循环卷积与线性卷积的matlab实现

循环卷积与线性卷积的实现1、实验目的：（1）进一步理解并掌握循环卷积与线性卷积的概念。

（2）理解掌握二者的关系。

三、实验原理两个序列的N点循环卷积定义为从定义中可以看到，循环卷积和线性卷积的不同之处在于：两个N 点序列的N点循环卷积的结果仍为N点序列，而他们的线性卷积的结果的长度则为2N-1；循环卷积对序列的移位采取循环移位，而线性卷积对序列采取线性位移。

正式这些不同，导致了线性卷积和循环卷积有不同的结果和性质。

循环卷积和线性卷积虽然是不用的概念，但是它们之间有一个有意义的公式联系在一起其中也就是说，两个序列的N点循环卷积是他们的线性卷积以N为周期的周期延阔。

设序列的长度为,序列的长度为，此时，线性卷积结果的序列的点数为;因此如果循环卷积的点数N小于，那么上述周期性延阔的结果就会产生混叠，从而两种卷积会有不同的结果。

而如果N满足的条件，就会有这就会意味着在时域不会产生混叠。

因此，我们得出结论：若通过在序列的末尾填充适当的零值，使得和成为店序列，并作出这两个序列的循环卷积与线性卷积的结果在范围内相同。

根据DFT循环卷积性质中的卷积定理便可通过两种方法求两个序列的循环卷积：一是直接根据定义计算；二是根据性质先分别求两个序列的N点DFT，并相乘，然后取IDFT以得到循环卷积。

第二种方法看起来要经过若干个步骤，但由于求序列的DFT和IDFT都有快速算法，因此它的效率比第一种方法要高得多。

同样，根据线性卷积和循环卷积的关系，可以通过计算循环卷积以求得线性卷积，提高计算序列线性卷积的效率。

4、实验内容输入程序序列如下：n=[0:1:4];m=[0:1:3];x1=1+n;x2=4-m; %生成函数x1和x2L1=length(x1)-1;L2=length(x2)-1; %取函数的长度y1=conv(x1,x2); %直接用函数conv计算线性卷积n1=[0:1:L1+L2];subplot(3,1,1);stem(n1,y1) %绘制线性卷积图形xlabel('n');ylabel('y(n)'); %标注x、y轴N2=5; %求5点圆卷积if length(x1)>N2error('N必须大于序列x1的长度')endif length(x2)>N2error('N必须大于序列x2的长度')end %以上语句判断两个序列的长度是否小于N X21=fft(x1,N2); %作序列1的FFTX22=fft(x2,N2); %作序列2的FFTy2=ifft(X21.*X22); %求两序列的循环卷积（时域）n2=[0:1:N2-1];subplot(3,1,2);stem(n2,y2) %绘制两序列循环卷积图形axis([0,7,0,40]) %修改x、y轴长度N3=8if length(x1)>N3error('N必须大于序列x1的长度')endif length(x2)>N3error('N必须大于序列x2的长度')endx31=[x1,zeros(1,N3-length(x1))]x32=[x2,zeros(1,N3-length(x2))]X31=fft(x31)X32=fft(x32)y3=ifft(X31.*X32)n3=[0:1:N3-1]subplot(3,1,3);stem(n3,y3)将程序输入MATLAB运行结果如下：MATLAB运行显示的图形为：五、实验心得：本次实验对我意义很大，让我熟练的运用了matlab软件。

[Matlab]线性卷积圆周卷积代码实现1、线性卷积周期卷积圆周卷积的关系：2、Matlab实验及现象圆周卷积：1 %% 圆周卷积实例程序2 %% Alimy 2014年11⽉21⽇20:19:123 clc;4 clear;5 %%准备数据6 N = 5;7 M = 5;8 L = N + M -1;9 x1n = [1,2,3,4,5];10 x2n = [1,5,9,7,3];11 kn_x1 = 0:1:N-1;12 kn_x2 = 0:1:M-1;13 kn_y = 0:1:L-1;14 %%画原始有限长序列15 subplot(4,2,1);16 stem(kn_x1,x1n);17 xlabel('n','FontSize',15);18 ylabel('x1n','FontSize',15);19 subplot(4,2,2);20 stem(kn_x2,x2n);21 xlabel('n','FontSize',15);22 ylabel('x2n','FontSize',15);2324 x1n_t = [x1n, zeros(1,L-N)]; %%补零25 x2n_t = [x2n, zeros(1,L-M)];26 kn_x1t = 0:1:(N+M-1)-1;27 kn_x2t = 0:1:(N+M-1)-1;28 %%画补0后序列29 subplot(4,2,3);30 stem(kn_x1t,x1n_t);31 xlabel('n','FontSize',15);32 ylabel('x1n补0后','FontSize',15);33 subplot(4,2,4);34 stem(kn_x2t,x2n_t);35 xlabel('n','FontSize',15);36 ylabel('x2n补0后','FontSize',10);3738 x1n_t = [x1n_t,x1n_t,x1n_t,x1n_t]; %沿拓39 x1n_t = fliplr(x1n_t); %翻转40 [x1t_x,x1t_y] = size(x1n_t);41 x1t_numbers = x1t_x * x1t_y;42 kn_x1t = -17:1:18;43 %%画沿拓翻转后的周期序列44 subplot(4,2,5);45 stem(kn_x1t,x1n_t);46 xlabel('t','FontSize',15);47 ylabel('x1n_t补0后再沿拓翻转后','FontSize',10);4849 x2n_t = [zeros(1,L),zeros(1,L),x2n_t,zeros(1,L)];50 kn_x2t = -18:1:17;51 subplot(4,2,6);52 stem(kn_x2t,x2n_t);53 xlabel('t','FontSize',15);54 ylabel('x2n_t补0后沿拓翻转后','FontSize',15);555657 %% 乘加移位58 yn = zeros(1,2*L);59for I = 1:1:1860 x1n_t = circshift(x1n_t,[0,1]);61 yn(I) = x2n_t*x1n_t';62 end6364 kn_yn = 0:1:2*(N+M-1)-1;65 subplot(4,2,7);66 stem(kn_yn,yn);67 xlabel('n','FontSize',15);68 ylabel('圆周卷积结果','FontSize',15);6970 %%取主值序列71 ynmain = zeros(1,L);72for I = 1:1:973 ynmain(I) = yn(I);74 end75 kn_ynm = 0:1:8;76 subplot(4,2,8);77 stem(kn_ynm,ynmain)78 xlabel('n','FontSize',15);79 ylabel('主值序列','FontSize',15);8081 %%cycleConv.m线性卷积：1 %% 线性卷积2 clc;3 clear;4 %%5 N = 5;6 M = 5;7 L = N + M - 1;8 x1n = [1,2,3,4,5];9 kx1 = 0:1:N-1;10 x2n = [1,5,9,7,3];11 kx2 = 0:1:M-1;1213 %% 线性卷积14 yn = conv(x1n,x2n);15 kyn = kx1(1)+kx2(1):1:kx1(end)+kx2(end); % 0:1:(N+M-1)-11617 %% 循环卷积 To do 2014年11⽉20⽇ 15:25:36 循环卷积怎么做1819 %% 画图20 subplot(2,2,1);21 stem(kx1,x1n);22 xlabel('n');23 ylabel('x1n');24 title('信号1');2526 subplot(2,2,2);27 stem(kx2,x2n);28 xlabel('n');29 ylabel('x1n');30 title('信号2');3132 subplot(2,2,3);33 stem(kyn,yn);34 xlabel('n');35 ylabel('yn');36 title('线性卷积结果');37 yn %% 1 7 22 44 69 88 82 47 15 linConv.m结果如下：当 L = N + M -1时，圆周卷积和线性卷积的结果⼀致：yn =1 7 22 44 69 88 82 47 15圆周卷积：线性卷积：。

编号：数字信号处理实训 (论文)说明书题目：用matlab实现两信号的卷积院（系）：应用科技学院专业：电子信息工程学生姓名：***学号： ********** 指导教师：严素清童有为纪元法2011 年 6 月29日摘要本文讲述的是运用matlab软件编写线性卷积和循环卷积，运行程序并得到正确结果，附上运行结果图让大家参照对比。

MATLAB是一款在数学类科技应用软件中特别是在数值计算方面首屈一指的软件，它可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接其他编程语言的程序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域。

而线性卷积和循环卷积在工程上的应用亦非常广泛，在Matlab软件处理下，实现任意两个序列的线性和循环卷积对于工程上的辅助是相当重要的。

卷积关系最重要的一种情况，就是在信号与线性系统或数字信号处理中的卷积定理。

利用该定理，可以将时间域或空间域中的卷积运算等价为频率域的相乘运算，从而利用FFT等快速算法，实现有效的计算，节省运算代价。

本文从线性卷积和循环的定义出发，分析其运算原理以及相关的公式、程序，着重介绍并分析了卷积的运算过程，让大家明白什么是卷积。

程序运行之后得到正确的结果，将运行后正确的波形图图放在本次论文中让大家直观的做比较。

关键词：Matlab；线性卷积；循环卷积；波形图；正确AbstractThis is about using matlab software linear convolution and cyclic convolution, operation procedure and get the right result, enclosed operation result diagram let everybody reference MATLAB is a type of technology in applications of mathematics, especially in numerical calculation of the leading software, which can be matrix calculation, and data mapping function, the realization of algorithms, creation of user interface, connected to other procedures, such as programming languages, the main application in engineering computing, control design, signal processing and communications, image processing, signal detection, financial modeling in areas such as design and analysis. And linear convolution in the application of engineering has a very wide range of software in Matlab, the realization of any two sequences of linear convolution support for projects is very important. Convolution relationship between the most important case, that is linear in the signal and digital signal processing system or the convolution theorem. Use of the theorem can be time-domain or space domain to the convolution operation in frequency domain equivalent of the multiplication operation, thus the use of FFT and other fast algorithms, the calculation of effective, cost-saving operation.From linear convolution and circulation of the definition, analyzes its operation principle and relevant formula, procedures, and emphatically introduces and analyses the convolution operation process, let everyone know what convolution. After the program is running properly after operation, the results will be put on the right of the waveform Desmond tutu paper let everybody intuitive to compare.Key words：Matlab；Linear convolution；Circular convolution；Sequence；Wave；Right目录引言 (1)1 MATLAB软件简介 (1)1.1 MATLAB的优势 (1)1.2 MATLAB的组成 (3)2 卷积分析 (3)2.1 卷积的定义 (3)2.2 线性卷积的运算 (4)2.3 循环卷积的运算 (5)3 MATLAB设计线性卷积 (5)3.1 线性卷积的分析 (5)3.2 线性卷积的设计流程图 (6)3.3 线性卷积的MATLAB设计源程序 (6)4 MATLAB设计循环卷积 (8)4.1 循环卷积的分析 (8)4.2 根据循环卷积分析设计流程图 (8)4.3 根据循环卷积流程图设计matlab源代码 (10)5 总结 (11)谢辞 (12)参考文献 (13)引言在泛函分析中，卷积(卷积)、旋积或摺积(英语：Convolution)是通过两个函数f和g生成第三个函数的一种数学算子，表徵函数f与经过翻转和平移与g 的重叠部分的累积。

北京邮电大学实验报告实验名称：用MATLAB实现线性卷积运算学院：信息与通信工程学院班级：姓名：学号：日期：2018年5月一、实验原理1、算法产生背景DFT 是连续傅里叶变换在时域和频域上都离散的形式，将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换频域的采样。

在形式上，变换两端<时域和频域上）的序列是有限长的。

DFT 具备明确且合理的物理含义，适合应用于数字系统，同时可以方便地由计算机进行运算。

对于线性非移变离散系统，可由线性卷积表示时域输入输出关系，即(> (>*(> ynxnhn通常采用循环卷积降低运算量，但实际中往往无法满足对信号处理的实时性要求。

因此，产生了重叠相加法和重叠保留法两种典型的算法，用以快速计算线性卷积，成为了DFT 的一个重要应用。

2、算法基本思想1）重叠相加法重叠相加法是将待过滤的信号分割成长为N 的若干段，如图1 所示，每一段都可以和有限时宽单位取样响应作卷积，再将过滤后的各段重叠相加。

具体算法实现原理如图2 所示，建立缓存序列，每次输入N 点序列，通过计算x(n> 和h(n> 的循环卷积实现线性卷积运算，将缓存的M-1 点序列和卷积结果相加，并输出前N 点作为计算结果，同时缓存后M-1 点，如此循环，直至所有分段计算完毕，则输出序列y(n>为最终计算结果。

2）重叠保留法重叠保留法相当于将x�l(n>和h(�n>作循环卷积，然后找出循环卷积中相当于线性卷积的部分。

在这种情况下，将序列y(n>分为长为N的若干段(如图3所示>，每个输入段和前一段有M-1个重叠点。

此时只需要将发生重叠的前M-1个点舍去，保留重叠的部分并输出，则可获得序列y(n>，算法如图4所示。

二、流程图设计1、重叠相加法2、重叠保留法三、MATLAB源代码1、重叠相加源码2.重叠保留源码2、四、实验结果与分析对两种算法采用同一序列进行测试分析。

实验四-使用m a t l a b实现卷积的运算(总5页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-实验四 使用matlab 实现卷积的运算一 实验目的1、学习MATLAB 语言的编程方法及熟悉MATLAB 指令； 2、深刻理解卷积运算，利用离散卷积实现连续卷积运算； 二 实验内容1、 完成)(1t f 与)(2t f 两函数的卷积运算其中：)4()()(),()(221--==-t u t u t f t u e t f t 在一个图形窗口中，画出)(1t f 、)(2t f 以及卷积结果。

要求每个坐标系有标题、坐标轴名称。

p = ; %定义时间间隔t= 0:p:10;%定义时间向量f1=exp(-2*t).*u(t); %将f （t ）表示出来f2=u(t)-u(t-4);f=conv(f1,f2);subplot(1,2,1);plot(t,f1,t,f2); title('f1=e^-2t*u(t)'' / ''f2=u(t)-u(t-4)');xlabel('t(sec)'); % 这行代码是给出x 坐标的标签ylabel('f(t)');grid on ；subplot(1,2,2);plot(f); title('f=f1*f2');xlabel('t(sec)'); % 这行代码是给出x 坐标的标签ylabel('f')grid on2、 若系统模型为：)(3)()(4)(4)(''''t f t f t y t y t y +=++ 其中 )()(t u e t f t -=求零状态响应，画出波形（函数本身画出一幅图，自己再画出一幅输入波形图）。

零状态响应:a= [1 4 4]; %将y （t ）各阶导数的系数放在向量a 中b= [1 3]; %将f （t ）各阶导数的系数放在向量b 中sys = tf(b, a); %求系统函数systd = ; %定义时间间隔t = 0 : td : 10; %定义时间向量f = exp(-t).*u(t); %将f （t ）表示出来y = lsim(sys, f, t); %求系统的零状态响应yplot(t, y); %绘出零状态响应的波形xlabel('t(sec)'); % 这行代码是给出x 坐标的标签ylabel('y(t)'); % 这行代码是给出y 坐标的标签grid on输入波形图:a= [1 4 4]; %将y（t）各阶导数的系数放在向量a中b= [1 3]; %将f（t）各阶导数的系数放在向量b中sys = tf(b, a); %求系统函数systd = ; %定义时间间隔t = 0 : td : 10; %定义时间向量f = exp(-t).*u(t);plot(t,f);xlabel('t(sec)'); % 这行代码是给出x坐标的标签ylabel('f(t)');grid on三 实验原理：1、 离散卷积和：调用函数：conv （）∑∞-∞=-==i i k f i f f f conv S )()(1)2,1(为离散卷积和， 其中，f1(k), f2 (k) 为离散序列，K=…-2, -1, 0 , 1, 2, …。

线性卷积与循环卷积一、作品目的通过matlab的强大功能展示线性卷积和循环卷积过程中方方面面的计算和变化，让大家对这两种卷积有一个更加完美的认识。

二、概念简介卷积是一种典型的乘累加运算。

1.线性卷积线性卷积是对线性移不变（LSI）系统的输入输出关系的描述，体现系统的特性。

线性卷积的表达式为一般情况，现实的系统为因果系统，有k<0时，恒有h(k)=0，则若x(n)是一个N点序列，h(n)是一个m点序列，则卷积的结果y(n)将是L=N+M-1点的序列。

2.循环卷积设x1(n) 和x2(n) 是两个长度为L、M的有限长序列，它们的N 点循环卷积x3(n) 定义为：注意：其中N>=Max{L,M}如果其中一个序列(或者两个序列）的长度没有所求N点循环卷积的长度长，那在该序列后面补零，直到长度达到N。

三、设计思路及程序1. 线性卷积：（1）以输入序列x（n）=[5,4,3,2,1]，脉冲响应h（n）=[1,1,1,1]为列进行演示。

（2）计算输入序列和脉冲响应的长度。

（3）画出补零后的输入序列和脉冲响应（4）设计一个循环，在循环中实现反转、位移和计算。

并画出反转后的图像变化和卷积图像，将每一次移位结果保存为fig图。

（5）最后将上一步所生成的所有fig图合起来生成一张gif图程序展示：clear;clc;close all;(1)(2)xn=[5,4,3,2,1];M=length(xn);%输入任意序列并计算长度Mhn=[1,1,1,1];N=length(hn);%输入任意脉冲响应并计算长度Nm=[-(M-1):M+N-2];%设置代换变量的范围以便x(m)翻转和移位(3)xm=[zeros(1,M-1),xn,zeros(1,N-1)];%补零以便与m对应绘图subplot(2,2,1);stem(m,xm,'r.');%%绘输入序列x(m) ylabel('x(m)'); grid on;title('(a)输入序列x(m)');hm=[zeros(1,M-1),hn,zeros(1,M-1)];%补零以便与m对应绘图subplot(2,2,2);stem(m,hm,'r.');%绘脉冲响应ylabel('h(m)'),grid,title('(b)脉冲响应h(m)');%%加标签网格和标题yn=zeros(1,2*M+N-2);%卷积输出初始化(4)for n=0:M+N-2;%逐个计算卷积输出if n==0;xmfy=[fliplr(xn),zeros(1,M+N-2)];%实现翻转else for k=M:-1:1;xmfy(k+n)=xmfy(k+n-1);endxmfy(n)=0;xmfy;%实现翻转后移位并显示endsubplot(2,2,3);stem(m,xmfy,'b.');%%绘制翻转移位序列ylabel('x(n-m)'), grid,title('(c)x(n-m)');%%加标签网格和标题yn(M+n)=sum(xmfy.*hm);%计算第n位输出并与m位置对应subplot(2,2,4);stem(m,yn,'r.');%%绘制卷积输出序列axis([min(m),max(m),min([0,conv(xn,hn)]),max([0,c onv(xn,hn)])]);%%控制绘图坐标ylabel('y(n)');grid on；title('(d)卷积输出y(n)');%%加标签网格和标题pause(.5);drawnow,picname=[num2str(n) '.fig'];%保存的文件名：如i=1时，picname=1.fighold on % 写后面的字时，不把前面的字冲掉saveas(gcf,picname)endyn;stepall=M+N-2;（5）for i=1:stepallpicname=[num2str(i) '.fig'];open(picname)set(gcf,'outerposition',get(0,'screensize'));% matlab窗口最大化frame=getframe(gcf);im=frame2im(frame);%制作gif文件，图像必须是index索引图像[I,map]=rgb2ind(im,20);if i==1imwrite(I,map,'xianxingjuanji.gif','gif', 'Loopcount',inf,'DelayTime',0.5);elseif i==stepallimwrite(I,map,'xianxingjuanji.gif','gif','WriteMo de','append','DelayTime',0.5);elseimwrite(I,map,'xianxingjuanji.gif','gif','WriteMode','append','DelayTime',0.5); end;close allend实验结果展示：2. 循环卷积（1）以输入序列x（n）=[5,4,3,2,1]，脉冲响应h（n）=[1,1,1,1]为列进行演示。

线性卷积的FFT算法线性卷积是求离散系统响应的主要方法之一,许多重要应用都建立在这一理论基础上,如卷积滤波等。

以前曾讨论了用循环卷积计算线性卷积的方法归纳如下:将长为N2的序列x(n)延长到L,补L-N2个零将长为N1的序列h(n)延长到L,补L-N1个零如果L≥N1+N2-1,则循环卷积与线性卷积相等,此时,可有FFT计算线性卷积,方法如下:a.计算X(k)=FFT[x(n)]b.求H(k)=FFT[h(n)]c.求Y(k)=H(k)Y(k) k=0～L-1d.求y(n)=IFFT[Y(k)] n=0～L-1可见，只要进行二次FFT,一次IFFT就可完成线性卷积计算。

计算表明,L>32时,上述计算线性卷积的方法比直接计算线卷积有明显的优越性,因此,也称上述循环卷积方法为快速卷积法。

上述结论适用于x(n),h(n)两序列长度比较接近或相等的情况,如果x(n),h(n)长度相差较多,例如,h(n)为某滤波器的单位脉冲响应,长度有限,用来处理一个很长的输入信号x(n),或者处理一个连续不断的信号，按上述方法,h(n)要补许多零再进行计算,计算量有很大的浪费，或者根本不能实现。

为了保持快速卷积法的优越性,可将x(n)分为许多段后处理,每小段的长与h(n)接近,其处理方法有两种：(1)重叠相加法——由分段卷积的各段相加构成总的卷积输出假定xi(n)表示图中第i段x（n）序列：则输入序列可表为：于是输出可分解为：其中由此表明，只要将x（n）的每一段分别与h（n）卷积，然后再将这些卷积结果相加起来就可得到输出序列，这样，每一段的卷积都可用上面讨论的快速卷积来计算。

先对h（n）及xi（n）补零，补到具有N点长度，N=N1+N2-1。

一般选择N=2M，然后用基2 FFT算法通过正反变换计算y i （n）=xi（n）*h（n）由于yi （n）的长度为N，而xi（n）的长度为N2，因此相邻两yi（n）序列必然有N-N2=N1-1点发生重叠，这个重叠部分应该相加起来才能构成最后的输出序列。

一、实验目的1.利用MATLAB实现循环卷积。

2.比较循环卷积与线性卷积的区别。

二、实验条件PC机,MATLAB7.0三、实验内容1）循环卷积的定义：两个序列的N点循环卷积定义为：利用MATLAB实现两个序列的循环卷积可以分三个步骤完成：(1)初始化：确定循环点数N,测量输入2个序列的长度。

(2)循环右移函数：将序列x(n)循环右移,一共移N次（N为循环卷积的循环次数）,最后将每次循环成的新序列组成一个矩阵V。

(3)相乘：将x(n)移位后组成的矩阵V与第二个序列h(n)对应相乘,即得循环卷积结果。

程序如下：程序一：clear;close all;N=10;x1=[6 15 -6 3 5 7 0 1];x2=[7 1 2 9 4 3 20 6];xn1=length(x1);xxn1=0:xn1-1;xn2=length(x2);xxn2=0:xn2-1;subplot(3,1,1);stem(xxn1,x1);subplot(3,1,2);stem(xxn2,x2);x11=fft(x1,N);x12=fft(x2,N);y11=x11.*x12;y1=ifft(y11,N);subplot(3,1,3);n=0:length(y1)-1;stem(n,y1,'.');title('循环卷积的结果');xlabel('n');ylabel('y1(n)');运行后所得图形如下：观察所得的循环卷积结果发现并没有呈现周期性的序列,因此将程序做下列改变。

程序二：clear;close all;N=40;x1=[6 15 -6 3 5 7 0 1];x2=[7 1 2 9 4 3 20 6];x2=[x2,x2,x2,x2];xn1=length(x1);xxn1=0:xn1-1;xn2=length(x2);xxn2=0:xn2-1;subplot(3,1,1);stem(xxn1,x1);subplot(3,1,2);stem(xxn2,x2);x11=fft(x1,N);x12=fft(x2,N);y11=x11.*x12;y1=ifft(y11,N);subplot(3,1,3);n=0:length(y1)-1;stem(n,y1,'.');title('循环卷积的结果');xlabel('n');ylabel('y1(n)');从图中可以看出循环卷积的结果已经呈循环序列。

实验五 线性卷积与循环卷积的计算一、实验目的1、进一步加深对线性卷积的理解和分析能力；2、通过编程，上机调试程序，进一步增强使用计算机解决问题的能力；3、掌握线性卷积与循环卷积软件实现的方法，并验证二者之间的关系。

二、实验原理1、线性卷积线性时不变系统（Linear Time-Invariant System, or L. T. I 系统）输入、输出间的关系为：当系统输入序列为)(n x ，系统的单位脉冲响应为)(n h ，输出序列为)(n y ，则系统输出为：∑∞-∞==-=m n h n x m n h m x n y )(*)()()()(或∑+∞-∞==-=m n x n h m n x m h n y )(*)()()()(上式称为离散卷积或线性卷积。

图6.1示出线性时不变系统的输入、输出关系。

)(n δ→ L. T. I —→)(n h —→ —→图6.1 线性时不变系统的输入、输出关系2、循环卷积设两个有限长序列)(1n x 和)(2n x ，均为N 点长)(1n x )(1k X )(2n x )(2k X 如果)()()(213k X k X k X ⋅=则 )()(~)(~)(10213n R m n x m x n x N N m ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∑-=[]∑---=1021)()(N m N m n x m x)(1n x =N 10)(2-≤≤N n n x上式称为循环卷积或圆周卷积)(n x L. T. I h(n)∑+∞-∞=-=m m n h m x n y )()()(D F T D F T注：)(~1n x 为)(1n x 序列的周期化序列；)()(~1n R n x N 为)(~1n x 的主值序列。

上机编程计算时，)(3n x 可表示如下：∑∑-+==-++-=11210213)()()()()(N n m nm m n N xm x m n x m x n x3、两个有限长序列的线性卷积序列)(1n x 为L 点长，序列)(2n x 为P 点长，)(3n x 为这两个序列的线性卷积，则)(3n x 为∑+∞-∞=-=m m n xm x n x )()()(213且线性卷积)(3n x 的最大长1-+P L ，也就是说当1-≤n 和1-+≥P L n 时0)(3=n x 。

实验四 循环卷积和线性卷积的实现一、实验目的1.进一步了解并掌握循环卷积与线性卷积的概念2.掌握线性卷积与循环卷积软件实现的方法，理解掌握二者的关系 二、实例分析与计算 实验原理：两个序列的N 点循环卷积定义为)())(()()]()([N n m n x m h n x n h N k NN <≤-=⊗∑-=01从定义中可以看出，循环卷积和线性卷积的不同之处在于：两个N 点序列的N 点循环卷积的结果认为N 点序列，而它们的线性卷积的结果的长度则为2N-1；循环卷积对序列的移位采取循环移位，而线性卷积对序列采取线性移位。

圆卷积与线卷积结果完全不同，出现这种差异的实质是：线卷积过程中，经反褶再向右平移的序列，在左端将依次留出空位，而圆卷积过程中，经反褶做圆移的序列，向右移去的样值又从左端循环出现，这样就使两种情况下相乘、叠加所得之数值截然不同。

根据DFT 循环卷积性质中的卷积定理)]([)]([})]()({[n h DFT n x DFT n x n h DFT N ∙=⊗可通过两种方法求两个序列的循环卷积：一是直接根据定义计算；二是根据性质先分别求两个序列的N 点DFT ，并相乘，然后取IDFT 以得到循环卷积。

第二种方法看起来要经过若干个步骤，但由于求序列的DFT 和IDFT 都有快速算法，因此它的效率比第一种方法高得多。

已知有线长序列)(n x 如图题5-8所示，试画出（1）)(n x与)(n x的线卷积；（2）)(n x与)(n x的4点圆卷积；（3）)(n x与)(n x的10点圆卷积；（4）欲使)(n x与)(n x的圆卷积和线卷积相同，求长度L之最小值解:(1)线卷积m 0 1 2 3X(m) 0.5 1 1 0.5H(m) 0.5 0 0 0 y(0)=0.5x0.5=0.251 0.5 0 0 y(1)=1x0.5+1x0.5=11 1 0.5 0 y(2)=1x0.5+1x1+1x0.5=20.5 1 1 0.5 y(3)=0.5x0.5+1x1+1x1+0.5x0.5=2.50 0.5 1 1 y(4)=0.5x1+1x1+0.5x1=20 0 0.5 1 y(5)=0.5x1+0.5x1=10 0 0 0.5 y(6)=0.5x0.5=0.250 0 0 0 y(7)=0(2)44))((,))((n h n xm 0 1 2 3)(m x 0.5 1 1 0.5)(m h - 0.5 0.51 1y(0)=0.5x0.5+1x0.5+1x1+0.5x1=49m 0 1 2 3)(m x 0.5 1 10.5)(m h - 1 0.5 0.5 1y(1)=0.5x1+1x0.5+1x0.5+0.5x1=2m 0 1 2 3)(m x 0.5 1 1 0.5 )(m h - 1 1 0.50.5y(2)=0.5x1+1x1+1x0.5+0.5x0.5=49m 0 1 2 3)(m x 0.5 1 1 0.5 )(m h - 0.5 1 10.5y(3)=0.5x0.5+1x1+1x1+0.5x0.5=2.5(3)1010))((,))((n x n xm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9)(m x 0.5 1 1 0.5 0 0 0 0 0 0 )(m h - 0.5 0 00 0 0 0 0.5 1 1y(0)=0.5x0.5=0.25m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9)(m x 0.5 1 1 0.5 0 0 0 0 0 0 )(m h - 1 0.5 00 0 0 0 0 0.5 1y(1)=0.5x1+1x0.5=1m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9)(m x )(m h - 1 1 0.50 0 0 0 0 0 0.5y(2)=0.5x1+1x1+1x0.5=2m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9)(m x 0.5 1 1 0.5 0 0 0 0 0 0 )(m h - 0.5 1 10.5 0 0 0 0 0 0y(3)=0.5x0.5+1x1+1x1+0.5x0.5=2.5m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9)(m x 0.5 1 1 0.5 0 0 0 0 0 0 )(m h - 0 0.5 11 0.5 0 0 0 0 0y(4)=1x0.5+1x1+0.5x1=2m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9)(m x 0.5 1 1 0.5 0 0 0 0 0 0 )(m h - 0 0 0.51 1 0.5 0 0 0 0y(5)=1x0.5+0.5x1=1m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9)(m x 0.5 1 1 0.5 0 0 0 0 0 0 )(m h - 0 0 00.5 1 1 0.5 0 0 0y(6)=0.5x0.5=0.25m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9)(m x )(m h - 0 0 00 0.5 1 1 0.5 0 0y(7)=0m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9)(m x 0.5 1 1 0.5 0 0 0 0 0 0 )(m h - 0 0 00 0 0.5 1 1 0.5 0y(8)=0m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9)(m x 0.5 1 1 0.5 0 0 0 0 0 0 )(m h - 0 0 00 0 0 0.5 1 1 0.5y(9)=0 （4）L ≥M+N-1=4+4-1=7 所以L 的最小长度为7三、应用MATLAB 仿真所用程序实现如下：首先得有计算循环卷积的函数function y = circonv1(x1,x2,N)if length(x1)>Nerror('N must not be less than length of x1') endif length(x2)>Nerror('N must not be less than length of x2') endx1=[x1,zeros(1,N-length(x1))]; x2=[x2,zeros(1,N-length(x2))]; n=[0:1:N-1];x2=x2(mod(-n,N)+1); H=zeros(N,N);for n=1:1:NH(n,:)=cirshiftd(x2,n-1,N); endy=x1*H';function y=cirshiftd(x,m,N)% 输出序列含循环移位（y=Output sequence contains circular shift 。

线性卷积与循环卷积clccleara=[1 1 1 1 1];b=[1 1 ];c=[1,0.5];d=[1,0,0.5];ya=abs(fft(a,16));yb=abs(fft(b,16));yc=abs(fft(c,16));yd=abs(fft(d,16));figure(1)subplot(311)stem(yb)title('有限长序列b的16点离散傅里叶变换') subplot(312)stem(yc)title('有限长序列c的16点离散傅里叶变换') subplot(313)stem(yd)title('有限长序列d的16点离散傅里叶变换') %线性卷积line_ab=conv(a,b);%利用傅里叶变换的方法计算循环卷积fft_a1=fft(a,5);fft_b1=fft(b,5);cirab1=ifft(fft_a1.*fft_b1);fft_a2=fft(a,7);fft_b2=fft(b,7);cirab2=ifft(fft_a2.*fft_b2);%循环卷积的函数：cir_ab1=cconv(a,b,5);cir_ab2=cconv(a,b,7);figure(2)stem(line_ab)title('a,b的线性卷积')figure(3)subplot(211)stem(cirab1)title('利用傅里叶变换求a,b的5点循环卷积') subplot(212)stem(cir_ab1)title('利用函数直接求a,b的5点循环卷积') figure(4)subplot(211)stem(cirab2)title('利用傅里叶变换求a,b的7点循环卷积') subplot(212)stem(cir_ab2)title('利用函数直接求a,b的7点循环卷积')。