎭⎫⎝⎛＝（4）()01π-＝【设计意图】当堂训练，针对第二环节考查到了几个知识点进行训练，加深学生对于实数运算的理解，提高学生的计算速度和计算能力，达到技能固化的目的，进一步培养数感和符号意识。