高中数学同步题库含详解3函数的基本性质

1例2.已知函数f(x)2x 2x a ,x[1, )■2020年高考理科数学《函数的定义与性质》题型归纳与训练【题型归纳】题型一求函数的定义域、值域A--------------------------------------- ------------------------------------------------------------例 1 ( 1)函数 f(x) —In C ，x 2 3x 2 . x 2 3x 4)的定义域为()xA.(, 4)[2,)；B. ( 4,0) (0,1) ； C. [, 4,0)(0,1]Q . [, 4,0)(0,1)(2)设 fxIg 2x，则 f x f 2的定义域为()2x2xA. 4,0 0,4；B.4, 1 1,4 ； C. 2,11,2 ；D.4, 22,4【答案】( 1)D ； (2) B【解析】(1)欲使函数f (x)有意义，必须并且只需x 2 3x 2 0 2x 3x 4-------------- --------------------- x [ 4,0) (0,1)，故应选择 Dx 2 3x 2 x 2 3x 4 0x 0【易错点】抽象函数的定义域【思维点拨】 如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x 的取值范围，实际操作时要注意：①分母不能为 0;②对数的真数必须为正；③偶次根式中被开方数应为非负数；④零指数幕中，底 数不等于0；⑤负分数指数幕中，底数应大于 0;⑥若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集 合的交集；⑦如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意 定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。

求复合函数定义域，即已知函数f (x)的定义为［a,b ］，则函数f ［g(x)］的定义域是满足不等式 a g(x) b 的x 的取值范围；一般地，若函数f ［g(x)］的定义域是［a,b ］， 指的是x ［a,b ］，要求f (x)的定义域就是x ［a,b ］时g(x)的值域。

完整版)高三函数的性质练习题及答案高三函数的性质练题一、选择题（基础热身）1.下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是()A。

y＝x^3B。

y＝ln|x|C。

y＝|x|D。

y＝cosx2.已知f(x)是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋2f(3)，f(－1)＝2，则f(2011)＝()A。

1B。

2C。

3D。

43.函数f(x)＝(2x+1)/(x－1)在[1,2]的最大值和最小值分别是()A。

3，1B。

1,0C。

3，3D。

1，34.若函数f(x)＝(2x+1)(x－a)为奇函数，则a＝()A。

2B。

3C。

4D。

1能力提升5.已知函数f(x)＝(a－3)x＋5(x≤1)，2a(x>1)，则a的取值范围是()A。

(0,3)B。

(0,3]C。

(0,2)D。

(0,2]6.函数y＝f(x)与y＝g(x)有相同的定义域，且都不是常值函数，对于定义域内的任何x，有f(x)＋f(－x)＝2f(x)，g(x)·g(－x)＝1，且当x≠0时，g(x)≠1，则F(x)＝2f(x)/(g(x)－1)的奇偶性为()A。

奇函数非偶函数B。

偶函数非奇函数C。

既是奇函数又是偶函数D。

非奇非偶函数7.已知函数f(x)＝ax＋log_a(x)(a＞0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log_a(2)＋6，则a的值为()A。

2B。

4C。

1/2D。

1/48.已知关于x的函数y＝log_a(2－ax)在[0,1]上是减函数，则a的取值范围是()A。

(0,1)B。

(1,2)C。

(0,2)D。

[2，＋∞)9.已知函数f(x)＝sin(πx)(≤x≤1)，log_2(x)(x>1)，若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是()A。

(1,2010)B。

(1,2011)C。

(2,2011)D。

[2,2011]二、填空题10.函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝f(x)/(1－f(x))，若f(1)＝－5，则f[f(5)]＝________.解：f(3)=f(1+2)=f(1)/(1-f(1))=5/6f(5)=f(3+2)=f(3)/(1-f(3))=-5f[f(5)]=f(-5)/(1-f(-5))=-5/611.f(x)是连续的偶函数，且当x>0时f(x)是单调函数，则满足f(x)＝f(x+3)的所有x之和为________.解：因为f(x)是偶函数，所以f(0)=f(3)，f(1)=f(2)，f(4)=f(7)，f(5)=f(6)，所以要求的是x使得f(x)=f(x+3)的所有情况下的x之和。

高中同步教材的练习题及讲解# 高中数学同步练习题及讲解## 第一章：函数基础### 练习题1：函数的概念与性质1. 题目：给定函数 \(f(x) = 3x^2 - 2x + 1\)，求其在 \(x = 2\)时的值。

2. 题目：判断函数 \(g(x) = \frac{1}{x}\) 是否具有奇偶性，并说明理由。

### 练习题2：函数的单调性1. 题目：证明函数 \(f(x) = x^3\) 在整个实数域上是单调递增的。

2. 题目：若函数 \(h(x) = -x^2 + 4x - 3\) 在区间 \([1, 3]\) 上单调递减，求其在该区间的最小值。

### 讲解#### 函数的概念与性质1. 解答：将 \(x = 2\) 代入 \(f(x) = 3x^2 - 2x + 1\)，得 \(f(2) = 3 \times 2^2 - 2 \times 2 + 1 = 12 - 4 + 1 = 9\)。

2. 解答：函数 \(g(x) = \frac{1}{x}\) 具有奇偶性。

当 \(x > 0\) 时，\(g(-x) = -\frac{1}{x} = -g(x)\)，满足奇函数的定义。

#### 函数的单调性1. 证明：对 \(f(x) = x^3\) 求导，得 \(f'(x) = 3x^2\)。

由于\(x\) 在整个实数域上，\(f'(x)\) 非负，故 \(f(x)\) 单调递增。

2. 解答：对 \(h(x) = -x^2 + 4x - 3\) 求导，得 \(h'(x) = -2x + 4\)。

令 \(h'(x) = 0\)，解得 \(x = 2\) 为对称轴。

由于 \(h(x)\) 是开口向下的抛物线，故在 \([1, 3]\) 上单调递减，最小值为\(h(3) = -9 + 12 - 3 = 0\)。

## 第二章：三角函数### 练习题1：三角函数的基本性质1. 题目：求 \(\sin(30^\circ)\) 和 \(\cos(60^\circ)\) 的值。

高一数学函数的基本性质试题答案及解析1.若函数是偶函数,则的增区间是．【答案】或【解析】由条件，得，即，所以原函数为，所以函数的增区间为．【考点】函数的奇偶性与单调性．2.（12分）已知是定义在R上的奇函数，当时，，其中且. （1）求的值；（2）求的解析式；【答案】（1）0（2）【解析】（1）因是奇函数，所以有，所以=0.……4分（2）当时，，，由是奇函数有，，……12分【考点】本小题主要考查利用函数的奇偶性求函数值和函数解析式的求取，考查学生对函数性质的应用能力.点评：对于分段函数，当已知一段函数的表达式要求另一段时，要利用函数的性质，并且要注意“求谁设谁”的原则.3.已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是A．B．C．D．【答案】A【解析】令，可得，令，得所以，令，得，同理令可得，所以【考点】本小题主要考查函数的奇偶性和抽象函数的求值问题，考查学生的运算求解能力.点评：解决抽象函数问题，常用的方法是“赋值法”.4.已知函数的定义域为，为奇函数，当时，，则当时，的递减区间是．【答案】【解析】因为为奇函数，所以的图象关于对称，当时，，所以当时，函数的单调递减区间为，因为图象关于对称，所以当时，的递减区间是.【考点】本小题主要考查函数图象和性质的应用，考查学生数形结合思想的应用和推理能力.点评：解决本小题的关键是分析出函数的图象关于对称，在关于对称的两个区间上单调性相同.5.（本小题12分）已知函数，（1）判断函数在区间上的单调性；（2）求函数在区间是区间［2,6］上的最大值和最小值.【答案】（1）函数是区间上的减函数；（2），【解析】（1）设是区间上的任意两个实数,且,则-==.由得,,于是,即.所以函数是区间上的减函数. ……6分（2）由（1）知函数函数在区间的两个端点上分别取得最大值与最小值,即当时,;当时,. ……12分【考点】本小题主要考查利用定义判断函数的单调性和利用函数的单调性求函数的最值，考查学生对定义的掌握和利用能力以及数形结合思想的应用.点评：利用单调性的定义判断或证明函数的单调性时，要把结果划到最简，尽量不要用已知函数的单调性判断未知函数的单调性.6.设偶函数的定义域为，当时是增函数，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为是偶函数，所以，而当时是增函数，所以.【考点】本小题主要考查函数奇偶性和单调性的综合应用，考查学生的逻辑推理能力.点评：函数的奇偶性和单调性经常结合考查，要熟练准确应用.7.已知是偶函数，且当时，，则当时，【答案】【解析】由题意知，当时，，所以，又因为是偶函数，所以，所以当时，.【考点】本小题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，考查学生的运算求解能力.点评：此类问题要注意求谁设谁.8.（本小题满分13分）已知定义域为的函数是奇函数。

专题3.3 函数的基本性质（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 函数的单调性增函数、减函数（1）增函数：若对于定义域I 内的某个区间()D D I ⊆上的任意两个自变量1x 、2x ，当12x x <时，都有()()12f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数；（2）减函数：若对于定义域I 内的某个区间()D D I ⊆上的任意两个自变量1x 、2x ，当12x x <时，都有()()12f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数.【典例1】函数2()23f x x mx =-+，当[2,)x ∈-+∞时是增函数，当(,2]x ∈-∞-时是减函数，则(1)f 等于（ ）A ．-3B ．13 C. 7 D ． 5 【答案】B【解析】由题意知函数()f x 的对称轴224b mx a =-==-，所以8m =-，所以(1)28313f =++=，故选B ．【典例2】（2019·陕西省咸阳市实验中学高一月考）给定下列函数：①()1f x x=②()f x x =- ③()21f x x =-- ④()()21f x x =-，满足“对任意()12,0,x x ∈+∞，当12x x <时，都有()()12f x f x >”的条件是（ ） A ．①②③ B ．②③④C ．①②④D ．①③④【答案】A 【解析】对任意()12,0,x x ∈+∞，当12x x <时，都有()()12f x f x >等价于函数()f x 在()0,+∞为减函数，由幂函数的性质可知()1f x x=在()0,+∞为减函数，故①正确；当()0,x ∈+∞时，()f x x x =-=-在()0,+∞为减函数，故②正确；根据一次函数的单调性，函数()21f x x =--在()0,+∞为减函数，故③正确；而函数()()21f x x =-在0,1上递减，在1,上递增，故④错误，则满足条件的有①②③，故选A.【典例3】判断函数2||()(1)x f x x x=-在(0,)+∞上的单调性，并证明你的结论. 【答案】单调递增，证明见解析. 【解析】 函数()()21x f x x x=-在()0,∞+上为增函数，证明如下： 当0x >时，()21f x x =-.任取120x x >>，则()()()()()()2222121212121211f x f x x x x x x x x x -=---=-=-+.120x x >>，120x x ∴->，120x x +>，()()120f x f x ∴->，即()()12f x f x >.因此，函数()y f x =在()0,∞+上为增函数. 【总结提升】1.利用基本初等函数的单调性与图象：只需作出函数的图象便可判断函数在相应区间上的单调性；2.性质法：（1）增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数，增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数；（2）函数()f x -与函数()f x 的单调性相反； （3）0k >时，函数()f x 与()k f x 的单调性相反（()0f x ≠）；0k <时，函数()f x 与()k f x 的单调性相同（()0f x ≠）.3.定义法：作差法与作商法（常用来函数单调性的证明，一般使用作差法）.*4.导数法：()0f x '≥在区间D 上恒成立，则函数()f x 在区间D 上单调递增；()0f x '≤在区间D 上恒成立，则函数()f x 在区间D 上单调递减.【注】分段函数的单调性要求每段函数都满足原函数的整体单调性，还需注意断点处两边函数值的大小比较.热门考点02 函数单调性的应用函数的最值（1）最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； ②存在0x I ∈，使得()0f x M =.那么，我们称M 是函数()y f x =的最大值.（2）最小值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足： ①对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥； ②存在0x I ∈，使得()0f x m =.那么，我们称m 是函数()y f x =的最小值.【典例4】（2018·湖南省衡阳市一中高一期中）已知定义在[0,)+∞上的单调减函数()f x ,若1(21)3f a f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭,则a 的取值范围是( )A ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．12,23⎛⎫⎪⎝⎭C ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】∵()f x 的定义域为[0,)+∞，∴210a -≥，即12a ≥. ∵()f x 为减函数，且1(21)3f a f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，∴1213a -<即23<a . ∴1223a ≤<. 故选:D【典例5】（2019·辽宁省高一期中）若函数()22,14,1x a x f x ax x ⎧-+≤-=⎨+>-⎩在R 上是单调函数，则a 的取值可能是（ ） A ．0 B ．1 C ．32D ．3【答案】BC 【解析】当1x ≤-时，()22f x x a =-+为增函数，所以当1x >-时，()4f x ax =+也为增函数，所以0124a a a >⎧⎨-+≤-+⎩，解得503a <≤.故选：BC【典例6】（2019·四川省高一期末）已知函数()()21f x x ax a R =-+-∈.（1）若函数()f x 在区间[)21,a -+∞上单调递减，求a 的取值范围； （2）若()f x 在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为14-，求a 的值.【答案】（1）23a ≥（2）a =【解析】（1）由题知函数()f x 的对称轴方程为2a x =， ()f x 在区间[)21,a -+∞上单调递减，[)21,,2a a ⎡⎫∴-+∞⊆+∞⎪⎢⎣⎭，则212a a -≥，解得23a ≥ ；（2）由（1）知函数()f x 的对称轴方程为2a x =，当122a ≤，即1a ≤时，函数()f x 在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， ()f x 最大值为1512244a f ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，解得2a =，与1a ≤矛盾； 当1122a <<，即12a <<时，函数()f x 在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值为211244a af ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，解得a =a =当12a ≥，即2a ≥时，函数()f x 在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()f x 最大值为()1124f a =-=-， 解得74a =，与2a ≥矛盾。

函数的性质一、题型选讲题型一 、 函数的奇偶性正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立.利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性.填空题，可用特殊值法解答，但取特值时，要注意函数的定义域．例1、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）函数()y f x =是R 上的奇函数，当0x <时，()2xf x =，则当0x >时，()f x =（ ） A ．2x - B ．2x - C ．2x --D ．2x例2、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知定义在[]5,12m m --上的奇函数()f x ，满足0x >时，()21x f x =-，则()f m 的值为（ ）A ．-15B ．-7C ．3D ．15例3、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）若函数()2ln 1f x a x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是奇函数，则使()1f x <的x 的取值范围为（ ） A ．11,1e e -⎛⎫- ⎪+⎝⎭B ．10,1e e -⎛⎫⎪+⎝⎭C ．1,11e e -⎛⎫⎪+⎝⎭D ．11,(1,)1e e -⎛⎫-⋃+∞ ⎪+⎝⎭例4、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数()()321f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x =题型二、函数的单调性已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.对于复合函数y ＝f [g (x )]，若t ＝g (x )在区间(a ，b )上是单调函数，且y ＝f (t )在区间(g (a )，g (b ))或者(g (b )，g (a ))上是单调函数，若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f [g (x )]为增函数；若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数.简称：同增异减.例5、（江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研）已知函数22,1()1,1ax x x f x ax x ⎧+≤=⎨-+>⎩在R 上为单调増函数，则实数a 的取值范围为________．例6、函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间是例7、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当12x x ≠时，有1212[()()]()0f x f x x x --<恒成立，若(31)(2)0f x f ++>，则x 的取值范围是________．题型三、 函数的周期性1、若()f x 是一个周期函数，则()()f x T f x +=，那么()()()2f x T f x T f x +=+=，即2T 也是()f x 的一个周期，进而可得：()kT k Z ∈也是()f x 的一个周期2、函数周期性的判定：（1）()()f x a f x b +=+：可得()f x 为周期函数，其周期T b a =- （2）()()()f x a f x f x +=-⇒的周期2T a = （3）()()()1f x a f x f x +=⇒的周期2T a = （4）()()f x f x a k ++=（k 为常数）()f x ⇒的周期2T a = （5）()()f x f x a k ⋅+=（k 为常数）()f x ⇒的周期2T a =例8、(2019通州、海门、启东期末）已知函数f(x)的周期为4，且当x ∈(0，4]时，f(x)＝⎩⎨⎧cos πx 2，0<x≤2，log 2⎝⎛⎭⎫x －32，2<x≤4.则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12的值为________．例9、(2017南京三模）已知函数f (x )是定义在R 上且周期为4的偶函数． 当x ∈[2，4]时，f (x )＝|log 4(x －32)|，则f (12)的值为 ▲ ．题型四 函数的对称性函数的对称性要注意一下三点：（1）()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）（2）()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2a bx +=轴对称 （3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。

高一数学函数的基本性质试题答案及解析1.下列幂函数中过点(0,0),(1,1)的偶函数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】A中函数的定义域是，不关于原点对称，不具有奇偶性；B中函数经验证过这两个点，又定义域为，且；C中函数不过（0，0）；D中函数，∵，∴是奇函数，故选B．【考点】幂函数的性质与函数的奇偶性．2.已知函数的定义域为，为奇函数，当时，，则当时，的递减区间是．【答案】【解析】因为为奇函数，所以的图象关于对称，当时，，所以当时，函数的单调递减区间为，因为图象关于对称，所以当时，的递减区间是.【考点】本小题主要考查函数图象和性质的应用，考查学生数形结合思想的应用和推理能力.点评：解决本小题的关键是分析出函数的图象关于对称，在关于对称的两个区间上单调性相同.3.设函数，若,则实数=（）A．-4或-2B．-4或2C．-2或4D．-2或2【答案】B【解析】当时，；当时，.【考点】本小题主要考查分段函数的求值，考查学生的运算求解能力.点评：分段函数求值，分别代入求解即可.4.函数的单调增区间是_______.【答案】【解析】由,所以此函数的定义域为，根据复合函数的单调性，所以此函数的单调增区间为.5.（本小题满分12分）已知函数 (为常数)在上的最小值为，试将用表示出来，并求出的最大值．【答案】【解析】(1)因为抛物线y＝x2－2ax＋1的对称轴方程是,本题属于轴动区间定的问题，然后分轴在区间左侧，在区间内，在区间右侧三种情况分别得到其最小值，得到最小值h(a),然后再求出h(a)的最大值.∵y＝(x－a)2＋1－a2，∴抛物线y＝x2－2ax＋1的对称轴方程是．（1）当时，,当时，该函数取最小值；(2) 当时, , 当时，该函数取最小值；(3) 当a＞1时, , 当时，该函数取最小值综上,函数的最小值为6.证明：函数是偶函数，且在上是减少的。

（本小题满分12分）【答案】见解析。

【解析】本试题主要是考查了函数的奇偶性的定义以及单调性的性质。

高中数学第三章函数的概念与性质考点总结单选题1、已知f (x −2)=x 2+1，则f (5)=（ ）A ．50B ．48C ．26D ．29答案：A分析：利用赋值法，令x =7即可求解.解：令x =7，则f (5)=f (7−2)=72+1=50．故选：A.2、下列图形中，不能表示以x 为自变量的函数图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：B分析：根据函数的定义判断即可.B 中，当x >0时，y 有两个值和x 对应，不满足函数y 的唯一性，A ，C ，D 满足函数的定义，故选：B3、设f (x )是定义域为R 的奇函数，且f (1+x )=f (−x ).若f (−13)=13，则f (53)=（）A ．−53B ．−13C ．13D ．53答案：C分析：由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得f (53)的值. 由题意可得：f (53)=f (1+23)=f (−23)=−f (23)， 而f (23)=f (1−13)=f (13)=−f (−13)=−13， 故f (53)=13.故选：C.小提示：关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.4、函数y =3√x 4−13的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：A 分析：利用x =2时y >0排除选项D ，利用x =−2时y <0排除选项C ，利用x =12时y <0排除选项B ，所以选项A 正确.函数y =3√x 4−13的定义域为{x |x ≠±1}当x =2时，y =3√24−13=√153>0，可知选项D 错误；当x =−2时，y =3()43=√153<0，可知选项C 错误； 当x =12时，y =(12)3√(2)4−13=−12√603<0，可知选项B 错误，选项A 正确. 故选：A 5、函数f (x )=x +4x+1在区间[−12,2]上的最大值为（ ） A ．103B ．152C ．3D ．4答案：B分析：利用换元法以及对勾函数的单调性求解即可．设t =x +1，则问题转化为求函数g (t )=t +4t −1在区间[12,3]上的最大值．根据对勾函数的性质，得函数g (t )在区间[12,2]上单调递减，在区间[2,3]上单调递增，所以g (t )max =max {g (12),g (3)}=max {152,103}=152． 故选：B6、函数f (x )在(−∞,+∞)上是减函数，且a 为实数，则有（ ）A ．f (a )<f (2a )B ．f (a 2)<f (a )C ．f (a 2+1)<f (a )D ．f (a 2−a )<f (a )答案：C分析：利用a =0可排除ABD ；根据函数单调性和a 2+1>a 恒成立可知C 正确.当a =0时，ABD 中不等式左右两侧均为f (0)，不等式不成立，ABD 错误；∵a 2+1−a >0对于a ∈R 恒成立，即a 2+1>a 恒成立，又f (x )为R 上的减函数，∴f (a 2+1)<f (a )，C 正确.故选：C.7、“n =1”是“幂函数f (x )=(n 2−3n +3)⋅x n 2−3n 在(0,+∞)上是减函数”的一个（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要答案：A分析：由幂函数f(x)=(n2−3n+3)⋅x n2−3n在(0,+∞)上是减函数，可得{n 2−3n+3=1n2−3n<0，由充分、必要条件的定义分析即得解由题意，当n=1时，f(x)=x−2在(0,+∞)上是减函数，故充分性成立；若幂函数f(x)=(n2−3n+3)⋅x n2−3n在(0,+∞)上是减函数，则{n 2−3n+3=1n2−3n<0，解得n=1或n=2故必要性不成立因此“n=1”是“幂函数f(x)=(n2−3n+3)⋅x n2−3n在(0,+∞)上是减函数”的一个充分不必要条件故选：A8、函数y=√2x+4x−1的定义域为（）A．[0,1)B．(1,+∞)C．(0,1)∪(1,+∞)D．[0,1)∪(1,+∞)答案：D分析：由题意列不等式组求解由题意得{2x≥0x−1≠0，解得x≥0且x≠1，故选：D多选题9、设函数f(x)={ax−1,x<ax2−2ax+1,x≥a，f(x)存在最小值时，实数a的值可能是（）A．2B．-1C．0D．1答案：BC分析：分a=0，a>0和a<0三种情况讨论，结合二次函数的性质，从而可得出答案. 解：当x≥a时，f(x)=x2−2ax+1=(x−a)2−a2+1，所以当x≥a时，f(x)min=f(a)=−a2+1，若a=0，则f(x)={−1,x<0x2+1,x≥0，所以此时f(x)min=−1，即f(x)存在最小值，若a>0，则当x<a时，f(x)=ax−1，无最小值，若a<0，则当x<a时，f(x)=ax−1为减函数，则要使f(x)存在最小值时，则{−a 2+1≤a2−1a<0，解得a≤−1，综上a=0或a≤−1.故选：BC.10、已知偶函数y=f(x)(x∈R)，有∀x1，x2∈(−∞,0]时，(x1−x2)⋅(f(x1)−f(x2))<0成立，则f(2ax)< f(2x2+1)对任意的x∈R恒成立的一个必要不充分条件是（）A．−√2≤a≤√2B．−1<a<1C．0<a<√2D．−2<a<2答案：AD分析：由题意可判断函数在(−∞,0]为单调递减函数，在(0,+∞)上单调递增函数，只需|2ax|<2x2+1恒成立,分离参数，利用基本不等式即可求出a的取值，再结合必要不充分条件的概念可解.当∀x1,x2∈(−∞,0]时，(x1−x2)(f(x1)−f(x2))<0成立，则函数在(−∞,0]为单调递减函数，又函数y=f(x),x∈R为偶函数，则函数y=f(x)在(0,+∞)上单调递增函数，f(2ax)<f(2x2+1)对任意的x∈R恒成立，所以|2ax|<2x2+1，当x=0时，不等式恒成立，当x≠0时，2|a|<2x2+1|x|=2|x|+1|x|，又2|x|+1|x|≥2√2|x|⋅1|x|=2√2，当且仅当2|x|=1|x|时取等号，则2|a|<2√2，即|a|<√2，解得−√2<a<√2，由必要不充分条件的概念可知选项A、D正确，选项B、C错误.故选：AD11、下列各组函数是同一组函数的是（）A．f(x)=2x与g(x)=√4x2B．f(x)=|x|x与g(x)={C．f(x)=2x2+1与g(t)=2t2+1D．f(x)=x与g(x)=√x33答案：BCD分析：由同一函数的定义域、对应法则都相同，即可判断选项中的函数是否为同一函数.A：g(x)=√4x2=2|x|，f(x)=2x，定义域相同，但对应法则不同，不同函数；B：f(x)=|x|x={，g(x)={，定义域和对应法则都相同，同一函数；C：f(x)=2x2+1与g(t)=2t2+1，定义域和对应法则都相同，同一函数；D：g(x)=√x33=x，f(x)=x，，定义域和对应法则都相同，同一函数；故选：BCD.12、幂函数f(x)=(m2−5m+7)x m2−6在(0,+∞)上是增函数，则以下说法正确的是（）A．m=3B．函数f(x)在(−∞,0)上单调递增C．函数f(x)是偶函数D．函数f(x)的图象关于原点对称答案：ABD分析：根据幂函数的定义与性质得到方程（不等式）组，解得m=3，即可得到f(x)，从而判断可得；解：因为幂函数f(x)=(m2−5m+7)x m2−6在(0,+∞)上是增函数，所以{m 2−5m+7=1m2−6>0，解得m=3，所以f(x)=x3，所以f(−x)=(−x)3=−x3=−f(x)，故f(x)=x3为奇函数，函数图象关于原点对称，所以f(x)在(−∞,0)上单调递增；故选：ABD13、[多选题]下列四个图形中，可能是函数y=f(x)的图象的是（）A．B．C．D．答案：AD分析：根据函数定义判断．在A，D中，对于定义域内每一个x都有唯一的y与之对应，满足函数关系；在B，C中，存在一个x有两个y与之对应的情况，不满足函数关系，故选：AD．填空题14、已知a∈{−4,−1,−12,13,12,1,2,3}，若函数f(x)=x a在(0,+∞)上单调递减，且为偶函数，则a=______．答案：−4分析：根据幂函数的单调性知a<0，即可确定a的可能值，讨论a并判断对应f(x)奇偶性，即可得结果. 由题知：a<0，所以a的值可能为−4，−1，−12．当a=−4时，f(x)=x−4=x14(x≠0)为偶函数，符合题意．当a=−1时，f(x)=x−1=1x(x≠0)为奇函数，不符合题意．当a=−12时，f(x)=x−12=√x，定义域为(0,+∞)，则f(x)为非奇非偶函数，不符合题意．综上，a=−4．所以答案是：−415、已知函数f(x)={−x +4,x ≤0x 2,x >0，若f(m)=4，则m =___________． 答案：0或2分析：对函数值进行分段考虑，代值计算即可求得结果.由题意可得{m ≤0−m +4=4 或{m ＞0m 2=4， ∴m ＝0或m ＝2,所以答案是：0或2.小提示：本题考查由分段函数的函数值求自变量，属简单题.16、已知函数f (x )={|x 2−2x |,x ≤36−x,x >3，若a 、b 、c 、d 、e (a <b <c <d <e )满足f (a )=f (b )=f (c )=f (d )=f (e )，则M =af (a )+bf (b )+cf (c )+df (d )+ef (e )的取值范围为______.答案：(0,9)解析：设f (a )=f (b )=f (c )=f (d )=f (e )=t ，作出函数f (x )的图象，可得0<t <1，利用对称性可得a +d =b +c =2，由f (e )∈(0,1)可求得5<e <6，进而可得出M =−e 2+2e +24，利用二次函数的基本性质可求得M 的取值范围.作出函数f (x )的图象如下图所示：设f (a )=f (b )=f (c )=f (d )=f (e )=t ，当0<x <2时，f (x )=2x −x 2=−(x −1)2+1≤1，由图象可知，当0<t <1时，直线y =t 与函数y =f (x )的图象有五个交点，且点(a,t )、(d,t )关于直线x =1对称，可得a +d =2，同理可得b +c =2，由f(e)=6−e=t∈(0,1)，可求得5<e<6，所以，M=af(a)+bf(b)+cf(c)+df(d)+ef(e)=(a+b+c+d+e)f(e)=(e+4)(6−e)=−e2+2e+24=−(e−1)2+25∈(0,9).因此，M的取值范围是(0,9).所以答案是：(0,9).小提示：方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.解答题17、已知幂函数f(x)=(m−1)2x m2−4m+2在(0,+∞)上单调递增，函数g(x)=2x−k．（1）求m的值；（2）当x∈[1,2)时，记f(x),g(x)的值域分别为集合A，B，设p:x∈A,q:x∈B，若p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围．（3）设F(x)=f(x)−kx+1−k2，且|F(x)|在上单调递增，求实数k的取值范围．答案：（1）m=0；（2）0≤k≤1；（3）[−1,0]∪[2,+∞)分析：（1）由幂函数的定义(m−1)2=1，再结合单调性即得解.（2）求解f(x)，g(x)的值域，得到集合A，B，转化命题p是q成立的必要条件为B⊆A，列出不等关系，即得解.（3）由（1）可得F(x)=x2−kx+1−k2，根据二次函数的性质，分类讨论k2≤0和k2≥1两种情况，取并集即可得解.（1）由幂函数的定义得：(m−1)2=1，⇒m=0或m=2，当m=2时，f(x)=x−2在(0,+∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去；当m=0时，f(x)=x2在(0,+∞)上单调递增，符合题意；[0,1]综上可知：m =0.（2）由（1）得：f(x)=x 2，当x ∈[1,2)时，f(x)∈[1,4)，即A =[1,4)，当x ∈[1,2)时，g(x)∈[2−k,4−k )，即B =[2−k,4−k )，由命题p 是q 成立的必要条件，则B ⊆A ，显然B ≠∅，则{2−k ≥14−k ≤4，即{k ≤1k ≥0， 所以实数k 的取值范围为：0≤k ≤1.（3）由（1）可得F(x)=x 2−kx +1−k 2，二次函数的开口向上，对称轴为x =k 2， 要使|F(x)|在上单调递增，如图所示：或即{k 2≤0F(0)≥0或{k 2≥1F(0)≤0，解得：−1≤k ≤0或k ≥2. 所以实数k 的取值范围为：[−1,0]∪[2,+∞) 小提示：关键点点睛：本题考查幂函数的定义及性质，必要条件的应用，已知函数的单调性求参数，理解p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集是解题的关键，考查学生的分析试题能力与分类讨论思想，及数形结合思想，属于较难题.18、为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量f (t )(单位：mg/m 3)与时间t (单位：ℎ）的函数关系为f (t )={kt,0<t <121kt ,t ≥12，当消毒12(ℎ)后，测量得药物释放量等于1(mg/m 3)；而实验表明，当药物释放量小于34(mg/m 3)对人体无害．（1）求k 的值；（2）若使用该消毒剂对房间进行消毒，求对人体有害的时间有多长？ [0,1]答案：（1）k =2；（2）724ℎ． 分析：（1）把t =12代入即可求得k 的值；（2）根据f (t )≥34，通过分段讨论列出不等式组，从而求解. （1）由题意可知f (12)=112k=1，故k =2；（2）因为k =2，所以f (t )={2t,0<t <1212t ,t ≥12， 又因为f (t )≥34时，药物释放量对人体有害，所以{0<t <122t ≥34或{t ≥1212t ≥34，解得38≤t <12或12≤t ≤23，所以38≤t ≤23， 由23−38=724，故对人体有害的时间为724ℎ．。

考点05函数的基本性质【命题趋势】函数的单调性与最值、奇偶性以及函数图象是历年高考考查的重点，具体要求为：（1）理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.（2）会运用函数图象理解和研究函数的性质.【重要考向】一、函数的单调性及其应用二、函数的奇偶性及其应用三、函数的周期性及其应用四、函数图像及其应用函数单调性及其应用1．函数单调性的定义增函数减函数定义一般地，设函数()f x 的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值1x ，2x 当12x x <时，都有()()12f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数当12x x <时，都有()()12f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数图象描述自左向右看，图象是上升的自左向右看，图象是下降的设12,[,]x x a b ∈，12x x ≠.若有()()1212()0[]x x f x f x ->-或1212()()0f x f x x x ->-，则()f x 在闭区间[],a b 上是增函数；若有()()1212()0[]x x f x f x --<或1212()()0f x f x x x -<-，则()f x 在闭区间[],a b 上是减函数.此为函数单调性定义的等价形式.2．单调区间的定义若函数()y f x =在区间D 上是增函数或减函数，则称函数()y f x =在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫做函数()f x 的单调区间．3.函数的最值前提设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得()0f x M=（3）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≥；（4）存在0x I ∈，使得()0f x M=结论M 为最大值M 为最小值注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值.【巧学妙记】1．（2021·千阳县中学高三二模（理））下列函数中，是偶函数且在区间(0,)+∞上单调递减的函数是（）A ．1()||f x x =B ．1()(3xf x =C ．2()1f x x =+D ．f (x )=lg|x |【答案】A 【分析】由奇偶性的定义判断各个选项函数的奇偶性，排除B ；结合反比例函数、二次函数、对数函数的单调性即可选出正确答案.【详解】解：因为()133xxf x ⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭，所以B 不正确；A,C,D 中函数定义域均关于原点对称，()1()||f x f x x -==-，A 是偶函数；()()2()1f x x f x -=-+=，C 是偶函数；()()lg f x x f x -=-=，所以D 也是偶函数；当(0,)x ∈+∞时，11()||f x x x==单调递减，故A 正确；由二次函数的性质可得，此时2()1f x x =+递增，则C 不正确；()lg lg f x x x ==也单调递减，则D 不正确；故选:A.2．（2021·浙江高一期末）函数|1|45x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调减区间是_______．【答案】[)1,+∞【分析】令1u x =-，则45u y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，分别判断函数45uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭和1u x =-的单调性，然后利用复合函数单调性的判断方法即可求出原函数的单调区间.【详解】令1u x =-，则45uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭∵4015<<，∴45uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(),-∞+∞上单调递减作出1u x =-的图象由图象可以1u x =-在(],1-∞上单调递减，在[)1,+∞上单调递增∴|1|45x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭在(],1-∞上单调递增，在[)1,+∞上单调递减故答案为：[)1,+∞.3．（2021·上海市建平中学高三三模）函数21y x ax a =--在12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数a 的取值范围是_________.【答案】11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【分析】根据二次函数的单调性确定对称轴与区间的关系，同时注意分母不为0需满足12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上符号一致.【详解】21y x ax a =-- 在12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴2()f x x ax a =--在12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减，则122a-≤，即1a ≥-，同时需满足1(2)(02f f -->，即1(4)(21)04a a +-<，解得142a -<<，综上可知11,2a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭故答案为：11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【点睛】关键点点睛：注意利用二次函数对称轴与所给区间的关系求解，同时需注意12,2x ⎡⎤∈--⎢⎣⎦时，2()f x x ax a =--符号必须一致是解题的关键，属于中档题.4．（2021·上海高三三模）函数y =___________.【答案】(,1]-∞-(或(,1)-∞-都对)【分析】利用复合函数的单调性，同增异减，即可得到答案；【详解】t x=-，则y=，令2121t x=-在(,1)-∞-单调递减，y=在(0,)+∞单调递增，-∞-单调递减，根据复合函数的单调性可得：y=在(,1)-∞-.故答案为：(,1)函数奇偶性及其应用函数的奇偶性1．函数奇偶性的定义及图象特点奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 是偶函数图象关于y 轴对称奇函数如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么函数()f x 是奇函数图象关于原点对称判断()f x -与()f x 的关系时，也可以使用如下结论：如果()0()f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠，则函数()f x 为偶函数；如果()0()f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠，则函数()f x 为奇函数．注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x ，x -也在定义域内（即定义域关于原点对称）．2．函数奇偶性的几个重要结论（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．（2）()f x ，()g x 在它们的公共定义域上有下面的结论：()f x ()g x ()()f xg x +()()f xg x -()()f xg x (())f g x 偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数（3）若奇函数的定义域包括0，则()00f =．（4）若函数()f x 是偶函数，则()()()f x f x fx -==．（5）定义在(),-∞+∞上的任意函数()f x 都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．（6）若函数()y f x =的定义域关于原点对称，则()()f x f x +-为偶函数，()()f x f x --为奇函数，()()f x f x ⋅-为偶函数．【巧学妙记】5．（2021·重庆巴蜀中学高三月考）函数2()21x xf x ax =+-是偶函数，则实数a =__________．【答案】1【分析】由已知奇偶性可得()()f x f x -=，结合已知解析式可求出22a =，即可求出a .【详解】因为2()(0)21xxf x ax x =+≠-，且()f x 是偶函数，则()()f x f x -=，2222222,,20212121212121xx x x x x x x x ax ax a a a --⨯--=+--=++=------，即22a =，所以实数1a =．故答案为:1.6．（2021·浙江高一期末）已知偶函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，且(1)0f -=，则()0f x x<的解集__________【答案】(1,0)(1,)-È+¥【分析】分0x >和0x <两种情况讨论x 的范围，根据函数的单调性可得到答案.【详解】因为()f x 是偶函数，且(1)0f -=，所以(1)(1)0f f =-=，又()f x 在(0,)+∞上是减函数，所以()f x 在(,0)-∞上是增函数，①当0x >时，由()0f x x<得()0f x <，又由于()f x 在(0,)+∞上为减函数，且(1)0f =，所以()(1)f x f <，得1x >；②当0x <时，由()0f x x<得()>0f x ，又(1)0f -=，()f x 在(,0)-∞上是增函数，所以()>(1)f x f -，所以10x -<<.综上，原不等式的解集为：(1,0)(1,)-È+¥.故答案为：(1,0)(1,)-È+¥.【点睛】方法点睛：本题主要考查函数相关性质，利用函数性质解不等式，运用函数的奇偶性与单调性的关系是进行区间转换的一种有效手段.奇函数在对称区间上的单调性相同，且()() f x f x -=-.偶函数在对称区间上的单调性相反，且()()() f x f x f x =-=..7．（2021·江苏南通市·高三二模）已知函数()f x 满足()()f x f x =-，当0x >时，()32x x f x =+，则不等式(2)13f x -<的解集为（）A ．(,0)(4,)-∞+∞B ．(0,4)C ．(0,2)D ．(,0)(2,)-∞+∞ 【答案】B 【分析】根据已知条件判定f (x )为偶函数，结合其单调性和特殊值，得到f (x )<13的解集，利用平移变换思想得到f (x -2)<13的解集.【详解】依题意知()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，当0x ≥时，()f x 单调递增，且()213f =，所以()13f x <的解集为()2,2-.将()f x 的图象沿x 轴向右平移2个单位长度后可得()2f x -的图象，所以不等式()213f x -<的解集为()0,4.故选:B .【点睛】本题考查应用函数的奇偶性与单调性解函数不等式问题，涉及指数函数的单调性，属基础题，为了求解关于f (x -a )的不等式常常可以先求相应的关于f (x )的不等式，然后利用平移变换的方法得到所求不等式的解集.8．（2021·全国高三月考（理））已知函数()2x x f x e e x -=--，若()2(3)0f t f t t ++->成立，则实数t 的取值范围为（）A ．()0,1B ．()1,3-C ．()1,1-D ．()0,3【答案】B 【分析】根据奇函数的定义、导数的性质，结合基本不等式、解一元二次不等式的方法进行求解即可.【详解】因为()2(2)()x x x x f x e e x e e x f x ---=-+=---=-，所以函数()f x 为奇函数，又因为()220x x f x e e -'=-≥=+，所以函数()f x 为R 上的增函数．若()2(3)0f t f t t ++->，则()2(3)f t f tt +>-，即23t t t +>-，即2230t t --<，解得13t -<<，故选：B函数的周期性1．周期函数对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有()()f x T f x +=，那么就称函数()y f x =为周期函数，称T 为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做()f x 的最小正周期（若不特别说明，T 一般都是指最小正周期）.注意：并不是所有周期函数都有最小正周期.3．函数周期性的常用结论【巧学妙记】9．（2021·湖北高三其他模拟）请写出一个函数()f x =___________，使之同时具有如下性质：①x ∀∈R ，()(4)f x f x =-，②x ∀∈R ，(4)()f x f x +=.【答案】cos 2x π【分析】根据①②可知函数是周期函数且关于2x =对称，即可求解.【详解】性质①②分别表示()f x 关于直线2x =对称和以4为周期，答案不唯一，写出一个即可，例如()cos2f x x π=，故答案为：()cos2f x x π=10．（2021·全国高三月考（理））定义在R 上的偶函数()f x 满足()()1f x f x +=-，且当01x ≤≤时，()()23log 2f x x =+，则()2021f -=（）A ．1B ．lg 9C ．lg 3D ．0【答案】A 【分析】先利用()()1f x f x +=-求得周期为2T =，再利用奇偶性和周期性转化()()()202120211f f f -==，代入解析式即得结果.【详解】由()f x 满足()()1f x f x +=-，得()()2f x f x +=，所以函数()f x 的周期2T =，且当01x ≤≤时，()23(og 2,)l f x x =+()f x 为偶函数，所以()()()3202120211log 31f f f -====.故选：A.11．（2021·全国高三月考（文））已知函数()y f x =对任意x ∈R 都有(2)()f x f x +=-且(4)()0f x f x -+=成立，若(0)0f =，则()2019(2020)(2021)f f f ++的值为（）A ．4B ．2C ．0D ．2-【答案】C 【分析】由(2)()f x f x +=-以及(4)()f x f x -=-可推导()y f x =是周期为4的周期函数，由此(2019)(3)f f =，(2021)(1)f f =，代入(4)()f x f x -=-可计算结果，又(2020)(0)0f f ==，代入计算即可.【详解】由(2)()f x f x +=-可知(2)()f x f x -=．又(4)()f x f x -=-，(4)(2)0f x f x ∴-+-=，(2)()f x f x ∴+=-，(4)[(2)2](2)()f x f x f x f x ∴+=++=-+=，∴函数()y f x =是周期为4的周期函数，(2019)(3)f f ∴=，(2020)(0)f f =，(2021)(1)f f =．由(4)()0f x f x -+=可得(41)(1)0f f -+=，即(3)(1)0f f +=，(2019)(2020)(2021)000f f f ∴++=+=.故选：C ．12．（2021·新疆布尔津县高级中学高三三模（文））已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，且()()2f x f x -=，当01x ≤≤时，()f x x =，设函数()()5log g x f x x =-，则()g x 的零点的个数为（）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C 【分析】由题设知()g x 的零点可转化为()f x 与5log x 的交点问题，而()[0,1]f x ∈且周期为2，关于y 轴对称的函数；5log x 且关于y 轴对称，当55x -≤≤时有5log (,1]x ∈-∞，画出(0,)+∞的草图即可确定交点个数，利用对称性确定总交点数.【详解】由题意知：()f x 关于1x =对称，而()g x 的零点即为()5=log f x x 的根，又∵()f x 在R 上的偶函数，知：()[0,1]f x ∈且周期为2，关于y 轴对称的函数，而55x -≤≤时5log (,1]x ∈-∞且关于y 轴对称∴()f x 与5log x 在(0,)+∞的图象如下，∴共有4个交点，由偶函数的对称性知：在(,0)-∞上也有4个交点，所以共8个交点.故选：C.【点睛】关键点点睛：将函数零点转化为两个函数的交点问题，应用数形结合的方法，由函数的周期性、奇偶对称性判断交点的个数.函数图像及其应用函数的图象1．函数图象的画法（1）描点法作图①研究函数特征()⎧⎪⎨⎪⎩确定定义域化简解析式讨论性质奇偶性、单调性、周期性、对称性、最值②列表(注意特殊点：与坐标轴的交点、极值点、端点)；③描点(画出直角坐标系，准确画出表中的点)；④连线(用平滑的曲线连接所描的点)．（2）变换法作图①平移变换②对称变换a ．y ＝f (x)y ＝−f (x )；b ．y ＝f (x)y ＝f (−x )；c ．y ＝f (x)y ＝−f (−x )；d ．y ＝a x (a >0且a≠1)y ＝log a x (a >0且a ≠1).③翻折变换④伸缩变换y ＝f (x )y ＝f (ax )．y ＝f (x )y ＝af (x )．【巧学妙记】13．（2021·浙江高二期末）已知()sin f x x x =+，则()f x 的图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】由函数奇偶性排除两个选项，再取特值计算并判断得解.【详解】原函数定义域为R ，由()sin()(sin )()f x x x x x f x -=-+-=-+=-知()f x 是R 上奇函数，选项C ，D 不满足；在()f x 图象上取点(0,(0)),(,())22P f Q f ππ，(0)0,(122f f ππ==+，直线PQ ：2(1)y x π=+，而4x π=时，2()(442f x f ππ==+，21(1)442y πππ=+⋅=+，显然214242ππ+>+，即点,44f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭在直线PQ 上方，选项B 不满足，选项A 符合要求.故选：A14．（2021·全国高三月考）函数()x xe ef x ln x-+=的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性，可排除A 、D ；根据()f e 的值，可排除B ，即可求解.【详解】由题意，函数()x xe ef x ln x-+=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，可得定义域关于原点对称，又由()() ln ln x x x xe e e ef x f x x x--++-===-，所以()f x 是偶函数，故排除选项A 、D ；因为()()++ln eeee e e ef e ee e e--==>，可排除B.故选：C .15．（2021·浙江高一期末）已知函数()()13f x x x =-⋅+．（1）将函数解析式写成分段函数的形式，然后在坐标系中画出()f x 的图象；（2）根据图象直接写出()f x 的单调增区间．（3）当k 为何值时，方程()f x k =恰有两个解？【答案】（1）()2223,123,1x x x f x x x x ⎧+-≥=⎨--+<⎩，图象见解析；（2）(),1-∞-和()1,+∞；（3）0k =或4k =.【分析】（1）将x 和1比较去绝对值可得解析式，由二次函数的图象可得结果；（2）直接根据图象即可得单调增区间；（3）计算出()1f -的值，结合图象即可得结果.【详解】（1）当1≥x 时，()223f x x x =+-，当1x <，()223f x x x =--+，所以()2223,123,1x x x f x x x x ⎧+-≥=⎨--+<⎩其图象如下所示：（2）观察图可得函数()f x 的单调增区间为(),1-∞-和()1,+∞.（3）方程()f x k =恰有两个解，即()y f x =和y k =的图象有两个交点，由于()14f -=，故当0k =或4k =时，方程()f x k =恰有两个解.一、单选题1．已知函数()f x 满足()()f x f x =-，当0x >时，()32x x f x =+，则不等式(2)13f x -<的解集为（）A ．(,0)(4,)-∞+∞B ．(0,4)C ．(0,2)D ．(,0)(2,)-∞+∞ 2．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()1f x f x +=-，且当01x ≤≤时，()()23log 2f x x =+，则()2021f -=（）A ．1B ．lg 9C ．lg 3D ．03．设函数()sin cos f x x x x =+，则下列四个结论中正确的是（）①函数()f x 是偶函数；②曲线()y f x =在0x =处的切线方程为1y =；③当,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 单调递减；④关于x 的方程sin cos x x x a +=在[]0,2x π∈只有两个实根，则实数a 的取值范围为3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.A ．①②B ．①②④C ．①③④D ．③④4．若函数()f x 的图象上任意一点(),M x y 的坐标满足条件x y ≥，则称函数()f x 具有性质P ．下列函数中具有性质P 的是（）A ．()1f x x =+B ．()2f x x=C ．()1xf x e =-D ．()sin f x x=5．已知函数()21x f x x=+的定义域为[)2,+∞，则不等式()()22228f x f x x +>-+的解集为（）A ．5,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．[)2,3C ．(),3-∞D ．()3,+∞6．函数()ln ||sin f x x x =+在[,]-ππ上的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．7．己知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有(1)(1)()xf x x f x +=+，则20152f ⎛⎫⎪⎝⎭的值是（）A ．0B ．12C ．1D ．528．函数||2()cos x x f x x⋅=，,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭的部分图象大致是（）A ．B ．C ．D ．9．已知函数(21()log f x x x=，则（）A ．()f x 在（0，+∞）上单调递增B ．对任意m ∈R ，方程()f x +m =0必有解C ．()f x 的图象关于y 轴对称D ．()f x 是奇函数10．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(),0-∞单调递增，设0.33a =，0.413b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4log 0.3c =，则（）A ．()()()f c f a f b >>B ．()()()f a f c f b >>C ．()()()f c f b f a >>D ．()()()f a f b f c >>二、多选题11．关于函数()|ln |2||f x x =-，下列描述正确的有（）A ．函数()f x 在区间()1,2上单调递增B ．函数()y f x =的图象关于直线2x =对称C ．若12x x ≠，但()()12f x f x =，则124x x +=D ．函数()f x 有且仅有两个零点三、填空题12．函数2()21xxf x ax =+-是偶函数，则实数a =__________．13．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，若对于0x ≥，都有()()12f x f x +=-，且当()0,2x ∈时，()()2log 1f x x =+，则()()20192021f f -+的值为___________.四、解答题14．函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-．（1）求函数()f x 在(,0)x ∈-∞的解析式；（2）当0m >时，若|()|1f m =，求实数m 的值．一、单选题1．（2012·陕西高考真题（文））下列函数中，既是奇函数又是增函数的为A ．1y x =+B ．2y x =-C ．1y x=D ．y x x=2．（2013·湖南高考真题（文））已知f （x ）是奇函数，g （x ）是偶函数，且f （－1）+g （1）=2，f （1）+g （－1）=4，则g （1）等于A ．4B ．3C ．2D ．13．（2013·湖南高考真题（文））函数f （x ）=㏑x 的图象与函数g （x ）=x 2-4x+4的图象的交点个数为A ．0B ．1C ．2D ．34．（2009·四川高考真题（文））已知函数是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是A ．0B ．C ．1D ．5．（2012·天津高考真题（文））下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为A ．cos 2y x =，x ∈R B ．2log y x =，x ∈R 且x≠0C ．2x x e e y --=,x ∈RD ．3+1y x =，x ∈R6．（2019·全国高考真题（文））设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )=A ．e 1x --B ．e 1x -+C ．e 1x ---D ．e 1x --+7．（2019·北京高考真题（文））下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是A ．12y x=B ．y =2x-C ．12log y x=D ．1y x=8．（2020·全国高考真题（文））设函数331()f x x x=-,则()f x （）A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减9．（2013·天津高考真题（文））已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且在区间[0,)+∞单调递增.若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f a f +≤,则a 的取值范围是A ．[1,2]B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(0,2]10．（2011·全国高考真题（文））下列函数中，既是偶函数又区间上单调递增的是A ．3y x =B ．1y x =+C ．21y x =-+D ．2xy -=11．（2010·山东高考真题（文））函数22x y x =-的图象大致是A ．B ．C ．D ．12．（2020·全国高考真题（文））已知函数f (x )=sin x +1sin x，则（）A ．f (x )的最小值为2B ．f (x )的图象关于y 轴对称C ．f (x )的图象关于直线x π=对称D ．f (x )的图象关于直线2x π=对称13．（2011·福建高考真题（文））在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k 丨n ∈Z}，k=0，1，2，3，4．给出如下四个结论：①2011∈[1]；②﹣3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“a ﹣b ∈[0]”．其中，正确结论的个数是A ．1B ．2C ．3D ．41．（2021·浙江湖州市·高三二模）函数()()2cos =-f x x x x 的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．2．（2021·湖南高三其他模拟）下列函数在其定义域上是增函数的是（）A ．2y x =B ．e x y =C ．0.5log y x=D ．sin y x=3．（2021·全国高三其他模拟）已知11ln 224a =+，2b e =，1ln c ππ+=，则a ，b ，c 之间的大小关系为（）A ．a b c<<B ．a c b<<C ．c a b <<D ．b c a<<4．（2021·北京北大附中高三其他模拟）下列函数中值域是R 且为偶函数的是（）A ．()21f x x =+B ．()2log f x x =C ．()3f x x x=-D ．()cos f x x=5．（2021·云南昆明市·昆明一中高三其他模拟（文））已知点(m ，n )在函数11()e 12x f x =-+的图象上，则下列四点中也在函数f (x )的图象上的是（）A ．(-m ，1+n )B ．(-m ，1-n )C ．(-m ，-n )D ．(-m ，n )6．（2021·浙江嘉兴市·高三其他模拟）函数1sin ln ||(0)||y x x x x ⎛⎫=⋅+≠ ⎪⎝⎭的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．7．（2021·千阳县中学高三二模（理））下列函数中，是偶函数且在区间(0,)+∞上单调递减的函数是（）A ．1()||f x x =B ．1()(3xf x =C ．2()1f x x =+D ．f (x )=lg|x |8．（2021·天津高三其他模拟）已知()f x 是定义在R 上的偶函数且在区间(,0]-∞上单调递增，则（）A ．()()221log log 23f f f ππ-⎛⎫>> ⎪⎝⎭B ．()()2212loglog 3-⎛⎫>> ⎪⎝⎭f f f ππC ．()()221log 2log 3-⎛⎫>> ⎪⎝⎭f f f ππD ．()()2212log log 3-⎛⎫>> ⎪⎝⎭f f f ππ9．（2021·广东广州市·高三二模）已知函数()xx xf x xe e=+，且()2(1)20f a f a a ++-++>，则a 的取值范围是（）A ．(,1)(3,)-∞-+∞ B ．(1,3)-C ．(,3)(1,)-∞-⋃+∞D ．(3,1)-10．（2021·安徽宿州市·高三三模（文））已知函数()()2ln f x x x e =++，则（）A ．()()()30log 3log f f f ππ<<-B ．()()()3log log 30f f f ππ-<<C ．()()()3log 0log 3f f f ππ-<<D ．()()()3log 30log f f f ππ<<-11．（2021·四川攀枝花市·高三三模（文））已知2ln ln 2a a =，3ln ln 3b b =，5ln ln 5c c =，且(),,0,a b c e ∈，则（）．A ．a b c <<B ．b a c<<C ．c b a<<D ．c a b<<二、多选题12．（2021·江苏连云港市·高三其他模拟）函数()f x 的定义域为R ，且()f x 与(1)f x +都为奇函数，则（）A ．(1)f x -为奇函数B ．()f x 为周期函数C ．(3)f x +为奇函数D ．(2)f x +为偶函数13．（2021·全国高三二模）已知函数()f x 为偶函数，且()()22f x f x +=--，则下列结论一定正确的是（）A ．()f x 的图象关于点(2,0)-中心对称B ．()f x 是周期为4的周期函数C ．()f x 的图象关于直线2x =-轴对称D ．(4)f x +为偶函数三、填空题14．（2021·新疆高三其他模拟（文））若函数()f x 满足当0x <时，()()2log 1f x x =-，当0x >时，()()2f x f x =-，则()1f =___________.15．（2021·临川一中实验学校高三其他模拟（文））已知奇函数()f x 定义域为R ，()()1f x f x -=，当()0,1x ∈时，()21log 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则52f ⎛⎫= ⎪⎝⎭___________.16．（2021·江西宜春市·上高二中高二其他模拟（文））已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()2f x f x =--，且函数()1f x +是偶函数，当[]1,0x ∈-时，()21f x x =-，则()2021f =______.参考答案跟踪训练1．B 【分析】根据已知条件判定f (x )为偶函数，结合其单调性和特殊值，得到f (x )<13的解集，利用平移变换思想得到f (x -2)<13的解集.【详解】依题意知()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，当0x ≥时，()f x 单调递增，且()213f =，所以()13f x <的解集为()2,2-.将()f x 的图象沿x 轴向右平移2个单位长度后可得()2f x -的图象，所以不等式()213f x -<的解集为()0,4.故选:B .【点睛】本题考查应用函数的奇偶性与单调性解函数不等式问题，涉及指数函数的单调性，属基础题，为了求解关于f (x -a )的不等式常常可以先求相应的关于f (x )的不等式，然后利用平移变换的方法得到所求不等式的解集.2．A 【分析】先利用()()1f x f x +=-求得周期为2T =，再利用奇偶性和周期性转化()()()202120211f f f -==，代入解析式即得结果.【详解】由()f x 满足()()1f x f x +=-，得()()2f x f x +=，所以函数()f x 的周期2T =，且当01x ≤≤时，()23(og 2,)l f x x =+()f x 为偶函数，所以()()()3202120211log 31f f f -====.故选：A.3．A 【分析】利用奇偶性的定义可判断①，求出()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=，然后可判断②③，求出()f x 在[]0,2π上的单调性和极值，画出其图象，然后可判断④.【详解】对①，因为x ∈R ，()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，所以①正确；对②，()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=，()00f '=，()01f =，故曲线()f x 在0x =处的切线方程为1y =，所以②正确；对③，3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x '≤，()f x 单调递减，所以③错误；对④，x0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭2π3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭32π3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭2π()f x '0+-+()f x 12π32π-1由上表作出[]0,2x π∈时()f x 的图象如下：则3,11,22a ππ⎡⎫⎛⎤∈-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，所以④错误.故选：A4．D【分析】根据题意，得到x y ≥所表示的区域，逐一分析各个选项，即可得答案.【详解】由题意可得x y ≥表示的区域为下图阴影部分，因为()f x 具有性质P ，则()f x 的图象必须完全分布在阴影区域1和2内，对于A ：()1f x x =+，过点（0,1）在区域3内，不符合题意；对于B ：()2f x x =，过点（2,4），在区域3内，不符合题意；对于C ：()1xf x e =-，过点（1，e -1），在区域3内，不符合题意；对于D ：()sin f x x =，()[1,1]f x ∈-，图象分布在阴影区域1和2内，满足题意，故选：D5．C【分析】先判断函数()f x 的单调性，再根据单调性解不等式即可.【详解】因为()2111x f x x x x==++，可知()f x 在[)2,+∞上单调递减，所以不等式()()22228f x f x x +>-+成立，即2222222823228x x x x x x x ⎧+≥⎪-+≥⇒<⎨⎪+<-+⎩.故选：C.6．D【分析】根据函数的奇偶性排除AB ，再比较两个零点所在区间可判断CD.【详解】因为()ln ||sin f x x x -=-，既不满足()()f x f x -=，也不满足()()f x f x -=-所以是非奇非偶函数，排除A 和B ，令()()120f x f x ==，且12[,0],[0,]x x ππ∈-∈，因为(1)sin10f =>，所以2[0,1]x ∈，又ln sin ln 1ln 022222f e πππππ⎛⎫⎛⎫-=+-=-=< ⎪ ⎝⎭⎝⎭，()ln sin ln 0f ππππ-=+=>，所以12x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，，故选：D7．A【分析】由(1)(1)()xf x x f x +=+，得(1)()1f x f x x x +=+，得函数()()f x g x x=的周期，得20151()2()22g f =，由(1)(1)()xf x x f x +=+及f (x )的奇偶性可得1(02f =，即可求解20152f ⎛⎫ ⎪⎝⎭．【详解】当1x ≠-且0x ≠时，由(1)(1)()xf x x f x +=+，得(1)()1f x f x x x +=+，令()()f x g x x =，则()g x 是周期为1的函数，所以201511(()2(222g g f ==，当12x =-时，由(1)(1)()xf x x f x +=+得，1111()()2222f f -=-，又()f x 是偶函数，所以11()()22f f =-，所以1()02f =，所以201511(()2(0222g g f ===，所以2015201520150222f g ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：A【点睛】解决抽象函数问题的两个注意点：（1）对于抽象函数的求函数值的问题，可选择定义域内的恰当的值求解，即要善于用取特殊值的方法求解函数值．（2）由于抽象函数的解析式未知，故在解题时要合理运用条件中所给出的性质解题，有时在解题需要作出相应的变形．8．A【分析】由解析式知()f x 是奇函数且0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调增，即可判断函数图象．【详解】由于()()()||||22()()cos cos x x x x f x f x x x -⋅-⋅--===--所以()f x 为奇函数，故排除B ，D ，而cos y x =，2x y =，y x =在(0,2π上分别为减函数､增函数､增函数，且函数值均为正数，所以()f x 在(0,2π上为增函数，故选：A9．C【分析】A 选项：对()f x 求导，进一步判断单调性；B 选项：判断函数的奇偶性，以及根据单调性判断函数()f x 的图像在x 轴上方，从而得出结论.CD 选项：根据B 选项可知结论.【详解】A 选项：函数()f x 定义域为0x ≠，(221()log 1f x x x ⎛⎫'=-+++=设(2()log g x x =+()()()11222222111211222()ln 21x x x g x x x x ---+⋅++⋅'=-+==在（0，+∞）上，所以()0g x '<，即()g x 单调递减，()(0)0g x g <=故()0f x '<∴当0x >时，()0f x '<，即()f x 在（0，+∞）上单调递减，故A 错误；((222111()log log log =()f x x x f x x x x ⎛⎫-=-+==-∴()f x 为偶函数，关于y 轴对称，在(,0)-∞，()f x 单调递增，在(0+)∞，，()f x 单调递减，当0x >时1x +>，(2log 0x >，(21()log 0f x x x =+>∴()f x 的图像在x 轴上方，∴当0m >时，()y f x =与y m =-的图像无交点，说明方程()f x +m =0无解，故B 错误；C 选项：根据B 选项可知()f x 是关于y 轴对称C 正确；D 选项：根据B 选项可知()f x 是偶函数，故D 错误.故选：C.【点睛】求函数单调性的方法：1.变化趋势法；2.复合函数法；3.定义证明方法；4.等价形式法；5.导数法，注意：不管使用什么方法，首先都要确定定义域和求分界点；10．A【分析】先将,a b 化为同底数的幂，利用指数对数函数的性质比较a 、b 、||c 三个数的大小关系，再由函数()y f x =在区间()0,∞+上的单调性并结合偶函数的性质可得出()f a 、()f b 、()f c 的大小关系.【详解】()444110log 0.3log log 0,1,0.33c ==-=∈ ，0.30.40.331,331a b =>=>>，即1||0b a c >>>>，由于函数()y f x =是偶函数，在区间(),0-∞上单调递增，所以在()0,+∞上单调递减，由于函数()y f x =为偶函数，则()()()|c|f f a f b >>，即()()()c f f a f b >>，故选：A.本题考查利用函数的单调性比较函数值的大小关系，涉及指数对数的运算和比较大小，考查推理能力，属于中等题.关键是转化为()0,+∞上的单调性再比较.11．ABD【分析】画出函数的图像，根据图像分析判断即可【详解】函数()ln 2||f x x =-的图像如图所示：由图可得：函数()f x 在区间()1,2上单调递增，故A 正确；函数()y f x =的图像关于直线2x =对称，故B 正确；若12x x ≠，但()()12f x f x =，则当122,2x x >>时，124x x +>，故C 错误；函数()f x 的图像与x 轴有且仅有两个交点，故D 正确.故选ABD .【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查函数的性质的应用，解题的关键是画出函数图像，根据图像求解即可，考查数形结合的思想，属于中档题12．1【分析】由已知奇偶性可得()()f x f x -=，结合已知解析式可求出22a =，即可求出a .【详解】因为2()(0)21x x f x ax x =+≠-，且()f x 是偶函数，则()()f x f x -=，2222222,,20212121212121xx x x x x x x x ax ax a a a --⨯--=+--=++-=------，即22a =，所以实数1a =．故答案为:1.13．0【分析】推导出当0x ≥时，()()4f x f x +=，利用函数()f x 的周期性和奇偶性可求得结果.【详解】当0x ≥时，()()()142f x f x f x +=-=+，又因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()()()()12019201945043311f f f f f -==⨯+==-=-，()()()20214505111f f f =⨯+==，因此，()()201920210f f -+=.故答案为：0.【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.14．（1）2()2f x x x =+；（2）1或1+【分析】（1）根据偶函数的性质，令(,0)x ∈-∞，由()()f x f x =-即可得解；（2）0m >，有221m m -=，解方程即可得解.【详解】（1）令(,0)x ∈-∞，则(0,)x -∈+∞，由()()f x f x =-，此时2()2f x x x =+；（2）由0m >，2|()|21f m m m =-=，所以221m m -=±，解得1m =或1m =或1m =（舍）.真题再现1．D【详解】A 是增函数，不是奇函数；B 和C 都不是定义域内的增函数，排除，只有D 正确，因此选D.点评：该题主要考察函数的奇偶性和单调性，理解和掌握基本函数的性质是关键.2．B【详解】试题分析：因为，代入条件等式再相加，得．故选B ．考点：函数奇偶性的应用．3．C【详解】在同一直角坐标系中分别作出两个函数的图像，可知有两个交点.4．A【详解】若≠0，则有，取，则有：（∵是偶函数，则）由此得，．5．B【详解】首先判断奇偶性：A,B 为偶函数，C 为奇函数，D 既不是奇函数也不是偶函数,所以排除C 、D ，对于先减后增，排除A ，故选B.考点：函数的奇偶性、单调性.6．D【分析】先把x <0，转化为-x>0,代入可得()f x -，结合奇偶性可得()f x .【详解】()f x 是奇函数，0x ≥时，()1x f x e =-．当0x <时，0x ->，()()1x f x f x e -=--=-+，得()e 1x f x -=-+．故选D ．【点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题．7．A【分析】由题意结合函数的解析式考查函数的单调性即可.【详解】函数122,log x y y x -==，1y x=在区间(0,)+∞上单调递减，函数12y x=在区间(0,)+∞上单调递增，故选A .【点睛】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的考查，蕴含数形结合思想，属于容易题.8．A【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为{}0x x ≠，利用定义可得出函数()f x 为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．【详解】因为函数()331f x x x=-定义域为{}0x x ≠，其关于原点对称，而()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数．又因为函数3y x =在()0,+¥上单调递增，在(),0-¥上单调递增，而331y x x-==在()0,+¥上单调递减，在(),0-¥上单调递减，所以函数()331f x x x =-在()0,+¥上单调递增，在(),0-¥上单调递增．故选：A ．【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．9．C 【详解】试题分析：函数是定义在上的偶函数，∴，等价为），即．∵函数是定义在上的偶函数，且在区间单调递增，∴）等价为．即，∴，解得,故选项为C ．考点：（1）函数的奇偶性与单调性；（2）对数不等式.【思路点晴】本题主要考查对数的基本运算以及函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用根据函数的奇偶数和单调性之间的关系，综合性较强.由偶函数结合对数的运算法则得：，即，结合单调性得：将不等式进行等价转化即可得到结论.10．B 【详解】试题分析：因为A 项是奇函数，故错，C ，D 两项项是偶函数，但在(0,)+∞上是减函数，故错，只有B 项既满足是偶函数，又满足在区间(0,)+∞上是增函数，故选B ．考点：函数的奇偶性，单调性．11．A 【详解】因为2、4是函数的零点，所以排除B 、C ；因为1x =-时0y <，所以排除D,故选A 12．D。

函数的基本性质一、函数的有关概念1．函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作：y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域．概念重点疑点：对于定义域中任何x ，都有唯一确定的y=f （x ）与x 相对应。

即在直角坐标系中的图像，对于任意一条x=a （a 是函数的定义域）的直线与函数y=f （x ）只有一个交点；例1、下列对应关系中，x 为定义域，y 为值域，不是函数的是（）A.y=x 2+x3 B.y= C.|y|=x D.y=8x 解：对于|y|=x ，对于任意非零x ，都有两个y 与x 对应，所以|y|=x 不是函数。

图像如下图，x=2的直线与|y|=x 的图像有两个交点。

故答案选C 例2、下列图象中表示函数图象的是（）（A ） (B) (C ) (D)解析：对于任意x=a 的直线，只有C 选项的图形与x=a 的直线只有一个交点，即对于定义域中任何x ，都有唯一确定的y=f （x ）与x 相对应。

故选C 。

x y 0 x y 0 x y 0xy注意：1、如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．定义域补充：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。