年级数学垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系人教版知识精讲

垂径定理—知识讲解（基础）【学习目标】1.理解圆的对称性；2.掌握垂径定理及其推论；3.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝6 cm，OD＝4 cm，则DC的长为（）A．5 cm B．2.5 cm C．2 cm D．1 cm【思路点拨】欲求CD 的长，只要求出⊙O 的半径r 即可，可以连结OA ，在Rt △AOD 中，由勾股定理求出OA. 【答案】D ；【解析】连OA ，由垂径定理知13cm 2AD AB ==， 所以在Rt △AOD 中，2222435AO OD AD =+=+=（cm ）．所以DC ＝OC －OD ＝OA －OD ＝5－4＝1（cm ）.【点评】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形。

举一反三：【高清ID 号：356965 关联的位置名称（播放点名称）：例4-例5】【变式】如图，⊙O 中，弦AB ⊥弦CD 于E ，且AE=3cm ，BE=5cm ，求圆心O 到弦CD 距离。

垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系一. 本周教学内容：垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系［学习目标］1. 理解由圆的轴对称性推出垂径定理，概括理解垂径定理及推论为“知二推三”。

（1）过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分劣弧，（5）平分优弧。

已知其中两项，可推出其余三项。

注意：当知（1）（3）推（2）（4）（5）时，即“平分弦的直径不能推出垂直于弦，平分两弧。

”而应强调附加“平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两弧”。

2. 深入理解垂径定理及推论，为五点共线，即圆心O，垂足M，弦中点M，劣弧中点D，优弧中点C，五点共线。

（M点是两点重合的一点，代表两层意义）COA BMD3. 应用以上定理主要是解直角三角形△AOM，在Rt△AOM中，AO为圆半径，OM为弦AB的弦心距，AM为弦AB的一半，三者把解直角形的知识，借用过来解决了圆中半径、弦、弦心距等问题。

无该Rt△AOM时，注意巧添弦心距，或半径，构建直角三角形。

4. 弓形的高：弧的中点到弦的距离，明确由定义知只要是弓形的高，就具备了前述的（4）（2）或（5）（2）可推（1）（3）（5）或（1）（3）（4），实际可用垂径定理及推论解决弓形高的有关问题。

5. 圆心角、弧、弦、弦心距四者关系定理，理解为：（1）圆心角相等，（2）所对弧相等，（3）所对弦相等，（4）所对弦的弦心距相等。

四项“知一推三”，一项相等，其余三项皆相等。

源于圆的旋转不变性。

即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图象完全重合。

()()()()1234⇔⇔⇔O B'M'A' BMA6. 应用关系定理及推论，证角等，线段等，弧等，等等，注意构造圆心角或弦心距作为辅助线。

7. 圆心角的度数与弧的度数等，而不是角等于弧。

二. 重点、难点：垂径定理及其推论，圆心角，弧，弦，弦心距关系定理及推论的应用。

【典型例题】例1. 已知：在⊙O 中，弦AB ＝12cm ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：∠AOB 的度数和圆的半径。

人教版初中数学垂径定理知识点总结一、垂径定理的定义垂径定理是关于直径和过该直径的直线（或圆）交于圆内两点之间的线段长度和关系的重要定理。

如果一个直径和一条过该直径的直线交于圆内两点，那么这条直径平分过这两点的线段，并且这条直径垂直于过这两点的直线。

二、垂径定理的表述1.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

2.垂直于弦的直径平分弦（不是直径），并且平分弦所对的两条弧。

3.垂直于弦的直径平分过弦的两条直线，并且平分弦所对的两条弧。

三、垂径定理的应用垂径定理在几何学中有着广泛的应用，特别是在解决与圆和直径相关的问题时。

例如，可以利用垂径定理来证明圆的性质，如圆的对称性、圆的周长和面积等。

此外，垂径定理还可以用于解决与圆和直线相关的问题，如求圆的半径、确定圆的中心等。

四、垂径定理的推论1.从圆心到弦的垂线是弦的中垂线。

2.圆内一条弦的两端到圆心的距离相等。

3.圆内一条过圆心的弦最短，其长度为圆的直径。

4.圆内一条不过圆心的弦最短，其长度等于从圆心到弦中点的线段长。

五、垂径定理的证明垂径定理可以通过以下两种方法证明：1.直接证明法：通过作图和推理，直接证明垂径定理。

这种方法比较直观和简洁，但需要一定的几何知识和推理能力。

2.代数法：利用圆的性质和代数运算，证明垂径定理。

这种方法比较抽象，但具有普适性，可以用于证明其他类似的定理。

六、注意事项1.在使用垂径定理时，要注意区分直径和其他弦的区别，避免混淆。

2.在作图时，要确保所作的线段是垂直于弦的直径，否则将无法使用垂径定理。

3.在解决实际问题时，要根据具体情况选择合适的方法来应用垂径定理。

七、垂径定理的应用场景1.确定圆的形状和大小：垂径定理可以用于确定圆的形状和大小。

例如，通过测量圆的直径或半径，可以确定圆的大小；通过观察垂径定理的各种表现，可以判断圆的状态和形状。

2.计算圆的周长和面积：垂径定理可以用于计算圆的周长和面积。

例如，通过已知的直径或半径，可以计算出圆的周长和面积。

龙文教育一对一个性化辅导教案学生姚攀学校华附年级九年级次数第次科目数学教师邹玉芳日期2014－10－26 时段10－12 课题垂径定理、弧和弦、圆心角、弦心距和圆内接四边形的关系教学重点掌握垂径定理的内容，能灵活地运用垂径定理解决求线段长度问题；教学难点垂径定理的应用，弧和弦、圆心角、弦心距关系定理教学目标掌握垂径定理的内容，能灵活地运用垂径定理解决求线段长度问题；教学步骤及教学内容一、课前热身：1、检查学生的作业，及时指点；2、通过沟通了解学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习内容。

3、课前小测二、内容讲解：题型1、垂径定理的应用题型2、弧和弦、圆心角、弦心距三、课堂小结：带领学生对本次课授课内容进行回顾、总结四、作业布置：布置适量的作业学生课外进行巩固管理人员签字：日期：年月日作业布置1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差备注：2、本次课后作业：课堂小结家长签字：日期：年月日课前小测：1、一水平放置的圆柱型水管的横截面如图5－1所示，如果水管横截面的半径是13cm，水面宽AB cm，则水管中水深是_______cm.242. 如图5－2，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为2.7米，拱顶高出水面4.2米，现有一艘宽3米，船仓顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里．问货船能否顺利通过这座拱桥？模块一：垂径定理内容：已知：AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE＝1，AE＝5，∠AEC＝300，求CD的长.已知：△ABC内接于⊙O，边AB过圆心O，OE是BC的垂直平分线，交⊙O于E、D两点，求证，⋂=⋂BC21 AE模块二：弦、弧、圆心角和弦心距关系定理巩固练习：1、在⊙O中，AB AC⋂=⋂2，那么（）A.AB AC= B.AB AC=2C. AB AC>2 D. AB AC<22．已知⊙O的半径是10cm，AB⋂是120°，那么弦AB的弦心距是（）A BOCCA BOA. 5cmB. 53cm C. 103cm D.523cm3、如图，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，∠EOD=40°,则∠DCF 等于（ ） A.80° B. 50° C. 40° D. 20°如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB ⊥CD . (1)P 是上一点(不与C 、D 重合)，求证：∠CPD =∠COB .(2)点P ′在劣弧CD 上(不与C 、D 重合)时，∠CP ′D 与∠COB 有什么数量关系？请证明你的结论.BA CDOP如图，已知点A 、B 、C 、D 均在已知圆上，AD ∥BC ，AC 平分∠BCD ，∠ADC ＝120°，四边形ABCD 的周长为10。

九年级数学圆心角、弧、弦、弦心距的关系人教四年制【本讲教育信息】一. 教学内容：圆心角、弧、弦、弦心距的关系二. 重点、难点：1. 等弧对等角、对等弦、对等弦心距。

2. 在同圆或等圆中，等角、等弦、等弦心距对等弧。

∴ 点A 、B 到DC 距离相等 ∴ AB ∥CD[例3] ABC ∆中，A ∠为直角，⊙O 与三边交于P 、Q 、R 、S 、K 、L ，若PQ=RS=KL ，求BOC ∠大小。

由勾股定理，2222)47(1)47(--=-x x 整理得02742=--x x 21=x ，412-=x （舍） ∴42==x AB[例6] 如图，C 、D 在以AB 为直径的半圆上，CE ⊥AB 于E ，DF ⊥AB 于F ，DH ⊥OC 于H ，若AE=2cm ，EO=3cm ，求HF 长。

解：作出⊙延长DH ∴ HF=NK 21∵ CM ∥DK ∴⋂⋂⋂==CN MK CD∴⋂⋂=NK CM ∴ CM=NK ∴HF CM CE ==21又 ∵ OC=OA=5cm OE=3cm ∴ CE=4cm ∴ HF=4cm【模拟试题】（答题时间：45分钟）4. 如图3，在半径为2cm 的⊙O 内有长为cm 32的弦AB ，则此弦所对的圆心角AOB ∠为（ ）A. ︒60B. ︒90C. ︒120D. ︒1507. 过⊙O 内一点M 的最长的弦长为4cm ，最短的弦长为2cm ，则OM 的长为（ ） A. cm 3 B. cm 2 C. cm 1 D. cm 38. 已知⊙O 的弦AB 长为8cm ，⊙O的半径为5cm ，则弦心距为（ ） A. 3cm B. 6cm C. 39cm D. 392cm9. 如图6，在两半径不同的同心圆中，︒=''∠=∠60B O A AOB ，则（ ） ︒=60AOB ；正确的是（ ）A. ①②③④⑤B. ①②④⑤C. ①②D. ②④⑤二. 填空题：11. 在圆中︒80的弧所对的圆心角的度数是。

圆⼼⾓、弧、弦、弦⼼距之间的关系--知识讲解（基础）圆⼼⾓、弧、弦、弦⼼距之间的关系--知识讲解（基础）责编：常春芳【学习⽬标】1.了解圆⼼⾓的概念；2.掌握在同圆或等圆中，四组量：两个圆⼼⾓、两条弦、两条弧，两条弦的弦⼼距之间的关系及其它们在解题中的应⽤．3.理解反证法的意义，并能⽤反证法推理证明简单⼏何题.【要点梳理】要点⼀、圆⼼⾓、弧、弦、弦⼼距之间的关系1.圆⼼⾓定义如图所⽰，∠AOB的顶点在圆⼼，像这样顶点在圆⼼的⾓叫做圆⼼⾓．2.定理：在同圆或等圆中，相等的圆⼼⾓所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦⼼距相等．3.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆⼼⾓以及这两个⾓所对的弧、所对的弦、所对弦的弦⼼距中，有⼀组量相等，那么其余各组量都分别相等．要点诠释：(1)⼀个⾓要是圆⼼⾓，必须具备顶点在圆⼼这⼀特征；(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这⼀前提.4. 圆⼼⾓、弧、弦、弦⼼距之间的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆⼼⾓，弦⼼距等⼏何量之间是相互关联的，即它们中间只要有⼀组量相等，(例如圆⼼⾓相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦⼼距以及弦所对的弧也分别相等).如果它们中间有⼀组量不相等，那么其它各组量也分别不等.要点⼆、圆的确定（1）经过⼀个已知点能作⽆数个圆；（2）经过两个已知点A、B能作⽆数个圆，这些圆的圆⼼在线段AB的垂直平分线上；（3）不在同⼀直线上的三个点确定⼀个圆.（4）经过三⾓形各个顶点的圆叫做三⾓形的外接圆，外接圆的圆⼼叫做三⾓形的外⼼，这个三⾓形叫做圆的内接三⾓形.如图：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三⾓形，点O是△ABC的外⼼.外⼼的性质：外⼼是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三⾓形的三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）不在同⼀直线上的三个点确定⼀个圆.“确定”的含义是“存在性和唯⼀性”.（2）只有确定了圆⼼和圆的半径，这个圆的位置和⼤⼩才唯⼀确定.要点三、反证法反证法定义：在证明时，先假设命题的结论不成⽴，然后经过推理，得出⽭盾的结果，最后断⾔结论⼀定成⽴，这样的证明⽅法叫做反证法.要点诠释：反证法也称归谬法，是⼀种重要的数学证明⽅法，⽽且有些命题只能⽤它去证明．⼀般证明步骤如下：（1）假定命题的结论不成⽴；（2）进⾏推理，在推理中出现下列情况之⼀：与已知条件⽭盾；与公理或定理⽭盾；（3）由于上述⽭盾的出现，可以断⾔，原来的假定“结论不成⽴”是错误的；（4）肯定原来命题的结论是正确的．【典型例题】类型⼀、圆⼼⾓、弧、弦、弦⼼距之间的关系及应⽤1.（2015秋?吴江市校级期中）如图，点A、B、C是⊙O上的三点，AB∥OC．（1）求证：AC平分∠OAB．（2）过点O作OE⊥AB于点E，交AC于点P．若AB=2，∠AOE=30°，求OE的长．【答案与解析】（1）证明：∵AB∥OC，∴∠C=∠BAC．∵OA=OC，∴∠C=∠OAC．∴∠BAC=∠OAC．即AC平分∠OAB．（2）解：∵OE⊥AB，∴AE=BE=AB=1．⼜∵∠AOE=30°，∠PEA=90°，∴∠OAE=60°．∴OE=2×=．【总结升华】本题考查了垂径定理，勾股定理等的应⽤，主要考查学⽣综合运⽤性质进⾏推理和计算的能⼒．举⼀反三：【变式】（2015秋?沛县期中）如图，已知点A、B、C、D在圆O上，AB=CD．求证：AC=BD．【答案】证明：∵AB=CD，∴，∴，即，∴AC=BD．类型⼆、圆的确定2．已知：不在同⼀直线上的三点A、B、C，求作：⊙O使它经过点A、B、C.【思路点拨】作圆的关键是找圆⼼得位置及半径的⼤⼩，经过两点的圆的圆⼼⼀定在连接这两点的线段的垂直平分线上，进⽽可以作出经过不在同⼀直线上的三点的圆.【解析】作法：1、连结AB，作线段AB的垂直平分线MN；2、连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O；3、以O为圆⼼，OB为半径作圆.所以⊙O就是所求作的圆.【总结升华】通过这个例题的作图可以作出锐⾓三⾓形的外⼼（图⼀），直⾓三⾓形的外⼼（图⼆），钝⾓三⾓形的外⼼（图三）.探究各⾃外⼼的位置.举⼀反三：【变式】（1）过____________________上的三个点确定⼀个圆．（2）交通⼯具上的轮⼦都是做圆的，这是运⽤了圆的性质中的_________．【答案】（1）不在同⼀直线；（2）圆的旋转不变性.3．如图，⊙O 的直径为10，弦AB=8，P 是弦AB 上的⼀个动点，那么OP 的长的取值范围是 .【思路点拨】求出符合条件的OP 的最⼤值与最⼩值.【答案】3≤OP ≤5.【解析】OP 最长边应是半径长，为5；根据垂线段最短，可得到当OP ⊥AB 时，OP 最短．∵直径为10，弦AB=8∴∠OPA=90°，OA=5，由圆的对称性得AP=4，由勾股定理的22543-=，∴OP 最短为3.∴OP 的长的取值范围是3≤OP ≤5.【总结升华】关键是知道OP 何时最长与最短.举⼀反三：【变式】已知⊙O的半径为13，弦AB=24，P是弦AB上的⼀个动点，则OP的取值范围是___ ____．【答案】 OP最⼤为半径，最⼩为O到AB的距离．所以5≤OP≤13.类型三、反证法4、（2015春?兴化市⽉考）⽤反证法求证：三⾓形的⼀个外⾓等于与它不相邻的两个内⾓的和．【思路点拨】⾸先假设三⾓形的⼀个外⾓不等于与它不相邻的两个内⾓的和，根据三⾓形的内⾓和等于180°，得到⽭盾，所以假设不成⽴，进⽽证明三⾓形的⼀个外⾓等于与它不相邻的两个内⾓的和．【答案与解析】已知：如图，∠1是△ABC的⼀个外⾓，求证：∠1=∠A+∠B，证明：假设∠1≠∠A+∠B，在△ABC中，∠A+∠B+∠2=180°，∴∠A+∠B=180°﹣∠2，∵∠1+∠2=180°，∴∠1=180°﹣∠2，∴∠1=∠A+∠B，与假设相⽭盾，∴假设不成⽴，∴原命题成⽴即：∠1=∠A+∠B．【总结升华】本题考查了反证法的运⽤，反证法的⼀般解题步骤是：①假设命题的结论不成⽴；②从这个假设出发，经过推理论证，得出⽭盾；③由⽭盾判定假设不正确，从⽽肯定原命题的结论正确．举⼀反三：【变式】⽤反证法证明：“⼀个三⾓形中⾄多有⼀个钝⾓”时，应假设（）A . ⼀个三⾓形中⾄少有两个钝⾓B . ⼀个三⾓形中⾄多有⼀个钝⾓C . ⼀个三⾓形中⾄少有⼀个钝⾓ D. ⼀个三⾓形中没有钝⾓【答案】A．。

九年级数学第二十四章弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系人教实验版【本讲教育信息】一、教学内容：弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系 1. 圆心角、圆周角的概念. 2. 弧、弦、圆心角之间的关系. 3. 圆周角定理及推论.二、知识要点：1. 弧、弦、圆心角（1）我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. （2）弧、弦、圆心角之间的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等.如图所示，（1）若∠AOB ＝∠COD ，则︵AB ＝︵CD ，AB ＝CD ；（2）若︵AB ＝︵CD ，则∠AOB ＝∠COD ，AB ＝CD ；（3）若AB ＝CD ，则∠AOB ＝∠COD ，︵AB ＝︵CD.OABCD2. 圆周角（1）顶点在圆上，并且两边与圆都相交的角叫做圆周角.（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.③②①（3）推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.三、重点难点：本节重点是圆心角、弦、弧之间的相等关系及圆周角定理. 难点是从圆的旋转不变性出发，得到圆心角、弦、弧之间的相等关系以及圆周角定理的证明.【典型例题】例1. 在⊙O 中，如图所示，∠AOB ＝∠DOC ，试说明：（1）︵DB ＝︵AC ； （2）BD ＝AC.B分析：（1）∵∠DOC ＝∠AOB ，∴︵DC ＋︵BC ＝︵AB ＋︵BC ，∴︵BD ＝︵AC. （2）∵在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，∴BD ＝AC.解：（1）∵∠DOC ＝∠AOB ，∴︵DC ＝︵AB ， ∴︵DC ＋︵BC ＝︵AB ＋︵BC ，即︵BD ＝︵AC.（2）由（1）得︵BD ＝︵AC ，∴BD ＝AC.例2. 如图所示，C 是︵AB 的中点，与∠ADC 相等的角的个数是（ ） A. 7个 B. 3个 C. 2个 D. 1个分析：由同弧或等弧所对的圆周角相等知，∠ADC ＝∠ABC ＝∠CAB ＝∠CDB ，故与∠ADC 相等的角共有3个.解：B评析：同弧或等弧所对的圆周角相等常用来证明两角相等；或进行角的转换，将一个圆周角转换为同弧所对的其他圆周角，从而达到题目中的要求.例3. 如图所示，BC 为半圆O 的直径，G 是半圆上异于B 、C 的点，A 是︵BG 的中点，AD ⊥BC 于点D ，BG 交AD 于点E ，请说明AE ＝BE.分析：在圆中，有关直径的问题常常需要添加辅助线，以便利用直径所对的圆周角是直角的性质，因此，欲说明AE 与BE 相等，可转化为说明∠BAD ＝∠ABE ，圆周角∠ABE 所对的弧为︵AG ，连结AB 、AC 即可解决问题.C解：连结AB 、AC. ∵︵AB ＝︵AG ，∴∠ABE ＝∠ACB. 又∵AD ⊥BC ，∴∠ABD ＋∠BAE ＝90°.∵BC 为直径，∴∠BAC ＝90°，∴∠ABD ＋∠BCA ＝90°， ∴∠BCA ＝∠BAE. ∴∠BAE ＝∠ABG ， ∴AE ＝BE.例4. 如图所示，在⊙O 中，∠AOC ＝150°，求∠ABC 、∠ADC 、∠EBC 的度数，并判断∠ABC 和∠ADC 、∠EBC 和∠ADC 的度数关系.分析：解题的关键是分清同弧所对的圆心角和圆周角，如劣弧AC 所对的圆心角是∠AOC ，所对的圆周角是∠ABC ，优弧ABC 所对的圆心角是大于平角的∠α，所对的圆周角是∠ADC.解：∵∠AOC ＝150°，∴∠ABC ＝12∠AOC ＝75°.∵∠α＝360°－∠AOC ＝360°－150°＝210°，∴∠ADC ＝12∠α＝105°，∠EBC ＝180°－∠ABC ＝180°－75°＝105°.∵∠ABC ＋∠ADC ＝75°＋105°＝180°，∠EBC ＝∠ADC ＝105°， ∴∠ABC 和∠ADC 互补，∠EBC 和∠ADC 相等. 评析：理解圆周角的概念，分清同弧所对的圆心角和圆周角是熟练运用圆周角性质解题的前提.例5. 如图所示，AB 、CD 是⊙O 的弦，∠A ＝∠C. 求证：AB ＝CD.分析：此题的证明方法很多，由于AB 和CD 在圆中，且为弦，可证明AB 和CD 所对的圆心角相等或弧相等，也可直接或间接利用全等证明AB 和CD 相等. 等等.解法一：如图（1）所示，过点O 作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为E 、F.∴AB ＝2AE ，CD ＝2CF ，∠AEO ＝∠CFO ＝90°. 又∵∠A ＝∠C ，OA ＝OC ， ∴△AOE ≌△COF ，∴AE ＝CF. ∴AB ＝CD.(1)解法二：如图（2）所示，连结OB 、OD.∵OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴∠A ＝∠B ，∠C ＝∠D. ∵∠A ＝∠C ，∴∠B ＝∠D. ∴△OAB ≌△OCD ，∴AB ＝CD.(2)(3)解法三：如图（3）所示，连结AC. ∵OA ＝OC ，∴∠1＝∠3.又∵∠BAO ＝∠DCO ，∴∠2＝∠4. ∴︵BC ＝︵AD.∴︵BC ＋︵BD ＝︵AD ＋︵BD ，即︵AB ＝︵CD ， ∴AB ＝CD.例6. AB 、BC 、CA 是⊙O 的三条弦，O 到AB 的距离OE 等于12AB ，求∠C 的度数.分析：∠C 可能为一个钝角，也可能为一个锐角，要分类画图、分析和解答.BB m解：如图（1）所示，连结AO 、BO.因为OE ⊥AB ，所以EB ＝AE ＝12AB.又OE ＝12AB ，所以EB ＝OE ＝AE.所以∠EBO ＝∠EOB ＝∠EOA ＝∠EAO ＝45°.所以∠C ＝12∠AOB ＝12（∠AOE ＋∠EOB ）＝12×90°＝45°.如图（2）所示，由（1）得∠AOB ＝90°，所以优弧A m B 所对的圆心角是270°，所以∠C ＝135°.即∠C 的度数为45°或135°.评析：图（1）中，△ABC 为锐角三角形，圆心在△ABC 内部；图（2）中，△ABC 为钝角三角形，圆心O 在△ABC 外部，两种情形都符合题意，所以本题应有两解.【方法总结】1. 圆不仅是轴对称图形和中心对称图形，实际上，圆绕圆心旋转任意一个角度α，都能与原来的图形重合，这样就把圆和其他的中心对称图形区别开来，即圆不仅是中心对称图形，而且还突破了中心对称图形旋转180°后才能与原来图形重合的局限性，得出圆所特有的性质：圆绕圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，这叫做圆的旋转不变性. 利用这一性质可以推出圆的一些其他性质.2. 在利用圆心角、弧、弦的关系定理解题时，我们应注意：①作圆心到弦的垂线是圆中一种常见的作辅助线的方法；②由圆心到弦的垂线、弧、圆心角的相等来证明弦相等是证明线段相等的一条重要途径.3. 圆周角定理及其推论在证明和计算中应用非常广泛，它是证明角相等、线（弦）相等、弧相等的重要依据，尤其是其推论为在圆中确定直角、构成垂直关系创造了条件，它是圆中的一个很重要的性质，要熟练掌握. 同时它也是证明弦为直径的常用方法，若图中有直径，往往构造直径所对的圆周角形成直角，这也是圆中重要的辅助线.【预习导学案】（点和圆的位置关系）一、预习前知1. 圆可以看作是到__________的距离等于__________的点的集合，也就是说圆上的点到圆心的距离都等于__________.2. 圆的内部可以看作是到__________的距离小于半径的点的集合.3. 圆的外部可以看作是到__________的距离大于半径的点的集合.二、预习导学1. ⊙O 的半径r ＝5cm ，圆心O 到直线的距离OD ＝3cm . 点A 、B 、C 在直线l 上，若AD ＝23cm ，BD ＝4cm ，CD ＝5cm . 则点A 在⊙O__________，点B 在⊙O__________，点C 在⊙O__________.2. 下列条件中，可以画一个圆，并且只可以画一个圆的条件是（ ） A. 已知圆心 B. 已知半径 C. 已知三点 D. 过直线上两点和直线外一点3. 三角形外接圆的圆心是（ ） A. 三内角平分线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三中线的交点 D. 三高线的交点4. 用反证法证明：“在△ABC 中，至少有两个内角是锐角”时，第一步假设__________成立.反思：（1）点和圆有哪些位置关系？（2）经过不在同一直线上的三点画圆的时候，如何确定圆心？（3）反证法的基本思路和一般步骤是怎样的？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一、选择题1. 一条弦分圆周为5∶7，这条弦所对的两个圆周角分别为（ ）A. 150°，210°B. 75°，105°C. 60°，120°D. 120°，240°2. 已知AC 为⊙O 的直径，弦AB ＝10cm ，∠BAC ＝30°，那么⊙O 的半径为（ ）A. 5cmB. 52cmC. 1033cmD. 2033cm3. 如图所示，⊙O 的弦AB 、CD 相交于点E ，已知∠ECB ＝60°，∠AED ＝65°，那么，ADE的度数为（ ）A. 40°B. 45°C. 55°D. 65°*4. 如图所示，劣弧︵AE 所对的圆心角为40°，则∠B ＋∠D 等于（ ） A. 320° B. 160° C. 300° D. 260°D5. 如图所示，AB 为⊙O 的直径，∠ACD ＝15°，则∠BAD 的度数为（ ） A. 75° B. 72° C. 70° D. 65°6. 如图所示，已知圆心角∠AOB 的度数为100°，则圆周角∠ACB 的度数为（ ） A. 80° B. 100° C. 120°D. 130°**7. 已知⊙O 的半径为6cm ，⊙O 的一条弦AB 的长为63cm ，则弦AB 所对的圆周角是（ ） A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120°二、填空题1. 如图所示，D 、E 分别是⊙O 的半径OA 、OB 上的点，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，CD ＝CE ，则AC 与CB 弧长的大小关系是__________.2. 如图所示，点A 、B 、C 、E 都在圆周上，AE 平分∠BAC 交BC 于点D ，则图中相等的圆周角是__________.3. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，︵BC ＝︵BD ，∠A ＝30°，则∠BOD ＝__________.AB4. 如图所示，已知⊙O 的半径为2，圆周角∠ABC ＝30°，则弦AC 的长是__________.5. 如图所示，AB 是半圆O 的直径，∠BAC ＝40°，D 是︵AC 上任意一点，那么∠D 的度数是__________.A**6. 如图所示，A 、B 、C 、D 、E 是⊙O 上顺次五点，且AB ＝BC ＝CD ，如果∠BAD ＝50°，那么∠AED ＝__________.B三、解答题1. 如图，在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为E 、F. （1）如果∠AOB ＝∠COD ，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？（2）如果OE ＝OF ，那么AB 与CD 的大小有什么关系？︵AB 与︵CD 的大小关系？为什么？∠AOB 与∠COD 呢？BD2. 如图所示，AB 、DE 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，且AD ＝CE ，BE 与CE 的大小有什么关系？为什么？*3. 如图所示，AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，P 为AC 延长线上一点，且AC ＝PC. PB 的延长线交⊙O 于D. 求证：AC ＝DC.P*4. 如图所示，已知A 、B 、C 、F 、G 是⊙O 上的五点，AF 交BC 于点D ，AG 交BC 于点E ，且BD ＝CE ，∠1＝∠2. 求证：AB ＝AC.试题答案一、选择题1. B2. C3. C4. B5. A6. D7. D二、填空题 1. 相等2. ∠ABC ＝∠AEC ，∠ACB ＝∠AEB ，∠BAE ＝∠CAE ＝∠BCE ＝∠CBE3. 60°4. 25. 130°6. 75°三、解答题1.（1）如果∠AOB ＝∠COD ，那么OE ＝OF ，理由是：因为∠AOB ＝∠COD ，所以AB ＝CD. 因为OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，所以AE ＝12AB ，CF ＝12CD ，所以AE ＝CF. 又因为OA ＝OC ，所以R t △OAE≌R t △OCF. 所以OE ＝OF. （2）如果OE ＝OF ，那么AB ＝CD ，︵AB ＝︵CD ，∠AOB ＝∠COD ，理由是：因为OA ＝OC ，OE ＝OF ，所以R t △OAE ≌R t △OCF. 所以AE ＝CF ，又因为OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，所以AE ＝12AB ，CF ＝12CD. 所以AB ＝2AE ，CD ＝2CF. 所以AB ＝CD. 所以︵AB ＝︵CD ，∠AOB ＝∠COD.2. BE ＝CE. 理由：∵AB 、DE 为⊙O 的两条相交的直径，∴∠AOD ＝∠BOE ，∴BE ＝AD ，又∵AD ＝CE ，∴BE ＝CE.3. 连结AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADP ＝90°，∵AC ＝CP ，∴CD ＝12AP. ∴CD ＝AC ＝12AP.∴AC ＝DC.4.∵∠1＝∠2，∴⌒BF ＝⌒CG ，∴BF ＝CG ，⌒BG ＝⌒CF ，∴∠FBC ＝∠GCE. 又BD ＝CE ，∴△BFD ≌△CGE （SAS ），∴∠F ＝∠G. ∴⌒AB ＝⌒AC ，∴AB ＝AC.。

初三数学圆的有关性质知识精讲圆的有关性质1. 圆的有关概念圆、圆心、半径、弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、弦心距、等弧、等圆、同心圆、弓形、弓形的高。

说明：（1）直径是弦，但弦不一定是直径，直径是圆中最长的弦。

（2）半圆是弧，但弧不一定是半圆。

（3）等弧只能是同圆或等圆中的弧，离开“同圆或等圆”这一条件不存在等弧。

（4）等弧的长度必定相等，但长度相等的弧未必是等弧。

2. 点和圆的位置关系说明：点和圆的位置关系与点到圆心的距离和半径大小的数量关系是对应的，即知量位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系。

3. 和圆有关的角圆心角、圆外角说明：这两种与圆有关的角，可以通过对比，从（1）角的顶点的位置；（2）角的两边与圆的位置关系，两个方面去把握它们。

补充：如果角的顶点在圆内，则称这样的角为圆内角，圆心角是特殊的圆内角；如果角的顶点在圆外，且角的两边都与同一个圆相交，则称这样的角为圆外角。

4. 圆的有关性质（1）圆的确定<1>圆心确定圆的位置半径确定圆的大小。

<2>不在同一直线上的三个点确定一个圆。

（2）圆的对称性<1>圆是轴对称图形，任何一条经过圆心的直线都是它的对称轴。

<2>圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。

说明：一个圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个，一个圆绕圆心旋转任意角度，都能够和原图形重合，即圆还具有旋转不变性。

（3）垂径定理如果一条直线具有(1)经过圆心(2)垂直于弦(3)平分弦(4)平分弦所对的劣弧(5)平分弦所对的优弧，这五个性质的任何两个性质，那么这条直线就具有其余三个性质，即：垂径定理：(1)(2)⇒(3)(4)(5)推论1：(1)(3)⇒(2)(4)(5)(2)(3)⇒(1)(4)(5)(1)(4)（或(5)）⇒(2)(3)(5)（或(4)）(1)(3)⇒(2)(4)(5)是“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”其中的弦必须是非直径的弦，假若弦是直径，那么这两条直径不一定互相垂直。

［知识要点归纳］1. 圆不但是轴对称图形，而且也是中心对称图形，实际上圆绕圆心旋转任意一个角度， 都能够与原来的图形重合。

2. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。

从圆心到弦的距离叫做弦心距。

3. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦 心距相等。

4.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组 量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

注意：要正确理解和使用圆心角定理及推论。

(1) 不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件虽然圆心角相等， 但所对的弧、弦、弦心距不一定相等。

如图，同心圆，虽然 ZAOB ZCOD ，但 AB=CD ，而且 AB = CD ，弦心距也不相切。

(2) 要结合图形深刻理解圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念与“所对” 一词的含义, 从而正确运用上述关系。

下面举四个错例：c c若O O 中，AC = DB ，则 CE = FD , CEA =/DFBCE FD 不是弦，/ CEA / BFD 不是圆心角，就不可以用圆心角定理推论证明。

其中一条是优弧，一条是劣弧，同时在本定理和推论中的“弧”是指同为劣弧或优弧，一般选择劣弧。

(4)在具体运用定理或推论解决问题时可根据需要，选择有关部分，比如“等弧所对 的圆心角相等”，在“同圆中，相等的弦所对的劣弧相等”等。

5. 1°的弧：因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，我们把每一份这样的弧叫做 1 °的弧。

一般地，n °的圆心角对着 n °的弧，n °的弧对着n°的圆心角，也就是说，圆心角的 度数和它所对的弧的度数相等。

圆心弧弦 弦心距之间的关系这两个结论都是错误，首先 (3)同一条弦对应两条弧, 注意：这里说的相等是指角的度数与弧的度数相等。

而不是角与弧相等，在书写时要防止出现“ .AOB 二AB ”之类的错误。

《弧、弦、圆心角》知识全解
课标要求
理解弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；理解圆心角、弧、弦之间关系定理.
知识结构
本小节从圆的旋转不变性出发，推出了弧、弦、圆心角之间的相等关系.通过本小节的学习要掌握圆的旋转不变性，掌握圆心角的概念及弧、弦、圆心角之间的相等关系，产能运用这些关系解决有关圆的证明、计算问题.弧、弦、圆心角之间的相等关系是论证同圆中等圆中弧相等、角相等、线段相等的主要依据，这个关系是本节的重要内容.
内容解析
本节先探索一个圆心角旋转后，有哪些等量关系.要首先明确圆是中心对称图形，即圆绕其圆心旋转180°后与原来的图形重合，进而指出圆绕其中心旋转任意角度都能与原来的图形重合，这样就把圆与一般的中心对称图形区别开来.学习时首先明确圆心角、圆心角所对的弧、圆心角所对的弦的概念.对于弦相等，可用全等三角形的性质，但不能证明弧相等，可用定义，证明两弧重合.
重点难点
重点是弧、弦、圆心角之间的相等关系以及运用定理进行证明.
教法导引
抓住圆旋转任意角度都与原图形重合，制作一个教具，用实物的旋转来证明定理.
学法建议
结合图形，理解定理，用心体会圆的旋转过程，体会知识的发生过程.。