专题二 数学思想方法

中小学1对1课外辅导专家

1 龙文教育学科导学案

课 题 数学思想二

学习目标与

考点分析 数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。

学习重点 重难点：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等的理解和应用。

学习方法

探究法、分析、对比、归纳总结

学习内容与过程

回顾所学，强化旧知

师生互动，夯实基础

考点四：方程思想

从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法，这就是方程思想。

用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。

例1 据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2011年公民出境旅游总人数约7200万人次，若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：

（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；

（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？

考点： 一元二次方程的应用。

专题： 增长率问题。

分析： （1）设年平均增长率为x．根据题意2010年公民出境旅游总人数为 5000（1+x）万人次，2011年公民出境旅游总人数 5000（1+x）2 万人次．根据题意得方程求解；

高中专题复习----数学思想方法专辑

第1页共7页 高中数学思想方法

及解题策略

数学能力就是数学的思想方法。数学思想方法是策略性知识，发展学生智力最经济、有效的方法就是培养学生应用策略性知识的能力

“少考一点算，多考一点想”，实质是加重对“数学思想方法”的考查

近几年高考卷中出现的数学思想方法有：

（1）数形结合。（2）分类讨论思想。（3）方程思想。（4）函数建模思想（5）化归思想

一、函数与方程思想

1．函数是中学数学的主线。可以说无处不函数，高考函数比重每年都较大

著名数学家克莱因说过：一般受教育者在数学课上应该学会的重要事情就是用变量和函数来思考。函数思想是一个重要的基本数学思想，其重要性不仅表现为五个基本初等函数的研究占据了高中数学的中心地位，而且还表现为：

①方程或不等式可作为有关函数的零点、单调性、正负区间或极值来处理

②数列作为特殊的函数，一直处于高考的热点上

③作为函数概念的基础——集合与映射，已在高考中作为数学基本语言、数学基本工具而大量出现

④其他数学问题，特别是体现参数讨论或运动观点的问题，常可用函数思想来分析或用函数方法来解决

函数在高考中的重要地位：试题以函数为主线，不仅题量较多，而且高难题常与函数直接联系

函数思想在解题中的应用，主要表现在两个方面：

①借助于有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题

②在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的

2．高考中的方程问题包括方程的求解与方程观的应用

分成逐渐提高的4个层次：

第一层次：解方程

第二层次：带参变数的方程的讨论

第三层次：转化为方程的讨论

第四层次：构造方程求解问题

例1：一等差数列的前10项和为100，前100项的和为10，求该数列前110项的和.

(110)

第1页 共3页考点二：降次法

降次法：解数学题时，把某个高次幂整式用一个低次幂整式去代替它，从而使整式的次数降低，达到简化问

题的目的，这叫降次法。

（一）直接代入降次：

1．已知，求代数式的值。2

=1xx32

23xx

2．已知，求代数式的值。2

330xx32

5310xxx

3．已知，求代数式的值。 2

310xx32

2372009xxx

第2页 共3页4．已知，求代数式的值.2

10aa432

2343aaaa

（二）与方程的解有关的降次：

1．已知是方程的一个根，求的值。 m

2

250xx32

259mmm

第3页 共3页2．已知是方程的根，求代数式的值。m

2

310xx4

2110mm

3．已知是方程的一个根，求代数式

的值。m

2

5350xx2

21

52

525

mm

mm

第4页 共3页4．已知是方程一个根，求的值。a

2

200910x

x2

22009

2008

1

aa

a

（三）先变形，后降次：

1．（处理根号）已知：，求代数式

的值。329

2x

432

3652xxxx

2．（处理代数式）若， 求代数式的值。2

240aa2

11232aaa





第5页 共3页（四）降次法解一元二次方程：

1．已知，求的值。

2

2222

230abab22

ab

2.用适当的方法解下列方程（这里也有降次哦）

（1） （2）22

4325440()()xxx2

2142212()()()xxx

第6页 共3

页1

2

3

1

2

3

1

2

3

45

第7页 共3页6

1

2

3

4

5

6

1 23

1

2

走在路上，挫折是难免的，低潮是必然的，孤独与寂寞是如影随形的;总有被人误解的时候，总有寄人篱下的时候，总有遭人诽谤与暗算的时候。这些时候，要知道潮涨潮落、波谷波峰的道理，只要你能够耐心等待，受得了折磨，

第8页 共3

页守得住底线，一切都会证明，生活不会抛弃你，命运不会舍弃你。

数学思想方法专题讲解降次法

Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】

考点二：降次法

降次法：解时，把某个高次幂整式用一个低次幂整式去代替它，从而使整式的次数降低，达到简化问题的目的，这叫降次法。

（一）直接代入降次：

1．已知2=1xx，求代数式3223xx的值。

2．已知2330xx，求代数式325310xxx的值。

3．已知2310xx，求代数式322372009xxx的值。

4．已知210aa，求代数式4322343aaaa的值.

（二）与方程的解有关的降次：

1．已知m是方程2250xx的一个根，求32259mmm的值。

2．已知m是方程2310xx的根，求代数式42110mm的值。

3．已知m是方程25350xx的一个根，求代数式22152525mmmm的值。

4．已知a是方程2200910xx一个根，求22200920081aaa的值。

（三）先变形，后降次：

1．（处理根号）已知：3292x，求代数式4323652xxxx的值。

2．（处理代数式）若2240aa， 求代数式211232aaa的值。

（四）降次法解一元二次方程：

1．已知22222230abab，求22ab的值。

2.用适当的方法解下列方程（这里也有降次哦）

（1）224325440()()xxx （2）22142212()()()xxx