两直线位置关系复习

两直线的位置关系1．两直线的平行、垂直与其斜率的关系2.两直线的交点3．三种距离4.几种常见的直线系方程(1)平行于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程：Ax ＋By ＋λ＝0(λ≠C )． (2)垂直于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程：Bx －Ay ＋λ＝0.(3)过两条已知直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(不包括直线A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0)．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当直线l 1和l 2的斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( )(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．( )(4)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.( )(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√(教材习题改编)直线l 过点(－1，2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则直线l 的方程是( )A ．3x ＋2y －1＝0B ．3x ＋2y ＋7＝0C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0解析：选A.由题意知，直线l 的斜率是－32，因此直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.已知点(a ，2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( ) A ． 2 B ．2－ 2 C ．2－1D ．2＋1解析：选C.由题意知|a －2＋3|2＝1，所以|a ＋1|＝2，又a ＞0，所以a ＝2－1.(教材习题改编)已知直线l 1：ax ＋3y ＋1＝0，l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0互相平行，则实数a 的值是________．解析：由直线l 1与l 2平行，可得⎩⎪⎨⎪⎧a （a ＋1）＝2×3，a ·1≠2，解得a ＝－3.答案：－3若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋by ＝0相交于一点，则b ＝________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.将其代入x ＋by ＝0，得b ＝－12.答案：－12两条直线平行与垂直(1)(2019·金丽衢十二校高三联考)设两直线l 1：(3＋m )x ＋4y ＝5－3m 与l 2：2x＋(5＋m )y ＝8，则“l 1∥l 2”是“m ＜－1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程为________．【解析】 (1)若l 1∥l 2，则(3＋m )(5＋m )＝4×2⇒m ＝－1或－7，经检验，当m ＝－1时，l 1与l 2重合，所以m ＝－7，故是充分不必要条件，故选A.(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即P (0，2)．因为l ⊥l 3，所以直线l 的斜率k ＝－43，所以直线l 的方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.【答案】 (1)A (2)4x ＋3y －6＝0将本例(2)中条件“与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直”改为“与直线l 3：3x －4y ＋5＝0平行”，求此时直线l 的方程．解：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即P (0，2)． 因为l ∥l 3，所以直线l 的斜率k ＝34，所以直线l 的方程为y －2＝34x ，即3x －4y ＋8＝0.由一般式确定两直线位置关系的方法已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值． (1)l 1⊥l 2，且直线l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 解：(1)因为l 1⊥l 2，所以a (a －1)－b ＝0. 又因为直线l 1过点(－3，－1)， 所以－3a ＋b ＋4＝0.故a ＝2，b ＝2. (2)因为直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2， 所以直线l 1的斜率存在．所以a b＝1－a .① 又因为坐标原点到这两条直线的距离相等， 所以l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b .②联立①②可得a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.距离公式(高频考点)距离包括两点间、点到直线和两平行线间的距离．在高考中经常出现，试题难度不大．主要命题角度有：(1)求距离；(2)已知距离求参数值； (3)距离公式的综合应用．角度一 求距离已知A 、B 两点分别在两条互相垂直的直线2x －y ＝0和x ＋ay ＝0上，且线段AB的中点为P (0，10a)，则线段AB 的长为________．【解析】 依题意，a ＝2，P (0，5)，设A (x ，2x )、B (－2y ，y )，故⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝02x ＋y ＝10，则A (4，8)、B (－4，2)，所以|AB |＝（4＋4）2＋（8－2）2＝10. 【答案】 10角度二 已知距离求参数值(1)已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是( ) A ．[－10，10] B ．[－10，5] C ．[－5，5]D ．[0，10](2)若两平行直线3x －2y －1＝0，6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c 的值是________．【解析】 (1)由题意得，点P 到直线的距离为 |4×4－3·a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15， 解得0≤a ≤10，所以a 的取值范围是[0，10]． (2)依题意知，63＝a －2≠c－1，解得a ＝－4，c ≠－2，即直线6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c2＝0，又两平行线之间的距离为21313，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 2＋132＋（－2）2＝21313， 因此c ＝2或－6.【答案】 (1)D (2)2或－6角度三 距离公式的综合应用(1)P 点在直线3x ＋y －5＝0上，且P 点到直线x －y －1＝0的距离为2，则P 点的坐标为( )A ．(1，2)B ．(2，1)C ．(1，2)或(2，－1)D ．(2，1)或(－1，2)(2)在△ABC 中，A (1，1)，B (m ，m )(1<m <4)，C (4，2)，则当△ABC 的面积最大时，m ＝________．【解析】 (1)设P 点坐标为(x ，5－3x )，则P 点到直线x －y －1＝0的距离d ＝|x －（5－3x ）－1|2＝|4x －6|2＝2，所以|2x －3|＝1，所以x ＝1或x ＝2.所以P 点坐标为(1，2)或(2，－1)．(2)由两点间距离公式可得|AC |＝10，直线AC 的方程为x －3y ＋2＝0，所以点B 到直线AC 的距离d ＝|m －3m ＋2|10，所以△ABC 的面积S ＝12|AC |·d ＝12|m －3m ＋2|＝12|⎝ ⎛⎭⎪⎫m －322－14|，又1<m <4， 所以1<m <2，所以当m ＝32，即m ＝94时，S 取得最大值．【答案】 (1)C (2)94距离的求法 (1)点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式． (2)两平行直线间的距离①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两平行线间的距离公式．1．已知A (2，0)，B (0，2)，若点C 在函数y ＝x 2的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选A.设点C (t ，t 2)，直线AB 的方程是x ＋y －2＝0，|AB |＝2 2. 由于△ABC 的面积为2，则这个三角形中AB 边上的高h 满足方程12×22h ＝2，即h ＝ 2.由点到直线的距离公式得2＝|t ＋t 2－2|2，即|t ＋t 2－2|＝2，即t 2＋t －2＝2或者t 2＋t －2＝－2.因为这两个方程各有两个不相等的实数根，故这样的点C 有4个．2．与直线l 1：3x ＋2y －6＝0和直线l 2：6x ＋4y －3＝0等距离的直线方程是________． 解析：l 2：6x ＋4y －3＝0化为3x ＋2y －32＝0，所以l 1与l 2平行，设与l 1，l 2等距离的直线l 的方程为3x ＋2y ＋c ＝0，则：|c ＋6|＝|c ＋32|，解得c ＝－154，所以l 的方程为12x＋8y －15＝0.答案：12x ＋8y －15＝0对称问题已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程． 【解】 (1)设A ′(x ，y )，由已知⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.所以A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.(2)在直线m 上取一点，如M (2，0)，则M (2，0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1.解得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0.得N(4，3)．又因为m′经过点N(4，3)，所以由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.(3)设P(x，y)为l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，因为P′在直线l上，所以2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.1．与直线Ax＋By＋C＝0(A，B≠0)关于y轴对称的直线的方程为( )A．Ax－By－C＝0 B．Ax＋By－C＝0 C．Ax－By＋C＝0 D．Bx＋Ay＋C＝0 解析：选A.因为点(x，y)关于y轴的对称点为(－x，y)，将直线Ax＋By＋C＝0(A，B ≠0)中的x用－x代换得－Ax＋By＋C＝0，即Ax－By－C＝0，故选A.2．如图，已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是________．解析：直线AB 的方程为x ＋y ＝4，点P (2，0)关于直线AB 的对称点为D (4，2)，关于y 轴的对称点为C (－2，0)，则光线经过的路程为|CD |＝62＋22＝210.答案：210求两直线交点坐标及过交点的直线的设法 (1)设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，设方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有唯一一组解(x 0，y 0)，即为两直线l 1与l 2的交点坐标． (2)过直线l 1与l 2交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(注：该直线系不包含直线l 2)．与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直和平行的直线方程可设为： (1)垂直：Bx －Ay ＋m ＝0(m ∈R )；(2)平行：Ax ＋By ＋n ＝0(n ∈R ，且n ≠C )．解决对称问题应抓住以下两点(1)已知点与对称点的连线与对称轴垂直．(2)已知点和对称点为端点的线段的中心在对称轴上．易错防范(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．若两条直线都有斜率，可根据相应公式或性质判断，若直线无斜率，要单独考虑．(2)求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应化为一般式．(3)在运用两平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2时，一定要注意将两方程中x ，y 的系数化为相同的形式．[基础达标]1．(2019·富阳市场口中学高三质检)已知直线l 1：x ＋ay ＋1＝0与直线l 2：y ＝12x ＋2垂直，则a 的值是( )A ．2B ．－2C ．12D ．－12解析：选C.因为直线l 2的斜率为12，直线l 1：x ＋ay ＋1＝0与直线l 2：y ＝12x ＋2垂直，所以直线l 1的斜率等于－2，即－1a＝－2，所以a ＝12，故选C.2．(2019·金华十校联考)“C ＝5”是“点(2，1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.点(2，1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3等价于|3×2＋4×1＋C |32＋42＝3，解得C ＝5或C ＝－25，所以“C ＝5”是“点(2，1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3”的充分不必要条件，故选B.3．(2019·义乌模拟)直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝0解析：选D.由题意得直线x －2y ＋1＝0与直线x ＝1的交点坐标为(1，1)．又直线x －2y ＋1＝0上的点(－1，0)关于直线x ＝1的对称点为(3，0)，所以由直线方程的两点式，得y －01－0＝x －31－3，即x ＋2y －3＝0.4．已知点A (－1，2)，B (3，4)，P 是x 轴上一点，且|PA |＝|PB |，则△PAB 的面积为( ) A ．15 B ．552C ．6 5D ．152解析：选D.设AB 的中点坐标为M (1，3)，k AB ＝4－23－（－1）＝12，所以AB 的中垂线方程为y －3＝－2(x －1)．即2x ＋y －5＝0.令y ＝0，则x ＝52，即P 点的坐标为(52，0)，|AB |＝（－1－3）2＋（2－4）2＝2 5.P 到AB 的距离为|PM |＝（1－52）2＋32＝352.所以S △PAB ＝12|AB |·|PM |＝12×25×352＝152.5．已知点P (x 0，y 0)是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，则方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0表示( )A ．过点P 且与l 垂直的直线B ．过点P 且与l 平行的直线C ．不过点P 且与l 垂直的直线D ．不过点P 且与l 平行的直线解析：选D.因为点P (x 0，y 0)不在直线Ax ＋By ＋C ＝0上，所以Ax 0＋By 0＋C ≠0，所以直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0不经过点P ，排除A 、B ；又直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0平行，排除C ，故选D.6．两条平行线l 1，l 2分别过点P (－1，2)，Q (2，－3)，它们分别绕P ，Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间距离的取值范围是( )A ．(5，＋∞)B ．(0，5]C ．(34，＋∞)D ．(0，34 ]解析：选D.当PQ 与平行线l 1，l 2垂直时，|PQ |为平行线l 1，l 2间的距离的最大值，为（－1－2）2＋[2－（－3）]2＝34，所以l 1，l 2之间距离的取值范围是(0，34 ]． 故选D.7．已知坐标平面内两点A (x ，2－x )和B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，那么这两点之间距离的最小值是________．解析：由题意可得两点间的距离d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －222＋（2－x ）2＝2⎝⎛⎭⎪⎫x －3242＋14≥12，即最小值为12.答案：128．直线x ＋2y －3＝0与直线ax ＋4y ＋b ＝0关于点A (1，0)对称，则b ＝________． 解析：在直线x ＋2y －3＝0上取两点P 1(1，1)、P 2(3，0)，则P 1、P 2关于点A 的对称点P ′1、P ′2都在直线ax ＋4y ＋b ＝0上．因为易知P ′1(1，－1)、P ′2(－1，0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4＋b ＝0，－a ＋b ＝0，所以b ＝2.答案：29．(2019·瑞安四校联考)若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7，3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝________．解析：由题可知纸的折痕垂直平分点(0，2)与点(4，0)的连线，可得折痕所在直线为y ＝2x －3，又折痕也垂直平分点(7，3)与点(m ，n )的连线，于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝315，所以m ＋n ＝345.答案：34510．(2019·浙江新高考冲刺卷)已知m ∈R ，若点M (x ，y )为直线l 1：my ＝－x 和l 2：mx ＝y ＋m －3的交点，l 1和l 2分别过定点A 和B ，则|MA |·|MB |的最大值为________．解析：动直线l 1：my ＝－x 过定点A (0，0)，动直线l 2：mx ＝y ＋m －3化为m (x －1)－(y －3)＝0，得x ＝1，y ＝3.过定点B (1，3)． 因为此两条直线互相垂直， 所以|MA |2＋|BM |2＝|AB |2＝10， 所以10≥2|MA |·|MB |， 所以|MA |·|BM |≤5，当且仅当|MA |＝|MB |时取等号． 答案：511．已知直线l 1：x ＋a 2y ＋1＝0和直线l 2：(a 2＋1)x －by ＋3＝0(a ，b ∈R )． (1)若l 1∥l 2，求b 的取值范围； (2)若l 1⊥l 2，求|ab |的最小值．解：(1)因为l 1∥l 2，所以－b －(a 2＋1)a 2＝0，即b ＝－a 2(a 2＋1)＝－a 4－a 2＝－⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋122＋14，因为a 2≥0，所以b ≤0. 又因为a 2＋1≠3，所以b ≠－6.故b 的取值范围是(－∞，－6)∪(－6，0]． (2)因为l 1⊥l 2，所以(a 2＋1)－a 2b ＝0， 显然a ≠0，所以ab ＝a ＋1a，|ab |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝±1时等号成立，因此|ab |的最小值为2. 12．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点P . (1)点A (5，0)到直线l 的距离为3，求直线l 的方程； (2)求点A (5，0)到直线l 的距离的最大值． 解：(1)因为经过两已知直线交点的直线系方程为 (2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0， 即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0， 所以|10＋5λ－5|（2＋λ）2＋（1－2λ）2＝3，解得λ＝12或λ＝2. 所以直线l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2，1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到直线l 的距离， 则d ≤|PA |(当l ⊥PA 时等号成立)． 所以d max ＝|PA |＝10. [能力提升]1．(2019·温州八校联考)已知M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）|y －3x －2＝3，N ＝{(x ，y )|ax ＋2y ＋a ＝0}，且M ∩N ＝∅，则a ＝( )A ．－6或－2B ．－6C ．2或－6D ．－2解析：选A.集合M 表示去掉一点A (2，3)的直线3x －y －3＝0，集合N 表示恒过定点B (－1，0)的直线ax ＋2y ＋a ＝0，因为M ∩N ＝∅，所以两直线要么平行，要么直线ax ＋2y ＋a ＝0与直线3x －y －3＝0相交于点A (2，3)．因此－a2＝3或2a ＋6＋a ＝0，即a ＝－6或a ＝－2.2．设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0，已知a ，b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，且0≤c ≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( )A ．22，12B ．2，22C ．2，12D ．24，14解析：选A.由题意知a ，b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，所以ab ＝c ，a ＋b ＝－1. 又直线x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0的距离d ＝|a －b |2，所以d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －b |22＝（a ＋b ）2－4ab 2＝（－1）2－4c 2＝12－2c ， 而0≤c ≤18，所以12－2×18≤12－2c ≤12－2×0，得14≤12－2c ≤12，所以12≤d ≤22.3．(2019·浙江省名校协作体高三联考)在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位，沿y 轴正方向平移5个单位，得到直线l 1.再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位，沿y 轴负方向平移2个单位，又与直线l 重合．若直线l 与直线l 1关于点(2，3)对称，则直线l 的方程是________．解析：由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位，沿y 轴正方向平移5个单位，得到直线l 1：y ＝k (x －3)＋5＋b ，再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位，沿y 轴负方向平移2个单位，则平移后的直线方程为y ＝k (x －3－1)＋b ＋5－2，即y ＝kx ＋3－4k ＋b .所以b ＝3－4k ＋b ，解得k ＝34.所以直线l的方程为y ＝34x ＋b ，直线l 1为y ＝34x ＋114＋b ，设直线l 上的一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，b ＋3m 4，则点P 关于点(2，3)的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m ，6－b －34m ，所以6－b －34m ＝34(4－m )＋b ＋114，解得b ＝18.所以直线l 的方程是y ＝34x ＋18，即6x －8y ＋1＝0.答案：6x －8y ＋1＝04．(2019·宁波效实中学高三月考)著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：（x －a ）2＋（y －b ）2可以转化为平面上点M (x ，y )与点N (a ，b )的距离．结合上述观点，可得f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10的最小值为________．解析：因为f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10＝（x ＋2）2＋（0－4）2＋（x ＋1）2＋（0－3）2，所以f (x )的几何意义为点M (x ，0)到两定点A (－2，4)与B (－1，3)的距离之和，设点A (－2，4)关于x 轴的对称点为A ′，则A ′为(－2，－4)．要求f (x )的最小值，可转化为|MA |＋|MB |的最小值，利用对称思想可知|MA |＋|MB |≥|A ′B |＝（－1＋2）2＋（3＋4）2＝52，即f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10的最小值为5 2.答案：5 25．设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0. (1)证明：l 1与l 2相交；(2)证明：l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．证明：(1)反证法．假设l 1与l 2不相交，则l 1与l 2平行，有k 1＝k 2，代入k 1k 2＋2＝0，得k 21＋2＝0.此与k 1为实数的事实相矛盾，从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交．(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋1，y ＝k 2x －1，解得交点P 的坐标(x ，y )为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2k 2－k 1，y ＝k 2＋k 1k 2－k 1，而2x 2＋y 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－k 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋k 1k 2－k 12＝k 21＋k 22＋4k 21＋k 22＋4＝1.即P (x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1上．6．在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A (－1，1)关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于－13.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)设直线AP 和BP 分别与直线x ＝3交于点M ，N ，问：是否存在点P ，使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)因为点B 与A (－1，1)关于原点O 对称，所以点B 的坐标为(1，－1)． 设点P 的坐标为(x ，y )． 由题意，得y －1x ＋1·y ＋1x －1＝－13， 化简，得x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)．故动点P 的轨迹方程为x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)．(2)法一：设点P 的坐标为(x 0，y 0)，点M ，N 的坐标分别为(3，y M )，(3，y N )． 则直线AP 的方程为y －1＝y 0－1x 0＋1(x ＋1)， 直线BP 的方程为y ＋1＝y 0＋1x 0－1(x －1)． 令x ＝3，得y M ＝4y 0＋x 0－3x 0＋1，y N ＝2y 0－x 0＋3x 0－1.于是△PMN 的面积S △PMN ＝12|y M －y N |(3－x 0)＝|x 0＋y 0|（3－x 0）2|x 20－1|. 又直线AB 的方程为x ＋y ＝0，|AB |＝22， 点P 到直线AB 的距离d ＝|x 0＋y 0|2.于是△PAB 的面积S △PAB ＝12|AB |·d ＝|x 0＋y 0|.当S △PAB ＝S △PMN 时，得|x 0＋y 0|＝|x 0＋y 0|（3－x 0）2|x 20－1|. 又|x 0＋y 0|≠0.所以(3－x 0)2＝|x 20－1|，解得x 0＝53.因为x 20＋3y 20＝4，所以y 0＝±339. 故存在点P ，使得△PAB 与△PMN 的面积相等，此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫53，±339.法二：若存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等，设点P 的坐标为(x 0，y 0)， 则12|PA |·|PB |sin ∠APB ＝12|PM |·|PN |·sin ∠MPN . 因为sin ∠APB ＝sin ∠MPN ，所以|PA ||PM |＝|PN ||PB |，所以|x 0＋1||3－x 0|＝|3－x 0||x 0－1|，即(3－x 0)2＝|x 20－1|，解得x 0＝53.因为x 20＋3y 20＝4，所以y 0＝±339. 故存在点P ，使得△PAB 与△PMN 的面积相等，此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫53，±339.。

2024年高考数学总复习第九章《平面解析几何》§9.2两条直线的位置关系最新考纲1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.3.探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．1．两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.(ⅱ)当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2.②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2.(2)两条直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组1x ＋B 1y ＋C 1＝0，2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．2．几种距离(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2.概念方法微思考1．若两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率有什么关系？提示当两条直线l 1与l 2的斜率都存在时，12l l k k ⋅＝－1；当两条直线中一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，l 1与l 2也垂直．2．应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意什么？提示(1)将方程化为最简的一般形式．(2)利用两平行线之间的距离公式时，应使两平行线方程中x ，y 的系数分别对应相等．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.(×)(2)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.(√)(3)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2.(×)(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(√)(5)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k ，且线段AB 的中点在直线l 上．(√)题组二教材改编2．已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于()A.2B ．2－2 C.2－1D.2＋1答案C 解析由题意得|a －2＋3|1＋1＝1.解得a ＝－1＋2或a ＝－1－ 2.∵a >0，∴a ＝－1＋ 2.3．已知P (－2，m )，Q (m,4)，且直线PQ 垂直于直线x ＋y ＋1＝0，则m ＝________.答案1解析由题意知m －4－2－m＝1，所以m －4＝－2－m ，所以m ＝1.4．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________．答案－9解析＝2x ，＋y ＝3，＝1，＝2.所以点(1,2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0，即m ×1＋2×2＋5＝0，所以m ＝－9.题组三易错自纠5．直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m 等于()A ．2B ．－3C ．2或－3D ．－2或－3答案C解析直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有2m ＝m ＋13≠4－2m ＝2或－3.故选C.6．直线2x ＋2y ＋1＝0，x ＋y ＋2＝0之间的距离是______．答案324解析先将2x ＋2y ＋1＝0化为x ＋y ＋12＝0，则两平行线间的距离为d ＝|2－12|2＝324.7．若直线(3a ＋2)x ＋(1－4a )y ＋8＝0与(5a －2)x ＋(a ＋4)y －7＝0垂直，则a ＝________.答案0或1解析由两直线垂直的充要条件，得(3a ＋2)(5a －2)＋(1－4a )(a ＋4)＝0，解得a ＝0或a ＝1.题型一两条直线的平行与垂直例1已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0.(1)试判断l 1与l 2是否平行；(2)当l 1⊥l 2时，求a 的值．解(1)方法一当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为l 1：y ＝－a2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)，l 1∥l 2－a2＝11－a ，3≠－(a ＋1)，解得a ＝－1，综上可知，当a＝－1时，l1∥l2，a≠－1时，l1与l2不平行．方法二由A1B2－A2B1＝0，得a(a－1)－1×2＝0，由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0，∴l1∥l2(a－1)－1×2＝0，(a2－1)－1×6≠0，2－a－2＝0，(a2－1)≠6，可得a＝－1，故当a＝－1时，l1∥l2.a≠－1时，l1与l2不平行．(2)方法一当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不成立；当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2，故a＝0不成立；当a≠1且a≠0时，l1：y＝－a2x－3，l2：y＝11－ax－(a＋1)，·11－a＝－1，得a＝23.方法二由A1A2＋B1B2＝0，得a＋2(a－1)＝0，可得a＝23.思维升华(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．跟踪训练1(1)(2018·潍坊模拟)直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8，则“m＝－1或m＝－7”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由题意，当直线l1∥l2时，满足3＋m2＝45＋m≠5－3m8，解得m＝－7，所以“m＝－1或m＝－7”是“l1∥l2”的必要不充分条件，故选B.(2)(2018·青岛模拟)已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．①l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；②l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解①∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)－b ＝0，又∵直线l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.故a ＝2，b ＝2.②∵直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在．∴k 1＝k 2，即ab＝1－a .又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b .故a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.题型二两直线的交点与距离问题1．(2018·西宁调研)若直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于M ，N 两点，且MN 的中点是P (1，－1)，则直线l 的斜率是()A ．－23 B.23C ．－32D.32答案A解析由题意，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)－1，分别与y ＝1，x －y －7＝0联立解得1，又因为MN 的中点是P (1，－1)，所以由中点坐标公式得k ＝－23.2．若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为()A.95B.185C.2910D.295答案C解析因为36＝48≠－125，所以两直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910.3．已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是________．答案－16，解析方法一＝kx ＋2k ＋1，＝－12x ＋2，＝2－4k 2k ＋1，＝6k ＋12k ＋1.(若2k ＋1＝0，即k ＝－12，则两直线平行)∴又∵交点位于第一象限，，，解得－16<k <12.方法二如图，已知直线y ＝－12x ＋2与x 轴、y 轴分别交于点A (4,0)，B (0,2)．而直线方程y ＝kx ＋2k ＋1可变形为y －1＝k (x ＋2)，表示这是一条过定点P (－2,1)，斜率为k 的动直线．∵两直线的交点在第一象限，∴两直线的交点必在线段AB 上(不包括端点)，∴动直线的斜率k 需满足k P A <k <k PB .∵k P A ＝－16，k PB ＝12.∴－16<k <12.4．已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，若在坐标平面内存在一点P ，使|PA |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2，则P点坐标为________________．答案(1，－4)解析设点P 的坐标为(a ，b )．∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)．而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0.∵点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上，∴a －b －5＝0.①又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2，∴|4a ＋3b －2|42＋32＝2，即4a ＋3b －2＝±10，②由①②a ＝1，b ＝－4a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)277，－87思维升华(1)求过两直线交点的直线方程的方法先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．(2)利用距离公式应注意：①点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数化为相等．题型三对称问题命题点1点关于点中心对称例2过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________．答案x ＋4y －4＝0解析设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.命题点2点关于直线对称例3如图，已知A (4,0)，B(0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是()A ．33B ．6C ．210D ．25答案C解析直线AB 的方程为x ＋y ＝4，点P (2,0)关于直线AB 的对称点为D (4,2)，关于y 轴的对称点为C (－2,0)，则光线经过的路程为|CD |＝62＋22＝210.命题点3直线关于直线的对称问题例4直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是______________．答案x －2y ＋3＝0解析设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，－y ＋y 02＋2＝0，(y －y 0)，0＝y －2，0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上，∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0，即x －2y ＋3＝0.思维升华解决对称问题的方法(1)中心对称①点P (x ，y )关于Q (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)′＝2a －x ，′＝2b －y .②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．(2)轴对称①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，则有1，B ·b ＋n 2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．跟踪训练2已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求：(1)点P (4,5)关于l 的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程；(3)直线l 关于(1,2)的对称直线．解(1)设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)，∵k PP ′·k l ＝－1，即y ′－yx ′－x×3＝－1.①又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上，∴3×x ′＋x 2－y ′＋y 2＋3＝0.②由①②′＝－4x ＋3y －95，③′＝3x ＋4y ＋35.④把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2，y ′＝7，∴点P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)．(2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于l 对称的直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0，化简得7x ＋y ＋22＝0.(3)在直线l ：3x －y ＋3＝0上取点M (0,3)，关于(1,2)的对称点M ′(x ′，y ′)，∴x ′＋02＝1，x ′＝2，y ′＋32＝2，y ′＝1，∴M ′(2,1)．l 关于(1,2)的对称直线平行于l ，∴k ＝3，∴对称直线方程为y －1＝3×(x －2)，即3x －y －5＝0.妙用直线系求直线方程在求解直线方程的题目中，可采用设直线系方程的方式简化运算，常见的直线系有平行直线系，垂直直线系和过直线交点的直线系．一、平行直线系例1求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l 的方程．解由题意，设所求直线方程为3x ＋4y ＋c ＝0(c ≠1)，又因为直线过点(1,2)，所以3×1＋4×2＋c ＝0，解得c ＝－11.因此，所求直线方程为3x ＋4y －11＝0.二、垂直直线系例2求经过A (2,1)，且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程．解因为所求直线与直线2x ＋y －10＝0垂直，所以设该直线方程为x －2y ＋C ＝0，又直线过点A (2,1)，所以有2－2×1＋C ＝0，解得C ＝0，即所求直线方程为x －2y ＝0.三、过直线交点的直线系例3求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．解方法一－2y ＋4＝0，＋y －2＝0，得P (0,2)．∵l 3的斜率为34，且l ⊥l 3，∴直线l 的斜率为－43，由斜截式可知l 的方程为y ＝－43x ＋2，即4x ＋3y －6＝0.方法二设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0.又∵l ⊥l 3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，解得λ＝11.∴直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0.1．直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是()A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．不能确定答案C解析直线2x ＋y ＋m ＝0的斜率k 1＝－2，直线x ＋2y ＋n ＝0的斜率k 2＝－12，则k 1≠k 2，且k 1k 2≠－1.故选C.2．已知直线l 1：x ＋my ＋7＝0和l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0互相平行，则实数m 等于()A ．－1或3B ．－1C ．－3D ．1或－3答案A解析当m ＝0时，显然不符合题意；当m ≠0时，由题意得，m －21＝3m ≠2m7，解得m ＝－1或m ＝3，故选A.3．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为()A ．－10B ．－2C ．0D ．8答案A解析因为l 1∥l 2，所以k AB ＝4－mm ＋2＝－2.解得m ＝－8.又因为l 2⊥l 3，所以－1n ×(－2)＝－1，解得n ＝－2，所以m ＋n ＝－10.4．过点M (－3,2)，且与直线x ＋2y －9＝0平行的直线方程是()A ．2x －y ＋8＝0B ．x －2y ＋7＝0C ．x ＋2y ＋4＝0D ．x ＋2y －1＝0答案D 解析方法一因为直线x ＋2y －9＝0的斜率为－12，所以与直线x ＋2y －9＝0平行的直线的斜率为－12，又所求直线过M (－3,2)，所以所求直线的点斜式方程为y －2＝－12(x ＋3)，化为一般式得x ＋2y －1＝0.故选D.方法二由题意，设所求直线方程为x ＋2y ＋c ＝0，将M (－3，2)代入，解得c ＝－1，所以所求直线为x ＋2y －1＝0.故选D.5．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2之间的距离为()A.423B ．42 C.823D ．22答案C解析∵l 1∥l 2，∴a ≠2且a ≠0，∴1a －2＝a 3≠62a，解得a ＝－1，∴l 1与l 2的方程分别为l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，∴l 1与l 2的距离d ＝|6－23|2＝823.6．已知直线l1：y＝2x＋3，直线l2与l1关于直线y＝－x对称，则直线l2的斜率为()A.1 2B．－12C．2D．－2答案A解析直线y＝2x＋3与y＝－x的交点为A(－1,1)，而直线y＝2x＋3上的点(0,3)关于y＝－x的对称点为B(－3，0)，而A，B两点都在l2上，所以kl2＝1－0－1－(－3)＝12.7．已知直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，若l1⊥l2，则a＝________，此时点P的坐标为________．答案1(3,3)解析∵直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，且l1⊥l2，∴a×1＋1×(a－2)＝0，即a＝1＋y－6＝0，－y＝0，易得x＝3，y＝3，∴P(3,3)．8．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________.答案34 5解析由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，2×7＋m2－3，＝－12，＝35，＝315，故m＋n＝34 5 .9．直线l1：y＝2x＋3关于直线l：y＝x＋1对称的直线l2的方程为______________．答案x－2y＝0解析＝2x＋3，＝x＋1，解得直线l1与l的交点坐标为(－2，－1)，所以可设直线l2的方程为y＋1＝k(x＋2)，即kx－y＋2k－1＝0.在直线l上任取一点(1,2)，由题设知点(1,2)到直线l1，l2的距离相等，由点到直线的距离公式得|k －2＋2k －1|k 2＋1＝|2－2＋3|22＋1，解得k ＝12(k ＝2舍去)，所以直线l 2的方程为x －2y ＝0.10．已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为______________．答案6x －y －6＝0解析设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，＝－1，－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0.11．已知方程(2＋λ)x －(1＋λ)y －2(3＋2λ)＝0与点P (－2,2)．(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P 的距离d 小于42.(1)解显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线．∵方程可变形为2x －y －6＋λ(x －y －4)＝0，x －y －6＝0，－y －4＝0，＝2，＝－2，故直线经过的定点为M (2，－2)．(2)证明过P 作直线的垂线段PQ ，由垂线段小于斜线段知|PQ |≤|PM |，当且仅当Q 与M 重合时，|PQ |＝|PM |，此时对应的直线方程是y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.但直线系方程唯独不能表示直线x －y －4＝0，∴M 与Q 不可能重合，而|PM |＝42，∴|PQ |<42，故所证成立．12．已知三条直线：l 1：2x －y ＋a ＝0(a >0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是7510.(1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件：①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶5.若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．解(1)直线l 2：2x －y －12＝0，所以两条平行线l 1与l 2间的距离为d ＝7510，所以|a ＋12|5＝7510，即|a ＋12|＝72，又a >0，解得a ＝3.(2)假设存在点P ，设点P (x 0，y 0)．若P 点满足条件②，则P 点在与l 1，l 2平行的直线l ′：2x －y ＋c ＝0上，且|c －3|5＝12|c ＋12|5，即c ＝132或116，所以2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0；若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式，有|2x 0－y 0＋3|5＝25|x 0＋y 0－1|2，即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|，所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0；由于点P 在第一象限，所以3x 0＋2＝0不可能．联立方程2x 0－y 0＋132＝0和x 0－2y 0＋4＝0，0＝－3，0＝12，(舍去)联立方程2x 0－y 0＋116＝0和x 0－2y 0＋4＝0，＝19，0＝3718.所以存在点P 13．已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4，2)，(3,1)，则点C的坐标为()A．(－2,4)B．(－2，－4) C．(2,4)D．(2，－4)答案C解析设A(－4,2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，则2＝－1，2×－4＋x2，解得＝4，＝－2，∴BC所在直线方程为y－1＝－2－14－3(x－3)，即3x＋y－10＝0.同理可得点B(3,1)关于直线y＝2x的对称点为(－1,3)，∴AC所在直线方程为y－2＝3－2－1－(－4)(x＋4)，即x－3y＋10＝0.x＋y－10＝0，－3y＋10＝0，＝2，＝4，则C(2,4)．故选C.14．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为()A.5B.6C．23D．25答案A解析＝2x，＋y＝3，解得x＝1，y＝2.把(1,2)代入mx＋ny＋5＝0可得，m＋2n＋5＝0.∴m＝－5－2n.∴点(m，n)到原点的距离d＝m2＋n2＝(5＋2n)2＋n2＝5(n＋2)2＋5≥5，当n＝－2，m＝－1时取等号．∴点(m，n)到原点的距离的最小值为 5.15．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A (1,0)，B (0,2)，且AC ＝BC ，则△ABC 的欧拉线的方程为()A ．4x ＋2y ＋3＝0B ．2x －4y ＋3＝0C ．x －2y ＋3＝0D ．2x －y ＋3＝0答案B解析因为AC ＝BC ，所以欧拉线为AB 的中垂线，又A (1，0)，B (0,2)，故AB k AB ＝－2，故AB 的中垂线方程为y －1即2x －4y ＋3＝0.16．在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1.再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，又与直线l 重合．若直线l 与直线l 1关于点(2,4)对称，求直线l 的方程．解由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1：y ＝k (x －3)＋5＋b ，将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，则平移后的直线方程为y ＝k (x －3－1)＋b ＋5－2，即y ＝kx ＋3－4k ＋b ，∴b ＝3－4k ＋b ，解得k ＝34，∴直线l 的方程为y ＝34x ＋b ，直线l 1为y ＝34x ＋114＋b ，取直线l 上的一点，b P 关于点(2,4)－m ，8－b ∴8－b －3m 4＝34(4－m )＋b ＋114，解得b ＝98.∴直线l 的方程是y ＝34x ＋98，即6x －8y ＋9＝0.。

两条直线的位置关系知识点总结关键信息项1、直线的斜率定义：＿___________________________计算方法：＿___________________________斜率不存在的情况：＿___________________________ 2、两条直线平行条件：＿___________________________斜率关系：＿___________________________特殊情况：＿___________________________3、两条直线垂直条件：＿___________________________斜率关系：＿___________________________证明方法：＿___________________________4、两条直线相交交点坐标的求解方法：＿___________________________夹角的计算：＿___________________________5、点到直线的距离公式公式：＿___________________________推导过程：＿___________________________6、两平行线间的距离公式公式：＿___________________________应用场景：＿___________________________11 直线的斜率直线的斜率是描述直线倾斜程度的一个重要概念。

它通常用字母$k$表示。

斜率的定义是直线上任意两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值。

如果直线上有两点$（x_1,y_1)＄和$（x_2,y_2)＄，则斜率$k ＝＼frac{y_2 y_1}｛x_2 x_1}＄。

需要注意的是，当直线垂直于$x$轴时，斜率不存在。

111 斜率的计算方法计算斜率可以通过已知的直线上两点的坐标来进行。

此外，如果直线的方程为斜截式$y ＝ kx ＋ b$，其中$k$就是直线的斜率。

112 斜率不存在的情况当直线垂直于$x$轴时，即直线与$x$轴的夹角为$90^＼circ$，此时直线上任意两点的横坐标相同，横坐标之差为$0$，导致斜率不存在。

两条直线的位置关系(基础)知识讲解【要点械理】要点一、同一平面内两条直线的位置关系同一平面内，两条直线的位置关系:相交和平行.(1)平行线:在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.两直线平行，用符号“〃”表示. 如下图，两条宜线互相平行，记作AB〃CD或a〃bCB(2)互相重合的直线通常看做一条直线，两条线段或射线平行是指它们所在的直线平行•(3)相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线，这个公共点叫做交点.两条宜线相交只有一个交点.一组相交线产生两对对顶角。

即Z1和Z3是对顶角，Z2和Z4是对顶角。

Z 1和Z 2 , Z 2和Z3, > 3和Z 4 , Z4和Z 1是邻补角要点二、对顶角、补角、余角1.余角与补角(1)定义:如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角，简称互补，英中一个角叫做另一个角的补角.类似地，如果两个角的和是90° ,那么这两个角互为余角•简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角.(2)性质:同角(等角)的余角相等.同角(等角)的补角相等.要点诠释：(1)互余互补指的是两个角的数量关系，而与它们的位置无关・(2)—个锐角的补角比它的余角大9 0。

.2•对顶角、同位角、内错角、同旁内角的概念“三线八角”模型如制直线AB. CD仃宜线EF相交(或者说两条直线AB、CD被第三条宜线EF所截)，构成八个角，简称为“三线八角"，如图.被截统(1)条直线AB, CD与同一条宜线EF相交.(2) “三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成.(3)Z1和Z3, Z2和Z4是对顶角：Z1和Z2, Z1和Z4互为邻补角；Z4和Z5是同旁内角；Z1和Z5是同位角：Z4和Z6是内错角(2)性质：对顶角相等.邻补角互补即和为180 °要点三、垂线1.垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是宜角时，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫垂足.如图.要点诠释：⑴记法：直线a^b垂直，记作：“丄6直线AB和CD垂直于点0,记作：AB丄CD于点0.(2)垂直的立义具有二重性，既可以作垂直的判泄,又可以作垂直的性质，即有：、窘'唇、CD丄AB.ZAOC = 90°2.垂线的性质：(1)平面内，过一点有且只有一条宜线与已知宜线垂直.(2)直线外一点与宜线上徉点连接的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短. 要点诠释：(1)性质(1)成立的前提是在“同一平而内”,“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有” 说明了垂线的存在性和唯一性.(2 )性质(2)是“垂线段最短实际上，连接直线外一点和直线上各■点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短.在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题.4.点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.要点诠释：(1)点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；(2)求点到宜线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后汁算或度量垂线段的长度.类型一、两条直线的位置关系Ci类型二、对顶角、补角、余角2 •如图所示，直线AB 、CD 相交于点6 Zl=6 5° ,求Z2、Z3、Z4的度数.举一反三：【变式】如图所示，两宜线相交，已知Z 1与Z 2的度数之叱为3: 2,求Z1与Z2的度数.类型三、垂线* 3・下列语句中，正确的有()① 一条直线的垂线只有一条.② 在同一平而内，过直线上一点有且仅有一条宜线与已知直线垂直. ③两直线相交，则交点叫垂足.④互相垂直的两条直线形成的四个角一 都是直角.A ・0个B 」个 C, 2个 1)・3个举一反三：【变式】直线/外有一点P,则点P 到直线/的距离是(A. 点P 到直线/的垂线的长度.B. 点P 到直线/的垂线段.C. 点P 到直线/的垂线段的长度.D •点P 到直线/的垂线.举一反三：【变式】如图，直线AB和CD交于0点，0D平分Z B0F, 0E 丄CD于点0,ZA0C = 40。

专题25 两直线的位置关系直线的方程平行垂直1.两条直线的位置关系平面内两条直线的位置关系包括__ __三种情况．(1)两条直线平行对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2⇔．对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1∥l2⇔．(2)两条直线垂直对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔．对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔____．2.两条直线的交点直线l 1和l 2的交点坐标即为两直线方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解． 相交⇔方程组有__ __；平行⇔方程组__ __；重合⇔方程组有__ __．3.(1) 与直线Ax + By + C = 0平行的直线设为： (x,y 的系数相同)(2) 与直线Ax + By + C = 0垂直的直线设为： (x,y 的系数换位置，添负号)4.两种特殊的直线：过点P(x O , y O )垂直于 x 轴的直线为 ， 过点P(x O , y O )垂直于y 轴的直线为 x 轴的直线方程为 , y 轴的直线方程为5.直线方程的一般式化为斜截式：Ax + By + C = 0①移项：By ＝－Ax －C ；②当B ≠0时，得斜截式： .6.求平行线间的距离时，一定要把 x ,y 的系数相同，且为一般式7.求线段 A B 的垂直平分线的步骤:(1)求中点M 的坐标.(2)求直线 A B 的斜率.(3)1 lAB kk =-(4)用点斜式写出方程.(5)结果化成一般式1.求过点与已知直线平行的直线2. 求过点与已知直线平行的直线3.求线段的垂直平分线4.平行线间的距离一．选择题：本大题共18小题，每小题4 分，满分72 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列各组直线中，互相平行的是（）A.x − y + 1 = 0与x + y = 0B.2x + y + 3 = 0与2x− y=0C.y =23x – 5与y =32x + 3 D.y = 2x + 1与y=2x −12.已知直线x − 2y + 1 = 0，则下列四条直线中与已知直线垂直的是（）A.2x + y + 1 = 0B.x + 2y + 3 = 0C. 2x − y + 1 = 0D. x − 2y + 3 = 03. 已知直线l 1: 2y = x ,直线l 2: y + 2x + 1 = 0,则l 1与l 2的位置关系是( )A.相交不垂直B.相交且垂直C.平行不重合D.重合4. 如果直线y = 3x 与直线y = −mx +1平行，那么m 的值为( )A.−3B.- 13C. 13D.35. 经过点(1, −1)且与直线2x − y + 5 = 0平行的直线方程是() A.x + 2y + 1 = 0 B.x + 2y − 3 = 0C.2x − y − 3 = 0D.2x − y + 6 = 06. 若直线l 1: 3x − y − 7 = 0与l 2: ax + 2y − 1 = 0垂直,则a=（ ）A. 32B. -32 C. 23 D . -237. 已知直线l 过点P(1, −1),并且与直线x + 3y − 1 = 0垂直，则直线l 的方程是( )A. 11(1)3y x +=--B. 11(1)3y x -=-+23C. 13(1)y x -=+− 3，32 D. 13(1)y x +=-8. 经过点(1, −1)且与直线2x − y + 3 = 0垂直的直线方程是( ) 、A.x + 2y + 2 = 0B.x + 2y = 0C.x − 2y − 3 = 0D.x + 2y + 1 = 09. 直线x − y + 6 = 0与直线x + y = 0的交点坐标为 ( )A.(−3,3)B.(3, −3)C.(4,2)D.(3,3)10. 两平行直线3x + 4y − 12 = 0和6x + 8y + 6 = 0之间的距离是( )A.18B.9C.6D.311. 已知过点P(−1,2)的直线l 1与直线l 2: x + y = 0垂直,垂足为点M,则点M 的坐标为（） A. (−32,32) B. (−23,23)C. (−1,1)D. (−2,2)12. 已知点A (−1,4)， B (5,2)，则AB 的垂直平分线是（ ）A.3x − y − 3 = 0B.3x + y − 9 = 0C.3x − y − 10 = 0D.3x + y − 8 = 013. 若两条直线l 2: x + 2y − 6 = 0与l 1: x + ay − 7 = 0平行，则l 1与l 2间的距离是()A. B.C. 2D. 514. 以点P (1,3), Q(−5,1)为端点的线段的垂直平分线的方程为（ ）A.12x + y + 2 = 0B.3x + y + 4 = 0C.3x − y + 8 = 0D. 2x − y − 2 = 015. 已知直线l1: x + 2y − 5 = 0, l2: 2x + y + 2 = 0，则直线l1与直线l2及x 轴所围成的三角形面积是（）A.12B.18C.24D.3016. 经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l的方程是()A．6x－4y－3＝0B．3x－2y－3＝0C．2x＋3y－2＝0D．2x＋3y－1＝017.直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m＝()A．2B．－3C．2或－3D．－2或－318.直线l1：ax＋2y－1＝0与l2：x＋(a－1)y＋a2＝0平行，则a＝()A．－1B．2C．－1或2D．0或1二.填空题：本大题共7小题，每小题4分，满分28 分.19.如果直线2x − y − 3 = 0和直线kx + 2y − 2 = 0垂直，那么k 的值是__ __..20. 经过点M(−1,0)，且与直线x + y = 1垂直的直线的方程为_ __.21. 已知点A(1,3)和点B(3, −1)，则线段AB 的垂直平分线方程是__ __.22.过直线2x + y − 3 = 0和直线x − 2y + 1 = 0的交点，且斜率为−1的直线的一般式方程为__ __.，则线段AB 的垂直平分线在y轴上的截距为__ _ .24.经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l 的方程为__ __．25.已知直线l1：y＝2x，则过圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心且与直线l1垂直的直线l2的方程为__ .专题24 直线的方程(参考答案)1.两条直线的位置关系平面内两条直线的位置关系包括__平行、相交、重合__三种情况．(1)两条直线平行对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，且b 1≠b 2．对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)．(2)两条直线垂直对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1．对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔__A 1A 2＋B 1B 2＝0__．2.两条直线的交点直线l 1和l 2的交点坐标即为两直线方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解． 相交⇔方程组有__唯一解__；平行⇔方程组__无解__；重合⇔方程组有__无数个解__．3.(1) 与直线Ax + By + C = 0平行的直线设为：Ax + By + m = 0(x,y 的系数相同)(2) 与直线Ax + By + C = 0垂直的直线设为：Bx − Ay + m = 0(x,y 的系数换位置，添负号)4.两种特殊的直线：过点P(x O , y O )垂直于 x 轴的直线为x = x O ， 过点P(x O , y O )垂直于y 轴的直线为y = y Ox 轴的直线方程为 y =0, y 轴的直线方程为 x =05.直线方程的一般式化为斜截式：Ax + By + C = 0①移项：By ＝－Ax －C ；②当B ≠0时，得斜截式：y ＝－A B x －C B. 6.求平行线间的距离时，一定要把 x ,y 的系数相同，且为一般式7.求线段 A B 的垂直平分线的步骤:(1)求中点M 的坐标.(2)求直线 A B 的斜率.(3)1l AB k k =- (4)用点斜式写出方程.(5)结果化成一般式。

两直线的位置关系【复习要点】1、两条直线的夹角θ： ①直线1l ：1110a x b y c ++=，2l ：2220a x b y c ++=（11,a b 不能同时为0，22,a b 不能同时为0）cos θ=②当两条直线的斜率都存在时，且分别为1k 、2k （121k k ⋅=-） 1212tan 1k k θk k -=+ 2、判断两直线是否平行或垂直时，①若两直线的斜率都存在且不重合，设1l ：11y k x b =+，2l ：22y k x b =+，则1l //2l 12k k ⇔=；12l l ⊥121k k ⇔⋅=-②对于直线1l ：1110a x b y c ++=，2l ：2220a x b y c ++=（1110a b c ≠，2220a b c ≠） 则1l //2l ⇔111222a b c a b c =≠；1212120l l a a bb ⊥⇔+=； 1l 与2l 相交⇔1122a b a b ≠；1l 与2l 重合⇔111222a b c a b c == 3、点到直线的距离：①已知一点00(,)P x y 与一条直线l ：0ax by c ++=，则点P 到直线l的距离为d = ②两条平行直线1l ：10ax by c ++=与2l ：20ax by c ++=之间的距离为d =. 【强化训练】 1、如果直线220ax y ++=与直线320x y --=平行，则实数a =2、已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为3、已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与平行，则k 的值是4、点(1,2)P -到直线86150x y -+=的距离为5、过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为6、若原点在直线l 上的射影为)1,2(-，则l 的方程为____________________.7、平行于直线20,x y --=且与它的距离为的直线方程是8、“12m =”是“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=相互垂直”的 ( )条件（A ）充分必要条 （B ）充分而不必要 （C ）必要而不充分 （D ）既不充分也不必要9、若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是 ①15 ②30 ③45 ④60 ⑤7510、经过直线0323:,0532:21=--=-+y x l y x l 的交点且平行于直线032=-+y x 的直线方程为 .11、直线3210x y -+=与直线0x y -=的夹角大小为12、直线2310x y ++=与直线50x +=的夹角大小为13、若动点P 到点(1,1)F 和直线340x y +-=的距离相等，则点P 的轨迹方程为14、直线1l 过点(3,0)A ，直线2l 过点(0,4)B ，且1l //2l ，它们之间的距离为d ，则d 的取值范围是15、求经过点(2,1)P ，且与直线5230x y ++=的夹角为45 的直线方程.16、已知直线1l ：80mx y n ++=和2l ：210x my +-=，若12l l ⊥，且1l 在y 轴上的截距为1-， 求实数m ，n 的值.。