线性卷积_循环卷积_循环卷积定理(DFT)_FFT

循环卷积与线性卷积的实现1、实验目的：（1）进一步理解并掌握循环卷积与线性卷积的概念。

（2）理解掌握二者的关系。

三、实验原理两个序列的N点循环卷积定义为从定义中可以看到，循环卷积和线性卷积的不同之处在于：两个N 点序列的N点循环卷积的结果仍为N点序列，而他们的线性卷积的结果的长度则为2N-1；循环卷积对序列的移位采取循环移位，而线性卷积对序列采取线性位移。

正式这些不同，导致了线性卷积和循环卷积有不同的结果和性质。

循环卷积和线性卷积虽然是不用的概念，但是它们之间有一个有意义的公式联系在一起其中也就是说，两个序列的N点循环卷积是他们的线性卷积以N为周期的周期延阔。

设序列的长度为,序列的长度为，此时，线性卷积结果的序列的点数为;因此如果循环卷积的点数N小于，那么上述周期性延阔的结果就会产生混叠，从而两种卷积会有不同的结果。

而如果N满足的条件，就会有这就会意味着在时域不会产生混叠。

因此，我们得出结论：若通过在序列的末尾填充适当的零值，使得和成为店序列，并作出这两个序列的循环卷积与线性卷积的结果在范围内相同。

根据DFT循环卷积性质中的卷积定理便可通过两种方法求两个序列的循环卷积：一是直接根据定义计算；二是根据性质先分别求两个序列的N点DFT，并相乘，然后取IDFT以得到循环卷积。

第二种方法看起来要经过若干个步骤，但由于求序列的DFT和IDFT都有快速算法，因此它的效率比第一种方法要高得多。

同样，根据线性卷积和循环卷积的关系，可以通过计算循环卷积以求得线性卷积，提高计算序列线性卷积的效率。

4、实验内容输入程序序列如下：n=[0:1:4];m=[0:1:3];x1=1+n;x2=4-m; %生成函数x1和x2L1=length(x1)-1;L2=length(x2)-1; %取函数的长度y1=conv(x1,x2); %直接用函数conv计算线性卷积n1=[0:1:L1+L2];subplot(3,1,1);stem(n1,y1) %绘制线性卷积图形xlabel('n');ylabel('y(n)'); %标注x、y轴N2=5; %求5点圆卷积if length(x1)>N2error('N必须大于序列x1的长度')endif length(x2)>N2error('N必须大于序列x2的长度')end %以上语句判断两个序列的长度是否小于N X21=fft(x1,N2); %作序列1的FFTX22=fft(x2,N2); %作序列2的FFTy2=ifft(X21.*X22); %求两序列的循环卷积（时域）n2=[0:1:N2-1];subplot(3,1,2);stem(n2,y2) %绘制两序列循环卷积图形axis([0,7,0,40]) %修改x、y轴长度N3=8if length(x1)>N3error('N必须大于序列x1的长度')endif length(x2)>N3error('N必须大于序列x2的长度')endx31=[x1,zeros(1,N3-length(x1))]x32=[x2,zeros(1,N3-length(x2))]X31=fft(x31)X32=fft(x32)y3=ifft(X31.*X32)n3=[0:1:N3-1]subplot(3,1,3);stem(n3,y3)将程序输入MATLAB运行结果如下：MATLAB运行显示的图形为：五、实验心得：本次实验对我意义很大，让我熟练的运用了matlab软件。

姓名：高铭遥 班级：16131701 学号：1120171450 成绩：实验二 DFT/FFT 的应用-利用FFT 实现快速卷积[实验目的]1．深刻理解DFT/FFT 的概念和性质，进一步掌握圆周卷积和线性卷积两者之间的关系。

2．掌握DFT/FFT 的应用。

理解FFT 在实现数字滤波（或快速卷积）中的重要作用，更好地利用FFT 进行数字信号处理。

[实验内容及要求]1．给定两个序列()[]2,1,1,2x n =，()[]1,1,1,1h n =--。

首先直接在时域计算两者的线性卷积；然后用FFT 快速计算二者的线性卷积，验证结果。

（1）线性卷积 程序代码：figure(1);N1=4; N2=4; xn=[2,1,1,2]; hn=[1,-1,-1,1];N=N1+N2-1;%卷积后的序列长度 yn=conv(xn,hn);%线性卷积 x=0:N-1;stem(x,yn);title('线性卷积'); 运行结果：（2）FFT 卷积快速卷积 程序代码： figure(1); n=0:1:3; m=0:1:3;N1=length(n);%xn 的序列长度 N2=length(m);%hn 的序列长度 xn=[2,1,1,2]; hn=[1,-1,-1,1];姓名：高铭遥 班级：16131701 学号：1120171450 成绩：N=N1+N2-1;%卷积后的序列长度XK=fft(xn,N);%xn 的离散傅里叶变换 HK=fft(hn,N);%hn 的离散傅里叶变换 YK=XK.*HK;yn=ifft(YK,N);%逆变换if all(imag(xn)==0)&&(all(imag(hn)==0))%实序列的循环卷积仍为实序列 yn=real(yn); endx=0:N-1;stem(x,yn);title('FFT 卷积'); 运行结果：结果分析：对比（1）和（2）直接线性卷积和FFT 快速卷积的结果可以验证，用FFT 线性卷积的结果是与直接卷积的结果相同的，FFT 可以实现快速卷积，提高运算速度。

数字信号处理知识点总结《数字信号处理》辅导一、离散时间信号和系统的时域分析 （一） 离散时间信号（1）基本概念信号：信号传递信息的函数也是独立变量的函数，这个变量可以是时间、空间位置等。

连续信号：在某个时间区间，除有限间断点外所有瞬时均有确定值。

模拟信号：是连续信号的特例。

时间和幅度均连续。

离散信号：时间上不连续，幅度连续。

常见离散信号——序列。

数字信号：幅度量化，时间和幅度均不连续。

（2）基本序列（课本第7——10页）1）单位脉冲序列 1,0()0,0n n n δ=⎧=⎨≠⎩2）单位阶跃序列 1,0()0,0n u n n ≥⎧=⎨≤⎩3）矩形序列 1,01()0,0,N n N R n n n N ≤≤-⎧=⎨<≥⎩ 4）实指数序列 ()n a u n5）正弦序列 0()sin()x n A n ωθ=+ 6）复指数序列 ()j n n x n e e ωσ= （3）周期序列1）定义：对于序列()x n ，若存在正整数N 使()(),x n x n N n =+-∞<<∞ 则称()x n 为周期序列，记为()x n ，N 为其周期。

注意正弦周期序列周期性的判定（课本第10页）2）周期序列的表示方法： a.主值区间表示法 b.模N 表示法 3）周期延拓设()x n 为N 点非周期序列，以周期序列L 对作()x n 无限次移位相加，即可得到周期序列()x n ，即()()i x n x n iL ∞=-∞=-∑当L N ≥时，()()()N x n x n R n =当L N <时，()()()N x n x n R n ≠（4）序列的分解序列共轭对称分解定理：对于任意给定的整数M ，任何序列()x n 都可以分解成关于/2c M =共轭对称的序列()e x n 和共轭反对称的序列()o x n 之和，即()()(),e o x n x n x n n =+-∞<<∞并且1()[()()]2e x n x n x M n *=+-1()[()()]2o x n x n x M n *=--（4）序列的运算 1）基本运算2）线性卷积：将序列()x n 以y 轴为中心做翻转，然后做m 点移位，最后与()x n 对应点相乘求和——翻转、移位、相乘、求和定义式：1212()()()()()m y n x m x n m x n x n ∞=-∞=-=*∑线性卷积的计算：A 、图解B 、解析法C 、不进位乘法（必须掌握）3）单位复指数序列求和（必须掌握）/2/2/2/2/2/21/2/2/2/2/2/2(1)/21()()/(2)1()()/(2)sin(/2)sin(/2)j N j N j N j N j N j N j N N j nj j j j j j j n j N e e e e e e e j ee e e e e e e j N e ωωωωωωωωωωωωωωωωωω------------=-----===---=∑如果2/k N ωπ=，那么根据洛比达法则有sin(/2)(0)(0)(()())sin(/2)N N k N N k N ωδδω===或可以结合作业题3.22进行练习（5）序列的功率和能量能量：2|()|n E x n ∞=-∞=∑功率：21lim |()|21NN n NP x n N →∞=-=+∑（6）相关函数——与随机信号的定义运算相同（二） 离散时间系统1．系统性质 （1）线性性质定义：设系统的输入分别为1()x n 和2()x n ，输出分别为1()y n 和2()y n ，即1122()[()],()[()]y n T x n y n T x n ==统的输对于任意给定的常数a、b ，下式成立1212()[()()]()()y n T ax n bx n a y n by n =+=+则该系统服从线性叠加原理，为线性系统，否则为非线性系统。

上海电力学院信号与系统实验报告题目：循环卷积与线性卷积的实现班级：2011023专业：电气工程及其自动化学号：201112572013年12月17日循环卷积与线性卷积的实现一、实验目的1、进一步理解并掌握循环卷积与线性卷积的概念；2、理解掌握二者的关系；二、实验原理两个序列的N 点循环卷积的定义为：()()[]()()()N N k N m n x m h n x n h -=⊗∑-=10()N N <≤0从定义中可以看到，循环卷积和线性卷积的不同之处在于：两个N 点序列的N 点循环卷积的结果仍为N 点序列，而它们的线性卷积的结果的长度则为2N-1；循环卷积对序列的位移采取循环位移，而线性卷积对序列采取线性位移。

正是这些不同，导致了线性卷积和循环卷积有不同的结果和性质。

循环卷积和线性卷积虽然是不同的概念，但它们之间由一个有意义的公式联系在一起：()()()[]()()n G rN n y n x n h n y N r N⎪⎭⎫ ⎝⎛-'=⊗=∑∞-∞=其中()()()n x n h n y *='。

也就是说，两个序列的N 点循环卷积是他们的线性卷积以N 为周期延拓。

设序列()n h 的长度为N1，序列()n x 的长度为N2，此时，线性卷积结果的序列的点数为121-+='N N N ;因此如果循环卷积的点数N 小于121-+N N ,那么上述周期性延拓的结果就会产生混叠，从而两种卷积会有不同的结果。

而如果N 满足N N '=的条件，就会有()()n y n y '=()N n <≤0这就意味着在时域不会产生混叠。

因此，我们得出结论：若通过在序列的末尾填充适当的零值，使得()n x 和()n h 成为121-+N N 点序列，并作出这两个序列的121-+N N 循环卷积，那么循环卷积与线性卷积的结果在N n <≤0范围内相同。

根据DFT 循环卷积性质中的卷积定理()()[]{}()[]()[]n h DFT n x DFT n x n h DFT N ∙=⊗便可通过两种方法求两个序列的循环卷积：一是直接根据定义计算；二是根据性质先分别求两个序列的N 点DFT，并相乘，然后取IDFT 以得到循环卷积。

摘要数字信号处理是将信号以数字方式表示并处理的理论和技术。

数字信号处理与模拟信号处理是信号处理的子集。

本书介绍了利用DFT的线性卷积、误差分析、快速傅里叶变换、划分和组合方法、基一2FFT算法、MATLAB 实现……。

关键字：DFT FFT MA TLAB目录利用DFT的线性卷积 (3)误差分析 (5)块卷积 (7)快速傅里叶变换 (11)划分和组合方法 (14)基一2FFT算法 (15)MA TLAB实现 (17)快速卷积 (19)高速块卷积 (21)致谢 (35)利用DFT 的线性卷积在线性系统中最重要的运算之一足线性卷积。

事实上，FIR 滤波器枉实际中一般都是用这种线性卷积实现的。

另一方面，DFT 、又是在频域实现线性系统运算的一条实际途径；稍后还会看到，通过计算这还是一种高效的运算。

然而，其巾存在一个问题：DFT 运算所得到的是一个循环卷积(我们不想要的东西)，而不是我们想要的线性卷积。

现在要看看如何应用DFT"来吏现线性卷积(或等效为如何让循环卷积做戚与线性卷积一样)。

在例题5.15中曾间接提到过这一问题。

令1()x n 是1N 点序列,2()x n 是2N 点序列。

定义3()x n 为1()x n 和2()x n 的线性卷积，即*312()()()x n x n x n1112120()()()()N k x k x n k x k x n k ∞---∞=-=-∑∑ 那么3()x n 是一个12(1)N N +-点序列。

如果选取12max(,)N N N =，并计算 N 点的循环卷积12()()x n Nx n ，那么就得到N 点序列，它显然不同于3()x n 。

这样的观点也提供了一个线索，为什么不选12(1)N N N =+-，并做12(1)N N +-点的循环卷积呢，这样至少这两个卷积都有相同的样本数。

因此，令121N N N =+-并将1()x n 和2()x n 都当作N 点序列对待。

实验五 循环卷积与线性卷积的实现一、实验目的（1） 进一步理解并掌握循环卷积与线性卷积的概念；（2） 理解掌握二者的关系。

二、实验原理两个序列的N 点的循环卷积定义为10[()()]()(())N N Nk h n x n h m x n m -=⊗=-∑ (0)n N ≤<从定义中可以看到,循环卷积和线性卷积的不同之处在于：两个N 点序列的N 点循环卷积结果仍为N 点序列,而它们的线性卷积的结果长度则为2N -1；循环卷积对序列的移位采取循环移位,而线性卷积对序列采取线性移位。

正是这些不同,导致了线性卷积和循环卷积有不同的结果和性质。

两个序列的N 点循环卷积是它们的线性卷积以N 为周期的周期延拓。

设序列()h n 的长度为1N ,序列()x n 的长度为2N ,此时线性卷积结果的序列点数为'121N N N =+-；因此如果循环卷积的点数N 小于121N N +-,那么上述周期性延拓的结果就会产生混叠,从而两种卷积会有不同的结果。

而如果满足'N N =的条件,就有循环卷积与线性卷积的结果在0n N ≤<范围内相同。

根据DFT 循环卷积性质中的卷积定理{[()()]}[()][()]N DFT h n x n DFT x n DFT h n ⊗=•因此可以根据性质先分别求两个序列的N 点DFT,并相乘,然后取IDFT 以得到循环卷积。

三、实验分析例题：已知有限长序列()x n 与()h n 如下图所示,（1） 画出两者之间的线性卷积（2） 8点圆卷积。

（3） 5点圆卷积。

解析如下：（1）()x n 与()h n 的线性卷积,由公式可知：()*()()()m h n x n x m h n m ∞=-∞=-∑()x m 与()h m -的图形如下：利用方格平移法：11 1 1 13 2 1 0 0当0n =时,()*()0h n x n =当1n =时,()*()0h n x n =当2n =时,()*()0*11*11h n x n =+=当3n =时,()*()2*11*10*13h n x n =++=当4n =时,()*()3*12*11*10*16h n x n =+++=当5n =时,()*()3*12*11*10*16h n x n =+++=当6n =时,()*()3*12*11*16h n x n =++=当7n =时,()*()3*12*15h n x n =+=当8n =时,()*()3*13h n x n ==得到图形如下：（2）()x n 与()h n 的8点圆卷积,由公式可知：78880()()(())(())()n x n h n x m h n m G n =⊗=-∑8(())x m 与8(())h m -的图形如下：根据下面图表可计算得到圆卷积：当0n =时：1 1 1 1 1 00 0 0 0 0 0 3 21 0 0 0 0 0 3 00 0 取和得到圆卷积为3。

1.举例说明什么是因果序列和逆因果序列，并分别说明它们z 变换的收敛域。

答：因果序列定义为x （n ）＝0，n <0，例如x （n ）＝)(n u a n ⋅，其z 变换收敛域：∞≤<-z R x 。

逆因果序列的定义为x (n)=0,n>0。

例如x （n ）＝()1--n u a n ，其z 变换收敛域：+<≤x R z 02.用差分方程说明什么是IIR 和FIR 数字滤波器，它们各有什么特性？答： 1）冲激响应h （n ）无限长的系统称为IIR 数字滤波器，例如()()()1)(21)(1021-++-+-=n x b n x b n y a n y a n y 。

IIR DF 的主要特性：①冲激响应h （n ）无限长；②具有反馈支路，存在稳定性问题；③系统函数是一个有理分式，具有极点和零点；④一般为非线性相位。

（2）冲激响应有限长的系统称为FIR DF 。

例如()2)1()()(21-+-+=n x b n x b n x n y 。

其主要特性：①冲激响应有限长；②无反馈支路，不存在稳定性问题；③系统函数为一个多项式，只存在零点；④具有线性相位。

3.用数学式子说明有限长序列x （n ）的z 变换X （z ）与其傅里叶变换X )(ωj e 的关系，其DFT 系数X （k ）与X （z ）的关系。

答： （1）x （n ）的z 变与傅里叶变换的关系为()()ωωj e Z e X z X j == （2）x （n ）的DFT 与其z 变换的关系为()()K X z X k N j K N e w Z ===- 2 π4.设x （n ）为有限长实序列，其DFT 系数X （k ）的模)(k X 和幅角arg[X （k ）]各有什么特点？答：有限长实序列x （n ）的DFT 之模()k x 和幅角[])(arg k X 具有如下的性质：（1）)(k X 在0-2π之间具有偶对称性质，即)()(k N X k X -=（2）[])(arg k x 具有奇对称性质，即[]()[]k N X k X --=arg )(arg5.欲使一个FIR 数字滤波器具有线性相位，其单位取样响应)(n h 应具有什么特性？具有线性相位的FIR 数字滤器系统函数的零点在复平面的分布具有什么特点？答：要使用FIR具有线性相位，其h（n）应具有偶对称或奇对称性质，即h(n)=h(N-n-1)或h(n)=-h(N-n-1)。