2.5 平面衍射光栅

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大学物理实验报告系列之衍射光栅

【实验名称】衍射光栅【实验目的】1．观察光栅的衍射光谱，理解光栅衍射基本规律。

2．进一步熟悉分光计的调节和使用。

3．学会测定光栅的光栅常数、角色散率和汞原子光谱部分特征波长。

【实验仪器】JJY1′型分光计、光栅、低压汞灯电源、平面镜等【实验原理】1．衍射光栅、光栅常数图40-1中a为光栅刻痕(不透明)宽度，b为透明狭缝宽度。

d=a+b为相邻两狭缝上相应两点之间的距离，称为光栅常数。

它是光栅基本参数之一。

图40-1 图40-2 光栅衍射原理图图40-1中a为光栅刻痕(不透明)宽度，b为透明狭缝宽度。

d=a+b为相邻两狭缝上相应两点之间的距离，称为光栅常数。

它是光栅基本参数之一。

2．光栅方程、光栅光谱由图40-1得到相邻两缝对应点射出的光束的光程差为：ϕϕsinsin)(dba=+=∆式中光栅狭缝与刻痕宽度之和d=a+b为光栅常数，若在光栅片上每厘米刻有n条刻痕，则光栅常数nba1)(=+cm。

ϕ为衍射角。

当衍射角ϕ满足光栅方程：λϕkd=sin( k =0，±1，±2…) （40-1）时，光会加强。

式中λ为单色光波长，k是明条纹级数。

如果光源中包含几种不同波长的复色光，除零级以外，同一级谱线将有不同的衍射角ϕ。

因此，在透镜焦平面上将出现按波长次序排列的谱线，称为光栅光谱。

相同k值谱线组成的光谱为同一级光谱，于是就有一级光谱、二级光谱……之分。

图40-3为低压汞灯的衍射光谱示意图，它每一级光谱中有4条特征谱线：紫色λ1= 435．8nm，绿色λ2=546．1nm，黄色两条λ3= 577．0nm和λ4=579．1nm。

3．角色散率(简称色散率)从光栅方程可知衍射角ϕ是波长的函数，这就是光栅的角色散作用。

衍射光栅的色散率定义为：λϕ∆∆=D上式表示，光栅的色散率为同一级的两谱线的衍射角之差∆ϕ与该两谱线波长差∆λ的比值。

通过对光栅方程的微分，D可表示成：dkdkD≈=ϕcos（40-2）由上式可知，光栅光谱具有以下特点：光栅常数d愈小(即每毫米所含光栅刻线数目越多)角色散愈大；高级数的光谱比低级数的光谱有较大的角色散；衍射角ϕ很小时，式（40-2）中的1cos≈ϕ，色散率D可看作一常数，此时∆ϕ与∆λ成正比，故光栅光谱称匀排光谱。

物理光学衍射光栅

衍射光栅按空间周期性规律，在一定范围内改变入射光波的振幅或位相的装置称为衍射光栅，简称为光栅。

光栅的这种作用也称作对入射光波的“振幅调制”和“位相调制”。

这样，在一个调制周期内出射的光波可以看成是一个“光束”，因此光栅按其调制周期把入射光波分割成多束相干光。

通常，利用与观察夫琅和费衍射相同的方法，在透镜的后焦面上或远处的屏幕上观察这多束光的干涉图形：光栅干涉图。

由于光栅在调制和分割波面时必然以某种方式限制了入射击光波的传播，所以总是伴随着衍射现象，光栅干涉图兼有衍射图形的特性。

实际上，如果把光栅看作是一个限制光波传播的衍射光屏，那么光栅干涉图可以用夫琅和费衍射理论计算。

换言之，光栅干涉图上的复振幅分布与刚通过光栅的光分布之间有傅里叶变换的关系(可能相差一个二次位相因子)。

然而，在多数实际应用中，人们主要利用光栅干涉图的多光束干涉特点，因此我们称它为“干涉图”而不称为“衍射图”。

一、衍射光栅的分类可以从各种不同的角度对光栅分类。

(一)、二维光栅和三维光栅根据对入射波的调制是在二维空间还是在三维空间中实现，可以分为“二维光栅”和“三维光栅”。

二维光栅的工作表面可以是平面状的(平面光栅)，也可以是凹球面等曲面形状的(凹面光栅)。

后者除了分割波面外，还有一定的聚集能力。

大多数二维光栅调制波面的周期性规律只与一个直角坐标分量有关，与另一个坐标分量无关。

换言之，它由一系列平行等距线条组成。

这类光栅有时称作“一维光栅”。

三维光栅又称“体(积)光栅”。

晶体因其原子(或晶胞)在空间的规则排列，对X射线起到三维光栅的作用。

经过适当曝光和处理的厚感光乳胶层，也构成对光学波段辐射的三维光栅。

实际上，一切二维光栅的“工作表面”都有一个不为零的厚度，应该看作是三维光栅的一种特殊情形。

在这种情形中，厚度的影响可以忽略不计。

(二)、振幅光栅和位相光栅根据光栅所调制的是入射波的振幅还是位相，可以分为“振幅光栅”和“位相光栅”。

在透明基底上制作大量透光和不透光相间的平行线条，即得到“一维振幅光栅”，细而密的金属丝网格可以看成是“二维振幅光栅”。

第二章之5 平面衍射光栅

jN 1l 最小值位置sinq q
Nd
jN 1l sinq q sin q
Nd
l l j d Nd
由于△θ的值非常小，上式可变为
l sinq q sin q sin q cos q q Nd
l q Nd cos q

0 x f
由光栅方程可得其重叠条件为：
jl j l
1 1 2
2
六衍射光谱
入射光为白光时， q k不同，按波长分开形成光谱. l不同，
( b a ) sin q kl
( k 0 ,1 ,2 , )
I
sin q
l ba
0
一级光谱
三级光谱二级光谱
I
sin q
l ba
从物理上看，处理方法都是从位相差着手。
从数学上，干涉是有限求和，衍射是无限积分。
光栅衍射实验装置
衍射角
L
P
Q
b
q
a
ba
光栅常数
o
f
二光栅衍射条纹的形成光栅的衍射条纹是单缝衍射和多光束干涉的总效果.
光栅常数：105 ~ 106 m 衍射角
q
( b a ) sin q
E10 E20 E30 E40 E50
kl , k 1, q 38
1 N 9729 条 ba
o
( b a ) 1.028μm
o
( b a ) sin q （2） q 90 k 1.6 2 l
只能看到第一
级衍射明纹
六. 光栅光谱
复色光如果有几种单色光同时投射在光栅上，在屏上将出现光栅光谱。中央主极大（零级谱）仍为白色，无色散，其余各级光谱对称地分列两旁。屏

第二章光栅特讲

五. 光栅方程六. 谱线的半角宽度（）七. 谱线的缺级
衍射光栅
-2级光谱
-1级光谱
中央亮纹
1级光谱
2级光谱
【引言】
1、广义定义：在一定的空间范围内，具有空间周期性结构，能够按一定规律对光波（电磁波）进行调制（振幅和位相）的物体或者装置。 2、研究方法：多光束干涉和衍射；傅里叶变换。 3、分类：衍射光栅和计量光栅；1D,2D,3D 光栅；透射和反射光栅
2
表明，光栅衍射是单缝衍射和多缝干涉共同作用的结果。
式中
b sin sin 称为单缝衍射因子 2 A0 2 b sin
2
d sin N sin 称为缝间干涉因子 2 d sin sin
5· 光栅衍射的强度分布 2 由于光栅上有多条狭缝存在，所以除了单缝衍射外，还存在各缝间光束的干涉。光栅衍射强度应是二者共同作用的结果。由积分可求得其表达式。任意衍射角对应的P点处光强为：
b d 2 sin sin sin N sin 2 I p A0 2 2 d b sin sin sin
j 第j级谱线位置为： sin d 其一侧第一暗纹位置为：两式相减得： sin
jN 1
Nd
sin sin

Nd
将上式左侧展开、化简可得， cos 谱线半角宽度

Nd

Nd cos
5· 谱线的缺级 6
2
缝间干涉因子：决定各种、各级条纹的位置。单缝衍射因子：决定各种、各级条纹的光强度。
3．对衍射图样的定性分析： ⑴.单缝衍射：每个缝均发生衍射，且衍射 b sin( sin ) A 分布相同，遵循： A b sin

平面衍射光栅

讨论
Multiple rays interference
d d
a a a b b a b
B

I
C C C B B
BC (a b) sin d sin
2
BC

1) Grating equation 光栅方程
principal maxima 主明纹
屏（4）强度分布中保留了单缝衍射因子，幕
就是曲线的包迹（轮廓），与单缝衍射曲线形势一样
三、强度分布
缝间多(N)光束干涉干涉因子
P点的光强
b sin u
sin u sin Nv I (P) I0 2 2 u sin v
单缝衍射衍射因子
2
2
d sin v
结论：多缝衍射光强分布是多光束干涉光强分布受单缝衍射光强分布调制的结果。
缺级缺级
2 4 5
-5 -4
-2 -1
1
2
3) Lack of the order 缺级：
：
(a b) sin j (1)
j 0 1. 2. 3...
b sin k (2)
k 1. 2. 3...
ab d jk k (3) b b k 1. 2. 3...
I
-2 -5 -4
缺级
缺级
2 4 5
-2 -1
1
2
3) Lack of the order 缺级
Only is there diffraction 只考虑单缝衍射:
I
-2
-1
1
2
Only is there interference 只考虑多光束干涉： I

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第1章到第3章为应用光学部分，介绍了几何光学基础知识和光在光学系统中的传播和成像特性，注意介绍了激光系统和红外系统;第4～8章为物理光学部分，讨论了光在各向同性介质、各向异性介质中的传播规律，光的干涉、衍射、偏振特性及光与物质的相互作用，并结合介绍了DWDM、双光子吸收、Raman放大、光学孤子等相关领域的应用和进展。

第9章则专门介绍航天光学遥感、自适应光学、红外与微光成像、瞬态光学、光学信息处理、微光学、单片光电集成等光学新技术。

绪论0.1光学的研究内容和方法0.2光学发展简史第1章光的干涉1.1波动的独立性、叠加性和相干性1.2由单色波叠加所形成的干涉图样1.3分波面双光束干涉1.4干涉条纹的可见度光波的时间相干性和空间相干性1.5菲涅耳公式1.6分振幅薄膜干涉(一)——等倾干涉1.7分振幅薄膜干涉(二)——等厚干涉视窗与链接昆虫翅膀上的彩色1.8迈克耳孙干涉仪1.9法布里一珀罗干涉仪多光束干涉1.10光的干涉应用举例牛顿环视窗与链接增透膜与高反射膜附录1.1振动叠加的三种计算方法附录1.2简谐波的表达式复振幅附录1.3菲涅耳公式的推导附录1.4额外光程差附录1.5有关法布里一珀罗干涉仪的(1-38)式的推导附录1.6有同一相位差的多光束叠加习题第2章光的衍射2.1惠更斯一菲涅耳原理2.2菲涅耳半波带菲涅耳衍射视窗与链接透镜与波带片的比较2.3夫琅禾费单缝衍射2.4夫琅禾费圆孔衍射2.5平面衍射光栅视窗与链接光碟是一种反射光栅2.6晶体对X射线的衍射视窗与链接与X射线衍射有关的诺贝尔奖附录2.1夫琅禾费单缝衍射公式的推导附录2.2夫琅禾费圆孔衍射公式的推导附录2.3平面光栅衍射公式的推导习题第3章几何光学的基本原理3.1几个基本概念和定律费马原理3.2光在平面界面上的反射和折射光导纤维视窗与链接光导纤维及其应用3.3光在球面上的反射和折射3.4光连续在几个球面界面上的折射虚物的概念3.5薄透镜3.6近轴物近轴光线成像的条件3.7共轴理想光具组的基点和基面视窗与链接集成光学简介附录3.1图3-6中P1和JP1点坐标的计算附录3.2棱镜最小偏向角的计算附录3.3近轴物在球面反射时物像之间光程的计算附录3.4空气中的厚透镜物像公式的推导习题第4章光学仪器的基本原理4.1人的眼睛4.2助视仪器的放大本领4.3目镜4.4显微镜的放大本领4.5望远镜的放大本领视窗与链接太空实验室——哈勃太空望远镜 4.6光阑光瞳4.7光度学概要——光能量的传播视窗与链接三原色原理4.8物镜的聚光本领视窗与链接数码相机4.9像差概述视窗与链接现代投影装置4.10助视仪器的像分辨本领视窗与链接扫描隧显微镜4.11分光仪器的色分辨本领习题第5章光的偏振5.1自然光与偏振光5.2线偏振光与部分偏振光视窗与链接人造偏振片与立体电影5.3光通过单轴晶体时的双折射现象5.4光在晶体中的波面5.5光在晶体中的传播方向5.6偏振器件5.7椭圆偏振光和圆偏振光5.8偏振态的实验检验5.9偏振光的干涉5.10场致双折射现象及其应用视窗与链接液晶的电光效应及其应用5.11旋光效应5.12偏振态的矩阵表述琼斯矢量和琼斯矩阵附录5.1从沃拉斯顿棱镜出射的两束线偏振光夹角公式(5-15)的推导习题第6章光的吸收、散射和色散6.1电偶极辐射对反射和折射现象的解释6.2光的吸收6.3光的散射视窗与链接光的散射与环境污染监测6.4光的色散6.5色散的经典理论习题第7章光的量子性7.1光速“米”的定义视窗与链接光频梳7.2经典辐射定律7.3普朗克辐射公式视窗与链接xx年诺贝尔物理学奖7.4光电效应7.5爱因斯坦的量子解释视窗与链接双激光束光捕获7.6康普顿效应7.7德布罗意波7.8波粒二象性附录7.1从普朗克公式推导斯忒藩一玻耳兹曼定律附录7.2从普朗克公式推导维恩位移定律习题第8章现代光学基础8.1光与物质相互作用8.2激光原理8.3激光的特性8.4激光器的种类视窗与链接激光产生106T强磁场8.5非线性光学8.6信息存储技术8.7激光在生物学中的应用视窗与链接王淦昌与惯性的束核聚变习题主要参考书目基本物理常量表习题答案1.阳光大学生网课后答案下载合集2.《光学》赵凯华钟锡华课后习题答案高等教育出版社3.光学郭永康课后答案高等教育出版社4.阳光大学生网课后答案下载求助合集。

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第9章则专门介绍航天光学遥感、自适应光学、红外与微光成像、瞬态光学、光学信息处理、微光学、单片光电集成等光学新技术。

光学教程第三版（姚启钧著）：内容简介绪论0.1 光学的研究内容和方法0.2 光学发展简史第1章光的干涉1.1 波动的独立性、叠加性和相干性1.2 由单色波叠加所形成的干涉图样1.3 分波面双光束干涉1.4 干涉条纹的可见度光波的时间相干性和空间相干性 1.5 菲涅耳公式1.6 分振幅薄膜干涉(一)——等倾干涉1.7 分振幅薄膜干涉(二)——等厚干涉视窗与链接昆虫翅膀上的彩色1.8 迈克耳孙干涉仪1.9 法布里一珀罗干涉仪多光束干涉1.10 光的干涉应用举例牛顿环视窗与链接增透膜与高反射膜附录1.1 振动叠加的三种计算方法附录1.2 简谐波的表达式复振幅附录1.3 菲涅耳公式的推导附录1.4 额外光程差附录1.5 有关法布里一珀罗干涉仪的(1-38)式的推导附录1.6 有同一相位差的多光束叠加习题第2章光的衍射2.1 惠更斯一菲涅耳原理2.2 菲涅耳半波带菲涅耳衍射视窗与链接透镜与波带片的比较2.3 夫琅禾费单缝衍射2.4 夫琅禾费圆孔衍射2.5 平面衍射光栅视窗与链接光碟是一种反射光栅2.6 晶体对X射线的'衍射视窗与链接与X射线衍射有关的诺贝尔奖附录2.1 夫琅禾费单缝衍射公式的推导附录2.2 夫琅禾费圆孔衍射公式的推导附录2.3 平面光栅衍射公式的推导习题第3章几何光学的基本原理3.1 几个基本概念和定律费马原理3.2 光在平面界面上的反射和折射光导纤维视窗与链接光导纤维及其应用3.3 光在球面上的反射和折射3.4 光连续在几个球面界面上的折射虚物的概念 3.5 薄透镜3.6 近轴物近轴光线成像的条件3.7 共轴理想光具组的基点和基面视窗与链接集成光学简介附录3.1 图3-6中P1和JP1点坐标的计算附录3.2 棱镜最小偏向角的计算附录3.3 近轴物在球面反射时物像之间光程的计算附录3.4 空气中的厚透镜物像公式的推导习题第4章光学仪器的基本原理4.1 人的眼睛4.2 助视仪器的放大本领4.3 目镜4.4 显微镜的放大本领4.5 望远镜的放大本领视窗与链接太空实验室——哈勃太空望远镜4.6 光阑光瞳4.7 光度学概要——光能量的传播视窗与链接三原色原理4.8 物镜的聚光本领视窗与链接数码相机4.9 像差概述视窗与链接现代投影装置4.10 助视仪器的像分辨本领视窗与链接扫描隧显微镜4.11 分光仪器的色分辨本领习题第5章光的偏振5.1 自然光与偏振光5.2 线偏振光与部分偏振光视窗与链接人造偏振片与立体电影 5.3 光通过单轴晶体时的双折射现象 5.4 光在晶体中的波面5.5 光在晶体中的传播方向5.6 偏振器件5.7 椭圆偏振光和圆偏振光5.8 偏振态的实验检验5.9 偏振光的干涉5.10 场致双折射现象及其应用视窗与链接液晶的电光效应及其应用5.11 旋光效应5.12 偏振态的矩阵表述琼斯矢量和琼斯矩阵附录5.1 从沃拉斯顿棱镜出射的两束线偏振光夹角公式(5-15)的推导习题第6章光的吸收、散射和色散6.1 电偶极辐射对反射和折射现象的解释6.2 光的吸收6.3 光的散射视窗与链接光的散射与环境污染监测6.4 光的色散6.5 色散的经典理论习题第7章光的量子性7.1 光速“米”的定义视窗与链接光频梳7.2 经典辐射定律7.3 普朗克辐射公式视窗与链接诺贝尔物理学奖7.4 光电效应7.5 爱因斯坦的量子解释视窗与链接双激光束光捕获7.6 康普顿效应7.7 德布罗意波7.8 波粒二象性附录7.1 从普朗克公式推导斯忒藩一玻耳兹曼定律附录7.2 从普朗克公式推导维恩位移定律习题第8章现代光学基础8.1 光与物质相互作用8.2 激光原理8.3 激光的特性8.4 激光器的种类视窗与链接激光产生106T强磁场8.5 非线性光学8.6 信息存储技术8.7 激光在生物学中的应用视窗与链接王淦昌与惯性的束核聚变习题主要参考书目基本物理常量表光学教程第三版（姚启钧著）：目录点击此处下载光学教程第三版（姚启钧著）课后题答案。

光学教程(重要)第2章光的衍射3

3、斜入射的光栅方程:
d sin sin 0 j
j 0,1,2,
0 0 0
当 : 与 0在法线同侧时取""; ,
与 0在法线异侧时取"". ,

六、谱线半角宽度
谱线角宽度：该谱线左、右两侧附加第一最小值所对应的衍射角之差。谱线半角宽度：该谱线中心点到一侧附加第一最小值所对应的衍射角之差。
设 : j 级谱线对应的衍射角为 , 其右附加第一最小值 jN 1级) ( 对应的衍射角为 , 则有 : j级主最大: sin j

d
( jN 1)级最小值: sin jN 1

Nd
Nd d Nd 又很小 sin sin sin cos cos
(2) 由光栅方程有 : j 即sin 1 jmax
d sin

在屏上能看到条纹的极限条件是

2
d
屏上能看到的条纹总数N 2 9 2 1 15
这种条纹通常称为光谱线。
（2）定性解释 A、∵单缝的夫琅禾费衍射图样，不随缝的上下移动而变化，∴若在缝平面上再开一些相互平行且等宽的狭缝面构成平面衍射光栅，则它们将给出与原单缝完全相同的图样并相互重叠，各最大值将在原位置上得到加强，故强度增大。 B、由于多缝的存在且缝间距相同（即：任意相邻缝对应点在屏上同一点叠加时，具有相同的位相差），缝间光束将发生相干叠加，形成等振幅多光束干涉。故将出现（N-2）个次最大和（N-1）个最小值。 C、由于光栅由多个单缝构成，故图样中保留了单缝衍射的因素。
其数量级约10-6 m

§2.4-平面衍射光栅概述

e dx
nd
A0
2i bsin
2i n d sin 2i b sin e e
2i n d sin
e
A0
sin
b
sin
bsin
i
e
b sin
2i
e
n d sin
（2）
将各项相加
Ep
A0
sin
b
sin
bsin
ei
(
kt
)
i
e
b
sin
i 2 d sin
1 e
2i 2 d sin
I M
lim v j
sin2 Nv sin2 v
N2
主极大条纹的位置—光栅方程
d sin j, j 0, 1, 2,
（7）（8）
（2）最小值（零点）的位置和此极大的数目.
Nv N d sin k
v d sin j
d
sin
k N
d k
sin
jN
k
N 0, N, 2N
1、联系：本质相同，干涉和衍射两者的本质都是波的相干叠加的结果。 2、区别：（1）形成条件不同。参与相干叠加的对象有所区别，干涉是有限几束光的叠加（离散相干光波的叠加），而衍射则是无穷多次波的相干叠加（连续相干光波的叠加），前者是粗略的，后者是精细的叠加。（2）图样分布特点不同。干涉和衍射花样都是明暗相间的条纹，但在光强分布上有间距均匀与相对集中的不同。（3）在处理问题的方法上不同。从物理角度来看，考虑叠加时的中心问题都是位相差，但位相差由分立（离散）变化到连续变化；从数学角度来看，相干叠加的矢量图由干涉的折线过渡到衍射的连续弧线，由有限项求和过渡到积分运算。

第五章衍射光栅（ＰＤＦ）

第五章衍射光栅如果光波在其传播路径上遇到某种障碍物，则将产生衍射，从一般意义上，光路上障碍物被定义为衍射屏。

衍射屏的作用，就是破坏原有自由空间的波前并重新构建波前，从而使光波场，即衍射场重新分布，前面讨论的具有圆孔、单缝、矩孔等空间结构的障碍物都是衍射屏。

除了上述结构简单的衍射屏之外，还有许多空间结构比较复杂的衍射屏，例如，具有多条狭缝或多个圆孔的衍射屏。

在种种结构复杂的衍射屏中，有一类是具有空间周期性结构的，其衍射的结果又比较简单的规律，而且容易进行数学上的分析，所以获得了很广泛的应用。

这种衍射屏就是衍射光栅。

衍射光栅：具有周期性空间结构或光学结构的衍射屏。

衍射光栅可以具有反射或透射结构，可以按不同的透射或反射率分为黑白光栅、正弦光栅，等等。

这类光栅由于使透射光或反射光的振幅改变，因而统称为振幅光栅。

还有一类光栅，对于入射光而言，是全透或全反的，但是透射光或反射光的相位将被改变，因而被称作相位光栅。

5.1多缝夫琅和费衍射在一个不透光的屏上，周期性地分布着一系列透光狭缝，这就是一种最简单的平面型透射式光栅。

相邻两缝的距离为d，狭缝的宽度为a，不透光部分的宽度为b，则a b ，d 是光栅的空间结构周期，称作光栅常数。

由于这类光栅指在一个方向上具有周期性结构，所以是一种一维光栅。

d +=采用夫琅和费衍射方式，平行光向光栅入射，光栅之后，有一焦距为f 的汇聚透镜，将衍射光汇聚到位于透镜焦平面处的接收屏上。

5.1.1 衍射强度在讨论单缝衍射时，我们曾经指出，如果单缝沿着衍射屏平移，而衍射装置的其它部分保持不变，则衍射的强度分布将不发生改变，因为位于透镜焦平面上的光强只与衍射光的方向有关。

因而，对于多缝衍射屏来说，其中每一个单缝，即每一个衍射单元在接收屏上所产生的衍射条纹都是相同的。

但是，来自不同狭缝的光，由于是相干的，因而相互之间也要进行相干叠加，实际上是一种干涉过程，而不是简单的光强相加。

对于衍射光栅来说，既有来自每一个衍射单元的波列各自的衍射，也有不同单元波列之间的干涉。

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2.5
N 2 jmax 1
（b）多缝干涉最小位置：当
sinN 0 sin 0
sin 2 N 时, 0, 2 sin
得最小光强
I 0.
j' dsin N
因此，多缝干涉最小值（暗纹）位置：
N
N dsin

j'
即
j ' 1， 2， ( N 1)，( N 1)， , (2 N 1)， (2 N 1)， , 3 N 1)， N 1), （ (3 或者j ' 0 , N , 2 N , 3N , 的整数。
透镜 L
像屏

条纹最高级数
j sin j d π , 2
o

P
x
a b
d
焦距 f
d j
dsin
光学
§ 2.5 平面衍射光栅
由于衍射角不可能大于90º ，所以主最大的级次jmax 满足 :
| jmax |
例，当＝0.4d 时，则
d

d
只可能有j＝0，±1，±2级次的主最大，而无更高级次的主最大。例，若 d ，除零级主最大外，别无其它级主最大存在。光栅衍射主最大的数目最多为：
dsin j
除零级以外，各级主最大的位置各不相同。我们将可以看到在衍射图样中有几组不同颜色的谱线，分别对应于不同的波长。
把波长不同的同级谱线集合起来构成一组谱线，称为光栅光谱。 ※ 对同级明纹，波长较长的光波衍射角较大。
※
白光或复色光入射，高级次光谱会相互重叠。
光学
§ 2.5 平面衍射光栅
缝平面G
透镜 L
像屏

2

d sin .
a b
d
设最上面的狭缝在P点的光振动相位为零,则各单缝在P点产生的复振幅分别为
o

P
x
焦距 f
sinu i 0 ~ E1 A0 e , u
dsin
光学
§ 2.5 平面衍射光栅
sinu i n 1 sinu i ~ sinu i 2 ~ ~ e , E2 A0 e , E3 A0 e , En A0 u u u b sin sinu i N 1 ~ ……… E A u e , N 0 u
bsin k , { dsin j .
d 得 j k . b
第 j 级干涉主极大被 k 级衍射极小调制掉.
d 例如 3, 则 j 3, 6 等级次被调制掉, 不出现. b
光栅主最大的缺级与波长无关，而由光栅参数决定。
光学
§ 2.5 平面衍射光栅
十、光栅光谱
如果入射光是包含几种不同的波长的复色光，由光栅主极大满足的光栅方程：
缝平面G
于是P点的复振幅为：
透镜 L
像屏

sin u i n 1 ~ EP A0 e u n 1
N
o

P
x
sin u 1 e A0 . i u 1 e
iN
a b
d
焦距 f
dsin
P点处衍射光强：
2
2
~ ~ ~ 2 sin u dI EP EP EP A0 2 N( sin ) sin Nv u
d

9
考虑到j=±4，±8缺级，而j＝10实际上看不到。则屏幕上呈现的全部亮条纹数为：
N 2k max 1 4 2 9 1 4 15( 条）
两个干涉主极大之间有(N-1)个由于干涉产生的光强为零的最小值.
光学
§ 2.5 平面衍射光栅

(c) 多缝干涉次极大位置次最大的角位置可由
d sin N 0 d sin
2
求得
因为在两相邻主最大之间有N－1个暗纹，而相邻两零光强暗纹之间应有一个次最大。
因此，两相邻主最大之间必有N－2个次最大。
d sin ) u ( b sin )
sin u sin N I I0 . 2 2 u sin
2
sin v
2
u
2
称为衍射因子；
sin
2
称为缝间干涉因子.
)
定量描述衍射花样的特征
单缝衍射因子×缝间干涉因子
光学
§ 2.5 平面衍射光栅
(1) 衍射因子
sin u 2 u
光学
§ 2.5 平面衍射光栅

2 sin 2 0.2 d
由光栅方程可知，第一级和第二级亮条纹的角位置为：
d 会聚透镜的焦距为f ,则它们距中央亮条纹的中心位置的
距离为：
sin 1
0.1
x1 f tg1 ,
当很小时，
因此
x2 f tg2
tg 2 sin 2
I max N I 0 .
2
a b
d
焦距 f
dsin
讨论光栅方程：
主极大角位置
dsin j
和缝数N无关
sin = 0， / d， 2/ d， … 条纹位置因很小，故
x f sin
缝平面G
j f xj f j d d
光栅常数越小，明纹间相隔越远；入射光波长越大，明纹间相隔越远。
2
b sin u
单缝衍射最小位置
sinu 0 由 u 0
即：当零，光强为零。
得
u k 0 (k 1, 2 , )
b sin k , （k 1, 2 ,）时，衍射因子为
sin 2 N （2）干涉因子： 2 sin
（a）多缝干涉主最大位置：当
d sin
dsin j 时,
——光栅方程
j
时
即
(j 0 , 1, 2 )
光强为
I max
2
sin 2 u N 2 I0 . 2 u
特别的，屏幕的中心处
0,

透镜 L
sin u lim 1, 2 0 u
光强取得最大值:
P

o

x
θ
θ θ

每个缝的衍射图样重叠 I
相干叠加
f
只要透镜光心的相对位置不变,则两套条纹的位置是完全一样的。
光栅每个缝形成的衍射图样都相同，且在屏幕上相互间完全重合. 各单缝的衍射光在屏幕上重叠时，由于它们都是相干光，所以缝与缝之间的衍射光将产生干涉，因此还必须考虑由各缝发出的多光束之间产生的干涉。
双重因素
四、光栅衍射的强度分布
光栅有N条狭缝，缝宽为b，光栅常数为d．由于透镜 L2 的作用，来自不同的狭缝的方向衍射光会聚在屏幕上同一点，形成多光束干涉．在夫琅和费远场条件下，各缝在P点产生的振动，振幅相同，相位不同。相邻两缝在方向上的光程差为：
d sin ,
相邻两个缝到 P点的相位差为
0
与0在法线同侧时取“＋”；与0在法线异侧时取“－”。
八、谱线的半角宽度
从主最大的中心到其一侧的附加第一最小值的角距离就是每一主极大谱线的半角宽度。第j级主极大明纹满足：
dsin j
最靠近j级主极大的第一级极小：j'=（Nj+1）
对第j级来说：
j dsin N
光栅光强分布曲线
sin 2 u u2
sin N sin 2
2
N 4, d 3b

2 b

b
0
2 d d

b
2 b
sin

2 2
sin u sin N I0 2 u sin 2

5 4 d d
2
d d
4 5 d d
sin
5 4 d d
由光栅方程可得其重叠条件为：
j j
1 1 2
2
例如：400nm的第三级(λ1=400 , j1=3 )与 600nm的第二级(λ2=600 , j2=2 )重叠。
光学
§ 2.5 平面衍射光栅
十一.闪耀光栅
光栅方程： d sin(2θв)=jλ
光学
§ 2.5 平面衍射光栅
十二. 光栅的制备
b a
S
*
屏幕
设光栅各缝的宽度都等于b，相邻两缝间不透明部分的宽度都等于a。光栅常数： d = a + b d 约10-2~10-3mm
它反映光栅的空间周期性，其倒数表示每毫米内有多少条狭缝，称为光栅密度，实验室内常用（600~1200）/mm的光栅。
光学
§ 2.5 平面衍射光栅
二、光栅衍射图样的特征
三、光栅衍射规律
光栅是由许多单缝组成的，每个缝都在屏幕上各自形成单缝衍射图样，由于各缝的宽度均相同，故它们形成的衍射图样都相同，每个缝的衍射图样是否错开？透镜
以双缝为例设每个缝宽均为b，

d
b
若只开上缝，衍射的中央亮纹在何处? 若只开下缝，衍射的中央亮纹在何处?
f
光学
§ 2.5 平面衍射光栅
2 P 0
2
sin cu × 4 A cos
2 2 0
2
2
六.干涉与衍射的关系
光学
§ 2.5 平面衍射光栅
七.光栅方程
平行光垂直入射时：
d sin j , ( j 0,1,2,3)
平行光倾斜（0）入射时：
d (sin sin ) j , ( j 0,1,2)