2021届高考数学一轮复习训练第2讲古典概型

2021年高考数学大一轮总复习 12.2 古典概型与几何概型高效作业 理新人教A 版一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(xx·苏、锡、常、镇四市第二次情况调查)一袋中装有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为( )A.132 B.164 C.332D.364解析：有放回地取2次，共有64种结果，其中不小于15的有(7,8)、(8,7)、(8,8)共3种情况．故P ＝364.故选D.答案：D2．(xx·江苏苏北四市第一次调研)在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率为( )A.14 B.12 C.34D.23解析：如图，当BM ＝14BA 时，△MBC 的面积为S4，而当P 在M 、A 之间运动时，△PBC 的面积大于S 4，而MA ＝34AB ，则△PBC 的面积大于S 4的概率P ＝34AB AB ＝34.故选C.答案：C3．(xx·北京模拟)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤20≤y ≤2，表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A.π4 B.π－22C.π6D.4－π4解析：如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是4－π4.答案：D4．若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，则 点P (m ，n )在直线x ＋y ＝4上的概率是( )A.13B.14C.16D.112解析：由题意(m ，n )的取值情况共有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(1,6)；(2,1)，(2,2)，…，(2,6)；…；(6,1)，(6,2)，…，(6,6)共有36种情况，而满足点P (m ，n )在直线x ＋y ＝4上的取值情况有(1,3)，(2,2)，(3,1)共3种情况，故所求概率为336＝112.答案：D5．若在区间[－5,5]内任取一个实数a ，则使直线x ＋y ＋a ＝0与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝2有公共点的概率为( )A.25B.25C.35D.3210解析：若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离d ＝|1－2＋a |2＝|a －1|2≤2，解得－1≤a ≤3.又a ∈[－5,5]，故所求概率为410＝25，故选B.答案：B6．(xx·四川资阳高三模拟)已知实数x ∈[－1,1]，y ∈[0,2]，则点P (x ，y )落在区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0内的概率为( )A.316B.38C.34D.12解析：如图所示，(x ，y )在矩形ABCD 内取值，不等式组所表示的区域为△AEF ，由几何概型的概率公式，得所求概率为38，故选B.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上) 7．在集合A ＝{2,3}中随机取一个元素m ，在集合B ＝{1,2,3}中随机取一个元素n ，得到点P (m ，n )，则点P 在圆x 2＋y 2＝9内部的概率为________．解析：点P (m ，n )共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，6种情况，只有(2,1)，(2,2)这2个点在圆x 2＋y 2＝9的内部，所求概率为26＝13，故填13.答案：138．在分别写着1,2,3,4的四张卡片中随机取出两张，则取出的两张卡片上的数字之和为奇数的概率是________．解析：∵从四张卡片中随机取出两张有6种情况，分别为：1与2,1与3,1与4,2与3,2与4,3与4，而取出的两张卡片上的数字之和为奇数的有4种情况，分别为：1与2,1与4,2与3,3与4，∴取出的两张卡片上的数字之和为奇数的概率P ＝46＝23.答案：239．(xx·安徽皖南八校第二次联考)两根相距9m 的电线杆扯一根电线，并在电线上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于3m 的概率为________．解析：灯挂在电线上的每一个位置都是一个基本事件，即整个区域的几何度量为μΩ＝9m ，记“灯与两端距离都大于3m”为事件A ，则把电线三等分，当灯挂在中间一段上时，事件A 发生，即μA ＝3m ，∴P (A )＝μA μΩ＝39＝13. 答案：1310．(xx·北京西城抽样测试)已知函数f (x )＝2ax 2－bx ＋1，若a 是从区间[0,2]上任取的一个数，b 是从区间[0,2]上任取的一个数，则此函数在[1，＋∞)上递增的概率为________．解析：令t ＝ax 2－bx ＋1，函数f (x )在[1，＋∞)上递增，根据复合函数单调性的判断方法，则t ＝ax 2－bx ＋1须在[1，＋∞)上递增，∴－－b 2a ≤1，即2a ≥b .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤20≤b ≤2，2a ≥b，画出图示得阴影部分面积．∴概率为P ＝2×2－12×2×12×2＝34.答案：34三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11．(xx·潍坊市模拟)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n ≥m ＋2的概率．解：(1)从袋子中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件有1和2,1和3两个，因此，所求事件的概率是13.(2)先从袋中取出一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其一切可能结果(m ，n )有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．满足条件n ≥m ＋2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个． 所以，所求概率为316.12．(基础题，易)甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．解：以x 轴和y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x －y |≤15.在如图所示平面直角坐标系下，(x ，y )的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A “两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示．由几何概型的概率公式得：P (A )＝S A S ＝602－452602＝3 600－2 0253 600＝716. 所以，两人能会面的概率是716. 13．(xx·天津十二区县重点中学第一次联考)设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”，当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34. (2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}，构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，故所求的概率为P (A )＝3×2－12×223×2＝23.33847 8437 萷•40629 9EB5 麵21067 524B 剋33123 8163 腣27318 6AB6 檶7b37950 943E 鐾%23831 5D17 崗38396 95FC 闼•23746 5CC2 峂h。

2021年高考数学一轮总复习 10.5古典概型练习基础必做一、选择题1．一个坛子里有编号为1,2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为( )A.122B.111C.322D.211解析基本事件总数为C212，事件包含的基本事件数为C26－C23，故所求的概率为P＝C26－C23C212＝211.答案D2．一名同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点落在直线2x＋y＝8上的概率为( )A.16B.112C.536D.19解析依题意，以(x，y)为坐标的点共6×6＝36个，其中落在直线2x＋y＝8上的点有(1,6)，(2,4)，(3,2)，共3个，故所求事件的概率P ＝336＝112.答案 B3．(xx·杭州模拟)从个位数字与十位数字之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( )A.49B.13C.29D.19解析 (1)当个位为奇数时，有5×4＝20(个)符合条件的两位数．(2)当个位为偶数时，有5×5＝25(个)符合条件的两位数．因此共有20＋25＝45(个)符合条件的两位数，其中个位数为0的两位数有5个，所以所求概率为P ＝545＝19.答案 D4．甲、乙两人一起到阿里山参观旅游，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后1小时他们同在一个景点的概率是( )A.136B.19C.536D.16解析 甲、乙两人任选4个景点游览，共有A 46·A 46种游览方案，又甲、乙最后1小时在同一景点有C 16·A 35·A 35种可能．∴所求事件的概率P ＝C 16·A 35·A 35A 46·A 46＝16. 答案 D5．(xx·浙江金丽衢十二校二联)若在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为( )A.17B.27C.37D.47解析 因为任取3个顶点连成三角形共有C 38＝8×7×63×2＝56个，又以一顶点为直角顶点的非等腰三角形有3个，所以共有24个三角形符合条件．所以所求概率为2456＝37.答案 C6．甲、乙、丙3位教师安排在周一至周五中的3天值班，要求每人值班1天且每天至多安排1人，则恰好甲安排在另外两位教师前面值班的概率是( )A.13B.23C.34D.35解析 第一种情况：甲安排在第一天，则有A 24＝12种；第二种情况：甲安排在第二天，则有A 23＝6种；第三种情况：甲安排在第三天，则有A 22＝2种，所以所求概率为12＋6＋2A 35＝13. 答案 A 二、填空题7．从某学习小组的10名同学中选出3名同学参加一项活动，其中甲、乙两名同学都被选中的概率是________．解析 从10名同学中选出3名同学有C 310＝10×9×83×2×1＝120种选法，其中甲、乙两名同学都被选中有C 18＝8种选法，因此甲、乙两名同学都被选中的概率是8120＝115.答案1158．在集合{x |x ＝n π6，n ＝1,2,3，…，10}中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cos x＝12的概率是________． 解析 基本事件总数为10，满足方程cos x ＝12的基本事件数为2，故所求概率为P ＝210＝15. 答案159．(xx ·广东卷)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．解析 从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，共有C 710种不同的取法．当这七个数的中位数是6时，应该有3个比6小的数，还有3个比6大的数，因此一共有C 36·C 33种不同的取法，故所求概率P ＝C 36·C 33C 710＝20120＝16.答案16三、解答题10．中国式过马路，是网友对部分中国人集体闯红灯现象的一种调侃，即“凑够一撮人就可以走了，和红绿灯无关”．某校对全校学生过马路方式进行调查，在所有参与调查的人中，“跟从别人闯红灯”“从不闯红灯”“带头闯红灯”人数如表所示：的人中抽取50人，求n的值．(2)在“带头闯红灯”的人中，将男生的200人编号为001,002，…，200；将女生的200人编号为201,202，…，400，用系统抽样的方法抽取5人参加“文明交通”宣传活动，若抽取的第一个人的编号为30，把抽取的5人看成一个总体，从这5人中任选取2人，求至少有一名女生的概率．解(1)由n2 000＝501 000得n＝100.(2)按系统抽样，分段间隔k＝4005＝80.当抽取的第一个人的编号为30时，则所抽取的5个人的编号依次为：30,110,190,270,350.所以抽取的5人中有3男2女．记三个男生分别为A1，A2，A3，两个女生分别为B1，B2，则有：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)共有10种情况，其中无女生的情况有(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)3种情况．记“至少有一名女生”为事件A，A表示“无女生”，P(A)＝310，所以P(A)＝1－P(A)＝710.11．(xx·福州模拟)某学院为了调查本校学生xx年9月“健康上网”(健康上网是指每天上网不超过两个小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学生作为样本，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：[0,5]，(5,10]，(10,15]，…，(25,30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数； (2)现从这40名学生中任取2名，设Y 为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y 的分布列．解 (1)由图可知，健康上网天数未超过20天的频率为(0.01＋0.02＋0.03＋0.09)×5＝0.15×5＝0.75.所以健康上网天数超过20天的学生人数是 40×(1－0.75)＝40×0.25＝10. (2)随机变量Y 的所有可能取值为0,1,2. P (Y ＝0)＝C 230C 240＝2952；P (Y ＝1)＝C 110C 130C 240＝513；P (Y ＝2)＝C 210C 240＝352.所以Y 的分布列为：Y 0 1 2 P2952513352培 优 演 练1．袋中有8个大小相同的小球，其中1个黑球，3个白球，4个红球． (1)若从袋中一次摸出2个小球，求恰为异色球的概率；(2)若从袋中一次摸出3个小球，且3个球中，黑球与白球的个数都没有超过红球的个数，记此时红球的个数为ξ，求ξ的分布列．解 (1)摸出的2个小球为异色球的种数为C 11C 17＋C 13C 14＝19， 从8个小球中摸出2个小球的种数为C 28＝28， 故所求概率为P ＝1928.(2)符合条件的摸法包括以下三类：一类是有1个红球，1个黑球，1个白球， 共有C 11C 14C 13＝12种不同摸法， 一类是有2个红球，1个其他颜色球， 共有C 24C 14＝24种不同摸法， 一类是所摸得的3个小球均为红球， 共有C 34＝4种不同摸法，故符合条件的不同摸法共有40种．由题意知，随机变量ξ的可能取值为1,2,3. 其分布列为ξ 1 2 3 P310351102．由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从某中学随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如下：(1)若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”，求校医从这16人中随机选取3人，至多有1人是“好视力”的概率；(2)以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“好视力”学生的人数，求ξ的分布列．解 (1)设A i 表示所取3人中有i 个人是“好视力”，至多有1人是“好视力”记为事件A ，包括有一个人是好视力和有零个人是好视力，∴P (A )＝P (A 0)＋P (A 1)＝C 312C 316＋C 14C 212C 316＝121140.(2)ξ的可能取值为0、1、2、3，P (ξ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764；P (ξ＝1)＝C 1314⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝2764； P (ξ＝2)＝C 2334⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝964；P (ξ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝164.∴分布列为时间：45分钟 分值：100分基 础 必 做一、选择题1．高三(4)班有4个学习小组，从中抽出2个小组进行作业检查．在这个试验中，基本事件的个数为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析 设这4个学习小组为A ，B ，C ，D ，“从中任抽取两个小组”的基本事件有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，共6个．答案 C2．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b >a 的概率是( )A.45B.35C.25D.15解析 从{1,2,3,4,5}中选取一个数a 有5种取法，从{1,2,3}中选取一个数b 有3种取法．所以选取两个数a ，b 共有5×3＝15个基本事件，满足b >a 的基本事件共有3个．因此b >a 的概率P ＝315＝15.答案 D3．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋n i)(n －m i)为实数的概率为( )A.13B.14C.16D.112解析 复数(m ＋n i)(n －m i)＝2mn ＋(n 2－m 2)i 为实数，则n 2－m 2＝0⇒m ＝n ，而投掷两颗骰子得到点数相同的情况只有6种，所以所求概率为66×6＝16. 答案 C4．(xx·湘潭模拟)某运动会期间，从来自A 大学的2名志愿者和来自B 大学的4名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A 大学志愿者的概率是( )A.115B.25C.35D.1415解析 记2名来自A 大学的志愿者为A 1，A 2,4名来自B 大学的志愿者为B 1，B 2，B 3，B 4.从这6名志愿者中选出2名的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，B 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，B 4)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，B 4)，(B 2，B 3)，(B 2，B 4)，(B 3，B 4)，共15种. 其中至少有一名A 大学志愿者的事件有9种．故所求概率为915＝35.答案 C5．从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a ，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b ，则向量m ＝(a ，b )与向量n ＝(1，－1)垂直的概率为( )A.16 B.13 C.14D.12解析 由题意可知m ＝(a ，b )有：(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共12种情况．m ⊥n 即m ·n ＝0，所以a ×1＋b ×(－1)＝0，即a ＝b ， 满足条件的有(3,3)，(5,5)共2个． 故所求概率为16.答案 A6．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成一个两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是( )A.16B.13C.12D.38解析 能组成的两位数有12,13,20,30,21,31，共6个，其中的奇数有13,21,31，共3个，因此所组成的两位数为奇数的概率是36＝12.答案 C 二、填空题7．(xx·全国卷Ⅱ)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．解析 甲、乙两名运动员选择运动服颜色有(红，红)，(红，白)，(红，蓝)，(白，白)，(白，红)，(白，蓝)，(蓝，蓝)，(蓝，白)，(蓝，红)，共9种．而同色的有(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种． 所以所求概率P ＝39＝13.答案138．(xx·全国卷Ⅰ)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．解析 两本不同的数学书用a 1，a 2表示，语文书用b 表示，则Ω＝{(a 1，a 2，b )，(a 1，b ，a 2)，(a 2，a 1，b )，(a 2，b ，a 1)，(b ，a 1，a 2)，(b ，a 2，a 1)}．于是两本数学书相邻的情况有4种，故所求概率为46＝23.答案239．盒中有3张分别标有1,2,3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为________．解析 对立事件为：两次抽取的卡片号码都为奇数，共有2×2＝4种抽法．而有放回的两次抽取卡片共有3×3＝9种基本事件，因此所求事件概率为1－49＝59.答案59三、解答题10．现有编号分别为1,2,3,4,5的五道不同的政治题和编号分别为6,7,8,9的四道不同的历史题．甲同学从这九道题中一次性随机抽取两道题，每道题被抽到的概率是相等的，用符号(x ，y )表示事件“抽到的两道题的编号分别为x 、y ，且x <y ”．(1)问有多少个基本事件，并列举出来；(2)求甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17但不小于11的概率． 解 (1)共有36个等可能的基本事件，列举如下：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(1,8)，(1,9)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，(2,9)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(3,8)，(3,9)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(7,8)，(7,9)，(8,9)．(2)记“甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17但不小于11”为事件A ， 则事件A 为“x ，y ∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，且x ＋y ∈[11,17)，其中x <y ”． 由(1)可知事件A 共包含15个基本事件，列举如下：(2,9)，(3,8)，(3,9)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(7,8)，(7,9)．所以P (A )＝1536＝512.即甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17但不小于11的概率为512. 11．中国式过马路，是网友对部分中国人集体闯红灯现象的一种调侃，即“凑够一撮人就可以走了，和红绿灯无关”．某校对全校学生过马路方式进行调查，在所有参与调查的人中，“跟从别人闯红灯”“从不闯红灯”“带头闯红灯”人数如表所示：的人中抽取50人，求n 的值．(2)在“带头闯红灯”的人中，将男生的200人编号为001,002，…，200；将女生的200人编号为201,202，…，400，用系统抽样的方法抽取5人参加“文明交通”宣传活动，若抽取的第一个人的编号为30，把抽取的5人看成一个总体，从这5人中任选取2人，求至少有一名女生的概率．解 (1)由n 2 000＝501 000得n ＝100.(2)按系统抽样，分段间隔k ＝4005＝80. 当抽取的第一个人的编号为30时，则所抽取的5个人的编号依次为：30,110,190,270,350.所以抽取的5人中有3男2女．记三个男生分别为A 1，A 2，A 3，两个女生分别为B 1，B 2，则有：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)共有10种情况，其中无女生的情况有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)3种情况．记“至少有一名女生”为事件A，A表示“无女生”，P(A)＝310，所以P(A)＝1－P(A)＝710.培优演练1．(xx·福建卷)根据世行xx年新标准，人均GDP低于1 035美元为低收入国家；人均GDP为1 035～4 085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4 085～12 616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12 616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表：行政区区人口占城市人口比例区人均GDP(单位：美元) A25%8 000B30% 4 000C15% 6 000D10% 3 000E20%10 000(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率．解(1)设该城市人口总数为a，则该城市人均GDP为8 000×0.25a＋4 000×0.30a＋6 000×0.15a＋3 000×0.10a＋10 000×0.20aa＝ 6 400.因为6 400∈[4 085,12 616)，所以该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准．(2)“从5个地政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{C，D}，{C，E}，{D，E}，共10个．设事件“抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准”为M，则事件M包含的基本事件是：{A，C}，{A，E}，{C，E}，共3个．所以所求概率为P(M)＝310.2．(xx·安徽示范高中模拟)某数学老师对本校xx届高三学生某次联考的数学成绩进行分析，按150进行分层抽样抽取20名学生的成绩进行分析，分数用茎叶图记录如图所示(部分数据丢失)得到的频率分布表如下：分数段(分)[50,70)[70,90)[90,110)[110,130)[130,150)合计频数b频率 a 0.25(1)求表中a，b的值及分数在[90,100)范围内的学生人数，并估计这次考试全校学生数学成绩及格率(分数在[90,150]范围为及格)．(2)从大于等于110分的学生中随机选2名学生得分，求2名学生的平均得分大于等于130分的概率．解(1)由茎叶图可知分数在[50,70)范围内的有2人，在[110,130)范围内的有3人，所以a＝220＝0.1，b＝3.又分数在[110,150)范围内的频率为520＝0.25，所以分数在[90,110)范围内的频率为1－0.1－0.25－0.25＝0.4，所以分数在[90,110)范围内的人数为20×0.4＝8，由茎叶图可知分数在[100,110)范围内的人数为4人，所以分数在[90,100)范围内的学生数为8－4＝4.从表中可知分数在[70,90)范围内的频率为0.25，所以有20×0.25＝5(人)，所以20人中数学成绩及格的学生为13人．所以估计全校数学成绩及格率为1320＝65%.(2)设A表示事件“从大于等于110分的学生中随机选2名学生得分，平均得分大于等于130分”，由茎叶图可知大于等于110分有5人，记这5人分别为m，n，c，d，e，则选取学生的所有可能结果为：(m，n)，(m，c)，(m，d)，(m，e)，(n，c)，(n，d)，(n，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，基本事件数为10，事件“2名学生的平均得分大于等于130分”也就是“这2名学生的分数之和大于等于260分”，所以可能结果为：(118,142)，(128,136)，(128,142)，(136,142)，共4种情况，基本事件数为4，所以P(A)＝410＝25.29448 7308 猈20602 507A 偺35699 8B73 譳 r25429 6355捕p32211 7DD3 緓25875 6513 攓24705 6081 悁32127 7D7F 絿4W<。

第 2 讲古典概型、知识梳理1. 基本事件的特点(1) 任何两个基本事件是互斥的;(2) 任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.2•古典概型(1) 特点①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限T ____②每个基本事件出现的可能性相等，即等可能性.(2) 概率公式_A包含的基本事件的个数P(A)= 基本事件的总数.二、习题改编1. (必修3P125例1改编)从字母a, b, c, d中任意取出两个不同字母的试验中，有个基本事件.答案：62. (必修3P145A组T5改编)盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个.若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率为_______________ .解析：设3个红色球为A1, A2, A3, 2个黄色球为B1, B2,从5个球中，随机取出2个球的基本事件有A1A2, A1A3, A1B1, A1B2, A2A3, A2B1, A2B2, A3B1, A3B2, B1B2,共10种.其中2个球的颜色不同的有A1B1, A1B2, A2B1, A2B2, A3B1, A3B2,共6种，所以所求6 3概率为沪3.一、思考辨析判断正误(正确的打“V”，错误的打“X”)(1) “在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”.()(2) 掷一枚硬币两次，出现“两个正面” “一正一反” “两个反面”，这三个事件是等可能事件.()(3) 某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同.()1(4) “从长为1的线段AB上任取一点C,求满足AC< 3的概率是多少”是古典概型.()答案：(1)X (2) X (3) X (4) X二、易错纠偏常见误区(1)列举基本事件不准确导致基本事件的个数错误；(2)对事件A的限制条件理解不正确致误.1 •从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为()A • 0.6 B. 0.5C. 0.4D. 0.3解析：选D.将2名男同学分别记为x, y, 3名女同学分别记为a, b, c.设“选中的2人都是女同学”为事件A ，则从5名同学中任选2人参加社区服务的所有可能情况有(x , y).(x ，a)，(x ，b)，(x ，c)，(y ，a)，(y ，b)，(y ，c)，(a ，b)，(a ，c)，(b ，c)，共 10种，其中事 3件A 包含的可能情况有(a ，b)，(a ，c)，(b ，c)，共3种，故P(A)=和=0.3.故选D.2•从1, 2，3, 4，5中任意取出两个不同的数，其和为偶数的概率是 _______________ . 解析：总的基本事件有(1 , 2), (1, 3), (1 , 4), (1 , 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3,4), (3, 5), (4, 5),共10个.两个不同的数之和为偶数包含的基本事件有(1, 3), (1 , 5), (2,4)，(3，5)，共4个，所以所求概率2答案：252 一5-410=简单的古典概型（师生共研）（2019高考天津卷）2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72, 108, 120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.（1）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？⑵抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A, B, C, D, E, F.享受情况如下表，其中“O”表示享受，“X”表示不享受•现从这6人中随机抽取2 人接受采访.①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率.【解】(1)由已知，老、中、青员工人数之比为 6 : 9 : 10,由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人.⑵①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A, B} , {A, C} , {A, D} , {A,E} , {A, F}, {B, C} , {B, D}, {B , E}, {B , F} , {C , D} , {C , E} , {C , F}, {D , E}, {D, F}, {E , F},共15 种.②由表格知，符合题意的所有可能结果为{A , B}, {A , D}, {A , E} , {A , F} , {B ,D}, {B , E} , {B , F} , {C , E} , {C , F} , {D , F} , {E , F},共11 种.11所以，事件M发生的概率P(M)= —(1)古典概型中基本事件的探求方法(2)利用公式法求解古典概型问题的步骤1. (2020南昌市第一次模拟测试)2021年广东新高考将实行3 + 1 + 2模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.今同的概率为（）1 A.0D .D , H , S ,则小明与小芳的选课方案可能是（D ,(H , S), (S , D), (S, H), (S , S),共 9 种，小明与小芳选课方案相同的可能是 （D , D ）, （H , H ）, （S, S ）,共有3种情况，所以他们选课相同3 1的概率为9= §,故选B.2. （2019高考全国卷 川）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的 概率是（) 1A.61 巧1 C.1 1 D. 2解析：选D.将两位男同学分别记为 A 1, A 2,两位女同学分别记为 B 1 , B 2,则四位同学排成一列，情况有1共有24种，其中2名女同学相邻的有12种，所以所求概率P =",故选D.3. （2020重庆市学业质量调研）2018年8月在重庆成功举办了首届“智博会”.某科技开发公司甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 108 , 72 , 72,现采用分层抽样的方法从这三个部门中抽取 7人到智博会参观.年高一的小明与小芳都准备选历史与政治,假若他们都对后面三科没有偏好， 则他们选课相解析：选B.记地理、化学、生物分别为D), (D , H), (D , S), (H , D), (H , H),A 1A 2B 1B 2 A 1B 1A 2B 2 B 1A 1A 2B 2 A 1B 1B 2A 2 B 1B 2A 1A 2 B 1A 1B 2A 2A 1A 2B 2B 1, A 1B 2A 2B 1,B 1A 2A 1B 2, A 1B 2B 1A 2, B 1B 2A 2A 1, B 1A 2B 2A 1,A 2A 1B 1B 2,A 2B 1A 1B 2, B 2A 1A 2B 1, A 2B 1B 2A 1,A 2A 1B 2B 1, A 2B 2A 1B 1, B 2A 2A 1B 1, A 2B 2B 1A 1,1 1（1）求从甲、乙、丙三个部门分别抽取的人数;(2)从这7人中随机抽取2人向全体员工作汇报，求这 2人来自不同部门的概率.解：⑴抽取比例为7: (108 + 72 + 72) = 1 : 36. 所以应从甲、乙、丙三个部门分别抽取3人，2人，2人.(2)7 人分别记为 A i , A 2, A 3, B I , B 2, C I , C 2, 从中随机抽取 2人的所有可能情况有：A 1A 2, A 1A 3, A 1B 1, A 1B 2, A 1C 1, A 1C 2, A 2A 3,A 2B 1, A 2B 2, A 2C 1, A 2C 2, A 3B 1, A 3B 2, A 3C 1, A 3C 2, B 1B 2, B 1C 1, B 1C 2, B 2C 1, B 2C 2, C 1C 2, 共21种.其中，2人来自不同部门的可能情况有： A 1B 1, A 1B 2, A 1C 1, A 1C 2, A 2B 1, A 2B 2 , A 2C 1,A 2C 2, A 3B 1, A 3B 2, A 3C 1, A 3C 2, B 1C 1, B 1C 2, B 2C 1, B 2C 2,共 16 种.古典概型中的交汇问题(多维探究)角度一 古典概型与平面向量的交汇故所求事件的概率为16 21.从集合｛2 , 3, 4, 5｝中随机抽取一个数a,从集合｛1 , 3, 5｝中随机抽取一个数b,则向量m = (a, b)与向量n= (1, - 1)垂直的概率为()1 1A.6B.31 1 CQ D. 2【解析】由题意可知m = (a, b)有：(2, 1), (2, 3), (2, 5), (3, 1) , (3 , 3) , (3 , 5), (4 , 1) , (4 , 3) , (4 , 5) , (5 , 1) , (5 , 3) , (5 , 5),共12 种情况.因为m丄n ,即m n = 0 ,所以 a x 1+ b x (—1) = 0,即a = b ,满足条件的有(3 , 3) , (5 , 5)共2种，1故所求的概率为-.6【答案】A角度二古典概型与函数(方程)的交汇2 X2是5X 2 =|.故选C.5【答案】 C角度三古典概型与解析几何的交汇将一颗骰子先后抛掷 2次，观察向上(2020益阳、湘潭调研试卷)已知a€ { — 2， 0, 1, 2, 3} , b € {3 , 5}，则函数f(x)= (a 2— 2)e x + b 为减函数的概率是()3A吊 3 眄 2 1D- 5【解析】函数 f(x)= (a 2— 2)e x + b 为减函数，则 a 2— 2v 0,又 a € { — 2, 0, 1, 2, 3},故只有a = 0, a = 1满足题意，又b € {3 , 5},所以函数f(x) = (a 2 — 2)e x+ b 为减函数的概率的点数，将第一次向上的点数记为2 2m，第一次向上的点数记为n 曲线C : m 2+劳1.则曲线C 的焦点在x 轴上且离心率e w 2的概率等于（ ）5 1A. B.o6 63 1C. D.;4 4【解析】因为离心率e^ —3,所以-■ 1 ——2< 3,解得—> 1.由列举法得，当m= 62 m2 2 m2 '时，n= 5, 4, 3;当m = 5 时，n= 4, 3;当m = 4 时，n= 3, 2;当m= 3 时，n=2;当m9 1=2时，n= 1,共9种情况，故其概率为=匸.故选D.6X 6 4【答案】D解决古典概型中交汇问题的方法解决与古典概型交汇的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.1. (2020武汉市部分学校调研)将一枚质地均匀的骰子投掷两次，得到的点数依次记为 a 和b ,则方程ax 2 + bx + 1= 0有实数解的概率是()A.36 19 C.36_ *1 < a < 6, a € N ,解析：选C.投掷骰子两次，所得的点数a 和b 满足的关系为所以aK b w 6, b € N *,和b 的组合有36种，若方程ax 2 + bx + 1 = 0有实数解，贝U △= b 2— 4a > 0,所以b 2>4a.当b = 1时，没有a 符合条件；当b = 2时，a 可取1;当b = 3时，a 可取1, 2;当b =3, 4, 5, 6.满足条件的组合有 1919种，贝U 方程ax 2 + bx + 1 = 0有实数解的概率为 P =“，故选C.362.设 a € {2 , 4}, 1 2b € {1 , 3},函数 f(x)= ^ax 2 + bx + 1.(1)求f(x)在区间(—a, — 1］上是减函数的概率； ⑵从f(x)中随机抽取两个，求它们在 (1, f(1))处的切线互相平行的概率.解：(1)由题意一~》一1,即b w a.2X 尹3而(a , b)共有(2, 1), (2 , 3) , (4 , 1) , (4 , 3) , 4种，满足b w a 的有3种，故概率为~. ⑵由⑴可知，函数f(x)共有4种情况，从中随机抽取两个，有6种抽法.5 184时，a 可取1, 2, 3, 4;当 b = 5 时，a 可取 1, 2, 3, 4, 5, 6 ;当 b = 6 时，a 可取 1,2,D .因为函数f(x)在(1, f(1))处的切线的斜率为f'件)a+ b,所以这两个函数中的a与b之和应该相等，而只有(2, 3), (4, 1)这1组满足，故概率为6.核心素养系列20数学建模一一求古典概型的概率(2018高考天津卷)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240, 160, 160 •现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？⑵设抽出的7名同学分别用A, B, C, D, E, F , G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率.【解】(1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为 3 : 2：2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人.⑵①从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A, B}, {A, C}, {A,D} , {A, E}, {A, F}, {A, G} , {B , C}, {B , D} , {B , E} , {B , F} , {B , G} , {C , D}, {C , E}, {C , F}, {C , G}, {D , E}, {D , F} , {D , G} , {E , F} , {E , G} , {F , G},共21种.②由①，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是 A , B , C ,来自乙年级的是 D , E , 来自丙年级的是F, G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A , B} , {A , C} , {B , C} , {D , E}, {F , G},共5 种.5所以，事件M发生的概率P(M)=—.本题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识. 考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. 培养学生的数学建模能。

第2讲古典概型1．从 {1,2,3,4,5} 中随机选用一个数为a，从 {1,2,3} 中随机选用一个数为b，则 b>a 的概率是 ()43A. 5B.521C.5D.52． (2011 年浙江 )从装有 3 个红球、 2 个白球的袋中任取 3 个球，则所取的 3 个球中至罕有 1 个白球的概率是 ()1339A. 10B.10C.5D.103．羊村村长慢羊羊决定从喜羊羊、美羊羊、懒羊羊、暖羊羊、沸羊羊中选派两只羊去割草，则喜羊羊和美羊羊恰巧只有一只被选中的概率为()3634A. 10B.7C.5D.54．若以连续掷两次骰子分别获得的点数m， n 作为点 P 的横、纵坐标，则点P(m， n)落在直线 x＋ y＝ 5 下方的概率为 ()1111A. 6B.4C.12D.95．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12 人，从到会教师中随机精选一人表演节目．假如每位教师被选到的概率相等，并且选到男教师的概率为9 ，那么参加此次联20欢会的教师共有()A． 360 人 B ．240 人C． 144 人D． 120 人6． (2013 年安徽 )若某企业从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戍中录取三人，这五人被录取的时机均等，则甲或乙被录取的概率为()2239A. 3B.5C.5D.107．从含有 2 件正品和 1 件次品的3 件产品中每次任取 1 件，每次拿出后再放回，连续取两次，则两次拿出的产品中恰巧有一件次品的概率是________．8．连掷两次骰子获得的点数分别为m 和 n，设向量a＝ (m， n)与向量b＝ (1，－ 1)的夹π的概率是 ________．角为θ，则θ∈ 0，29． (2012 年广东揭阳学业水平测试)某产品按行业生产标准分红8 个等级，等级系数ξ挨次为 1,2，， 8，此中ξ≥5为标准 A，ξ≥ 3 为标准 B，产品的等级系数越大表示产品的质量越好，已知某厂履行标准 B 生产该产品，且该厂的产品都切合相应的履行标准．从该厂生产的产品中随机抽取30 件，相应的等级系数构成一个样本，数据以下：353385563463475348538343447567该行业规定产品的等级系数ξ≥ 7 的为一等品，等级系数5≤ ξ<7 的为二等品，等级系数3≤ ξ<5 的为三等品．(1)试分别预计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；(2)从样本的一等品中随机抽取 2 件，求所抽得 2 件产品等级系数都是8 的概率．10． (2013 年天津一模)某中学一、二、三年级分别有普法志愿者36 人、 72 人、 54人，用分层抽样的方法从这三个年级抽取一个样本，已知样本中三年级志愿者有 3 人．(1)分别求出样本中一、二年级志愿者的人数；(2)用 A i (i＝ 1,2 )表示样本中一年级的志愿者，a i(i ＝ 1,2， )表示样本中二年级的志愿者，现从样本中一、二年级的全部志愿者中随机抽取 2 人，①用以上志愿者的表示方法，用列举法列出上述全部可能状况，②抽取的 2 人在同一年级的概率．第2讲 古典概型1．D 2.D3.C4．A 分析：试验是连续掷两次骰子． 故共包括 6×6＝ 36(个 )基本领件． 事件“点 P(m ，n)落在直线 x ＋ y ＝ 5 下方”，包括 (1,1) ， (1,2)， (2,1)， (1,3) ， (2,2)， (3,1)共 6 个基本领件， 故 p ＝ 6 ＝1.36 65．D分析： 设到会男教师 x 人，则女教师为x ＋12 人，由条件知，x＝ 9，x ＋ x ＋12 20∴ x ＝ 54，∴ 2x ＋ 12＝ 120.应选 D.6．D4分析： 2 件正品记为 a ， b ，次品记为 c ，则有放回地连续取两次的基本领件有 (a ， 7.9b)， (a ， c)， (b ， c)， (b ， a)，(c ，a)， (c ， b)， (a ， a)，( b ， b)， (c ， c)共 9 个．记“恰巧有一件次品”为事件 A ，则 A 含有的基本领件数为4 个．∴ P(A)＝ 4.9 7 分析： ∵cos θ＝ m － n π8.12 2· m 2 ＋n 2， θ∈ 0，2 ，∴ m ≥ n ，知足条件 m ＝ n 的概率为 6 ＝ 1， 366m>n 的概率与 m<n 的概率相等，∴ m>n 的概率为 1 1 5 2× 1－6 ＝ 12，∴知足 m ≥ n 的概率为 p ＝ 1＋ 5 ＝76 12 12.9． 解： (1)由样本数据知， 30 件产品中等级系数ξ≥ 7 有 6 件，即一等品有 6 件，二等品有 9 件，三等品有 15 件．∴样本中一等品的频次为6＝ 0.2，故预计该厂生产的产品的一等品率为 0.2；930二等品的频次为 30＝ 0.3，故预计该厂生产的产品的二等品率为0.3；三等品的频次为15＝ 0.5，故预计该厂生产的产品的三等品的频次为0.5.30(2)样本中一等品有 6 件，此中等级系数为 7 的有 3 件，等级系数为 8 的也有 3 件，记等级系数为 7 的 3 件产品分别为C 1， C 2， C 3，等级系数为 8 的 3 件产品分别为 P 1， P 2， P 3.则从样本的一等品中随机抽取 2 件的全部可能为：(C 1，C 2) ，(C 1，C 3 )，(C 2 ，C 3)，(P 1，P 2 )，( P 1，P 3)，(P 2，P 3)，( C 1，P 1)，(C 1，P 2)， (C 1， P 3) ，(C 2， P 1)， (C 2， P 2)，( C 2，P 3)， (C 3， P 1)， (C 3，P 2)，( C 3， P 3)，共 15 种．记从“一等品中随机抽取2 件， 2 件等级系数都是 8”为事件 A ， 则 A 包括的基本领件有 (P 1， P 2)， (P 1， P 3)， (P 2， P 3)共3 种，故所求的概率 P(A)＝3＝1. 15510． 解： (1)依题意，分层抽样的抽样比为 3 ＝ 154 18.∴在一年级抽取的人数为36× 1＝ 2(人 )．18在二年级抽取的人数为72× 1＝ 4(人 )． 18 2人和 4人．因此一、二年级志愿者的人数分别为(2)①用 A 1， A 2 表示样本中一年级的2 名志愿者，用 a 1， a 2，a 3， a 4 表示样本中二年级的 4 名志愿者．则抽取 2 人的状况为 A 1A 2，A 1a 1，A 1a 2，A 1a 3，A 1a 4，A 2a 1，A 2a 2，A 2a 3，A 2a 4，a 1a 2，a 1a 3，a 1a 4，a 2a 3，a 2a 4， a 3a 4，共 15 种．②抽取的 2 人在同一年级的状况是A1A2， a1a2， a1a3，a1a4， a2 a3， a2a4，a3a4，共 7 种．∵每一种状况发生的可能性都是等可能的，7∴抽取的 2 人是同一年级的概率为15.。

古典概型与几何概型考纲要求1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率；3.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；4.了解几何概型的意义．知识梳理1．古典概型 (1)基本事件的特点①任何两个基本事件是互斥的．②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． (2)古典概型的定义具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(3)古典概型的概率公式 P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.2．几何概型 (1)几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． (2)几何概型的两个基本特点(3)几何概型的概率公式P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.1．古典概型中的基本事件都是互斥的，确定基本事件的方法主要有列举法、列表法与树状图法．2．概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.3．几何概型的基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限的．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．()(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．()(3)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．()(4)概率为0的事件一定是不可能事件．()答案(1)×(2)×(3)√(4)×解析对于(1)，发芽与不发芽不一定是等可能，所以(1)不正确；对于(2)，三个事件不是等可能，其中“一正一反”应包括正反与反正两个基本事件，所以(2)不正确；对于(4)，概率为0的事件有可能发生，所以(4)不正确．2．袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球抽到白球的概率为( ) A.25 B ．415C ．35D ．非以上答案答案 A解析 从袋中任取一球，有15种取法，其中抽到白球的取法有6种，则所求概率为p ＝615＝25. 3.如图，正方形的边长为2，向正方形ABCD 内随机投掷200个点，有30个点落入图形M 中，则图形M 的面积的估计值为____________．答案 0.6解析 由题意可得正方形面积为4，设不规则图形的面积为S ，由几何概型概率公式可得S4≈30200，∴S ≈0.6.4．(2020·全国Ⅰ卷)设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为( ) A.15 B ．25C ．12D ．45答案 A解析 从O ，A ，B ，C ，D 这5个点中任取3点，取法有{O ，A ，B }，{O ，A ，C }，{O ，A ，D }，{O ，B ，C }，{O ，B ，D }，{O ，C ，D }，{A ，B ，C }，{A ，B ，D }，{A ，C ，D }，{B ，C ，D }，共10种，其中取到的3点共线的只有{O ，A ，C }，{O ，B ，D }这2种取法，所以所求概率为210＝15.故选A.5．(2019·全国Ⅲ卷)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( ) A.16 B ．14C.13 D ．12答案 D解析 设两位男同学分别为A ，B ，两位女同学分别为a ，b ，则用“树形图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示．由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“√”的情况)共有12种，故所求概率为1224＝12.6. (2021·郑州模拟)公元前5世纪下半叶，希波克拉底解决了与化圆为方有关的化月牙形为方．如图，以O 为圆心的大圆直径为4，以AB 为直径的半圆面积等于AO 与BO 所夹四分之一大圆的面积，由此可知，月牙形区域的面积与△AOB 的面积相等．现在在两个圆所覆盖的区域内随机取一点，则该点来自阴影部分的概率是________．答案π＋68π＋4解析 上方阴影部分的面积等于△AOB 的面积，S △AOB ＝12×2×2＝2，下方阴影部分面积等于14×π×22－⎣⎡⎦⎤14×π×22－12×2×2＝π2＋1，所以根据几何概型概率公式得所求概率P ＝2＋π2＋14π＋2＝π＋68π＋4.考点一 古典概型的简单计算1．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( ) A.23 B ．35C ．25D ．15答案 B解析 设5只兔子中测量过某项指标的3只为a 1，a 2，a 3，未测量过这项指标的2只为b 1，b 2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a 1，a 2，a 3)，(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 1，b 1，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，(a 2，b 1，b 2)，(a 3，b 1，b 2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为610＝35.2．(2021·安徽江南十校质量检测)“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1＋1”问题．它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩．若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为( ) A.15 B ．13C ．35D ．23答案 A解析 6拆成两个正整数的和的所有基本事件有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，而加数全为质数的为(3,3)，所以所求概率为15，故选A.3．(2020·江苏卷)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是________． 答案 19解析 列表如下：1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6789101112点数的和共有点数和为5的概率P ＝436＝19.感悟升华 古典概型中基本事件个数的探求方法：(1)枚举法：适合于给定的基本事件个数较少且易一一列举出的问题．(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定基本事件时(x ，y )可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同，有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同． 考点二 古典概型与其他知识的简单交汇【例1】 (1)(2020·郑州一模)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，任取k ∈A ，则幂函数f (x )＝x k 为偶函数的概率为________(结果用数值表示)．(2)(2021·河北七校联考)若m 是集合{1,3,5,7,9,11}中任意选取的一个元素，则椭圆x 2m ＋y 22＝1的焦距为整数的概率为________． 答案 (1)14 (2)12解析 (1)集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，任意k ∈A 的基本事件总数为8，当k ＝±2时，幂函数f (x )＝x k 为偶函数，从而幂函数f (x )＝x k 为偶函数包含的基本事件个数为2，∴幂函数f (x )＝x k 为偶函数的概率p ＝14.(2)∵m 是集合{1,3,5,7,9,11}中任意选取的一个元素，∴基本事件总数为6，又满足椭圆x 2m ＋y 22＝1的焦距为整数的m 的取值有1,3,11，共有3个，∴椭圆x 2m ＋y 22＝1的焦距为整数的概率p＝36＝12. 感悟升华 求解古典概型的交汇问题，关键是把相关的知识转化为事件，然后利用古典概型的有关知识解决，一般步骤为：(1)将题目条件中的相关知识转化为事件； (2)判断事件是否为古典概型； (3)选用合适的方法确定基本事件个数； (4)代入古典概型的概率公式求解．【训练1】 设平面向量a ＝(m,1)，b ＝(2，n )，其中m ，n ∈{1,2,3,4}，记“a ⊥(a －b )”为事件A ，则事件A 发生的概率为( ) A.18 B ．14C ．13D ．12答案 A解析 有序数对(m ，n )的所有可能情况为4×4＝16个，由a ⊥(a －b )得m 2－2m ＋1－n ＝0，即n ＝(m －1)2.由于m ，n ∈{1,2,3,4}，故事件A 包含的基本事件为(2,1)和(3,4)，共2个，所以P (A )＝216＝18.考点三 古典概型与统计的综合应用【例2】 某城市100户居民的月平均用电量(单位：千瓦时)以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图．(1)求直方图中x 的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[240,260)，[260,280)，[280,300]的三组用户中，用分层抽样的方法抽取6户居民，并从抽取的6户中任选2户参加一个访谈节目，求参加节目的2户来自不同组的概率．解 (1)由(0.002 0＋0.009 5＋0.011 0＋0.012 5＋x ＋0.005 0＋0.002 5)×20＝1得x ＝0.007 5， 所以直方图中x 的值是0.007 5.(2)月平均用电量的众数是220＋2402＝230.因为(0.002 0＋0.009 5＋0.011 0)×20＝0.45<0.5， 且(0.002 0＋0.009 5＋0.011 0＋0.012 5)×20＝0.7>0.5，所以月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a ，由(0.002 0＋0.009 5＋0.011 0)×20＋0.012 5×(a －220)＝0.5，解得a ＝224， 所以月平均用电量的中位数是224.(3)月平均用电量为[240,260)的用户有0.007 5×20×100＝15(户)， 月平均用电量为[260,280)的用户有0.005×20×100＝10(户)， 月平均用电量在[280,300]的用户有0.002 5×20×100＝5(户)．抽样方法为分层抽样，在[240,260)，[260,280)，[280,300]中的用户比为3∶2∶1， 所以在[240,260)，[260,280)，[280,300]中分别抽取3户、2户和1户．设参加节目的2户来自不同组为事件A ，将来自[240,260)的用户记为a 1，a 2，a 3，来自[260,280)的用户记为b 1，b 2，来自[280,300]的用户记为c 1，在6户中随机抽取2户有(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，c 1)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，c 1)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a3，c1)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b2，c1)，共15种取法，其中满足条件的有(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c1)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，c1)，(b1，c1)，(b2，c1)，共11种，故参加节目的2户来自不同组的概率P(A)＝1115.感悟升华有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型．概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出的信息，准确从题中提炼信息是解题的关键．【训练2】海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.(1)求这6件样品中来自A，B(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．解(1)A，B，C三个地区商品的总数量为50＋150＋100＝300，抽样比为6300＝1 50，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是50×150＝1,150×150＝3,100×150＝2.所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1,3,2.(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2.则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有：{B1，B2}，{B1，B 3}，{B 2，B 3}，{C 1，C 2}，共4个． 所以P (D )＝415.即这2件商品来自相同地区的概率为415.考点四 几何概型角度1 与长度(角度)有关的几何概型【例3】 (1)在[－6,9]内任取一个实数m ，设f (x )＝－x 2＋mx ＋m ，则函数f (x )的图象与x 轴有公共点的概率等于( ) A.215B ．715C ．35D ．1115(2)如图所示，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任作一条射线CM ，与AB 交于点M ，则AM ＜AC 的概率为________．答案 (1)D (2)34解析 (1)因为f (x )＝－x 2＋mx ＋m 的图象与x 轴有公共点，所以Δ＝m 2＋4m ≥0，所以m ≤－4或m ≥0，所以在[－6,9]内取一个实数m ，函数f (x )的图象与x 轴有公共点的概率p ＝[－4－－6]＋9－09－－6＝1115. (2)过点C 作CN 交AB 于点N ，使AN ＝AC ，如图所示．显然当射线CM 处在∠ACN 内时，AM ＜AC ，又∠A ＝45°，所以∠ACN ＝67.5°，故所求概率为p ＝67.5°90°＝34.感悟升华 1.解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围，当考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度”为测度计算概率，求解的核心是确定点的边界位置．2．当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧长的大小作为区域度量来计算概率．事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度数之比． 角度2 与面积有关的几何概型【例4】 在区间(0,1)上任取两个数，则两个数之和小于65的概率是( )A.1225 B ．1625C ．1725D ．1825答案 C解析 设这两个数是x ，y ，则试验所有的基本事件构成的区域即⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，0<y <1确定的平面区域，满足条件的事件包含的基本事件构成的区域即⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，0<y <1，x ＋y <65确定的平面区域，如图所示，阴影部分的面积是1－12×⎝⎛⎭⎫452＝1725，所以这两个数之和小于65的概率是1725.感悟升华 几何概型与平面几何的交汇问题：要利用平面几何的相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率． 角度3 与体积有关的几何概型【例5】 有一个底面半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________． 答案 23解析 由题意得该圆柱的体积V ＝π×12×2＝2π.圆柱内满足点P 到点O 的距离小于等于1的几何体为以圆柱底面圆心为球心的半球，且此半球的体积V 1＝12×43π×13＝23π，所以所求概率p ＝V －V 1V ＝23.感悟升华 对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．【训练3】 (1)(2021·西安一模)在区间[－1,1]上随机取一个数k ，使直线y ＝k (x ＋3)与圆x 2＋y 2＝1相交的概率为( ) A.12B ．13C ．24D ．23(2) (2020·新疆一模)剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上透空的感觉和艺术享受．剪纸艺术通过一把剪刀、一张纸就可以表达生活中的各种喜怒哀乐．如图是一边长为1的正方形剪纸图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍，若在正方形图案上随机取一点，则该点取自白色区域的概率为( )A.π64B ．π32C ．π16D ．π8答案 (1)C (2)D解析 (1)圆x 2＋y 2＝1的圆心为(0,0)， 圆心到直线y ＝k (x ＋3)的距离为|3k |k 2＋1， 要使直线y ＝k (x ＋3)与圆x 2＋y 2＝1相交，则|3k |k 2＋1<1，解得－24<k <24. ∴在区间[－1,1]上随机取一个数k ，使直线y ＝k (x ＋3)与圆x 2＋y 2＝1相交的概率为24－⎝⎛⎭⎫－242＝24. (2)设黑色小圆的半径为r .由题意得2r ＋2r ＋2×2r ＝1，解得r ＝18，所以白色区域的面积为π·⎝⎛⎭⎫122－4×π·⎝⎛⎭⎫182－π·⎝⎛⎭⎫142＝π8.所以在正方形图案上随机取一点，该点取自白色区域的概率为π81×1＝π8.故选D. 基础巩固一、选择题1．一枚硬币连掷2次，恰好出现1次正面的概率是( ) A.12 B ．14C ．34D ．0答案 A解析 列举出所有基本事件，找出“只有1次正面”包含的结果．一枚硬币连掷2次，基本事件有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)共4个，而只有1次出现正面的包括(正，反)，(反，正)2个，故其概率为24＝12.故选A.2．袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“和”“谐”“校”“园”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“和”“谐”两个字都摸到就停止摸球，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率．利用电脑随机产生1到4之间(含1和4)取整数值的随机数，分别用1,2,3,4代表“和”“谐”“校”“园”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 343 432 341 342 234 142 243 331 112 342 241 244 431 233 214 344 142 134 由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为( ) A.19 B ．16C ．29D ．518答案 C解析 由18组随机数得，恰好在第三次停止摸球的随机数是142,112,241,142，共4组，所以恰好第三次就停止摸球的概率约为418＝29.故选C.3. (2021·河北六校联考)《周髀算经》中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”．我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想．现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为r ，正方形的边长为a (0<a <r )，若在圆内随机取点，得到点取自阴影部分的概率是p ，则圆周率π的值为( )A.a 21－p r 2B ．a 21＋p r 2C.a1－p rD ．a1＋p r答案 A解析 由几何概型的概率计算公式，得πr 2－a 2πr 2＝p ，化简得π＝a 21－p r 2.故选A.4．在集合A ＝{2,3}中随机取一个元素m ，在集合B ＝{1,2,3}中随机取一个元素n ，得到点P (m ，n )，则点P 在圆x 2＋y 2＝9内部的概率为( ) A.12 B ．13C ．34D ．25答案 B解析 点P (m ，n )共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，6种情况，只有(2,1)，(2,2)这2个点在圆x 2＋y 2＝9的内部，所求概率为26＝13.5．某单位试行上班刷卡制度，规定每天8：30上班，有15分钟的有效刷卡时间(即8：15—8：30)，一名职工在7：50到8：30之间到达单位且到达单位的时刻是随机的，则他能有效刷卡上班的概率是( )A.23 B ．58C ．13D ．38答案 D解析 该职工在7：50至8：30之间到达单位且到达单位的时刻是随机的，设其构成的区域为线段AB ，且AB ＝40，职工的有效刷卡时间是8：15到8：30之间，设其构成的区域为线段CB ，且CB ＝15，如图，所以该职工有效刷卡上班的概率p ＝1540＝38.故选D.6．(2021·合肥质检)已知三棱锥S －ABC ，在该三棱锥内任取一点P ，则使V P －ABC ≤13V S －ABC的概率为( ) A.13 B ．49C ．827D ．1927答案 D解析 作出S 在底面△ABC 的射影为O ，若V P －ABC ＝13V S －ABC ，则三棱锥P －ABC 的高等于13SO ，P 点落在平面EFD 上，且SE SA ＝SD SB ＝SF SC ＝23，所以S △EFD S △ABC ＝49，故V S －EFD ＝827V S －ABC， ∴V P －ABC ≤13V S －ABC 的概率p ＝1－827＝1927.二、填空题7．(2020·太原模拟)下课以后，教室里还剩下2位男同学和1位女同学，若他们依次随机走出教室，则第2位走出的是女同学的概率是________．答案 13解析 2位男同学记为男1，男2，则三位同学依次走出教室包含的基本事件有：男1男2女，男1女男2，女男1男2，男2男1女，男2女男1，女男2男1，共6种，其中第2位走出的是女同学包含的基本事件有2种．故第2位走出的是女同学的概率是p ＝26＝13.8．在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，在直角边BC 上任取一点M ，则∠CAM <30°的概率是________． 答案33解析 ∵点M 在直角边BC 上是等可能出现的， ∴“测度”是长度．设直角边长为a ， 则所求概率为33a a ＝33.9．(2021·郑州质量预测改编)从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则log a b 为整数的概率是________． 答案 16解析 从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则有(2,3)，(2,8)，(2,9)，(3,8)，(3,9)，(8,9)，(3,2)，(8,2)，(9,2)，(8,3)，(9,3)，(9,8)，共12种取法，其中log a b 为整数的有(2,8)，(3,9)两种，故p ＝212＝16.三、解答题10．(2020·成都诊断)某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图．(1)求图中实数a的值；(2)若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．解(1)由已知，得10×(0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.025＋0.010)＝1，解得a＝0.030.(2)易知成绩在[40,50)分数段内的人数为40×0.05＝2，这2人分别记为A，B；成绩在[90,100]分数段内的人数为40×0.1＝4，这4人分别记为C，D，E，F.若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，则所有的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15个．如果2名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[40,50)分数段内，另一个成绩在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.记“这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，则事件M包含的基本事件有(A，B)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共7个，故所求概率P(M)＝715.11．(2019·天津卷)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访.②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．解(1)由已知得老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人、9人、10人．(2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种．②由表格知，符合题意的所有结果为{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，E}，{C，F}，{D，F}，{E，F}，共11种．所以事件M发生的概率P(M)＝1115.能力提升12．(2021·长春质检)我国古人认为宇宙万物是由金、木、水、火、土这五种元素构成的，历史文献《尚书·洪范》提出了五行的说法，到战国晚期，五行相生相克的思想被正式提出．这五种物质属性的相生相克关系如图所示，若从这五种物质中随机选取三种，则取出的三种物质中，彼此间恰好有一个相生关系和两个相克关系的概率为()A.35 B ．12C ．25D ．13答案 B解析 (列举法)依题意，三种物质间相生相克关系如下表，金木水 金木火 金木土 金水火 金水土 金火土 木水火 木水土 木火土 水火土 × √√√×××√×√所以彼此间恰好有一个相生关系和两个相克关系的概率p ＝510＝12，故选B.13．由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，若在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为________． 答案 78解析 如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB ，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD ，易知C ⎝⎛⎭⎫－12，32.由几何概型的概率公式，所求概率p ＝S 四边形OACDS △OAB ＝2－142＝78.14．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数，其中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示.(1)如果X ＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X ＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．解 (1)当X ＝8时，由茎叶图可知，乙组四名同学的植树棵数分别是8,8,9,10，故x ＝8＋8＋9＋104＝354，s 2＝14×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫8－3542×2＋⎝⎛⎭⎫9－3542＋⎝⎛⎭⎫10－3542＝1116. (2)当X ＝9时，记甲组四名同学分别为A 1，A 2，A 3，A 4，他们植树的棵数依次为9,9,11,11；乙组四名同学分别为B 1，B 2，B 3，B 4，他们植树的棵数依次为9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，其包含的基本事件为{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 1，B 4}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 2，B 4}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{A 3，B 4}，{A 4，B 1}，{A 4，B 2}，{A 4，B 3}，{A 4，B 4}，共16个．设“选出的两名同学的植树总棵数为19”为事件C ，则事件C 中包含的基本事件为{A 1，B 4}，{A 2，B 4}，{A 3，B 2}，{A 4，B 2}，共4个．故P (C )＝416＝14.。

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核心考点·精准研析考点一古典概型1.在1, 2, 3, 6这组数据中随机取出三个数,则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是 ( )A. B. C. D.2.(2018·天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?(2)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率.世纪金榜导学号【解析】1.选A.在1,2,3,6中随机取出3个数,所有的结果为123,126,136,236,共4种,其中数字2是这3个数的平均数的结果只有123,所以由古典概型的概率公式得所求概率为.2.(1)由已知,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人.(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{A,G},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{B,G},{C,D}, {C,E},{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D,G},{E,F},{E,G},{F,G},共21种.②由①,不妨设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年级的是F,G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A,B},{A,C},{B,C},{D,E},{F,G},共5种.所以,事件M发生的概率为P(M)=.1.求古典概型概率的步骤(1)判断本试验的结果是否为等可能事件,设出所求事件A;(2)分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m;(3)利用公式P(A)=,求出事件A的概率.2.求基本事件个数的三种方法(1)列举法:把所有的基本事件一一列举出来,此方法适用于情况相对简单的问题.(2)列表法:将基本事件用表格的方式表示出来,通过表格可以弄清基本事件的总数,以及要求的事件所包含的基本事件数.(3)树状图法:树状图法是使用树的图形把基本事件列举出来的一种方法,树状图法便于分析基本事件间的结构关系,对于较复杂的问题,可以作为一种分析问题的主要方法.考点二古典概型的综合问题命题精解读考什么:(1)考查数学文化背景下的古典概型问题(2)考查与实际生活有关的概率问题怎么考:以数学文化或实际生活为载体考查概率问题新趋势:考查与向量、函数等知识交汇的概率问题学霸好方法1.解决数学文化背景下或实际生活中的概率问题的方法充分读取题目信息,恰当转化为古典概型问题,代入概率公式求解.2.考查与向量、函数等知识交汇的概率问题脱去向量、函数的“外衣”,构造概率模型求解.与数学文化有关的古典概型问题【典例】为了大力弘扬中华优秀传统文化,某校购进了《三国演义》《水浒传》《红楼梦》和《西游记》若干套,如果每班每学期可以随机领取两套不同的书籍,那么该校高一(1)班本学期领到《三国演义》和《水浒传》的概率为 ( )A. B. C. D.【解析】选D.记《三国演义》《水浒传》《红楼梦》和《西游记》为a 、b、c、d,则该校高一(1)班本学期领到两套书的所有情况有ab、ac、ad、bc、bd、 cd,共6种,符合条件的情况为ab共1种,故概率为.与函数、向量等知识交汇的古典概型问题【典例】小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为以O为起点,再从A1,A2,A3,A4,A5,A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记住这两个向量的数量积为X,若X>0就去打球,若X=0就去唱歌,若X<0就去下棋. 世纪金榜导学号(1)写出数量积X的所有可能取值.(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.【解析】(1)X的所有可能取值为-2 ,-1,0, 1.(2)数量积为-2的只有·一种;数量积为-1的有·,·,·,·,·,·六种; 数量积为0的有·,·,·,·四种;数量积为1的有·,·,·,·四种,所以所有可能的情况共有15种.所以小波去下棋的概率为P1=.因为去唱歌的概率为P2=,所以小波不去唱歌的概率P=1-P2=1-=.1.已知5件产品中有2件次品,其余为合格品.现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为 ( )A.0.4B.0.6C.0.8D.1【解题指南】先对产品标号,然后列举出可能出现的结果,根据古典概型概率公式求出所求的概率.【解析】选B.5件产品中有2件次品,记为a,b,有3件合格品,记为c,d,e,从这5件产品中任取2件,有10种,分别是(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),恰有一件次品,有6种,分别是(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),设事件A为“恰有一件次品”,则P(A)==0.6.2.现在某类病毒记作X m Y n,其中正整数m,n(m≤7,n≤9)可以任意选取,则m,n都取到奇数的概率为________.【解析】因为正整数m的选取有1,2,3,4,5,6,7,共7种情况,而对于m 的每一种取法,n可以取1,2,3,4,5,6,7,8,9,共9种方法,所以基本事件空间中有7×9=63个元素,其中事件“m,n都取到奇数”包含的基本事件数为4×5=20,所以所求的概率为.答案:1.若a,b∈{-1,0,1,2},则使关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的概率为________.【解析】要使方程有实数解,则a=0或所有可能的结果为(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2),(1,-1),(1,0),(1,1),(1,2),(2,-1),(2,0),(2,1),(2,2),共16个,其中符合要求的有13个,故所求概率P=.答案:2.甲、乙两人玩一种游戏,在装有质地、大小完全相同,编号分别为1,2,3,4,5,6六个球的口袋中,甲先摸出一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号,如果两个编号的和为偶数算甲赢,否则算乙赢.(1)求甲赢且编号和为8的事件发生的概率.(2)这种游戏规则公平吗?试说明理由.【解析】(1)设“两个编号和为8”为事件A,则事件A包括的基本事件有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),共5个.又甲、乙两人取出的数字共有6×6=36种等可能的结果,故P(A)=.(2)这种游戏规则是公平的.设甲赢为事件B,乙赢为事件C,由题可知甲赢即两编号和为偶数所包含的基本事件数有(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2), (4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6),共18个.所以甲赢的概率P(B)==,故乙赢的概率P(C)=1-==P(B),所以这种游戏规则是公平的.关闭Word文档返回原板块快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。