2.3垂径定理

湘教版数学九年级下册教学设计：2.3 垂径定理一. 教材分析湘教版数学九年级下册第 2.3节“垂径定理”是圆的相关性质和定理的重要内容。

本节内容主要介绍垂径定理及其应用，通过探究圆中垂直于弦的直径的性质，引导学生发现圆的基本定理，为后续学习圆的其它性质和定理打下基础。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了圆的基本概念、圆的周长和面积计算等知识，具备了一定的观察、分析和推理能力。

但对于证明垂径定理，学生可能存在一定的困难，因此，在教学过程中，教师应注重引导学生探究，突破难点。

三. 教学目标1.理解垂径定理的内容及证明过程。

2.学会运用垂径定理解决相关问题。

3.培养学生的观察、分析和推理能力。

4.激发学生对数学的兴趣，培养合作探究的精神。

四. 教学重难点1.重点：垂径定理的理解和运用。

2.难点：证明垂径定理的过程。

五. 教学方法1.引导探究法：教师引导学生观察、分析、推理，发现垂径定理。

2.案例分析法：通过具体案例，让学生学会运用垂径定理解决问题。

3.小组讨论法：鼓励学生分组讨论，培养合作精神。

六. 教学准备1.教学课件：制作包含动画、图片、例题的教学课件。

2.学习资料：收集与垂径定理相关的学习资料，供学生课后拓展学习。

3.教学道具：准备一些圆形的教具，如圆规、圆盘等，以便于直观展示。

七. 教学过程1. 导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的圆形物体，如圆桌、圆规等，引导学生回顾圆的基本概念和性质。

然后提出问题：“你们认为圆有什么特殊的性质呢？”让学生思考，为引入垂径定理做铺垫。

2. 呈现（10分钟）教师通过课件展示垂径定理的定义和证明过程。

首先，展示一个圆和一条垂直于弦的直径，让学生观察并描述其性质。

接着，引导学生推理，证明垂径定理。

在这个过程中，教师要注意引导学生掌握证明的关键步骤。

3. 操练（10分钟）教师提出一些与垂径定理相关的问题，让学生独立解决。

如：“在一个圆中，如果一条弦的长度是10cm，那么它所对的圆周角是多少度？”在学生解答过程中，教师要及时给予指导和鼓励。

2.3 垂径定理基础题知识点 1 垂径定理1．(长沙中考改编)如图，在⊙Ｏ中，弦AB ＝6，圆心O 到AB 的距离OC ＝2，则⊙Ｏ的半径长为(B) A.72B.13C ．2 3D ．42．如图，AB 是⊙Ｏ的弦，OD ⊥AB 于D ，交⊙Ｏ于E ，则下列说法错误的是(D)A ．AD ＝BDB ．∠AOE ＝∠BOE C.AE ︵＝BE ︵ D ．OD ＝DE3．如图，在⊙Ｏ中，直径CD 垂直于弦AB.若∠C ＝25°，则∠BOD 的度数是(D) A ．25°B ．30°C ．40°D ．50°4．如图，AB 是⊙Ｏ的弦，半径OC ⊥AB 于点 D.若⊙Ｏ的半径为5，AB ＝8，则CD 的长是(A) A ．2B ．3C ．4D ．55．如图，AB 是⊙Ｏ的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，OC ＝5 cm ，CD ＝6 cm ，则OE ＝4cm.6．(教材P59例1变式)如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点M，AM＝18，BM＝8，则CD的长为24．7．如图，AB是⊙Ｏ的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙Ｏ上，MD恰好经过圆心O，连接MB.若CD＝16，BE＝4，求⊙Ｏ的直径．解：∵AB⊥CD，CD＝16，∴CE＝DE＝8.设OB＝x，∵BE＝4，∴ｘ2＝(x－4)2＋82.解得x＝10.∴⊙Ｏ的直径是20.知识点 2 垂径定理的实际应用8．(教材P60习题T1变式)一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB＝10，截面圆圆心O到水面的距离OC是6，则水面宽AB是(A)A．16B．10C．8D．69．如图所示，某窗户是由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB ＝3 m ，弓形的高EF ＝1 m ，现计划安装玻璃，请帮工程师求出AB ︵所在圆O 的半径r.解：由题意，知OA ＝OE ＝r.∵EF ＝1，∴OF ＝r －1. ∵OE ⊥AB ，∴AF ＝12AB ＝12×3＝1.5.在Rt △OAF 中，OF 2＋AF 2＝OA 2，即(r －1)2＋1.52＝r 2.解得r ＝138.∴圆O 的半径为138m.易错点忽略垂径定理的推论中的条件“不是直径”10．下列说法正确的是(D)A ．过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧B ．弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心C ．过弦的中点的直径垂直于弦D ．平分弦所对的两条弧的直径平分弦中档题11．如图，将半径为 2 cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为(C)A ．2 cmB.3 cmC ．2 3 cmD ．2 5 cm12．(2018·枣庄)如图，AB 是⊙Ｏ的直径，弦CD 交AB 于点P ，AP ＝2，BP ＝6，∠APC ＝30°.则CD 的长为(C) A.15B ．2 5C ．215D ．8提示：过点O 作OH ⊥PD 于H ，连接OD.AP ＝2，BP ＝6，则AO ＝BO ＝4，则PO ＝2，又∠OPH ＝∠APC ＝30°，∴OH ＝1，OD ＝OB ＝4，在Rt △HOD 中，HD ＝OD 2－OH 2＝15，∴CD ＝2HD ＝215.13．如图，以点P 为圆心的圆弧与x 轴交于A ，B 两点，点P 的坐标为(4，2)，点A 的坐标为(2，0)，则点B 的坐标为(6，0)．14．(2018·黄冈)如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙Ｏ的直径，∠CAB ＝60°，弦AD 平分∠CAB.若AD ＝6，则AC ＝23．15．(2018·孝感)已知⊙Ｏ的半径为10 cm ，AB ，CD 是⊙Ｏ的两条弦，AB ∥CD ，AB ＝16 cm ，CD ＝12 cm ，则弦AB 和CD 之间的距离是2或14cm.16．(2018·安徽)如图，⊙Ｏ为锐角△ABC 的外接圆，半径为 5.(1)用尺规作图作出∠BAC 的平分线，并标出它与劣弧BC 的交点E ；(保留作图痕迹，不写作法)(2)若(1)中的点E 到弦BC 的距离为3，求弦CE 的长．解：(1)画图如图所示．(2)∵AE 平分∠BAC ，∴BE ︵＝EC ︵.连接OE ，OC ，EC ，则OE ⊥BC 于点F ，EF ＝3. 在Rt △OFC 中，由勾股定理可得，FC ＝OC 2－OF 2＝52－（5－3）2＝21.在Rt △EFC 中，由勾股定理可得，※精品试卷※CE＝FC2＋EF2＝21＋32＝30.17．如图，CD为⊙Ｏ的直径，弦AB交CD于点E，连接BD，OB.(1)求证：△AEC∽△DEB；(2)若CD⊥AB，AB＝8，DE＝2，求⊙Ｏ的半径．解：(1)证明：根据“同弧所对的圆周角相等”，得∠A＝∠D，∠C＝∠ABD，∴△AEC∽△DEB.(2)∵CD⊥AB，O为圆心，∴BE＝12AB＝4.设⊙Ｏ的半径为r，∵DE＝2，则OE＝r－2.∴在R t△OEB中，由勾股定理，得OE2＋EB2＝OB2，即(r－2)2＋42＝r2，解得r＝5.∴⊙Ｏ的半径为 5.综合题18．如图，已知∠MAN＝30°，O为边AN上一点，以O为圆心，2为半径作⊙O，交AN于D，E两点，设AD＝x.当x 为何值时，⊙Ｏ与AM相交于B，C两点，且∠BOC＝90°？解：过点O作OF⊥BC于点F.∵∠BOC＝90°，OB＝OC＝2，∴∠OBC＝45°，BC＝OB2＋OC2＝2 2.∵OF⊥BC，∴BF＝12BC＝2，∠BOF＝45°．∴∠OBF＝∠BOF.∴OF＝BF＝ 2.∵∠MAN＝30°，∴OA＝2OF＝2 2. ∴AD＝22－2，即当x＝22－2时，∠BOC＝90°．小专题(五) 与圆的基本性质有关的计算与证明1．已知：如图，A ，B ，C ，D 是⊙Ｏ上的点，∠1＝∠2，AC ＝3 cm. (1)求证：AC ︵＝BD ︵；(2)求BD 的长．解：(1)证明：∵∠1＝∠2，∴CD ︵＝AB ︵，∴CD ︵＋BC ︵＝AB ︵＋BC ︵. ∴AC ︵＝BD ︵. (2)∵AC ︵＝BD ︵，∴AC ＝BD. ∵AC ＝3 cm ，∴BD ＝3 cm.2．A ，B 是⊙Ｏ上的两个定点，P 是⊙Ｏ上的动点(P 不与A ，B 重合)，我们称∠APB 是⊙Ｏ上关于点A ，B 的滑动角．已知∠APB 是⊙Ｏ上关于点A ，B 的滑动角．(1)若AB 是⊙Ｏ的直径，则∠APB ＝90°；(2)如图，若⊙Ｏ的半径是1，AB ＝2，求∠APB 的度数．解：连接OA ，OB ，AB.∵⊙Ｏ的半径是1，即OA ＝OB ＝1，又∵AB ＝2，∴OA 2＋OB 2＝AB 2.※精品试卷※由勾股定理的逆定理可得，∠AOB＝90°．∴∠APB＝12∠AOB＝45°．3．如图，AB是⊙Ｏ的直径，C，D两点在⊙Ｏ上．若∠C＝45°．(1)求∠ABD的度数；(2)若∠CDB＝30°，BC＝3，求⊙Ｏ的半径．解：(1)连接AD.∵∠BCD＝45°，∴∠DAB＝∠BCD＝45°．∵AB是⊙Ｏ的直径，∴∠ADB＝90°．∴∠ABD＝45°．(2)连接AC.∵AB是⊙Ｏ的直径，∴∠ACB＝90°．∵∠CAB＝∠CDB＝30°，BC＝3，∴AB＝6.∴⊙Ｏ的半径为 3.4．如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，AP，CB的延长线相交于点 D.(1)求证：△ABC是等边三角形；(2)若∠PAC＝90°，AB＝23，求PD的长．※精品试卷※解：(1)证明：∵A，P，B，C是圆上的四个点，∴∠ABC＝∠APC，∠CPB＝∠BAC.∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°．∴∠ACB＝60°．∴△ABC是等边三角形．(2)∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，AC＝AB＝BC＝2 3.∵∠PAC＝90°，∴∠DAB＝∠D＝30°．∴BD＝AB＝2 3.∵四边形APBC是圆内接四边形，∠PAC＝90°，∴∠PBC＝∠PBD＝90°．在Rt△PBD中，PD＝BDcos30°＝2332＝4.5．如图，一圆弧形桥拱的圆心为E，拱桥的水面跨度AB＝80米，桥拱到水面的最大高度为20米．求：(1)桥拱的半径；(2)现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度为多少米？解：(1)过点E作EF⊥AB于点F，延长EF交圆于点D，则由题意得DF＝20.由垂径定理知，点F是AB的中点，AF＝FB＝12AB＝40米，EF＝ED－FD＝AE－DF，由勾股定理知，AE2＝AF2＋EF2＝AF2＋(AE－DF)2. 设圆的半径是r，则r2＝402＋(r－20)2，解得r＝50.即桥拱的半径为50米．※精品试卷※(2)设水面上涨后水面跨度MN为60米，MN交ED于H，连接EM，则MH＝NH＝12MN＝30米，∴EH＝502－302＝40(米)．∵EF＝50－20＝30(米)，∴ＨF＝EH－EF＝10米．6．已知△ABC，以AB为直径的⊙Ｏ分别交AC，BC于点D，E，连接ED.若ED＝EC.(1)求证：AB＝AC；(2)若AB＝4，BC＝23，求CD的长．解：(1)证明：∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠C.∵∠EDC＋∠ADE＝180°，∠ADE＋∠B＝180°，∴∠EDC＝∠B.∴∠B＝∠C.∴AB＝AC.(2)连接AE，∵AB为直径，∴AE⊥BC.由(1)知，AB＝AC，∴BE＝CE＝12BC＝ 3.在△ABC与△EDC中，∵∠C＝∠C，∠CDE＝∠B，∴△ABC∽△EDC.∴CECA＝CDCB.∴CE·CB＝CD·CA.∵AC＝AB＝4，∴3×２3＝4CD.∴CD＝3 2 .7．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙Ｏ分别交BC，AC于点D，E，且点D为BC的中点．(1)求证：△ABC为等边三角形；(2)求DE的长；(3)在线段AB的延长线上是否存在一点P，使△PBD≌△AED，若存在，请求出PB的长；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：连接AD.∵AB是⊙Ｏ的直径，∴∠ADB＝90°．∵点D是BC的中点，∴AD是线段BC的垂直平分线．∴AB＝AC.∵AB＝BC，∴AB＝BC＝AC.∴△ABC为等边三角形．(2)连接BE.∵AB是直径，∴∠AEB＝90°．∴BE⊥AC.∵△ABC是等边三角形，∴AE＝EC，即E为AC的中点．∵Ｄ是BC的中点，故DE为△ABC的中位线，∴DE＝12AB＝12×2＝1.(3)存在点P使△PBD≌△AED，由(1)(2)知，BD＝ED，∵∠BAC＝60°，DE∥AB，∴∠AED＝120°．∵∠ABC＝60°，∴∠PBD＝120°．∴∠PBD＝∠AED.要使△PBD≌△AED，只需PB＝AE＝1.。

湘教版数学九年级下册2.3《垂径定理》教学设计一. 教材分析《垂径定理》是湘教版数学九年级下册第2.3节的内容。

本节课主要介绍垂径定理及其应用，是学生进一步学习圆的性质和解决实际问题的重要基础。

教材通过生活中的实例引入垂径定理，让学生体会数学与生活的联系，培养学生的数学应用意识。

二. 学情分析初三学生已经掌握了圆的基本概念和性质，具有一定的观察、分析和解决问题的能力。

但部分学生在学习过程中对概念的理解不够深入，解决问题的能力有待提高。

此外，学生对于实际问题的解决方法还不够熟练，需要通过本节课的学习加以锻炼。

三. 教学目标1.理解垂径定理的内容，掌握垂径定理的应用。

2.培养学生的观察、分析和解决问题的能力。

3.提高学生的数学应用意识，激发学生学习数学的兴趣。

四. 教学重难点1.重点：垂径定理的理解和应用。

2.难点：如何将实际问题转化为垂径定理问题，灵活运用垂径定理解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生观察、分析、解决问题。

2.运用实例讲解，让学生体会数学与生活的联系。

3.利用小组合作学习，提高学生的团队协作能力。

4.注重个体差异，给予学生个性化的指导。

六. 教学准备1.准备相关的生活实例和图片，用于导入和讲解。

2.设计具有代表性的练习题，巩固所学知识。

3.准备课件，展示教学内容和过程。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如自行车轮子、圆形桌面等，引导学生观察并提出问题：“为什么自行车轮子上的辐条都是垂直于轮子的直径？圆形桌面的四个角的线段为何是相等的？”让学生思考并回答，从而引出垂径定理的概念。

2.呈现（10分钟）介绍垂径定理的定义和证明过程。

通过课件展示垂径定理的证明过程，让学生理解并掌握垂径定理。

同时，给出垂径定理的符号表示，便于学生记忆和应用。

3.操练（10分钟）设计一组练习题，让学生运用垂径定理进行计算和证明。

题目难度逐渐增加，让学生在实践中巩固所学知识。