数学思想方法讲解(初二版)
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数学思想方法专题
知识点归纳：常用的数学思想
1．整体思想
从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易.
整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等
2．分类讨论思想
在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异。分各种不同情况予以考察，这是一种重要数学思想方法和重要的解题策略 ，引起分类讨论的因素较多，归纳起来主要有以下几个方面：（1）由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论；（2）由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论；（3）由于图形的不确定性引起的讨论；（4）由于题目含有字母而引起的讨论。
3．数形结合思想
在中学数学里，我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开，也就是说，代数问题可以几何化，几何问题也可以代数化，“数”和“形 ”在一定条件下可以相互转化、相互渗透。
4.函数与方程的思想
方程是研究数量关系的重要工具，在处理生活中实际问题时，根据已知与未知量之间的联系及相等关系建立方程或方程组，从而使问题获得解决的思想方法称为方程思想．而函数的思想是用运动、变化的观点，研究具体问题中的数量关系，再用函数的形式把变量之间的关系表示出来．
5.转化思想
转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
第1讲 整体思想
1．(江苏盐城)已知a－b＝1，则代数式2a－2b－3的值是( )
A．－1 B．1 C．－5 D．5
2．(山东济南)化简5(2x－3)＋4(3－2x)结果为( )
A．2x－3 B．2x＋9 C．8x－3 D．18x－3
3．(浙江杭州)当x＝－7时，代数式(2x＋5)(x＋1)－(x－3)(x＋1)的值为________． 2
4．(江苏苏州)若a＝2，a＋b＝3，则 a2＋ab＝______.
5．已知 x＋2y＝4k＋1，2x＋y＝k＋2，且0
6．若买铅笔4支，日记本3本，圆珠笔2支，共需10元；若买铅笔9支，日记本7本，圆珠笔5支，共需25元，则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需______元．
图Z1－3
7．如图Z1－3, ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝________________.
8．(浙江丽水)已知A＝2x＋y，B＝2x－y，计算A2－B2的值．
9.已知1x－1y＝3，求代数式2x－14xy－2yx－2xy－y的值．
第2讲 分类讨论思想
1. 已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为（ ）
A. 30° B. 75° C. 105° D. 30°或75°
2. 已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________。
3.(•乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（ ）
A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm
4. 若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。
5. 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，求这个等腰三角形的顶角的度数。 3
6．A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行．已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，以过t小时两车相距50千米，则t的值是（ ）
A．2或2．5 B．2或10 C．10或12．5 D．2或12．5
7. 为美化环境，计划在某小区内用230m的草皮铺设一块一边长为10m的等腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。
8. （上海市中考题）直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆半径等于 .
9. 已知ΔABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程023)32(22kkxkx
的两个实数根，第三边BC长为5。
（1）k为何值时，ΔABC是以BC为斜边的直角三角形？
（2）k为何值时，ΔABC是等腰三角形，并求ΔABC的周长。
第3讲 数形结合思想
1．(四川自贡)伟伟从学校匀速回家，刚到家发现当晚要完成的试卷忘记在学校，于是马上以更快的速度匀速沿原路返回学校．在这一情景中，速度v和时间t的函数图象(不考虑图象端点情况)大致是( )
A B C D
2．文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边20米处，玩具店位于书店东边100米处，小明从书店沿街向东走了40米，接着又向东走了－60米，此时小明的位置在( )
A．玩具店 B．文具店 C．文具店西边40米 D．玩具店东边－60米
4 3．实数a、b上在数轴上对应位置如图3－3－6所示，则2||abb等于（ ）
A．a B．a－2b C．－a D．b－a
4. 已知直线y1=2x－1和y2=－x－1的图象如图3－3－24所示，根据图象填空．
⑴ 当x______时，y1＞y2；当x______时，y1=y2；当x______时，y1＜y2.
⑵ 方程组211yxyx的解是_____________。
5．(天津)某电视台“走基层”栏目的一位记者乘汽车赴360 km外的农村采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为乡村公路．若汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y(单位：km)与时间x(单位：h)之间的关系如图Z3－6，则下列结论正确的是( )
A．汽车在高速公路上的行驶速度为100 km/h； B．乡村公路总长为90 km
C．汽车在乡村公路上的行驶速度为60 km/h D．该记者在出发后4.5 h到达采访地
图Z3－6
6、 如图3－3－12所示，ΔAOB为正三角形，点A、B的坐标分别为(2,),(,0)AaBb，求a，b的值及△AOB的面积．
第4讲 函数与方程思想
【例1】 如图：在△ABC中，BA=BC=20 cm，AC=30 cm，点P从点A出发，沿AB以每秒4 cm的速度向点B运动；同时Q点从C点出发，沿CA以每秒3 cm的速度向点A运动．设运动的时间为x秒．
(1)当x为何值时，PQ∥BC?
(2)△APQ能否与△CQB相似?
(3)若能．求出AP的长；若不能．请说明理由． 5 【解】(1)根据题意AP=4xcm，AQ=AC－QC=(30－30x)cm，若PQ∥BC，则APAQABAC．
则43032030xx，解得103x．所以当103xs时，PQ∥BC．
(2)因为∠A=∠C，所以当APAQCQCB或APAQCBCQ时，△APQ能与△CQB相似．
①当APAQCQCB时，4303320xxx，解得109x．
②当APAQCBCQ时，4303203xxx，解得x1=5，x2=－10(舍去)．所以AP=4x=20．
所以当409APcm或20 cm时，△APQ与△CQB相似．
【解题反思】 由相似三角形的对应边成比例，可列出分式方程，从而求解；在已知一个角对应相等的前提下考虑两个三角形相似时，有两种情况，不可遗漏．
1．如果关于x的方程3211axxx无解，则a的值为__________．
2．如图，已知矩形ABCD中，E是AD上一点，F是AB上一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4 cm，矩形ABCD的周长为32 cm，求AE的长．
3．如图3，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别从点A 、C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，点Q以2 cm/s的速度向点D移动．当点P运动到点B停止时，点Q也随之停止运动。问几秒后，点P和点Q的距离是10 cm？
4．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元。为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价。据测算，若每箱降价1元，每天可多售出2箱。如果要使每天销售饮料获利14000元，每箱应降价多少元？
A
B C D
P
Q
图3 E 6
第5讲 转化思想
1. 在关于x的一元二次方程0)1(22)1(22xcbxxa中，a、b、c是ABCRt的三条边，90C，那么这个方程根的情况是（ ）
A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有实数根 D. 有两个不相等的实数根
2. 已知a、b、c是ABC三边的长，b>a＝c，且方程022cbxax两根的差的绝对值等于2，则ABC中最大角的度数是（ ）
A. 90 B. 120 C. 150 D. 60
3．已知，求的值．
4． 如图1所示，ΔABC是等边三角形，P为三角形内任一点，PD//AB交BC于D，PE//BC交AC于E，PF//CA交AB于F，若三角形的周长为18cm，试求PE+PD+PF的值．
5. 四边形ABCD中，60ABC，AC平分BAD，67ADAC，，3215ADCS，求BC和AB的长。
