勾股定理(沪科版)

能是 ( D )
A. 9 cm B. 12 cm C. 15 cm
D. 18 cm
3. 已知点 (2，5)，(-4，-3)，则这两点的距离为_1_0__.
4. 如图，有两棵树，一棵高 8 米，另一棵高 2 米， 两棵树相距 8 米. 一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵 的树梢，问小鸟至少飞行多少米？
B
y
解：如图，过点 A 作 x 轴的垂线，
过点 B 作 x，y 轴的垂线，相交于A
5 4
点 C，连接 AB.
3
则 AC = 5 - 2 = 3，BC = 3 + 1 = 4. C
2B
在 Rt△ABC 中，由勾股定理得
1
AB AC2 BC2 5.
-3 -2 -1-1 O 1 2 3 x
∴ A，B 两点间的距离为 5.
例3 在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在 离地面 6 米处折断，树的顶部落在离树根底部 8 米处. 你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？
6 米
8米
A
6 米
C
8米
解：根据题意可以构建一个 直角三角形模型，如图. 在 Rt△ABC 中， AC = 6 米，BC = 8 米， 由勾股定理得
AB AC 2 BC 2 62 82
12
侧面展开图 12
A解：在 Rt△ABA′ 中，由勾股A 定理得
AB AA′2 BA′2 122 3 32 15(cm).
归纳 立体图形中求表面上两点间的最短距离，一般把 立体图形展开成平面图形，根据“两点之间线段最短” 确定最短路线，再根据勾股定理求最短路程.
例5 有一个圆柱形油罐，要以 A 点环绕油罐建梯子， 正好建在 A 点的正上方点 B 处，问梯子最短需多少米 (已知油罐的底面半径是 2 m，高 AB 是 5 m，π 取 3)?

O.若点 O 是 AC 的中点，
则 CD 的长为( A )
A．2 2
B．4
C．3
D． 10
11．[中考·益阳]在△ABC 中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC 的面积． 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路．请你按 照他们的解题思路，写出解答过程．
解：作 AD⊥BC 于 D，设 BD＝x，则 CD＝14－x， 根据勾股定理，得 AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2 ＝132－(14－x)2，∴152－x2＝132－(14－x)2，解得 x＝9. ∴AD2＝AB2－BD2＝152－92＝144. ∴AD＝12. ∴S△ABC＝12BC·AD＝12×14×12＝84.
证明：如图①，连接 DB，过点 D 作 BC 边上的高 DF 交 BC
的延长线于点 F，则 DF＝EC＝b－a. ∵S 四边形 ADCB＝S△ACD＋S△ABC＝12b2＋12ab＝S△ADB＋S△DCB＝12c2 ＋12a(b－a)， ∴12b2＋12ab＝12c2＋12a(b－a)， ∴a2＋b2＝c2.
4．[合肥寿春中学期中]在 Rt△ABC 中，斜边 AB＝2，则 AB2＋ BC2＋AC2＝____8____．
5．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，S△ABC＝30，AB＝13，且 BC＜ AC，则 BC＝____5____，AC＝____1_2___．
6．如图，点 E 在正方形 ABCD 内，满足∠AEB＝90°，AE＝6， BE＝8，则阴影部分的面积是( C ) A．48 B．60 C．76 D．80
12．[2019·合肥蜀山区校级期中]勾股定理神秘而美妙，它的证法 多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感， 他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图①或图②摆放 时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图①证明勾 股定理的过程： 将 两个全 等的直 角三角 形按图 ①所示 摆放， 其中 ∠ DAB＝ 90°.求证：a2＋b2＝c2.

AB
13 13
由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于
斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用．
课堂练习
1.图是一株美丽的勾股数，其中所有的四边形都是正方形，所有的三 角形都是直角三角形，若最大的正方形Ｇ的边长是6厘米，则正方形 Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇ的面积之和是（ ) Ａ. 18cm2 Ｂ.36cm2 Ｃ. 72cm2 Ｄ.108cm2
⒊据不完全统计，勾股定理的证明方法已经多达
400多种，今天我们用了什么方法？
面积法
4.运用勾股定理应注意哪些事项？ （1）前提条件是在直角三角形中； （2）弄清哪个角是直角； （3）已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论；
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一次探索
特殊到一般
AD的长为（ )
Ａ. 5
Ｂ.4
Ｃ. 3
Ｄ.2
解：∵ AB=AC, AD是∠BAC平分线，
BD 1 BC 4, AD BC, 2
由勾股定理，得 AD AB2 BD2 4,
故而选：Ｃ
课堂练习
3.在ΔABC中， ∠C=90°,AC=9,BC＝12，则AB边上的高是（ )
Ａ . 36 Ｂ .12 Ｃ . 9 Ｄ . 3 3
AO AB2 BO2 102 62 64 8
在Rt△CDO中，由勾股定理得
CO AB2 DO2 102 92 19 CD AO CO 8 19 8 4.36 3.6
答：这时消防车要从原处再着火的楼房靠近约3.6米
新知讲解 例3 已知，如图在Rt△ABC中，两直角边AC=5，BC=12，求斜边

第一课时
受台风影响，一棵树在离地面4米处断 裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵 树折断前有多高？
4 米
3米
相传二千多年前，一次，毕 达哥拉斯去朋友家作客。在宴 席上他看着朋友家的方砖地面 发起呆来。主人觉得非常奇怪， 就想过去问他。谁知毕达哥拉 斯突然恍然大悟的样子，站起 来，大笑着跑回家去了。后来 知道是因为他从中发现了直角 毕达哥拉斯 三角形三边的数量关系，赶着 (公元前572---- 回家证明去了。 前492年),古希腊 那么，他朋友家的地板到底是 著名的哲学家、 怎样呢？我们也观察一下看看能 数学家、天文学 发现什么？ 家。
C
a (1)
b
(2)
(3)
(4)
利用准备好的四个全等的直 角三角形，a、b表示两条直角 边， c表示斜边。
动手实践：这四个全等的直 角三角形可以拼成一个正方 形吗？有哪些不同的方法？
思考：拼出的正方形面
积用含a、b、c的式子可以
怎么表示？ 能得到我们要证明的结论吗？
C
a (1) b
(2)
(3)
(4)
4．等腰直角△ABC中，∠C=90°，AC=2cm， 那么它的斜边上的高为2 ＿c＿m＿＿＿＿．
感谢光临！ 敬请批评指正！
再 见！
播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种性格；播下一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性 制，会变成生活的必需品，不良的习惯随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你 时侯，一定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失去 这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断力，需要的是智慧！世上本无移 是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！亿万财富不是存在银行里，而是产生在人的思想里。你没找到路，不等于 什么，你必须知道现在应该先放弃什么！命运把人抛入最低谷时，往往是人生转折的最佳期。谁能积累能量，谁就能获得回报；谁若自怨自艾，必会坐失良机人人都有两个 一个是心门，成功的地方。能赶走门中的小人，就会唤醒心中的巨人！要想事情改变，首先自己改变，只有自己改变，才可改变世界。人最大的敌人不是别人，而是自己， 1、烦恼的时候，想一想到底为什么烦恼，你会发现其实都不是很大的事，计较了，就烦恼。我们要知道，所有发生的一切都是该发生的，都是因缘。顺利的就感恩，不顺 渡寒潭，雁过而潭不留影；风吹疏竹，风过而竹不留声。”修行者的心境，就是“过而不留”。忍得住孤独；耐得住寂寞；挺得住痛苦；顶得住压力；挡得住诱惑；经得起 子；担得起责任；1提得起精神。闲时多读书，博览凝才气；众前慎言行，低调养清气；交友重情义，慷慨有人气；困中善负重，忍辱蓄志气；处事宜平易，不争添和气； 泊且致远，修身立正气；居低少卑怯，坦然见骨气；卓而能合群，品高养浩气淡然于心，自在于世间。云淡得悠闲，水淡育万物。世间之事，纷纷扰扰，对错得失，难求完 反而深陷于计较的泥潭，不能自拔。若凡事但求无愧于心，得失荣辱不介怀，自然落得清闲自在。人活一世，心态比什么都重要。财富名利毕竟如云烟，心情快乐才是人生 在路上，在脚踏实地的道路上；我们的期待在哪里？在路上，在勤劳勇敢的心路上；我们的快乐在哪里？在路上，在健康阳光的大道上；我们的朋友在哪里？在心里，在真 钟，对自己负责；善于发现看问题的角度；不满足于现状，别自我设限；勇于承认错误；不断反省自己，向周围的成功者学习；不轻言放弃。做事要有恒心；珍惜你所拥有 学会赞美；不找任何借口。与贤人相近，则可重用；与小人为伍，则要当心；只满足私欲，贪图享乐者，则不可用；处显赫之位，任人唯贤，秉公办事者，是有为之人；身 则可重任；贫困潦倒时，不取不义之财者，品行高洁；见钱眼开者，则不可用。人最大的魅力，是有一颗阳光的心态。韶华易逝，容颜易老，浮华终是云烟。拥抱一颗阳光 随缘。心无所求，便不受万象牵绊；心无牵绊，坐也从容，行也从容，故生优雅。一个优雅的人，养眼又养心，才是魅力十足的人。容貌乃天成，浮华在身外，心里满是阳 飞，心随流水宁。心无牵挂起，开阔空净明。幸福并不复杂，饿时，饭是幸福，够饱即可；渴时，水是幸福，够饮即可；裸时，衣是幸福，够穿即可；穷时，钱是幸福，够 畅即可；困时，眠是幸福，够时即可。爱时，牵挂是幸福，离时，回忆是幸福。人生，由我不由天，幸福，由心不由境。心是一个人的翅膀，心有多大，世界就有多大。很 的环境，也不是他人的言行，而是我们自己。人心如江河，窄处水花四溅，宽时水波不兴。世间太大，一颗心承载不起。生活的最高境界，一是痛而不言，二是笑而不语。 人生的幸福在于祥和，生命的祥和在于宁静，宁静的心境在于少欲。无意于得，就无所谓失去，无所谓失去，得失皆安谧。闹市间虽见繁华，却有名利争抢；田园间无争， 和升平，最终不过梦一场。心静，则万象皆静。知足者常在静中邂逅幸福。顺利人生，善于处理关系；普通人生，只会使用关系；不顺人生，只会弄僵关系。为人要心底坦 脑清醒，不为假象所惑。智者，以别人惨痛的教训警示自己；愚者，用自己沉重的代价唤醒别人。对人多一份宽容，多一份爱心；对事多一份认真，多一份责任；对己多一 长，志不可满，乐不可极，警醒自己。静能生慧。让心静下来，你才能看淡一切。静中，你才会反观自己，知道哪些行为还需要修正，哪些地方还需要精进，在静中让生命 觉悟。让心静下来，你才能学会放下。你放下了，你的心也就静了。心不静，是你没有放下。静，通一切境界。人与人的差距，表面上看是财富的差距，实际上是福报的差 实际上是人品的差距；表面上看是气质的差距，实际上是涵养的差距；表面上看是容貌的差距，实际上是心地的差距；表面上看是人与人都差不多，内心境界却大不相同， 很重要的一件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运， 这样一想、一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往 太阳就要光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏 件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其实 一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开 光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。以平 在危险面前，平常心就是勇敢；在利诱面前，平常心就是纯洁；在复杂的环境面前，平常心就是保持清醒智慧。平常心不是消极遁世，而是一种境界，一种积极的人生。不 一个有价值的人而努力。命运不是机遇，而是选择；命运不靠等待，全靠争取。成熟就是学会在逆境中保持坚强，在顺境时保持清醒。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你 要外来的赞许时，心灵才会真的自由。你没那么多观众，别那么累。温和对人对事。不要随意发脾气，谁都不欠你的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发现其实那都不 交。人有绝交，才有至交学会宽容伤害自己的人，因为他们很可怜，各人都有自己的难处，大家都不容易。学会放弃，拽的越紧，痛苦的是自己。低调，取舍间，必有得失 错误面前没人爱听那些借口。慎言，独立，学会妥协的同时，也要坚持自己最基本的原则。付出并不一定有结果。坚持可能会导致失去更多过去的事情可以不忘记，但一定 作一个最好的打算和最坏的打算。做一个简单的人，踏实而务实。不沉溺幻想。不庸人自扰。不说谎话，因为总有被拆穿的一天。别人光鲜的背后或者有着太多不为人知的 学习。不管学习什么，语言，厨艺，各种技能。注意自己的修养，你就是孩子的第一位老师。孝顺父母。不只是嘴上说说，即使多打几个电话也是很好的。爱父母，因为他 爱的最无私的人。

144 y
169
解：由勾股定理可得 y2 + 144 = 169， 解得 y = 5.
1. 下列说法中，正确的是
（C）
A. 已知 a，b，c 是三角形的三边，则 a2 + b2 = c2
B. 在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，所以 a2 + b2 = c2
于 M. 通过证明△BCF≌△BDA， F 利用三角形面积与矩形面积的关系， B M
得到正方形 ABFG 与矩形 BDLM
等积，同理正方形 ACKH 与矩形
MLEC 也等积，于是推得：
AB2 AC2 BC2 .
DL
K C E
归纳总结
勾股定理
如果直角三角形的两直角边用 a，
a
c
b 表示，斜边用 c 表示，那么勾股 定理可以表示为 a2 + b2 = c2.
D. 在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，所以 a2 + b2 = c2
2. 图中阴影部分是一个正方形，
8 cm
则此正方形的面积为 36 cm².
3. 在△ABC 中，∠C = 90°. （1）若 a = 15，b = 8，则 c = 17 ； （2）若 c = 13，b = 12，则 a = 5 . 4. 若直角三角形中，有两边长是 6 和 8，则第三边长
第18章 勾股定理
18.1 勾他星球上是否存在着“人”呢？为了探寻这一点， 世界上许多科学家向宇宙发出了许多信号，如地球上 人类的语言、音乐、各种图形等.
据说我国著名的数学家华罗庚曾建议“发射”一种 勾股定理的图形(如图).
很多学者认为如果宇宙“人”也拥有文明的话，那 么他们一定会认识这种语言，因为几乎所有具有古 代文化的民族和国家都对勾股定理有所了解.

c
a
Ab
(ca bb)2
a
2
a
c
c2
bb2
4 1 2
c2
b
ab
BaC
a
a
b
(b
a)2Leabharlann c 41ab
a c2
c
2
b2 2ab a2 2cab bc2
c
a2 b2 c2
b
a
1876年4月1日，伽菲尔 德在《新英格兰教育日 志》上发表了他对勾股 定理的这一证法。
1881年，伽菲尔德就任 美国第20任总统。后来， 人们为了纪念他对勾股 定理直观、简捷、易懂、 明了的证明，就把这一 证法称为“总统证法”。
(4)正方形R的面积是 18 个单位面积．
B
R
P
C
A
Q
图1
你的这之是正三间怎方个存样形正在得R方什的到形么面以面关积A积系B的？为？边
S3= 9 补 割
S2= 16
S1= 25
F
DB
S1
I
S3 3 5c
E
C4 A
S2
H
G
S3+S2=S1
（图中每个小方格代表一个单位面积）
32+42=52
二 讲授新知
三 小试牛刀
1、判断：
(1)若a、b、c是三角形的三边，则a2+b2=c2。 ×
(2)若a、b是直角三角形的两条直角边，c为斜边，
则a2=c2 -b2 。
√
(3)若a、b、c是直角三角形的三边，则a2+b2=c2
×
2、填空：
在直角三角形ABC中， ∠C=90°，AB=c,BC=a,AC=b。

判断题：
①直角三角形三边分别为 a, b, c ，则一 定满足下面的式子： a2+b2 =c2 第三边长是5. ( (
× ×
).. )
②直角三角形的两边长分别是3和4，则
b 求c=? 2、如图已知： c ＝10，a＝6， c 求b=? a 3、如图已知： c ＝13，a＝5， 求阴影部分面积？ 运用勾股定理时应注意： ⑴在直角三角形中，认准直角边和斜边； ⑵两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾 股
在中国古代，人们把弯曲成直角的 手臂的上半部分称为"勾"，下半部分称 为"股"。我国古代学者把直角三角形较 短的直角边称为“勾”，较长的直角边 称为“股”，斜边称为“弦”.
受台风麦莎影响，一棵树在离地面4米 处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处， 这棵树折断前有多高？
4米
3米
勾股定理有什么作用呢？ 已知直角三角形任意两边求第三边 一定要在直角三角形中哦！ 1.在△ABC中, ∠C=90°，a =6,c=10,
学以致用 1、如图已知a＝3，b＝4
a
c
学以致用
4、在 ABC中, ∠ C=90°,若AC=6,CB=8,
则ABC面积为____, 24 斜边为上的高为_____. 4.8
5、已知：△ABC，AB＝AC＝17， A 15 BC＝16，则高AD＝＿＿＿，
120 . S△ABC＝＿＿＿
B
D C
想 一 想
小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的 电视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏 幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是 售货员搞错了。你能解释这是为什么吗？
我们通常所说的29 英寸或74厘米的电视 机，是指其荧屏对角 线的长度

感悟新知
知3－练
解题秘方：紧扣“同一三角形的面积的两种表示 法”求解 .
感悟新知
解法提醒
知3－练
等面积法：
用不同的方法表示同一个图形的面积.此题是典型的应
用等面积法求直角三角形斜边上高的问题.即△ ABC 的面
积既可以表示为AC2·BC ，又可以表示为AB2·CD ，再利用 同一图形的面积相等解答 .
感悟新知
解：∵∠ ACB=90°， AC=3， BC=4， ∴ AB= AC2+BC2= 32+42 =5.
知3－练
∵
CD
⊥
AB，∴
S△
ABC=
1 2
AB·CD=
1 2
AC·BC，
∴ AB·CD=AC·BC，
∴
CD=
AC· BC AB
=
3×4 5
=
12 5
.
感悟新知
知3－练
例5 如图 18.1 － 4所示，∠ C=90°， AM=CM， MP ⊥ AB于点 P.
设大正方形的面积为 S，则 S=c2. 根据“ 出入相补， 以 盈 补 虚” 的原理， 有
S=a2+b2，所以 a2+b2=c2
感悟新知
方法
加菲尔德 总统拼图
毕达哥拉 斯拼图
图形
证明
知2－讲
设梯形的面积为
S，则
S=
1 2
(a+b)
(a+b)=
1 2
a2+
1 2
b2+ab.
又
S=
1 2
ab+
1 2
ab+
所以∠ CAC′ = ∠ CAB′ + ∠ B′ AC′