数学思想方法总结2

数学思想方法之特殊与一般

1．特殊化思想

对于某个一般性的数学问题，对于某个一般性的数学问题，如果一时难以解决，如果一时难以解决，那么可以先解决它的特殊情况，那么可以先解决它的特殊情况，即从即从

研究对象的全体转变为研究属于这个全体中的一个对象或部分对象，然后再把解决特殊情况

的方法或结论应用或者推广到一般问题上，从而获得一般性问题的解答，这种用来指导解决

问题的思想称之为特殊化思想. 

2．一般化思想

当我们遇到某些特殊问题很难解决时，不妨适当放宽条件，把待处理的特殊问题放在一

个更为广泛、更为一般的问题中加以研究，更为一般的问题中加以研究，先解决一般情形，先解决一般情形，先解决一般情形，再把解决一般情形的方法或结再把解决一般情形的方法或结

果应用到特殊问题上，最后获得特殊问题的解决，这种用来指导解决问题的思想称之为一般

化思想. 

一、一般问题特殊化一、一般问题特殊化

【例1】设三棱柱111ABCABC-的体积为,,VPQ分别是侧棱11,AACC上的点，且

1PAQC=，则四棱锥BAPQC-的体积为的体积为

（Ａ）1

6V

（Ｂ）1

4V

（Ｃ）1

3V

（Ｄ）1

2V

【分析及解】本题考查棱柱、棱锥的概念与计算. 

方法一 常规方法

如图2-18,因为

1PAQC=，所以PQ

将三棱柱的侧面

11AACC

分成面积相

等的两个梯形，从而

11BAPQCBPACQVV

--=.又

11111

33BABCVVV

-==

柱体，且三棱

柱

111ABCABC-被分成两个四棱锥BAPQC-与

11BPACQ-以及三棱锥

111BABC-三部分，所以1

3BAPQCVV

-=. 

方法二 特殊化的方法. 

仔细分析题目的已知条件会发现，仔细分析题目的已知条件会发现，三棱柱的形态没给出具体限制，三棱柱的形态没给出具体限制，三棱柱的形态没给出具体限制，是一般的三棱柱；是一般的三棱柱；侧

棱

11,AACC

上的两点,PQ

只有

1PAQC=的要求，而没有具体位置的限制.从选项来看，所

第1页 共3页考点二：降次法

降次法：解数学题时，把某个高次幂整式用一个低次幂整式去代替它，从而使整式的次数降低，达到简化问

题的目的，这叫降次法。

（一）直接代入降次：

1．已知，求代数式的值。2

=1xx32

23xx

2．已知，求代数式的值。2

330xx32

5310xxx

3．已知，求代数式的值。 2

310xx32

2372009xxx

第2页 共3页4．已知，求代数式的值.2

10aa432

2343aaaa

（二）与方程的解有关的降次：

1．已知是方程的一个根，求的值。 m

2

250xx32

259mmm

第3页 共3页2．已知是方程的根，求代数式的值。m

2

310xx4

2110mm

3．已知是方程的一个根，求代数式

的值。m

2

5350xx2

21

52

525

mm

mm

第4页 共3页4．已知是方程一个根，求的值。a

2

200910x

x2

22009

2008

1

aa

a

（三）先变形，后降次：

1．（处理根号）已知：，求代数式

的值。329

2x

432

3652xxxx

2．（处理代数式）若， 求代数式的值。2

240aa2

11232aaa





第5页 共3页（四）降次法解一元二次方程：

1．已知，求的值。

2

2222

230abab22

ab

2.用适当的方法解下列方程（这里也有降次哦）

（1） （2）22

4325440()()xxx2

2142212()()()xxx

第6页 共3

页1

2

3

1

2

3

1

2

3

45

第7页 共3页6

1

2

3

4

5

6

1 23

1

2

走在路上，挫折是难免的，低潮是必然的，孤独与寂寞是如影随形的;总有被人误解的时候，总有寄人篱下的时候，总有遭人诽谤与暗算的时候。这些时候，要知道潮涨潮落、波谷波峰的道理，只要你能够耐心等待，受得了折磨，

第8页 共3

页守得住底线，一切都会证明，生活不会抛弃你，命运不会舍弃你。

1 数学思想方法专题

一、函数与方程思想

要点一 构造函数关系，利用函数性质解决有关问题

例1 设函数f(x)＝ax－(a＋1)ln(x＋1)，其中a>0.

(1)求函数f(x)的单调区间； (2)设f(x)的最小值为g(a)，证明：－1a

变式题：如果关于实数x的方程ax2＋1x＝3x的所有解中，仅有一个正数解，那么实数a的取值范围为( )

A．{a|－2≤a≤2} B．{a|a≤0或a＝2} C．{a|a≥2或a<－2} D．{a|a≥0或a＝－2}

要点二 准确认识函数关系中的主从变量，解决有关问题

例2 已知A、B、C是直线l上的三点，向量OA→，OB→，OC→满足：OA→－[y＋2f′(1)]OB→＋ln(x＋1)OC→＝0. (1)求函数y＝f(x)的表达式； (2)若x>0，证明：f(x)>2xx＋2；

(3)若不等式12x2≤f(x2)＋m2－2bm－3时，x∈[－1,1]及b∈[－1,1]都恒成立，求实数m的取值范围．

变式题：对于满足0≤p≤4的所有实数p，不等式x2＋px＞4x＋p－3都成立，则实数x的取值范围是____________．

2 要点三 利用函数与方程的相互转化，解决有关问题

例3 (1)设a>1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[]a，2a，都有y∈[]a，a2满足方程logax＋logay＝c，这时a的取值的集合为____________．

(2)函数f(x)＝sinx5＋4cosx(0≤x≤2π)的值域是(

)

A.－14，14 B.－13，13 C.－12，12 D.－23，23

要点四 运用函数、方程、不等式的相互转化，解决有关问题

例4 若关于x的方程x2＋2kx－1＝0的两根x1、x2满足－1

)

A.－34，0 B.－34，0 C.0，34 D.0，34

初一数学分类思想方法总结

初一数学分类思想方法总结

数学是一门抽象而具有普遍适用性的学科，它是联系科学和生活的桥梁。在初一阶段，学生们接触到了一些基本的数学概念和方法，如整数、分数、小数、图形、代数等。在这个学习阶段，教师需要采取适当的分类思想方法来帮助学生理解和运用数学知识。下面是对初一数学分类思想方法的总结。

一、整数的分类思想方法：

在初一阶段，整数是一个重要的数学概念。整数既包括自然数（包括0），也包括负整数。在整数的学习中，可以采取以下分类思想方法：

1. 整数的分类：整数可以分为正整数、负整数和0。正整数表示有多个对象，负整数表示少于一个对象，而0表示没有对象。

2. 整数的绝对值：整数的绝对值是该整数到0的距离，对于正整数来说，绝对值等于其本身，对于负整数来说，绝对值等于其相反数。

3. 整数的比较与排序：可以采用数轴的方法，将整数按照大小比较并排序。在比较和排序过程中，需要考虑到整数的正负性和零的特殊性。

二、分数的分类思想方法：

分数是初中数学中的一个重要内容，也是一个相对抽象的概念，这就需要采用合适的分类思想方法来帮助学生理解和应用分数。

1. 分数的分类：分数可以分为真分数、假分数和整数。真分数表示分子小于分母，假分数表示分子大于等于分母，整数表示分子等于分母。

2. 分数的比较与排序：分数的比较需要先将其转化为相同分母的分数，然后比较分子的大小。在排序中，可以通过将分数转化为小数的方式，从而实现分数的比较排序。

三、小数的分类思想方法：

小数是数学中的一个重要概念，它与分数有着密切的联系。在初一学习阶段，可以采取以下分类思想方法来帮助学生理解和应用小数。

1. 小数的分类：小数可以分为有限小数和无限小数。有限小数表示小数部分有限位数，无限小数表示小数部分无限位数。

2. 小数的比较与排序：可以将小数转化为分数的形式，然后比较分数的大小。在排序中，可以将小数转化为数轴上的点，从而实现小数的排序。