数学建模——数值计算方法总结

非线性数学建模与数值计算方法在当今社会的各个领域，非线性问题无处不在。

在处理这些非线性问题时，如何建立合理的数学模型和采用高效的数值计算方法成为了一大挑战。

非线性数学建模和数值计算方法是解决这些问题的关键。

一、非线性数学建模所谓非线性数学建模，是指在一定的数学理论支持下，对于某一研究问题，建立一个非线性的数学模型，来定量描述和分析问题的复杂性质和变化规律。

常见的非线性问题如：混沌、复杂动力学、非线性光学、非线性弹性等，这些问题也常常是跨学科研究的。

在这些问题中，模型的复杂性和精确性是十分重要的，而往往传统的线性模型无法满足研究的需要。

针对这些问题，使用非线性数学建模的方法，可以通过合适的方程模型，准确地描述复杂的现象，为研究提供重要的数学工具和分析手段。

二、数值计算方法在建立好数学模型后，我们需要使用数值计算方法对模型进行求解。

数值计算是通过数值方法求解实际的数学问题。

对于非线性问题的求解，因其特殊性质，使得求解过程十分复杂和困难。

然而，在数值计算的发展过程中，已经出现了许多高效的数值求解方法，如Newton法、分裂迭代法、Galerkin法、有限元法等。

这些数值计算方法在非线性问题的求解上，具有许多优点，如高精度、高效率、可自适应等，这些都使得非线性问题的求解变得更加可行和有效。

三、多尺度问题然而，在实际研究中，非线性问题往往是多尺度的，即问题的性质在不同的尺度下有不同的行为。

为了解决这一问题，我们需要使用多尺度建模和数值计算方法。

多尺度方法是指建立一个多尺度数学模型，将问题分解成不同的尺度上，将复杂问题分解为较小的模块，降低求解的难度。

在求解过程中，可以采用多重网格方法、耦合方法等，从而提高计算效率和精度。

在处理多尺度问题时，使用多尺度建模和数值计算方法，能够更好地描述和分析问题的各个尺度的行为，同时降低模型误差，提高模拟结果的可靠性和精度。

四、总结总之，非线性数学建模和数值计算方法是解决复杂问题的重要手段。

数学建模计算方法蒙特卡罗算法(该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法)数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法(比赛中通常会碰到大量的数据必须要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab 作为工具)线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题(建模比赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件实现) 图论算法(这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，必须要认真准备)动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法(这些算法是算法〔制定〕中比较常用的方法，很多场合可以用到比赛中)4建模计算法三层次结构：最高层：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果，因此也称为目标层。

中间层：这一层次中包涵了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由假设干个层次组成，包括所必须合计的准则、子准则，因此也称为准则层。

最底层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层。

递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及必须要分析的详尽程度有关，一般地层次数不受限制。

每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过 9 个。

这是因为支配的元素过多会给两两比较推断带来困难。

层次分析法的应用：在应用层次分析法研究问题时，碰到的主要困难有两个：(i)如何依据实际状况抽象出较为贴切的层次结构;(ii)如何将某些定性的量作比较接近实际定量化处理。

层次分析法对人们的思维过程进行了加工整理，提出了一套系统分析问题的方法，为科学管理和决策提供了较有说服力的依据。

但层次分析法也有其局限性，主要表现在：(i)它在很大程度上依赖于人们的经验，主观因素的影响很大，它至多只能排除思维过程中的严重非一致性，却无法排除决策者个人可能存在的严重片面性。

数学建模计算方法数学建模是指运用数学的方法和技巧解决实际问题的过程。

它是数学与其他学科的交叉融合，旨在通过建立数学模型，从而给出该问题的数学描述以及计算方法。

数学建模的计算方法是解决数学模型的关键步骤，下面将详细介绍数学建模的三种常用的计算方法：数值方法、优化方法和模拟方法。

首先，数值方法是通过数值计算来求解数学模型的一种方法。

它的基本思想是将问题转化为数值计算问题，利用离散的数值计算方法得到问题的近似解。

数值方法常用于求解无法用解析方法获得精确解的复杂数学模型。

其中的核心方法包括数值微积分、数值代数、数值逼近等。

数值方法的优点是能够较快地得到近似解，但是由于是近似解，所以其误差会存在一定的范围。

其次，优化方法是一种通过寻找最优解来求解数学模型的方法。

优化方法的目标是在模型的约束条件下，寻找使目标函数达到最大或最小值的决策变量。

它的基本思想是将问题转化为一个最优化问题，利用优化理论和算法来求解。

优化方法常用于求解资源配置、作业调度、生产运营等实际问题。

常见的优化方法有线性规划、整数规划、动态规划等。

优化方法的优点是能够找到最优解，但是对于复杂的问题，求解过程可能较为耗时。

最后，模拟方法是一种通过模拟现实系统的行为来求解数学模型的方法。

模拟方法的基本思想是将问题看作一个系统，通过建立与之对应的数学模型，模拟和观察该系统在不同条件下的行为，从而获得问题的解。

模拟方法常用于求解自然科学、社会科学等领域的问题，如气象预测、交通流模拟等。

常见的模拟方法有蒙特卡洛方法、离散事件仿真等。

模拟方法的优点是能够模拟现实系统的行为，但是对于复杂系统的模拟，需要考虑到各种因素的相互影响，因此模拟精度可能受到一定的限制。

总之，数学建模的计算方法包括数值方法、优化方法和模拟方法。

不同的计算方法适用于不同类型的问题，选择合适的计算方法可以有效地求解数学模型，并得到实际问题的解答。

在实际应用中，常常会结合不同的计算方法，综合运用，以获得更准确、更全面的结果。

数值计算方法数值计算方法是一种通过使用数字和计算机来解决数学问题的方法。

它使用数值近似和算法来处理复杂的数学运算，从而帮助人们在实际应用中获得准确和可靠的结果。

在本文中，我将介绍数值计算方法的基本原理、常见的数值计算方法以及其在不同领域的应用。

一、基本原理数值计算方法的基本原理是将复杂的数学问题转化为简单的数值近似。

当我们遇到无法直接求解的数学问题时，我们可以通过逼近、插值、数值积分等方法来找到问题的近似解。

这些方法依赖于数值计算的基本运算，如加法、减法、乘法和除法，以及根据需要进行的其他运算，如开方、求幂、对数等。

二、常见的数值计算方法1. 逼近法：逼近法是一种通过构造一系列逼近值来找到待求解问题的近似解的方法。

常见的逼近法包括线性逼近、多项式逼近和三角函数逼近等。

2. 插值法：插值法是通过已知数据点来推断未知数据点的数值的方法。

最常见的插值法是拉格朗日插值和牛顿插值。

3. 数值积分：数值积分是通过将定积分转化为求和的形式来计算复杂的积分问题的方法。

常见的数值积分方法包括矩形法、梯形法和辛普森法等。

4. 方程求解：方程求解是通过数值计算方法来找到方程的根的方法。

常见的方程求解方法包括二分法、牛顿迭代法和割线法等。

5. 数值微分：数值微分是通过数值计算方法来近似计算函数的导数的方法。

最常见的数值微分方法是中心差分法和前向差分法。

三、数值计算方法的应用数值计算方法在多个领域都有广泛的应用。

以下是数值计算方法在一些领域的应用示例：1. 物理学：数值计算方法在物理学中常用于解决运动、电磁场、量子力学等问题。

通过数值模拟和计算，可以得到粒子的轨迹、电场分布和能级结构等重要信息。

2. 工程学：数值计算方法在工程学中广泛应用于结构分析、流体力学、电路设计等领域。

通过数值模拟和计算，可以预测材料的强度、流体的流动特性和电路的性能等。

3. 经济学：数值计算方法在经济学中用于解决成本、收益、市场供需等问题。

通过数值模拟和计算，可以预测经济指标的变化趋势和决策的效果。

第一章 绪论误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差ε(x )=|x −x ∗|是x ∗的绝对误差，e =x ∗−x 是x ∗的误差，ε(x )=|x −x ∗|≤ε，ε为x ∗的绝对误差限（或误差限） e r =ex =x ∗−x x为x ∗ 的相对误差，当|e r |较小时，令 e r =ex ∗=x ∗−x x ∗相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：εr 即：|e r |=|x ∗−x||x ∗|≤ε|x ∗|=εr绝对误差有量纲，而相对误差无量纲若近似值x ∗的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到x ∗的第一位非零数字共有n 位，则称近似值 x ∗有n 位有效数字，或说 x ∗精确到该位。

例：设x=π=3.1415926…那么x ∗=3,ε1(x )=0.1415926…≤0.5×100,则x ∗有效数字为1位，即个位上的3，或说 x ∗精确到个位。

科学计数法：记x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m (其中a 1≠0),若|x −x ∗|≤0.5×10m−n ，则x ∗有n 位有效数字，精确到10m−n 。

由有效数字求相对误差限：设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m （a 1≠0）有n 位有效数字，则其相对误差限为12a 1×101−n由相对误差限求有效数字：设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m （a 1≠0）的相对误差限为为12（a 1+1）×101−n 则它有n 位有效数字令x ∗、y ∗是x 、y 的近似值，且|x ∗−x|≤η(x )、|y ∗−y|≤η(y)1. x+y 近似值为x ∗+y ∗,且η(x +y )=η(x )+η（y ）和的误差（限）等于误差（限）的和2. x-y 近似值为x ∗−y ∗,且η(x +y )=η(x )+η（y ）3. xy 近似值为x ∗y ∗,η(xy )≈|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x)4. η(xy )≈|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x)|y ∗|21．避免两相近数相减2．避免用绝对值很小的数作除数 3．避免大数吃小数 4．尽量减少计算工作量 第二章 非线性方程求根1.逐步搜索法设f (a ) <0, f (b )> 0，有根区间为 (a , b )，从x 0=a 出发， 按某个预定步长(例如h =(b -a )/N )一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f (x k )=f (a +kh )的符号，若f (x k )>0(而f (x k -1)<0),则有根区间缩小为[x k -1,x k ] (若f (x k )=0，x k 即为所求根), 然后从x k -1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：|x k -x k -1|< 为止，此时取x *≈(x k +x k -1)/2作为近似根。

数学建模中的常用算法在数学建模中，有许多常用算法被广泛应用于解决各种实际问题。

下面将介绍一些数学建模中常用的算法。

1.蒙特卡洛算法：蒙特卡洛算法是一种基于随机抽样的数值计算方法。

在数学建模中，可以用蒙特卡洛算法来估计概率、求解积分、优化问题等。

蒙特卡洛算法的基本思想是通过随机模拟来逼近所求解的问题。

2.最小二乘法：最小二乘法用于处理数据拟合和参数估计问题。

它通过最小化实际观测值与拟合函数之间的误差平方和来确定最优参数。

最小二乘法常用于线性回归问题，可以拟合数据并提取模型中的参数。

3.线性规划：线性规划是一种优化问题的求解方法，它通过线性方程组和线性不等式约束来寻找最优解。

线性规划常用于资源分配、生产计划、运输问题等。

4.插值算法：插值算法是一种通过已知数据点来推断未知数据点的方法。

常见的插值算法包括拉格朗日插值、牛顿插值和样条插值等。

插值算法可以用于数据恢复、图像处理、地理信息系统等领域。

5.遗传算法：遗传算法是一种模拟生物进化过程的优化算法。

它通过模拟遗传操作（如交叉、变异）来最优解。

遗传算法常用于复杂优化问题，如旅行商问题、机器学习模型参数优化等。

6.神经网络：神经网络是一种模拟人脑神经系统的计算模型。

它可以通过学习数据特征来进行分类、预测和优化等任务。

神经网络在图像识别、自然语言处理、数据挖掘等领域有广泛应用。

7.图论算法：图论算法主要解决图结构中的问题，如最短路径、最小生成树、最大流等。

常见的图论算法包括迪杰斯特拉算法、克鲁斯卡尔算法、深度优先和广度优先等。

8.数值优化算法：数值优化算法用于求解非线性优化问题，如无约束优化、约束优化和全局优化等。

常用的数值优化算法有梯度下降法、牛顿法、遗传算法等。

9.聚类算法：聚类算法用于将一组数据分为若干个簇或群组。

常见的聚类算法包括K均值算法、层次聚类和DBSCAN算法等。

聚类算法可用于数据分类、客户分群、图像分割等应用场景。

10.图像处理算法：图像处理算法主要用于图像的增强、恢复、分割等任务。