2020届安徽省合肥市高三二模(理科)数学试卷(解析版)

数学（理）试题一、单选题1．设复数满足，则在复平面内的对应点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】先对复数进行化简，进而可得到它在复平面内对应点的坐标，从而可得到答案。

【详解】由题意，，故在复平面内对应点为，在第一象限，故选A.【点睛】本题考查了复数的四则运算，及复数的几何意义，属于基础题。

2．若集合，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】求出集合，然后与集合取交集即可。

【详解】由题意，，，则，故答案为C.【点睛】本题考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集，考查了计算能力，属于基础题。

3．已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则双曲线的方程是（）A．B．C．D．【答案】C4．在中，，则（）A．B．C．D．【答案】B5．下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：空调类冰箱类小家电类其它类营业收入占比净利润占比则下列判断中不正确的是（）A．该公司2018年度冰箱类电器营销亏损B．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C．该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D．剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低【答案】B6．将函数的图象上各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A．函数的图象关于点对称B．函数的周期是C．函数在上单调递增D．函数在上最大值是1【答案】C7．已知椭圆的左右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，以线段为直径的圆交线段的延长线于点，若，则该椭圆离心率是（）A．B．C．D．【答案】D8．某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务必须排在前三项执行，且执行任务之后需立即执行任务；任务、任务不能相邻.则不同的执行方案共有（）A．36种B．44种C．48种D．54种【答案】B9．函数的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】A10．如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（）A．2对B．3对C．4对D．5对【答案】C【解析】画出该几何体的直观图，易证平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，从而可选出答案。

合肥市2020年高三第二次教学质量检测数学试题（理科）（考试时间：120分钟 满分：150分）注意事项1．答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位．2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答第Ⅱ卷时，必须使用0．5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0．5毫米的黑色墨水签字笔描清楚，必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草纸上答题元效．第I 卷（满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的．1．若集合{}{}22,0322≥=≤--=x x B x x x A ，则B A I =（ ） A ．]3,21[ B ．]1,21[ C ．]21,3[- D ．]3,2[2．欧拉公式θθθsin cos i e i +=把自然对数的底数e ，虚数单位i ，三角函数θcos 和θsin 联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”若复数z 满足i z i e i =⋅+)(π，则z =（ ）A ．1B ．22C ．23 D ．2 3．若实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥+-≥-+032304042y x y x y x ，则y x z -=2的最小值是（ ）A ．5-B ．4-C ．7D ．164．已知)(x f 为奇函数，当0<x 时，2)(ex ex f x -=-（e 是自然对数的底数），则曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程是（ ）A ．e ex y +-=B ．e ex y +-=C ．e ex y +-=D ．e ex y +-=5．若110tan 380cos =+οοm ，则m =（ ）A ．4B ．2C ．2-D ．4-6．已知函数)20,0)(tan()(πϕωϕω<<>+=x x f 的图象关于点)0,6(π成中心对称，且与直线y=a 的两个相邻交点间的距离为2π，则下列叙述正确的是（ ） A ．函数的最小正周期为πB ．函数)(x f 图象的对称中心为))(0,6(Z k k ∈+ππC ．函数)(x f 的图象可由2tan =y 的图象向左平移6π得到 D ．函数)(x f 的递增区间为))(62,32(Z k k k ∈+-ππππ 7．《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何?”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b 和a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱青），将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为a+b ，宽为内接正接正方形的边长d ，由刘徽构造的图形还可以得到许多重要的结论，如图3．设D 为斜边BC 的中点，作直角三角形ABC 的内接正方形对角线AE ，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，则下列推理正确的是（ ）①由图1和图2面积相等得b a ab d +=； ②由AE≥AF 可得2222b a b a +≥+； ③由AD≥AE 可得b a b a 112222+≥+； ④由AD≥AF 可得ab b a 222≥+。

合肥市2020届高三第二次教学质量检测数学试题(理科)(考试时间：120分钟 满分：150分)第Ⅰ卷 (60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}2230A x x x =--≤，{}22x B x =≥，则A B =A.1 32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B.1 12⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.13 2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D.[]2 3， 2.欧拉公式cos sin i e i θθθ=+将自然对数的底数e ，虚数单位i ，三角函数sin θ、cos θ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”.若复数z 满足()i e i z i π+⋅=，则z =2323.若实数x ，y 满足约束条件240 40 3230 x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，，，则2z x y =-的最小值是 A.-5 B.-4 C.7 D.164.已知()f x 为奇函数，当0x <时，()2x f x e ex -=-(e 是自然对数的底数)，则曲线()y f x =在1x =处的切线方程是A.y ex e =-+B.y ex e =+C.y ex e =-D.1122y e x e e e ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭5.若cos803tan101m +=，则m =A.4B.2C.-2D.-46.已知函数()()tan f x x ωϕ=+(0 02πωϕ><<，)的图象关于点( 06π，)成中心对称，且与直线y a =的两个相邻交点间的距离为2π，则下列叙述正确的是A.函数()f x 的最小正周期为πB.函数()f x 图象的对称中心为 06k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()k Z ∈C.函数()f x 的图象可由tan 2y x =的图象向左平移6π得到D.函数()f x 的递增区间为2326k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，()k Z ∈7.《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b 和a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青).将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为a b +，宽为内接正方形的边长d .由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3.设D 为斜边BC 的中点，作直角三角形ABC 的内接正方形对角线AE ，过点A 作AF BC ⊥于点F ，则下列推理正确的是①由图1和图2面积相等得abd a b=+；②由AE AF ≥可得22+22a b a b+≥； ③由AD AE ≥可得22+2112a b a b≥+；④由AD AF ≥可得222a b ab +≥. A.①②③④ B.①②④ C.②③④ D.①③ 8.为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着A B C ，，三个农业扶贫项目进驻某村，对该村仅有的甲、乙、丙、丁四个贫困户进行产业帮扶.经过前期实际调研得知，这四个贫困户选择A B C ，，扶贫项目 A B C 选择意向贫困户甲、乙、丙、丁甲、乙、丙丙、丁择，则不同的选法种数有A.24种B.16种C.10种D.8种9.某几何体是由一个半球挖去一个圆柱形成的，其三视图如图所示.已知半球的半径为6，则当此几何体体积最小时，它的表面积等于A.24πB.()1833π+C.21πD.()1842π+10.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点D (3，0)的直线l 交抛物线C 于点A B ，，若13FA FB -=，则FA FB ⋅=A.-9B.-11C.-12D.2311.若关于x 的不等式22ln 4ax a x x ->--有且只有两个整数解，则实数a 的取值范围是A.(]2ln 3 2ln 2--，B.() 2ln 2-∞-，C.(] 2ln 3-∞-，D.() 2ln 3-∞-， 12.在三棱锥P ABC -中，二面角P AB C --、P AC B --和P BC A --的大小均等于3π，345AB AC BC =∶∶∶∶，设三棱锥P ABC -外接球的球心为O ，直线PO 与平面ABC 交于点Q ，则POOQ= A.14B.2C.3D.4第Ⅱ卷 (90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 第16题第一空2分，第二空3分. 把答案填在答题卡上的相应位置.13.若向量a 和b 满足22a a b =-=，1a b -=，则a b ⋅= .14.三人制足球(也称为笼式足球)以其独特的魅力，吸引着中国众多的足球业余爱好者.在某次三人制足球传球训练中，A 队有甲、乙、丙三名队员参加.甲、乙、丙三人都等可能地将球传给另外两位队友中的一个人.若由甲开始发球(记为第一次传球)，则第4次传球后．，球仍回到甲的概率等于 . 15.已知双曲线2222:1x y C a b-=(00a b >>，)的右焦点为点F ，点B 是虚轴的一个端点，点P 为双曲线C 左支上一个动点，若BPF ∆周长的最小值等于实轴长的4倍，则双曲线C 的渐近线方程为 .16.已知ABC ∆三个内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，()sin B A -，sin A ，sin C 成等差数列，则：(1)C = ；(2)tan tan AB= .三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，21a =，714S =，数列{}n b 满足221232n n n b b b b +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=.⑴求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；⑵若数列{}n c 满足()cos n n n c b a π=，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ．18.(本小题满分12分)在矩形ABCD 中，E F ，在边CD 上，BC CE EF FD ===，如图(1).沿BE AF ，将CBE ∆和DAF ∆折起，使平面CBE 和平面DAF 都与平面ABEF 垂直，如图(2).⑴试判断图(2)中直线CD 与AB 的位置关系，并说明理由； ⑵求平面ADF 和平面DEF 所成锐角二面角的余弦值.19.(本小题满分12分)已知椭圆C 的方程为22143x y +=，斜率为12的直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，点P (1，32)在直线l 的左上方．⑴若以AB 为直径的圆恰好经过椭圆C 的右焦点2F ，求此时直线l 的方程；⑵求证：PAB ∆内切圆的圆心在定直线1x =上.20.(本小题满分12分)某企业拟对某条生产线进行技术升级，现有两种方案可供选择：方案A 是报废原有生产线，重建一条新的生产线；方案B 是对原有生产线进行技术改造.由于受诸多不可控因素的影响，市场销售状态可能会发生变化.市场销售状态畅销 平销 滞销 市场销售状态概率(01p <<) 2p13p -p预期平均年利润 (单位：万元)方案A 700 400 -400 方案B600300-100⑵记该生产线升级后的产品(以下简称“新产品”)的年产量为x (万件)，通过核算，实行方案A 时新产品的年度总成本1y (万元)为32128101603y x x x =-++，实行方案B 时新产品的年度总成本2y (万元)为32213201003y x x x =-++.已知0.2p =，20x ≤，若按(1)的标准选择方案，则市场行情为畅销、平销和滞销时，新产品的单价t (元)分别为60，3604x -，60x -，且生产的新产品当年都能卖出去.试问：当x 取何值时，新产品年利润ξ的期望取得最大值？并判断这一年利润能否达到预期目标.21.(本小题满分12分)已知函数()sin x f x e x =.(e 是自然对数的底数) (1)求()f x 的单调递减区间；(2)记()()g x f x ax =-，若03a <<，试讨论()g x 在(0，π)上的零点个数.(参考数据：2 4.8e π≈)请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 4sin 129cos sin 55x y ϕϕϕϕ=-⎧⎪⎨=+⎪⎩(ϕ为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 3πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.(1)写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于P Q ，两点，M (2，0)，求MP MQ +的值.23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知不等式|1||35|x x m -+-<的解集为(32n ，). (1)求n 的值；(2)若三个正实数a b c ，，满足a b c m ++=.证明：2222222b c c a a b a b c+++++≥.合肥市2020届高三第二次教学质量检测数学试题(理科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.1 14.3815.2y x =± 16.2π，51-(第一空2分，第二空3分)三、解答题：本大题共6小题，满分70分.17.(本小题满分12分)解：(1)设{}n a 的公差为d ，由21a =，714S =得11172114a d a d +=⎧⎨+=⎩.解得112a =，12d =，所以2n n a =. ∵()212212322n n n nn b b b b ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==，∴()1212312n n n b b b b --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(2n ≥)，两式相除得2n n b =(2n ≥). 当1n =时，12b =适合上式.∴2n n b =. ………………………………5分(2)∵()cos 2cos 2n n n n n c b a ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴()()()23421222132cos 2cos 2cos 2cos 22cos 2cos 222n n n n T n ππππππ--=++++⋅⋅⋅++()()()()24622462=2cos 2cos 22cos 32cos 22212n nnn ππππ+++⋅⋅⋅+=-+-++-⋅()()()141444145nn +---+-==-+. ………………………………12分18.(本小题满分12分)解：(1)//CD AB .理由如下： 连结CD ，分别取AF BE ，的中点M N ，，连结DM CN MN ，，，由图(1)可得，ADF ∆与BCE ∆都是等腰直角三角形且全等，则DM AF ⊥，CN BE ⊥，DM CN =，如图.∵平面ADF ⊥平面ABEF ，交线为AF ，DM ⊂平面ADF ，DM AF ⊥，∴DM ⊥平面ABEF . 同理得，CN ⊥平面ABEF ，∴//DM CN . 又∵DM CN =，∴四边形CDMN 为平行四边形，∴//CD MN . ∵M N ，分别是AF BE ，的中点，∴//MN AB ，∴//CD AB . ………………………………5分 (2)在AB 边上取一点P ，使得AP DF =. 由图(1)可得，ADFP 为正方形，即AP FP =. ∵M 为AF 的中点，∴MP MA ⊥. 由(1)知，MD ⊥平面ABEF ，∴M A M P M D ，，两两垂直. 以M 点为坐标原点，直线M A M P M D ，，分别为坐标轴建立空间直角坐标系xyz M -，如图. 设2AF =，则D (0，0，1)，A (1，0，0)，P (0，1，0)，F (-1，0，0)，题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ABBCADABDACD∴FD =(1，0，1)，FE AP ==(-1，1，0). 设平面DFE 的一个法向量为()m x y z =，，. 由00FD m FE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得00x z x y +=⎧⎨-+=⎩.令1x =，则11y z ==-，，∴m =(1，1，-1).由平面ADF 是坐标平面xMz 可得：平面ADF 一个法向量为n =(0，1，0). 设平面ADF 与平面DFE 所成的锐角二面角为θ，则3cos cos m n m n m nθ⋅=<>==⋅，， ∴平面ADF 与平面DFE 所成锐二面角的余弦值为33. ………………………………12分19.(本小题满分12分) 解:(1)设直线l 的方程为12y x m =+.设A (11x y ，)，B (22x y ，). 由2214312x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得2230x mx m ++-=，则212123x x m x x m +=-=-，. 由()22430m m ∆=-->，解得22m -<<.又∵点P (31 2，)在直线l 的左上方，∴21m -<<. 若以AB 为直径的圆恰好经过椭圆C 的右焦点2F ，则220AF BF ⋅=，即()()1122110x y x y --⋅--=，，，化简得274110m m +-=，解得117m =-，或1m =(舍). ∴直线l 的方程为11127y x =-. ………………………………5分 (2)∵121212123331312222221111PA PB y y x m x m k k x x x x ------+=+=+----()12111111m x x ⎛⎫=+-+ ⎪--⎝⎭()()()1212122111x x m x x x x -+=+--++()221113mm m m +=+-++-222102m m m m --+=+=+-， ∴直线1x =平分APB ∠，即PAB ∆的内切圆的圆心在定直线1x =上. …………………………12分20.(本小题满分12分)解:(1)∵010210131p p p <<⎧⎪<≤⎨⎪≤-<⎩，解得103p <≤.()14004001200400400200E A p p p p =+--=-， ()1200300900100300200E B p p p p =+--=+，()()104E A E B p >⇒<<；()()14E A E B p =⇒=；()()1143E A E B p <⇒<≤. ∴当104p <<时，应选择方案A ；当1143p <≤时应选择方案B ；当14p =时，既可以选择方案A 也可以选择方案B . ……………………………5分(2)因为=0.2p ，根据(1)的结果，应选择方案A ，所以新产品的年度总成本为32128101603y x x x =-++. 设市场行情为畅销、平销和滞销时，新产品的年利润分别为1ξ，2ξ和3ξ，则1160x y ξ=-，213604x x y ξ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()3160x x y ξ=--，∴ξ的分布列为()()11130.4600.4600.2604E x y x x y x x y ξ⎡⎤⎛⎫=⨯-+⨯--+⨯--⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦322155016032x x x =-++-. ………………………………9分 设()322155016032f x E x x x ξ==-++-，020x <≤，∴()221550f x x x '=-++.()0010f x x '>⇒<<，()01020f x x '<⇒<<.∴()f x 在(0，10)上单调递增，在(]10 20，上单调递减， ∴当10x =时，()f x 取得最大值，即年产量为10万件时，()E ξ取得最大值， 此时()()max 10423.3f x f =≈(万元).由(1)知，预期平均年利润的期望()400200360E A p =-=(万元).因为423.3360>，所以在年产量为10万件的情况下，可以达到甚至超过预期的平均年利润.……………………………12分21.(本小题满分12分)解：(1)()sin x f x e x =，定义域为R . ()()sin cos 2sin 4x x f x e x x e x π⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭.由()0f x '<解得sin 04x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭，解得372244k x k ππππ+<<+(k Z ∈). ∴()f x 的单调递减区间为372 244k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，(k Z ∈). ………………………………5分(2)由已知()sin xg x e x ax =-，∴()()sin cos x g x e x x a '=+-.令()()h x g x '=，则()2cos x h x e x '=.∵()0x π∈，，∴当0 2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0h x '>；当2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0h x '<，∴()h x 在0 2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，即()g x '在0 2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减. ∵()01g a '=-，202g e a ππ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，()0g e a ππ'=--<.①当10a -≥，即01a <≤时，()00g '≥，∴()g x '在()0π，上的图象大致如右图，∴02x ππ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，，使得()00g x '=，∴当()00x x ∈，时，()0g x '>；当()0x x π∈，时，()0g x '<，ξ160x y -13604x x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ()160x x y --p0.4 0.40.2∴()g x 在()00x ，上单调递增，在()0x π，上单调递减. ∵()00g =，∴()00g x >.又∵()0g a ππ=-<，∴由零点存在性定理可得，此时()g x 在()0 π，上仅有一个零点. ②若13a <<时，()0g '=10a -<，又∵()g x '在0 2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，而202g e a ππ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，从而()g x '在()0 π，上图象大致如右图. ∴10 2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，，22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，使得()10g x '=，()20g x '=，且当()10x x ∈，、()2x x π∈，时，()0g x '<；当()12x x x ∈，时，()0g x '>.∴()g x 在()10x ，和()2x π，上单调递减，在()12x x ，上单调递增.∵()00g =，∴()10g x <. ∵2230222g e a e πππππ⎛⎫=->-> ⎪⎝⎭，∴()20g x >.又∵()0g a ππ=-<，由零点存在性定理可得，()g x 在()12x x ，和()2x π，内各有一个零点，即此时()g x 在()0 π，上有两个零点. 综上所述，当01a <≤时，()g x 在()0π，上仅有一个零点；当13a <<时，()g x 在()0π，上有两个零点. ………………………………12分22.(本小题满分10分)(1)曲线C 的参数方程3cos 4sin 129cos sin 55x y ϕϕϕϕ=-⎧⎪⎨=+⎪⎩消去参数ϕ得，曲线C 的普通方程为221259x y +=. ∵sin 33πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭3cos sin 230ρθρθ+-=，∴直线l 3230x y +-=. ………………………………5分(2)设直线l 的参数方程为1223x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，将其代入曲线C 的直角坐标方程并化简得276630t t --=，∴1212697t t t t +==-，.∴()21212123630243649MP MQ t t t t t t +=-+-=+………………………………10分23.(本小题满分10分)(1)由题意知，32为方程135x x m -+-=的根，∴391522m -+-=，解得1m =. 由1351x x -+-<解得，3724x <<，∴74n =. ………………………………5分 (2)由(1)知1a b c ++=，∴222222222b c c a a b bc ac ab a b c a b c +++++≥++. ()()()()22222222222222222221a b b c c a a b b c b c c a c a a b abc abc ⎡⎤=++=+++++⎣⎦，()()222122222abcab c bc a ca b a b c abc abc ≥++=++=， ∴2222222b c c a a b a b c +++++≥成立. ………………………………10分。

合肥市 2020 年高三第二次教学质量检测理科综合试题参考答案及评分标准第Ⅰ卷（每小题 6 分，共 126 分）题号 123456789 10答案 CADCBDACCB题号11 12 13 14 15 16 17 18 19 20答案DBC CBCDABCACBD题号 21答案CD第Ⅱ卷22． (7 分 ) （ 1）将气垫导轨调节水平（2 分） （ 2）②③④⑤；（1 分）（ 3） mgL ；1) d ) 2 d ) 2（各 1分）M2 m t 2t 1（ 4）气垫导轨没有水平且B 端偏低（备注：作答“由于阻力 ”不给分） （ 2 分）23． (8 分 ) （ 1）9.0? ；偏小（各 1分）（ 2）①如图所示（3 分） ②10.0（1 分）③并联； 0.05（各 1分）24.（ 14 分）（ 1）只有当开关 S 接 1 时回路中才有焦耳热产生，在导体棒上升过程，设回路中产生的焦耳 热为 Q ，根据能量守恒有1mv 02 mgh Q（2 分）23又R 1 : R 22 :3 ，因此电阻 R 产生的热量为Q 1Q（1 分）153 1mv 02Q 1mgh（1 分）5 ()2a ，由牛顿第二定律得（ 2）当开关 S 接 2 时，导体棒由静止开始下落，设导体棒下落的加速度为mgILBma（1 分）又 IQ C UCBL vCBLa（2 分）ttt高三理科综合试题答案 第 1 页（共 6页）联立得amg（1 分）CB 2 L 2m所以导体棒做初速度为0，加速度为 a 的匀加速直线运动，设导体棒回到出发点的速度大小为v ，由v 22ah（1 分）2mgh（1 分）得 v2 L 2 mCB（ 3）当导体棒向上运动时，由于所受安培力向下且不断减小，所以导体棒做加速度逐渐减小的减速运动；当导体棒开始向下运动时做初速度为0 的匀加速直线运动，由于所受安培力与重力反向，所以此过 程加速度小于 g（4 分）25.（ 18 分）（ 1）选水平向右为正方向，设甲的加速度为a 1 ，对甲，由牛顿第二定律1(2m) g ma 1（1 分） a 1 2m/s 2（1 分）设甲速度由 v 0 减到 0 过程通过的位移为 x 1 ，经历的时间为 t 1 。

2020年安徽省合肥市高考数学二模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设A ={x|x 2−x −2<0}，B ={y|y =3x }，则A ∩B =( )A. (0,+∞)B. (0,2)C. (−1,0)D. (−1,2)2. 欧拉是科学史上一位最多产的杰出数学家，为数学界作出了巨大贡献，其中就有欧拉公式：e ix =cosx +isinx(i 为虚数单位).它建立了三角函数和指数函数间接关系，被誉为“数学中的天桥”.结合欧拉公式，则复数z =3i +√2e π4i 的模为( )A. √3B. √5C. 2√2D. 23. 已知x ，y 满足约束条件{y ≤1x +y +4≥0x −y ≤0，则z =x +2y 的最小值是( )A. −8B. −6C. −3D. 34. 曲线y =xe x 在x =1处的切线方程为( )A. ex −y =0B. (1−e)x +y −1=0C. 2ex −y −e =0D. (1+e)x −y −1=05. (1−tan 215°)cos 215°的值等于( )A. 1−√32B. 1C. √32D. 126. 函数y =3tan x2的图象向左平移π3个单位得到的函数的一个对称中心是( )A. (π6,0)B. (2π3,0)C. (−2π3,0) D. (0,0)7. 已知log 2(a +4b)=2log 2(2√ab)，则a +b 的最小值是( )A. 2B. √2+1C. 94D. 528. 甲、乙、丙、丁4人排成一排，要求甲与乙相邻，甲与丙不相邻，则不同的排法种数为( )A. 6B. 8C. 10D. 129. 图为一个半球挖去一个圆锥的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A. (83+2√2)π B. (83+4√2)πC. (4+2√2)πD. (8+4√2)π10. 抛物线y 2=4x 的焦点为F ，其准线与x 轴的交点为N ，过点F 作直线与抛物线交于A ，B 两点，若NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则|AF|−|BF|= ( )A. 2B. 3C. 4D. 511. 若曲线C 1：y =x 2与曲线C 2：y =ae x (a >0)至少存在两个交点，则a 的取值范围为( )A. [8e 2,+∞)B. (0,8e 2]C. [4e 2,+∞)D. (0,4e 2]12. 三棱锥A −BCD 中，平面ABD 与平面BCD 的法向量分别为n 1，n 2，若〈n 1，n 2〉=π3，则二面角A −BD −C 的大小为( )A. π3B. 2π3C. π3或2π3D. π6或π3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知a ⃗ =(3,−4)，b ⃗ =(2,3)，则2|a ⃗ |−3a ⃗ ⋅b ⃗ = ______ ．14. 将甲、乙、丙三人随机排成一行，则甲、乙两人相邻的概率为 ． 15. 已知F 是双曲线C ：x 2−y 28=1的右焦点，P 是C 左支上一点，A(0,6√6)，当△APF 周长最小时，点P 的纵坐标为______ ．16. 在△ABC 中，已知A ，B ，C 成等差数列，且b =√3，则sinA+sinB+sinCa+b+c=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知等差数列{a n }满足a 1=3，a 4+a 5+a 6=45．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)求数列{1a n a n+1}的前n 项和T n ．18. 如图，在三棱柱A 1B 1C 1−ABC 中，AA 1⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，AB =AC =2，AA 1=4，点D是BC 的中点．(1)求证：AD ⊥C 1D ；(2)求平面ADC 1与平面ABB 1A 1所成二面角的正弦值．19. 作斜率为13的直线l 与椭圆C ：x 236+y 24=1交于A ，B 两点(如图所示)，且P(3√2,√2)在直线l 的左上方．(1)证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上； (2)若∠APB =60°，求△PAB 的面积．20.为了适应市场的变化，某企业准备投产一批特殊型号的新产品，已知该种产品的成本C与产量−3q2+20q+10(q>0)，该种产品的市场前景通过调研分析有如下结q的函数关系式为C=q33果：设L1，L2，L3分别表示市场情形好、中、差时的利润，随机变量ξq表示当产量为q而市场前景无法确定时的利润．(1)分别求利润L1，L2，L3关于产量q的函数；(2)当产量q确定时，求期望Eξq；(3)试问产量q取何值时，Eξq取得最大值．21.已知函数f(x)=e x−ex(e为自然对数的底数)．(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)如果x1≠x2，且f(x1)=f(x2)，证明：x1+x2<2．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =costy =sin 2t (t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρ(sinθ−acosθ)=12(a ∈R)． (1)写出曲线C 1的普通方程和直线C 2的直角坐标方程； (2)若直线C 2与曲线C 1有两个不同交点，求a 的取值范围．23. 已知函数f(x)=|x −1|+|2x +4|，f(x)≤M +3的解集为{x|−4≤x ≤2}。

x ．2020 届安徽省合肥市高三二模（理科）数学试卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分． 1．若集合 A ＝{x|x 2﹣2x ﹣3≤0}，B ＝{x|2x ≥ A ．B ．}，则 A ∩B ═（ ）C ．D ．[2，3]2．欧拉公式 e i θ＝cos θ+isin θ 把自然对数的底数 e ，虚数单位 i ，三角函数 cos θ 和 sin θ 联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”若复数 z 满足（e i π+i ）•z ＝i ，则|z|＝（ ）A ．1B ．C ．D ．3．若实数 x ，y 满足约束条件，则 z ＝2x ﹣y 的最小值是（ ）A ．﹣5B ．﹣4C ．7D ．164．已知 f （x ）为奇函数，当 x ＜0 时，f （x ）＝e ﹣﹣ex 2（e 是自然对数的底数），则曲线 y ＝f （x ）在x ＝1 处的切线方程是（）A ．y ＝﹣ex +eB ．y ＝ex +eC ．y ＝ex ﹣eD ．5．若 m cos80°+A ．46．已知函数＝1，则 m ＝（ ）B ．2C ．﹣2D ．﹣4的图象关于点成中心对称，且与直线 y ＝a 的两个相邻交点间的距离为，则下列叙述正确的是（ ）A ．函数 f （x ）的最小正周期为 πB ．函数 f （x ）图象的对称中心为C ．函数 f （x ）的图象可由 y ＝tan2x 的图象向左平移 得到D ．函数 f （x ）的递增区间为7．《九章算术》中“勾股容方”问题： 今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图 1，用对角线将长和宽分别为 b 和 a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青） 将三种颜色的图形进行重组，得到如图2 所示的矩形，该矩形长为 a +b ，宽为内接正方形的边长 d ．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图 3．设 D 为斜边 BC 的中点，作直角三角形 ABC 的内接正方形对角线 AE ，过点 A 作 AF ⊥BC 于点 F ，则下列推理正确的是且 y D 0 B①由图 1 和图 2 面积相等可得；②由 AE ≥AF 可得 ；③由 AD ≥AE 可得 ；④由 AD ≥AF 可得 a 2+b 2≥2ab ．A ．①②③④B ．①②④C ．②③④D ．①③8．为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着 A ，B ，C 三个农业扶贫项目进驻某村，对该村仅有的甲、乙、丙、丁四个贫困户进行产业帮扶经过前期实际调研得知，这四个贫困户选择 A ，B ，C 三个扶贫项目的意向如表：扶贫项目贫困户A甲、乙、丙、丁 B甲、乙、丙 C丙、丁若每个贫困户只能从自己已登记的选择意向项目中随机选取一项， 每个项目至多有两个贫困户选择，则不同的选法种数有（）A ．24 种B ．16 种C ．10 种D ．8 种9．某几何体是由一个半球挖去一个圆柱形成的，其三视图如图所示．已知半球的半径为 几何体的体积最小时，它的表面积为（ ）A ．24πB ．C ．21πD ．10．已知抛物线 C ：2＝4x 的焦点为 F ，过点 （3，）的直线交抛物线 C 于点 A ， ，若 ，则当此，则＝（ ）A ．﹣9B ．﹣11C ．﹣12D ．11．若关于 x 的不等式 ax ﹣2a ＞2x ﹣lnx ﹣4 有且只有两个整数解，则实数 a 的取值范围是（ ）A ．（2﹣ln3，2﹣ln2]B ．（﹣∞，2﹣ln2）C ．（﹣∞，2﹣ln3]D ．（﹣∞，2﹣ln3）12．在三棱锥 P ﹣ABC 中，二面角 P ﹣AB ﹣C 、P ﹣AC ﹣B 和 P ﹣BC ﹣A 的大小均等于，AB ：AC ：BC＝3：4：5，设三棱锥P﹣ABC外接球的球心为O，直线PO与平面ABC交于点Q，则＝A．B．2C．3D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.第16题第一空2分，第二空3分13．已知向量和满足||＝|﹣2|＝，|﹣|＝1，则•＝．14．三人制足球（也称为笼式足球）以其独特的魅力，吸引着中国众多的业余足球爱好者，在某次三人制足球传球训练中，A队有甲、乙、丙三名队员参加．甲、乙丙三人都等可能地将球传给另外两位队友中的一个人．若由甲开始发球（记为第一次传球），则第4次传球后，球仍回到甲的概率等于．15．已知双曲线C：的右焦点为点F，点B是虚轴的一个端点，点P为双曲线C左支上一个动点，若△BPF周长的最小值等于实轴长的4倍，则双曲线C的渐近线方程为．△16．已知ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA，sinB，sinC成等比数列，sin （B﹣A），sinA，sinC成等差数列，则：（1）C＝；（2）＝．三、解答题：本大题共5小题，满分60分17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2＝1，S7＝14，数列{b n}满足．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若数列{c n}满足c n＝b n cos（a nπ），求数列{c n}的前2n项和T2n．18．如图（1），在矩形ABCD中，E，F在边CD上，BC＝CE＝EF＝FD沿BE，AF将△CBE和△DAF 折起，使平面CBE和平面DAF都与平面ABEF垂直，如图（2）．（1）试判断图（2）中直线CD与AB的位置关系，并说明理由；（2）求平面ADF和平面DEF所成锐角二面角的余弦值．（B19．12分）已知椭圆C的方程为，斜率为的直线与椭圆C交于A，两点，点P在直线l的左上方．（1）若以AB为直径的圆恰好经过椭圆C的右焦点F2，求此时直线l的方程；（2）求证：△P AB的内切圆的圆心在定直线x＝1上．20．（12分）某企业拟对某条生产线进行技术升级，现有两种方案可供选择：方案A是报废原有生产线，重建一条新的生产线；方案B是对原有生产线进行技术改造，由于受诸多不可控因素的影响，市场销售状态可能会发生变化．该企业管理者对历年产品销售市场行情及回报率进行了调研，编制出如表：市场销售状态市场销售状态概率（0＜p＜1）畅销2p平销1﹣3p滞销p预期平均年利润（单位：万元）方案A方案B700600400300﹣400﹣100（（1）以预期平均年利润的期望值为决策依据，问：该企业应选择哪种方案？（2）记该生产线升级后的产品（以下简称“新产品）的年产量为x （万件），通过核算，实行方案 A 时新产品的年度总成本 y 1（万元）为 y 1 ＝+10x+160，实行方案 B 时新产品的年度总成本y 2 （万元）为 y 2 ＝+20x+100．已知 p ＝0.2，x ≤20．若按（1）的标准选择方案，则市场行情为畅销、平销和滞销时，新产品的单价 t （元）分别为 60，60﹣ x ，60﹣x ，且生产的新产品当年都能卖出去试问：当 x 取何值时，新产品年利润的期望取得最大值？并判断这一年利润能否达到预期目标．21．（12 分）已知函数 f （x ）＝e x sinx （e 是自然对数的底数）．（1）求 f （x ）的单调递减区间；（2）记 g （x ）＝f （x ）﹣ax ，若 0＜a ＜3，试讨论 g （x ）在（0，π）上的零点个数．（参考数据 ）请考生在第 22、23 题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.[选修 4-4：坐标系与参数方程]22．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （φ 为参数）．以坐标原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为．（1）曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； 2）若直线 l 与曲线 C 交于P ，Q 两点，M （2，0），求|MP|+|MQ |的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|x﹣1|+|3x﹣5|＜m的解集为足a+b+c＝m，证明：．（1）求n的值；（2）若三个正实数a，b，c满．2020年安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵，∴．故选：A．【点评】本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，指数函数的单调性，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．【分析】由已知可得e iπ＝﹣1，再把（e iπ+i）•z＝i变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，结合复数模的计算公式求解．【解答】解：由e iθ＝cosθ+isinθ，得e iπ＝cosπ+isinπ＝﹣1，则由（e iπ+i）•z＝i，得z＝，∴|z|＝．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．3．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最小值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由z＝2x﹣y，得y＝2x﹣z，平移直线y＝2x﹣z，由图象可知当直线y＝2x﹣z经过点A（0，4）时，直线y＝2x﹣z的截距最大，此时z最小．此时z的最小值为z＝0×2﹣4＝﹣4，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法．4．【分析】根据条件求出f（x）在x＜0时的解析式，然后求出其导数，再求出f（x）在x＝1处的切线斜率f'（1），进一步得到其切线方程．x ．【解答】解：∵f （x ）为奇函数，当 x ＜0 时，f （x ）＝e ﹣﹣ex 2， ∴当 x ＞0 时，f （x ）＝﹣e x +ex 2，∴此时 f'（x ）＝）＝﹣e x +2ex ， ∴f （x ）在 x ＝1 处的切线斜率 k ＝f'（1）＝e ，又 f （1）＝0， ∴f （x ）在 x ＝1 处的切线方程为 y ＝ex ﹣e ． 故选：C ．【点评】本题考查了函数与导数的综合应用和利用导数研究曲线上某点切线方程，考查化归与转化 的数学思想，属基础题．5 【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 sin20°m ＝2sin20°，进而可求 m 的值．【解答】解：∵m cos80°+＝1，∴m sin10°+＝1，可得 sin10°cos10°m+sin10°﹣cos10°＝0，∴ sin20°m ＝2sin20°，∴ m ＝2，解得 m ＝4．故选：A ．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想， 属于基础题．6．【分析】根据题意求出周期，参数，然后根据函数的性质判断选项．【解答】解：∵直线 y ＝a 的两个相邻交点间的距离为，∴函数 f （x ）的最小正周期为∴，，A 错，∵图象关于点 成中心对称，∴2×∴φ＝+φ＝．，k ∈Z ，∴函数 f （x ）图象的对称中心为（∴f （x ）＝tan （2x +），+ ，0），k ∈Z ，B 错；∴函数 f （x ）的图象可由 y ＝tan2x 的图象向左平移∵﹣+k π＜2x + ＜ +k π，∴函数 f （x ）的递增区间为故选：D ．得到，C 错；，D 对．．【点评】本题考查三角函数的性质，属于中档题．7．【分析】根据题意求出 AD ，AE ，AF ，然后可判断②③④对，根据面积相等，可判断①对．【解答】解：由图 1 和图 2 面积相等 ab ＝（a +b ）d ，可得由题意知图 3 面积为，AF ＝，AD ＝ ，，①对；图 3 设正方形边长为 x ，由三角形相似，，解之得 x ＝ ，则 AE ＝ ；可以化简判断②③④对， 故选：A ．【点评】本题考查根据图形，证明一些不等式，属于中等题． 8．【分析】根据题意，以选 C 项目的户数 2，1，0 为标准分为 3 类，每一类中再去考虑 A ，B 两项目的选项情况，用列举的方法找出每一类的人数，再相加即可． 【解答】解：以选 C 项目的户数 2，1，0 为标准分为 3 类， （1）C 项 2 户，有 4 种选法；（2）C 项 1 户，若是丁有 6 种选法，若是丙有 3 种选法，共有 9 种选法； （3）C 项 0 户，有 3 种选法．则由加法原理共有 4+9+3＝16 种， 故选：B ．【点评】本题考查分类计数原理的运用，关键是以选 C 项的户数有 3 种情况，进而确定分类的方法． 9 【分析】设半球的内接圆柱底面半径为 r ，高为 h ；写出几何体的体积，利用导数求出体积的最小值 以及对应的 h 和 r 的值，再求该几何体的表面积．【解答】解：设半球的内接圆柱底面半径为 r ，高为 h ； 则球的半径为 R ＝ ，且 r 2+h 2＝6；此时几何体的体积为 V ＝V半球﹣V圆柱＝ • π• ﹣πr 2h ＝4 π﹣π（6﹣h 2）h ＝（h 3﹣6h +4 ）π；设 f （h ）＝h 3﹣6h +4 ，h ∈（0， ）， 则 f ′（h ）＝3h 2﹣6，令 f ′（h ）＝0，解得 h ＝ ；所以 h ∈（0， ）时，f ′（h ）＜0，f （h ）单调递减； h ∈（ ， ）时，f ′（h ）＞0，f （h ）单调递增；所以 h ＝ 时，f （h ）取得最小值为 f （ ）＝2 ﹣6 此时圆柱的底面半径为 2，高为 ；+4 ＝4 ﹣4 ．所以该几何体的表面积为 S ＝ •4π故选：D ．+π +2π•2• ＝（18+4 ）π．．【点评】本题考查了利用三视图求几何体体积与表面积的应用问题，也考查了运算求解能力，是中 档题．10 ．【 分 析 】 设 直 线 AB 方 程 为 x ＝ my +3 ， 点 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）． 由⇒．联立，可得 y 2﹣4my ﹣12＝0．利用韦达定理可得 x 1x 2＝9，x 1+x 2＝7．即可得【解答】解：设直线 AB 方程为 x ＝my +3 点 A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）∵ ，∴ ．⇒联立，可得 y 2﹣4my ﹣12＝0．∴y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣12．的值．∵，∴x 1x 2＝9，∴x 1+x 2＝7．则＝（x 1﹣1）（x 2﹣1）+y 1y 2（x 2﹣1）+y 1y 2＝x 1x 2﹣（x 1+x 2）+1+y 1y 2＝﹣9．故选：A ．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查了计算能力，属于中档题． 11 【分析】设 g （x ）＝2x ﹣lnx ﹣4，h （x ）＝ax ﹣2a ，画出图象，讨论当 a ≤0 时，当 a ＞0 时，数形 结合即可得答案．【解答】解：由题意可知，ax ﹣2a ＞2x ﹣lnx ﹣4， 设 g （x ）＝2x ﹣lnx ﹣4，h （x ）＝ax ﹣2a由 g ′（x ）＝2﹣ ＝．可知 g （x ）＝2x ﹣lnx ﹣4 在（0， ）上为减函数，在（ ，+∞）上为增函数，h （x ）＝ax ﹣2a 的图象恒过点（2，0），在同一坐标系中作出 g （x ），h （x ）的图象如图， 当 a ≤0 时，原不等式有且只有两个整数解；当 a ＞0 时，若原不等式有且只有两个整数 x 1，x 2，使得 f （x 1）＞0，且 f （x 2）＞0，则 ，即 ，解得 0＜a ≤2﹣ln3， 综上可得 a ≤2﹣ln3， 故选：C ．【点评】本题考查函数图象与方程的解的关系，考查分类讨论思想和数形结合，属于中档题．12．【分析】如图所示，可得，OM∥PN，Q，M，N三点共线，则，故只需求出OM的长即可进一步得出答案，而在△ABC中，解三角形易求得，再利用OP＝OB，建立关于OM长的方程，解方程得到OM的长，进而得解．【解答】解：依题意，点P在平面ABC内的射影为三角形ABC内切圆的圆心N，设内切圆的半径为r，则，解得r＝1，又二面角P﹣AB﹣C、P﹣AC﹣B和P﹣BC﹣A的大小均等于，故，设△ABC的外接圆圆心为M，易知OM⊥平面ABC，又PN⊥平面ABC，故OM∥PN，则点O，M，P，N四点共面，且平面ABC∩平面OMPN＝MN，又Q在平面APC内，且Q在平面OMPN内，∴Q在MN上，即Q，M，N三点共线；现在研究NM的长度，如图，易知，，故，显然，设OM＝x，由OP＝OB，即解得，∴，∴．可知，，【．故选：D ．【点评】本题是对外接球，二面角以及直线与平面位置关系的综合考查，考查空间想象能力，逻辑 推理能力，运算求解能力，属于难题．二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.第 16 题第一空 2 分，第二空 3 分.把答案填 在答题卡上的相应位置. 13．【分析】把所给向量的模长平方，整理即可求得结论．【解答】解：∵向量 和 满足| |＝| ﹣2 |＝，| ﹣ |＝1，∴﹣4﹣2++4 ＝2；①＝1，②＝2，③联立①②③可得： • ＝1．故答案为：1．【点评】本题考查两个向量的数量积的定义，向量的模的定义和求法． 14． 分析】利用列举法求出所有的传球方法共有多少种，找出第 4 球恰好传回给甲的情况，由此能求 出经过 4 传球后，球仍在甲手中的概率． 【解答】解：所有传球方法共有：甲→乙→甲→乙→甲；甲→乙→甲→乙→丙；甲→乙→甲→丙→甲；甲→乙→甲→丙→乙； 甲→乙→丙→甲→乙；甲→乙→丙→甲→丙；甲→乙→丙→乙→甲；甲→乙→丙→乙→丙； 甲→丙→甲→乙→甲；甲→丙→甲→乙→丙；甲→丙→甲→丙→甲；甲→丙→甲→丙→乙； 甲→丙→乙→甲→乙；甲→丙→乙→甲→丙；甲→丙→乙→丙→乙；甲→丙→乙→丙→乙甲．则共有 16 种方法．第 4 球恰好传回给甲的有 6 情况，∴经过 4 次传球后，球仍在甲手中的概率是 p ＝．故答案为：【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用． 15 【分析】由题意求得 B ，F 的坐标，设出 F'，运用双曲线的定义可得|PF|＝|PF'|+2△a ，则 BPF 的周长为|PB|+|PF|+|BF|＝|PB|+|PF'|+2a +，运用三点共线取得最小值，可得 a ，b ，c 的关系式，由 a ，b ，c 的关系，推出 a 、b 的关系，然后求解渐近线方程．【 （【解答】解：由题意可得 B （0，b ），F （c ，0），设 F'（﹣c ，0）， 由双曲线的定义可得|PF|﹣|PF'|＝2a ， |PF|＝|PF'|+2a ，|BF|＝|BF'|＝，则△BPF 的周长为|PB|+|PF|+|BF||＝|PB|+|PF'|+2a +|BF'| ≥2|BF'|+2a ，当且仅当 B ，P ，F'共线，取得最小值，且为 2a +2由题意可得 8a ＝2a +2，即 9a 2＝b 2+c 2＝2b 2+a 2，即 4a 2＝b 2，可得，所以双曲线的渐近线方程为：y ＝±2x ． 故答案为：y ＝±2x ．，【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用双曲线的定义和转化为三点共线取得最小 值，考查运算能力，属于中档题．16． 分析】 1）由已知结合等比数列的性质及等差数列的性质，和差角公式和余弦定理进行化简可求C ；（2）结合（1）及同角基本关系进行化简可求． 【解答】解：（1）由 sinA ，sinB ，sinC 成等比数列，可得 sin 2B ＝sinAsinC ， 即 b 2＝ac ， ∵sin （B ﹣A ），sinA ，sinC 成等差数列，2sinA ＝sin （B ﹣A ）+sinC ＝sin （B ﹣A ）+sin （B +A ）＝2sinBcosA ， 所以 sinA ＝sinBcosA ，所以 a ＝b∴a 2+b 2＝c 2，∴C ＝，即 b 2+c 2﹣a 2＝2ac ＝2b 2，（2）由（1）可得 A +B ＝，且 sinA ＝sinBcosA ＝cos 2A ＝1﹣sin 2A ，解可得，sinA ＝ ＝cosB ，cosA ＝sinB ＝，． （ （∴＝ ＝ ＝ ．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角基本关系在求解三角形中的应用，属于中档试 题．三、解答题：本大题共 5 小题，满分 60 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17 【分析】 1）设等差数列{a n }的公差设为 d ，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求 a n ；再将中的 n 换为 n ﹣1，两式相除可得 b n ；（2）求得 c n ＝b n cos （a n π）＝2n cos （ n π），结合等比数列的求和公式，可得所求和． 【解答】解：（1）设等差数列{a n }的公差设为 d ，由 a 2＝1，S 7＝14，可得 a 1+d ＝1，7a 1+21d ＝14，解得 a 1＝d ＝ ，则 a n ＝ + （n ﹣1）＝ n ；由，可得 b 1•b 2•b 3…b n ﹣1＝2（n ≥2），两式相除可得 b n ＝2n （n ≥2），对 n ＝1 也成立， 故 b n ＝2n （n ∈N*）；（2）c n ＝b n cos （a n π）＝2n cos （ n π）， 则 T 2n ＝2cos+22cos π+23cos+24cos （2π）+…+22n ﹣1cos （ （2n ﹣1）π）+22n cos （n π）＝22cos π+24cos （2π）+…+22n cos （n π）＝﹣ 22+24﹣26+…+（﹣ 1）n •22n ＝＝﹣．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和，考查 方程思想和运算能力，属于中档题．18．【分析】 1）连结 CD ，分别取 AF ，BE 的中点 M ，N ，连结 DM ，CN ，MN ，推导出 DM ⊥AF ，CN ⊥BE ，DM ＝CN ，从而 DM ⊥平面 ABEF ，同理得 CN ⊥平面 ABEF ，进而 DM ∥CN ，由 DM ＝ CN ，得四边形 CDMN 为平行四边形，从而 CD ∥MN ，推导出 MN ∥AB ，由此能证明 CD ∥AB ． （2）在 AB 边上取一点 P ，使得 AP ＝DF ，推导出 MA ，MP ，MD 两两垂直，以 M 为坐标原点，直 线 MA ，MP ，MD 分别为坐标轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面 ADF 和平面 DEF 所成锐角二面角的余弦值． 【解答】解：（1）CD ∥AB ，理由如下：连结 CD ，分别取 AF ，BE 的中点 M ，N ，连结 DM ，CN ，MN ， 由图（△1）可得， ADF 与△BCE 都是等腰直角三角形且全等， 则 DM ⊥AF ，CN ⊥BE ，DM ＝CN ，如图，∵平面 ADF ⊥平面 ABEF ，交线为 AF ，DM ⊂平面 ADF ，DM ⊥AF ，（∴DM ⊥平面 ABEF ，同理得 CN ⊥平面 ABEF ，∴DM ∥CN ，∵DM ＝CN ，∴四边形 CDMN 为平行四边形，∴CD ∥MN ， ∵M ，N 分别为 AF ，BE 的中点，∴MN ∥AB ， ∴CD ∥AB ．（2）在 AB 边上取一点 P ，使得 AP ＝DF ， 由图（1）得 ADFP 为正方形，即 AP ＝FP ， ∵M 为 AF 中点，∴MP ⊥MA ，由（1）知 MD ⊥平面 ABEF ，∴MA ，MP ，MD 两两垂直，以 M 为坐标原点，直线 MA ，MP ，MD 分别为坐标轴，建立空间直角坐标系， 设 AF ＝2，则 D （0，0，1），A （1，0，0），P （0，1，0），F （﹣1，0，0），∴＝（1，0，1）， ＝ ＝（﹣1，1，0），设平面 DFE 的一个法向量为 ＝（x ，y ，z ），由，得 ，取 x ＝1，得 ＝（1，1，﹣1），平面 ADF 的法向量 ＝（0，1，0），设平面 ADF 和平面 DEF 所成锐角二面角为 θ，则平面 ADF 和平面 DEF 所成锐角二面角的余弦值为：cos θ＝ ＝ ．【点评】本题考查二直线位置关系的判断与求法，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、 线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．【分析】 1）由题意设直线 AB 的方程，与椭圆联立求出两根之和，两根之积，判别式大于 0，求出参数的范围，再有 AB 为直径的圆恰好经过椭圆 C 的右焦点 F 2，可得＝0，可得参数的值，进而求出直线 AB 的方程；（2）由题意可计算出 k PA •k PB ＝0，可证得直线 x ＝1 平分∠APB ，即证明了△P AB 的内切圆的圆心 在定直线 x ＝1 上【解答】解（1）设 l 的方程为 y ＝ x +m ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立直线与椭圆的方程，整理可得 x 2+mx +m 2﹣3＝0，则 x 1+x 2＝﹣m ，x 1x 2＝m 2△m 2 • （﹣3，＝ ﹣4（m 2﹣3）＞0，解得﹣2＜m ＜2，又因为点 P （1， ）在直线的左上方，所以﹣2＜m ＜1，若以 AB 为直径的圆恰好经过椭圆 C 的右焦点 F 2，则﹣y 2）＝0，＝0，即（1﹣x 1，﹣y 1）（1﹣x 2，化简可得 7m 2+4m ﹣11＝0，解得 m ＝﹣所以直线 l 的方程为：y ＝ ﹣ ；（ 2 ） 证 明 ： 因 为 k P A • k PB ＝，或 m ＝1（舍），+ ＝ + ＝ 1+ （ 1 ﹣ m ）（+ ）＝1+（1﹣m ）＝1+（1﹣m ） ＝0，所以直线 x ＝1 平分∠APB ，即证明了△P AB 的内切圆的圆心在定直线 x ＝1 上．【点评】本题考查以线段的端点为直径的圆过定点的性质，及直线与椭圆的综合，属于中档题． 20．【分析】 1）根据概率的性质，求出 p 的范围，再求出 E （A ），E （B ），比较判断即可； （2）因为 p ＝0.2，根据（1），选择方案 A ，年产量为 x （万件）与新产品的年度总成本的关系为：y 1＝+10x+160，求出新产品年利润的随机变量 X 的分布列和数学期望，构造函数 f （x ），利用导数法求出函数的最大值，得出结论． 【解答】解：（1）根据概率的性质，，得 0＜p，若 E （A ）＞E （B ），400﹣200p ＞300+200p ，得 0＜p ＜；若 E （A ）＝E （B ），p ＝ ；若 E （A ）＜E （B ）， ＜p；故当 0＜p ＜ 时，选择方案 A ；若 p ＝ ，则选择方案 A 或 B ；若 ＜p，则选择方案 B ；（2）因为 p ＝0.2，根据（1），选择方案 A ，年产量为 x （万件）与新产品的年度总成本的关系为： y 1＝+10x+160，设 市 场 行 情 为 畅 销 、 平 销 和 滞 销 时 ， 新 产 品 的 年 利 润 分 别 为60x ﹣ y 1 ，（ ，，新产品年利润的随机变量 X 的分布列为：XPE （X ）＝＝60x ﹣y 10.4 0.4，（60﹣x ）x ﹣y 10.2+0.2[（60﹣x ）x ﹣y 1]设 f （x ）＝，x ∈（0，20]，由 f'（x ）＝﹣2x 2+15x +50＝﹣（2x +5）（x ﹣10）， 当 x ∈（0，10）时，f'（x ）＞0，函数递增； 当 x ∈（10，20）时，f'（x ）＜0，函数递减，故当 x ＝10（万件）时，函数 f （x ）有最大值 f （10）≈423.3（万元）， 由（1）知，E （A ）＝400﹣200p ＝360（万元）＜423.3（万元）， 故当年产量为 10 万件时，可达到或超过预期的平均年利润．【点评】本题考查了概率的性质，离散型随机变量求分布列和数学期望，用函数求导求最大值，考 查运算能力和实际应用能力，中档题．21．【分析】 1）由 f ′（x ）＝e x （sinx+cosx ）＝sin e x （x +）＜0，可得 sin （x + ）＜0，利用正弦函数的单调性质即可解得 f （x ）的单调递减区间；（2）由于 g ′（x ）＝e x （sinx+cosx ）﹣a ，令 h （x ）＝g ′（x ），可求得 h （x ）在（0， ）上单调递增，在（上的零点个数．，π）上单调递减，再对 a 分 0＜a ≤1，1＜a ＜3 两类讨论，求得 g （x ）在（0，π）【解答】解：（1）f （x ）＝e x sinx 的定义域为 R ，f ′（x ）＝e x （sinx+cosx ）＝ sin e x （x + ），由 f ′（x ）＜0，得 sin （x +）＜0，解得 2k π+＜x ＜ +2k π（k ∈Z ），∴f （x ）的单调递减区间（2k π++2k π）（k ∈Z ），（2）由已知得 g （x ）＝e x sinx ﹣ax ，∴g ′（x ）＝e x （sinx+cosx ）﹣a ，令 h （x ）＝g ′（x ），则 h ′（x ）＝2e x cosx ，∵x ∈（0，π），∴x ∈（0， ）时，h ′（x ）＞0，x ∈（ ，π）时，h ′（x ）＜0，∴h （x ）在（0，）上单调递增，在（ ，π）上单调递减．∵g ′（0）＝1﹣a ，g ′（π）＝﹣e π﹣a ＜0，①当 1﹣a ≥0，即 0＜a ≤1 时，g ′（0）≥0，∴g ′（ ）＞0，（∴∃x 0∈（，π），使得 g ′（x 0）＝0，∴当 x ∈（0，x 0），g ′（x 0）＞0，当 x ∈（x 0，π）时，g ′（x ）＜0，∴g （x ）在（0，x 0）上单调递增，在（x 0，π）单调递减； ∵g （0）＝0，∴g （x 0）＞0，又∵g （π）＝﹣a π＜0，∴由零点存在定理得，此时 g （x ）在（0，π）上仅有一个零点， ②若 1＜a ＜3 时，g ′（0）＝1﹣a ＜0，又∵g ′（x ）（0，）上单调递增，在（ ，π）上单调递减，又 g ′（ ）＝ ﹣a ＞0，∴∃x 1∈（0，），x 2∈（ ，π），使得 g ′（x 1）＝0，g ′（x 2）＝0，且当 x ∈（0，x 1）、x ∈（x 2，π）时，g ′（x ）＜0，当 x ∈（x 1，x 2）时，g ′（x ）＞0，∴g （x ）在∈（0，x 1）和（x 2，π）上单调递减，在（x 1，x 2）单调递增．∵g （0）＝0，∴g （x 1）＜0，∵g （）＝ ﹣a ＞﹣ ＞0，∴g （x 2）＞0，又∵g（π）＝﹣a π＜0，由零点存在定理可得，g （x ）在（x 1，x 2）和（x 2，π）内各有一个零点， 即此时 g （x ）在（0，π）上有两个零点，综上所述，当 0＜a ≤1 时，g （x ）在（0，π）上仅有一个零点， 当 1＜a ＜3 时，g （x ）在（0，π）上有两个零点．【点评】本题考查利用导数判断函数的单调性、求极值、恒成立问题等知识点，考查等价转化思想、 分类讨论思想的综合运用，涉及构造函数、多次求导等方法，有一定综合性，考查学生的分析能力 和逻辑推理能力，属于难题．请考生在第 22、23 题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题 目计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.[选修 4-4：坐标系与参数方 程]22．【分析】 1）曲线 C 的参数方程，利用平方关系消去参数 φ 得，可得曲线 C 的普通方程．由，可得 ，利用互化公式可得：直线 l 的直角坐标方程．（2）设直线 l 的参数方程为（t 为参数），将其代入曲线 C 的直角坐标方程并化简得 7t 2﹣6t ﹣63＝0，利用根与系数的关系、弦长公式即可得出．【解答】解：（1）曲线 C 的参数方程 消去参数 φ 得，曲线 C 的普通方程（为．∵，∴，∴直线 l 的直角坐标方程为．………………………………（5 分）（2）设直线 l 的参数方程为（t 为参数），将其代入曲线 C 的直角坐标方程并化简得 7t 2﹣6t ﹣63＝0，∴∵点 M （2，0）在直线 l 上， ∴．．………………………………（10 分）【点评】本题考查了极坐标参数方程与普通方程的互化、根与系数的关系、弦长公式、平方关系， 考查了推理能力与计算能力，属于中档题． [选修 4-5：不等式选讲]23．【分析】 1）依题意， 为方程|x ﹣1|+|3x ﹣5|＝m 的根，代入可解得 m ＝1，进而求得不等式的解集为（2 ，由此求得） 由 ；（ 1 ） 得 a +b +c ＝ 1 ， 而，由此得证．【解答】解：（1）由题意知， 为方程|x ﹣1|+|3x ﹣5|＝m 的根，∴，解得 m ＝1，由|x ﹣1|+|3x ﹣5|＜1 解得，∴；（2）证明：由（1）知，a +b +c ＝1，∴＝＝，∴成立．【点评】本题考查绝对值不等式的解法以及不等式的证明，考查推理能力及计算能力，属于基础题．。