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微分方程建模：发射卫星为什么用三级火箭微分方程建模是数学建模的重要方法，因为许多实际问题的数学描述将导致求解微分方程的定解问题。
把形形色色的实际问题化成微分方程的定解问题，大体上可以按以下几步：1. 根据实际要求确定要研究的量(自变量、未知函数、必要的参数等)并确定坐标系。
2. 找出这些量所满足的基本规律(物理的、几何的、化学的或生物学的等等)。
3. 运用这些规律列出方程和定解条件。
列方程常见的方法有：（i）按规律直接列方程在数学、力学、物理、化学等学科中许多自然现象所满足的规律已为人们所熟悉，并直接由微分方程所描述。
如牛顿第二定律、放射性物质的放射性规律等。
我们常利用这些规律对某些实际问题列出微分方程。
（ii）微元分析法与任意区域上取积分的方法自然界中也有许多现象所满足的规律是通过变量的微元之间的关系式来表达的。
对于这类问题，我们不能直接列出自变量和未知函数及其变化率之间的关系式，而是通过微元分析法，利用已知的规律建立一些变量（自变量与未知函数）的微元之间的关系式，然后再通过取极限的方法得到微分方程，或等价地通过任意区域上取积分的方法来建立微分方程。
（iii）模拟近似法在生物、经济等学科中，许多现象所满足的规律并不很清楚而且相当复杂，因而需要根据实际资料或大量的实验数据，提出各种假设。
在一定的假设下，给出实际现象所满足的规律，然后利用适当的数学方法列出微分方程。
在实际的微分方程建模过程中，也往往是上述方法的综合应用。
不论应用哪种方法，通常要根据实际情况，作出一定的假设与简化，并要把模型的理论或计算结果与实际情况进行对照验证，以修改模型使之更准确地描述实际问题并进而达到预测预报的目的。
本章将利用上述方法讨论具体的微分方程的建模问题。
§1 发射卫星为什么用三级火箭采用运载火箭把人造卫星发射到高空轨道上运行，为什么不能用一级火箭而必须用多级火箭系统？下面通过建立运载火箭有关的数学模型来回答上述问题。
多级火箭原理多级火箭是一种将多个火箭级联在一起的航天器。
它通过分段的方式实现了逐级脱离并丢弃不再使用的部分，以减轻整个航天器的质量，提高有效载荷能力和飞行性能。
在这篇文章中，我们将详细解释多级火箭的基本原理。
1. 单级火箭的局限性在开始讨论多级火箭之前，我们先来了解一下单级火箭的局限性。
单级火箭是指只有一个推进阶段（stage）的火箭。
它通常由燃料、氧化剂、发动机和结构部件组成。
单级火箭存在以下几个问题：•质量比问题：燃料和氧化剂的质量占据了整个航天器很大的比例，而这些燃料和氧化剂本身也需要推进力来进行加速，因此会增加整体质量。
这样一来，有效载荷（如卫星、宇航员等）所占比例就会减少。
•速度问题：单级火箭只能使用一次发动机进行加速，并且随着燃料耗尽，推进力会逐渐减小。
因此，单级火箭的速度增加有限，无法达到更高的轨道速度。
•效率问题：由于单级火箭需要将燃料和氧化剂同时加速，所以整个系统的能量转换效率较低。
为了解决这些问题，科学家们提出了多级火箭的概念。
2. 多级火箭的组成多级火箭由多个推进阶段（stage）组成，每个阶段都包含燃料、氧化剂、发动机和结构部件。
每个阶段都有自己的发动机和燃料供应系统。
不同阶段之间通过连接件（如分离环）连接在一起。
通常，一个多级火箭由两个或更多级别组成。
第一级被称为“一级”，第二级被称为“二级”，依此类推。
每个阶段都有自己的发动机和燃料供应系统。
3. 多级火箭的工作原理多级火箭利用逐步脱离并丢弃不再使用的部分来减轻整个航天器的质量，并提高有效载荷能力和飞行性能。
它基于两个基本原理：分段原理和逐步加速原理。
3.1 分段原理多级火箭的分段原理是指在每个阶段完成任务后，将该阶段丢弃，只保留下一个阶段。
每个阶段都有自己的燃料和发动机，并且在完成任务后被分离。
这样一来，随着每个阶段的脱离，整个航天器的质量会逐渐减轻。
例如，一个两级火箭在发射时，首先点火一级发动机进行加速。
当第一级燃料耗尽时，它会被分离并抛弃。
卫星是怎么发射上去的卫星是通过火箭或航天飞机发射上天的，目前有三种发射卫星的方法，一是通过多级火箭发射；二是用航天飞机发射；三是用飞机发射。
所谓多级火箭就是由几个单级火箭组合而成的运载火箭，在目前的技术条件下，单级火箭最终速度只能达到4－7公里/秒。
所以，世界各国都采用多级火箭发射卫星。
从理论上讲，火箭的级数越多所能达到的速度就越快。
但是级数越多，结构就越复杂，可靠性也就越低。
所以在满足速度要求的条件下，尽量使级数越少。
根据目前情况，发射低轨道人造地球卫星，一般用二级或三级火箭，而发射椭圆轨道卫星、地球同步卫星多用三级或四级火箭。
卫星是由运载火箭点火发射后送入其运行轨道的。
运载卫星的火箭通常为三级火箭，其发射后的飞行过程大致可分为三个阶段:第一阶段：加速阶段。
由于在地球表面附近，大气稠密，火箭飞行时受到的阻力很大，为了尽快离开大气层，通常采用垂直向上发射，况且垂直发射容易保证飞行的稳定。
发射后经很短几分钟的加速使火箭已达相当大的速度，至第一火箭脱离时，火箭已处于稠密大气层之外了。
此后第二级火箭点火继续加速，直至其脱落。
第一阶段：加速阶段。
由于在地球表面附近，大气稠密，火箭飞行时受到的阻力很大，为了尽快离开大气层，通常采用垂直向上发射，况且垂直发射容易保证飞行的稳定。
发射后经很短几分钟的加速使火箭已达相当大的速度，至第一火箭脱离时，火箭已处于稠密大气层之外了。
此后第二级火箭点火继续加速，直至其脱落。
第三阶段：进入轨道阶段。
当火箭到达与卫星预定轨道相切位置时第三级火箭点火开始加速，使其达到卫星在轨道上运行所需的速度而进入轨道。
进入轨道后，火箭就完成了其运载任务，卫星随即与其脱离而单独运行。
刚脱离时，卫星与末级火箭具有相同的速度，并沿同一轨道运动。
由于轨道处仍有稀薄气体存在，而卫星与火箭的外形不同，致使两者所受的阻力不同，因而两者的距离逐渐被拉开。
扩展资料：1957年10月4日，苏联用卫星号运载火箭发射了世界上第一颗人造地球卫星。
三级火箭原理及应用三级火箭是由三个级别的火箭组成的。
每个级别的火箭都有自己的燃料和发动机。
当第一级火箭的燃料燃尽后，它会被丢弃并分离，然后第二级火箭点火继续推动火箭上升。
当第二级火箭的燃料燃尽后，它也会被分离丢弃，然后第三级火箭点火继续推动火箭进入目标轨道。
使用三级火箭可以将载荷有效地送入太空。
三级火箭的工作原理是基于牛顿第三定律。
根据这个定律，当火箭燃烧燃料喷出高速气体时，高速气体产生的推力会向相反方向推动火箭。
火箭的推力与燃料的质量流量和喷气速度成正比。
当火箭点火时，燃料会燃烧产生高温和高压气体，然后通过发动机喷射到外部。
喷出气体的速度越大，产生的推力也就越大。
三级火箭的使用是为了在每个级别中提供更大的速度和推力，以便将载荷送入太空。
三级火箭的应用非常广泛。
最显而易见的应用是将人造卫星送入太空。
卫星在太空中发挥着重要的作用，例如通信、天气预报、导航等。
使用三级火箭可以将卫星精确地放置在目标轨道上，以确保其正常运行。
此外，三级火箭还用于探测太空中的其他天体，例如探测器。
探测器可以携带各种科学工具和仪器，用于研究行星、恒星和宇宙中的其他现象。
三级火箭也被用于发射载人航天器。
载人航天器可以让宇航员进入太空执行各种任务，包括科学研究、空间站建设和太空探索。
由于载人航天器需要更高的安全性和稳定性，所以使用三级火箭来确保宇航员的安全。
此外，三级火箭也可以用于发射火星探测器和其他外行星探测器。
这些探测器可以携带各种科学仪器，用于探测外行星的大气、地质构造、生命迹象等。
三级火箭的使用可以确保这些探测器被送入正确的轨道，以便执行他们的任务。
总而言之，三级火箭是一种重要的发射工具，用于将人造卫星、探测器和载人航天器送入太空。
三级火箭的工作原理基于牛顿第三定律，通过燃烧燃料产生的推力来推动火箭。
三级火箭的应用非常广泛，包括卫星发射、探测器发射和载人航天器发射等。
它对于人类的太空探索和科学研究有着重要的意义。
[原创]浅析有关火箭的两个问题doc 高中物理火箭是中学物理新课标教材选修35-中的内容。
在具体教学过程中，总有一部分学有余力的学生会提出这两个咨询题：1.什么缘故火箭不是一次把燃气喷完，而是逐步向后喷气。
2.什么缘故要用三级火箭发射人造卫星，而不是二级或四级。
下面我们来做具体的分析。
1.什么缘故火箭不是一次把燃气喷完，而是逐步向后喷气如下图为多级火箭示意图，发射时先点燃第一级火箭，燃料用完后，空壳自动脱落，然后下级火箭开始工作。
多级火箭能及时把空壳抛掉，使总质量减少，因而达到专门高的速度，可用来发射洲际导弹，人造卫星，宇宙飞船等。
试通过运算讲明：火箭不是一次把燃气喷完而是逐步向后喷气以获得更大反冲速度的道理。
(每次喷出的气体相对火箭的速度是相同的)为了研究方便，我们不考虑空气阻力和重力对火箭的阻碍。
设火箭总质量为M ，燃料及空壳质量为m ，每次喷出的气体相对火箭的速度为v 。
假设取火箭的速度方向为正方向，那么喷出气体对地的速度v v v =+气对地气对箭箭对地假设三级火箭一次把燃料喷完,运载物获得速度为V ,依照动量守恒定律03()MV m v V =+-+得 3 (1)3mv V M m=+ 假设三级火箭逐步向后喷气,运载物获得的速度依次为1V ，2V ，3V ，依照动量守恒定律第一级火箭喷完时： 110(2)()M m V m v V =++-+卫星第三级第二级第一级得 1 (2)3mv V M m=+ 第二级火箭喷完时： 122(2)()()M m V M m V m v V +=++-+得 2 (3)23mv mv V M m M m=+++ 第三级火箭喷完时： 233()()M m V MV m v V +=+-+得 3 (4)23mv mv mv V M m M m M m=+++++ 由于3V V >，因此火箭不是一次把燃气喷完，而是逐步向后喷气以获得更大反冲速度。
上面推算出的物理模型依旧专门简单的，但在中学时期足以讲明咨询题。
火箭的发射过程现代运载火箭的动力一般采用三级推进模式，可以增加动力摆脱地球引力。
目前多采用固液混合型三级火箭。
1、运载火箭的分类目前常用的运载火箭按其所用的推进剂来分，可分为固体火箭、液体火箭和固液混合型火箭三种类型。
如我国的长征三号运载火箭是一种三级液体火箭；长征一号运载火箭则是一种固液混合型的三级火箭，其第一级、第二级是液体火箭，第三级是固体火箭；美国的“飞马座”运载火箭则是一种三级固体火箭。
按级数来分，运载火箭又可分为单级火箭、多级火箭。
其中多级火箭按级与级之间的连接型式来分，又可分为串联型、并联型（俗称捆绑式）、串并联混合型三种类型。
并联型多级火箭采用横向捆绑连接，就是在中间芯级火箭的周围又捆绑了火箭，捆上去的火箭习惯上又称助推器。
2、运载火箭的发射火箭发射从发射点到入轨点的飞行轨迹叫发射轨道。
发射轨道包括垂直起飞段、程序转弯段和入轨段。
垂直起飞段为10几秒。
三级火箭在程序转弯段经历火箭助推器分离，一二级分离，一二级分离即一级与二级之间分离。
入轨段已在稠密的大气层以外，三级火箭在入轨段经历整流罩分离，二三级分离，星箭分离。
入轨方式根据轨道高度的不同有直接入轨、滑行入轨和过渡转移入轨之分。
近地轨道卫星一般直接入轨。
火箭连续工作，当最后一级火箭发动机关机时，就进入预定轨道。
中、高轨道卫星常常滑行入轨。
入轨段由主动段、滑行段和加速段组成。
进入约180公里高停泊轨道后三级发动机关机，之后火箭靠惯性在停泊轨道上滑行，高度保持不变。
滑行一段后火箭再次点火加速，进入预定轨道后星箭分离。
地球静止轨道卫星常常采用过渡转移轨道入轨。
火箭进入200-400公里高的停泊轨道滑行，滑行一段后火箭再次点火，进入近地点与停泊轨道相同、远地点为35 786公里的大椭圆转移轨道。
当运行到远地点时，卫星上的发动机点火，使卫星提高飞行速度，并改变飞行方向，进入地球同步轨道。
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：29所属学校（请填写完整的全名）：山东理工大学参赛队员(打印并签名) ：1. 魏业2. 陈军3. 郭凤娇指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：丁树江日期： 2010 年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：三级火箭发射人造卫星分析分析摘 要发射人造卫星是一个复杂的系统工程，我们从中抽出几个问题，忽略一些次要因素将问题简化得到几个简单的数学模型。
首先通过天体物理学知识求解得到发人造卫星的在轨速度。
又通过动力守恒定律求解出火箭的飞行速度与其喷气推动力、火箭初始质量和飞行过程中的质量有关，进而分析得出提高火箭的飞行速度的简单措施。
问题一：由万有引力定律及牛顿第三定律推理得到rgR v =，当s km r 600=时，带入（5-1-3）式得：s km v 58.7=末问题二：由)(ln)(0t m m u t v =式得火箭的末速度有喷气速度及火箭在飞行中的质量决定，为了提高火箭的末速度可以通过提高喷气速度和减少火箭在飞行过程中的质量。
具体地说就是加大火箭推力，抛掉已经没用的结构，以此来加大火箭末速度。
多级火箭发射卫星的数学思想随着科技的发展，我国的航事业有着巨大的进步，有关资料表明，我们一般都是用三级火箭系统发射各种科学卫星，那么我们为什么不用单级火箭来发射呢？一、单级火箭发射卫星的可能性卫星应在预定高度的轨道上运动，为克服地球引力和大气阻力的影响，必须保证发射 火箭具有足够高的速度。
基本假设1）地球是半径为R 的均匀球体。
2）卫星的质量为m ，在高度为h 的平面轨道上做匀速圆周运动。
1、火箭速度 地球对卫星的引力为22rR mg F =，又由卫星所受引力也是它作圆周运动的向心力，所以又有r m v F 2=，故得出hg g R v +=，由此可知，当h 增大时，v 减少。
据有关资料表明，提高质量比成为提高速度的关键。
对于火箭系统的质量，其由三部分组成，即卫星质量，燃料质量和火箭结构质量，分别为S F p m m m ,,。
在单级火箭发射过程中，燃料质量是递减的，星箭分离瞬间的剩余质量为S p m m +，由于载荷质量p m 固定，提高质量比值等价于减少比值FS S m m m +=λ，从而我们得出 pm m m u v )1(ln 00λλ-+=，其中一般s km u 3≈。
由上式可知，此时火箭的最高速度也只能达到s km u v 7ln 1≈=-λ所以，单级火箭发射卫星肯定不能达到第一宇宙速度，故我们要采用多级火箭系统。
二、多级火箭系统在人们日常生活中，我们发现二踢脚通常比一般的单级鞭炮要窜的更高。
这与多级火箭递推发射原理十分相似，在发射过程中需要逐点燃，即丢掉该级运载火箭，加速下一级运载工具，直至最后一级火箭达到预定高度时才释放出卫星。
在我们理想的n 级火箭系统中，各级的比值λ和相对喷射速度u 相同。
设第i 级火箭质量为i m ，则其结构质量为i m λ，燃料质量为i m )1(λ-，并约定荷载卫星为第1+n 级，通过计算得出第i 级速度n i w w u v v i i i i ,2,1,ln 1='+=-，其中∑+==1n ik k i m w 。
