理论力学质点的振动

理论力学a实验报告理论力学实验报告实验目的：1. 通过实验验证牛顿第二定律F=ma，了解质点运动的基本规律。

2. 了解不同质量和不同力作用下质点的加速度变化规律。

3. 学会使用实验数据进行数据处理和结果分析。

实验器材和仪器：1. 弹簧片、纸尺、质量块、电子天平、细线、定滑轮、螺旋测微器等。

实验原理：1. 牛顿第二定律：当质点受到的合外力F（施加力）作用时，它在单位时间内改变的动量等于力乘以时间，即F=ma。

2. 质点的运动方程：当质点受到外力F（恒力）并且无法运动阻力（忽略空气阻力）时，其运动方程为F=ma。

实验内容：1. 利用弹簧片制作一个简单的弹簧振子，测量弹簧振子的恢复力和质量。

2. 在水平桌面上，用细线连接一个质量块和一个拉动质量块的滑轮，用螺旋测微器测量质量块的加速度和受力。

1. 制作弹簧片振子：将弹簧片固定在木板上，细线穿过弹簧片中央孔，并系上质量块于另一端。

2. 用电子天平测量弹簧片和质量块的质量，并测量弹簧片振子的原始长度。

3. 将质量块从平衡位置拉开一小段距离后释放，测量弹簧片振子的振动时间，重复多次并取平均值。

4. 根据实验数据计算弹簧片振子的恢复力和质量，并进行数据处理和分析。

5. 利用细线连接质量块和拉动质量块的滑轮，将螺旋测微器固定在质量块上，并用纸尺测量螺旋测微器的刻度值。

6. 在拉力滑轮上施加一恒力，使质量块受到恒力作用。

同时，利用螺旋测微器测量质量块的加速度，并记录数据多次。

7. 根据实验数据计算质量块的加速度和受力，并进行数据处理和分析。

实验结果与分析：1. 弹簧片振子的恢复力与振子长度成正比，即F=kx，其中k 表示弹性系数，x 表示弹簧片振子的位移。

2. 通过实验数据计算出弹性系数和质量块的质量，并进行误差分析。

3. 质量块的加速度与施加力成正比，即a=F/m，其中F 表示受力，m 表示质量。

4. 通过实验数据计算出质量块的加速度，并进行误差分析。

5. 实验结果与理论分析一致，验证了牛顿第二定律F=ma。

第五章思考题5.1虚功原理中的“虚功”二字作何解释？用虚功原理理解平衡问题，有何优点和缺点？5.2 为什么在拉格朗日方程中，a θ不包含约束反作用力？又广义坐标与广义力的含义如何？我们根据什么关系由一个量的量纲定出另一个量的量纲?5.3广义动量a p 和广义速度a q &是不是只相差一个乘数m ？为什么a p 比aq &更富有意义？ 5.4既然aq T &∂∂是广义动量，那么根据动量定理，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂αq T dt d &是否应等于广义力a θ？为什么在拉格朗日方程()14.3.5式中多出了a q T ∂∂项？你能说出它的物理意义和所代表的物理量吗？5.5为什么在拉格朗日方程只适用于完整系？如为不完整系，能否由式()13.3.5得出式()14.3.5？5.6平衡位置附近的小振动的性质，由什么来决定？为什么22s 个常数只有2s 个是独立的？5.7什么叫简正坐标？怎样去找？它的数目和力学体系的自由度之间有何关系又每一简正坐标将作怎样的运动？5.8多自由度力学体系如果还有阻尼力，那么它们在平衡位置附近的运动和无阻尼时有何不同？能否列出它们的微分方程？5.9 dL 和L d 有何区别？a q L ∂∂和aq L ∂∂有何区别？ 5.10哈密顿正则方程能适用于不完整系吗？为什么？能适用于非保守系吗？为什么？5.11哈密顿函数在什么情况下是整数？在什么情况下是总能量？试祥加讨论，有无是总能量而不为常数的情况？5.12何谓泊松括号与泊松定理？泊松定理在实际上的功用如何？5.13哈密顿原理是用什么方法运动规律的？为什么变分符号δ可置于积分号内也可移到积分号外？又全变分符号∆能否这样？5.14正则变换的目的及功用何在？又正则变换的关键何在？5.15哈密顿-雅可比理论的目的何在？试简述次理论解题时所应用的步骤.5.16正则方程()15.5.5与()10.10.5及()11.10.5之间关系如何？我们能否用一正则变换由前者得出后者？5.17在研究机械运动的力学中，刘维定理能否发挥作用？何故？5.18分析力学学完后，请把本章中的方程和原理与牛顿运动定律相比较，并加以评价.第五章思考题解答5.1 答：作.用于质点上的力在任意虚位移中做的功即为虚功，而虚位移是假想的、符合约束的、无限小的.即时位置变更，故虚功也是假想的、符合约束的、无限小的.且与过程无关的功，它与真实的功完全是两回事.从∑⋅=ii i r F W ρρδδ可知：虚功与选用的坐标系无关，这正是虚功与过程无关的反映；虚功对各虚位移中的功是线性迭加，虚功对应于虚位移的一次变分.在虚功的计算中应注意：在任意虚过程中假定隔离保持不变，这是虚位移无限小性的结果.虚功原理给出受约束质点系的平衡条件，比静力学给出的刚体平衡条件有更普遍的意义；再者，考虑到非惯性系中惯性力的虚功，利用虚功原理还可解决动力学问题，这是刚体力学的平衡条件无法比拟的；另外，利用虚功原理解理想约束下的质点系的平衡问题时，由于约束反力自动消去，可简便地球的平衡条件；最后又有广义坐标和广义力的引入得到广义虚位移原理，使之在非纯力学体系也能应用，增加了其普适性及使用过程中的灵活性.由于虚功方程中不含约束反力.故不能求出约束反力，这是虚功原理的缺点.但利用虚功原理并不是不能求出约束反力，一般如下两种方法：当刚体受到的主动力为已知时，解除某约束或某一方向的约束代之以约束反力；再者，利用拉格朗日方程未定乘数法，景观比较麻烦，但能同时求出平衡条件和约束反力.5.2 答 因拉格朗日方程是从虚功原理推出的，而徐公原理只适用于具有理想约束的力学体系虚功方程中不含约束反力，故拉格朗日方程也只适用于具有理想约束下的力学体系，αθ不含约束力；再者拉格朗日方程是从力学体系动能改变的观点讨论体系的运动，而约束反作用力不能改变体系的动能，故αθ不含约束反作用力，最后，几何约束下的力学体系其广义坐标数等于体系的自由度数，而几何约束限制力学体系的自由运动，使其自由度减小，这表明约束反作用力不对应有独立的广义坐标，故αθ不含约束反作用力.这里讨论的是完整系的拉格朗日方程，对受有几何约束的力学体系既非完整系，则必须借助拉格朗日未定乘数法对拉格朗日方程进行修正.广义坐标市确定质点或质点系完整的独立坐标，它不一定是长度，可以是角度或其他物理量，如面积、体积、电极化强度、磁化强度等.显然广义坐标不一定是长度的量纲.在完整约束下，广义坐标数等于力学体系的自由度数；广义力明威力实际上不一定有力的量纲可以是力也可以是力矩或其他物理量，如压强、场强等等，广义力还可以理解为；若让广义力对应的广义坐标作单位值的改变，且其余广义坐标不变，则广义力的数值等于外力的功由W q r F s i ni i δδθδααα==⋅∑∑==11ρρ知，ααδθq 有功的量纲，据此关系已知其中一个量的量纲则可得到另一个量的量纲.若αq 是长度，则αθ一定是力，若αθ是力矩，则αq 一定是角度，若αq 是体积，则αθ一定是压强等.5.3 答 αp 与αq &不一定只相差一个常数m ，这要由问题的性质、坐标系的选取形式及广义坐标的选用而定。

机械振动与波动机械振动与波动是物理学中的重要概念和研究领域。

本文将从机械振动的基本原理、波动的特性以及它们在生活中的应用等方面展开论述。

一、机械振动机械振动是指物体周围环境中某个物理量周期性地变化。

在机械振动中，物体会围绕平衡位置做前后或上下的周期性振动。

机械振动的基本元素有质点、弹簧和阻尼器。

1. 质点振动在质点振动中，一个物体被假设成一个质点，不考虑其大小和形状。

质点在线性回复力作用下，在某个平衡位置附近做简谐运动。

质点振动的周期T和频率f与质点的质量m和弹簧的劲度系数k有关，分别由公式T=2π√(m/k)和f=1/T得出。

2. 弹簧振动弹簧振动是机械振动中常见的一种形式。

当弹簧受到外力拉伸或压缩时，会发生弹性畸变，当外力撤离时，弹簧会恢复原状。

弹簧振动是由弹性势能和动能之间的转换所驱动的周期性运动。

3. 阻尼振动在实际的振动系统中，会存在阻力的存在，使振动系统减弱并最终停止。

这种减弱称为阻尼。

根据阻尼的不同程度，振动系统可以分为无阻尼振动、欠阻尼振动和过阻尼振动三种情况。

二、波动波动是指物理量在空间和时间上周期性地传播和变化。

波动可以分为机械波和非机械波两种类型。

1. 机械波机械波是指需要介质传播的波动现象。

根据波动传播的方向，机械波可分为横波和纵波。

横波传播方向垂直于波动方向，如水波；纵波传播方向与波动方向平行，如声波。

机械波的传播速度与介质的性质有关。

2. 非机械波非机械波是指不需要介质传播的波动现象。

电磁波和光波是两种常见的非机械波。

非机械波可以在真空中传播，并且传播速度快，通常以光速传播。

三、机械振动与波动的应用机械振动与波动在生活中有许多实际应用。

下面将列举其中几个。

1. 音乐乐器音乐乐器的演奏就是利用了机械振动和波动的原理。

例如，弹奏吉他时琴弦的振动产生声波，通过空气传播到人的耳朵，使人产生听觉感受。

2. 地震测量地震测量利用了机械振动和波动的原理。

通过监测地震波在地壳中的传播速度和路径，可以判断地震的强度和震源位置，为地震预测和防灾提供帮助。

理论力学(金尚年-XXX编著)课后习题答案详解高等教育出版社的《理论力学课后题答案》一书中，第一章包含了以下三个问题的解答：1.2 题目要求写出在铅直平面内的光滑摆线，并分方程。

解答中使用了微积分和力学原理，得出了运动微分方程。

最后证明了质点在平衡位置附近作振动时，振动周期与振幅无关。

1.3 题目要求证明单摆运动的振动周期与摆长无关。

解答中使用了微积分和力学原理，得出了运动微分方程。

最后通过进一步计算，得出了单摆运动的振动周期公式。

1.5 题目要求使用拉格朗日方程计算质点的运动。

解答中使用了拉格朗日方程，并通过进一步计算得出了质点的运动轨迹。

如图，在半径为R时，地球表面的重力加速度可以由万有引力公式求得：g=\frac{GM}{R^2}$$其中M为地球的质量。

根据广义相对论，地球表面的重力加速度还可以表示为：g=\frac{GM}{R^2}\left(1-\frac{2GM}{c^2R}\right)$$其中c为光速。

当半径增加到R+ΔR时，总质量仍为M，根据XXX展开，可以得到：frac{1}{(R+\Delta R)^2}=\frac{1}{R^2}-\frac{2\DeltaR}{R^3}+\mathcal{O}(\Delta R^2)$$代入上式可得：g'=\frac{GM}{R^2}\left(1-\frac{2GM}{c^2R}\right)\left(1+\frac{2\Delta R}{R}\right)$$ 化简后得：g'=g-\frac{2g\Delta R}{R}$$因此，当半径改变时，表面的重力加速度的变化为：Delta g=-\frac{2g\Delta R}{R}$$2.在平面极坐标系下，设质点的加速度的切向分量和法向分量都是常数，即$a_t=k_1$，$a_n=k_2$（其中$k_1$和$k_2$为常数）。

根据牛顿第二定律，可以得到质点的运动方程：r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta}=k_2$$ddot{r}-r\dot{\theta}^2=k_1$$其中$r$为极径，$\theta$为极角。

利用质点的位移和速度来分析机械振动机械振动是指物体在受到外力作用时出现的来回移动或摆动的现象。

在工程和物理学中，研究机械振动是非常重要的，因为许多工程结构和设备在运行过程中都会受到振动的影响。

为了更好地理解和分析机械振动，我们可以利用质点的位移和速度来进行研究。

在机械振动的分析中，质点是一个理想化的物体，它具有一定的质量和惯性特性，但没有具体的形状和大小。

通过对质点的位移和速度进行分析，我们可以得出有关振动系统的重要信息，如振动的频率、振幅和相位等。

在实际工程中，我们经常利用质点的位移和速度来建立振动系统的数学模型，从而预测和控制振动的行为。

在机械振动的研究中，我们常常需要考虑振动系统的自由度。

自由度是指系统中可以独立运动的数量，它决定了系统的振动行为。

通过对系统的自由度进行分析，我们可以确定系统的振动模态和频率响应特性。

时，我们需要考虑系统的自由度，并建立相应的数学模型来描述系统的振动特性。

在机械振动的分析中，我们常常需要利用质点的位移和速度来建立系统的动力学方程。

动力学方程描述了系统中所有质点的运动规律，可以帮助我们预测系统的振动行为。

通过对系统的动力学方程进行求解，我们可以得出系统的振动频率、振幅和相位等重要参数，从而更好地理解和控制系统的振动行为。

除了利用质点的位移和速度来分析机械振动，我们还可以考虑系统的能量转换和能量耗散。

在振动系统中，能量的转换和耗散是振动过程中不可避免的现象，它们直接影响着系统的振动特性。

通过分析系统的能量转换和耗散过程，我们可以更好地理解系统的振动行为，从而优化系统的设计和控制方案。

在实际工程中，机械振动的分析和控制是非常重要的。

许多工程结构和设备在运行过程中都会受到振动的影响，如果振动过大或频率不稳定，可能会导致系统的损坏和故障。

因此，通过利用质点的位移和速度来分析机械振动，我们可以更好地理解系统的振动特性，预测和控制系统的振动行为，从而提高系统的稳定性和可靠性。

理论力学单元总结导言理论力学是物理学的基础学科之一，主要研究物体在运动中的力学规律。

通过对力、质点运动、刚体运动等方面的研究，理论力学揭示了物体运动的基本规律，并为其他物理学领域提供了重要的理论基础。

本文将对理论力学单元的内容进行总结和回顾。

第一章：质点运动在这一章中，我们学习了质点的运动学和动力学。

运动学描述了质点在运动过程中的几何特征，包括位置、速度、加速度等。

动力学则研究了质点受力和运动规律之间的关系。

我们了解了牛顿定律及其推论，并学会了运用这些定律解决实际问题。

第二章：刚体运动刚体是指具有固定形状和大小，其内部各部分之间相对位置保持不变的物体。

刚体运动是理论力学的重要研究对象之一。

在这一章中，我们学习了刚体的运动学和动力学，探讨了刚体的平动和转动，同时还学会了如何计算刚体的质心、转动惯量等物理量。

第三章：作业原理作业原理是研究力与能量之间相互转化的基本原理。

在这一章中，我们学习了机械能守恒定律和动能定理等内容，了解了力和位移之间的关系，同时还学会了如何利用这些原理解决实际问题。

第四章：引力与天体力学引力是质量之间相互作用的一种基本力。

在这一章中，我们学习了引力的基本性质以及万有引力定律。

我们进一步探究了行星运动的规律，了解了开普勒定律等内容，并学会了如何应用这些理论解释天体运动的现象。

第五章：振动与波动振动与波动是物理学中另一个重要研究领域。

在这一章中，我们学习了简谐运动的基本特征，包括振动的周期、频率、位移等。

同时，我们还了解了波动的基本概念，包括波长、振幅、波速等。

通过学习这些内容，我们可以更好地理解和描述物理世界中的振动和波动现象。

总结理论力学是物理学的基础学科，研究物体在运动中的力学规律。

通过学习质点运动、刚体运动、作业原理、引力与天体力学以及振动与波动等内容，我们掌握了理论力学的基本知识和方法。

理论力学不仅是其他物理学领域的重要基础，也有重要的应用价值。

通过不断学习和实践，我们可以进一步应用理论力学的知识解决实际问题，探索更深入的物理规律。

2、单自由度系统的有阻尼受迫振动单自由度系统的受迫振动理论单自由度系统的受迫振动理论（1）振动微分方程kOx②恢复力F e , 方向指向平衡位置O ，大小与偏离平衡位置的距离成正比。

kxF -=e ③黏性阻尼力F d , 方向与速度方向相反，大小与速度大小成正比。

d dd x xF cv ct=-=-物块的运动微分方程为：22d d sin()d d x x m kx c H t t tw =--+方程两边同除以m ，并令：(ω0, 固有角频率) , (δ, 阻尼系数),得到：mk =20w 2c md =2202d d 2sin()d d x x x h t t td w w ++=——有阻尼受迫振动微分方程的标准形式①激振力F , 简谐激振力。

sin()F H t w =H h m =解可以写成：12xx x =+x 1 对应齐次方程的通解; x 2 对应的是特解。

欠阻尼的情况下( δ<ω0)，齐次方程的通解可写为：1e )t x A d q -=+特解可写为：)sin(2e w -=t b x ε表示受迫振动的相位角落后于激振力的相位角2、单自由度系统的有阻尼受迫振动单自由度系统的受迫振动理论将x 2 代入微分方程，得到:220sin()2cos()sin()sin()b t b t b t h t w w e d w w e w w e w --+-+-=将等式右边的h sin(ωt )做一个变换，得到:sin()sin[()]h t h t w w e e =-+cos sin()sin cos()h t h t e w e e w e =-+-代入微分方程，整理得到:)cos(]sin 2[)sin(]cos )([220=--+---e w e w d e w e w w t h b t h b 对任意瞬时t ，上式都必须是恒等式，所以有：cos )(220=--e w w h b 0sin 2=-e w d h b 2222204)(wd w w +-=hb 2202tan w w dwe -=于是，微分方程的通解为：e)sin()tx A b t d q w e -=++-式中，A 和θ为积分常数，由运动的初始条件确定。

理论力学课后习题答案1. 第一题题目：一个质点从初始点A沿着一条直线运动到达点A，在此过程中质点受到一个恒定的力A的作用。

求解质点从A 到A的位移A和速度A与时间A的关系。

解答：根据牛顿第二定律A=AA，我们可以得到质点在恒定力作用下的运动方程为 $F = m \\frac{dv}{dt}$。

即：$$F = m \\frac{dx}{dt}$$将方程变形可得：$$dx = \\frac{F}{m} dt$$对上式两边同时积分可得：$$\\int_{x_A}^{x_B} dx = \\frac{1}{m} \\int_0^t F dt$$化简后可得：$$x_B - x_A = \\frac{1}{m} \\int_0^t F dt$$即质点从初始点A移动到达点A时的位移A与时间A的关系为：$$x = x_A + \\frac{1}{m} \\int_0^t F dt$$2. 第二题题目：一个滑块在一个光滑的水平轨道上，质量为A，受到一根拉力为A的绳子的作用。

求解滑块的加速度A。

解答：根据牛顿第二定律A=AA，可以得到滑块的加速度A与拉力A的关系为 $a = \\frac{F}{m}$。

3. 第三题题目：一个质点在一个弹簧的作用下振动，弹簧的劲度系数为A，质量为A。

求解质点的振动周期A。

解答：质点在弹簧的作用下振动，其运动方程为 $m\\frac{d^2x}{dt^2} = -kx$，其中A为质点的位移。

对上式进行变形可得：$$\\frac{d^2x}{dt^2} = -\\frac{k}{m}x$$该微分方程的通解为 $x = A \\sin(\\sqrt{\\frac{k}{m}} t + \\phi)$，其中A为振幅，$\\phi$ 为相位角。

振动周期A可以通过求解动能和势能的平衡关系来得到。

在振动过程中，动能 $K = \\frac{1}{2} m v^2$ 和势能 $U =\\frac{1}{2} k x^2$ 之和保持不变。

1第七章 质点动力学 习题解答7-1 质量为40 g 的小球M 以初速度v =8 j (m/s)从点A (0, 0, 0.3m)抛出后，受到沿i 方向恒定的电磁力作用，其大小F = 0.8 kN ，如图所示。

求小球M 到达xy 平面点B 时，点B 的坐标和小球的速度。

解：取小球M 为研究对象，小球所受到的主动力为 k i F mg F R -=由质点运动微分方程R F m =r ，写出投影式F x m = ，0=ym ，mg z m -= 初始条件为000====t t y x ，3.00==t z ；000====t t z x，v y t ==0 解得质点的速度方程为t mFx= ，v y = ，gt z -= 质点的运动方程为 22t m F x =，vt y =，3.022+-=t gz 当0=z 时，小球到达xy 平面，由03.022=+-=t g z 解得s 247.01=t ，于是小球到达xy 平面时的各速度分量为m/s 7.494811===t mFxt t ，m/s 81===v y t t ，m/s 425.211-=-==gt z t t . 各坐标为m 2.6122211===t m F x t t ，m 979.111===vt y t t ，m 137.23.02211-=+-==t gz tt .7-2 图示A ，B 两物体的质量分别为m A 和m B ，二者用一细绳连接，此绳跨过一定滑轮，滑轮半径为r 。

运动开始时，两物体的高度差为h ，且m A > m B ，不计滑轮质量。

求由静止释放后，两物体达到相同高度时所需的时间。

解：分别取A 和B 物体为研究对象，受力图如图示，列出动力学方程TA A A A F W x m -= ， TB B B B F W x m -= ， 式中g m W A A =，g m W B B =，根据题意，有TB TA F F =，B A x x -=，B A xx -= 初始条件00==t A x ，h x t B ==0，00==t A x，00==t B x . 解以上初值问题，得题7-2图题7-2受力图2g m m m m xBA B A A +-= ， ()22gt m m m m x B A BA A +-=g m m m m x B A B A B +--= ， ()h gt m m m m x B A BA B ++--=22令B A x x =，即()()h gt m m m m gt m m m m B A BA B A B A ++--=+-2222解得当两物体达到相同高度时 ()()gm m h m m t B A B A -+=...7-3 质量为m 的质点M 受到引力F = -k 2m r 的作用，其中k 为常量，运动开始时，质点M在轴x 上，OM 0 = b ，初速度v 0与轴x 的夹角为β，如图所示。