第十二章 数学思想方法教学

第十二章 数学思想方法教学

首先我们进行第十一章的学习知道。关于十一章我们主要介绍这三方面内容：数学知识与数学思想方法、数学思想方法与素质教育、以及从国际和国内教育改革看数学思想方法的教学。

一、数学思想方法与素质教育的学习内容

1．数学知识与数学思想方法

我们应首先明确数学基础知识与数学思想方法之间的关系。数学知识和数学思想方法是紧密相连的，没有脱离数学知识的数学思想方法，也没有不包含数学思想方法的数学知识。数学基础知识与数学思想方法是数学教学的两条主线。数学基础知识是一条明线，用文字明明白白地写在教材里，反映着知识间的纵向联系；数学思想方法则是一条暗线，反映着知识间的横向联系，它常常隐藏在基础知识的背后，需要人们加以分析、提炼才能显露出来。在数学教学中，应把二者有机地结合起来，才能让学生学好知识，进而形成优化的知识结构。

著名数学教育家波利亚（G·Polya）曾统计，学生毕业后，研究数学和从事数学教育的人占1%，使用数学的人占29%，基本上不用数学的占70%。我国北京地区1988年统计，中学毕业生升入数学系的学生占1.48%。学习形式化的数学知识，对于将来读数学系的学生或许有益，而让99%的人陪1%的人去学数学家才要的数学，对于大多数学生来说实在是一种浪费。相比之下，数学思想方法比形式化的数学知识更具有普遍性，在学生未来的工作和生活中有更加广泛的应用。因此，我们应重视数学思想方法的教学。

2．数学思想方法与素质教育

素质教育包含四个主要方面，即思想道德素质、科学文化素质、心理健康素质和劳动技能素质。只有学校教育的一切方面通力合作，才能实现真正的素质教育。而数学教育则是素质教育的一个重要方面。

在英国的大学里，律师专业的学生至今仍要学习许多数学内容。在美国西点军校，许多高深的数学课程都是学生的必修课。他们学习数学的目的并不是为了掌握那些具体的数学知识。事实上，当他们后来成为著名律师或者运筹帷幄的将帅时，早就把学生时代学到的那些具体的数学知识全部忘掉了，它们主要是为了接受数学训练和形成一定的数学思想方法，这些在他们日后的事业和生存方式中起着重要作用，直至终身。日本数学家和数学教育家米山国藏在从事了多年数学教育之后，说过一段寓意深刻的话：学生们在初中或高中所学到的数学知识，在进入社会后，几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的数学，通常在出校门后不到一两年就忘掉了，然而不管他们从事什么业务工作，那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法，却长期地在他们的生活和工作中发挥重要作用。

通过以上的论述，关于数学思想方法和数学教育，我们可以得到这样两点认识：

● 数学教育不仅对于提高人的科学文化素质有着重要作用，而且对于提高思想品德素质和心理健康素质也有着不可忽视的作用。

● 在提高人的素质中发挥重要作用的，是人们在长期数学学习中逐步形成的数学精神和数学思想方法。

可见，数学思想方法在提高人的素质中有着重要作用。因此，在数学教育中我们应该十分重视数学思想方法的教学。这是实施素质教育的需要，同时也是更好地发挥数学的教育功能的需要。 3．从国际国内数学教育改革看数学思想方法的教学

通过国际国内数学教育改革的考察，我们不难发现各国教育界人士正逐渐重视数学思想方法的教学。

美国1989年NCTM（全美数学教师协会）发表了《中小学数学课程与评估标准》，文件论述了数学教育改革的目标是，应当培养出有数学素养的社会成员，并提出作为“有数学素养”的标志的五项条件：

● 懂得数学的价值；即就是懂得数学在我们文化中的地位和社会生活中的作用。

● 对自己的数学能力有信心；懂得数学是人类社会中极为普遍的活动，相信自己有用数学的能力，而不是害怕数学或厌恶数学。

● 有解决数学课题的能力；课题可以来自数学的内部，也可以来自数学的外部，更主要的是指来自现实世界的课题。要求学生有归结问题、进行调查研究、收集论据、进行论证、找出答案的能力。

● 学会数学交流；会读数学、写数学、讨论数学、会同别人进行交流。

● 学会数学的思想方法。

俄罗斯的中小学数学教育大纲中，指出中小学数学教育的基本任务是：

● 使学生掌握作为现代社会的人在日常生活和生产活动中所必需的，并足以适应其它学科的学习和继续学习之要求的数学知识、能力和技能；

● 使学生形成关于数学的思想方法及其对认识世界之作用的概念；

● 用数学手段培养和发展学生个性的理性品质。

在学习数学思想方法方面，美国将学会数学思想方法作为“有数学素养”的标志，俄罗斯则要求“学生形成关于数学思想方法及其对认识世界之作用的概念”列为数学教育的三大基本任务之一。

我国教育部2001年正式颁布国家《数学课程标准》（实验稿），充分体现了数学课程改革与发展的内涵、特点和具体目标，并呈现下列八个特点：

第一、把“现实数学”作为数学课程的一项内容。《数学课程标准》提供了“现实数学”的“案例”。例如，一次水灾大约有20万人的生活受到影响，灾情将持续一个月。请推断：大约需要组织多少顶帐篷？多少吨粮食？要求学生借助实际问题，能对含有较大数字的信息做出合理的解释和推断。

第二、把“数学化”作为数学课程的一个目标。学生学习数学化的过程是将学生的现实数学进一步提高、抽象的过程。例如，学生也许凭直觉能快速地将罗列的一些学具、水果、餐具分类，可是如果促使学生考虑一下分类为什么这样分？对这个结论进行反思，学生会寻找分类的标准，领悟分类方法并不断地将数学化过程推向前进。

第三、把“再创造”作为数学教育的一条原则。把“已完成的数学”当成是“未完成的数学”来教，给学生提供“再创造”的机会。把传统的“听中学”与“看中学”转变为主动的、活动的“做中学”与“玩中学”，为学生设置创造的情境。

第四、把“问题解决”作为数学教学的一种模式。《数学课程标准》提出了“问题解决”的教学模式，即：情境—问题—探索—结论—反思。要求教学做到（1）创设情境；（2）提出问题；（3）探索方法；（4）明确结论；（5）回顾反思。

第五、把“数学思想方法”作为课程体系的一条主线。提出“基本的数学思想方法”，如：观察法、模型方法、分类法、归纳猜想、演绎法等。

第六、把“数学活动”作为数学课程的一个方面。《数学课程标准》强调学生的数学活动，注重“向学生提供充分从事数学活动的机会”，帮助他们“获得广泛的数学活动的经验”。如：进行有意义的实践活动，开展有深度的研讨活动，倡导有价值的思维活动。

第七、把“合作交流”看成学生学习数学的一种方式。让学生在解决问题的过程中“学会与他人合作”，并能“与他人交流思维的过程和结果”。

第八、把“现代信息技术”作为学生学习数学的一种工具。《数学课程标准》强调要充分考虑计算器、计算机对数学学习内容和方式的影响，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力的工具。

我们看到，我国教育改革也把数学思想方法提升到了一个从未有过的高度。把“数学思想方法”作为了课程体系的一条主线，提出“基本的数学思想方法”，如：观察法、模型方法、分类法、归纳猜想、演绎法等。

二、数学思想方法教学的学习内容

1．数学思想方法教学的主要阶段

学生对某一种数学思想方法的领会和掌握，寄希望于几次课就能速成是不现实的。数学思想方法的学习必须经过较长时间、不同内容的学习才能真正达到目的。学生理解或掌握数学思想方法的过程有如下三个主要阶段：

● 潜意识阶段

在这个阶段，学生往往只注意数学知识的学习，注意知识的积累，而未曾注意到对这些知识起到横向联系和固定作用的思想方法，或者只是处于一种“朦朦胧胧”、“似有所悟”的状况。

例如，一般学生在利用三角形或平行四边形的面积公式求解梯形的面积时，在求出梯形的面积后，思维活动就停止了，并未深入思考解决问题的过程中所蕴含的思想方法——化归方法。此时，学生对这一基本思想不很清楚，不会有什么领会，只是把解题技巧作为学习重点来记忆。

● 明朗化阶段

随着运用同一种数学思想方法解决不同的数学问题的实践机会的增多，隐藏在数学知识后面的思想方法就会逐渐引起学生的注意和思索，以至产生某种程度的领悟。当经验和领悟积累到一定程度，这种事实上已被应用多次的思想方法就会凸现出来，学生开始理解解题过程中所使用的方法与策略，并概括总结出这一思想方法。这就是数学思想方法学习的明朗化阶段。

例如，当学生领会不完全归纳思想方法后，面对问题：平面上有10条直线，任何两直线都相交，且无三条或三条以上直线过同一点时，试问这些直线共有多少个交点？他们就会这样去考虑：先从简单的特殊情况开始，如，2条直线有几个交点？3条直线有几个交点？4条直线有几个交点，由此探索出一般结论，再回过头来计算10条直线有多少个交点。

● 深刻理解阶段

在这个阶段，学生基本上能正确运用某种数学思想方法进行探索和思考，以求得问题的解决。同时，在问题解决的实践过程中，学生又加深了对数学思想方法的理解，并养成了有意识地、自觉地运用数学思想方法解决问题的思维习惯。

针对学生学习或掌握数学思想方法的三个阶段，教材中建议教师对数学思想方法教学可设计成下面三个阶段：多次孕育、初步理解、简单应用。

2．数学思想方法教学的原则

数学思想方法教学隶属于数学教学范畴，当然应该贯彻通常的数学教学原则；但是，数学思想方法教学又是特殊内容的数学教学，应该具有某些符合自身特点的特殊的教学原则，根据我们的研究，在实施数学思想方法教学时，应该特别注重以下三条原则的贯彻。

● 化隐为显原则

所谓化隐为显原则，就是在教学中要把隐藏在知识背后的思想方法显示出来，使之明朗化，这样就能通过知识教学过程达到思想方法教学之目的。

● 循序渐进原则

相比知识的理解和一般技能的掌握，数学思想方法比较难于形成。它需要学生深入理解事物之间的本质联系。学生对每种数学思想方法的认识都是在反复理解和运用中形成的，是从个别到一般，从具体到抽象，从感性到理性，从低级到高级的沿着螺旋式方向上升的。所以教学中不能急于求成，而应采取循序渐进的原则。

● 学生参与原则

数学思想方法教学中，教师要组织学生积极参与教学过程，在老师的启发引导下才能逐步领悟、形成、掌握数学思想方法。

3．数学思想方法教学的注意事项

为了切实加强数学思想方法教学，还应注意以下几点事项：

● 要把数学思想方法的学习纳入教学目标，并在教案中设计好数学思想方法的教学内容和教学过程。这就要求教师具有较高的数学修养，具备数学方法论、数学发展史、数学思想方法的基础知识。更加重要的是，需要教师更新数学观念，不断提高对数学思想方法教学重要性的认识。真正认识到数学思想方法是数学教学的重要内容，只有让学生在数学思想方法的高度上掌握数学知识，才能较好地形成数学能力，实现素质教育的目标。

● 重视数学知识发生、发展的过程，认真设计数学思想方法教学的目标。由于学生数学思想方法的形成和发展要经历一个漫长、复杂、反复的渐进过程，因此，要达成终结目标，也需要有一个分层渐进的过程。如教材中建议的，将数学思想方法教学设计成多次孕育、初步理解、简单应用三个阶段。