2020-2021学年河北省唐山一中高二上学期期中考试数学试题(解析版)

唐山一中2020—2021学年度第一学期期中考试高三年级 数学试卷答案一、选择题：1-4：BCBB ； 5-8：CACA二、选择题：9、ABD ；10、ABCD ；11、BC ；12、BCD三、填空题：13、；14、10；15、4355，；16、①②. 四、解答题17.【解析】 （1）选①，由正弦定理得sin sin B A = ∵sin 0A ≠cos 1B B -=，即π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵0πB <<，∴ππ5π666B -<-<， ∴ππ66B -=，∴π3B =. ··········································5分 选②，∵2sin tan b A a B =，sin 2sin cos a B b A B=， 由正弦定理可得sin 2sin sin sin cos B B A A B=⋅， ∵sin 0A ≠，∴1cos 2B =， ∵()0,πB ∈，∴π3B =. ·················································5分 选③，∵()()sin sin πsin A BC C +=-=，由已知结合正弦定理可得()22a c a c b -+=， ∴222a cb ac +-=，∴2221cos 222a c b ac B ac ac +-===， ∵()0,πB ∈，∴π3B =. ·················································5分 （2）∵()22222cos 3163b a c ac B a c ac ac =+-=+-=-，即2316ac b =-， ∴221632a c b +⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，解得2b ≥，当且仅当2a c ==时取等号，∴min 2b =，ABC 周长的最小值为6，此时ABC的面积1sin 2S ac B ==. ··········10分 92π18.19.20.【解析】（1）证明：∵SO 垂直于圆锥的底面，AP ⊂圆锥的底面，∵SO AP ⊥，∵AO 为M 的直径，∵PO AP ⊥，,SO PO ⊂面SOP ，SO PO O ⋂=，∵AP ⊥平面SOP ， ∵AP ⊂平面SAP ，∵平面SAP ⊥平面SOP . ············································5分（2）解：设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，∵圆锥的侧面积122S rl rl ππ=⨯=侧，底面积2S r π=底， ∵依题意22r rl ππ=，∵2l r =，∵2r ，∵4l ，············6分 则在ABS 中，4AB AS BS ===，∵2223SO AS AO -= 在底面作O 的半径OC ，使得OA OC ⊥，∵，SO OC ⊥，以O 为原点，OA 为x 轴，OC 为y 轴，OS 为z 轴，建立空间直角坐标系，()2,0,0A ，()2,0,0B -，(0,0,23S ， ···········7分 在S APO -中，∵23SO =∵AOP 面积最大时，三棱锥S APO -的体积最大，此时MP OA ⊥，·······8分 ∵M 的半径为1，∵()1,1,0P ，()1,1,0AP =-，()3,1,0BP =，(1,1,23SP =-， 设平面SAP 的法向量(),,n a b c =， 则0230n AP a b n SP a b c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取1a =，得31,1,3n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面SBP 的法向量(),,m x y z =，则30230m BP x y m SP x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取1x =-，得3m ⎛=- ⎝⎭，·····················10分 设二面角A SP B --的平面角为θ，由图得θ为钝角，∵1132173cos 73133n mn m θ-++⋅=-=-=⋅⋅∵二面角A SP B --的余弦值217-分21.22.。

试卷类型：A 唐山市2020～2021学年度高二年级第一学期质量检测数学试卷本试卷分第I卷(1～2页，选择题)和第II卷(3～8页，非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟。

第I卷(选择题，共60分)注意事项：1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、试卷科目用2B铅笔涂写在答题卡上。

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净，再涂其它答案，不能答在试题卷上。

3.考试结束后，监考人员将本试卷和答题卡一并收回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。

1.已知向量a＝(4，－2)，b＝(m，3)，若a//b，则m＝A.－6B.6C.32D.－322.在△ABC中，已知BC，AC＝1，B＝45°，则A＝A.45°B.60°C.90°D.135°3.同时抛掷两颗均匀的骰子，得到的点数和为6的概率为A.112B.19C.16D.5364.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1000＋a1021＝1，则S2020＝A.2020B.1021C.1010D.10025.设x，y满足约束条件x y43x y2x y2+≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则z＝3x－y的最大值为A.4B.6C.8D.106.右图是一个边长为2的正方形区域，为了测算图中阴影区域的面积，向正方形区域内随机投入质点600次，其中恰有225次落在该区域内，据此估计阴影区域的面积为A.1.2B.1.5C.1.6D.1.87.已知x>0，y>0，M＝22xx y+，N＝4()5x y-，则M和N大小关系为A.M>NB.M<NC.M＝ND.以上都有可能8.以下三个命题：①对立事件也是互斥事件；②一个班级有50人，男生与女生的比例为3：2，利用分层抽样的方法，每个男生被抽到的概率为35，每个女生被抽到的概率为25；③若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1。

唐山一中2020—2021学年度第一学期期中考试高三年级数学试卷说明：1．考试时间120分钟，满分150分.2．将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上，将卷Ⅱ答案用黑色字迹的签字笔书写在答题卡上.卷Ⅰ（选择题 共60分）一、选择题（共8小题，每小题5分，计40分.在每小题给出的四个选项中，只有1个选项符合题意）1. 复数11i -的共轭复数为（ ） A. 1122i + B. 1122i -C. 1122i -- D. 1122-+i 【答案】B 【解析】 【分析】先将复数化简，再利用共轭复数的定义即可求得正确答案. 【详解】()()11111111222i i i i i i ++===+--+, 所以共轭复数为1122i -， 故选：B【点睛】本题主要考查了复数的除法运算以及共轭复数的概念，属于基础题. 2. 已知集合{|}2＝302A x x x ->-，集合{|}2＝4B x Z x x ∈≤，则()RA B ⋂＝（ ）A. {}|03x x ≤≤B. {﹣1，0，1，2，3}C. {0，1，2，3}D. {1，2}【答案】C 【解析】 【分析】首先解一元二次不等式，根据代表元所满足的条件，求得集合A 和集合B ，之后利用补集和交集的定义求得结果.【详解】集合2{230}A x x x =-->{|3x x =>或1}x <-，{}{}2Z 44,3,2,1,0B x x x =∈≤={}|13RA x x =-≤≤，故(){}0,1,2,3R AB ⋂=故选：C ．【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有解一元二次不等式求集合，集合的补集和交集的运算，属于简单题目.3. 已知数列{}n a 满足1sin n n a a +=，*N n ∈，则“10a ≥”是“对任意*n ∈N ，都有1n n a a +≤”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】构造函数()sin f x x x =-，利用导数分析函数的单调性，并得出当0x >时，()(0)0f x f <=；当0x <时，()(0)f x f >，利用特殊值法以及逻辑推证法，结合充分条件、必要条件的定义判断即可【详解】构造函数()sin f x x x =-，则()cos 10f x x '=-≤，所以，函数()y f x =在R 上是减函数，则当0x >时，()(0)0f x f <=；当0x <时，()(0)f x f >， 取132a π=，则21sin 1a a ==-，322sin sin11a a a ==->-=， 所以，充分性不成立若对任意*n ∈N ，都有1n n a a +≤，则21a a ≤，即11sin a a ≤，即()10f a ≤，10a ∴≥， 所以，必要性成立 故选：B ，【点睛】本题考查必要不充分条件判断，涉及导数的应用，考查推理能力，属于中等题， 4. 高一（1）班某组有5人，组长安排值日生，其中1人负责擦黑板，2人负责教室内地面卫生，2人负责卫生区卫生，则不同的安排方法有（ ） A. 20种B. 30种C. 90种D. 120种【答案】B 【解析】 【分析】先从5人中选出1人擦黑板，再从剩余的4人中选出2人负责教室内地面卫生，最后从剩余的2人中选出2人负责卫生区卫生，结合分步计数原理，即可求解.【详解】由题意，从5人中选出1人擦黑板，有155C =种选法，从剩余的4人中选出2人负责教室内地面卫生，有246C =种选法， 从剩余的2人中选出2人负责卫生区卫生，有221C =种选法， 由分步计数原理，可得不同的安排方法有56130⨯⨯=种安排方法. 故选：B.【点睛】本题主要考查了分步计数原理，以及组合的应用，其中解答中熟练应用组合的知识和分步计数原理求解是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力. 5. 如图，在ABC ∆中，13AN NC =，P 是BN 上的一点，若211AP mAB AC =+，则实数m 的值为（ ）A.911B.511C.311D.211【答案】C 【解析】 【分析】平面内三点,,A B C 共线的充要条件为：存在实数,λμ，使OC OA OB λμ=+，且1λμ+=.求得811AP mAB AN =+，从而可得结果. 【详解】由13AN NC =，可得4AC AN =，所以281111AP mAB AC mAB AN =+=+， 又,,B P N 三点共线，由三点共线定理，可得：8111m +=，311m ∴=， 故选C.【点睛】本题主要考查平面向量共线定理的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题. 6. 函数sin ()x xx xf x e e --=+在[],ππ-上的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】构造函数()sin g x x x =-，证明当[]0,x π∈时，()()0g x g ≥，即sin 0x x -≥，从而当[]0,x π∈时，()0f x ≥，排除B ，C ，D ，即可得解.【详解】记()sin g x x x =-，[],x ππ∈-，()1cos 0g x x '=-≥，∴()g x 在[],ππ-上单调递增，又()00g =，∴当[]0,x π∈时，()()0g x g ≥，即sin 0x x -≥，又0x x e e -+>，∴当[]0,x π∈时，()0f x ≥，故排除B ，C ，D. 故选：A.【点睛】本题考查了函数图象的判断以及利用导数证明不等式，考查了转化能力，属于中档题.7. 已知()f x 是可导的函数，且()()f x f x '<，对于x ∈R 恒成立，则下列不等关系正确的是（ ）A. ()()10f ef >，()()202020200f ef < B. ()()10f ef >，()()211f e f >-C. ()()10f ef <，()()211f e f <- D. ()()10f ef >，()()202020200f e f >【答案】C 【解析】 【分析】构造新函数()()xf xg x e=，求导后易证得()g x 在R 上单调递减，从而有(1)(0)g g <，(2020)(0)g g <，(1)(1)g g <-，故而得解．【详解】设()()x f x g x e=， 则()()()xf x f xg x e''-=， ()()f x f x '<，()0g x '∴<，即()g x 在R 上单调递减，∴(1)(0)g g <，即0(1)(0)f f e e<， 即(1)e (0)f f <，故选项A 不正确；(2020)(0)g g <，即20200(2020)(0)f f e e<，即2020(2020)(0)f ef <，故选项D 不正确；(1)(1)g g <-，即1(1)(1)f f e e--<，即2(1)(1)f e f <-． 故选项B 不正确； 故选：C ．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，构造新函数是解题的关键，考查学生的分析能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．8. 如图1，圆形纸片的圆心为O ，半径为6cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O .点E ，F ，G ，H 为圆O 上的点，ABE △，BCF △，CDG ，ADH 分别是以AB ，BC ，CD ，DA 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以AB ，BC ，CD ，DA 为折痕折起ABE △，BCF △，CDG ，ADH ，使得E ，F ，G ，H 重合得到一个四棱锥P ABCD -(如图2).当四棱锥P ABCD -的侧面积是底面积的2倍时，异面直线PB 与CD 所成角的余弦值为（ ）5 B.222523【答案】A 【解析】 【分析】设底面正方形边长为a ，由面积关系求得斜高，得侧棱长，从而通过解PBA △得异面直线所成的角．【详解】如图，正四棱锥P ABCD -中，O 是底面对角线交点，PO 是棱锥的高，取AD 中点M ，连接PM ，则PM AD ⊥，设AB a ，则21242a a PM =⨯⋅，PM a =，∴侧棱长为221522PA a a a⎛⎫=+=⎪⎝⎭，∵//CD AB，∴PBA∠是异面直线PB和CD所成的角或其补角，PBA△是等腰三角形，152cos52aPBAa∠==，∴异面直线PB和CD所成的角的余弦值为5．故选：A．【点睛】本题考查求异面直线所成的角，考查棱锥的侧面积，求异面直线所成角时一般需作出异面直线所成的角并证明，然后再在三角形中求角．二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9. 设{}n a是等差数列，n S为其前n项和，且78S S<，8910S S S=>，则下列结论正确的是（）A. 0d< B.9a= C.117S S> D.8S、9S均为n S的最大值【答案】ABD【解析】【分析】利用结论：2n≥时，1n n na s s-=-，结合题意易推出89100,0,0a a a>=<，然后逐一分析各选项.【详解】解：由78S S<得12377812a a a a a a a a+++⋯+<++⋯++，即8a>，又∵89S S =，1229188a a a a a a a ∴++⋯+=++⋯++， 90a ∴=，故B 正确；同理由910S S >，得100a <，1090d a a =-<，故A 正确；对C ，117S S >，即8910110a a a a +++>，可得(9102)0a a +>， 由结论9100,0a a =<，显然C 是错误的；7898810,,S S S S S S <=>∴与9S 均为n S 的最大值，故D 正确；故选：ABD.【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和公式和n S 的最值问题，熟练应用公式是解题的关键.10. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线上一点，且122=PF PF ，若12sin F PF ∠=，则对双曲线中a ，b ，c ，e 的有关结论正确的是（ ）A. e =B. 4e =C. b =D. b =【答案】ACD 【解析】 【分析】根据122=PF PF ，结合双曲线定义得到21,PF PF ，然后在12PF F △中，结合12sin 4F PF ∠=利用余弦定理求解. 【详解】122PF PF =，∴由双曲线定义可知：1222PF PF PF a -==，14PF a ∴=，由12sin F PF ∠=121cos 4F PF ∠=±，在12PF F △中，由余弦定理可得：2221241641cos 2244a a c F PF a a +-∠==±⨯⨯，解得，224c a =或226c a=，2c a ∴=或c =，b ∴=或b =，2ce a∴==或， 故选：ACD ．【点睛】本题主要考查双曲线的定义，离心率的求法以及余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11. 在ABC 中，已知cos cos 2b C c B b +=，且111tan tan sin A B C+=，则（ ）A. a 、b 、c 成等比数列B. sin :sin :sin 2A B C =C. 若4a =，则ABC S =△D. A 、B 、C 成等差数列【答案】BC 【解析】 【分析】首先根据已知条件化简得到2a b =，2c ab =，再依次判断选项即可得到答案. 【详解】因为cos cos 2b C c B b +=，所以()sin cos sin cos sin sin 2sin B C C B B C A B +=+==，即2a b =. 又因为111tan tan sin A B C+=， 所以()sin cos cos sin cos cos sin sin 1sin sin sin sin sin sin sin sin sin A B A B B A B A C A B A B A B A B C+++====， 即2sin sin sin C A B =，2c ab =.对选项A ，因为2c ab =，所以a 、c 、b 成等比数列，故A 错误.对选项B ，因为2a b =，2c ab =，所以::2a b c =，即sin :sin :sin 2A B C =B 正确. 对选项C ，若4a =，则2b =，c =则22242cos B +-==， 因为0Bπ<<，所以sin 8B =.故142ABC S =⨯=△，故C 正确. 对选项D ，若A 、B 、C 成等差数列，则2B A C =+. 又因为A B C π++=，则3Bπ=.因为::2a b c =2a k =，b k =，c =，0k >，则()22221cos 82k k B +-==≠，故D 错误.故选：BC【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，同时考查了三角函数的恒等变换，属于中档题.12. 已知2()12cos ()(0)3f x x πωω=-+＞，下面结论正确的是（ ）A. 若f (x 1)=1，f (x 2)=1-，且12x x -的最小值为π，则ω=2B. 存在ω∈(1，3)，使得f (x )的图象向右平移6π个单位长度后得到的图象关于y 轴对称 C. 若f (x )在[0，2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围是4147[,)2424D. 若f (x )在[,]64ππ-上单调递增，则ω的取值范围是(0，23]【答案】BCD 【解析】 【分析】由二倍角公式和诱导公式化简函数式，然后根据正弦定理的性质周期性、奇偶性、零点、单调性分别判断各选项．【详解】由题意2()cos 2sin 236f x x x ππωω⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A ．题意说明函数相邻两个最值的横坐标之差为π，周期为2π，2212πωπ==，12ω=，A错；B ．f (x )的图象向右平移6π个单位长度后得到的图象解析式是(12)()sin 2sin 2666g x x x ππωπωω⎛⎫-⎛⎫⎡⎤=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭，2ω=时，()sin 4cos 42g x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，是偶函数，图象关于y 轴对称，B 正确；C ．[0,2]x π时，2,4666x πππωωπ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，()f x 在[0,2]π上有7个零点，则7486ππωππ≤+<，解得41472424ω≤<，C 正确； D ．f (x )在[,]64ππ-上单调递增，则26622462πππωπππω⎧⎛⎫⨯-+≥- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪⨯+≤⎪⎩，又0>ω，故解得203ω<≤，D正确． 故选：BCD ．【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，考查正弦型函数的周期性、奇偶性、零点、单调性，考查二倍角公式、诱导公式等，考查了学生的逻辑推理能力，运算求解能力．卷Ⅱ（非选择题共90分）三．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 在直三棱柱111–ABC A B C 中，2AB =，AC =30BAC ∠=︒，1AA 外接球体积是______． 【答案】92π【解析】 【分析】由题可知直三棱柱111–ABC A B C 的外接球即为长宽高分别为由此可求出半径，得到体积.【详解】在ABC 中，2AB =，AC =30BAC ∠=︒，由余弦定理2222cos 43221BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠=+-⨯=， 满足222AC BC AB +=，AC BC ∴⊥,则直三棱柱111–ABC A B C 的外接球即为长宽高分别为 设外接球的半径为R ，则23R ==，即32R =， 所以其外接球体积是3439322ππ⎛⎫⨯=⎪⎝⎭. 故答案为：92π. 【点睛】本题考查几何体外接球体积的计算，属于基础题.14. 在522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数是_________. 【答案】10 【解析】 【分析】利用二项式定理展开式的通项公式即可求解.【详解】因为522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()5531552220,1,2,3,4,5rr r r rr T C C x r x --+⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，令532r -=，解得1r =. 所以2x 的系数为15210C ⨯=. 故答案为：10.【点睛】本题考查了二项式展开式的通项公式，需熟记公式，属于基础题.15. 已知水平地面上有一半径为4的球，球心为O '，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆C .如图椭圆中心为O ，球与地面的接触点为E ，OE=3.若光线与地面所成角为θ，则sin θ=______________，椭圆的离心率e=___________.【答案】 (1). 45 (2). 35【解析】 【分析】连接OO '，由锐角三角函数可得4sin 5O E OO θ'=='，在平行光线照射过程中，椭圆的短半轴长是圆的半径，如图，椭圆的长半轴长是AC ，过A 向BC 做垂线，垂足是B ，得到一个直角三角形，得到AC 的长，从而得出要求的结果．【详解】解：连接OO '，则O OE θ'∠=，因为4O E '=，3OE =，所以2222345OO O E OE ''=+=+=所以4sin 5O E OO θ'==' 在照射过程中，椭圆的短半轴长b 是圆的半径R ，4b ∴=，如图．椭圆的长轴长2a 是AC ，过A 向BC 做垂线，垂足是B ， 由题意得：28AB R ==，4sin sin 5ACB θ∠==， 又4sin 5AB θAC == 所以10AC = 即210a =，5a =，∴椭圆的离心率为22255316c a b e a --===故答案为：45；35.【点睛】本题考查圆锥曲线的实际背景及作用，解决本题的关键是看清楚在平行光线的照射下，投影时球的有关量中，变与不变的量，属于中档题． 16. 已知函数()||||1x x f x e =+，()()2,02,0f x xg x x x a x ⎧≤=⎨-+>⎩，且()10g =，则关于x 的方程()()10g g x t --=实根个数的判断正确的是_________．①当2t <-时，方程()()10g g x t --=没有相异实根②当110t e-+<<或2t =-时，方程()()10g g x t --=有1个相异实根 ③当111t e <<+时，方程()()10g g x t --=有2个相异实根④当111t e -<<-+或01t ≤＜或11t e=+时，方程()()10g g x t --=有4个相异实根【答案】①② 【解析】 【分析】先依据题意求出()g x 的解析式，然后将复合函数进行分解，令()m g x t =-，则()10g m -=，求解出m ，再研究()g x t m -=即可．【详解】当0x 时，||||()11x x x f x xe e=+=-+， 因为g （1）0=，所以120a -+=，所以1a =，所以21,0()21,0x xe x g x x x x ⎧-+=⎨-+>⎩，图象如图所示：当0x 时，0x -，0x e >，则11x xe -+，当且仅当0x =时等号成立，()(1)x x x g x e xe x e '=--=-+，所以函数()g x 在(,1)-∞-上单调递增，在(1,0)-上单调递减； 当0x >时，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 故()(1)0g x g -=恒成立．故()g x 在(,1)-∞-上单调递增，在(1,1)-上单调递减，在(1,)+∞上单调递增． 令()m g x t =-，则()10g m -=， 解得：0m =或2m =，当0m =即()0g x t -=时，()g x t =， 当2t <-时，()2g x <-，无解， 当2m =即()2g x t -=时，()2g x t =+， 当2t <-时，()0<g x ，无解，故方程(())10g g x t --=没有相异实根，故①正确； 当2t =-时，由A 可知：()0g x =，解得1x =， 当110t e-+<<时，12(1t e +∈+，2)，由上可知()f x 在1x =-时取得极大值为1(1)1g e-=+，结合图象可知，此时2y t =+与()g x 有且仅有一个交点，故②正确； 当111t e<<+时，()g x t =或()2g x t =+，若()g x t =，结合图象可知()g x 与y t =有三个不同的交点， 若()2g x t =+，12(3,3)t e+∈+，此时()g x 与y t =有一个交点，故方程(())10g g x t --=有4个相异实根，故③错误； 当111t e-<<-+时，()2(1g x t =+∈，11)e +，由③可知此时有三个不等实根， 当01t <时，()g x t =或()2g x t =+， 当()g x t =时，由图可知有两个不等实根， 当()2g x t =+时，由图可知有一个实根， 当11t e=+时，()g x t =或()2g x t =+， 当()g x t =时，由图可知有两个不等实根， 当()2g x t =+时，由图可知有一个实根，故此时方程(())10g g x t --=共有9个不等实根，故④错误． 故答案为：①②．【点睛】方法点睛：函数的零点问题常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得零点个数）；（2）图象法（直接画出函数()f x 的图象分析得解）；（3）方程+图象法（令()=0f x 重新构造()()g x h x =，再分析(),()g x h x 的图象得解）.要根据具体的数学情景选择合适的方法解答. 四、解答题（本题共6小题，共70分）17. 在①b a =，②2sin tan b A a B =，③()()sin sin sin ac A c A B b B -++=这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若______. （1）求角B ；（2）若4a c +=，求ABC 周长的最小值，并求出此时ABC 的面积.【答案】（1）π3B =；（2【解析】 【分析】（1）分别选三个条件，都可用正弦定理解出；（2）由余弦定理可得2316ac b =-，利用基本不等式可求出b 的最小值，即可求出周长最小值，再利用面积公式求出面积.【详解】（1）选①，由正弦定理得sinsin B A =∵sin 0A ≠cos 1B B -=，即π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵0πB <<，∴ππ5π666B -<-<， ∴ππ66B -=，∴π3B =.选②，∵2sin tan b A a B =，sin 2sin cos a Bb A B =，由正弦定理可得sin 2sin sin sin cos BB A A B=⋅，∵sin 0A ≠，∴1cos 2B =，∵()0,πB ∈，∴π3B =. 选③，∵()()sin sin πsin A B C C +=-=， 由已知结合正弦定理可得()22a c a cb -+=，∴222a cb ac +-=，∴2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，∵()0,πB ∈，∴π3B =. （2）∵()22222cos 3163b a c ac B a c ac ac =+-=+-=-，即2316ac b =-，∴221632a c b +⎛⎫- ⎪⎝⎭≤，解得2b ≥，当且仅当2a c ==时取等号， ∴min 2b =，ABC 周长的最小值为6，此时ABC的面积1sin 2S ac B ==. 【点睛】本题考查正余弦定理的应用，考查基本不等式求最值，考查三角形面积公式，属于基础题.18. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1a 、n a 、n S 成等差数列，且432a S =+． （1）求{}n a 的通项公式； （2）若2212231log log n n n b a a ++=⋅，{}n b 的前n 项和为n T ，求使71n T <成立的最大正整数n的值．【答案】（1）2nn a =；（2）8．【解析】 【分析】（1）本题首先可根据1a 、n a 、n S 成等差数列得出12n n a S a =+以及1112n n a S a --=+，然后两式相减，得出12n n a a -=，最后根据432a S =+求出12a =，即可求出{}n a 的通项公式； （2）本题可根据题意得出1(21)(23)n b n n =++并将其转化为11122123n b n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，然后通过裂项相消法求和得出3(23)n n T n =+，最后根据71n T <得出713(23)nn <+，通过计算即可得出结果.【详解】（1）因为1a 、n a 、n S 成等差数列，所以12n n a S a =+， 当2n ≥，有1112n n a S a --=+，两式相减，可得1122n n n n n a a S S a ---=-=，即12n n a a -=，由题意易知10a ≠，故{}n a 是公比为2的等比数列，()121nn S a =-，因为432a S =+，所以()3311221a a =-，解得12a =， 故{}n a 的通项公式为2nn a =.（2）因为2212231log log n n n b a a ++=⋅，2nn a =，所以1111(21)(23)22123n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，故111111111123557212323233(23)n nT n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 因为71n T <，所以713(23)nn <+，解得9n <，故71n T <成立的最大正整数n 的值为8.【点睛】本题考查数列通项公式的求法以及裂项相消法求和，考查等差中项以及等比数列前n项和公式的应用，常见的裂项有()11111n n n n =-++、()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭、=.19. 2020年1月10日，引发新冠肺炎疫情的COVID -9病毒基因序列公布后，科学家们便开始了病毒疫苗的研究过程.但是类似这种病毒疫苗的研制需要科学的流程，不是一朝一夕能完成的，其中有一步就是做动物试验.已知一个科研团队用小白鼠做接种试验，检测接种疫苗后是否出现抗体.试验设计是：每天接种一次，3天为一个接种周期.已知小白鼠接种后当天出现抗体的概率为12，假设每次接种后当天是否出现抗体与上次接种无关. （1）求一个接种周期内出现抗体次数k分布列；（2）已知每天接种一次花费100元，现有以下两种试验方案：①若在一个接种周期内连续2次出现抗体即终止本周期试验，进行下一接种周期，试验持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为X 元；②若在一个接种周期内出现2次或3次抗体，该周期结束后终止试验，已知试验至多持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为Y 元. 比较随机变量X 和Y 的数学期望的大小.【答案】（1）分布列答案见解析.（2）()()E X E Y >【解析】 【分析】（1）由题意可知，随机变量k 服从二项分布13,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故3311()(0,1,2,3)22k kk P k C k -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后列出分布列即可（2）根据题意分别算出X 和Y 的期望即可.【详解】（1）由题意可知，随机变量k 服从二项分布13,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故3311()(0,1,2,3)22kkk P k C k -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则k 的分布列为（2）①设一个接种周期的接种费用为ξ元，则ξ可能的取值为200，300，因为1(200)4P ξ==，3(300)4P ξ==， 所以13()20030027544E ξ=⨯+⨯=.所以三个接种周期的平均花费为()3()3275825E X E ξ==⨯=. ②随机变量Y 可能的取值为300，600，900，设事件A 为“在一个接种周期内出现2次或3次抗体”，由（1）知，311()882P A =+=. 所以1(300)()2P Y P A ===， 1(600)[1()]()4P Y P A P A ==-⨯=， 1(900)[1()][1()]14P Y P A P A ==-⨯-⨯=， 所以111()300600900525244E Y =⨯+⨯+⨯=.所以()()E X E Y >.【点睛】本题考查二项分布以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于基础题. 20. 如图所示，圆锥的底面半径为2，其侧面积是底面积的2倍，线段AB 为圆锥底面O 的直径，在底面内以线段AO 为直径作M ，点P 为M 上异于点A ，O 的动点.（1）证明：平面SAP ⊥平面SOP ；（2）当三棱锥S APO -的体积最大时，求二面角A SP B --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）217. 【解析】 【分析】（1）推导出SO AP ⊥，PO AP ⊥，从而AP ⊥平面SOP ，由此能证明平面SAP ⊥平面SOP ；（2）设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，推导出2l r =，OA OC ⊥，SO OA ⊥，SO OC ⊥，以O 为原点，OA 为x 轴，OC 为y 轴，OS 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A SP B --的余弦值.【详解】（1）证明：∵SO 垂直于圆锥的底面，AP ⊂圆锥的底面， ∴SO AP ⊥， ∵AO 为M 的直径，∴PO AP ⊥，∵,SO PO ⊂面SOP ，SO PO O ⋂=， ∴AP ⊥平面SOP ， ∵AP ⊂平面SAP ， ∴平面SAP ⊥平面SOP .（2）解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，∴圆锥的侧面积122S rl rlππ=⨯=侧，底面积2S rπ=底，∴依题意22r rlππ=，∴2l r=，∵2r，∴4l，则在ABS中，4AB AS BS===，∴2223SO AS AO=-=，如图，在底面作O的半径OC，使得OA OC⊥，∵SO OA⊥，SO OC⊥，∴以O为原点，OA为x轴，OC为y轴，OS为z 轴，建立空间直角坐标系，()2,0,0A，()2,0,0B-，(0,0,23S，在三棱锥S APO-中，∵3SO=AOP面积最大时，三棱锥S APO-的体积最大，此时MP OA⊥，∵M的半径为1，∴()1,1,0P，()1,1,0AP=-，()3,1,0BP=，(1,1,23SP=-，设平面SAP的法向量(),,n a b c=，则230n AP a bn SP a b c⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取1a=，得31,1,3n⎛=⎝⎭，设平面SBP的法向量(),,m x y z=，则30m BP x y m SP x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取1x =-，得1,3,3m ⎛=- ⎝⎭，设二面角A SP B--的平面角为θ，由图得θ为钝角，∴1cos 7n m n mθ-⋅=-=-=⋅，∴二面角A SP B --的余弦值31-. 【点晴】（1）证明面面垂直时，需先在这两个平面内的一个平面内找一条直线，证明这条直线垂直于另外一个平面，进而证明两个平面垂直；（2）第二问考利用空间向量求二面角的平面角，需先证明三条直线两两垂直，才能建立空间直角坐标系，再利用公式计算即可，注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角的方法. 21. 已知函数()()ln 1f x mx x x x >＝－． （1）讨论()f x 的极值；（2）若m 为正整数，且()2f x x m <+恒成立，求m 的最大值．（参考数据：ln 4139≈．，ln5161≈．）【答案】（1）当1m 时()f x 无极值，当1m 时()f x 有极大值为1m e -，无极小值；（2）4 【解析】 【分析】（1）利用函数极值的定义对m 进行讨论即可；（2）将()f x 代入()2f x x m <+，利用分离参数法，分离出m ，构造函数()ln 21x x xh x x +=-，对()h x 进行求导，再令()ln 3g x x x =--，对()g x 进行求导，利用零点存在性定理求出()g x 的零点，进而得到()h x 的单调性，求出()h x 的最小值，即可求出m 的最大值．【详解】解:（1）()()ln 1f x mx x x x >＝－，()1ln f x m x '∴=--，当10m -≤，即1m 时，() 0f x '<对1x >恒成立，()f x ∴在()1,+∞上单调递减，()f x 无极值，当10m ->，即1m 时，令()0f x '=，得1m x e -=， 由()0f x '>，解得：11e m x -<<， 由()0f x '<，解得：1e m x ->，()f x ∴在1m x e -=处取得极大值，且极大值为()()1111e e 1e e m m m f m m ----=--=，综上所述，当1m 时，()f x 无极值； 当1m 时，()f x 有极大值为1m e -，无极小值； （2）当1x >时，()2f x x m <+，∴当1x >时，ln 2mx x x x m -<+，即ln 21x x xm x +<-对1x >恒成立，令()ln 21x x x h x x +=-，得()()2ln 31x x h x x --=-'， 令()ln 3g x x x =--，则()11g x x'=-， ∵1x >， ∴()110g x x'=->，()g x 是增函数， ∵()44ln 431ln 41 1.390.390g =--=-≈-=-<，()55ln532ln52 1.610.390g =--=-=-=>，∴()14,5x ∃∈，使()10g x =， 由()111ln 30g x x x =--=， 得：11ln 3x x =-，当()11,x x ∈，()0h x '<，()h x 单调递减， 当()1,x x ∈+∞，()0h x '>， ()h x 单调递增，∴1x x =时， ()h x 取得最小值，为()1h x ，∴()2111111111ln 211x x x x x m h x x x x +-<===--， 又∵m 为正整数， ∴4m ≤，∴正整数m 的最大值为4.【点睛】方法点睛：(1)可导函数()y f x ＝在点0x 处取得极值的充要条件是()00f x '＝，且在0x 左侧与右侧()f x '的符号不同．(2)若()f x 在()a b ，内有极值，那么()f x 在()a b ，内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．22. 已知椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为A 、B ，直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点．（1）点P 的坐标为1(1,)3，若MP PN =，求直线l 的方程；（2）若直线l 过椭圆C 的右焦点F ，且点M 在第一象限，求23(MA NB MA k k k -、NB k 分别为直线MA 、NB 的斜率）的取值范围． 【答案】（1）931412y x =-+；（2）[3,0).4-【解析】 分析】（1）利用点差法，求直线的斜率，再求直线方程；（2）直线的斜率不存在时，求点,M N 的坐标，得到NB MA k k 的值，以及当斜率存在时，直线与曲线方程联立，利用根与系数的关系求NBMAk k 的值，并将23MANB kk -表示为MA k 的二次函数，并求取值范围.【详解】解：（1）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ， 由题意可得P 为线段MN 的中点，由22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减可得 12121212()()()()043x x x x y y y y -+-++=，而1(1,)3P ，即有122x x +=，1223y y +=， 则12122()2()049x x y y --+=，可得121294y y x x -=--， 故直线l 的方程为19(1)34y x -=--， 即931412y x =-+； （2）由题意可得(2,0)A -，(2,0)B ，(1,0)F ，当直线l 的斜率不存在时，3(1,)2M ，3(1,)2N -，12MA k =，332M NB A k k ==．当直线l 的斜率存在时，则l 的斜率不为0，设直线l 的方程为(1)y k x =-，0k ≠，与椭圆方程223412x y +=联立， 可得2222(34)84120k x k x k +-+-=，则2122834kx x k +=+，212241234k x x k-=+， 所以2121121212112121212(1)(2)2()23·2(1)(2)()2NB MA k y x k x x x x x x x k x y k x x x x x x x +-+++--===----++- 22211222222112224128121822333434343412846()2343434k k k x x k k k k k k x x k k k---+⋅---+++===----+--+++， 所以3NB MA k k =，因为M在第一象限，所以MA k ∈，所以2221333333()[244MA NB MA MA MA k k k k k -=-=--∈-，0)． 【点睛】思路点睛：1.一般涉及中点弦问题时，采用点差法求解；2.直线与圆锥曲线相交问题时，有时需要考查斜率不存在和存在两种情况，斜率存在的情况经常和曲线方程联立，利用根与系数的关系解决几何问题.。

河北省唐山一中2020┄2021学年高二上学期期中考试试题说明：考试时间90分钟，满分100分。

可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 F 19 S 32 Cl 35.5 K 39 Cu 64 Ba 137卷Ⅰ（选择题共50分）一．选择题（共25小题，每小题2分，计50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）1．下列反应中，属于吸热反应同时又是氧化还原反应的是（）Ａ． Ba（OH）2·8H2O与NH4Cl反应Ｂ．铝与稀盐酸Ｃ．灼热的炭与水蒸气生成一氧化碳和氢气的反应Ｄ．铝热反应2．下列有关活化分子的说法正确的是（）Ａ．增大反应物浓度可以提高活化分子百分数Ｂ．增大体系的压强一定能提高活化分子百分数Ｃ．使用合适的催化剂可以增大活化分子的能量Ｄ．升高温度能提高活化分子百分数3.对于反应A（g）+3B（g）═4C（g）+2D（g），在相同时间内，用不同物质表示的平均反应速率如下，则反应速率最快的是（）Ａ．v（A）=0.4mol/（L•s）Ｂ．v（B）=0.8mol/（L•s）Ｃ．v（C）=1.2mol/（L•s）Ｄ．v（D）=0.7mol/（L•s）4．在蒸发皿中加热蒸干下列物质的溶液，再灼烧（溶液低于400℃）可以得到原溶质固体的是（）A．FeCl3 B．NaHCO3 C．MgSO4 D．KMnO45．下列说法不正确的是（）Ａ．焓变是一个与反应能否自发进行有关的因素，多数能自发进行的反应是放热反应Ｂ．在同一条件下不同物质有不同的熵值，其体系的混乱程度越大，熵值越大Ｃ．一个反应能否自发进行取决于该反应是放热还是吸热Ｄ．一个反应能否自发进行与焓变和熵变的共同影响有关6．下列热化学方程式正确的是（）Ａ．甲烷的燃烧热ΔH＝—890.3 kJ·mol—1，则甲烷燃烧的热化学方程式可表示为CH4（g）＋2O2（g）=CO2（g）＋2H2O（g）ΔH＝—890.3 kJ·mol—1Ｂ． 500 ℃、30 MPa下，将0.5 mol N2（g）和1.5 mol H2（g）置于密闭容器中充分反应生成NH 3（g），放热19.3 kJ，其热化学方程式为N2（g）＋3H2（g）2NH3（g）ΔH＝—38.6 kJ·mol—1Ｃ．HCl和NaOH反应的中和热ΔH＝-57.3 kJ·mol—1，则H2SO4和Ca（OH）2反应的中和热ΔH＝2x（-57.3）kJ·mol—1Ｄ．已知2C（s）＋2O2（g）=2CO2（g）ΔH＝a，2C（s）＋O2（g）=2CO（g）ΔH＝b，则a<b7．下列有关问题，与盐的水解有关的是（）①NH4Cl与ZnCl2溶液可作焊接金属中的除锈剂②用NaHCO3与Al2（SO4）3两种溶液可作泡沫灭火剂③草木灰与铵态氮肥不能混合施用④实验室盛放Na2CO3溶液的试剂瓶不能用磨口玻璃塞⑤加热蒸干AlCl3溶液得到Al（OH）3固体A.①②③Ｂ．②③④Ｃ．①④⑤Ｄ．①②③④⑤8．下列事实不能用化学平衡移动原理解释的是（）Ａ．光照新制的氯水时，溶液的pH逐渐减小Ｂ．工业生产中，500℃左右比常温下更有利于合成氨Ｃ．可用浓氨水和氢氧化钠固体快速制取氨气Ｄ．增大压强，有利于SO2和O2反应生成SO39．室温下，有关下列四种溶液的叙述不正确的是（忽略溶液混合时体积变化）（）Ａ．在③④中分别加入适量醋酸钠固体，两溶液的pH值均增大Ｂ．分别加水稀释100倍，所得溶液的pH：①>②>④>③Ｃ． V1L④与V2L①混合，若混合溶液pH=7，则V1<V2Ｄ．将溶液②和溶液③等体积混合，混合后所得溶液显酸性10．常温下，下列各组离子在指定溶液中能大量共存的是（）A．pH＝1的溶液中：Fe2＋、NO3—、SO42—、Na＋B．由水电离的c（H＋）＝1×10—14mol·L—1的溶液中：Ca2＋、K＋、Cl—、HCO3-C．c（H＋）/c（OH—）＝1012的溶液中：NH4+、Al3＋、NO3-、Cl—D．c（Fe3＋）＝0.1 mol·L—1的溶液中：K＋、ClO—、SO42—、SCN—11．燃烧a g乙醇（液态），生成二氧化碳气体和液态水，放出的热量为Q kJ，经测定，a g乙醇与足量钠反应，能生成标准状况下的氢气5.6L,则表示乙醇燃烧热的热化学方程式书写正确的是（）A．C2H5OH（1）+3O2（g）=2CO2（g）+3H2O（1）△H = -Q kJ/molB．C2H5OH（1）+3O2（g）=2CO2（g）+3H2O（1）△H = - Q / 2 kJ/molC．1/2 C2H5OH（l）+3/2O2（g）=CO2（g）+3/2H2O（1）△H = -Q kJ/molD．C2H5OH（1）+3O2（g）=2CO2（g）+3H2O（1）△H = -2Q kJ/mol12．下列有关电解质溶液中微粒的物质的量浓度关系正确的是（）A．在0.1 mol·L—1 NaHCO3溶液中：c（Na＋）＞c（HCO3—）＞c（CO32—）＞c（H2CO3）B．在0.1 mol·L—1 Na2CO3溶液中：c（OH—）—c（H＋）= c（HCO3—）＋2c（H2CO3）C．向0.2 mol·L—1NaHCO3中加入等体积0.1 mol·L—1NaOH溶液：c（CO32—）＞c （HCO3—）＞c（OH—）＞c（H＋）D．CH3COONa和CH3COOH混合溶液一定存在：c（Na＋）= c（CH3COO—）=c （CH3COOH）＞c（H＋）= c（OH—）13．如图中的曲线是表示其他条件一定时，2NO（g）＋O 2（g）2NO2（g）ΔH＜0反应中NO的转化率与温度的关系曲线，图中标有a、b、c、d四点，其中表示未达到平衡状态，且v（正）＞v（逆）的点是（）Ａ． a点Ｂ． b点Ｃ． c点Ｄ． d点14．将可逆反应：2NO 2（g）2NO（g）+O2（g）在固定容积的密闭容器中进行,达到平衡的标志是（）①单位时间内消耗n mol O2的同时，生成2n mol NO2②单位时间内生成n mol O2的同时，消耗2n mol NO③用NO2、NO、O2的物质的量浓度变化表示的反应速率的比为2∶2∶1④混合气体的密度不再改变⑤混合气体的颜色不再改变⑥混合气体的平均相对分子质量不再改变Ａ．①④⑥Ｂ．②③⑤Ｃ．①③④Ｄ．②⑤⑥15．有一处于平衡状态的反应：X（s）＋3Y（g）2Z（g），ΔH＜0。

河北省唐山市一中2020-2021学年上学期高二期中考试数学理科试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．直线MN 的斜率为2，其中点(11)N -，，点M 在直线1y x =+上，则（ ） A ．(57)M ， B ．(45)M ， C ．(21)M ， D ．(23)M ，2．过原点且与圆22430x y x +-+=相切的直线的倾斜角为（ ）A ．3π或23πB ．6π或56πC ．4π或34πD ．3π或56π 3．由直线2y x 上的点向圆22(4)(2)1x y -++=引切线，则切线长的最小值为（ ）A ．BCD ．1 4．若平面内动点P 到两点A,B 的距离之比为常数λ(λ>0,λ≠1),则动点P 的轨迹叫作阿波罗尼斯圆.已知A(-2,0),B(2,0),λ=12,则此阿波罗尼斯圆的方程为 ( ) A ．x 2+y 2-12x+4=0B ．x 2+y 2+12x+4=0C ．x 2+y 2-203x+4=0 D ．x 2+y 2+203x+4=05．已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>（ ）A ．0x -=B 0y -=C 0y ±=D ．0x ±=6．已知点P 在抛物线x 2=4y 上，则当点P 到点Q(1,2)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ）A ．(2,1)B ．(−2,1)C ．(−1,14)D ．(1,14)7．抛物线22y x =的焦点到准线的距离是( )A ．2B ．1C ．12D ．148．已知动点(,)P x y 满足341x y =+-，则点P 的轨迹为（ ） A ．直线 B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆 9．已知双曲线方程为2214y x -=，过(1,0)P 的直线L 与双曲线只有一个公共点，则L 的条数共有（ ）A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条10．已知()00,P x y 是椭圆22:14x C y +=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若12·0PF PF <，则0x 的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎛⎝⎭11．已知不过原点的直线l 与2y x 交于,A B 两点，若使得以AB 为直径的圆过原点，则直线l 必过点（ ） A ．(0)1， B ．(10)， C ．(0)2， D ．(10)-， 12．设双曲线22221(0,0)x y C a b a b-=>>：的左右焦点分别为12,,F F 若在曲线C 的右支上存在点P ,使得12PF F ∆的内切圆半径为a ,圆心记为M ，又12PF F ∆的重心为G ，满足12MG F F ∥,则双曲线C 的离心率为（ ）．AB C ．2 D二、填空题 13．点(,)P x y 为椭圆2219x y +=上的任意一点，则3x y +的最大值为 ______． 14．已知直线1:310l ax y +-=，222()30l x a a y +-+=：，且12l l ⊥已知则a =_.15．在抛物线216y x =内，过点(2,1)且被此点平分的弦所在直线的方程是 __________．16．已知定圆M ：22(3)16x y -+=，点A 是圆M 所在平面内一定点，点P 是圆M 上的动点，若线段PA 的中垂线交直线PM 于点Q ，则点Q 的轨迹可能是：①椭圆；②双曲线；③拋物线；④圆；⑤直线；⑥一个点．其中所有可能的结果的序号为___．三、解答题17．直线l 过点P(43,2)，且与x 轴，y 轴的正方向分别交于A,B 两点，O 为坐标原点，当ΔAOB 的面积为6时，求直线l 的方程.18．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．圆1C和直线2C 的极坐标方程分别为4sin ρθ=，cos()4πρθ-=(1)求圆1C 和直线2C 的直角坐标方程．(2)求圆1C 和直线2C 交点的极坐标．19．已知抛物线C ：22y x =和直线l ：1y kx =+,O 为坐标原点．（1）求证：l 与C 必有两交点；（2）设l 与C 交于A ,B 两点,且直线OA 和OB 斜率之和为1,求k 的值．20．选修4-4：坐标系与参数方程．已知直线l 的参数方程为{x =−4t +a y =3t −1(t 为参数)，在直角坐标系xOy 中，以O 点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆M 的方程为ρ2−6ρsinθ=−8．（1）求圆M 的直角坐标方程；（2）若直线l 截圆M 所得弦长为√3，求实数a 的值．21．已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a >b >0)F 是椭圆E 的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点. (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程. 22．过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点A 作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B ，与y 轴的交点为C ，已知613AB BC =. （1）求椭圆的离心率；（2）设动直线y kx m =+与椭圆有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q ，若x 轴上存在一定点(1,0)M ，使得PM QM ⊥，求椭圆的方程.参考答案1．B【解析】设点(,1)M x x +,11222241MN x k x x x x ++==⇒+=-⇒=-，则(4,5)M ，选B. 2．B【解析】把圆的方程化为22(2)1x y -+=，圆心(2,0)，半径为1，设切线方程为0kx y ，根据2131k k =⇒=⇒=，直线的倾斜角为6π或56π，选D. 3．B【分析】要使切线长最小，必须直线y=x+2上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心（4，﹣2） 到直线的距离m ，求出m ，由勾股定理可求切线长的最小值．【详解】要使切线长最小，必须直线y=x +2上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心（4，﹣2）到直线的距离m ，由点到直线的距离公式得，故选B ．【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式、勾股定理的应用．解题的关键是理解要使切线长最小，必须直线y=x+2上的点到圆心的距离最小．4．D【分析】把已知翻译成数学语言，化简即可．【详解】设(,)P x y ，12=，化简得：2220403x y x +++=． 故选D ．【点睛】 求曲线方程的基本方法就是直接法，即设动坐标为(,)x y ，把已知条件用数学语言表示，然后化简，并注意检验．5．D【解析】22()1312b b e a a =-=-=⇒=，则a b =2y x =±，选D.6．D【解析】因为点P 到抛物线焦点距离等于点P 到抛物线的准线y =−1的距离，所以P 到点Q(1,2)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小等价于P 到点Q(1,2)的距离与点P 到抛物线准线距离之和取得最小，如图，由几何性质可得，从Q(1,2)向准线作垂线，其与抛物线交点就是所求点，将x =1代入x 2=4y ，可得y =14，点P 到点Q(1,2)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为(1,14)，故选D .【方法点晴】本题主要考查抛物线的标准方程和抛物线的简单性质及利用抛物线的定义求最值，属于难题.与抛物线的定义有关的最值问题常常实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化：(1)将抛物线上的点到准线的距化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将拋物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“点与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.本题是将p 到焦点的距离转化为到准线的距离，再根据几何意义解题的.7．D【解析】212x y =，122p = ，所以抛物线的焦点到其准线的距离是14，故选D. 8．B 【解析】把341x y =+-3415x y +-= ，由于点(1,2)不在直线3410x y +-=上，满足抛物线的定义，则点P 的轨迹为抛物线. 9．B【解析】试题分析：因为双曲线方程为2214y x -=，所以(1,0)P 是双曲线的右顶点，所以过(1,0)P 并且和x 轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过(1,0)P 分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条.考点：本小题主要考查了直线与双曲线的位置关系.点评：考查双曲线与直线的位置关系时，不要忘记和双曲线的渐近线进行比较,而且还要记住只有一个交点不一定是相切.10．A【解析】解：由题意可知：())12,F F ，则： (222120000030PF PF x x y x y ⋅=++=+-< ， 点P 在椭圆上，则：220014x y =- ，故： 22001304x x ⎛⎫+--< ⎪⎝⎭ ，解得：0x <<，即0x 的取值范围是 33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 本题选择A 选项.点睛：解析几何问题和向量的联系：可将向量用点的坐标表示，利用向量运算及性质解决解析几何问题．以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法．11．A【解析】设直线方程为(0)y kx b b =+≠2y kx b y x=+⎧⎨=⎩ 代入整理得：20x kx b --=，设1122(,),(,)A x y x y ，则1212,x x k x x b +==-，2221212y y x x b ==，以AB 为直径的圆过原点，则212120OA OB x x y y b b ⋅=+=-=，因为0b ≠，得1b =.直线方程为1y kx =+必过定点(0,1).12．C【解析】由//MG x 轴得：G M y y a ==，33p G y y a ==，所以12121123(2)22PF F S c a PF PF c a ∆=⋅⋅=⋅++⋅，又122PF PF a -=，由122,2PF c a PF c a =+=-，由222212()()p p PF x c PF c x -+=--，得：2p x a =，因此(2,3)P a a ，代入椭圆方程得：222249132a a b a e a b -=⇒=⇒==. 【点睛】列出一个关于,,a b c 的等式，就可以求出双曲线的离心率；列出一个关于,,a b c 的不等式，就可以求出双曲线的离心率的取值范围；本题借助于三角形的内切圆半径表示出三角形的面积，利用面积相等列出等量关系，在借助于双曲线的定义，求出点P 的坐标满足双曲线方程，求出离心率.13．【解析】设3cos ,sin x y θθ==，33cos 3sin ))4x y πθθθθθ+=+==+，当sin()14πθ+=时，则3x y +的最大值为14．0或13【解析】当0a =时，1212:310,:230,l y l x l l -=+=⊥符合题意；当1a =时，12:310,:230l x y l x +-=+=，1l 与2l 不垂直； 当01a a ≠≠且时，22()()13a a a -⋅-=--，整理得：330a a -=，由于0a ≠，解得13a =； 综上：103a 或=.15．8150x y --=【解析】 设直线与抛物线的交点为1122(,),(,)A x y B x y ，则21116y x =，22216y x =，两式相减得：121212()()16()y y y y x x +-=-，1212121616821y y k x x x x -====-+⨯，所求直线方程为18(2)y x -=-，即8150x y --=.16．①②④⑥【解析】当点A 在在圆M 内，4QA QM QP QM MP +=+==，4AM >，则点Q 的轨迹是以A M 、为焦点的椭圆，当点A 在圆上时，由于MP MA =，线段PA 的中垂线交直线PM 于M ，点Q 的轨迹为一个点；点A 在圆外时，4QA QM -=，4AM <，则点Q 的轨迹是以A M 、为焦点的双曲线；当点A 与M 重合时，Q 为半径PM 的中点，点Q 的轨迹是以M 为圆心，2为半径的圆，其中正确的命题序号为①②④⑥.【点睛】求点的轨迹问题，主要方法有直接法、定义法、坐标相关法、参数法等，本题利用几何图象中的等量关系找出动点需要满足的条件，根据常见曲线的定义衡量其符合哪种曲线的定义，根据定义要求，写出曲线方程.本题由于点A 为圆面上任意一点，所以需要讨论点A 在圆心、圆内、圆上、圆外几种情况讨论研究，给出相应的轨迹方程.17．y =−34x +3 或y =−3x +6【解析】设直线l 方程为y =kx +b ，k <0，由（1）知直线l 交x 轴的交点为(−b k ,0)，y 轴交点为(0,b).当ΔAOB 的面积为6时，{12(−b k )•b =643k +b =2，解得{k =−34b =3，或{k =−3b =6， ∴直线l 的方程为y =−34x +3或y =−3x +6.18．（1）()2212:24,:40C x y C x y +-=+-=；（2）4,,24ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】 试题分析：本题考查选修内容极坐标与参数方程，要学会极坐标与直角坐标的转化，包括点的坐标转化与曲线方程的转化，利用公式222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+，把极坐标方程化为直角坐标方程，联立方程组解方程组，得出方程组的解写出交点的坐标，再把直角坐标化为极坐标.试题解析：(1)由222cos ,sin ,,4sin x y x y ρθρθρρθ===+= ,即为24sin ρρθ= ,即有224x y y +=，cos()4πρθ-=即为cos sin )22ρθθ+=即40x y +-=,即有2212:(2)4,:40C x y C x y +-=+-=；(2)将直线和圆的方程联立后,即224040x y x y y +-=⎧⎨+-=⎩ ，计算得出直角坐标为(0,4),(2,2) ,则交点的极坐标为(4,)2π ,)4π. 【点睛】本题考查选修内容极坐标与参数方程，要学会极坐标与直角坐标的转化，包括点的坐标转化与曲线方程的转化，不论是点的坐标转化与曲线方程的转化，都是利用公式222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+进行转化，求两条直线或曲线的交点坐标，需要联立方程组解方程组，得出方程组的解写出交点的坐标.19．（1）见解析；（2）1k =【分析】（1）联立抛物线C ：y ＝2x 2和直线l ：y ＝kx +1，可得2x 2﹣kx ﹣1＝0，利用△＞0，即可证明l 与C 必有两交点；（2）根据直线OA 和OB 斜率之和为1，利用韦达定理可得k 的值．【详解】（1）证明：联立抛物线C ：22y x =和直线l ：1y kx =+,可得2210x kx --=, 280k ∴=+>,l ∴与C 必有两交点；（2）解：设()11,A x y ,()22,B x y ,则12121;y y x x +=① 因为111y kx =+,221y kx =+,代入①,得121121;k x x ⎛⎫++=⎪⎝⎭② 又由韦达定理得1212x x k +=,1212x x =-,代入②得1k =． 【点睛】本题主要考查抛物线的方程与简单性质、直线的一般式方程、直线与抛物线的位置关系，以及方程思想，属于基础题．20．（1）x 2+(y −3)2=1；（2）a =376或a =92． 【解析】试题分析：（1）利用x =ρcosθ，y =ρsinθ即可将极坐标方程化为直角坐标方程；（2）将直线l 的参数方程化为普通方程，结合（1）中所得的圆的方程，再利用点到直线距离公式即可求解.试题解析：（1）∵ρ2−6ρsinθ=−8⇒x 2+y 2−6y =−8⇒x 2+(y −3)2=1，∴圆M 的直角坐标方程为x 2+(y −3)2=1；（2）把直线l 的参数方程{x =−4t +a y =3t −1(t 为参数)化为普通方程得：3x +4y −3a +4=0，∵直线l 截圆M 所得弦长为√3，且圆M 的圆心M(0,3)到直线l 的距离d =|16−3a|5=(√32)=12⇒a =92或a =376，∴a =376或a =92. 考点：1.导数的运用；2.分类讨论的数学思想．21．（1）2214xy += （2）2y x =- 【解析】试题分析：设出F ，由直线AFc ，结合离心率求得a ，再由隐含条件求得b ，即可求椭圆方程；（2）点l x ⊥轴时，不合题意；当直线l 斜率存在时，设直线:2l y kx =-，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得k 的范围，再由弦长公式求得PQ ，由点到直线的距离公式求得O 到l 的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出k 值，则直线方程可求.试题解析：（1）设(),0F c ，因为直线AF，()0,2A -所以23c =，c =又222,2c b a c a ==- 解得2,1a b ==，所以椭圆E 的方程为2214x y +=. （2）解：设()()1122,,,P x y Q x y由题意可设直线l 的方程为：2y kx =-， 联立221{42,x y y kx +==-，消去y 得()221416120k x kx +-+=，当()216430k ∆=->，所以234k >，即k <或k > 1212221612,1414k x x x x k k +==++. 所以PQ ===点O 到直线l 的距离d =所以12OPQ S d PQ ∆==0t =>，则2243k t =+，244144OPQ t S t t t∆==≤=++，当且仅当2t =2=，解得2k =±时取等号， 满足234k >所以OPQ ∆的面积最大时直线l 的方程为：22y x =-或22y x =--. 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.22．（1）12e =；（2）22143x y +=. 【详解】（1）∵A (,0)a -,设直线方程为2()y x a =+,11(,)B x y令0x =,则2y a =,∴(0,2)C a ,∴1111(,),(,2)AB x a y BC x a y =+=--∵613AB BC =，∴1x a +=11166(),(2)1313x y a y -=-, 整理得111312,1919x a y a =-=∵B 点在椭圆上,∴22221312()()11919a b +⋅=,∴223,4b a ∴2223,4a c a -=即2314e -=,∴12e = （2）∵223,4b a 可设223.4b t a t ==, ∴椭圆的方程为2234120x y t +-= 由2234120{x y t y kx m+-==+得222(34)84120k x kmx m t +++-= ∵动直线y kx m =+与椭圆有且只有一个公共点P ∴0∆=,即2222644(34)(412)0k m m m t -+-= 整理得2234m t k t =+设P 11(,)x y 则有122842(34)34km km x k k =-=-++,112334m y kx m k =+=+ ∴2243(,)3434km m P k k-++ 又(1,0)M ,Q (4,4)k m +若x 轴上存在一定点(1,0)M ，使得PM QM ⊥, ∴2243(1,)(3,(4))03434km m k m k k+-⋅--+=++恒成立 整理得2234k m +=,∴223434k t k t +=+恒成立,故1t =所求椭圆方程为22143x y += 考点：椭圆的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，共线向量，平面向量垂直的充要条件.。

高二年级数学（理）试卷说明：1.考试时间120分，满分150分。

2.将卷I 答案用2B 铅笔涂在答题卡上，卷II 用蓝黑钢笔或圆珠笔答在答题纸上。

卷Ⅰ：（选择题共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 抛物线2ax y =的准线方程是2=y ，则a 的值为（ ）A ．81B ．81- C ．8D ．-82．有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图 是直角梯形(如图所示，45ABC ∠=2,1AB AD DC BC ,==,⊥,则这块菜地的面积为( ).A ．222+B ．4+22C ．22+D ． 21+3.已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交C 于点B ，若FA ＝3FB →，则|AF →|＝ ( )． A. 3 B ．2 C. 2 D ．3 4. 直线y ＝x ＋3与曲线y 29－x |x |4＝1( )A ．没有交点B ．只有一个交点C ．有两个交点D ．有三个交点5. 过双曲线()22221,0x y a b a b-=>的左焦点1F ，作圆222x y a +=的切线交双曲线右支于点P ，切点为T ，1PF 的中点M 在第一象限，则以下结论正确的是 （ ） A b a MO MT -=- B b a MO MT ->- C b a MO MT -<- D b a MO MT --与的大小不确定（第1页共6页）6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π7.直线y = x + b 与曲线x=21y -有且仅有一个公共点，则b 的取值范围是（ ）（A ）|b|=2 （B ）11b -<≤或b =C ）1b -≤≤（D ）以上都错8. 设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P 满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且cos ∠PF 1F 2＝45，则双曲线的渐近线方程为( )A ．3x ±4y ＝0B ．4x ±3y ＝0 C.3x ±5y ＝0 D ．5x ±4y ＝09. 圆()()x y -+-=2331622与y 轴交于A 、B 两点，与x 轴的一个交点为P ，则∠APB 等于（ ） A.π6 B. π4 C. π3 D. π210.直线3x －4y ＋4＝0与抛物线x 2＝4y 和圆x 2＋(y －1)2＝1从左到右的交点依次为 A 、B 、C 、D ，则|AB||CD|的值为( )A ．16B ．4 C.14 D.11611. 若圆0104422=---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) (A)]4,12[ππ (B)]125,12[ππ (C)]3,6[ππ (D)]2,0[π(第2页，共6页)12. 已知A B P ()()-1010，，，，是圆C ：()()x y -+-=34422上的任意一点，则PA PB 22+的最大值与最小值各位多少（ ）A.100,65B. 65,20C.100,20D.100,45卷Ⅱ（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13．已知P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，若|PF 1|＝17，则|PF 2|的值为________．14. 设直线03=+-y ax 与圆4)2()1(22=-+-y x 相交于B A 、两点，且弦AB 的长为32，则=a .15.设21,F F 分别是椭圆1162522=+y x 的左，右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标 为)4,6(，则1PF PM +的最大值为 ．16.已知一几何体的三视图如下，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择5个顶点，它们可能是如下各种几何形体的5个顶点，这些几何形体是(写出所有正确结论的编号) .（其中a b ≠） ①每个侧面都是直角三角形的四棱锥； ②正四棱锥；③三个侧面均为等腰三角形与三个侧面均 为直角三角形的两个三棱锥的简单组合体④有三个侧面为直角三角形，另一个侧面为等腰三角形的四棱锥(第3页，共6页)三．解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）已知三角形ABC ∆的三个顶点是()()()4,0,6,7,0,8A B C （1） 求BC 边上的高所在直线的方程； （2） 求BC 边上的中线所在直线的方程。

唐山市2020～2021学年度高二年级第一学期质量检测数学试卷本试卷分第I 卷（1～2页，选择题）和第II 卷（3～8页，非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第I 卷（选择题，共60分）注意事项：1.答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、试卷科目用2B 铅笔涂写在答题卡上.2.每小题选出★★答案★★后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的★★答案★★标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净，再涂其它★★答案★★，不能答在试题卷上.3.考试结束后，监考人员将本试卷和答题卡一并收回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1. 已知向量()4,2a =-，(),3b m =，若//a b ，则m =（ ） A. 6-B. 6C.32D. 32-【★★答案★★】A 【解析】 【分析】利用向量平行的坐标表示即可求出m 的值. 【详解】向量()4,2a =-，(),3b m =，若//a b ， 则()4320m ⨯--=， 解得：6m =-， 故选：A【点睛】本题主要考查了向量平行的坐标表示，属于基础题.2. 在ABC 中，已知BC =1AC =，45B =，则A =（ ）A. 45B. 60C. 90D. 135【★★答案★★】C【解析】 【分析】利用正弦定理即可求解.【详解】在ABC 中，BC =1AC =，45B =，由正弦定理得：sin sin AC BC B A =，即12sin 45=，解得：sin 1A =， 所以A =90， 故选：C【点睛】本题主要考查了利用正弦定理解三角形，属于基础题. 3. 同时抛掷两颗均匀的骰子，得到的点数和为6的概率为（ ） A.112B.19C.16D.536【★★答案★★】D 【解析】 【分析】掷两颗质地均匀的骰子，有6636⨯=种结果，每种结果等可能出现，求出向上的点数之和为6的情况包含的结果，利用概率公式即可求解.【详解】抛掷两颗均匀的骰子， 有6636⨯=种结果，每种结果等可能出现，出现向上的点数之和为6的情况有()1,5、()2,4、()3,3、()4,2、()5,1有5种， 所以得到的点数和为6的概率为536P =， 故选：D【点睛】本题主要考查了利用古典概率模型求概率，属于基础题.4. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若100010211a a +=，则2020S =（ ） A. 2020B. 1021C. 1010D. 1002【★★答案★★】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质以及等差数列的前n 项和公式即可求解.【详解】由100010211a a+=，则120201a a+=，所以()120202020202010102a aS+==.故选：C【点睛】本题考查了等差数列的性质、等差数列的前n项和公式，需熟记公式，属于基础题.5. 设x，y满足约束条件4322x yx yx y+≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y=-的最大值为（）A. 4B. 6C. 8D. 10【★★答案★★】C【解析】【分析】画出不等式表示的平面区域，3z x y=-表示斜率为3的平行直线系，平移直线可得当直线经过4x y+=和2x y-=的交点时，取到最大值．【详解】画出不等式表示的平面区域如图所示3z x y=-等价于3y x z=-，表示斜率为3的平行直线系，3z x y=-的最大值，即直线纵截距的最小值，联立方程42x yx y+=⎧⎨-=⎩，解得31xy=⎧⎨=⎩，则3z x y=-过()3,1时取到最大值8故选：C【点睛】本题考查线性规划的应用，考查二元一次不等式组表示的平面区域，考查学生数形结合能力，属于基础题．6. 下图是一个边长为2的正方形区域，为了测算图中阴影区域的面积，向正方形区域内随机投入质点600次，其中恰有225次落在该区域内，据此估计阴影区域的面积为（）A. 1.2B. 1.5C. 1.6D. 1.8【★★答案★★】B 【解析】 【分析】根据几何概型概率的估计可知落在阴影部分的概率即为面积之比，列出式子即可计算. 【详解】设阴影部分的面积为S ， 由几何概型的概率公式可知22522600S =⨯， 1.5S ∴=.故选：B.【点睛】本题考查几何概型的计算，属于基础题.7. 已知0x >，0y >，22M x x y =+，()45N x y =-，则M 和N 大小关系为（ ） A. M N > B. M N <C. MND. 以上都有可能【★★答案★★】A 【解析】 【分析】根据0x >，0y >，直接利用作差法比较 【详解】因0x >，0y >，所以()2425x y x x y M N =---+，()()()222224805252x y y x xy y x y x y ==-+-+>++.故选：A【点睛】本题主要考查比较大小以及作差法的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.8. 以下三个命题： ①对立事件也是互斥事件；②一个班级有50人，男生与女生的比例为3：2，利用分层抽样的方法，每个男生被抽到的概率为35，每个女生被抽到的概率为25； ③若事件A ，B ，C 两两互斥，则()()()1P A P B P C ++=. 其中正确命题的个数为（ ） A. 0B. 1C. 2D. 3【★★答案★★】B 【解析】 【分析】由对立事件的定义可判断①；由分层抽样的定义可判断②；由互斥事件的概率理解可判断③. 【详解】对于①，由对立事件的定义可知对立事件一定是互斥事件，故①正确；对应②，可知该班有男生30人，女生20人，由于不知道需要抽取多少人，所以无法得出概率，故②错误；对应③，事件A ，B ，C 不一定包含所有事件，故()()()1P A P B P C ++≤，故③错误. 故选：B.【点睛】本题考查考查对事件互斥、对立的理解，考查对分层抽样的理解，属于基础题. 9. 已知0a >，0b >，且424ab a b ++=，则2a b +的最小值为（ ） A. 2B. 4C. 6D. 8【★★答案★★】A 【解析】 【分析】由基本不等式得()224222222a b ab a b a b +⎛⎫=⨯++≤++ ⎪⎝⎭，即可由此求出2a b +的最小值.【详解】由基本不等式可得()224222222a b ab a b a b +⎛⎫=⨯++≤++ ⎪⎝⎭，令2t a b =+，0t >，则242t t ≤+，即2280t t +-≥，解得4t ≤-（舍去）或2t ≥，当且仅当2a b =，即1,12a b ==时，2a b +取的最小值为2. 故选：A.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题.10. 下图是某校随机抽取100名学生数学月考成绩的频率分布直方图，据此估计该校本次月考数学成绩的总体情况（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），下列说法正确的是（ ）A. 平均数为74B. 众数为60或70C. 中位数为75D. 该校数学月考成绩80以上的学生约占25%【★★答案★★】D 【解析】 【分析】根据平均数等于小矩形的面积乘以各小矩形底边中点横坐标之和可判断A ；取小矩形面积最大的底边中点横坐标作为众数可判断B ；从左边开始将小矩形的面积之和等于0.5的横坐标作为中位数可判断C ；将成绩80以上的小矩形面积相加可判断D. 【详解】对于A ，0.00510550.0410650.031075x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.0210850.005109573⨯⨯+⨯⨯=，故A 不正确；对于B ，由频率分布直方图可知众数65，故B 不正确；对于C ，设中位数为x ，则()0.005100.04100.03700.5x ⨯+⨯+⨯-=， 解得2713x =，故C 不正确；对于D ，数学月考成绩80以上的学生约占0.02100.005100.25⨯+⨯=，即为25% ，故D 正确；故选：D【点睛】本题考查了频率分布直方图求平均数、众数、中位数，考查了基本运算求解能力，属于基础题.11. 如图，在ABC 中，D 为BC 中点，E 在线段AD 上，且2AE ED =，则BE =（ ）A. 1233AC AB -+ B.1233AC AB - C.2133AC AB - D.2133AC AB + 【★★答案★★】B 【解析】 【分析】求得AD 关于AB 、AC 的表达式，利用平面向量的减法法则可得出BE 关于AB 、AC 的表达式. 【详解】D为BC的中点，则()()111222AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，2AE ED =，23AE AD ∴=， ()21123333BE AE AB AD AB AB AC AB AC AB ∴=-=-=+-=-. 故选：B.【点睛】本题考查平面向量的基底分解，考查了平面向量减法法则的应用，考查计算能力，属于中等题.12. 某海域A 处的甲船获悉，在其正东方向相距3mile 的B 处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把信息通知在A 南偏东30°，且与A 处相距253mile 的C处的乙船.那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东多少度？（ ）A. 30°B. 45°C. 90°D. 60°【★★答案★★】D 【解析】 【分析】根据余弦定理求出BC ，根据正弦定理求出ACB ∠，从而可得★★答案★★ 【详解】解：如图所示，30MAC NCA ∠=∠=︒，则60CAB ∠=︒， 由题意可知，253,503AC AB ==，由余弦定理得222(253)(503)2253503cos 60BC =+-⨯⨯︒， 解得75BC =， 由正弦定理得75503sin 60=︒， 解得90ACB ∠=︒， 所以60NCB ∠=︒， 故选：D【点睛】此题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查方位角问题，属于基础题第II 卷（非选择题，共90分）注意事项：1.第II 卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上，不要在答题卡上填涂.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把★★答案★★填写在题中横线上）13. 已知数列{}n a 为等比数列，351a a +=，则2435462a a a a a a ++=______________. 【★★答案★★】1 【解析】 【分析】由等比数列的性质可得：()22243546335535222a a a a a a a a a a a a =++=+++，即可求解. 【详解】因为等比数列{}n a 满足351a a +=，由等比数列的性质可得：()243546335532225221a a a a a a a a a a a a =++=++=+， 故★★答案★★为：1【点睛】本题主要考查了等比数列的性质，属于中档题.14. 已知0x >，则21x x y x++=的最小值为______________.【★★答案★★】 3【解析】 【分析】化简函数为2111x x y x x x++==++，再利用基本不等式即可求出.【详解】0x >，2111113x x y x x x x x++∴==++≥⋅=，当且仅当1x x=，即1x =时等号成立， 故21x x y x++=的最小值为3.故★★答案★★为：3.【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题.15. 已知向量()3,6a =-，则与a 垂直的单位向量的坐标为______________.【★★答案★★】,55⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或,55⎛-- ⎝⎭ 【解析】 【分析】可设坐标为(),x y ，根据条件建立方程()()223,6,3601x y x y x y ⎧-⋅=-=⎨+=⎩解出即可. 【详解】设与a 垂直的单位向量的坐标为(),x y ， 由题可得()()223,6,3601x y x y x y ⎧-⋅=-=⎨+=⎩，解得5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以与a垂直的单位向量的坐标为⎝⎭或⎛⎝⎭.故★★答案★★为：⎝⎭或⎛ ⎝⎭. 【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，考查向量坐标的计算，属于基础题.16. 学校餐厅每天供应1050名学生用餐，每周一有A ，B 两种套餐可供选择.调查表明，凡是本周一选A 套餐的，下周一会有20%改选B 套餐；而选B 套餐的，下周一会有30%改选A 套餐.用n a ，n b 分别表示第n 个周一选A 套餐的人数和选B 套餐的人数.第一个周一选A 套餐的人数为1a 人.（1）如果每个周一选A 套餐人数总相等，则1a =_____________.（2）若1350a =，则从第______________个周一开始，选A 套餐人数首次超过选B 套餐的人数.【★★答案★★】 (1). 630 (2). 3 【解析】 【分析】（1）由题可列出递推关系143510+1050n nn n n a a b a b +⎧=+⎪⎨⎪=⎩，利用1n n a a +=，代入1n =即可求出；（2）根据递推关系可得出{}630n a -是首项为1630280a -=-，公比为12的等比数列，进而求出n a ，再列出不等式即可求出.【详解】（1）由题意可得143510+1050n nn n n a a b a b +⎧=+⎪⎨⎪=⎩，如果每个周一选A 套餐人数总相等，则1n n a a +=，则1111143510+1050a ab a b ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，解得1630a =. （2）由143510+1050n n nn na ab a b +⎧=+⎪⎨⎪=⎩可得()1431050510n n n a a a +=+-，整理得113152n n a a +=+，则()116306302n n a a +-=-， {}630n a ∴-是首项为1630280a -=-，公比为12的等比数列， 116302802n n a -⎛⎫∴-=-⨯ ⎪⎝⎭，即116302802n n a -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭，令n n a b >，即1050n n a a >-，即525n a >，由116302805252n -⎛⎫-⨯> ⎪⎝⎭可得1131282n -⎛⎫<< ⎪⎝⎭， 11n ∴->，即2n >，故从第3个周一开始，选A 套餐人数首次超过选B 套餐的人数. 故★★答案★★为：630；3.【点睛】本题考查数列的应用，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 为了研究某种菜籽在特定环境下，随时间变化发芽情况，得如下实验数据：（1）求y 关于t 的回归直线方程；（2）利用（1）中的回归直线方程，预测当10t =时，菜籽发芽个数.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121ˆnii i nii tty y btt==--=-∑∑，ˆˆay bt =- 【★★答案★★】（1）ˆ 1.1 2.6y t =-；（2）8.4千个.【解析】 【分析】（1）利用已知数据先求出t 和y 的平均数，代入到b ∧中，得到b ∧后，再代入到a ∧中，而线性回归方程为y b x a ∧∧∧=+，代入所有数据即可得到； （2）将8t =代入回归直线中即可得到所求.【详解】（1）由表中数据计算得6t =，ˆ4y=， ()()5111i i i t t y y =--=∑，()52110i i t t =-=∑，()()()121ˆ 1.1nii i ni i tty y btt==--==-∑∑，ˆˆ 2.6a y bt=-=-. 所以，回归方程为ˆ 1.1 2.6yt =-. （2）将10t =代入（1）的回归方程中得ˆ11 2.68.4y=-=. 故预测10t =时，菜籽发芽个数约为8.4千个.【点睛】该题主要考查线性回归方程等基础知识，意在考查考生的分析问题解决问题的能力、运算求解能力，属于简单题目.18. 当0a ≤时，解关于x 的不等式()21330ax a x +--≤.【★★答案★★】★★答案★★见解析. 【解析】 【分析】将所求不等式变形为()()130ax x +-≤，对实数a 的取值进行分类讨论，结合二次不等式的求解方法可得出原不等式的解集.【详解】由()21330ax a x +--≤，可得()()130ax x +-≤.①当0a =时，原不等式即30x -≤，解得3x ≤； ②当0a <时，()()130ax x +-≤. 方程()()130ax x +-=的两根为110x a=->，23x =. 当13a =-时，原不等式即()21303x --≤，即()230x -≥，解得x ∈R ； 当103-<<a 时，13a ->，解原不等式得1x a ≥-或3x ≤；当13a <-时，13a -<，解原不等式得3x ≥或1x a≤-.综上，当0a =时，原不等式的解集为{}3x x ≤； 当13a =-时，原不等式的解集为R ； 当103-<<a 时，原不等式的解集为{3x x ≤或1x a ⎫≥-⎬⎭；当13a <-时，原不等式的解集为1x x a⎧≤-⎨⎩或}3x ≥. 【点睛】本题考查含参二次不等式的求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 19. 街道办在小区东、西两区域分别设置10个摊位，供群众销售商品.某日街道办统计摊主的当日利润（单位：元），绘制如下茎叶图.（1）根据茎叶图，计算东区10位摊主当日利润的平均数，方差；（2）从当日利润90元以上的摊主中，选出2位进行经验推介，求选出的2位摊主恰好东、西区域各1位的概率.【★★答案★★】（1）平均数是80，方差是79.4；（2）35. 【解析】 【分析】（1）根据公式求样本的平均数与方差；（2）东区2摊主分设为A ，B ，西区3摊主分设为c ，d ，e . 求出从这5位摊主中随机抽取2个包含的基本事件的个数，以及选出的2位摊主恰好东、西区域各1位包含的基本事件的个数，利用概率公式即可求解.【详解】（1）东区10位摊主利润的平均数是80，方差是()()()()()()222222168806980758073807880808010⎡-+-+-+-+-+-+⎣()()()()2222898081809280958079.4⎤-+-+-+-=⎦（2）由题意可知，东区2摊主分设为A ，B ，西区3摊主分设为c ，d ，e .再从这5位摊主中随机抽取2个，共包含：(),A B ，(),A c ，(),A d ，(),A e ，(),B c ，(),B d ，(),B e ，(),c d ，(),c e ，(),d e ，10种等可能的结果；其中东西两个区域各1位摊主事件包含(),A c ，(),A d ，(),A e ，(),B c ，(),B d ，(),B e ，共计6种等可能的结果；由古典概型计算公式可得，选出东、西两个区域各1位摊主的概率63105P ==. 【点睛】本题主要考查了由茎叶图求平均值和方差，以及利用古典概率公式求概率，属于中档题.20. 已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积S 满足AB AC =⋅. （1）求A ；（2）若cos cos ac b A a B =+，求ABC 的周长的最大值.【★★答案★★】（1）60A =︒；（2）3. 【解析】 【分析】（1）由向量数量积公式、ABC 的面积S 可求得A ；（2）由cos cos ac b A a B =+及正弦定理得1a =，再由余弦定理及基本不等式可得★★答案★★.【详解】（1）cos AB AC cb A ⋅=，由已知1sin cos 32bc A bc A ⨯=，得tan A =因为0180A <<︒︒，所以60A =︒.（2）由题设及正弦定理得sin sin cos sin cos a C B A A B =+， 所以()sin sin a C B A =+，即sin sin a C C =， 由于0120C ︒<<︒，sin 0C ≠， 所以1a =，由余弦定理222a b c bc =+-，得所以()222133b c bc b c +-=≤⨯+⎛⎫ ⎪⎝⎭，当且仅当1b c ==时取等号， 解得2b c +≤， 3a b c ++≤， 即ABC 的周长的最大值为3.【点睛】本题考查了向量与三角形结合，考查了正弦定理、余弦定理解三角形的问题. 21. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且123a a =，36S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【★★答案★★】（1）112n a n =+；（2）442n n n T +=-. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前n 项和公式,将已知条件转化为关于1a 和d 的方程，解出1a和d ，即可求出通项； （2）由（1）知1222n n na n -+=，利用乘公比错位相减即可求和. 【详解】（1）由36S =得，22a =，代入到123a a =得132a =，12d =，所以{}n a 的通项公式为112n a n =+. （2）由（1）知1222n n na n -+=， 所以2134122222n n n n n T -++=++⋯++，2311341222222n n n n n T +++=++⋯++. 两式相减得231131112222222n n n n T ++⎛⎫=+++⋯+- ⎪⎝⎭ 111311241222222n n n n n -++++⎛⎫=+--=- ⎪⎝⎭ 所以442n nn T +=-， 【点睛】本题主要考查了求等差数列通项，以及乘公比错位相减求和，属于中档题. 22. 如图，某游乐园的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，其两个出入口设置在点B 及点C 处，且园内有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从C 沿CD 走到D 用了8分钟，从D 沿DB 走到B 用了6分钟.若此人步行的速度为每分钟50米.（1）求CDB △的面积； （2）求该扇形的半径OA 的长.【★★答案★★】（1）300003平方米；（2）370米. 【解析】 【分析】（1）利用三角形的面积公式可得1sin 2S CD DB CDB =⋅⋅∠，代入求解即可. （2）设扇形的半径为r ，连结CO ，可得60CDO ∠=︒，利用余弦定理即可求解. 【详解】（1）由题意400CD =（米），300DB =（米），120CDB ∠=︒； CDB △的面积1300400sin1203000032S =⨯⨯⨯︒=（平方米） 所以CDB △的面积为300003平方米. （2）设扇形的半径为r ，连结CO ，由题意60CDO ∠=︒在CDO 中，2222cos60OC CD OD CD OD =+-⋅⋅︒， 即()()222140030024003002r r r =+--⨯⨯-⨯， 解得370r =（米）则该扇形半径OA 的长为370米.【点睛】本题考查了三角形的面积公式、余弦定理解三角形，考查了基本运算求解能力，属于基础题.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。

【高二】2021年高二上册数学期中检测题（有答案）2021-2021学年度第一学期高二级数学科期中考试试卷本试卷分和非两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟.注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上.2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上.3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4、考生必须保持答题卡的整洁和平整.第一部分选择题(共 50 分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，则图中阴影部分表示的集合是A． B．C． D．2. “ ”是“ ”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件3. 下列对一组数据的分析，不正确的说法是A数据标准差越小，样本数据分布越集中、稳定.B.数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定C. 数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定D.数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定4. 已知向量满足，则实数值是A．或1 B. C. D. 或5.命题在上是增函数;命题若 ,则有:A. B. C. D.6.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为3的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为4、高为3的等腰三角形．则该儿何体的侧面积为A. B. C. 36 D.7. 执行右边的程序框图，若，则输出的A. B. C. D.8. 当，则的大小关系是A． B．C. D．9. 已知点，直线：，点是直线上的一点，若，则点的轨迹方程为A． B．C． D．10.若对任意实数 , 恒成立,则实数的取值范围是A. B. C. D.第二部分非选择题 (共 100 分)二．题：本大题共4小题, 每小题5分, 共20分. 把答案填在答卷的相应位置．11．已知椭圆，则椭圆的焦点坐标是＊12.数列是等差数列，，则前13项和 _*____13.设满足约束条件若目标函数的最大值为1,则正数满足的关系是___*_____, 的最小值是__*___14.定义在上的偶函数满足：，且在上是增函数，下面是关于的判断：（1）是周期函数；（2）在上是增函数；（3）在上是减函数；（4）的图象关于直线对称.则正确的命题序号是三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分12分）的面积是角的对边分别是 ,(1) 求的值；(2) 分别求的值.16．（本题满分12分）甲、乙、丙、丁四名广交会志愿者分在同一组.广交会期间，该组每天提供上午或下午共两个时间段的服务，每个时间段需且仅需一名志愿者.（1）如果每位志愿者每天仅提供一个时间段的服务，求甲、乙两人在同一天服务的概率；（2）如果每位志愿者每天可以提供上午或下午的服务，求甲、乙两人在同一天服务的概率.17.（本题满分14分）如图所示,四棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面是菱形，，为的中点，（1）求证：∥平面；（2）求证：；（3）(科)求三棱锥的体积.(3)(理科) 求直线与平面所成角的正切值.18. （本题满分14分）已知数列的前项和和通项满足 .(1)求数列的通项公式；(2)设 ,求数列的前项和 ,并证明 .19．（本题满分14分）已知圆（1）若直线 : 与圆有公共点，求直线的斜率的取值范围；（2）（科）若过的直线被圆C截得的弦长为，求直线的方程；（2）（理科）若斜率为1的直线被圆截得的弦满足（是坐标原点），求直线的方程.20．（本题满分14分）已知函数，（1）若函数满足，求实数的值；（2）若函数在区间上总是单调函数，求实数的取值范围；（3）若函数在区间上有零点，求实数的取值范围.2021-2021学年度第一学期高二级数学科期中试题答案一、选择题：CABA D AD C BB二、题：11. ; 12. 26 13. ；8 14.（1），（4）三、解答题15．（本题满分12分）15.解：（1）……3分……………… 6分（2）中，……… 8分代入解得…… 9分由余弦定理得：………11分………12分16．（本题满分12分）16.解（Ⅰ）从四个人中选出2个人去上午或下午服务（仅一段）是一个基本事件，……………1分，基本事件总数有：（画树状图（或列举法））（甲、乙），（甲、丙），（甲，丁），（乙、甲），（乙、丙），（乙，丁），（丙，甲），（丙，乙），（丙，丁），（丁，甲），（丁，乙），（丁，丙）共12种情况，每种情况的发生都是等可能的，符合古典概型的条件……………………3分，其中甲乙在同一天服务有2种情况（乙、甲），（甲、乙），……………………4分，所以甲.乙两人在同一天服务的概率……………………6分.（未画树状图或列举的酌情扣1~2分，没有任何过程仅有答案者只记2分）（Ⅱ）从四个人中选出2个人(可以重复选同一个人)去上午或下午服务（一段或两段）是一个基本事件,…………1分，画树状图（或列举法）（甲、甲），（甲、乙），（甲、丙），（甲，丁），（乙、甲），（乙，乙），（乙、丙），（乙，丁），（丙，甲），（丙，乙），（丙，丙），（丙，丁），（丁，甲），（丁，乙），（丁，丙），（丁，丁）共16种情况每种情况的发生都是等可能的，符合古典概型的条件……………………9分.“其中甲乙在同一天服务”有2种情况（甲、乙），（乙、甲），……………………10分.所以甲.乙两人在同一天服务的概率……………………12分.（未画树状图或列举的酌情扣1~2分，没有任何过程仅有答案者只记2分）17(本题满分14分)证明（1）连接AC交BD于为O，连接EO，∵E为PC的中点，O为AC的中点，在△PAC中，PA∥EO ，，PA∥平面BDE, ……………5分（2）则为的中点, 连接 ., . ……………6分是菱形， , 是等边三角形. ………7分………8分平面………9分. 平面, .……………10分（3）(科） ,是三棱锥的体高,……………14分（3）（理科） ,……………………………14分18．（本题满分14分）（1）当时，．…………3分当时，，………5分即,…………6分又所以数列是首项为公比为的等比数列, …………8分．…………9分（2）由（1）可知，所以．①① 3得．②………11分②-①得：…………12分…………13分．…………14分19.（本题满分14分）（1）直线与圆C有公共点，所以圆心到直线的距离（r=2），……2分………………5分两边平方，整理得………………7分（2）（科）设直线的斜率为k，则直线方程为y=k(x-2),即kx-y-2=0，………………8分由，………………9分两边平方，整理得：………………10分解得或均在上，………………12分直线方程为：或即：或…………14分(2)（理科）存在，解法1：设直线的方程：，设………………8分则，因为①………………10分把代入整理得（*）………………12分将上式代入①得即得满足（*）………………13分所以存在直线，方程是，………………14分解法2：设直线的方程：，………………8分设AB的中点为D，则又，………………9分则CD的方程是，即，………………10分联立与得………………11分圆心到直线的距离………………12分整理得得，满足………………13分所以存在直线，方程是，………………14分20. （本题满分14分）(1) 知函数关于直线对称……………1分……………………2分（2）① 在区间上单调递减……………………3分② 即时，在区间上单调递增……………………4分③ 即时，在区间上单调递减……………………5分④ 在区间上单调递减……………………6分综上所述，或，在区间上是单调函数…………………7分（3）解法1：当时，函数的零点是，在区间上没有零点当时，…………………8分①若在区间上有两个相等的实根，则且即当则，，………9分②若在区间上有一个实根，则，即得…………………10分③若在区间上有两个的不同实根，则有或解得或空集…………12分综上，检验的零点是0，2，其中2 ，符合；综上所述…………………14分解法2当时，函数在区间上有零点在区间上有解在区间上有解，问题转化为求函数在区间上的值域……8分设，，则……9分设，可以证明当递减，递增事实上，设则，由，得，，即．……10分所以在上单调递减．同理得在上单调递增，……11分又故……12分． 13分故实数的取值范围为．……14分感谢您的阅读，祝您生活愉快。

遵化市2020～2021学年度第一学期期中考试高二数学试卷2020.11本试卷分第Ⅰ卷（1—2页，选择题）和第Ⅱ卷（3—8页，非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本小题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、在平面直角坐标系中，直线 x−y+√3=0的倾斜角是A、π6B、π4C、π3D、3π42、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是A、23B、√53C、43D、2√533、圆(x−2)2+(y+3)2=5的圆心坐标和半径分别为A、(−2，3)，5B、(−2，3)，√5C、(2，−3)，5D、(2，−3)，√54、如图所示，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是A、平行B、相交C、相交成600D、异面5、若点P(1，1)为圆x2+y2−6x=0的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为A、2x−y−1=0B、x−2y+1=0C、x+2y−3=0D、2 x+y−3=06、已知A、B是球O的球面上两点,∠AOB=900，C为该球面上的动点.若三棱锥O−ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为A、36πB、64πC、144πD、256π7、若直线y= x+b与曲线y=3−√4x−x2有公共点，则b的取值范围是A、[1−2√2，1+2√2]B、[ 1−√2，3]C、[−1，1+2√2]D、[ 1−2√2，3]8、在正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线A D1与面BD D1B1所成角的正弦为A、√22B、12C、√24D、√32二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分）9、垂直于同一条直线的两条直线的位置关系A、平行B、垂直C、异面D、重合10、设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，下列命题正确的是A、若α⊥γ，β⊥γ，，则α∥β；B、若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；C、若m∥α，n∥α，则m∥n；D、若m⊥α，n∥α，则m⊥n11、已知圆x2+y2−2x−4y+a−5=0上有且仅有两个点到直线3 x−4 y−15=0的距离为1,则实数a的可能取值A、−15B、−6C、0D、112、如图,在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在面对角线AC上运动，给出下列四个命题，则其中正确的命题的是A、D1P∥平面A1BC1B、D1P⊥BDC、平面PD B1⊥平面A1BC1D、三棱锥A1−BPC1的体积不变。

河北省唐山市遵化市2020-2021学年 高二上学期期中考试数学试卷一.单项选择题（本小题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 在平面直角坐标系中，直线x y -0=的倾斜角是（ ） A. π6 B. π4C. π3D. 3π4『答 案』B『解 析』由直线方程知直角斜率为1，在[0,)π上正切值为1的角为4π，即为倾斜角．故选：B ．2. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）A. 23B. C. 43D.『答 案』A『解 析』由三视图知三棱锥A BCD -中，AD 与底面BCD 垂直，底面是等腰三角形，12222BCDS=⨯⨯=，1AD =，∴122133V =⨯⨯=． 故选：A ．3. 圆()()22235x y-++=的圆心坐标和半径分别为（）A. ()2,3-，5 B.()2,3-C. ()2,3-，5 D.()2,3-『答案』D『解析』由圆的方程为：()()22235 x y-++=，则圆心坐标为()2,3-，半径为r=故选：D.4. 如图所示，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是（）A. 平行B. 相交C. 异面D. 相交成60︒『答案』D『解析』原正方体盒子的直观图如图所示：则AB与CD相交，连接AC，有ABC∆为等边三角形,故选：D.5. 若点()1,1P为圆2260x y x+-=的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为（）A. 230x y +-=B. 210x y -+=C. 230x y +-=D. 210x y --=『答 案』D『解 析』由题意，圆2260x y x +-=，可得22(3)9x y -+=，所以圆心坐标为(3,0)C ，半径为3，又由斜率公式，可得011312PC k -==--，根据圆的弦的性质，可得1PC MN k k ⋅=-，所以2MN k =，所以弦MN 所在直线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=， 所以弦MN 所在直线方程为210x y --=. 故选：D.6. 已知,A B 是球O 的球面上两点，90AOB ︒∠=，C 为该球面上的动点．若三棱锥O ABC -体积的最大值为36，则球O 的表面积为（ ）A. 36πB. 64πC. 144π D . 256π 『答 案』C『解 析』如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2311136326O ABC C AOB V R R V R --⨯⨯⨯====，故6R =，则球O 的表面积为24144R ππ=，故选：C ．7. 若直线y =x +b与曲线3y =b 的取值范围是（ ）A. 1,1⎡-+⎣B. 1⎡-+⎣C. 1⎡⎤-⎣⎦D. 1⎡⎤⎣⎦ 『答 案』C『解析』如图所示：曲线3y = （x -2）2+（y -3）2=4（-1≤y ≤3），表示以A （2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆，直线与圆相切时，圆心到直线y =x +b 的距离等于半径2，∴b，b =1-当直线过点（4，3）时，直线与曲线有两个公共点，此时b =-1，结合图象可得1-b ≤3. 故答案为C. 8. 在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1AD 与面11BDD B 所成角的正弦为（ ）A. 2B. 12C. 4D.『答 案』B『解 析』连接AC 交BD 于点O ，连接1D O，因为1,AC BD DD AC ⊥⊥，得到11AC BB D D⊥平面，所以1AD O∠为直线1AD 与面11BDD B 所成角，设=2AD x，则1,AD AO =，所以111sin 2AO AD O AD ∠===，故选B ．二.多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分） 9. 垂直于同一条直线的两条直线的位置关系（ ） A 平行B. 垂直C. 异面D. 重合『答 案』ABC『解 析』观察正方体中与一条棱垂直的棱可知，ABC 均可能， 故选：ABC ．10. 设m ､n 是两条不同的直线，α､β､γ是三个不同的平面．下列四个命题中正确命题是（ ）A. 若m α⊥，//n α，则m n ⊥B. 若//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥C. 若//m α，//n α，则//m nD. 若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ『答 案』AB『解 析』若m α⊥，//n α，则m n ⊥，是直线和平面垂直的判定，A 正确；若//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥，推出//αγ，满足直线和平面垂直的判定，B 正确；若//m α，//n α，则//m n ，两条直线可能相交，也可能异面，C 不正确．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ中m 与n 可能相交或异面．考虑长方体的顶点，α与β可以相交．D 不正确．故选：AB ．11. 已知圆222450x y x y a +--+-=上有且仅有两个点到直线3 x -4 y -15=0的距离为1，则实数a 的可能取值（ ） A. -15B. -6C. 0D. 1『答 案』BC『解 析』圆标准方程是22(1)(2)10x y a -+-=-，圆心为(1,2)C ，半径为r =（10a <），圆心到已知直线的距离为4d ==，则圆心到与直线34150x y --=平行且距离为1的直线的距离分别为3和5，由题意35<<，解得151a -<<．只有BC 满足．故选：BC ． 12. 如图，在正方体ABCD1111A B C D -中，点P 在面对角线AC 上运动，给出下列四个命题，则其中正确的命题的是（ ）A.1//D P 平面11A BC B.1D P BD⊥C. 平面PD1B ⊥平面11A BCD. 三棱锥11A BPC -体积不变『答 案』ACD『解 析』如下图，正方体中11//AC A C ，由线面平行的判定定理，得//AC 平面11A BC ，同理1//AD 平面11A BC ，因此可得平面1//ACD 平面11A BC ，从而平面1ACD 内的直线1//D P 平面11A BC ，A 正确；如下图，当P 是AC 与BD 交点时，1D PD∠是锐角，B 错；如下图，由正方体中AC BD ⊥，1AC BB ⊥可得AC ⊥平面1BDB ，从而AC BD ⊥，同理有1AD BD⊥，因此有1B D ⊥平面1ACD ，∴平面1PDB ⊥平面1ACD ，C 正确；如上图，11PA C 的面积是矩形11ACC A 面积的一半，不变，B 到平面11PA C 的距离不变是12BD ，因此三棱锥11B PAC -即三棱锥11A BPC -的体积不变，D 正确． 故选：ACD ．三.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在题中横线上）13. 已知正四棱锥的高为4，侧棱长为，则该棱锥的侧面积为___________.『答 案』『解 析』如图，正四棱锥P ABCD -，PO 是高，M 是BC 中点，则PM 是斜高，由已知4PO =，PC =OC == ABCD 是正方形，∴2BC =，1OM =，PM =侧面积为S侧1(42)2=⨯⨯=故答案为： 14. 经过点()21M -，作圆225x y +=的切线，则切线的方程为___________. 『答 案』250x y --= 『解 析』因为点()2,1M -在圆225x y +=上， 所以12OM k =-，因此切线斜率为2，故切线方程为()122y x +=-，整理得250x y --=．故答案为：250x y --=.15. 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，二面角C 1－AB －C 的平面角等于________． 『答 案』45°『解 析』如图，设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则A （1，0，0），B （1，1，0），C 1（0，1，1），∴AB =(0，1，0)，1AC =(-1，1，1)，设面ABC 1的法向量为1n =(x ，y ，z )，∵1n •AB =0，1n •1AC =0，∴y =0，-x +y +z =0，∴1n =(1，0，1)，∵面ABC 的法向量2n =(0，0，1)，设二面角C 1-AB -C的平面角为θ，∴cos θ=|cos ＜1n ，2n ＞|=2，∴θ=45°，答案为45°．16. 当点P 在圆221x y +=上运动时，它与定点()30Q -，的连线PQ 的中点的轨迹方程是________________.『答 案』()22+3124y x +=『解 析』设动点00(,)P x y ，P ，Q 的中点(,)M x y ，由题意可得：032x x -+=，02yy =，解得：023x x =+，02y y =，又点P 在圆221x y +=上运动，22(23)(2)1x y ∴++=， 化简得：()22+3124y x +=，即为所求的轨迹方程. 故答案为：()22+3124y x +=.四.解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤） 17. 已知直线1:260L ax y ++=和直线()22:110L x a y a +-+-=，a R ∈（1）当12L L ⊥时，求a 的值；（2）当1L 与2L 平行时，求a 的值.解：（1）由题意，若12L L ⊥，则()1210a a ⨯+⨯-=，解得23a =；（2）若1L 与2L 平行，则()1210a a ⨯--⨯=，解得2a =或1-，当2a =时，1:30L x y ++=与2:30L x y ++=重合，不满足题意； 当1a =-时，1:260L x y --=和2:20L x y -=平行，满足题意.故1a =-.18. 如图正方形1AC 中，证明：（1）1BD AC⊥；（2）1BD ⊥平面1AB C证明：（1）连接BD 在正方体1AC 中，∴1DD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，又AC ⊂底面ABCD ，1DD AC ∴⊥，BD AC ⊥，又1DD ⊂平面1BDD ，BD ⊂平面1BDD ，1DD BD D=，∴AC ⊥平面1BDD又1BD ⊂平面1BDD ，∴1BD AC⊥.（2）连接111,,A B AB B C，在正方体1AC 中,∴11A D ⊥侧面11AA B B，侧面11AA B B为正方形，又1AB ⊂侧面11AA B B ,111A D AB ∴⊥，11A B AB ⊥，又11A D ⊂平面11A D B，1A B ⊂平面11A D B ，1111A D A B A =，∴1AB ⊥平面11A D B,又1BD ⊂平面11A D B，∴11BD AB ⊥,由（1）可知1BD AC⊥.1AC AB A =，AC ⊂平面1AB C ，1AB ⊂平面1AB C ，1BD ∴⊥平面1AB C .19. 已知ABC 的顶点()2,4A ，()0,2B -，()4,2C -，求（1）AB 边上的中线CM 所在直线的方程；（2）求A 点关于直线BC 对称点坐标．解：（1）由题设有()1,1M ，故211415CM k -==---，故直线CM 的方程为：()1115y x =--+即560x y +-=.（2）()22104CB k --==---，故直线BC 的方程为：2y x =--，设A 点关于直线BC 对称点坐标为(),a b ， 则42222412b a b a ++⎧=--⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得64a b =-⎧⎨=-⎩， 故A 点关于直线BC 对称点坐标为()6,4--. 20. 如图，在三棱柱ABC111A B C -中，各个侧面均是边长为2的正方形，D 为线段AC 的中点.（1）求证：BD ⊥平面AC11C A ； （2）求证：直线A 1//B 平面B 1C D .证明：(1)由三棱柱ABC 111A B C -中，各个侧面均是边长为2的正方形，可知三棱柱为正三棱柱，由D 为线段AC 的中点，可知BD ⊥AC ，因为BD ⊥A1A ，1AA AC A ⋂=，所以BD ⊥平面AC 11C A ， (2)连接11,B C BC ，且11B C BC O =，连接DO ， 在1CAB 中O ，为1CB 中点，D 为AC 中点，所以1//DO ABDO ⊂平面B1C D ，A 1B ⊄平面B 1C D ， 所以A 1//B 平面B 1C D ．21. 如图，圆E 与圆F (点F 在点E 的右侧)与x 轴分别相切于A ，C 两点，另两圆外切且与直线y =分别相切于B ，D 两点，若)E .（1）求圆E 与圆F 的标准方程；（2）过B 作直线EF 的垂线L ，求直线L 被圆E 截得的弦的长度.解：（1）因为点)E ，圆E 与x 轴分别相切于A ，所以1EA =，即圆E 的半径为1，所以圆(()22:11E x y +-=；因为圆E 与圆F (点F 在点E 的右侧)与x 轴分别相切于A ，C 两点，与直线y =分别相切于B ，D 两点，且两圆外切，所以O 、E 、F 三点共线，设圆F 的半径为R ，则有EA OE FC OF =，即123R R =+，解得3R =，即3=FC ，则3F y =又F在直线:OE y x =上，所以F x =()F ，因此，圆(()22:39F x y +-=-；(2)联立(()2211x y y ⎧-+-=⎪⎨⎪=⎩，解得32x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以322B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，又3OE EF k k ===，所以过点B 且与EF 垂直的直线L 为:322y x -=-⎭30y +-=，因为点E 到直线L 的距离12d ==所以直线L 被圆截得弦长= 22. 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 与△A 1B 1C 1都为正三角形且AA 1⊥面ABC ，F 、F 1分别是AC ，A 1C 1的中点.求证：（1）平面AB 1F 1∥平面C 1BF ；（2）平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1.证明：（1）在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，连接1FF ，∵F 、F 1分别是AC 、A 1C 1的中点， 1111//,AF C F AF C F =，111////FF AA BB ，111FF AA BB ==， ∴11AFC F 是平行四边形，11BFF B 是平行四边形， ∴B 1F 1∥BF ，AF 1∥C 1F .BF ⊂平面1BFC ，11B F ⊄平面1BFC ，∴11B F //平面1BFC ， 同理1AF //平面1BFC ，又∵B 1F 1∩AF 1＝F 1，11B F ⊂平面11AB F ，1AF ⊂平面11AB F ， ∴平面AB 1F 1∥平面C 1BF .（2）在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1， 11B F ⊂平面111A B C ，∴B 1F 1⊥AA 1.又111A B C △是等边三角形，1F 是11A C 中点，∴B1F1⊥A1C1，而A1C1∩AA1＝A1，∴B1F1⊥平面ACC1A1，而B1F1⊂平面AB1F1，∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1.。

河东区2021-2021学年度第一(dìyī)学期期中质量检测高二数学试卷〔理〕一、选择题：在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1.1.直线的倾斜角为〔〕．A. B. C. D.【答案】C【解析】将化为，那么，，∴．应选．2.2.为点到直线的间隔，那么〔〕．A. B. C. D.【答案】B【解析】选B3.3.圆，那么其圆心和半径分别为〔〕．A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】由圆的HY方程，得圆心为，半径．应选．4.4.如图，在正方体中，分别为棱，的中点，那么以下直线中与直线EF相交的是〔〕A. B. C. D.【答案(dá àn)】D【解析】因为与、为异面直线，不相交，与在同一平面内，不平行那么相交，选D.5.5.假设直线与平行，那么实数的值是〔〕．A. B. C. 或者 D. 或者【答案】B【解析】根据两条直线平行的性质，得且，即且，∴，〔舍〕．应选．点睛：此题考察两条直线平行的断定；两直线的一般式断定两直线平行或者垂直时，假设化成斜截式再断定往往要讨论该直线的斜率是否存在，容易出错，可记住以下结论进展断定：直线，，①且；②.6.6.如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直(chuízhí)的半径，假设该几何体的体积是，那么它的外表积是〔〕．A. B. C. D.【答案】A【解析】三视图复原该几何体是一个球去掉自身的后的几何体，∴，，∴外表积．应选．7.7.列结论正确的选项是〔〕．A. 各个面都是三角形的几何体是三棱锥B. 以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C. 棱柱即是两个底面全等且其余各面都是矩形的多面体D. 任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥【答案】D【解析】选项，八面体由两个构造一样的四棱锥叠放在一起构成，各面都是三角形，但八面体不是棱锥；选项，假设不是直角三角形，或者是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得几何体都不是圆锥，如图，应选．8.8.〔A类题〕如图，在以下(yǐxià)四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，那么在这四个正方体中，直线与平面不平行的是〔〕．A. B.C. D.【答案】A【解析】对于B，易知AB∥MQ，那么直线AB∥平面MNQ；对于C，易知AB∥MQ，那么直线AB∥平面MNQ；对于D，易知AB∥NQ，那么直线AB∥平面MNQ．故排除B，C，D，选A．点睛:此题主要考察线面平行的断定定理以及空间想象才能，属容易题．证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的断定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面．9.9.〔B类题〕在以下(yǐxià)四个正方体图形中，，为正方体的两个顶点，，，分别为所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是〔〕．A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【答案】B【解析】①由面面，可知面,②直线不平行平面，与其相交，③易知面与面相交，所以与平面相交，④由可知面，综上，能得出面的序号为①④．应选．二、填空题：本大题一一共6小题，每一小题4分，一共24分10.10.假设空间中两点分别为，，那么的值是__________．【答案】【解析(jiě xī)】由题意，得，那么．11.11.如图，一个几何体的三视图的轮廓均为边长为的取值范围为__________．【答案】【解析】该几何体为棱长为的正方体截去一个三棱锥得到，那么．12.12.点在圆的内部，那么实数的取值范围为__________．【答案】【解析】因为在圆内部，∴，即，即，即，∴，．13.13.直线，那么该直线过定点__________．【答案】【解析】直线，，∴当，时过定点，∴，，∴过定点．点睛：此题考察直线过定点问题；解决直线过定点问题，主要有三种方法：①化成点斜式方程，即恒过点；②代两个不同的值，转化为求两条直线(zhíxiàn)的交点；③化成直线系方程，即过直线和直线的交点的直线可设为.14.14.四个平面最多可将空间分割成__________个局部【答案】15【解析】个平面将空间分成局部，个平面将空间分成局部，个平面最多将空间分成局部，个平面最多将空间分成局部．15.15.〔A类题〕，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，给出条件：①；②，；③，，，上述条件中能推出平面平面的是__________〔填写上序号〕【答案】①②【解析】①假设，那么平面与平面无公一共点，可得，①正确；②假设，，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得，故②正确；③假设，，那么与可能平行也可能相交，且与无关，故③错误．故答案①②．16.16.〔B类题〕设，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，给出以下四个命题：①假设，，那么；②假设，那么；③假设，，那么；④假设，，那么，其中所有正确的命题的序号是__________．【答案】①③【解析(jiě xī)】①假设，，①正确；〔两平行线中一条垂直于平面，那么另一条也垂直于该平面〕，②假设，，那么，，②错误；③假设，，那么，③正确；〔垂直于同一直线的两平面平行〕；故答案：①③．三、解答题：本大题一一共6小题，一共52分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤．17.17.直线，分别根据以下条件，求的值．〔〕过点．〔〕直线在轴上的截距为．【答案】〔〕；〔〕【解析】试题分析：〔1〕将点的坐标代入直线方程可解得t的值〔2〕直线在y轴上的截距为－3，等价于直线过点，将点的坐标代入直线方程可解得t的值试题解析：(1)过点(1,1)所以当x=1，y=1时2+t-2+3-2t=0t=32)直线在y轴上的截距为-3所以过点〔0，-3〕-3(t-2)+3-2t=05t=9t=9/518.18.如图，长方体中，，点分别(fēnbié)在上，，过点的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．〔1〕在图中画出这个正方形〔不必说明画法与理由〕．〔2〕求平面把该长方体分成的两局部体积的比值．【答案】〔Ⅰ〕见试题解析〔Ⅱ〕或者【解析】试题分析：〔Ⅰ〕分别在上取H,G,使；长方体被平面分成两个高为10的直棱柱,可求得其体积比值为或者试题解析：解：〔Ⅰ〕交线围成的正方形如图：〔Ⅱ〕作垂足为M,那么,,,因为是正方形,所以,于是因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱,所以其体积比值为〔也正确〕.考点：此题主要考察几何体中的截面问题及几何体的体积的计算.视频19.19.以点为圆心(yuánxīn)的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于两点.〔1〕求圆的方程；〔2〕当时，求直线的方程.【答案】〔1〕. 〔2〕或者.【解析】试题分析：〔1〕先根据圆心到切线间隔等于半径求，再根据HY式写圆方程〔2〕根据垂径定理得圆心到直线间隔，再根据点到直线间隔公式求直线斜率，最后讨论直线斜率不存在的情形是否满足条件试题解析：〔1〕由题意知到直线的间隔为圆的半径，.圆的方程为.〔2〕设线段的中点为，连结，那么由垂径定理可知，且.在中，由勾股定理易知.当动直线的斜率不存在时，直线的方程为，显然满足题意；当动直线的斜率存在时，设动直线的方程为：，由到动直线的间隔为1得.故直线的方程为或者.20.20.如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，，为中点．〔〕求证：平面．〔〕求异面直线与所成角的余弦值．【答案(dá àn)】〔〕证明如下；〔〕．【解析】试题分析：〔〕先利用等腰三角形的三线合一得到线线垂直，再利用面面垂直的性质定理进展证明；〔〕先利用平行关系得到异面直线所成的角，再通过解三角形进展求解.试题解析：〔〕证明：中，，为中点，∴，又∵侧面底面，侧面底面，面，∴面．〔〕如图，连接(liánjiē)，在直角梯形中，，，由〔〕可知，为锐角，∴为异面直线与所成的角，∵，∴在中，，在中，，在中，，∴．21.21.的顶点A为〔3，－1〕，AB边上的中线所在直线方程为，的平分线所在直线方程为，求BC边所在直线的方程．【答案】【解析】设B(4y1－10，y1)，由AB的中点在6x＋10y－59＝0上，可得6·＋10·－59＝0，解得y1＝ 5，所以B为(10，5)．设A点关于x－4y＋10＝0的对称点为A′(x′，y′)，那么有A′(1，7)．故BC边所在(suǒzài)的直线方程为2x＋9y－65＝0.22.22.〔A类题〕如图，四棱锥的底面是正方形，底面，点在棱上．〔〕求证：平面平面．〔〕当，且为的中点时，求与平面所成的角的大小．【答案】〔〕证明如下；〔〕〔或者〕【解析】试题分析：〔〕利用正方形的性质和线面垂直的性质得到线线垂直，再利用线面垂直的断定和面面垂直的断定定理进展证明；〔〕利用〔1〕结论，得到线面角，再通过解三角形进展求解.试题解析：〔〕证明：∵是正方形，∴，又∵底面，∴，∵，∴面，又∵面，∴面面．〔〕设，连接(liánjiē)，由〔〕可知平面，∴为与平面所成的角，又∵，分别为，中点，∴，，又∵底面，∴底面，∴，在中，，∴，即与平面所成的角的大小为．23.23.〔B类题〕如图，长方体中，，，点为棱上一点．〔〕求证：平面平面．〔〕假设是棱的中点，求与平面所成的角大小．【答案(dá àn)】〔〕证明如下；〔〕〔或者〕．【解析】试题分析：〔〕利用正方形的性质和线面垂直的性质得到线线垂直，再利用线面垂直的断定和面面垂直的断定定理进展证明；〔〕〕利用〔1〕结论，得到线面角，再通过解三角形进展求解.试题解析：〔〕证明：长方体中，，∵底面是正方形，∴，又∵面，∴，又∵，面，，∴面，∵面，∴面面．〔〕由〔〕可知(kě zhī)面，∴在面内的投影为，∴为与平面所成的角，又∵，，在中，，∴，∴与面所成的角为．内容总结（1）〔垂直于同一直线的两平面平行〕。

河北省唐山一中2020学年高二数学上学期期中试题说明：1. 考试时间120分钟，满分150分.2. 将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上,将卷Ⅱ答案用黑色字迹的签字笔书写在答题卡上.卷Ⅰ(选择题 共60分)一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）1. 直线50x +-=的倾斜角为( )A. 30︒-B. 60︒C. 120︒D. 150︒2. 直线1:30l x ay ++=和直线()2:230l a x y a -++=互相平行,则a 的值为( )A. 1-或3B. 3-或1C. 1-D. 3-3. 12,F F 为椭圆221169x y +=的焦点，A 为上顶点,则12AF F ∆的面积为 ( )A. 6B. 15C.D. 4. 过直线30x y +-=和20x y -=的交点,且与250x y +-=垂直的直线方程( )A.4230x y +-=B.4230x y -+=C. 230x y +-=D.230x y -+=5. 抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是 ( )A ．1716B ．1516C ．0D ．786. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F,点A 在双曲线的渐近线上,OAF ∆是边长为2的等边三角形(O 为原点),则双曲线的方程为 ( )A. 221412x y -= B. 221124x y -= C. 2213x y -=D. 2213y x -= 7. 设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的个数是( )①若//,//m m αβ,则//αβ； ②若//αβ,,m n αβ⊂⊂,则//m n ； ③若//αβ,//m n ,//m α,则//n β； ④若//m α,m β⊂,n αβ=I ,则//m n ．A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个8. 直线20x y ++=分别与x 轴,y 轴交于,A B 两点,点P 在圆()2222x y -+=上,则ABP ∆面积的取值范围是( ) A.B.C.D.9. 已知点(2,0),(2,0)M N -，若圆()2226900x y x r r +-+-=>上存在点P （不同于,M N ），使得PM PN ⊥，则实数r 的取值范围是 ( )A ．(1,5)B ．[]1,5C ．(1,3)D ．[]1,310. 数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线在平面直角坐标系中作ABC ∆,在ABC ∆中,4AB AC ==,点()1,3B -,点()4,2C -,且其“欧拉线”与圆()2223x y r -+=相切,则该圆的半径为( ) A. 1B. 2C.2D. 2211. 已知三棱锥ABCD 中,AB CD =,且异面直线AB 与CD 成60︒角,点,M N 分别是,BC AD 的中点,则异面直线AB 与MN 所成的角为 ( )A.60︒B. 30︒C. 30︒或60︒D.以上均不对12. 直线330x y -+=经过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点F ，交椭圆于,A B两点，交y 轴于点C .若2FC CA =u u u r u u u r，则该椭圆的离心率为( )A.31- B ．312- C ．222- D ．21- 卷Ⅱ(选择题 共90分) 二．填空题（共4 小题）13．如图,矩形O A B C ''''是水平放置的一个平面图形的斜二测画法画出的直观图,其中6,2O A C D ''''==,则原图形面积是_______.14．过点(36)P ，，且被圆2225x y +=所截弦长为8的直线方程为________.15．已知椭圆22:12516x y C +=,点M 与椭圆C 的焦点不重合．若M 关于椭圆C 的焦点的对称点分别为,A B ，线段MN 的中点在椭圆C 上，则AN BN +=_________.16. 动点P 到两定点()(),0,,0A a B a -连线的斜率的乘积为()k k R ∈,则动点P在以下哪些曲线上__________.（请填写所有可能的序号） ①直线 ②椭圆 ③双曲线 ④抛物线 ⑤圆 三．解答题（共6 小题） 17. （本题满分10分）如图所示,从左到右依次为：一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,该多面体的正视图,该多面体的侧视图．（1）按照给出的尺寸,求该多面体的表面积； （2）求原长方体外接球的体积．18. （本题满分12分）已知直线l 过点(2,3)P ,根据下列条件分别求出直线l 的方程： （1）直线l 的倾斜角为120︒；（2）在x 轴、y 轴上的截距之和等于0．19. （本题满分12分）在直三棱柱111ABC A B C -中,2AC BC ==,90ACB ︒∠=1,2AA =,D 为AB 的中点．（1）求异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值; （2）在棱11A B 上是否存在一点M ，使得平面1C AM //平面1B CD ．20. （本题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3,短轴长为4．（1）求椭圆方程；（2）过()2,1P 作弦且弦被P 平分,求此弦所在的直线方程及弦长．21. （本题满分12分）已知圆N 经过点()()3,1,1,3A B -,且它的圆心在直线320x y --=上． （1）求圆N 关于直线30x y -+=对称的圆的方程．（2）若D 点为圆N 上任意一点,且点()3,0C ,求线段CD 的中点M 的轨迹方程．22.（本题满分12分）已知抛物线2:2C y px =过点(1,1)A ． （1）求抛物线C 的方程；（2）过点(3,1)P -的直线与抛物线C 交于,M N 两个不同的点均与点A 不重合,设直线,AM AN 的斜率分别为12,k k ,求证：12k k ⋅为定值．唐山一中2020学年度第一学期期中考试高二年级数学答案一．选择题：1-4 DCDD 5-8 BDBA 9-12 ABCA二．填空题13．242 14．x=3或3x-4y+15=0 15．20 16．①②③⑤三．解答题17.解：(1)该多面体可以看成一个长方体截去一个小三棱锥,则根据图中所给条件得：所求多面体表面积为+……………………………5分12223(2)设原长方体外接球半径为r,则所以原长方体外接球体积为6817π…………………………………………………10分318.解(1)直线l的倾斜角为,可得斜率,由点斜式可得：,可得：直线l的方程为 (6)分(2)当直线l 经过原点时在x 轴、y 轴上的截距之和等于0, 此时直线l的方程为………………………………………………………………9分 当直线l 不过原点时,设直线l 的方程为,因为在直线l 上,所以,,即,综上所述直线l 的方程为或．……………………………12分19. 解：（1）连接C 1B 交CB 1于E ，则,或其补角为与所成的角, 20. 在中,,21. ,,22.,异面直线与所成角的余弦值为………………………………………………6分 （2）存在，M 为A 1B 1的中点可证1//C M 平面1B CD ,//AM 平面1B CD1C M AMM ? 1,C M AM Ì平面1C AM ,平面1//C AM 平面1B CD (12)分20.解：(1)椭圆标准方程为221164x y +=……………………………………………4分(2)设以点P(2，1)为中点的弦与椭圆交于A(x 1，y 1),B(x 2，y 2), 则x 1+x 2=4，y 1+y 2=2，分别代入椭圆的方程,两式相减可得(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0,∴4(x1-x2)+2(y1-y2)=0,212112y ykx x-\==--点P(2，1)为中点的弦所在直线方程为：x+2y-4=0 ……………………………10分弦长25AB =………………………………………………………………………12分21.解：（1）由已知可设圆心,又由已知得,从而有,解得：,于是圆N 的圆心,半径,所以,圆N的方程为 (4)分圆心关于的对称点为,所以圆N对称的圆的方程为 (6)分（2）设M(x,y),D(x1，y1),则由C(3，0)及M为线段CD的中点得：,解得：．又点D在圆N：上,所以有, 故所求的轨迹方程为． (12)分22.解：（1）由题意抛物线过点,所以,所以抛物线的方程为…………………………………………………………3分（2）证明：设过点的直线l的方程为,即, 代入得,设,,则,,…………………………6分所以,所以为定值．…………………………12分。