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（ = ∑ h (m )x ((n - m )) (0 ≤ n < N )y (n ) = [h (n )⊗ x (n )] = ∑ y '(n - rN )⎪G (n )⎝ r =-∞ ⎭N循环卷积与线性卷积的实现一、 实验目的：1）进一步理解并掌握循环卷积与线性卷积的概念。
（2）理解掌握二者的关系。
三、实验原理两个序列的 N 点循环卷积定义为[h (n )⊗ x (n )] NN -1Nk =0从定义中可以看到，循环卷积和线性卷积的不同之处在于：两个N 点序列的 N 点循环卷积的结果仍为 N 点序列，而他们的线性卷积的结果的长度则为 2N -1；循环卷积对序列的移位采取循环移位，而线性卷积对序列采取线性位移。
正式这些不同，导致了线性卷积和循环卷积有不同的结果和性质。
循环卷积和线性卷积虽然是不用的概念，但是它们之间有一个有意义的公式联系在一起⎛ ∞ ⎫N其中 y '(n ) = h (n )* x (n )也就是说，两个序列的 N 点循环卷积是他们的线性卷积以 N 为周期的周期延阔。
设序列 h (n )的长度为 N ,序列 x (n )的长度为 N ，此时， 1 2线性卷积结果的序列的点数为 N ' = N + N - 1;因此如果循环卷积的点 1 2数 N 小于 N + N - 1 ，那么上述周期性延阔的结果就会产生混叠，从 1 2而两种卷积会有不同的结果。
而如果 N 满足 N = N ' 的条件，就会有y (n ) = y '(n )( ≤ n < N )这就会意味着在时域不会产生混叠。
因此，我们得出结论：若通过在序列的末尾填充适当的零值，使得x(n)和h(n)成为N+N-1店序12列，并作出这两个序列的N+N-1循环卷积与线性卷积的结果在120≤n<N范围内相同。
根据DFT循环卷积性质中的卷积定理}=DFT[x(n)]•DFT[h(n)]DFT{[h(n)⊗x(n)]N便可通过两种方法求两个序列的循环卷积：一是直接根据定义计算；二是根据性质先分别求两个序列的N点DFT，并相乘，然后取IDFT 以得到循环卷积。
《数字信号处理》中几种卷积教学探讨线性卷积，周期卷积和循环卷积是《数字信号处理》中的难点和重点。
阐述了这三种卷积的概念及相互联系，将线性卷积和循环卷积联系起来，利用循环卷积的计算速度解决线性卷积表达的实际问题，并在matlab上验证了循环卷积的运算速度优势，有助于学生理解并掌握卷积的物理意义和使用方法。
标签：数字信号处理；线性卷积；循环卷积；MatlabG41前言线性卷积，周期卷积和循环卷积在《数字信号处理》的时域分析中起着重要作用，是《数字信号处理》的一个重要知识点，也是该课程的一个难点。
一般教学中容易存在以下三个方面的问题：（1）由于该知识点数学性比较强，学生难以完全听懂，教学效果不好。
（2）几种卷积概念比较抽象，即使上课能听懂，而让学生自己动手求解却又不知从何下手。
（3）理解这几种卷积的物理意义和关系非常有必要，而学生难以将这几种卷积前后衔接，融会贯通。
本文从这几种卷积的定义出发，分析其概念及联系，探讨其教学方法，促进学生对该知识点的理解和掌握。
2线性卷积、周期卷积及循环卷积的定义信号通过线性时不变系统的输出为信号与系统函数的线性卷积。
所以线性卷积反映了线性系统对输入信号的作用方式，是线性系统分析与设计的基础，它广泛地应用于通信、控制、信号处理等领域中。
线性卷积的定义如下：yL（n）=∞k=-∞x（k）h（n-k）=x（n）*h（n）（1）线性卷积对参与卷积的两个序列长度无要求。
虽说表达式中卷积的求和范围为-∞到+∞，实际中的求和范围根据序列长度有关。
设序列x（n）长度为M，h （n）的长度为N，求和变量k的取值范围取决于x（k）和h（n-k）的长度和取值范围，并且最后得到的卷积结果即序列yL（n）的长度取决于x（n）和h（n）的长度和取值范围，所以该线性卷积的长度M+N-1。
由于计算机的发展，连续信号离散化为数字信号并由计算机处理是技术发展的必然。
在离散情况下，由于离散傅里叶变换隐含的周期性，因而引入了周期卷积和循环卷积。
第一部分 卷积【目的】1．加深理解卷积的重要作用，更好的利用卷积进行数字信号处理。
2．掌握循环卷积和线性卷积两者之间的关系。
【原理】卷积的定义：()()()()τττd t f f t f t f t -=*=⎰∞∞-2121)(g对于离散序列，则有：∑+∞-∞=-==m m n h m x n h n x n y )()()(*)()(当h(n)，x(n)是一个长度为N 的序列，则有：()()()()()m n x m h n x n h n nm -+=*=∑=1y 1；当h(k)的长度为K ，x(m)长度为M ，且M K ≠时，则为：()()()()()k n x k h m x k h n k-+=*=∑1y ；其中k 的取值范围为：[max(1,n+1-M),min(n,K)]，其中n 范围为[1,K+M-1];在高等数学中，函数f （x ）的积分dx x f ⎰∞∞-)(的图形解释就是曲线f （x ）与x 轴之间所包围的面积的代数和。
卷积也是积分，因此与一般积分相似，具有求曲线与横轴间所包围面积的含义。
但是被积函数是()()ττ-t f f 21，且卷积是对变量τ进行积分，因此卷积的结果()t g 是一个时间变量t 的函数。
两函数卷积就是把其中一个函数沿纵轴反转，然后再把反转后的图形向右平移t ，求出该时刻二图形乘积所形成的曲线下的面积，就是该时刻的卷积值。
随着t 值不断增大，反转后的曲线不断向右平移，就可以得到t 为任意值时的卷积值。
离散卷积的编程思想与此类同，将一个序列反转，然后求m 不同时各采样点的乘积的和。
【示例】鉴于卷积程序是数字处理的第一次实验，只给出卷积的一个简单示例程序，也可参考Matlab 库文件中的conv.m 文件。
示例程序如下：function y=conn(x1,x2) %conn 函数实现输入序列x1和x2的循环卷积,fn 为输出序列 L=length(x1); %定义输入x1序列的长度M=length(x2); %定义输入x2序列的长度 for n=1:L+M-1y(n)=0; for m=1:M k=n-m+1;if (k>=1&k<=L)y(n)=y(n)+x2(m)*x1(k); %将x1反转与x2对应相乘，并求和 end end end此程序调用格式为y=conn(x,h)输入两个数据长度相同的数据，调用此函数即可。
循环卷积与线性卷积的实现一、实验目的（1）进一步理解并掌握循环卷积与线性卷积的概念。
（2）理解掌握二者的关系。
二、实验原理两个序列的N 点循环卷积定义为[h(n)○*x(n)]N =∑-=10k N h(m)x((n-m))N N)n 0(<≤从定义中可以看到，循环卷积和线性卷积的不同之处在于：两个N 点序列的N 点循环卷积的结果仍为N 点序列，而它们的线性卷积的结果长度则为2N-1；循环卷积对序列的移位采取循环移位，而线性卷积对序列采取线性移位。
正是这些不同，导致了线性卷积和循环卷积有不同的结果和性质。
循环卷积和线性卷积虽然是不同的概念，但是它们之间有一个有意义的公式联系在一起y(n)=[h(n)○*x(n)]N =(∑∞-∞=r 'y (n-rN))G N (n)其中'y (n)=h(n)*x(n)。
也就是说，两个序列的N 点循环卷积是它们的线性卷积以N 为周期的周期延拓。
设序列h(n)的长度为N 1，序列x(n)的长度为N 2，此时，线性卷积结果的序列的点数为'N =N 1+N 2-1；因此如果循环卷积的点数N 小于N 1+N 2-1，那么上述周期性延拓的结果就会产生混叠，从而两种卷积会有不同的结果。
而如果N 满足'N N =的条件，就会有)n ('y )n (y = （N <≤n 0）这就意味着在时域不会产生混叠。
因此我们得出结论：若通过在序列的末尾填充适当的零值，使得x(n)和h(n)成为N 1+N 2-1点序列，并作出这两个序列的N 1+N 2-1循环卷积，那么循环卷积与线性卷积的结果在N <≤n 0范围内相同。
根据DFT 循环卷积性质中的卷积定理DFT{[h(n)○*x(n)]N }=DFT[x(n)]∙DET[h(n)] 便可通过两种方法求两个序列的循环卷积：一是直接根据定义计算；二是根据性质先分别求两个序列的N 点DFT ，并相乘，然后取IDFT 以得到循环卷积。
数字信号处理实验报告黎美琪 201300800610 13通信2实验一名称：周期卷积、循环卷积和线性卷积比较 一、实验目的1.理解周期卷积、循环卷积、线性卷积的定义2.用图像显示上述几种卷积并对其进行直观的比较 二、实验步骤 自行设定：）它们的线性卷积（）求它们的循环卷积（求它们的周期卷积（两个有限长序列3)8(2)8)1(2012,81,1129,1)(,2012,81,0129,8)(21==⎩⎨⎧≤≤≤≤-≤≤=⎩⎨⎧≤≤≤≤≤≤-=N N n n n n x n n n n n x实验代码：（大部分语句为图像显示处理）%循环卷积&线性卷积&周期卷积 %%线性卷积 figure(1);set(gcf, 'color', 'w')%将图的背景设置为白色x1=[zeros(1,8),[1:4],zeros(1,4),zeros(1,8)];%原有限长序列x1（n ） x2=[zeros(1,8),ones(1,4),zeros(1,4),zeros(1,8)] ; %原有限长序列x2（n ） L=length(x1)%长度L M=length(x2)%长度My1=conv(x1,x2) %线性卷积 subplot(311) stem(x1);title('有限长序列x1（n ）') axis([1 L 0 5]) subplot(312) stem(x2);title('有限长序列x2（n ）') axis([1 M 0 1]) subplot(313) stem(y1);grid on ; title('线性卷积')axis([1 L+M-1 0 11]) %%循环卷积(圆周卷积) figure(2);set(gcf, 'color', 'w')%将图的背景设置为白色%x11=[[1:4],zeros(1,4),[1:4],zeros(1,4),[1:4],zeros(1,4)];x11=[[1:4],zeros(1,2),[1:4],zeros(1,2),[1:4],zeros(1,2),[1:4],zeros(1,2)];y2=conv(x2,x11)P=length(x22)%长度Psubplot(311);stem(x11);title('有限长序列x1的周期延拓x11（n）')axis([1 L 0 5])subplot(312)stem(x2);title('有限长序列x2（n）')axis([1 M 0 1])subplot(313)stem(y2);grid on;title('循环卷积')axis([1 P+M-1 0 11])%%周期卷积figure(3);set(gcf, 'color', 'w')%将图的背景设置为白色x22=[ones(1,4),zeros(1,4),ones(1,4),zeros(1,4),ones(1,4),zeros(1,4)]; y2=conv(x1,x22)Q=length(x22)%长度Qsubplot(311)%stem(x11);stem(x11);%title('有限长序列x1（n）')title('有限长序列x1的周期延拓x11（n）')axis([1 L 0 5])subplot(312);stem(x22);title('有限长序列x2的周期延拓x2（n）')axis([1 Q 0 1])subplot(313)stem(y2);grid on;title('周期卷积')%axis([1 L+Q-1 0 15])axis([1 P+Q-1 0 11])(一)线性卷积1.线性卷积步骤1）将序列x2（n）翻褶2）平行向右移位3）被卷积两序列对应序号值相乘，再相加X2(-m)00001111X2(1-m)0000111 1 Y(8)=1X2(2-m)000011 11 Y(9)=3X2(3-m)00001 111 Y(10)=6X2(4-m)0000 1111 Y(11)=10X2(5-m)000 01111 Y(12)=9X26-m)00 001111 Y(13)=7X2(7-m) 0 0001111 Y(14)=4X2(8-m) 00001111 Y(15)=0X2(9-m) 0000111 1 Y(6)=0X2(10-m) 000011 11 Y(17)=0X2(11-m) 00001 111 Y(18)=0X2(12-m) 0000 1111 Y(19)=0X2(13-m) 000 01111 Y(20)=0X2(14-m) 00 001111 Y(21)=0X2(15-m) 0 0001111 Y(22)=0注意：为方便比较几种不同卷积的结果，设定的序列的初始位置在n=9。
卷积和循环矩阵介绍在信号处理和机器学习领域，卷积和循环矩阵是两个重要的概念。
它们在处理时域信号和时间序列数据时发挥着重要的作用。
本文将探讨卷积和循环矩阵的定义、性质以及在信号处理和机器学习中的应用。
卷积矩阵的定义与性质定义卷积矩阵是一种特殊的方阵，用于描述线性时不变系统对输入信号的响应。
卷积矩阵的大小与输入信号的长度相关。
性质1.卷积矩阵是一个对称矩阵，因为输入信号在时域上满足交换律。
2.卷积矩阵的主对角线上的元素表示系统的冲击响应。
3.卷积矩阵可以通过矩阵乘法运算来实现卷积操作。
循环矩阵的定义与性质定义循环矩阵是一种特殊的方阵，其具有循环对称性质。
循环矩阵的每一行元素都是原始向量向右循环移位得到的。
性质1.循环矩阵的特征值与其第一列的离散傅里叶变换频谱相关。
2.循环矩阵与傅里叶变换之间存在密切的联系。
3.循环矩阵可以通过矩阵乘法运算来实现循环卷积操作。
卷积和循环矩阵在信号处理中的应用时域滤波卷积矩阵可以用于时域滤波，通过与输入信号的卷积得到输出信号。
在图像处理领域，卷积矩阵通常用于图像的平滑、锐化、边缘检测等操作。
频域滤波循环矩阵可以用于频域滤波，通过与输入信号的循环卷积得到输出信号。
在信号处理领域，频域滤波通常用于降噪、去除干扰等应用。
信号压缩卷积矩阵和循环矩阵在信号压缩中也有广泛的应用。
通过适当选择卷积矩阵或循环矩阵，可以将信号表示为更紧凑的形式，从而实现信号的压缩和重构。
语音识别卷积和循环矩阵在语音信号处理中有重要的应用。
语音信号通常被表示为时间序列数据，可以使用卷积和循环矩阵进行特征提取和分类，从而实现语音识别任务。
卷积和循环矩阵在机器学习中的应用卷积神经网络卷积神经网络（CNN）是一种使用卷积层和池化层来提取特征的深度学习模型。
卷积层中使用了卷积操作，可以通过卷积矩阵来实现。
循环神经网络循环神经网络（RNN）是一种具有记忆性的深度学习模型。
循环层中使用了循环操作，可以通过循环矩阵来实现。
实验五 线性卷积与循环卷积的计算一、实验目的1、进一步加深对线性卷积的理解和分析能力；2、通过编程，上机调试程序，进一步增强使用计算机解决问题的能力；3、掌握线性卷积与循环卷积软件实现的方法，并验证二者之间的关系。
二、实验原理1、线性卷积线性时不变系统（Linear Time-Invariant System, or L. T. I 系统）输入、输出间的关系为：当系统输入序列为)(n x ，系统的单位脉冲响应为)(n h ，输出序列为)(n y ，则系统输出为：∑∞-∞==-=m n h n x m n h m x n y )(*)()()()(或∑+∞-∞==-=m n x n h m n x m h n y )(*)()()()(上式称为离散卷积或线性卷积。
图6.1示出线性时不变系统的输入、输出关系。
)(n δ→ L. T. I —→)(n h —→ —→图6.1 线性时不变系统的输入、输出关系2、循环卷积设两个有限长序列)(1n x 和)(2n x ，均为N 点长)(1n x )(1k X)(2n x )(2k X 如果)()()(213k X k X k X ⋅=则 )()(~)(~)(10213n R m n x m x n x N N m ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∑-=[]∑---=1021)()(N m N m n x m x)(1n x =N 10)(2-≤≤N n n x上式称为循环卷积或圆周卷积)(n xL. T. I h(n)∑+∞-∞=-=m m n h m x n y )()()(D F T D F T注：)(~1n x 为)(1n x 序列的周期化序列；)()(~1n R n x N 为)(~1n x 的主值序列。
上机编程计算时，)(3n x 可表示如下：∑∑-+==-++-=11210213)()()()()(N n m nm m n N xm x m n x m x n x3、两个有限长序列的线性卷积序列)(1n x 为L 点长，序列)(2n x 为P 点长，)(3n x 为这两个序列的线性卷积，则)(3n x 为∑+∞-∞=-=m m n xm x n x )()()(213且线性卷积)(3n x 的最大长1-+P L ，也就是说当1-≤n 和1-+≥P L n 时0)(3=n x 。
实验五 线性卷积与循环卷积的计算一、实验目的1、进一步加深对线性卷积的理解和分析能力；2、通过编程，上机调试程序，进一步增强使用计算机解决问题的能力；3、掌握线性卷积与循环卷积软件实现的方法，并验证二者之间的关系。
二、实验原理1、线性卷积线性时不变系统（Linear Time-Invariant System, or L. T. I 系统）输入、输出间的关系为：当系统输入序列为)(n x ，系统的单位脉冲响应为)(n h ，输出序列为)(n y ，则系统输出为：∑∞-∞==-=m n h n x m n h m x n y )(*)()()()(或∑+∞-∞==-=m n x n h m n x m h n y )(*)()()()(上式称为离散卷积或线性卷积。
图6.1示出线性时不变系统的输入、输出关系。
)(n δ→ L. T. I —→)(n h —→ —→图6.1 线性时不变系统的输入、输出关系2、循环卷积设两个有限长序列)(1n x 和)(2n x ，均为N 点长)(1n x )(1k X )(2n x )(2k X 如果)()()(213k X k X k X ⋅=则 )()(~)(~)(10213n R m n x m x n x N N m ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∑-=[]∑---=1021)()(N m N m n x m x)(1n x =N 10)(2-≤≤N n n x上式称为循环卷积或圆周卷积)(n x L. T. I h(n)∑+∞-∞=-=m m n h m x n y )()()(D F T D F T注：)(~1n x 为)(1n x 序列的周期化序列；)()(~1n R n x N 为)(~1n x 的主值序列。
上机编程计算时，)(3n x 可表示如下：∑∑-+==-++-=11210213)()()()()(N n m nm m n N xm x m n x m x n x3、两个有限长序列的线性卷积序列)(1n x 为L 点长，序列)(2n x 为P 点长，)(3n x 为这两个序列的线性卷积，则)(3n x 为∑+∞-∞=-=m m n xm x n x )()()(213且线性卷积)(3n x 的最大长1-+P L ，也就是说当1-≤n 和1-+≥P L n 时0)(3=n x 。
