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微分方程建模：发射卫星为什么用三级火箭微分方程建模是数学建模的重要方法，因为许多实际问题的数学描述将导致求解微分方程的定解问题。
把形形色色的实际问题化成微分方程的定解问题，大体上可以按以下几步：1. 根据实际要求确定要研究的量(自变量、未知函数、必要的参数等)并确定坐标系。
2. 找出这些量所满足的基本规律(物理的、几何的、化学的或生物学的等等)。
3. 运用这些规律列出方程和定解条件。
列方程常见的方法有：（i）按规律直接列方程在数学、力学、物理、化学等学科中许多自然现象所满足的规律已为人们所熟悉，并直接由微分方程所描述。
如牛顿第二定律、放射性物质的放射性规律等。
我们常利用这些规律对某些实际问题列出微分方程。
（ii）微元分析法与任意区域上取积分的方法自然界中也有许多现象所满足的规律是通过变量的微元之间的关系式来表达的。
对于这类问题，我们不能直接列出自变量和未知函数及其变化率之间的关系式，而是通过微元分析法，利用已知的规律建立一些变量（自变量与未知函数）的微元之间的关系式，然后再通过取极限的方法得到微分方程，或等价地通过任意区域上取积分的方法来建立微分方程。
（iii）模拟近似法在生物、经济等学科中，许多现象所满足的规律并不很清楚而且相当复杂，因而需要根据实际资料或大量的实验数据，提出各种假设。
在一定的假设下，给出实际现象所满足的规律，然后利用适当的数学方法列出微分方程。
在实际的微分方程建模过程中，也往往是上述方法的综合应用。
不论应用哪种方法，通常要根据实际情况，作出一定的假设与简化，并要把模型的理论或计算结果与实际情况进行对照验证，以修改模型使之更准确地描述实际问题并进而达到预测预报的目的。
本章将利用上述方法讨论具体的微分方程的建模问题。
§1 发射卫星为什么用三级火箭采用运载火箭把人造卫星发射到高空轨道上运行，为什么不能用一级火箭而必须用多级火箭系统？下面通过建立运载火箭有关的数学模型来回答上述问题。
大学生数学建模承诺书我们仔细阅读了数学建模的规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
所属班级（请填写完整的全名）：09级数学与应用数学班队员(打印并签名) ：1. 王茜2. 丁*燕3. 毕瑞4. 李*洋5. 王*彬小组负责人(打印并签名)：李*洋日期： 2012 年 5 月 1 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：题目：三级火箭发射人造卫星分析摘要：火箭是一个非常复杂的系统，本文主要从卫星的速度因素着手，忽略一些次要因素将问题简化，再利用所学物理学知识建立数学模型，得出火箭飞行速度与其初始质量和飞行过程中的质量关系，进而分析得出结论。
关键词：卫星发射 牛顿定律 三级火箭 动能守恒 万有引力定律一、问题重述建立一个模型说明要用三级火箭发射人造卫星的道理。
（1）设卫星绕地球做匀速圆周运动，证明其速度为r g R v /=，R 为地球半径，r 为卫星与地心距离，g 为地球地面重力加速度。
要把卫星送上离地面600km 的轨道，火箭末速度v 应为多少？（2）设火箭飞行中速度为)(t v ,质量为)(t m ,初速度为零，初始质量为 0m ,火箭喷出的气体相对于火箭的速度为u ，忽略重力和阻力对火箭的影响。
用动量守恒原理证明)(ln)(0t m m u t v =。
由此你认为要提高火箭的末速度应采取什么措施？ （3）火箭质量包括3部分：有效载荷（卫星）p m ；燃料f m ；结构（外壳、燃料舱等）s m ，其中s m 在s f m m +中的比例计作λ，一般λ不小于10%。
三、火箭的发射问题航天器无论作近地航行或星际航行，最初都得从地面起飞。
航天器所需的速度并不是瞬时就能达到的，实际上它是在推力的作用下逐渐加速实现的。
发射航天器所需的速度是通过运载火箭来实现的，而为加速运载火箭所需的推力则是由火箭发动机动力装置来提供的。
运载火箭示例长征系列运载火箭（部分）大家是否发现一个问题，怎么没有看到单级的运载火箭呢？1970年4月24日长征一号运载火箭成功发射我国第一颗人造地球卫星“东方红一号”，开启了我国航天活动的序幕。
问题的提出东风一号地地导弹（1960）基本参数：长度：17.68m ，直径：1.65m ，射程：600km ，弹重：20.5t ，战斗部：1300kg 的常规高爆炸药，动力装置：单级液体火箭发动机，推进剂：液氧-酒精推进剂。
问题：我们知道卫星近地轨道高度约200-300km ，那么理论上能否把东风一号导弹直接改成运载火箭来发射卫星呢？单级火箭简图单级火箭在无重力真空环境下的最大理想末速度建立数学模型假设火箭垂直发射升空，根据牛顿第二运动定律表达火箭的加速运动：单级火箭飞行模型火箭发动机的性能—比冲：F m=最大理想末速度是运载火箭的一个重要性能参数d d V F Mt=s FI m=d d M m t=-火箭飞行中单位时间里所消耗的推进剂质量：单级火箭在无重力真空环境下的最大理想末速度齐奥尔科夫斯基公式s ddM V IM =-分离变量积分max fsddV MMMV IM=-⎰⎰max s sfln ln(1)MV I IMξ==--齐奥尔科夫斯基公式（1903）I s--火箭发动机的平均比冲（常数）；M0--火箭的起飞质量；M f--推进剂燃尽时的火箭质量；M p--推进剂质量。
pMMξ=火箭推进剂的质量分数：单级火箭在无重力真空环境下的最大理想末速度齐奥尔科夫斯基公式是现代航天学的奠基石，它说明火箭的最大末速度是由火箭发动机性能（比冲）和所装载的推进剂质量占火箭总质量的比例来共同决定的。
