沪科版-数学-七年级上册-利用数轴正确的求线段的长

4.3 线段的长短比较1．线段的长短比较比较线段长短的方法有两种：(1)叠合法：先把两条线段的一端重合，另一端点落在同一侧，从而确定两条线段的长短，这是从“形”的方面进行比较．当两条线段能够放在一起而又不要求知道相差的具体数值时，可用此法．将线段AB 放到线段CD 上，使点A 和点C 重合，点B 和点D 在重合点的同侧．①如果点B 和点D 重合，如图，就说线段AB 与线段CD 相等，记作AB=CD.②如果点B 在线段CD 上，如图，就说线段AB 小于线段CD ，记作AB ＜CD.③如果点B 在线段CD 外，如图，就说线段AB 大于线段CD ，记作AB ＞CD.(2)度量法：先分别量出每条线段的长度，再根据度量的结果确定两条线段的大小，这是从“数”的方面进行比较．当两条线段的长短差别不太明显，而又不便放在一起比较，或需要求出相差的具体数值时，可用此法．对于线段AB 和CD ，我们可以用刻度尺分别量出线段AB 和CD 的长度，数值大的线段较长，数值小的线段较短，数值相等时两线段一样长．【例1】 如图，已知AB ＞CD ，则AC 与BD 的大小关系为( )．A ．AC ＞BDB ．AC ＝BDC ．AC ＜BD D ．AC 和BD 的大小不能确定解析：运用叠合法或度量法直接比较，可以发现AC 与BD 的大小关系为AC ＞BD . 答案：A2．线段的中点如图，点C 在线段AB 上且使线段AC ，CB 相等，这样的点C 叫做线段AB 的中点．中点定义的推理步骤： (1)∵AC ＝CB (已知)，∴点C 是线段AB 的中点(中点的定义)． (2)∵点C 是线段AB 的中点(已知)，∴AC ＝BC 或AC ＝12AB 或BC ＝12AB 或AB ＝2AC 或AB ＝2BC (中点的定义)．谈重点 对线段中点的理解线段的中点在线段上，有且只有1个，它把线段分成两条相等的线段．注意，若AC ＝BC ，则点C 不一定是线段AB 的中点，因为点C 不一定在线段AB 上．【例2】 如图，已知点C 为线段AB 的中点，点D 为线段BC 的中点，BD ＝3 cm ，求线段AB 的长度．解：∵点D 为线段BC 的中点，BD ＝3 cm ， ∴BC ＝2BD ＝2×3＝6 cm. ∵C 点为线段AB 的中点， ∴AB ＝2BC ＝2×6＝12 cm. ∴AB 的长度为12 cm.说方法 线段的中点的应用由线段的中点这一条件得到的结论，解题过程中不一定全部写出，要根据所求问题灵活选择，一般用哪个写哪个即可．3．线段的性质(1)两点之间的所有连线中，线段最短．连接两点是指画出这两点为端点的线段．(2)两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离．它是一个数量．而线段本身是图形，因此不能把A ，B 两点间的距离说成是线段AB .释疑点 线段与线段的长度的区别“线段”是一个几何图形，而“线段的长度”是一个数量，二者是有区别的，但是为了书写的方便，我们常常用线段的名称表示线段的长度，如AB ＝2 cm.【例3】 进入新世纪，信息技术在社会的各个领域都起着至关重要的作用.2012年某中学开始安装校园网，实现办公楼、教学楼、图书馆、食堂、实验楼的联网，布线工程十分重要．已知这五座建筑物的位置及它们之间的距离，如图(1)所示(图书馆、办公楼、实验楼在同一条直线上，教学楼、办公楼、食堂在同一条直线上)．假如你是布线工程的设计者，你应如何设计线路，才能使线路最短？最短线路的长是多少米？分析：联想两点之间线段最短去设计． 解：布线设计图如图(2)．最短线路的长为120＋120＋180＋240＝660(m)．4．线段的和、差、倍、分的计算 比较线段的大小，形成了线段的和、差关系，学习线段的中点及延长线形成了线段的倍、分关系．在解答有关线段的和、差、倍、分问题时，要从线段中点的定义出发，结合图形，利用线段的和差计算，寻求线段之间的大小关系，灵活运用线段中点的性质．说方法 计算线段的和、差、倍、分时应注意的问题 一般要注意以下几个方面：①按照题中已知条件画出符合题意的图形是正确解题的先决条件；②观察图形，找出线段间的关系；③线段的和、差、倍、分与线段长度的和、差、倍、分是一致的．其运算方法和顺序结合与有理数运算类似．【例4】 已知线段AC 和BC 在一条直线上，如果AC ＝5 cm ，BC ＝3 cm ，求线段AC 和线段BC 的中点间的距离．解：设AC ，BC 的中点分别为M ，N ，由线段中点定义得AM ＝MC ＝12AC ，BN ＝CN ＝12BC .如图，MN ＝MC ＋CN ＝12AC ＋12BC ＝12(AC ＋BC )＝12×8＝4(cm)．如图，MN ＝MC －CN ＝12AC －12BC ＝12(AC －BC )＝12×2＝1(cm)．5.方程思想在线段计算中的应用有些已知条件中的关系比较复杂，无法或很难由已知条件直接推导出待求的线段的长度，这时我们可以挖掘隐含条件，引进未知数，然后以线段的和、差、倍、分作为相等关系，构造出方程来解决问题．说方法 方程思想在线段计算中的应用当题目提供某一线段长时，我们一般考虑使用含未知数的代数式再表示这条线段的长，即可得到一个方程，从而求出未知数的值．【例5】 如图，B ，C 两点把线段AD 分成2∶3∶4三部分，M 是AD 中点，CD ＝8，求MC 的长．分析：由AB ∶BC ∶CD ＝2∶3∶4，可设AB ＝2x ，BC ＝3x ，CD ＝4x ，CD ＝4x ＝8而求得x 值，进而求出MC 长．解：设AB ＝2x ，由AB ∶BC ∶CD ＝2∶3∶4， 得BC ＝3x ，CD ＝4x ， ∴AD ＝(2＋3＋4)x ＝9x . ∵CD ＝8，∴4x ＝8，x ＝2. ∴AD ＝9x ＝18. ∵M 是AD 中点，∴MC ＝MD －CD ＝12AD －CD ＝12×18－8＝1.6．线段的和、差、倍、分的计算的应用生活中涉及线段的和、差、倍、分的运算问题比较常见，主要涉及路线、路径问题．解决这类问题的关键是画出线段示意图，将实际问题转化为线段的计算问题．然后运用线段的和、差、倍、分及中点的性质寻找由已知线段推导出未知线段的思维过程，对于这一推理过程较为困难，有时要借助于方程思想方法来解决问题．解技巧 结合图形解线段应用题有关线段的计算都是由已知，经过和、差或中点进行转化，求未知线段的过程，因此要结合图形，分析各线段关系，找出它们的联系，通过和、差、倍、分的运算解决．注意学会利用画线段图的方式解决．【例6】 李红、王明、张江三人的家恰好与学校在一条笔直的街道上．已知李红家到学校的距离是500米，张江家正好在李红与学校的中间，王明家在李红和张江家的中间，那么王明家到学校的距离是多少米？分析：此题考查学生对线段性质、线段的中点、两点间的距离知识的综合运用．首先要能用画线段图的方式来解决此类问题(如下图)．解：由题可知：AD ＝500米． 因为C 是AD 的中点，所以AC ＝CD ＝12AD ＝500×12＝250.因为B 是AC 的中点，所以BC ＝12AC ＝250×12＝125.王明到学校的距离BD＝BC＋CD＝125＋250＝375.即王明到学校的距离是375米．7.线段的性质的应用两点之间的所有连线中，线段最短，这是线段的重要的性质，其在实际生活和生产中的应用十分广泛．涉及这类问题主要为河道由曲改直等最短路径问题，解决这类问题的关键是根据实际问题中要解决的问题画出恰当几何图形，将实际问题转化为数学问题，然后运用线段的性质来解决．【例7】某市汽车站A到火车站F有四条不同的路线，如图所示，其中路线最短的是( )．A．从A经过BME到FB．从A经过线段BE到FC．从A经过折线BCE到FD．从A经过折线BCDE到F解析：本题只需考虑点B到点E之间的距离最短即可．答案：B。

4.3 线段的长短比较-沪科版七年级数学上册教案本节课主要内容为线段的长短比较。

通过本节课的学习，学生将能够认识到数轴的重要性，了解并掌握使用数轴求线段长短及其比较的方法。

一、教学目标1.了解数轴的基本概念和使用方法；2.能够掌握求线段长度的方法；3.能够运用数轴求线段的长短并进行比较；4.培养学生的观察能力和逻辑思维。

二、教学准备1.教师准备教案、板书以及相关练习题等；2.学生需要准备铅笔、橡皮、尺子等数学工具。

三、教学过程1. 导入新知识学生通过回忆过往所学的知识，认识线段的基本概念。

提出线段长度比较的问题，并启发学生思考如何比较线段长度，引出数轴的概念及使用方法。

2. 理解数轴的概念1.教师通过实物等形象的方法，让学生感性认识数轴的概念；2.引导学生感性认识数轴的正负方向并标出相关标记；3.进一步巩固数轴的概念，引导学生手绘数轴，并在上面表示数的位置。

3. 掌握线段长度的求解方法通过具体实例的讲解，教师引导学生掌握线段长度的求解方法，并强化学生计算线段长度的能力。

4. 运用数轴求线段长短并进行比较1.运用数轴分析问题，并通过实际练习巩固学生的掌握能力；2.引导学生将两个线段在数轴上表示，并进行长度比较，进一步训练学生计算线段长短的能力。

5. 总结本节课所学知识小结本节课所学的知识，并提出相应的练习题，进行巩固和检测。

四、教学评价1.学生能够掌握数轴的基本概念和使用方法；2.学生能够准确计算线段的长度，并掌握长短比较方法；3.学生能够运用所学的知识进行解题，并培养了观察能力和逻辑思维能力。

五、教学延伸1.学生可根据数轴的有关知识做出更多自己的练习题；2.学生还可以继续进行数轴的探索和应用，如数轴的扩展应用、复杂问题的解决等。

4.3线段的长短比较（第一课时）
教学目标
知识与技能
1.了解两条线段长短的比较方法
2.理解线段的和差及中点，并能进行正确的运算
过程与方法：
1.感受用类比的思想比较两条线段的大小，经过体会由感性认识上升到理性认识的过程，发展学生的符号感和数感。

2.培养学生的动手实践能力，体会知识来源于生活，用它可以解决生活中的问题。

情感、态度与价值观
体会数学就在我们身边，它和生活是密不可分的。

重点难点
重点两条线段长短的比较
难点两条线段长短的比较的正确方法
教学准备
多媒体课件，1根红绳，三角形纸片，直尺
教学方法
自主探究、合作交流、总结应用
教学过程
（一）知识回顾，引入新课
1.填表
2.直线的基本性质
（1) (2）
（二）新课教学
活动1.观察图片
活动2.两条线段长短比较的正确方法
（1）度量法--数（2)叠合法--形（见多媒体演示）
（2）练习1.如图,同桌合作做一个三角形纸片,选择一种方法来
（3）比较三角形的边线段AB和线段AC的长短.（图见多媒体）
活动3.由上面练习引出线段的和差教学
例题1，练习2
活动4.中点的教学
学生动手操作：用一根红绳找出线段的中点并引导学生归纳中点的定义，中点涉及到线段的数量关系
练习3
活动5.课本例题教学（多媒体演示）练习4
课堂小结
本节课我们学习了
（1）线段的长短比较方法是和，在具体的环境中选择适当的方法；（2）线段的与及线段的
2.本节课我们体会了一种数学思想方法是与的结合。

即：借助于数的精确性来说明线段之间的关系。