2020届湖北省襄阳五中、夷陵中学高三下学期4月线上联合考试数学（理）试题一、单选题1．集合{}23,log P a =，{,}Q a b =，若{0}P Q =I ，则P Q U 的子集个数为（ ）． A ．8 B ．7C ．6D ．4【答案】A【解析】由于{0}P Q =I ，所以0,0P Q ∈∈，从而得2log 0a =，0b =，得1a =，可得P Q U 中有3个元素，得其子集的个数为8 【详解】∵{0}P Q =I ，∴2log 0a =，且0b =，解得1a =，0b =，则{3,0}P =，{1,0}Q =，∴{0,1,3}P Q ⋃=．子集有328=． 故选：A ． 【点睛】此题考查集合的交集、并集的有关知识，考查了集合的子集个数，属于基础题2．设i 是虚数单位，若复数z 1i =-，则22||z z z+=（ ）． A ．1i + B ．1i -C ．1i --D ．1i -+【答案】B【解析】将z 1i =-代入化简可得结果 【详解】∵复数1z i =-，则222||2(1)(1)211z z i i i i z i+=+-=+-=--，故选：B ． 【点睛】此题考查复数的运算，属于基础题3．第七届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行，中国队以133金64银42铜位居金牌榜和奖牌榜的首位，运动会期间有甲、乙等五名志愿者被分配到射击、田径、篮球、游泳四个运动场地服务，要求每个人都要被派出去服务，且每个场地都要有志愿者服务，则甲和乙不在同一组的概率是（ ）．A ．110B ．710C ．310D ．910【答案】D【解析】由于五人要分成四组，所以有一组是2人，其余各组各一人，因此共有2510C =种，而甲和乙同一组其余三人各自成一组，只有一种分法，所以所求的概率为1911010-= 【详解】五人分成四组，先选两人成一组，余下各自成一组，共有2510C =种．甲和乙同一组其余三人各自成一组，只有一种分法，故甲和乙恰好在同一组的概率是110，甲和乙不在同一组的概率是910． 故选：D 【点睛】此题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题. 4．函数2()1exf x x=-的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】通过函数值的正负可判断函数的图象. 【详解】 因为2()1exf x x=-，故当1x >时，()0f x <， 而当01x <<，()0f x >，结合各选项中的图象可得C 是正确的， 故选：C. 【点睛】本题考查函数图象的识别，一般通过函数的奇偶性、单调性和函数值的符号等来判断，本题属于基础题.5．已知5(1)(1)x ax ++的展开式中3x 的系数是4-，则实数a 的值为（ ）． A ．1- B ．1C ．75D ．75-【答案】D【解析】由题可知3x 的系数是由5(1)x +中的3次项系数与2次项系数的a 倍的和组成，列方程可求出a 的值. 【详解】∵5(1)(1)x ax ++的展开式中3x 的系数是2355745C a C a ⋅+=-⇒=-． 故选：D 【点睛】此题考查二项式定理，属于基础题.6．木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则原木件的母线与底面所成角正弦值为（ ）．A ．12B ．22C 25D 5 【答案】B【解析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出母线与底面所成的角. 【详解】由三视图知圆锥底面半径为2263362r ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，圆锥的高22(35)36h =-=，圆锥母线226662l =+=2sin 2h l θ==故选：B ． 【点睛】此题考查三视图和几何体之间的转换，线面角的计算，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.7．函数cos220,2y x x x π⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的单调递增区间是（ ）． A ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】先将函数化为sin()y A x ωϕ=+的形式，然后将内层函数看作整体，放在正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间，再给k 取值，使其增区间在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内即可 【详解】因为cos 222sin 26y x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，由222262k x k πππππ-≤+≤+，解得36k x k ππππ-≤≤+，所以当0k =时，增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：A ． 【点睛】此题考查三角函数的化简和三角函数的图像和性质，属于基础题.8．已知向量a r ，b r ，c r 满足||||a b ==r r ，32a b ⋅=-r r ，,30a c b c <-->=︒r r r r，则||c r 的最大值等（ ）．A ．B ．3+C ．D ．3+【答案】D【解析】若令OA a =u u u rr，OB b =uuu r r ，OC c =u u u rr，则已知可得C 在以AB 为弦的圆D 的优弧上运动，再结合图形，可求出||c r的最大值.【详解】OA a =u u u r r ，OB b =uuu r r ，OC c =u u u r r ，由题意||||a b ==rr 32a b ⋅=-r r ，得1cos 2AOB ∠=-，120AOB ∠=︒，3AB =，∵,30a c b c <-->=︒r r r r，∴30ACB ∠=︒，∴C 在以AB 为弦的圆D 的优弧上运动，60ADB ∠=︒，3r =，OD =C 点在OD 的延长线与圆D 交点时，||c r最大为3+故选：D【点睛】此题考查向量的数量积和模的有关运算，利用了数形结合的思想求解，属于中档题.9．若函数()2sin f x x ω=在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上存在最小值2-，则非零实数ω的取值范围是（ ）． A ．[3,)+∞B ．(0,3]C ．3,0(0,3]2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭UD ．3,[3,)2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦U 【答案】D【解析】讨论ω的符号，当0>ω时，可得 62ωππ-≤-，当0ω<时，可得32ωππ≤-，然后解出ω的取值范围即可. 【详解】当0>ω时，由,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦得63x ωπωπω-≤≤，题意知62ωππ-≤-则3ω≥；当0ω<时，由,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦得36x ωπωπω≤≤-，根据题意知32ωππ≤-则32ω≤-；∴3ω≥或32ω≤-． 故选：D 【点睛】此题考查了分类讨论的思想方法，正弦函数的最值的求法，不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题.10．已知当,[1,1]m n ∈-时，22sin sin22mnm n n m ππ-<-，则以下判断正确的是（ ）．A ．m n >B ．||||m n <C ．m n <D ．m 与n 的大小关系不确定【答案】B【解析】由函数的增减性及导数的应用得，设2()sin2xf x x x π=+，[1,1]x ∈-，而此函数为偶函数，求导后可判断函数在[0,1]为增函数，然后利用偶函数的性质结合增减性可得答案. 【详解】 设2()sin2xf x x x π=+，则它为偶函数，()sincos2222xxxf x x πππ'=++，当[0,1]x ∈时，()0f x '≥，函数在[0,1]递增，由偶函数对称性知在区间[1,0]-递减．22sinsin22mnm n n m ππ-<-变形得22sinsin22mnm m n n ππ+<+即()()(||)(||)f m f n f m f n <⇒<，∴||||m n <．故选：B 【点睛】此题考查了函数的增减性及导数的应用，属于中档题.11．若不等式组2020(0)0x y kx y k y +-≥⎧⎪-+≥<⎨⎪≥⎩所表示的平面区域的面积为2，则21x yz x +=-的取值范围是（ ）． A ．82,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．122,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．8(,2],3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭U D ．12(,2],5⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭U 【答案】C【解析】画出约束条件的可行域，利用可行域的面积求解k ，化简目标函数的表达式，利用几何意义，转化求解取值范围即可. 【详解】图中点(2,0)A ，2,0B k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(0,2)C ，故阴影部分的面积为122222k ⎛⎫⨯--⨯= ⎪⎝⎭，解之得12k =-，22211x y y z x x ++==+--，设点(,)P x y ，21y m x +=-，则m 的几何意义是点P 与点(1,2)D -连线的斜率，由图可知，4m ≤-或23m ≥，故取值范围是8(,2],3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭U ．故选：C【点睛】此题考查线性规则的应用，利用目标函数的几何意义，通过数形结合是解决此题的关键，属于基础题.12．已知函数1()x f x xe -=，若对于任意的(200,x e ⎤∈⎦，函数()20()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(20,e ⎤⎦内都有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ）． A ．2231,e e ⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．223,e e ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦C ．22,e e ee ⎛⎤-+ ⎥⎝⎦D ．21,e e ⎛⎤-⎥⎝⎦【答案】A【解析】由题意可知，函数()20()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(20,e ⎤⎦内都有两个不同的零点，等价于方程()20ln 1x x ax f x -++=在(20,e ⎤⎦内都有两个不同的根，利用导数可得，当(0,1)x ∈时，()f x 是增函数，当(21,x e ⎤∈⎦时，()f x 是减函数，从而可得0()1f x <≤，令2()ln 1F x x x ax =-++，分析得()0F x '=在(20,e ⎤⎦有解，且易知只能有一个解，然后可判断出函数()F x 的增减区间，从而得()()max 12()10F x F x F e ⎧=>⎪⎨≤⎪⎩，由此可求出a 的取值范围 【详解】函数()20()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(20,e ⎤⎦内都有两个不同的零点，等价于方程()20ln 1x x ax f x -++=在(20,e ⎤⎦内都有两个不同的根．111()(1)xx x f x exe x e '---=-=-，所以当(0,1)x ∈时，()0f x '>，()f x 是增函数；当(21,x e ⎤∈⎦时，()0f x '<，()f x 是减函数，因此0()1f x <≤．设2()ln 1F x x x ax =-++，2121()2x ax F x x a x x'--=-+=-，若()0F x '=在(20,e ⎤⎦无解，则()F x 在(20,e ⎤⎦上是单调函数，不合题意；所以()0F x '=在(20,e ⎤⎦有解，且由两根之积为负，可知只能有一个解．设其解为1x 满足211210x ax --=，当()10,x x ∈时()0F x '>，()F x 在1(0,)x 上是增函数；当(21,x x e ⎤∈⎦时()0F x '<，()F x 在(21,x e ⎤⎦上是减函数．因为任意的(200,x e ⎤∈⎦方程()20ln 1x x ax f x -++=在(20,e ⎤⎦有两个不同的根，所以()()max 12()10F x F x F e ⎧=>⎪⎨≤⎪⎩①② ②()242223210F eeae a e e ⇒=-++≤⇒≤-①()2max 1111()ln 11F x F x x x ax ⇒==-++>，所以2111ln 0x x ax -+>．因为211210x ax --=，所以1112a x x =-， 代入2111ln 0x x ax -+>，得211ln 10x x +->．设2()ln 1m x x x =+-，1()20m x x x'=+>，所以()m x 在()20,e 上是增函数，而(1)ln1110m =+-=，由211ln 10x x +->可得()1(1)m x m >，得211x e <<．由1112a x x =-在()21,e 上是增函数，得221122a e e <<-．综上所述2231a e e<≤-，故选：A ． 【点睛】此题考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数求函数的极值，考查数学转化思想，属于难题.二、填空题13．锐角ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2cos cos 2sin b C c B a A +=，则A =__________．【答案】4π 【解析】先由正弦定理将边转化为角，然后利用三角函数公式化简可求得结果. 【详解】2cos cos sin b C c B a A +=，由正弦定理得3sin cos sin cos 2sin B C C B A +=，3sin()sin 2sin B C A A +==，sin A =，锐角ABC V 的内角4A π=． 故答案为：4π【点睛】此题考查正弦定理和三角函数恒等变形公式，属于基础题.14．已知数列1，1a ，2a ，4成等差数列，1，1b ，2b ，3b ，4成等比数列，则211a ab -的值是__________．【答案】2±【解析】由1，1a ，2a ，4成等差数列先求出公差，从而可求出1a ，2a 的值，再由1，1b ，2b ，3b ，4成等比数列，求出公比，从而可求出1b 的值，再把求得的值代入211a ab -中可得结果. 【详解】数列1、1a 、2a 、4成等差数列，设公差为d ，则413d =+，解得1d =，∴12a =，23a =．数列1、1b 、2b 、3b 、4成等比数列，设公比为q ，则44q =，解得q =∴1b =∴2112a ab -=±．故答案为：2± 【点睛】此题考查了等差数列和等比数列的有关计算，属于基础题.15．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点和点(3,)P a b 为某个等腰三角形的三个顶点，则曲线C 的离心率为__________． 【答案】4【解析】若设左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，由于点P 坐标为(3,)a b ，所以12PF PF >；而12PF F ∆为等腰三角形，只需分122F F PF =和121F F PF =进行计算即可. 【详解】设1(,0)F c -，2(,0)F c ，显然12PF PF >．若122F F PF =，则222(3)4a c b c -+=，得22430a ac c --=，即2340e e +-=，解得1e =，4(1,)-∉+∞舍．若121F F PF =，则222(3)4a c b c ++=，即22430a ac c +-=，即2340e e --=，得4,1e =-，因为1()e ∈+∞,，所以4e =． 故答案为：4 【点睛】此题考查双曲线的性质及两点间的距离公式，考查双曲线的离心率的范围，属于基础题.三、解答题16．三棱锥S ABC -中，点P 是Rt ABC V 斜边AB 上一点，给出下列四个命题： ①若SA ⊥平面ABC ，则三棱锥S ABC -的四个面都是直角三角形；②若2AC BC SC ===，SC ⊥平面ABC ，则三棱锥S ABC -的外接球表面积为12π；③若3AC =，4BC =，SC =S 在平面ABC 上的射影是ABC V 内心，则三棱锥S ABC -的体积为2；④若3AC =，4BC =，3SA =，SA ⊥平面ABC ，则直线PS 与平面SBC 所成的最大角为45︒．其中正确命题的序号是__________．（把你认为正确命题的序号都填上） 【答案】①②④【解析】对于①，由已知条件可知三棱锥的四个面均为直角三角形，故①正确； 对于②，由已知条件可知三棱锥S ABC -的外接球可以看作棱长为2的正方体的外接球，从而得2R =12π，故②正确； 对于③，三棱锥S ABC -的体积为11134332ABC V S SO =⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△③不正确；对于④，由已知可得直线PS 与平面SBC 所成的最大角为ASC ∠，而3tan 13ASC ∠==，从而得45ASC ∠=︒，所以④正确. 【详解】对于①，因为SA ⊥平面ABC ，所以SA AC ⊥，SA AB ⊥，SA BC ⊥，又BC AC ⊥，所以BC ⊥平面SAC ，所以BC SC ⊥，故四个平面都是直角三角形，∴①正确； 对于②，若4AC =，4BC =，4SC =，SC ⊥平面ABC ，∴三棱锥S ABC -的外接球可以看作棱长为2的正方体的外接球，∴2R =∴表面积为12π，∴②正确； 对于③，设ABC V 内心是O ，则SO ⊥平面ABC ，连接OC ，则有222SO OC SC +=，又内切圆半径1(345)12r =+-=，所以OC =222523SO SC OC =-=-=，故SO =∴三棱锥S ABC -的体积为11134332ABC V S SO =⨯⨯=⨯⨯⨯=△∴③不正确；对于④，∵若3SA =，SA ⊥平面ABC ，则直线PS 与平面SBC 所成的最大角时，P 点与A 点重合，在Rt SCA △中，3tan 13ASC ∠==，∴45ASC ∠=︒，即直线PS 与平面SBC 所成的最大角为45︒，∴④正确． 故答案为：①②④ 【点睛】此题考查了立体几何中的垂直关系，几何体的外接球问题，线面角问题等，是一道综合题，属于中档题.17．已知等差数列{}n a ，若611a =，且2a ，5a ，14a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若12a <，设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【答案】（Ⅰ）21n a n =-或11n a =（Ⅱ）21n nS n =+ 【解析】（Ⅰ）由611a =，且2a ，5a ，14a 成等比数列这两个条件列出1a 和d 的方程组可求解出1,a d ，从而可得数列的通项； （Ⅱ）把（Ⅰ）解得的21n a n =-代入11n n n b a a +=中，化简得 1111(21)(21)22121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，然后利用裂项相消法求和.【详解】解：（Ⅰ）∵611a =，∴1511a d +=①∵2a ，5a ，14a 成等比数列，∴25214a a a =，∴()()()2111413a d a d a d +=++化简得2163a d d =，若0d =，11n a =若0d ≠，12a d =②，由①②可得，11a =，2d = 所以数列的通项公式是21n a n =-或11n a = （Ⅱ）由（Ⅰ）得1111(21)(21)22121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭∴1211111111112335212122121n n nS b b b n n n n ⎛⎫⎛⎫=+++=-+-+⋯+-=-=⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭L 【点睛】此题考查了等差数列的基本量运算，裂项相消求和法，属于基础题.18．如图，已知四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，5SA SD ==，7SB =，点E 是棱AD 的中点，点F 在SC 上，且CF CS λ=u u u r u u u r，SA ∥平面BEF ．（Ⅰ）求实数λ的值；（Ⅱ）求二面角C BE F --的余弦值． 【答案】（Ⅰ）23λ=（Ⅱ）5【解析】（Ⅰ）连接AC ，设AC BE G =I ，通过GEA GBC △∽△，可求解出λ的值； （Ⅱ）以EA ，EB ，ES 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面SEB 的法向量，平面EFB 的法向量，利用空间向量的数量积求解所求二面角的余弦值. 【详解】（Ⅰ）连接AC ，设AC BE G =I ，则平面SAC I 平面EFB FG =， ∵SA P 平面EFB ，∴SA FG P ， ∵GEA GBC △∽△，∴12AG AE GC BC ==，∴1123SF AG SF SC FC GC ==⇒=，23λ= （Ⅱ）∵5SA SD ==，∴SE AD ⊥，2SE =，又∵2AB AD ==，60BAD ∠=︒，∴3BE =∴222SE BE SB +=，∴SE BE ⊥，∴SE ⊥平面ABCD ，以EA ，EB ，ES 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则(1,0,0)A ，(0,3,0)B ，(0,0,2)S ，平面SEB 的法向量1(0,0,1)m EA ==u uu r r设平面EFB 的法向量(,,)n x y z =r，则(,,)3,0)00n EB x y z y ⊥⇒⋅=⇒=r，(,,)(1,0,2)02n GF n AS x y z x z ⊥⇒⊥⇒⋅-=⇒=u u u r u u ur r r ，令1z =，得(2,0,1)n =r ，5cos ,|||5m n m n m n ⋅〈〉==r r r r r r 5． 【点睛】此题考查空间向量数量积的应用，二面角的平面角的求法，直线与平面的位置关系的应用，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题.19．已知1F ，2F 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，点P ⎛ ⎝⎭在椭圆上，且过点2F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，1AF B △的周长为 （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）我们知道抛物线有性质：“过抛物线22(0)y px p =>的焦点为F 的弦AB 满足2||||||||AF BF AF BF p+=⋅．”那么对于椭圆E ，问否存在实数λ，使得2222AF BF AF BF λ+=⋅成立，若存在求出λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）22132x y +=（Ⅱ）存在，λ=【解析】（Ⅰ）利用椭圆的定义，结合三角形的周长，求出a =P ⎛ ⎝⎭点坐标代入椭圆方程中可求出b 的值；（Ⅱ）求出2(1,0)F ，设直线l 的方程为1x my =+，与椭圆方程联立，消去x ，整理成关于y 的一元二次方程，再利用韦达定理，求出22,AF BF ,通过2211AF BF +转化求解，得到2222AF BF BF +=⋅，求得λ的值. 【详解】（Ⅰ）根据椭圆的定义，可得122AF AF a +=，122BF BF a +=，∴1AF B △的周长为111122||4AF BF AB AF BF AF BF a ++=+++=，∴4a =，a =∴椭圆E 的方程为22213x y b +=，将P ⎛ ⎝⎭代入得22b =，所以椭圆的方程为22132x y +=． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知22241c a b =-=，得2(1,0)F ，依题意可知直线l 的斜率不为0，故可设直线l 的方程为1x my =+，由221321x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x ，整理得()2223440m y my ++-=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则122423m y y m -+=+，122423y y m -=+， 不妨设10y >，20y <，211AF y y ====，同理222BF y y ==，所以22121111AF BF y y ⎛⎫+==-⎪⎭223423m m +===-+==即2222AF BF BF+=⋅，所以存在实数λ=2222AF BF AF BF λ+=⋅成立【点睛】此题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力，属于难题.20．在全球关注的抗击“新冠肺炎”中，某跨国科研中心的一个团队，研制了甲乙两种治疗“新冠肺炎”新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验，试验方案如下： 第一种：选取A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，I ，J 共10只患病白鼠，服用甲药后某项指标分别为：84，87，89，91，92，91，87，89，90，90；第二种：选取a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，h ，i ，j 共10只患病白鼠，服用乙药后某项指标分别为81，87，83，82，80，84，86，89，84，79；该团队判定患病白鼠服药后这项指标不低于85的确认为药物有效，否则确认为药物无效． （Ⅰ）写出第一种试验方案的10个数据的极差、中位数、方差；（Ⅱ）现需要从已服用乙药的10只白鼠中随机抽取3只，记其中服药有效的只数为ζ，求ζ的分布列与期望；（Ⅲ）该团队的另一实验室有1000只白鼠，其中800只为正常白鼠，200只为患病白鼠，每用新研制的甲药给所有患病白鼠服用一次，患病白鼠中有90%为正常白鼠，但正常白鼠仍有%(010)t t <<变为患病白鼠，假设实验室的所有白鼠都活着且数量不变，且记服用n 次甲药后此实验室正常白鼠的只数为n a ． ①求1a 并写出1n a +与n a 的关系；②要使服用甲药两次后，该实验室正常白鼠至少有940只，求最大的正整数t 的值． 【答案】（Ⅰ）极差为8，中位数为89.5，方差5.2（Ⅱ）见解析，910（Ⅲ）①19808a t =-，110900(010)100n n ta a t +-=+<<②5t = 【解析】（Ⅰ）直接求极差、中位数、方差；（Ⅱ）在第二种实验中服药有效的白鼠有3只，无效的有7只，故ξ的可能值为0，1，2，3，求出对应的概率，列出分布列； （Ⅲ）① 根据题意，可得结果；② 结合①，由2940a ≥ 2940a ≥，可得(10)(9808)4000t t --≥，构造函数()(10)(9808)f t t t =--，(0,10)t ∈， 则()f t 在(0,10)单调递减，求出最大值即可.【详解】（Ⅰ）第一种试验方案的10个数据的极差为8，中位数为89.5， 平均数为89，方差21(25404944011) 5.210S =+++++++++=； （Ⅱ）在第二种实验中服药有效的白鼠有3只，无效的有7只，故ξ的可能值为0，1，2，3，03313107(0)24C C P C ξ===，123731021(1)40C C P C ξ===，21373107(2)40C C P C ξ===，30373101(3)120C C P C ξ===ξ的分布列为：721719012310E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=（Ⅲ）①19808a t =-，()1901010001900(010)100100100n n n n t t a a a a t +-⎛⎫=-+⨯-=+<< ⎪⎝⎭②211010900900(9808)940()(10)(9808)4000100100t t a a t f t t t --=+=+-≥⇒=--≥()f t 在(0,10)单调递减，且(5)47004000f =>，(6)37284000 f =<，故最大整数5t = 【点睛】此题考查离散型随机变量分布列和期望，方差，同时考查了函数的单调性，数列的递推式等，属于中档题.21．设函数()1f x mx =-，()ln g x x =．（Ⅰ）讨论2()()()2G x f x g x x =++的单调区间；（Ⅱ）若当01x <<时，函数()(1)y f x g x =⋅+的图象恒在直线y x =上方，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）求证：1000.410011000e ⎛⎫> ⎪⎝⎭．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．（Ⅲ）见解析【解析】（Ⅰ）求出函数的定义域，求出导函数，根据导函数讨论参数m ，得出函数的单调区间；（Ⅱ）令()()()(1)ln(1)F x f x g x x mx x x =⋅-=-+-，求出函数的导数，通过讨论m 的范围，确定函数的单调性，从而确定m 的范围即可；（Ⅲ）问题等价变形2111ln 105n n n ⎛⎫⎛⎫++-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，取1(2)x n n=≥，都有2111ln 105n n n⎛⎫⎛⎫++-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，取1000n =即可.【详解】解（Ⅰ）22()()()21ln 2G x f x g x x mx x x =++=-++，1()4G x x m x'=+-，0x >，144x x+≥ ①当4m ≤时，()0G x '≥，()G x 在(0,)+∞单调递增②当4m >时，令2241()0410x mx G x x mx x -+'=>⇒-+>，此时2160m ∆=->，方程2410x mx -+=有两个正根，因此得08m x -<<或8m x +>，此时()G x 在⎛ ⎝⎭单调递增，在⎝⎭单调递减，在8m ⎛⎫++∞⎪ ⎪⎝⎭单调递增 （Ⅱ）令()()(1)(1)ln(1)F x f x g x x mx x x =⋅+-=-+-，则1()ln(1)11mx F x m x x -'=-++-+，令1()ln(1)11mxh x m x x-=-++-+，(0,1)x ∈，则221()(1)mx m h x x ++'=-+，(0,1)x ∈①当12m ≤-时，有221()0(1)mx m h x x ++'=-≥+，于是()F x '在(0,1)x ∈上单调递增，从而()(0)0F x F ''>=，因此()F x 在(0,1)x ∈上单调递增，所以()(0)0F x F >=，符合题意．②当0m ≥时221()0(1)mx m h x x ++'=-<+，于是()F x '在(0,1)x ∈上单调递减，从而()(0)0F x F ''<=，因此()F x 在(0,1)x ∈上单调递减，所以()(0)0F x F <=，不合题意； ③当102m -<<时，令021min 1,m x m +⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，则当(]00,x x ∈时，221()0(1)mx m h x x ++'=-<+，于是()F x '在(]00,x x ∈上单调递减， 从而()(0)0F x F ''<=，因此()F x 在(]00,x x ∈上单调递减， 所以()(0)0F x F <=，而且仅有(0)0F =，不合题意． 综上所求实数m 的取值范围是1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．（Ⅲ）对要证明的不等式等价变形如下： 对于任意的正整数n ，不等式2511n e n +⎛⎫+< ⎪⎝⎭恒成立，即21ln 1105n n ⎛⎫⎛⎫++-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立， 变形为2111ln 105n n n ⎛⎫⎛⎫++-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，在（Ⅰ）③中，令25m =-，012x =， 则得2()1ln(1)5F x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调遍减，所以()(0)0F x F <=， 即21ln(1)05x x x ⎛⎫++-< ⎪⎝⎭，令1(2)x n n =≥，则得2111ln 105n n n ⎛⎫⎛⎫++-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立． 当1000n =时，可得2111ln 10500010001000⎛⎫⎛⎫++-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 即210011000ln 1051000⎛⎫⎛⎫+-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1000.410011000e ⎛⎫> ⎪⎝⎭成立． 【点睛】此题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，属于难题.22．直角坐标系xOy 中直线:l y x =-，圆C 的参数方程为12cos 22sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数）．（Ⅰ）求C 的普通方程，写出l 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 与圆C 交于A ，B ，O 为坐标原点，求OA OB ⋅u u u r u u u r．【答案】（Ⅰ）22(1)(2)4x y -++=．74πθ=，()ρ∈R （Ⅱ）1 【解析】（Ⅰ）将12cos 22sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩变形为12cos 22sin x y θθ-=⎧⎨+=⎩，再给两个两边分别平方相加，可消支参数θ，得到C 的普通方程，由直线:l y x =-的直角坐标方程可得其极坐标方程为74πθ=，()ρ∈R ； （Ⅱ）将74πθ=代入圆C 的极坐标方程22cos 4sin 10ρρθρθ-++=中，得210ρ-+=，然后利用ρ的几何意义可得结果.【详解】（Ⅰ）C 的参数方程为12cos 22sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），消去参数θ，得C 的普通方程为22(1)(2)4x y -++=．直线:l y x =-的极坐标方程为74πθ=，()ρ∈R （Ⅱ）直线:l y x =-的极坐标方程为74πθ=，()ρ∈R ，由直线与圆的位置关系设A ，B 的极坐标为174A πρ⎛⎫⋅⎪⎝⎭，274B πρ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭，10ρ≥，20ρ≥，C 的极坐标方程为22cos 4sin 10ρρθρθ-++=，将74πθ=代入得210ρ-+=，1ρ，2ρ为方程的两根，12||||1OA OB OA OB ρρ⋅=⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r【点睛】此题考查将曲线的参数方程化为普通方程，直角坐标方程化为极坐标方程，利用极坐标的几何意义求值，属于基础题.23．已知函数2()1f x x x =++，且,m n ∈R ．（Ⅰ）若22m n +=，求()2()f m f n +的最小值，并求此时m ，n 的值；（Ⅱ）若1||2m n -<，求证：3|()()|||4f m f n n -<+． 【答案】（Ⅰ）23m n ==（Ⅱ）见解析第 21 页 共 21 页 【解析】（Ⅰ）先求出()2()f m f n +，然后利用柯西不等式求其最小值； （Ⅱ）利用绝对值三角不等式证明【详解】解：（Ⅰ）()2222()2()2(2)325f m f n m nm n m n +=++++=++ 由柯西不等式得：()()222222222211142111()(2)3333m n m n n m n n m n +=++++≥++=+= 22419()2()25533f m f n m n +=++≥+=， 此时23m n == （Ⅱ）1||2m n -<，()221|()()|()|||1||1|2f m f n m n m n m n m n m n -=-+-=-++<++ 1111113|()(21)|(|||21|)|21|2||1||2222224m n n m n n n n n ⎛⎫⎛⎫=-++≤-++<++≤++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】此题考查了柯西不等式和绝对值三角不等式，属于基础题.。
