数学建模 拐角问题

直线拐弯点问题六种模型题型
直线拐弯点问题是数学中常见的一类问题，本文将介绍六种常见的模型题型。

1. 矩形拐弯问题
矩形拐弯问题是最简单的拐弯问题之一。

题目通常给出一个矩形，要求找到一个路径，使得通过矩形的两个相邻边进行拐弯，并使得路径长度最短。

此类问题常用最短路径算法来求解。

2. 圆弧拐弯问题
圆弧拐弯问题是在路径中出现了圆弧的情况。

这类问题通常在道路设计和船舶航行等领域中应用广泛。

求解圆弧拐弯问题时，需要考虑车辆或船只的半径、速度等因素。

3. 斜线拐弯问题
斜线拐弯问题是指路径中出现斜线的情况。

这类问题常见于实际生活中的道路设计和管道布置等情景。

求解斜线拐弯问题时，需要考虑路径的斜率以及车辆或管道的长度等因素。

4. 单次拐弯问题
单次拐弯问题是一种简单但常见的拐弯问题。

题目通常给出一个直线路径和一个拐弯点，要求找到一条路径，使得通过给定的拐弯点后能够回到直线路径上。

5. 多次拐弯问题
多次拐弯问题是指需要连续进行多次拐弯才能回到原始路径的问题。

这类问题通常需要考虑如何最优地选择拐弯点和路径，以保持总路径长度最短。

6. 变速拐弯问题
变速拐弯问题是指在进行拐弯过程中需要调整速度的问题。

这类问题涉及到动力学和力学等领域的知识，求解时需考虑速度的变化以及力的作用等因素。

以上是直线拐弯点问题的六种常见模型题型。

通过熟练掌握这些题型，并结合相应的数学模型和算法，我们可以更快、更准确地解决直线拐弯点问题。

拐角问题的知识点总结1. 拐角的定义首先，我们需要了解拐角的定义。

拐角是指两条直线在交点处所形成的角度。

拐角通常用一个小于180度的实数来表示。

在平面几何中，拐角可以分为内角和外角。

内角是由相交线的两边组成的角度，而外角是与内角相对的角度。

在三维空间中，可以定义更多种类的拐角，如顶角、对顶角等。

2. 拐角的性质拐角问题涉及到的性质有很多，下面我们来总结一下主要的性质。

a. 相关角：当两条直线相交时，它们所形成的拐角具有一定的关系。

例如，对顶角是相等的，邻补角相加等于180度等。

b. 角的度量：在几何学中，角的度量是非常重要的。

我们通常用度或弧度来表示角的大小。

度是最常见的度量单位，360度等于一圈。

而弧度是另一种度量角的方法，常用于解决三角函数和微积分问题。

c. 角的运算：对于两个角度，我们可以进行加、减、乘、除等运算。

这些运算在解决拐角问题中是非常有用的。

d. 角的分类：角可以根据大小和位置进行分类。

例如，锐角、直角、钝角等是根据角的大小进行分类，而顶角、对顶角等是根据角的位置进行分类。

3. 拐角问题的解决方法在解决拐角问题时，我们通常可以采用以下方法：a. 利用角的性质：根据角的性质，我们可以解决许多拐角问题。

例如，通过查找相邻角、对顶角和内外角的关系，可以求解未知角度的数值。

b. 利用三角函数：三角函数是解决拐角问题的有力工具。

例如，正弦定理、余弦定理和正切定理等可以帮助我们求解不规则三角形的角度和边长。

c. 利用相似三角形：当两个三角形相似时，它们对应的角度是相等的。

这一性质在解决拐角问题时非常有用。

d. 利用解析几何学方法：对于一些复杂的几何问题，我们可以利用坐标系和解析几何学的方法来求解。

通过建立坐标系和方程，我们可以求解未知的角度和边长。

4. 拐角问题的应用拐角问题在现实生活中有着广泛的应用。

例如，在建筑设计中，工程师需要计算各种角度和长度以保证建筑结构的稳定性。

在地理学中，航空、航海和地图制作等领域也需要利用拐角问题的知识来解决各种问题。

优化车道直行左转右转分配数学建模（最新版）目录一、问题的提出二、优化车道直行左转右转分配的数学建模方法1.引言2.车道直行左转右转分配问题的背景和意义3.数学建模方法的基本思路4.模型的建立和求解5.模型的验证和效果分析6.结论正文一、问题的提出随着我国城市化进程的加速，城市道路交通问题日益严重。

在城市道路交通系统中，车道直行左转右转分配问题是一个关键问题。

如何有效地对车道进行直行左转右转的分配，是提高道路通行效率、减少交通事故和缓解交通拥堵的重要手段。

二、优化车道直行左转右转分配的数学建模方法2.车道直行左转右转分配问题的背景和意义在城市道路交通系统中，车道直行左转右转分配问题涉及到交通流的分配和调度，直接影响到道路的通行效率和交通安全。

因此，研究车道直行左转右转分配问题具有重要的理论和实际意义。

3.数学建模方法的基本思路本文采用数学建模方法来研究车道直行左转右转分配问题。

基本思路是：首先，建立车道直行左转右转分配问题的数学模型；然后，通过求解模型，得到最优的车道直行左转右转分配方案；最后，通过模型的验证和效果分析，评价模型的有效性和实用性。

4.模型的建立和求解为了建立车道直行左转右转分配问题的数学模型，我们首先需要对问题的背景和条件进行深入的分析。

在此基础上，我们采用线性规划方法来建立模型，并使用单纯形法来求解模型。

5.模型的验证和效果分析为了验证模型的有效性和实用性，我们采用实际数据来对模型进行验证。

结果表明，模型的求解结果与实际情况相符，说明模型的有效性。

同时，通过对比实验，我们发现模型的求解结果具有最优性，说明模型的实用性。

6.结论本文采用数学建模方法，研究了车道直行左转右转分配问题。

通过模型的建立和求解，我们得到了最优的车道直行左转右转分配方案。

全国研究生数学建模比赛E题解答精选文档 TTMS system office room 【TTMS16H-TTMS2A-TTMS8Q8-参赛密码（由组委会填写）第十二届“中关村青联杯”全国研究生数学建模竞赛学校参赛队号队员姓名参赛密码（由组委会填写）第十二届“中关村青联杯”全国研究生数学建模竞赛题目数控加工刀具运动的优化控制摘要：本文基于计算机数控系统的工作原理，建立了刀具运动的优化控制模型，目的在于寻求机床刀具在单个坐标轴方向上的运动合理控制，从而增强机床运行的平稳性。

主要运用了S型曲线的加减速控制方法，建立了通用模型，该模型可通过已经设定的刀具加工路径，得出机床运动过程中任意一点的速度，从而验证所设定的符合加减速控制原理，得到最优的数控加工刀具的路径。

在该通用模型中，机床控制的加速度和速度都是连续变化的，因此通过渐变控制使机床运动按S型曲线式平稳变化，保证了速度的光顺及加速度的连续，提高了机床运动的平稳性，运用该模型，可以帮助寻找最优刀具路径，从而实现数控刀具加工的优化。

本论文的创新点在于模型适用范围广，突破了速度范围和加速度的限制不仅适用于S型曲线七阶段的加减速，而且适用于平稳性更强的五阶段和三阶段的S型曲线加减速控制路径。

论文中主要采用了力学分析建模、直线插补法建模和最优化方法建模。

在直线插补模型中，不论运行轨迹是直线还是曲线，刀具的运行都是按阶梯形路径行走，用步长乘以步数即可求得刀具的运行长度。

并且每一步长的增量均为分辨率∆∆∆，并且每个增量的长度均为分辨率的整数倍。

根据此原理，采用直线插补,,x y z法，建模可画出刀具沿轨迹的路径变化，在模型中输入刀具起点坐标和终点坐标即可求得刀具沿路径运行的长度。

对于问题一：根据问题二的相关提示，我们设定加工线型分别为正方形和八边形即转角分别为90°和135°，然后根据S型曲线的减加速控制方法，建立了力学分析模型，再运用牛顿第二定理和受力分析可得出速度变化特征。

数学拐角模型练习题一、选择题1. 在一个直角三角形中，直角所在的顶点是拐角的哪一种类型？A. 锐角B. 直角C. 钝角2. 在一个等边三角形中，每个内角都是多少度？A. 90度B. 120度C. 60度3. 在一个等腰直角三角形中，两个锐角的度数分别是多少？A. 45度B. 90度C. 60度4. 在一个钝角三角形中，最小的内角是多少度？A. 90度B. 120度C. 60度5. 在一个直角三角形中，直角的两边分别是3cm和4cm，斜边的长度是多少？A. 5cmB. 6cmC. 7cm二、填空题1. 在一个等边三角形中，每个内角的度数是_______度。

2. 在一个等腰直角三角形中，直角边的长度是5cm，那么等腰边的长度是________cm。

3. 在一个直角三角形中，直角的两边分别是4cm和6cm，斜边的长度是________cm。

4. 在一个钝角三角形中，最大的内角是________度。

5. 在一个锐角三角形中，两个锐角的度数分别是60度和________度。

三、计算题1. 一个等腰直角三角形的直角边长为3cm，求等腰边的长度和斜边的长度。

2. 在一个直角三角形中，直角的两边分别是8cm和15cm，求斜边的长度。

3. 在一个锐角三角形中，两个锐角的度数分别是30度和45度，求第三个内角的度数。

4. 在一个钝角三角形中，最小的内角为100度，求最大的内角和第三个内角的度数。

5. 在一个等腰直角三角形中，等腰边长为6cm，求直角边和斜边的长度。

四、应用题1. 甲同学在校园里看到一块广告牌，形状如图所示。

已知AB段是水平的，AD段是垂直的。

已知角A和角B分别为45度和30度，求角C的度数。

2. 乙同学在画一块旗子，需要将旗子分为两个等腰直角三角形，如图所示。

已知角A的度数为60度，求角B的度数。

3. 丙同学正在修建一个房子的屋顶，需要制作一个等腰直角三角形的木架来支撑屋顶。

已知直角边的长度为4m，求等腰边的长度和斜边的长度。

优化车道直行左转右转分配数学建模摘要：一、背景介绍1.城市交通现状及问题2.优化车道直行左转右转的意义二、数学建模方法1.优化车道直行左转右转分配的数学模型2.模型参数及变量定义3.数学模型的求解方法三、案例分析1.某城市交通实际情况概述2.应用数学模型进行车道直行左转右转分配的优化3.优化结果及效果分析四、推广与应用1.模型在其他城市的应用前景2.实施过程中的挑战与应对策略3.对未来城市交通出行的影响正文：随着我国城市化进程的加快，交通问题日益突出，道路拥堵成为城市发展的一大难题。

为解决这一问题，研究者提出了一种优化车道直行左转右转分配的数学建模方法。

一、背景介绍在城市交通中，车道直行左转右转的分配问题直接关系到道路的通行能力。

合理分配车道直行左转右转，可以有效提高道路利用率，减少拥堵，降低车辆能耗和尾气排放。

因此，对车道直行左转右转分配进行优化具有重要的现实意义。

二、数学建模方法为了实现车道直行左转右转的优化分配，研究者提出了一种数学模型。

首先，通过对交通流量的分析，建立了直行、左转和右转车流量之间的数学关系。

其次，定义了模型参数，如车道数量、交通信号配时等。

最后，采用线性规划等方法求解模型，得到最优的车道直行左转右转分配方案。

三、案例分析以某城市为例，我们应用上述数学模型进行了车道直行左转右转分配的优化。

首先，收集了该城市某路口的交通数据，包括各时段的车流量、车型等。

然后，将数据代入数学模型，求解得到优化后的车道直行左转右转分配方案。

最后，通过实际观测和数据分析，验证了优化方案的有效性。

四、推广与应用本研究所提出的数学模型具有很好的通用性和实用性，可推广至其他城市进行应用。

在实际推广过程中，可能会遇到一些挑战，如交通数据的收集和准确性、交通信号配时的调整等。

为应对这些挑战，研究者需要与交通管理部门紧密合作，共同推进优化方案的实施。

综上所述，通过优化车道直行左转右转分配的数学建模方法，我们可以有效提高城市道路的通行能力，缓解交通拥堵问题。

6
写 Lingo 程序求解。
X0kg 原料
0.5X0kg 洗衣粉 0.3X0kg 洗涤剂
X1kg 普通洗衣粉 X2kg 浓缩洗衣粉
X1kg 普通洗衣粉 X2kg 浓缩洗衣粉
图 13-1 洗衣粉和洗涤剂加工示意图
14. 柴油机生产问题☆☆☆
某柴油厂接到今年 1 至 4 季度柴油机生产订单分别为：3000 台，4500 台，3500 台，5000 台，该厂每季度正常生产量为 3000 台，若加班可多生产 1500 台。正常生 产成本为每台 5000 元，加班生产还要追加成本每台 1500 元。库存成本为每台每季 度 200 元，问该柴油机厂该如何组织生产才能使生产成本最低？试编写 Lingo 程序 求解。
利润最大？试编写 Lingo 程序求解。
表 12-1 原料油的质量及成本数据
序号（i） 原料
辛烷值 含硫量/% 成本/（元·t－1） 可用量（t·日－1）
1
直馏汽油
62
1.5
600
2000
2
催化汽油
78
0.8
900
1000
3
重整汽油
90
02
1400
500
序号（i） 1 2 3
表 12-2
产品 70 号汽油 80 号汽油 85 号汽油
图 6.1 飞机降落曲线
已知飞机的飞行高度为 h ，飞机的着陆点为原点 O ，且在整个降落过程中，飞机的水 平速度始终保持为常数 u ，出于安全考虑，飞机垂直加速度的最大绝对值不得超过 g ，此
10 处 g 是重力加速度。 (1) 若飞机从 x = x0 处开始下降，试确定出飞机的下落曲线； (2) 设 h = 1000米 ， u = 540公里 / 小时 ，求开始下降点 x = x0 所能允许的最小值；

二、工作目标
通过安全生产监管执法计划的实施，生产经营单位安全生产主体责任进一步落实，全区 安全生产杜绝重特大事故，遏制较大生产安全事故，减少一般生产安全事故，各类生产安全 事故指标控制在市政府下达的考核指标内。全区安全生产高危领域和重点监管单位的监管面 达到 100％。
三、主要任务
（员搜索
0.31 0.00
0231
1
342米。
经过以上分析得到，最慢与最快的人员相差 3040 米，平均得：每人之间相差 160 米。即，增加的人员要帮在拐第一个弯时外侧第二个人员节约至少
160 0.31- 0.63600 0.24 小 时 。 即 ， 要 帮 助 拐 第 一 个 弯 时 外 侧 第 二 个 人 员 搜 索
在问题一中我们把该区域分为 126 个 800 800 的网格，只有 20 人的时候探测范围 为 800 米，所以我们把 50 人的队伍分为 20、20、10，通过对图一的分析，我们得到图 四为本题的路线（图中红线区域将 800800 的正方形细分为 400 400 的）。
终
起
点
点
5
10 人
20 人（一组）
1
§1 问题的重述
5.12 汶川大地震使震区地面交通和通讯系统严重瘫痪。救灾指挥部紧急派出多支 小分队，到各个指定区域执行搜索任务，以确定需要救助的人员的准确位置。在其它场 合也常有类似的搜索任务。在这种紧急情况下需要解决的重要问题之一是：制定搜索队 伍的行进路线，对预定区域进行快速的全面搜索。通常，每个搜索人员都带有 GPS 定 位仪、步话机以及食物和生活用品等装备。队伍中还有一定数量的卫星电话。GPS 可以 让搜索人员知道自己的方位。步话机可以相互进行通讯。卫星电话用来向指挥部报告搜 索情况。

阻滞增长模型(Logistic模型)
人口增长到一定数量后，增长率下降的原因： 资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用 且阻滞作用随人口数量增加而变大 假定 r是x的减函数
r ( x) r sx (r, s 0)
r
o
r~固有增长率(x很小时)
r(x)
xm
x
r ( x) r sx (r, s 0)
线性和非线性
建模目的
了解程度
描述、优化、预报、决策、…
白箱 灰箱 黑箱
怎样学习数学建模
数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术
技术大致有章可循 想象力 艺术无法归纳成普遍适用的准则 洞察力 判断力
• 学习、分析、评价、改进别人作过的模型
• 亲自动手，认真作几个实际题目
数学建模工具软件介绍 数学建模一般借助于数学软件. 如：Mathematica、 Matlab、SAS、 SPSS、MathCAD、lingo、 Maple…
数学建模的重要意义
• 电子计算机的出现及飞速发展； • 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。 数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一 步，越来越受到人们的重视。
• 在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；
• 在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具
数学建模的具体应用
• 分析与设计
• 预报与决策
D
a φ
O C
b
D
1. 问题分析与建立模型 如图所示：设钢管与地面夹角为
φ
C O
a
b
，钢管在廊尽拐角处的长度为L(φ)， b a 则 L() CO OD
.
图1-1-1
cos
sinΒιβλιοθήκη dL b sin a cos b sin a cos 2 2 d cos sin sin2 cos2

拐角问题总结1. 问题背景拐角问题是指在空间中的两条线段、边或面相交形成的一个靠近交点的尖角。

在不同领域中，拐角问题涉及的具体情况有所不同，但其解决方法和技巧可以总结为一些通用的原理。

2. 拐角问题的应用领域拐角问题的应用领域非常广泛，以下是一些常见的应用领域：2.1 几何学拐角问题在几何学中经常出现，例如计算两条线段的夹角、计算平面图形的内外角等。

2.2 物理学在物理学中，拐角问题涉及到力学、光学等多个子领域。

例如，当光线经过一个透明介质表面上的拐角时，会发生折射现象。

2.3 计算机图形学在计算机图形学中，拐角问题与三维建模、渲染等相关。

例如，在渲染一个三角形时，需要计算其顶点之间的拐角以确定光照效果。

3. 拐角问题的解决方法针对不同的拐角问题，可以采用不同的解决方法，但下面总结的几种方法适用于大多数情况：3.1 几何计算几何计算是解决拐角问题最基本的方法，通过数学计算和几何推导可以得到拐角的大小、形状等属性。

例如，可以通过向量运算求解两条线段之间的夹角。

3.2 近似方法对于复杂的拐角问题，有时候可以使用近似方法来简化计算过程。

例如，在三维建模中，可以使用面间角度的近似值来快速渲染复杂的拐角。

3.3 数值模拟对于无法直接通过几何计算或近似方法解析求解的拐角问题，可以使用数值模拟方法。

数值模拟通过离散化问题，使用数值计算方法来逼近真实结果。

3.4 图形算法在计算机图形学中，可以使用各种图形算法来处理拐角问题。

例如，在三维建模中，可以使用插值算法平滑拐角。

4. 拐角问题的挑战与解决策略4.1 复杂场景在复杂的场景中，拐角问题往往更加具有挑战性。

例如，在多边形图形中，计算各个顶点之间的拐角需要考虑多种情况。

解决策略可以包括简化问题、分解为多个子问题等。

4.2 数值稳定性在使用数值方法解决拐角问题时，数值稳定性往往是一个重要的考虑因素。

解决策略可以包括数值调优、使用高精度计算等。

4.3 计算效率对于实时应用，计算效率是一个重要的指标。

2022年秋季-福师《数学建模》在线作业二-0003
试卷总分:100 得分:100
一、判断题 (共 40 道试题,共 80 分)
1.最小二乘法估计是常见的回归模型参数估计方法
<-A.->错误
<-B.->正确
【正确答案】:B
2.样本平均值和理论均值不属于参数检验方法
<-A.->错误
<-B.->正确
【正确答案】:A
3.量纲齐次原则指任一个有意义的方程必定是量纲一致的<-A.->错误
<-B.->正确
【正确答案】:B
4.对实际问题建模没有确定的模式
<-A.->错误
<-B.->正确
【正确答案】:B
5.数学建模以模仿为目标
<-A.->错误
<-B.->正确
【正确答案】:A
6.利用乘同余法可以产生随机数
<-A.->错误
<-B.->正确
【正确答案】:B
7.大学生走向工作岗位后就不需要数学建模了
<-A.->错误
<-B.->正确
【正确答案】:A。

病床转弯问题的数学模型摘要：当病床的长、宽和走廊宽度三者之间满足什么条件时才可把病床平推转过走廊拐角，这是一类生活中比较常见的问题。

本文从分析我们通常用来解决这类问题的策略入手，建立起三个逐步改进的数学模型，给出了与各种搬运策略下可以把病床平推转过走廊拐角的充分必要条件，圆满地解决了这类问题。

一、问题的引入如图-1所示，在医院中经常遇到这样的问题：需要把病床平推转过走廊的拐角。

在搬运笨重的家具和在包装箱内设备等情况下常常会遇到类似的问题。

如果我们能根据有关尺寸预先判断出能否搬运过走廊拐角，在可以搬运过走廊拐角时能进一步确定应当采用什麽搬运策略，那么我们就可以省去许多不必要的麻烦，避免出现费了很大的周折却最终发现无法搬运过走廊拐角的情况。

这类问题实际上可以通过分析走廊宽度为w 、病床长度L 、病床宽度h 三者之间的关系来解决，即归结为如下形式的问题：已知走廊宽度为w ，病床长度和宽度分别为L 和h ，当w 、L 、h 满足是么关系时可以把病床平推转过走廊的拐角。

二、模型一这个问题看起来非常简单。

先把病床推进走廊拐角，使靠拐角一边的中点恰好顶住拐角，然后转动病床，只要病床另外一边的两个角在转动过程中碰不到走廊的墙即可把病床平推转过拐角。

根据这个思路，我们得到这个问题的第一个模型。

假设在转弯过程中我们的策略是先把病床推进走廊拐角，使靠拐角一边的中点恰好顶住拐角，然后转动病床。

由于当病床宽度超过走廊宽度时不可能把病床推进走廊，因此假设w h ≤<0。

如图2所示，2L OB AO ==，h BD AC ==。

在转动过程中D C ,两点的轨迹是一O 点为圆心，OD OC R ==为半径的圆弧，因此，只要圆弧的半径不超过走廊宽度就可以 把病床平推过走廊拐角，即：2222w h L ≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛ w h ≤<0 化简得：222h w L -≤ w h ≤<0 (1) 即：当病床的长度L 不超过走廊宽度w 与病床宽度h 的平方差的平方根的二倍时，我们就可以把病床平推转过走廊拐角。

初中数学角度计算中11个经典模型（56页wo rd）模型1猪脚模型图1 图2【条件】如图1【结论】∠3=∠1+∠2【证明】如图2，过拐点作平行线∠1=∠4，∠5=∠2∠3=∠4+∠5=∠1+∠2即∠3=∠1+∠2例题1 如图，∠BCD＝70°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（）A．∠α+∠β＝110°B．∠α+∠β＝70°C．∠β﹣∠α＝70°D．∠α+∠β＝90°【分析】过点C作CF∥AB，根据平行线的性质得到∠BCF＝∠α，∠DCF＝∠β，即可解答．【解析】如图，过点C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥CF∥DE，∴∠BCF＝∠α，∠DCF＝∠β，∵∠BCD＝70°，∴∠BCD =∠BCF+∠DCF＝∠α+∠β＝70°，∴∠α+∠β＝70°．故选B．【小结】考查平行线性质，正确作出辅助线，掌握平行线的性质进行推理证明是解题关键.变式1 在数学课本中，有这样一道题：已知：如图1，B C BEC ∠+∠=∠．求证：//AB CD 请补充下面证明过程：证明：过点E ，作//EF AB ，如图2 ∴B ∠=∠______（_________________）∵B C BEC ∠+∠=∠，BEF ∠+∠_______=BEC ∠（已知） ∴B C BEF FEC ∠+∠=∠+∠（___________） ∴∠______=∠_______∴//EF _____（________________） ∵//EF AB ∴//AB CD【分析】根据平行线的判定与性质即可完成证明过程． 【解析】证明：过点E ，作//EF AB ，如图2， B BEF ∴∠=∠（两直线平行 内错角相等）， B C BEC ∠+∠=∠，BEF FEC BEC ∠+∠=∠（已知）， B C BEF FEC ∴∠+∠=∠+∠（等量代换）， C FEC ∴∠=∠，//EF DC ∴（内错角相等 两直线平行）， //EF AB ，//AB CD ∴故答案为：BEF ，两直线平行 内错角相等，FEC ，等量代换，C ，FEC ，DC ，内错角相等 两直线平行．【小结】考本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质，并熟练运用．变式2 请你探究：如图（1），木杆EB 与FC 平行，木杆的两端B 、C 用一橡皮筋连接（1）在图（1）中，B 与C ∠有何关系？（2）若将橡皮筋拉成图（2）的形状，则A ∠、B 、C ∠之间有何关系？ （3）若将橡皮筋拉成图（3）的形状，则A ∠、B 、C ∠之间有何关系？ （4）若将橡皮筋拉成图（4）的形状，则A ∠、B 、C ∠之间有何关系？ （5）若将橡皮筋拉成图（5）的形状，则A ∠、B 、C ∠之间有何关系？ （注：以上各问，只写出探究结果，不用说明理由）【分析】（1）利用平行线的性质“两直线平行，同旁内角相等”即可解答； （2）过点A 作AD ∥BE ，利用“两直线平行，内错角相等”即可得出结论； （3）同样过点A 作AD ∥BE ，利用“两直线平行，同旁内角互补”即可得出结论； （4）利用“两直线平行，同位角相等”和三角形外角性质可得出结论； （5）利用“两直线平行，同位角相等”和三角形外角性质可得出结论．图1【解析】（1）如图（1）∵EB 与FC 平行， ∴∠B +∠C =180º；图2（2）如图（2），过点A 作AD ∥BE ，则AD ∥BE ∥CF （平行于同一条直线的两条直线平行），∴∠B=∠BAD，∠C=∠DAC，∴∠B+∠C=∠BAD+∠DAC=∠BAC，即∠B+∠C=∠A；图3（3）如图（3），过点A作AD∥BE，则AD∥BE∥CF，∴∠B+∠BAD=180º，∠DAC+∠C=180º，∴∠B+∠BAD+∠DAC+∠C=360º，即∠B+∠A+∠C=360º；图4（4）如图（4），设BE与AC相交与D，∵EB与FC平行，∴∠C=∠ADE，∵∠ADE=∠A+∠B，∴∠A+∠B=∠C；图5（5）如图（5），设CF与AB相交与D，∵EB与FC平行，∴∠B=∠ADF，∵∠ADF=∠A+∠C，∴∠A+∠C=∠B．【小结】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质，作辅助平行线是解答的关键．变式3 如图,AB //EF ,∠D =90°,则α,β,γ的大小关系是（ ）A ．βαγ=+B ．90βαγ=+-︒C ．90βγα=+︒-D ．90βαγ=+︒-【分析】通过作辅助线,过点C 和点D 作CG //AB ,DH //AB ,可得CG //DH //AB ,根据AB //EF ,可得AB //EF //CG //DH ,再根据平行线的性质即可得γ+β-α=90°,进而可得结论． 【解析】如图,过点C 和点D 作CG //AB ,DH //AB ,∵CG //AB ,DH //AB , ∴CG //DH //AB , ∵AB //EF ,∴AB //EF //CG //DH , ∵CG //AB , ∴∠BCG =α,∴∠GCD =∠BCD -∠BCG =β-α, ∵CG //DH ,∴∠CDH =∠GCD =β-α, ∵HD //EF ,∴∠HDE =γ, ∵∠EDC =∠HDE +∠CDH =90°, ∴γ+β-α=90°,∴β=α+90°-γ．故选：D ．【小结】本题考查了平行线的性质,解决本题的关键是掌握平行线的性质．模型2铅笔模型图1 图2 【条件】如图1【结论】∠1+∠2+∠3=360°【证明】如图2，过拐点作平行线根据同旁内角互补得，∠1+∠4=180°，∠2+∠5=180°又∠3=∠4+∠5所以∠1+∠2+∠3=∠1+∠2+∠4+∠5=360°图3【推广】如图3，∠1+∠2+∠3+…+∠n = 180°(n-1)【即变异铅笔模型】变式4 综合探究：已知//AB CD ，点M 、N 分别是AB 、CD 上两点，点G 在AB 、CD 之间，连接MG 、NG ．图1 图2 （1）如图1，若GM GN ⊥，求AMG CNG +∠∠的度数；（2）如图2，若点P 是CD 下方一点，MG 平分BMP ∠，ND 平分GNP ∠，已知40BMG ∠=︒，求MGN MPN ∠+∠的度数．【分析】（1）过G 作//GH AB ，根据平行线的传递性、两直线平行内错角相等解题； （2）过G 作//GK AB ，过点P 作//PQ AB ，根据两直线平行，内错角相等性质解得40MGK BMG ∠=∠=︒，再根据角平分线性质，求得80BMP ∠=︒，最后再用平行线定理解题，证明QPN DNP ∠=∠，进而计算MGN MPN ∠+∠的值即可． 【解析】（1）如图1，过G 作//GH AB ，//AB CD ，////GH AB CD ∴AMG HGM ∴∠=∠，CNG HGN =∠∠ MG NG ⊥90MGN MGH NCH AMG CNG ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒图1（2）如图2，过G 作//GK AB ，过点P 作//PQ AB 设GND α∠=//GK AB ，//AB CD ， //GK CD ∴KGN GND α∴∠=∠=， //GK AB ，40BMG ∠=︒， 40MGK BMG ∴∠=∠=︒MG 平分BMP ∠，ND 平分GNP ∠，40GMP BMG ∴∠=∠=︒ 80BMP ∴∠=︒， //PQ AB ，80MPQ BMP ∴∠=∠=︒ND 平分CNP ∠， DNP GND α∴∠=∠=，//AB CD ，//PQ CD ∴，QPN DNP α∴∠=∠=， 40MGN α∴∠=︒+，80MPN α∠=︒-， 4080120MGN MPN αα∴∠+∠=︒++︒-=︒图2【小结】本题考查平行线的定理、角平分线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．变式5 如图1，四边形MNBD 为一张长方形纸片．（1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（BAE AEC ECD ∠∠∠、、），则BAE AEC ECD ∠+∠+∠=__________°． （2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（BAE AEF EFC FCD ∠∠∠∠、、、），则BAE AEF EFC FCD ∠+∠+∠+∠=__________°． （3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（BAE AEF EFG FGC GCD ∠∠∠∠∠、、、、），则BAE AEF EFG FGC GCD ∠+∠+∠+∠+∠=___________°． （4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪n 刀，剪出()1n +个角，那么这()1n +个角的和是____________°． 【分析】（1）过点E 作EH ∥AB ，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于180°的2倍；（2）分别过E 、F 分别作AB 的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的三倍；（3）分别过E 、F 、G 分别作AB 的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的三倍；（4）根据前三问个的剪法，剪n 刀，剪出n +1个角，那么这n +1个角的和是180n 度． 【解析】（1）过E 作EH ∥AB （如图②）． ∵原四边形是长方形， ∴AB ∥CD ， 又∵EH ∥AB ，∴CD ∥EH （平行于同一条直线的两条直线互相平行）． ∵EH ∥AB ，∴∠A+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵CD∥EH，∴∠2+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°，又∵∠1+∠2=∠AEC，∴∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°；（2）分别过E、F分别作AB的平行线，如图③所示，用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=540°；（3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，如图④所示，用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=720°；（4）由此可得一般规律：剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度．【小结】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点．变式6AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点．（1）如图1，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；（2）如图2，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；（3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，点G在直线CD 上，作∠BEG的平分线EH交PC于点H，若∠APC＝30°，∠P AB＝140°，求∠PEH的度数．【分析】（1）首先过点P作PQ∥AB，结合题意得出AB∥PQ∥CD，然后由“两直线平行，同旁内角互补”进一步分析即可证得∠A+∠C+∠A P C＝360°；（2）作PQ∥AB，结合题意得出AB∥PQ∥CD，根据“两直线平行，内错角相等”进一步分析即可证得∠A P C＝∠A−∠C；（3）由（2）知，∠A P C＝∠P AB−∠P CD，先利用平行线性质得出∠BEF＝∠PQ B＝110°，然后进一步得出∠P EG＝12∠FEG，∠GEH＝12∠BEG，最后根据∠P EH＝∠P EG−∠GEH即可得出答案．【解析】（1）∠A+∠C+∠A P C＝360°，证明如下：如图1所示，过点P作PQ∥AB，图1∴∠A+∠A PQ＝180°，又∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠C+∠C PQ＝180°，∴∠A+∠A PQ+∠C+∠C PQ＝360°，即∠A+∠C+∠A P C＝360°；（2）∠A P C＝∠A−∠C，证明如下：如图2所示，过点P作PQ∥AB，图2 ∴∠A＝∠A PQ，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠C＝∠C PQ，∵∠A P C＝∠A PQ−∠C PQ，∴∠A P C＝∠A−∠C；（3）由（2）知，∠A P C＝∠P AB−∠P CD，∵∠A P C＝30°，∠P AB＝140°，∴∠P CD＝110°，∵AB∥CD，∴∠PQ B＝∠P CD＝110°，∵EF∥P C，∴∠BEF＝∠PQ B＝110°，∵∠P EG＝∠P EF，∴∠P EG＝12∠FEG，∵EH平分∠BEG，∴∠GEH＝12∠BEG，∴∠P EH＝∠P EG−∠GEH＝12∠FEG−12∠BEG＝12∠BEF＝55°．【点睛】考查利用平行线性质与角平分线性质求角度综合运用，练掌握相关概念是解题关键.模型3双垂直模型【条件】∠B=∠D=∠ACE=90°.【结论】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.【证明】∵∠B=∠D=∠ACE=90°∴∠BAC+∠ACB=90°又∠ECD+∠ACB=90°∴∠BAC=∠DCE同理,∠ACB+∠DCE =90°，且∠CED+∠DCE =90°∴∠ACB=∠CED，得证。

数学建模视角下三角计算及应用问题的案例研究1. 引言1.1 背景介绍数目统计等。

在数学建模领域，三角函数及其计算是一个重要的研究方向。

三角函数在数学上具有广泛的应用，涉及到物理、工程、计算机科学等领域。

通过三角函数的运用，可以描述和研究各种现实世界中的周期性现象，如电子信号的波动、天体运行的规律等。

三角函数的计算是数学建模中的基础工作，通过建立合适的模型，可以更好地理解和描述各种复杂的现象。

三角函数的应用不仅仅局限于数学理论研究，还可以帮助解决现实生活中的实际问题，如地理测量、天文学观测、机械运动等。

本文将通过对三角函数的基本概念进行介绍，建立三角计算模型，分析应用案例，并进行模型结果与讨论，最后探讨模型的优化方法。

希望通过本文的研究，可以更好地理解和利用三角函数在数学建模中的重要作用。

1.2 研究目的本研究旨在探讨数学建模视角下三角计算及其应用问题，通过建立三角计算模型来分析实际问题，并在此基础上进行应用案例分析。

具体研究目的包括：深入了解三角函数的基本概念，探讨其在数学建模中的重要性和应用价值；建立三角计算模型，通过数学方法和计算技术对三角形的各种属性进行准确计算和分析；然后，通过应用案例分析，将数学建模与实际问题相结合，探讨在不同领域中三角计算的实际应用和解决方案；通过模型结果与讨论，总结并分析模型在实际问题中的表现，进一步探讨模型的优化方法，提高模型的准确性和实用性。

通过本研究的探讨，将深化对三角计算及其在数学建模中的应用问题的认识，为相关领域的研究和实践提供有益参考。

2. 正文2.1 三角函数的基本概念三角函数是数学中重要的概念之一，它主要涉及三角形的边和角之间的关系。

在三角函数中，最常见的有正弦函数、余弦函数和正切函数。

这些函数在数学建模中有着广泛的应用。

正弦函数（sin）代表角的对边与斜边的比值，余弦函数（cos）代表角的邻边与斜边的比值，正切函数（tan）代表角的对边与邻边的比值。

dL=diff(L)
dL =
3/2/cos(x)^2*sin(x)-1/sin(x)^2*cos(x)-4/5*tan(x)^2+4/5*cot(x)^2
画出L(x)的图形。程序及图如下：
>> x=0.2:0.00001:1.4;
dL=1.5./cos(x).^2.*sin(x)-1./sin(x).^2.*cos(x)-4/5.*tan(x).^2+4/5.*cot(x).^2;
其中 （2）
， （3）
（4）
由上面的（1）~（4）式得到L的表达式为：
（5）
将 ， ， 带入（5）式，得：
运用Matlab软件，先用命令clear x清除x的值，再对L求导。程序及结果如下：
>> syms x
L=1.5./cos(x)+1.0./sin(x)-0.8.*tan(x)-0.8.*cot(x);
plot(x,dL,'r-')
grid on
title('L’的图像')
xlabel('x'),ylabel('dL')
求驻点，即求方程dL=0的根，程序及结果如下：
x=0.4:0.00001:2*pi/5;
L=-3./(sin(x).^2).*cos(x)+2./(cos(x).^2).*sin(x);
2.学会用数学知识解决一些简单的实际问题。
二、实验内容：
1.问题重述：
在某医院走廊拐角处，垂直相交的两通道宽度分别是1m与1.5m,病床宽为0.80m，问病床至多为多长才能被推过此拐角？
2.建模及求解过程：
根据题目画出图形，如下图所示：

拐角模型练习题拐角模型是一种解决问题的思维工具，能够帮助我们从不同角度思考和分析可能的解决方案。

在这篇文章中，我们将通过一些练习题来深入探讨拐角模型的运用。

练习题一：某公司销售团队的业绩一直不佳，你作为团队的领导，应该如何改进销售情况？解答一：1. 定位问题：首先，我们需要明确销售团队的问题所在。

是销售人员的能力不足？是市场需求下降？还是竞争对手的强势？2. 寻找可能原因：第一种可能是销售人员的能力不足。

我们可以通过培训和指导来提高他们的销售技巧和知识水平。

第二个可能原因是市场需求下降。

我们需要进行市场调研，了解消费者需求的变化，并根据情况进行产品调整和创新。

最后一种可能原因是竞争对手的强势。

我们需要分析竞争对手的策略和市场份额，并寻找我们的差异化竞争优势。

3. 解决方案：针对不同可能的原因，我们可以采取以下措施：针对销售人员的能力不足，可以组织培训班和定期的销售技巧分享会，提升他们的销售能力。

对于市场需求下降，我们可以进行市场调研，了解消费者需求的变化并开展相应的产品创新。

对于竞争对手强势的情况，我们需要分析竞争对手的策略，并根据我们的差异化竞争优势来开展市场攻坚。

练习题二：某学校的学生学习效果不佳，你作为学校的管理者，应该如何提升学生的学习效果？解答二：1. 定位问题：首先，我们需要明确学生学习效果不佳的具体问题所在。

是学生学习动力不足？是教学方法不当？还是学习环境不良？2. 寻找可能原因：第一种可能是学生学习动力不足。

我们可以通过提供奖励机制或者丰富多样的课外活动激发学生的兴趣和动力。

第二个可能原因是教学方法不当。

我们需要评估教师的教学方法，培训他们采用更加有效的教学策略。

最后一种可能原因是学习环境不良。

我们可以改善学校的设施，提供舒适的学习环境，为学生创造良好的学习氛围。

3. 解决方案：根据不同的可能原因，我们可以采取以下措施：针对学生学习动力不足，可以设置学习激励机制，例如优秀学生奖学金和丰富多样的课外活动。