概率论复习题与答案
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一．事件及其概率
1. 设,,ABC为三个事件，试写出下列事件的表达式：
(1) ,,ABC都不发生；(2),,ABC不都发生；(3),,ABC至少有一个发生；(4),,ABC至多有一个发生。
解：(1) ABCABC
(2) ABCABC
(3) ABC
(4) BCACAB
2. 设BA,为两相互独立的随机事件,4.0)(AP,6.0)(BP,求(),(),(|)PABPABPAB。
解：()()()()()()()()0.76PABPAPBPABPAPBPAPB；
()()()()0.16,(|)()0.4PABPABPAPBPABPA。
3. 设,AB互斥，()0.5PA，()0.9PAB，求(),()PBPAB。
解：()()()0.4,()()0.5PBPABPAPABPA。
4. 设()0.5,()0.6,(|)0.5PAPBPAB，求(),()PABPAB。
解：()()(|)0.3,()()()()0.8,PABPBPABPABPAPBPAB
()()()()0.2PABPABPAPAB。
5. 设,,ABC独立且()0.9,()0.8,()0.7,PAPBPC求()PABC。
解：()1()1()1()()()0.994PABCPABCPABCPAPBPC。
6. 袋中有4个黄球，6个白球，在袋中任取两球，求
(1) 取到两个黄球的概率；
(2) 取到一个黄球、一个白球的概率。
解：(1) 24210215CPC；(2) 1146210815CCPC。
7. 从0~9十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为5的概率。
解：1215310112CCPC。 ..
..下载可编辑.. 8. 从(0,1)中任取两数，求两数之和小于0.8的概率。
解：10.80.820.321P。
9. 甲袋中装有5只红球，15只白球，乙袋中装有4只红球，5只白球，现从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问从乙袋中取出红球的概率为多少？
解：设A“从甲袋中取出的是红球”，B “从乙袋中取出的是红球”，则：
1312(),(),(|),(|),4425PAPAPBAPBA
由全概率公式得：
17()()(|)()(|)40PBPAPBAPAPBA。
10. 某大卖场供应的微波炉中，甲、乙、丙三厂产品各占50%、40%、10%，而三厂产品的合格率分别为95%、85%、80%，求
(1) 买到的一台微波炉是合格品的概率；
(2) 已知买到的微波炉是合格品，则它是甲厂生产的概率为多大？
解：(1) 设321,,AAA分别表示买到的微波炉由甲、乙、丙厂生产，B表示买到合格品，则
123123()0.5,()0.4,()0.1,(|)0.95,(|)0.85,(|)0.8,PAPAPAPBAPBAPBA
由全概率公式得31()()(|)0.895iiiPBPAPBA；
(2) 1111()()(|)0.47595(|)()()0.895179PABPAPBAPABPBPB。
二．一维随机变量及其数字特征
1. 已知X的概率密度函数1,02()0,kxxfxelse，求1,,2kPXEX。
解：201()(1)221,2fxdxkxdxkk
21211912216PXxdx，2012123EXxxdx。
2. 设)1.0,3(~BX，求2,{1}PXPX。
解：2233{2}(0.1)(0.9)0.027,{1}1{0}10.90.271PXCPXPX。
3. 设三次独立随机试验中事件A出现的概率相同，已知事件A至少出现一次的概率为6437，求A在一次试验中出现的概率p。
解：三次试验中A出现的次数),3(~pBX，由题意： ..
..下载可编辑.. 416437)1(1)1(101}1{33003ppppCXPXP。
4. 某种灯管的寿命X（单位：小时）的概率密度函数为21000,1000()0,xfxxelse，
(1) 求{1500}PX；
(2) 任取5只灯管，求其中至少有2只寿命大于1500的概率。
解：(1) 2150010002{1500}3PXdxx；
(2) 设5只灯管中寿命大于1500的个数为Y，则2~5,3YB，故
54121232{2}1{0}{1}15333243PYPYPY。
5. 设~(,),1.6,1.28,XBnpEXDX求,np。
解：1.6,(1)1.288,0.2EXnpDXnppnp。
6. 设~(2)X，求2{2},(23)PXEXX。
解：2{2}13PXe，
222(23)()232342437EXXEXEXEXDXEX。
7. 设]6,1[~UX，求24XP。
解：1,16()70,xfxelse，73710)(24211424dxdxdxxfXP。
8. 设X服从)5,1(上的均匀分布，求方程210tXt有实根的概率。
解：1,15()60,xfxelse，52211{0}{40}62PPXdx。
9. 设~[1,3]XU，求1,,EXDXEX。
解：2311,13(31)111112,,(),ln32123220,xEXDXfxEdxXxelse。 ..
..下载可编辑.. 10. 设某机器生产的螺丝长度~(10.05,0.0036)XN。规定长度在范围12.005.10内为合格，求螺丝不合格的概率。
解：螺丝合格的概率为
9544.01)2(2)2()2(06.012.006.005.1006.012.012.005.1012.005.10XPXP
故螺丝不合格的概率为0456.09544.01。
11. 设)4,0(~NX，30002XY，求EY、DY及Y的分布。
解：230003000,416,~(3000,16)EYEXDYDXYN。
12. 设X与Y独立，且),1,1(~NX),3,1(~NY求(2),(2)EXYDXY。
解：(2)21,(2)47EXYEXEYDXYDXDY。
13. 设1~(4),~4,,0.6,2XYXYB求(32)DXY。
解：(32)941225.6XYDXYDXDYDXDY。
14. 设]2,1[~UX，求XY的概率密度函数。
解：}{)(yXPyYPyFY
(1) 当0y时，0)(yFY；
(2) 当10y时，ydxyFyyY3231)(；
(3) 当21y时，31310)(11ydxdxyFyyY；
(4) 当2y时，1)(yFY；
故0,02,013()1,1231,2YyyyFyyyy，2,0131()(),1230,YYyfyFyyelse。
三．二维随机变量及其数字特征
1. 已知),(YX的联合分布律为：
Y
X 1 1 2 ..
..下载可编辑.. 5 0.1 0.4 0
5 0.2 a 0.2
(1) 求a；
(2) 求0,1,{1|5}PXYPYX；
(3) 求YX,的边缘分布律；
(4) 求XY；
(5) 判断,XY是否独立。
解：(1) 0.1a;
(2) 0.3,0.2；
(3) :0.5,0.5;:0.3,0.5,0.2XY；
(4) 0,0.6,()0cov(,)0,0XYEXEYEXYXY；
(5) 0.10.40.20.1，不独立。
2. 已知),(YX的联合分布律为：
X
Y 1 0 2
0 a 19 16
1 19 b 13
且X与Y相互独立，求：
(1)
ba,的值；
(2) }0{XYP；
(3) ,XY的边缘分布律；
(4) ,,,EXEYDXDY；
(5) ZXY的分布律。
解：(1) 111296,1118993aabb;
(2) 45{0}1{0}199PXYPXY； ..
..下载可编辑.. (3) 11112:,,;:,63233XY；
(4) 22222251353222,,(),,,()6636339EXEXDXEXEXEYEYDYEYEY；
(5) 151{1},{0},{2}993PZPZPZ。
3. 已知),(YX的概率密度函数为(),02,01(,)0,cxyxyfxyelse，求：
(1) 常数c；
(2) 关于变量X的边缘概率密度函数)(xfX；
(3) )(YXE。
解：(1) 21200011(,)()23123fxydxdydxcxydycxdxcccc；
(2) 10111(),02()(,)3320,Xxydyxxfxfxydyelse；
(3) 916)(31),()()(10220dyyxdxdxdyyxfyxYXE。
4. 设),(YX的概率密度函数为：,01,0(,)0,Axyxyxfxyelse，
(1) 求A；
(2) 求(),()XYfxfy；
(3) 判断,XY是否独立；
(4) 求1,12PYPXY；
(5) 求cov(,)XY。
解：(1) 100188xAdxAxydyA；
(2) 3084,01()(,)0,xXxydyxxfxfxydyelse，
1284(1),01()(,)0,yYxydxyyyfyfxydxelse；
