四川省新津中学2014-2015学年高二4月月考数学(理)试题 Word版含答案

新津中学高二数学4月月考试题（理）一、选择题1.双曲线221412x y -=的焦距为（ ）A. B.4 C.D.8 2.已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )（A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）123.若椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积最大时，21PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 2C. 4D. 2- 4. 以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋9＝0圆心的抛物线方程是( )A ．y ＝3x 2或y ＝－3x 2B ．y ＝3x 2C ．y 2＝－9x 或y ＝3x 2D ．y ＝－3x 2或y 2＝9x 5. 在面积为S 的△ABC 的内部任取一点P ，则△PBC 的面积小于S2的概率为( )A.14B.12C.34D.236.经过点M -且与双曲线22143x y -=有共同渐近线的双曲线方程为 A ．22168x y -= B ．22168y x -= C ．22186x y -= D ．22186y x -= 7.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．88．从x 2m －y 2n ＝1(其中m ，n ∈{－1,2,3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x 轴上的双曲线方程的概率为( )A.12B.47C.23D.349. 已知点是双曲线的左焦点，离心率为e ，过F 且平行于双曲线渐近线的直线与圆交于点P ，且点P 在抛物线上，则e 2 =（ ）(,0)(0)F c c ->22221x y a b-=222x y c +=24y cx =ABCD 10、直线l ：y ＝x ＋3与曲线y 29－x ·|x |4＝1交点的个数为( )A ．4B ．1C ．2D ．3 二．填空：11.抛物线24y x =-的准线方程为 12. 设点P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 与圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一个交点，F 1, F 2分别是双曲线的左、右焦点，且|1PF |＝3|2PF |，则双曲线的离心率为（ ） 13. 以椭圆的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为 .14. 已知F 1、F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点，点P 为椭圆C 上的动点，则△PF 1F 2的重心G 的轨迹方程为15、下列正确的是：（1）已知点F 1、F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，若|PF 2|2|PF 1|的最小值为9a ，则双曲线的离心率为5；（2）L 与F 分别为同一平面内一条直线与一个定点,d 为此平面内动点M 到L 的距离，若MF=d,则M 点的轨迹是抛物线；（3）过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝2512，|AF |＜|BF |，则|AF |＝56；（4）点P 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动则三棱锥A －D 1PC的体积不变；三．解答题16． 设向量()()3sin ,sin ,cos ,sin ,0,2a x x b x x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦(I)若,a b x =求的值； (II)设函数()(),f x a b f x =求的最大值。

四川省成都市新津中学2014届高三2月月考数学（理）试题（解析版）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位，若复数(1i)(2i)a ++是纯虚数，则实数a 等于( )A ．2B ．12C ．12-D ．2-2.设3log 21=a ，3.0)31(=b ，πln =c ，则 ( )A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b a c <<A. (,1)-∞-B. (−1,3)C.(3,)-+∞D. (−3,1)考点：命题及二次不等式.4.执行如图所示的程序框图．若输入3x ，则输出k 的值是( ) A ． 3 B ．4 C ． 5 D ． 6是结束输出k 否x>23 ?k=k+1x=x+5k=0输入x 开始5.下列命题中，m 、n 表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面． ①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ； ②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β； ③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ； ④若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ. 则正确的命题是 ( )A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④6.函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中A ＞0，2||πϕ<）的图象如图所示，为了得到()f x 的图象，则只需将g(x)=sin2x 的图象 （ ）A. 向右平移6π个长度单位 B. 向左平移6π个长度单位C. 向右平移3π个长度单位 D. 向左平移3π个长度单位7.已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图．．．的面积为（ ）A ．B ．C ．1D ．34【答案】D 【解析】为1324S ==. 考点：三视图.8.若423401234(2x a a x a x a x a x +=++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为（ ）A. 1-B. 1C. 2D. 2-9.已知函数⎩⎨⎧≥-<+--=)0)(1()0(2)(2x x f x a x x x f ,且函数x x f y -=)(恰有3个不同的零点,则实数a 的取值范围是（ ）A. ),0(+∞B. )0,1[-C. ),1[+∞-D. ),2[+∞-10.集合321234{|101010}A x x a a a a ==⨯+⨯+⨯+，其中{1,2,3,4}i a ∈，14i ≤≤，i N ∈，则满足条件：i a 中1a 最小，且12233441,,,a a a a a a a a ≠≠≠≠的概率为（ ）A.31256 B. 332 C. 17256D. 764第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.已知数列121,,,9a a 是等差数列，数列1231,,,,9b b b 是等比数列，则212b a a +的值为.12.若关于x ，y 的不等式组0, , 10x y x kx y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩（k 是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，则k = . 【答案】1-或0. 【解析】13.在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP CB CP CA ⋅+⋅= ．14.设F 是抛物线C 1：24y x =的焦点，点A 是抛物线与双曲线C 2：22221(0,0)x ya b a b-=＞＞的一条渐近线的一个公共点，且AF x ⊥轴，则双曲线的离心率为 ．【解析】试题分析： (1,0),(1,2)F A .将A 的坐标代入22221(0,0)x y a b a b-=＞＞的一条渐近线by xa =得：4a b =，所以22224,5,a b a c e =∴==. 考点：双曲线与抛物线.15.给出定义：若11< +22m x m -≤ (其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ，即{}=x m . 在此基础上给出下列关于函数()={}f x x x -的四个命题： ①=()y f x 的定义域是R ，值域是11(,]22-； ②点(,0)k 是=()y f x 的图像的对称中心，其中k Z ∈； ③函数=()y f x 的最小正周期为1； ④ 函数=()y f x 在13(,]22-上是增函数． 则上述命题中真命题的序号是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）已知函数())sin()()2f x x x ππωωω=---＞0的图像上两相邻最高点的坐标分别为,2)34(),2,3(ππ. （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且()2f A =，求2b ca-的取值范围.17.（本小题满分12分）若盒中装有同一型号的灯泡共10只，其中有8只合格品，2只次品.（Ⅰ）某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡3次，每次取一只灯泡，求2次取到次品的概率；（Ⅱ）某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡，每次从中取一灯泡，若是正品则用它更换已坏灯泡，若是次品则将其报废（不再放回原盒中），求成功更换会议室的已坏灯泡所用灯泡只数x的分布列和数学期望.【答案】（Ⅰ）12125P =；（Ⅱ）X 的分布列如下表：911455545345164536==++=EX .考点：1、古典概型；2、随机变量的分布列及期望.18.（本小题满分12分）在数列{}n a 中，c c a a a n n (,111+==+为常数，)*∈N n ，且521,,a a a 成公比不等于1的等比数列.（Ⅰ）求c 的值； （Ⅱ）设11+=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n S.19.（本小题满分12分）如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，36BC AC ==，.D 、E 分别是AC AB 、上的点，且//DE BC ，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A D CD ⊥，如图2． （Ⅰ）求证：平面⊥BC A 1平面1A DC ；（Ⅱ）若2CD =，求BE 与平面1A BC 所成角的余弦值；（Ⅲ）当D 点在何处时， 1A B 的长度最小，并求出最小值．图2图1【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）直线BE 与平面BC A 1所成角的余弦值为53；（Ⅲ）当3=x 时，||1B A 最大为33. （Ⅲ）设x CD =,则x D A -=61,则)6,0,0(),0,,3(1x A x B -，221)6(9||x x B A -++=)60(451222<<+-=x x x ，当3=x 时，||1B A 最大为33. …………………（12分）考点：1、空间直线与平面的位置关系；2、空间直线与平面所成的角；3、空间向量的运用.20.（本小题满分13分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的两焦点在x 轴上, 且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为2的等腰直角三角形.（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过点1(0,)3S -的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q ，使得以AB 为直径的圆恒过点Q ?若存在求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（Ⅰ）椭圆方程为1222=+y x ；（Ⅱ）存在定点)1,0(Q ，使以AB 为直径的圆恒过点)1,0(Q .试题解析：（Ⅰ）由椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形, c b =∴又斜边长为2,即22=c 故22==c a ,椭圆方程为1222=+y x . ………………………………（4分）注 此题直接设),(b a Q ,得到关于b a ,的恒成立问题也可求解.考点：直线与圆锥曲线.21.（本小题满分14分）已知函数1ln(1)()(0)x f x x x++=>. （Ⅰ）函数()f x 在区间(0,)+∞上是增函数还是减函数？证明你的结论；（Ⅱ）当0x >时，k x f x >+)()1(恒成立，求整数．．k 的最大值；（Ⅲ）试证明：23(112)(123)(134)(1(1))n n n e -+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅++>（*N n ∈）.【答案】（Ⅰ）()f x 在区间(0,)+∞上是减函数；（Ⅱ）max 3k =；（Ⅲ）详见解析.【解析】试题解析：（Ⅰ）由题 21[ln(1)]10,()0,x x x f x x +++'>=-< … …………………（3分）故()f x 在区间(0,)+∞上是减函数 ……………………………（4分）（Ⅱ）当0x >时，1[1ln(1)]x k x x+<++在(0,)+∞上恒成立，取1()[1ln(1)]x h x x x +=++，则2)1l n (1)(x x x x h +--='， …………………………………（6分） 再取()1ln(1),g x x x =--+则1()10,11x g x x x '=-=>++ ………………………（7分）故()g x 在(0,)+∞上单调递增，而(1)ln 20,(2)1ln 30,(3)22ln 20g g g =-<=-<=->， ………………………（8分）故()0g x =在(0,)+∞上存在唯一实数根(2,3),1ln(1)0a a a ∈--+=，故(0,)x a ∈时，()0;(,)g x x a <∈+∞时，()0,g x > 故[]min 1()1ln(1)1(3,4),3,a h x a a k a+=++=+∈≤故max 3k = ………………………（9分）。

四川省成都某重点中学2014～2015学年高二上期期中考试数学理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，只将答题卷交回．第I 卷注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卷上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．1．直线y =+的倾斜角是（ ）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒ 2．经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是A ．10x y --=B ．10x y -+=C ．10x y +-=D ．10x y ++= 3．圆22(4)9x y -+=和圆22(3)4x y +-=的公切线有A ．条B ．2条C ．条D ．4条4．已知点(,)P x y 在不等式组2010220x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域内运动，则z x y =-的最大值是A ．1-B ．C ．2-D ．25．已知α，β，γ，δ表示不同的平面，为直线，下列命题中为真命题的是 A ．,αγβγαβ⊥⊥⇒P B ．,αββγαγ⊥⊥⇒⊥ C ．,,αγβδαβγδ⊥⇒P P P D ．,,l l αγβγαβγ⊥⊥=⇒⊥I6．若点(5,)b 在两条平行直线6810x y -+=与3450x y -+=之间，则整数b 的值为A ．4-B ．4C ．5-D ．57．过点(1,0)P -作圆22:(1)(2)1C x y -+-=的两切线，设两切点为A 、B ，圆心为C ，则过A 、B 、C 的圆方程是A ．22(1)2x y +-=B ．22(1)1x y +-=C ．22(1)4x y -+=D ．22(1)1x y -+=8．二面角l αβ--为60︒，A 、B 是棱上的两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC l ⊥，BD l ⊥且1AB AC ==，2BD =，则CD 的长为A ．BC ．2 D9．已知AC ，BD 为圆22:9O x y +=的两条相互垂直的弦，垂足为M ，则四边形ABCD 的面积的最大值为A． B ．15 C． D ．1810．在直角ABC V 中，30ACB ∠=︒，90B ∠=︒，D 为AC 中点（左图）．将ABD V 沿BD 折起，使得AB CD ⊥（右图），则二面角A BD C --的余弦值为A ．13-B ．13C． D第II 卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共计25分． 11．已知向量(2,1,3)a =-r，(4,2,)b x =-r ，若a b r r P 则x = ▲ ．12．空间四边形ABCD 的对角线10AC =，6BD =，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，7MN =，则异面直线AC 和BD 所成的角等于 ▲ ．13．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为 ▲ ．14．已知PA 垂直于边长为的正六边形ABCDEF 所在的平面，且1PA =，则P 到直线CD 的距离是 ▲ ．15．直线:2l y kx k =+曲线:C y =有两个不同的交点，平面区域02y y kx k⎧⎪≤≤⎨≥+⎪⎩的面积为S ．若2S π≥-，则实数k 的取值范围为▲ ．三、解答题：本大题共6小题，合计75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）直线34120x y -+=与坐标轴的交点是圆C 一条直径的两端点． （I ）求圆C 的方程；（II ）圆C 的弦AB1(1,)2，求弦AB 所在直线的方程．17．（本小题满分12分）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1DD 的中点． （I ）求证：1BD P 平面AEC ； （II ）求异面直线1BC 与AC 所成的角．18．（本小题满分12分）在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知cos 23cos()1A B C -+=． （I ）求角A 的大小；（II ）若ABC V 的面积S =，5b =，求sin sin B C 的值．19．（本小题满分12分）如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面相互垂直，AB CD P ，AB BC ⊥，22AB CD BC ==，EA EB ⊥．（I ）求证：AB DE ⊥； （II ）求直线EC 与平面ABE 所成的角的正弦值；（III ）线段EA 上是否存在点F ，使得EC P 平面FBD ？若存在，求出EFEA的值；若不存在，说明理由．20．（本小题满分13分）如图，在平行四边形ABCD 中，60BAD ∠=︒，6AB =，3AD =，G 为CD 中点（左图），现将梯形ABCG 沿着AG 折起到AFEG ．直线GE 与平面ABCD 所成角为30︒（右图）．（I ）求证：FG ⊥平面ABCD ； （II ）求二面角B EF A --的平面角的正切值．21．（本小题满分14分）点P 到(2,0)A -的距离是点P 到(1,0)B 的距离的2倍． （I ）求点P 的轨迹方程；（II ）点P 与点Q 关于点(2,1)对称，点(3,0)C ，求22||||QA QC +的最大值和最小值． （III ）若过A 的直线从左向右依次交第（II ）问中Q 的轨迹于不同两点E ，F ，FA EA λ=uu r uu r，判断k 的取值范围并证明．高2016届2014—2015学年度上期期中考试数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：1．C ． 2．B ． 3．C ． 4．D ． 5．D ． 6．B ． 7．A ． 8．C ． 9．B ． 10．A ． 二、填空题：11．6-． 12．60︒． 13．． 14．2． 15．[0,1]．三、解答题： 16．解：（I ）直线34120x y -+=与两坐标轴的交点分别为(4,0)A -，(0,3)B ．（2分） 所以线段AB 的中点为3(2,)2C -，||5AB =．（4分）故所求圆的方程为22235(2)()()22x y ++-=．（6分）（II ）设直线AB 到原点距离为d ，则1d ==．（8分） 若直线AB 斜率不存在，不符合题意．若直线AB 斜率存在，设直线AB 方程为1(1)2y k x -=-，则1d ==，解得0k =或34k =-．（11分） 所以直线AB 的方程为210y -=或3450x y +-=．（12分）17．解：（I ）证明：连结BD 交AC 于点O ，连结EO ．因为E ，O 分别是1DD 与BD 的中点，所以1OE BD P ．（3分）又因为OE 在平面AEC 内，1BD 不在平面AEC 内，所以1BD P 平面AEC ．（6分）（II ）连结11,A C A B ，由于11AA CC P 且11AA CC =四，所以边形11ACC A 为平行四边形，11AC A C P ，异面直线1BC 与AC 所成的角为11A C B ∠或其补角．（9分）而11A BC V 为正三角形，所以异面直线1BC 与AC 所成的角为60︒．（12分）18．解：（I ）由cos 23cos()1A B C -+=，得22cos 3cos 20A A +-=．（2分） 即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=，解得1cos 2A =或cos 2A =-（舍去）．（4分） 因为0A π<<，所以3A π=．（6分）（II）由1sin 2S bc A ===20bc =．又5b =，知4c =．（8分） 由余弦定理得2222cos 21a b c bc A =+-=，故a =．（10分） 从而由正弦定理得22sin sin 2035sin sin sin 2147b Ac A bc B C A a a a =⋅==⨯=．（12分）19．解：（I ）取AB 的中点O ，连结EO ，DO ．因为EB EA =，所以EO AB ⊥．因为四边形ABCD 为直角梯形，AB BC ⊥，22AB CD BC ==，所以四边形OBCD 为正方形，所以AB OD ⊥．因为EO DO O =I ，所以AB ⊥平面EOD ，所以AB ED ⊥．（4分）（II ）因为平面ABE ⊥平面ABCD ，且EO AB ⊥，所以EO ⊥平面ABCD ，所以EO OD ⊥．由OB ，OD ，OE 两两OEC 1CD 1B 1DA 1BAz yxFODCEAB垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -．因为EAB V 是等腰直角三角形，所以OA OB OD OE ===．设1OB =，则(0,0,0)O ，(1,0,0)A -，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,1,0)D ，(0,0,1)E ．所以(1,1,1)EC =-uu u r ，平面ABE 的一个法向量为(0,1,0)OD =uuu r ．设直线EC 与平面ABE 所成的角为θ，则||sin |cos ,|||||EC OD EC OD EC OD θ⋅=<>==⋅uu u r uuu ruu u r uuu r uu u r uuu r EC 与平面ABE 所成的角．（8分） （III ）存在点F ，且13EF EA =时，有EC P 平面FBD ．（9分） 证明如下：由111(,0,)333EF EA ==--uu u r uu r ，12(,0,)33F -，所以42(,0,)33FB =-uu r ，(1,1,0)BD =-uu u r ．设平面FBD 的法向量为(,,)v a b c =r ，则有00v BD v FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uu u r r uu r ，所以042033a b a c -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩．取1a =，得(1,1,2)v =r ．因为0EC v ⋅=uu u r r 且EC ⊄平面FBD ，所以EC P 平面FBD ．即点F 满足13EF EA =时，有EC P 平面FBD ．（12分）20．解：（I ）在平行四边形ABCD 中，60BAD ∠=︒，6AB =，3AD =，G 为CD 中点，得BG AG ⊥，所以FG AG ⊥．（2分）又因为直线GE 与平面ABCD 所成角为30︒，所以直线AF 与平面ABCD 所成角为30︒，所以F 到平面ABCD 的距离为．所以FG ⊥平面ABCD ．（6分）（II ）由（I ）知FG BG ⊥，所以BG ⊥平面ABCD ．（8分）过点G 作GH EF ⊥，垂足为H ，则BH EF ⊥，所以BHG ∠为所求二面角的平面角．（11分） 在直角BGH V 中，3BG =，GH =，tan BHG ∠=13分）H EFG C DBA21．解：（I ）设点(,)P x y ，由题意可得||2||PA PB ==．化简可得22(2)4x y -+=．（4分）（II ）设00(,)Q x y ，由题可得4)2(22=+-y x ，⎩⎨⎧⨯=+⨯=+122200y y x x 代入上式消去可得4)2()2(2020=-+-y x ，即Q 的轨迹为4)2()2(22=-+-y x ，即y x y x 44422+=++．（6分） 令222222||||(2)(3)z QA QC x y x y =+=+++-+2222213685x y x x y =+-+=++．所以0586=-++z y x ，21033=≤-=r z d ，所以1353z ≤≤．因此22||||QA QC +的最大值为53，最小值为13．（9分） （注：用参数方程计算的参考给分） （III ）λ的取值范围是．（10分） 证明：设11(,)E x y ，22(,)F x y 且12y y <．因为FA EA λ=uu r uu r ，所以21212(2)x x y y λλ+=+⎧⎨=⎩，且1λ>．（11分）设过A 的直线方程为2x ty =-（一定存在），与Q 的轨迹方程联立，2224440x ty x y x y =-⎧⎨+--+=⎩．消去x 得22(1)(84)160t y t y +-++=．22(84)64(1)0t t ∆=+-+>，解得34t >．而122841t y y t ++=+，122161y y t =+，212122112()2y y y y y y y y +++=，因此2143162445251(43)6(43)t t t t λλ-++=+=+≤+-++-，当且仅当2t =时等号成立．所以130λλ+-≤（1k >），解得1λ<≤（14分） （注：用平面几何方法得出结论的参考给分．）。

2014-2015学年四川省成都市新津中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．（5分）已知集合M={y|y=（）x，x∈R}，N={1，0，﹣1}，则M∩N=（）A．{1，0，﹣1}B．{1，﹣1}C．{1，0}D．{1}2．（5分）设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数为纯虚数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）设α是第二象限角，P（x，4）为其终边上的一点，且cosα=x，则tanα=（）A．B．C．D．4．（5分）若命题p1：y=log2014[（2﹣x）（2+x）]为偶函数；若命题p2：y=log2014为奇函数，则下列命题为假命题的是（）A．p1∧p2B．p1∨￢p2C．p1∨p2D．p1∧￢p25．（5分）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）A．8 B．C．10 D．6．（5分）已知正项等比数列{a n}满足a7=a6+2a5．若存在两项a m，a n使得，则的最小值为（）A．B．C．D．7．（5分）如图所示的算法中，令a=tanθ，b=sinθ，c=cosθ，若在集合中，给θ取一个值，输出的结果是sinθ，则θ值所在范围是（）A．B．C．D．8．（5分）函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为（）A．{x|x＞0}B．{x|x＜0}C．{x|x＜﹣1，或x＞1}D．{x|x＜﹣1，或0＜x＜1}9．（5分）O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若，则△ABC是（）A．以AB为底边的等腰三角形B．以BC为底边的等腰三角形C．以AB为斜边的直角三角形D．以BC为斜边的直角三角形10．（5分）已知直线（1﹣λ）x+（3λ+1）y﹣4=0（λ∈R）所过定点恰好落在曲线f（x）=上，若函数h（x）=f（x）﹣mx+2有三个不同的零点，则实数m的范围是（）A．（，1）B．（﹣∞，）∪（1，+∞）C．（﹣∞，）∪[1，+∞）D．（，1]二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）（1﹣）4展开式中的系数是．12．（5分）已知向量与的夹角为，且，若，则实数λ=．13．（5分）两个等差数列的前n项和之比为，则它们的第7项之比为．14．（5分）函数y=x﹣2sinx在[0，π]上的递增区间是．15．（5分）若a，b是任意非零的常数，对于函数y=f（x）有以下5个命题：①f（x）是T=2a的周期函数的充要条件是f（x+a）=f（x﹣a）；②f（x）是T=2a的周期函数的充要条件是f（x+a）=﹣f（x）；③若f（x）是奇函数且是T=2a的周期函数，则f（x）的图形关于直线对称；④若f（x）关于直线对称，且f（x+a）=﹣f（x），则f（x）是奇函数；⑤若f（x）关于点（a，0）对称，关于直线x=b对称，则f（x）是T=4（a﹣b）的周期函数．其中正确命题的序号为．三、解答题（共6小题，满分75分.其中16-19每题12分，20题12分，21题14分）16．（12分）已知数列{a n}满足a1=，且a n+1=（n∈N+）．（1）证明数列是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=a n a n+1（n∈N+），数列{b n}的前n项和记为T n，证明：T n＜．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求sinBsinC的最大值．18．（12分）某班的数学研究性学习小组有9名成员，在暑假中各自都进行了小课题研究活动，其中参加活动一次的为2人，参加活动两次的为3人，参加活动三次的为4人．（1）从中人选3人，求这3人参加活动次数各不相同的概率；（2）从中任选2人，求这2人参加活动次数之和的随机变量ξ的分布列和期望．19．（12分）如图四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上且AG=GD，BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中点，四面体P﹣BCG的体积为．（1）求二面角P﹣BC﹣D的正切值；（2）求直线DP到平面PBG所成角的正弦值；（3）在棱PC上是否存在一点F，使异面直线DF与GC所成的角为60°，若存在，确定点F的位置，若不存在，说明理由．20．（13分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆M交于A，B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求△ABC面积的最大值．21．（14分）设函数f（x）定义在（0，+∞）上，f（1）=0，导函数f′（x）=，g（x）=f（x）+f′（x）．（Ⅰ）求g（x）的单调区间和最小值；（Ⅱ）讨论g（x）与的大小关系；（Ⅲ）是否存在x0＞0，使得|g（x）﹣g（x0）|＜对任意x＞0成立？若存在，求出x0的取值范围；若不存在请说明理由．2014-2015学年四川省成都市新津中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．（5分）已知集合M={y|y=（）x，x∈R}，N={1，0，﹣1}，则M∩N=（）A．{1，0，﹣1}B．{1，﹣1}C．{1，0}D．{1}【解答】解：，则M∩N={1}．故选：D．2．（5分）设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数为纯虚数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：因为“ab=0”得a=0或b=0，只有a=0，并且b≠0，复数为纯虚数，否则不成立；复数=a﹣bi为纯虚数，所以a=0并且b≠0，所以ab=0，因此a，b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件．故选：B．3．（5分）设α是第二象限角，P（x，4）为其终边上的一点，且cosα=x，则tanα=（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得x＜0，r=|OP|=，故cosα==．再由可得x=﹣3，∴tanα==﹣，故选：D．4．（5分）若命题p1：y=log2014[（2﹣x）（2+x）]为偶函数；若命题p2：y=log2014为奇函数，则下列命题为假命题的是（）A．p1∧p2B．p1∨￢p2C．p1∨p2D．p1∧￢p2【解答】D解：函数y=log2014[（2﹣x）（2+x）]，定义域均为（﹣2，2），对f（x）=log2014[（2﹣x）（2+x）]，f（﹣x）=log2014[（2+x）（2﹣x）]=f（x），∴y=log2014[（2﹣x）（2+x）]为偶函数，即命题p1为真命题；对于函数，，∴为奇函数，命题p2为真命题；则有：命题p1∧（￢p2）中，p1为真命题，￢p2为假命题，“且”命题为假命题．故选：D．5．（5分）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）A．8 B．C．10 D．【解答】解：三视图复原的几何体是一个三棱锥，如图，四个面的面积分别为：8，6，，10，显然面积的最大值，10．故选：C．6．（5分）已知正项等比数列{a n}满足a7=a6+2a5．若存在两项a m，a n使得，则的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：设等比数列的公比为q（q＞0），则∵a7=a6+2a5，∴a5q2=a5q+2a5，∴q2﹣q﹣2=0，∴q=2，∵存在两项a m，a n使得，∴a m a n=16a12，∴q m+n﹣2=16，∴m+n=6∴=（m+n）（）=（10+）m=1，n=5时，=；m=2，n=4时，=．∴的最小值为，故选：B．7．（5分）如图所示的算法中，令a=tanθ，b=sinθ，c=cosθ，若在集合中，给θ取一个值，输出的结果是sinθ，则θ值所在范围是（）A．B．C．D．【解答】解：程序框图的功能是求a，b，c的最大值∵输出的结果是sinθ，∴sinθ最大即解得故选：D．8．（5分）函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为（）A．{x|x＞0}B．{x|x＜0}C．{x|x＜﹣1，或x＞1}D．{x|x＜﹣1，或0＜x＜1}【解答】解：令g（x）=e x•f（x）﹣e x，则g′（x）=e x•[f（x）+f′（x）﹣1]∵对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，∴g′（x）＞0恒成立即g（x）=e x•f（x）﹣e x在R上为增函数又∵f（0）=2，∴g（0）=1故g（x）=e x•f（x）﹣e x＞1的解集为{x|x＞0}即不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为{x|x＞0}故选：A．9．（5分）O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若，则△ABC是（）A．以AB为底边的等腰三角形B．以BC为底边的等腰三角形C．以AB为斜边的直角三角形D．以BC为斜边的直角三角形【解答】解：设BC的中点为D，∵，∴•（2﹣2）=0，∴•2=0，∴⊥，故△ABC的BC边上的中线也是高线．故△ABC是以BC为底边的等腰三角形，故选：B．10．（5分）已知直线（1﹣λ）x+（3λ+1）y﹣4=0（λ∈R）所过定点恰好落在曲线f（x）=上，若函数h（x）=f（x）﹣mx+2有三个不同的零点，则实数m的范围是（）A．（，1）B．（﹣∞，）∪（1，+∞）C．（﹣∞，）∪[1，+∞）D．（，1]【解答】解：依题意，直线为（x+y﹣4）﹣λ（x﹣3y）=0，联立，解得，故定点为（3，1），log a3=1，∴a=3，．令h（x）=f（x）﹣mx+2=0，故f（x）=mx﹣2．则f（x）的图象与g（x）=mx﹣2的图象有三个不同的交点．作图，得关键点A（0，﹣2），B（3，1），C（4，0），可知g（x）=mx﹣2应介于直线AB与直线AC之间．由k AB=1，，故．故选：A．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）（1﹣）4展开式中的系数是﹣16．【解答】解：的通项为，令r=1，可得的系数是﹣16，故答案为：﹣16．12．（5分）已知向量与的夹角为，且，若，则实数λ=1．【解答】解：∵，∴∵∴（2）=2∴2﹣2λ=0∴λ=1故答案为：113．（5分）两个等差数列的前n项和之比为，则它们的第7项之比为3：1．【解答】解：设这两个等差数列的前n项和分别为S n，T n，由题意知===3，故答案为：3：114．（5分）函数y=x﹣2sinx在[0，π]上的递增区间是[，π] ．【解答】解：y′=1﹣2cosx，由y′=0解得x=，当0≤x＜时，1﹣2cosx＜0，∴函数y=x﹣2sinx在[0，]上递减；当＜x≤π时，1﹣2cosx＞0，∴函数y=x﹣2sinx在[，π]上递增；故答案为：[，π]．15．（5分）若a，b是任意非零的常数，对于函数y=f（x）有以下5个命题：①f（x）是T=2a的周期函数的充要条件是f（x+a）=f（x﹣a）；②f（x）是T=2a的周期函数的充要条件是f（x+a）=﹣f（x）；③若f（x）是奇函数且是T=2a的周期函数，则f（x）的图形关于直线对称；④若f（x）关于直线对称，且f（x+a）=﹣f（x），则f（x）是奇函数；⑤若f（x）关于点（a，0）对称，关于直线x=b对称，则f（x）是T=4（a﹣b）的周期函数．其中正确命题的序号为①④⑤．【解答】解：f（x+a）=f（x﹣a）时，f（x+2a）=f（x），f（x）是T=2a的周期函数f（x）是T=2a的周期函数时，f（x+a）=f（x﹣a）一定成立，故①正确；当f（x+a）=﹣f（x）时，f（x+2a）=f（x），f（x）是T=2a的周期函数f（x）是T=2a的周期函数时，f（x+a）=﹣f（x）不一定成立，故f（x）是T=2a的周期函数的充分条件是f（x+a）=﹣f（x），故②错误；若f（x）是奇函数且是T=2a的周期函数，则f（x）的图形不一定是轴对称图象，故③错误；若f（x）关于直线对称，则f（a+x）=f（x），又由f（x+a）=﹣f（x），可得f （x）=﹣f（﹣x），即f（x）是奇函数，故④正确；函数f（x）是以4（m﹣a）为周期的周期函数．由条件图象关于点（a，0）对称，故﹣f（x）=f（2a﹣x），又图象关于直线x=b对称，f（2b﹣x）=f（x），所以，﹣f（2b﹣x）=f（2b﹣x），即﹣f（x）=f（2a﹣2b+x）．由﹣f（x）=f（2a﹣2b+x）得：﹣f（2a﹣2b+x）=f（4a﹣4b+x），∴﹣（﹣f（x））=f（4a﹣4b+x），因此，f[4（a﹣b）+x]=f（x），所以，f（x）是以4（a﹣b）为周期的函数．故⑤正确故答案为：①④⑤三、解答题（共6小题，满分75分.其中16-19每题12分，20题12分，21题14分）16．（12分）已知数列{a n}满足a1=，且a n+1=（n∈N+）．（1）证明数列是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=a n a n+1（n∈N+），数列{b n}的前n项和记为T n，证明：T n＜．【解答】（1）证明：∵数列{a n}满足a1=，且a n+1=（n∈N+），∴=+3，∴=3，又，∴{}是首项为2，公差为3的等差数列．∴=2+（n﹣1）×3=3n﹣1，∴．（2）b n=a n a n+1==，∴T n===．∴T n＜．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求sinBsinC的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵=﹣，∴由正弦定理可得：=﹣，整理得：cosAsinB+2cosAsinC=﹣sinAcosB，即2cosAsinC=﹣sin（A+B），∴2cosAsinC=﹣sinC，∴cosA=﹣，又A为三角形的内角，则A=；（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2+bc，①由正弦定理得：===，∴sinB=，sinC=，∴sinB•sinC=，②①代入②，sinB•si nC=≤=，当且仅当b=c时，sinBsinC取最大值．18．（12分）某班的数学研究性学习小组有9名成员，在暑假中各自都进行了小课题研究活动，其中参加活动一次的为2人，参加活动两次的为3人，参加活动三次的为4人．（1）从中人选3人，求这3人参加活动次数各不相同的概率；（2）从中任选2人，求这2人参加活动次数之和的随机变量ξ的分布列和期望．【解答】解：（1）从人中任选3人，一共有种不同选法，其中这3人的活动次数各不相同的选法有=24种，∴这3人参加活动次数各不相同的概率p==，（2）由题意知ξ=2，3，4，5，6，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，P（ξ=4）==，P（ξ=5）=，P（ξ=6）==．∴ξ的分布列为：Eξ==．19．（12分）如图四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上且AG=GD，BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中点，四面体P﹣BCG的体积为．（1）求二面角P﹣BC﹣D的正切值；（2）求直线DP到平面PBG所成角的正弦值；（3）在棱PC上是否存在一点F，使异面直线DF与GC所成的角为60°，若存在，确定点F的位置，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵BG⊥GC，GB=GC=2，四面体P﹣BCG的体积为，∴，解得PG=4，设二面角P﹣BC﹣D的大小为θ，∵GB=GC=2，E为中点，∴GE⊥BC，同理PE⊥BC，∴∠PEG=θ，∵BG⊥GC，GB=GC=2，∴EG==，∴tanθ===2．∴二面角P﹣BC﹣D的正切值为2．…（3分）（2）∵GB=GC=2，AG=GD，BG⊥GC，E是BC的中点，∴△BGC为等腰直角三角形，GE为∠BGC的角平分线，作DK⊥BG交BG的延长线于K，∵PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，∴DK⊥面BPG∵∠DGK=∠BGA=45°，DK⊥GK，∴DK=GK，∵AG=GD，∴DK2+GK2=DG2=（）2==，∴DK=CK=．∵PG=4，DG==，PG⊥DG，∴=，设直线DP与平面PBG所成角为α∵DK⊥面BPG∴∠DPK=α，∴，∴直线DP与平面PBG所成角的正弦值为．…（8分）（3）∵GB，GC，GP两两垂直，分别以GB，GC，GP为x，y，z轴建立坐标系假设F存在，设F（0，y，4﹣2y）（0＜y＜2），∵，∴，又直线DF与GC所成的角为60°∴，化简得：不满足0＜y＜2∴这样的点不存在．…（12分）20．（13分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆M交于A，B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求△ABC面积的最大值．（Ⅰ）因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为，【解答】解：所以，又椭圆的离心率为，即，所以，…（2分）所以a=3，．所以b=1，椭圆M的方程为．…（3分）（Ⅱ）不妨设直线AB的方程x=ky+m．由消去x得（k2+9）y2+2kmy+m2﹣9=0，…（5分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则有，．①…（6分）因为以AB为直径的圆过点C，所以．由，得（x1﹣3）（x2﹣3）+y1y2=0．…（7分）将x1=ky1+m，x2=ky2+m代入上式，得（k2+1）y1y2+k（m﹣3）（y1+y2）+（m﹣3）2=0．将①代入上式，解得或m=3（舍）．…（8分）所以，令D是直线AB与X轴的交点，则|DC|=则有=．…（10分）设，则．取得最大值．…（12分）所以当时，S△ABC21．（14分）设函数f（x）定义在（0，+∞）上，f（1）=0，导函数f′（x）=，g（x）=f（x）+f′（x）．（Ⅰ）求g（x）的单调区间和最小值；（Ⅱ）讨论g（x）与的大小关系；（Ⅲ）是否存在x0＞0，使得|g（x）﹣g（x0）|＜对任意x＞0成立？若存在，求出x0的取值范围；若不存在请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题设易知f（x）=lnx，g（x）=lnx+，∴g′（x）=，令g′（x）=0，得x=1，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，故g（x）的单调递减区间是（0，1），当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，故g（x）的单调递增区间是（1，+∞），因此x=1是g（x）的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，∴最小值为g（1）=1；（Ⅱ）=﹣lnx+x，设h（x）=g（x）﹣=2lnx﹣x+，则h′（x）=，当x=1时，h（1）=0，即g（x）=，当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，h′（x）＜0，h′（1）=0，因此，h（x）在（0，+∞）内单调递减，当0＜x＜1，时，h（x）＞h（1）=0，即g（x）＞，当x＞1，时，h（x）＜h（1）=0，即g（x）＜，（Ⅲ）满足条件的x0 不存在．证明如下：证法一假设存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|＜成立，即对任意x＞0，有，（*）但对上述x0，取时，有lnx1=g（x0），这与（*）左边不等式矛盾，因此，不存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|＜成立．证法二假设存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|成＜成立．由（Ⅰ）知，的最小值为g（1）=1．又＞lnx，而x＞1 时，lnx 的值域为（0，+∞），∴x≥1 时，g（x）的值域为[1，+∞），从而可取一个x1＞1，使g（x1）≥g（x0）+1，即g（x1）﹣g（x0）≥1，故|g（x1）﹣g（x0）|≥1＞，与假设矛盾．∴不存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|＜成立．。