【精品】2014-2015年山东省淄博市临淄中学高二上学期数学期末试卷(理科)与答案

高二数学试题本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．抛物线2y x =的准线方程是 A ．12y =B ．12y =-C ．14y =D ．14y =- 2．命题p ：0x R ∃∈，20010x x -+≤，p ⌝为A ．2,10x R x x ∀∈-+<B ．2,10x R x x ∀∈-+>C ．2,10x R x x ∃∈-+>D ．2,10x R x x ∃∈-+≥ 3．如果a ＜b ＜0，那么( )．A ．2a b+> B ．ac ＜bc C ．a 1＞b1D ．a 2＜b 24．命题p ：若0x ≠或0y ≠，则220x y +≠，如果把命题p 视为原命题，那么原命题、逆命题、否命题、逆否命题四个命题中正确命题的个数为A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，“A B >”是“sin sin A B >”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 6．如图在空间四边形OABC 中，点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 中点，则MN等于A ．121232OA OB OC -+ B ．211322OA OB OC -++C ．111222OA OB OC +-D ．221332OA OB OC +-7．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若22()6c a b =-+，3C π=，则ABC ∆的面积是( )A ．3B ．932C ．332D ．3 38．已知y x ,满足201y x x y x ≤⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩，且x y z 2-=的最大值是A ． 1B ．1-C ． 2-D ．5-9．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦距为52，且双曲线的一条渐近线方程为20x y -=，则双曲线的方程为A ．1422=-y xB ．1422=-y x C ．15320322=-y x D ．12035322=-y x 10．已知向量()1,21,3a t t =-- ，()2,,b t t =，则a b - 的最小值为A ．2 BD ．11．在公差为d ，各项均为正整数的等差数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＝51，则n ＋d 的最小值为( )A ．14B ．16C ．18D ．1012．已知椭圆1C ：22221x y a b+=（a >b >0）与双曲线22214y C x -=：有公共的焦点，圆 222x y a +=与2C 的一条渐近线相交于,A B 两点．若1C 恰好将线段AB 三等分，则A ．22b =B ．212b =C ．213a =D ．232a =二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．只要求填写最后结果． 13．一元二次不等式26x x <+的解集为 (－2，3) ． 14．各项为正数的等比数列{}n a 中，2311,,2a a a 成等差数列，则4534a a a a ++的值为．15．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知6A π=，1a =，b =则B ＝__π3或2π3______．16．已知向量()1,1,0a = ，()1,0,2b =-，且ka b + 与2a b - 互相垂直，则k 的值是75． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=． （Ⅰ）说明C 是哪种曲线？并将C 的方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）直线l 与C 交于,A B两点，||AB =，求l 的斜率． 解：（Ⅰ）由222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩，得曲线C 的直角坐标方程为2212110x y x +++= …………………………………………3分 即22(6)25x y ++=曲线C 是以(6,0)-为圆心，5为半径的圆．…………………………………………5分（Ⅱ）（方法一）由直线l 的参数方程cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），消去参数得tan y x α=⋅．设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为0kx y -=．又||AB ==22369014k k =+，………………………………………8分 整理得253k =，解得k = 所以l． …………………………………………………10分（方法二）易得直线l 的极坐标方程为(R)θαρ=∈， 设A ，B 的极径分别为12,ρρ，其是212cos 110ρρθ++=的解，于是1212cos ρρα+=-，1211ρρ=，12||||AB ρρ=-==8分由||AB =23cos 8α=，tan 3α=±，所以l 的斜率为3或3-．…………………………………………………10分18．（本题满分12分）如图，在ABC ∆中，10AC =,AB =,6BC =，D 是边BC 延长线上的一点，30ADB ∠= ，求AD 的长.解：在ABC ∆中，10AB =,14AC =,6BC =，由余弦定理得22210036761cos 221062AC BC AB ACB AC BC +-+-∠===⋅⨯⨯， 所以60ACB ∠= , 120ACD ∠= ,在ACD ∆中，10AC =, 30ADB ∠= , 120ACD ∠= ，………………………8分由正弦定理得,sin sin AC AD ADB ACB=∠∠所以sin 10sin120sin sin 30AC ACB AD ADB ⋅∠⋅===∠………………………………12分 19．（本题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ，11ACC A 均为正方形，∠=90BAC,点D 是棱11B C 的中点.请建立适当的坐标系，求解下列问题：（Ⅰ）求证：异面直线1A D 与BC 互相垂直； （Ⅱ）求二面角（钝角）1D AC A --的余弦值.解证：因为侧面11ABB A ，11ACC A均为正方形， 90BAC ∠=， 所以1,,AB AC AA 两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系A xyz -………………1分设1AB =，则111(0,10),(1,0,0),(0,0,1),(,,1)22C B AD ，.…………3分 （Ⅰ）证明：由上可知：111,,022A D ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1,1,0BC =-，…………5分所以()111111,1,0,,0002222A D BC ⎛⎫⋅=-⋅=-++= ⎪⎝⎭,………………6分所以1A D BC ⊥，所以，异面直线1A D 与BC 互相垂直. ……7分 （Ⅱ）解：1111(,,0),(0,11)22A D AC ==-，，…………9分 设平面1A DC 的法向量为=()x,y,z n ，则有1100A D A C ⋅=⎧⎨⋅=⎩n n ，0x y y z +=⎧⎨-=⎩， x y z =-=-， 取1x =，得(1,1,1)=--n ………………10分又因为AB ⊥平面11ACC A ，所以平面11ACC A 的法向量为(1,00)AB =，，………11分∴因为二面角1D AC A --是钝角， 所以，二面角1D AC A --的余弦值为3-. ………………12分 20．（本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若2n n b =，求数列2{}n n a b 的前n 项和n T ．cos ,3AB AB AB⋅〈〉===n nn解：（Ⅰ）因为22n S n n =+，所以当2n ≥时，2212[(1)2(1)]21n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=+.………3分 当1n =时，2111213a S ==+⨯=，满足上式．………………4分 故21n a n =+.………………5分（Ⅱ）因为2n n b =.所以2(21)4n n n a b n =+，………………6分其前n 项和：231345474(21)4(21)4n n n T n n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅++⋅ ①………8分 两边乘以4得：23143454(21)4(21)4n n n T n n +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅++⋅ ………………………②由①-②得：231334242424(21)4n n n T n +-=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅-+⋅18(41)4(21)43n n n +-=+-+⋅ ………………11分所以1(61)449n n n T ++⋅-=． ………………12分21．（本题满分12分）某工厂修建一个长方体无盖蓄水池，其容积为6400立方米，深度为4米．池底每平方米的造价为120元，池壁每平方米的造价为100元．设池底长方形的长为x 米．（Ⅰ）求底面积，并用含x 的表达式表示池壁面积； （Ⅱ）怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多少? 解：（Ⅰ）设水池的底面积为S 1，池壁面积为S 2， 则有16400=16004S =(平方米)．…………………2分 池底长方形宽为x 6001米，则 S 2＝8x ＋8×x 6001＝8(x ＋x6001)．…………………………6分（Ⅱ）设总造价为y ，则y ＝120×1 600＋100×8⎪⎭⎫⎝⎛x x 600 1＋≥192000＋64000＝256000．……………………9分当且仅当x ＝x6001，即x ＝40时取等号．………………………………………………10分 所以x ＝40时，总造价最低为256000元．答：当池底设计为边长40米的正方形时，总造价最低，其值为256000元． ……………………………………………………12分 22．（本题满分12分）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的左焦点为(2,0)F -，离心率为3（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设O 为坐标原点，T 为直线3x =-上一点，过F 作TF 的垂线交椭圆于P ，Q ．当四边形OPTQ 是平行四边形时，求四边形OPTQ 的面积。

高二数学试题本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．抛物线2y x =的准线方程是A ．12y =B ．12y =-C ．14y =D ．14y =- 2．命题p ：0x R ∃∈，20010x x -+≤，p ⌝为A ．2,10x R x x ∀∈-+<B ．2,10x R x x ∀∈-+>C ．2,10x R x x ∃∈-+>D ．2,10x R x x ∃∈-+≥3．如果a ＜b ＜0，那么( )．A ．2a b +>B ．ac ＜bcC ．a 1＞b 1D ．a 2＜b 24．命题p ：若0x ≠或0y ≠，则220x y +≠，如果把命题p 视为原命题，那么原命题、逆命题、否命题、逆否命题四个命题中正确命题的个数为A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，“A B >”是“sin sin A B >”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件6．如图在空间四边形OABC 中，点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 中点，则MN 等于A ．121232OA OB OC -+ B ．211322OA OB OC -++ C ．111222OA OB OC +-D ．221332OA OB OC +- 7．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若22()6c a b =-+，3C π=，则ABC ∆的面积是( )A ．3B ．932C ．332D ．3 3 8．已知y x ,满足201y x x y x ≤⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩，且x y z 2-=的最大值是A ． 1B ．1-C ． 2-D ．5-9．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦距为52，且双曲线的一条渐近线方程为20x y -=，则双曲线的方程为A ．1422=-y xB ．1422=-y xC ．15320322=-y xD ．12035322=-y x 10．已知向量()1,21,3a t t =-- ，()2,,b t t = ，则a b - 的最小值为A ．2 B．11．在公差为d ，各项均为正整数的等差数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＝51，则n ＋d 的最小值为A ．14B ．16C ．18D ．10 12．已知椭圆1C ：22221x y a b+=（a >b >0）与双曲线22214y C x -=：有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点．若1C 恰好将线段AB 三等分，则A ．22b =B ．212b =C ．213a =D ．232a = 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．只要求填写最后结果．13．一元二次不等式26x x <+的解集为 ．14．各项为正数的等比数列{}n a 中，2311,,2a a a 成等差数列，则4534a a a a ++的值为___． 15．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,abc ，已知6A π=，1a=，b =则B ＝________．16．已知向量()1,1,0a = ，()1,0,2b =- ，且ka b + 与2a b - 互相垂直，则k 的值是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=． （Ⅰ）说明C 是哪种曲线？并将C 的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）直线l 与C 交于,A B 两点，||AB =，求l 的斜率．18．（本题满分12分）如图，在ABC ∆中，10AC =,AB =,6BC =，D 是边BC 延长线上的一点，30ADB ∠= ，求AD 的长.19．（本题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ，11ACC A均为正方形，∠=90BAC ,点D 是棱11B C 的中点.请建立适当的坐标系，求解下列问题：（Ⅰ）求证：异面直线1A D 与BC 互相垂直；（Ⅱ）求二面角（钝角）1D AC A --的余弦值.20．（本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若2n n b =，求数列2{}n n a b 的前n 项和n T ．21．（本题满分12分）某工厂修建一个长方体无盖蓄水池，其容积为6400立方米，深度为4米．池底每平方米的造价为120元，池壁每平方米的造价为100元．设池底长方形的长为x 米．（Ⅰ）求底面积，并用含x 的表达式表示池壁面积；（Ⅱ）怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多少?22．（本题满分12分）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的左焦点为(2,0)F - （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设O 为坐标原点，T 为直线3x =-上一点，过F 作TF 的垂线交椭圆于P ，Q ．当四边形OPTQ 是平行四边形时，求四边形OPTQ 的面积。

山东省淄博市临淄中学2013-2014学年高二上学期期末（学分认定）考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共120分）一、选择题：本大题共20个小题,每小题6分,共120分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.椭圆22145x y +=的一个焦点坐标是（ ） A ．(3,0)B ．(0,3)C ．(1,0)D ．(0,1)2.“1a <”是 “11a>”的（ ）条件 A ．必要不充分 B ．充分不必要 C ．充分必要 D ．既不充分也不必要3.双曲线22149y x -=的渐近线的方程是（ ） A ．32y x =±B ．94y x =±C ．23y x =±D ．49y x =±4.一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，则它的第2项为（ ） A ．4B ．8C ．4±D ．8±5.在ABC ∆中，60A =︒，45C =︒，20c =，则边a 的长为（ ） A ．106B ．202C ．203D ．2066.命题“若090C ∠=，则ABC ∆是直角三角形”的逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中，真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B 【解析】7.不等式(5)(6)0x x -->的解集是（ ） A ．(,5)-∞B ．(6,)+∞C ．(5,6)D ．(,5)(6,)-∞+∞U8.已知(2,2,5)u =-r ，(6,4,4)v =-r，u r ，v r 分别是平面α，β的法向量，则平面α，β的位置关系式（ ） A ．平行 B ．垂直C ．所成的二面角为锐角D ．所成的二面角为钝角9.已知变量,x y 满足120x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩则x y +的最小值是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．110.若函数()f x 和()g x 的定义域、值域都是R ，则不等式()()f x g x >有解的充要条件是（ ） A ．,()()x R f x g x ∃∈> B ．有无穷多个()x x R ∈，使得()()f x g x > C ．,()()x R f x g x ∀∈> D ．{}|()()x R f x g x ∈≤=∅11.数列{}n a 的通项公式2=n a n n +，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为（ ） A ．910B ．1011 C ．1110 D ．1211【答案】B 【解析】试题分析：因为211111n a n n n n ==-++，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和 12111111111(1)()()122311n n S a a a n n n =+++=-+-++-=-++L L ，所以10110110111S =-=+，选B. 考点：数列求和.12.ABC △中，120B =o,33AC AB ==，,则cos C =（ ）A ．12 B ．3± C ．3D ．12±13.设O ABC -是正三棱锥，1G 是ABC ∆的重心， G 是1OG 上的一点，且13OG GG =，若OG xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r，则(,,)x y z 为（ ）A ．111,,444⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．333,,444⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．111,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．222,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】试题分析：由G 是1OG 上一点，且13OG GG =，可得1113333()4444OG OG OA AG OA AG ==+=+u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u ur u u u u r又因为1G 是ABC ∆的重心，所以121[()]32AG AB AC =+u u u u r u u u r u u u r3321[()]4432OG OA AB AC ∴=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r 31111[()()]44444OA OB OA OC OA OA OB OC =+-+-=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r而OG xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以111,,444x y z ===，所以111(,,)(,,)444x y z =，选A.考点：1.空间向量的加减法；2.空间向量的基本定理.14.等差数列{}n a 的前n 项和12...n n S a a a =+++，若1031S =，20122S =，则30S =（ ） A ．153B ．182C ．242D ．27315.已知(,5,21)A x x x --(1,2,2)B x x +-，当||AB uuu r取最小值时，x 的值等于（ ）A ．87B ．－87C ．19D ．191416.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,,F F P 是C 上的点212PF F F ⊥ ，1230PF F ∠=︒，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．36 B ．13C ．33D ．1217.已知 1,1x y >> 且16xy =，则22log log x y ⋅=（ ） A ．有最大值2 B ．等于4C ．有最小值3D ．有最大值418.已知向量(1,1,0)a =r ，(1,0,2)b =-r，且ka b +r r 与2a b -r r 互相垂直，则k 的值是（ ）A ．1B ．15C ．35D ．7519.等差数列{}n a，{}n b的前n项和分别为n S，n T，若nnST231nn=+，则nnab=（）A．23B．2131nn--C．2131nn++D．2134nn-+20.已知抛物线22(0)y px p=>的焦点F与双曲22145x y-=的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且2AK AF=，则A点的横坐标为（）A.22B.3C.23D.4第Ⅱ卷（共105分）二、填空题（每题6分，满分36分，将答案填在答题纸上）21.若抛物线22y px=的焦点坐标为(1,0)，则准线方程为 .22.若等比数列{}n a 满足243520,40a a a a +=+=，则前n 项n S =___ __.23.已知集合2{|60}A x x x =--<，{|(4)(2)0}B x x x =+->，则A B =I _ _.24.已知ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ．若2220a ab b c ++-=，则角C 的大小是 . 【答案】23π【解析】试题分析：因为2220a ab b c ++-=，所以222a b c ab +-=-，由余弦定理可得2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-，又因为(0,)C π∈，所以23C π=.考点：余弦定理.25.已知空间三点(0,2,3)A ，(2,1,6)B -，(1,1,5)C -，(,,1)a x y =r ，若向量a r 分别与AB u u u r ，AC u u ur 垂直，则向量a r的坐标为_ .26.下列命题中，真命题的有________.（只填写真命题的序号） ①若,,a b c R ∈则“22ac bc >”是“b a >”成立的充分不必要条件；②若椭圆2211625x y +=的两个焦点为12,F F ，且弦AB 过点1F ，则2ABF ∆的周长为16; ③若命题“p ⌝”与命题“p 或q ”都是真命题，则命题q 一定是真命题；④若命题p ：R x ∈∃，012<++x x ，则p ⌝：2,10x R x x ∀∈++≥．考点：1.不等式的性质；2.充分必要条件；3.椭圆的定义；4.逻辑联结词；5.全称命题与特称命题.三、解答题 （本大题共5小题，共69分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 27.（本小题满分13分）设ABC ∆的内角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ,且4cos 5B =,2=b ． （1）当o30=A 时,求a 的值；（2）当ABC ∆的面积为3时,求c a +的值．（2）因为ABC ∆的面积1sin 2S ac B =，53sin =B 所以3310ac =，10=ac ………………7分 由余弦定理B ac c a b cos 2222-+= 得165842222-+=-+=c a ac c a ，即2022=+c a ………………10分 所以2()220a c ac +-=，2()40a c += 所以，102=+c a ………………13分.考点：1.正弦定理；2.余弦定理；3.三角形的面积计算公式.28.(本小题满分13分) 已知命题:p 方程(2)(1)0ax ax +-=在[]1,1-上有解；命题:q 不等式2220x ax a ++≥恒成立，若命题“p q 或”是假命题，求a 的取值范围．【答案】a 的取值范围是(1,0)-.29.（本小题满分14分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，1112n n S a +=-*()n N ∈． （1）求23,a a ；（2）求数列{}n a 的通项n a ； （3）求数列{}n na 的前n 项和n T ．【答案】（1）26a =，318a =；（2）1*23()n n a n N -=⋅∈；（3）(21)312n n n T -⋅+=.（3）123n n na n -=⋅23121436383...23n n T n -=⋅+⋅+⋅+⋅++⋅……………9分 234323436383...23n n T n =⋅+⋅+⋅+⋅++⋅……………10分相减得，23122(1333...3)23n nn T n --=+++++-⋅…11分1322313nn n -=⋅-⋅-………12分3123n n n =--⋅…13分∴(21)312n n n T -⋅+=……………14分.考点：1.等比数列的通项公式；2.数列的前n 项和.30.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的菱形，4ABC π∠=，PA ⊥底面ABCD ，2PA =，M 为PA 的中点，N 为BC 的中点，AF CD ⊥于F ，如图建立空间直角坐标系.（1）求出平面PCD 的一个法向量并证明//MN 平面PCD ； （2）求二面角P CD A --的余弦值.【答案】（1）证明详见解析；（2）13.(0,0,0),(1,0,0) A B、222 (0,,0),(,,0)222F D-、(0,0,2),(0,0,1)P M、22(1,,0)24N-……4分（2）由（1）得平面PCD的法向量(0,2)n=r，平面ADC的一个法向量为(0,0,1)AM=u u u u r………12分设二面角P CD A--的平面角为α，则21cos3||||181n AMn AMα⋅===⋅⨯r u u u u rr u u u u r即二面角P CD A--的余弦值为13……………………………14分.考点：1.空间向量的解决空间平行中的应用；2.空间向量在解决空间角中的应用.31.（本小题满分15分）已知椭圆1C 、抛物线2C 的焦点均在x 轴上，1C 的中心和2C 的顶点均为原点O ，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录如下：1(3,23)A -、2(2,0)A -、3(4,4)A -、42(2,)2A ． （1）经判断点1A ，3A 在抛物线2C 上，试求出12C C 、的标准方程； （2）求抛物线2C 的焦点F 的坐标并求出椭圆1C 的离心率；（3）过2C 的焦点F 直线与椭圆1C 交不同两点,M N 、且满足OM ON ⊥u u u u r u u u r，试求出直线的方程．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=121214222b a a 解得⎪⎩⎪⎨⎧==1422b a ∴1C 方程为1422=+y x ……………………………………………6分法二：容易验证直线的斜率不存在时，不满足题意……………………………9分当直线斜率存在时，直线过抛物线焦点(1,0)F ，设其方程为(1)y k x =-，与1C 的交点坐标为),(),,(2211y x N y x M由2214(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消掉y ，得2222(14)84(1)0k x k x k +-+-=，…………10分 于是2122814k x x k +=+，21224(1)14k x x k -=+①。

2014-2015学年山东省淄博市临淄中学高二（上）期末数学试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共16小题，共64.0分)1.已知命题p：∃x0∈R，x0n+a1x0n-1+a2x0n-2+…+a n≤0，则（）A.￢p：∀x∈R，x n+a1x n-1+a2x n-2+…+a n≤0B.￢p：∃x0∈R，x0n+a1x0n-1+a2x0n-2+…+a n＞0C.￢p：∀x∈R，x n+a1x n-1+a2x n-2+…+a n＞0D.￢p：∃x0∈R，x0n+a1x0n-1+a2x0n-2+…+a n≥0【答案】C【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题．所以，命题p：∃x0∈R，x0n+a1x0n-1+a2x0n-2+…+a n≤0，则￢p：∀x∈R，x n+a1x n-1+a2x n-2+…+a n＞0．故选：C．直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果判断即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．2.设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=-2，则抛物线的方程是（）A.y2=-8xB.y2=8xC.y2=-4xD.y2=4x【答案】B【解析】解：∵准线方程为x=-2∴=2∴p=4∴抛物线的方程为y2=8x故选B根据准线方程求得p，则抛物线的标准方程可得．本题主要考查了抛物线的标准方程．考查了考生对抛物线基础知识的掌握．3.已知向量，，，，，，使成立的x与使成立的x分别为（）A.，B.-，6C.-6，，D.6，-，【答案】A【解析】解：若，则，；若，则2：（-4）=（-1）：2=3：x，x=-6．故应选A．利用平行与垂直的充要条件将垂直与平行转化为关于x的方程解方程求x．考查空间向量的垂直与平行的坐标表示．在现在的人教A版中这些内容已删，请答题者注意自己教材生版本．莫做超纲题4.设a，b为实数，则“a＞b＞0是＜”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】解：若a＞b＞0，则-=＜0，即＜出成立．若＜则-=＜0，a＞b＞0或0＞a＞b所以“a＞b＞0是＜”的充分不必要条件．故选：A根据：若＜则-=＜0，a＞b＞0或0＞a＞b；由充分必要条件的定义可判断．本题简单的考查了作差分解因式，判断大小；充分必要条件的判断方法．5.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C=，3a=2c=6，则b的值为（）A. B. C.-1 D.1+【答案】D【解析】解：∵a=2，c=3，∠C=60°，∴根据余弦定理得：c2=a2+b2-2ab•cos C9=4+b2-2b，则b=．故选D．由C的度数求出cos C的值，再由a与c的值，利用余弦定理，列出关于b的方程，即可得到b的值．此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．6.已知数列{a n}为等比数列，S n是它的前n项和，若a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5=（）A.35B.33C.31D.29【答案】C【解析】解：a2•a3=a1q•a1q2=2a1∴a4=2a4+2a7=a4+2a4q3=2×∴q=，a1==16故S5==31故选C．用a1和q表示出a2和a3代入a2•a3=2a1求得a4，再根据a4+2a7=a4+2a4q3，求得q，进而求得a1，代入S5即可．本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．7.△ABC中，cos A=，则△ABC形状是（）A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形【答案】B【解析】解：由题意得，cos A=，则由余弦定理得，，化简得，a2+b2=c2，所以C=90°，即△ABC是直角三角形，故选：B．由余弦定理化简cos A=，利用勾股定理即可判断△ABC的形状．本题考查余弦定理的应用：边角互化，以及三角形的形状的判断，属于基础题．8.过曲线（x＞0）上横坐标为1的点的切线方程为（）A.3x+y-1=0B.3x+y-5=0C.x-y+1=0D.x-y-1=0【答案】B【解析】解：∵，∴该切线的斜率k=y'|x=1=-3，曲线（x＞0）上横坐标为1的点（1，2），故所求的切线方程为y-2=-3（x-1），即3x+y-5=0，故选B．先求出切线的斜率，以及切点的坐标，点斜式写出切线方程，并化为一般式．本题考查求函数在某点的切线方程的求法，先求出切线的斜率及且点的坐标，从而得到切线方程．9.{a n}，{b n}均为等差数列，前n项和分别为，且，则=（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】解：∵====1故选B由等差数列的求和公式及等差数列的性质可得==即可得到答案．本题主要考查了等差数列的求和公式的应用，属于公式的灵活应用10.如图，在四面体OABC中，G是底面△ABC的重心，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：如图所示，连接AG并延长与BC相交于点D．∵点G是底面△ABC的重心，∴，．∴==．又，，∴=．故选：D．利用重心的性质和向量的三角形法则即可得出．本题考查了重心的性质和向量的三角形法则，属于基础题．11.设函数f（x）=sin22x，则f （x）等于（）A.-2cos4xB.-2sin4xC.2cos4xD.2sin4x【答案】D【解析】解：f （x）=2sin2x•（sin2x） =2sin2x•cos2x•（2x） =2sin4x故选：D根据复合函数的导数公式，直接进行求导即可得到结论．本题主要考查函数的导数计算，利用复合函数的导数公式是解决本题的关键．12.已知点A（1-t，1-t，t），B（2，t，t），则A、B两点距离的最小值为（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】解：∵点A（1-t，1-t，t），B（2，t，t），∴|AB|2=（t+1）2+（2t-1）2+（t-t）2=5t2-2t+2∵t=时，|AB|2=5t2-2t+2=5（t-）2+取得最小值，∴当t=时，|AB|的最小值为故选：C．由两点的距离公式，算出|AB|2关于t的式子，结合二次函数的性质可得t=时，|AB|2有最小值，相应地A、B两点距离也取得最小值．本题给出两点含有字母参数t的坐标，求两点间的最短距离，着重考查了两点间的距离公式和二次函数的性质等知识，属于基础题．13.已知命题：①“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“所有能被2整除的整数不都是偶数”；②“菱形的两条对角线互相垂直”的逆命题；③“a，b，c∈R，若a＞b，则a+c＞b+c”的逆否命题；④“若a+b≠3，则a≠1或b≠2”的否命题．上述命题中真命题的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】解：①“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“存在能被2整除的整数不都是偶数”①错误；②“菱形的两条对角线互相垂直”的逆命题是“对角线互相垂直的四边形是菱形”错误，可能是梯形；③“a，b，c∈R，若a＞b，则a+c＞b+c”成立，则其逆否命题成立，③正确；④“若a+b≠3，则a≠1或b≠2”的否命题为“若a+b=3，则a=1且b=2”，错误，如，．故选：A．直接写出全称命题的否定判断①；举例说明②错误；由原命题成立，说明其逆否命题成立说明③正确；举例说明④错误．本题考查了命题的真假判断与应用，考查了学生对基础知识的掌握，是中档题．14.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，则AD与平面ACC1A1所成的角的正弦值为（）A. B.- C. D.-【答案】A【解析】解：如图所示，过B作BF⊥AC，过B1作B1E⊥A1C1，连接EF，过D作DG⊥EF，连接AG，在正三棱柱中，有B1E⊥AA1C1C，BF⊥面AA1C1C，故DG⊥面AA1C1C，∴∠DAG=α，可求得DG=BF=，AG==，AD==故sinα=故选：A．根据题意画出图形，过B作BF⊥AC，过B1作B1E⊥A1C1，连接EF，过D作DG⊥EF，连接AG，证明DG⊥面AA1C1C，∠DAG=α，解直角三角形ADG即可．考查直线和平面所成的角，关键是找到斜线在平面内的射影，把空间角转化为平面角求解，属基础题．15.我们常用以下方法求形如y=f（x）g（x）的函数的导数：先两边同取自然对数得：lny=g （x）lnf（x），再两边同时求导得到：•y=g （x）lnf（x）+g（x）••f （x），于是得到：y=f（x）g（x）[g （x）lnf（x）+g（x）••f （x）]，运用此方法求得函数y=的一个单调递增区间是（）A.（e，4）B.（3，6）C.（0，e）D.（2，3）【答案】C【解析】解：由题意知=，（x＞0）令y'＞0，得1-lnx＞0∴0＜x＜e∴原函数的单调增区间为（0，e）故选C根据定义，先求原函数的导数，令导数大于0，解不等式即可本题考查函数的单调性，要求首先读懂定义，并熟练掌握导数运算，同时要注意函数的定义域．属简单题16.双曲线，＞一条渐近线的倾斜角为，离心率为e，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由题设知，设a=k，b=，（k＞0）则c=2k，∴==．故选A．由题设知，设a=k，b=，（k＞0）则c=2k，=，由此能得到其最小值．本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，注意均值不等式的合理运用．二、填空题(本大题共4小题，共16.0分)17.已知在△ABC中，sin A：sin B：sin C=3：5：7，那么这个三角形的最大角= ______ 弧度．【答案】【解析】解：在△ABC中，∵sin A：sin B：sin C=3：5：7，∴由正弦定理可得a：b：c=3：5：7，∴c变为最大边，角C为最大角，设a、b、c三边分别为3、5、7，则由余弦定理可得cos C===-，∴C=，故答案为：．由条件利用正弦定理可得a：b：c=3：5：7，设a、b、c三边分别为3、5、7，角C为最大角，则由余弦定理求得cos C=的值，可得最大角C的值．本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，大边对大角，属于中档题．18.命题“若x2+y2=0，则x，y全为0”的逆否命题为______ ．【答案】若x、y不全为0，则x2+y2≠0【解析】解：依题意得，原命题的题设为若x2+y2=0，结论为则x，y全为零．逆否命题：若x，y不全为零，则x2+y2≠0故答案为：若x，y不全为零，则x2+y2≠0由已知可得，原命题的题设P：x2+y2=0，结论Q：x，y全为零．在根据原命题依次写出否命题、逆命题、逆否命题．否命题是若非P，则非Q；逆命题是若Q，则P；逆否命题是若非去，则非P．写四种命题时应先分清原命题的题设和结论，在写出原命题的否命题、逆命题、逆否命题，属于基础知识．19.已知f（x）=x2+3xf （2），则f （2）= ______ ．【答案】-2【解析】解：由f（x）=x2+3xf （2），得：f （x）=2x+3f （2），所以，f （2）=2×2+3f （2），所以，f （2）=-2．故答案为：-2．把给出的函数求导，在其导函数中取x=2，则f （2）可求．本题考查了导数的加法与乘法法则，考查了求导函数的值，解答此题的关键是正确理解原函数中的f （2），f （2）就是一个具体数，此题是基础题．20.已知F1（-c，0），F2（c，0）为椭圆（a＞b＞0）的两个焦点，若该椭圆与圆x2+y2=2c2有公共点，则此椭圆离心率的取值范围是______ ．【答案】，【解析】解：椭圆与圆x2+y2=2c2有公共点，即椭圆与圆x2+y2=2c2的位置关系应为相交，∴b≤≤a，即≤c≤a，由≤c可知：a2≤3c2，∴e==≥=；由c≤a可知：e=≤=；综上所述，≤e≤，故答案为：，．通过椭圆与圆x2+y2=2c2有公共点，可得椭圆与圆x2+y2=2c2应相交，进而可得b≤≤a，计算即得结论．本题考查求椭圆的离心率，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)21.已知函数f（x）=-（x+2）（x-m）（其中m＞-2），g（x）=2x-2﹒（Ⅰ）若命题“log2g（x）≤1”是真命题，求x的取值范围；（Ⅱ）设命题p：∀x∈（1，+∞），f（x）＜0或g（x）＜0，若¬p是假命题，求m的取值范围﹒【答案】解：（Ⅰ）若命题“log2g（x）≤1”是真命题，即log2g（x）≤1恒成立；即log2g（x）≤log22，等价于＞…（3分）解得1＜x≤2，…（4分）故所求x的取值范围是{x|1＜x≤2}；…（5分）（Ⅱ）因为¬p是假命题，则p为真命题，…（6分）而当x＞1时，g（x）=2x-2＞0，…（7分）又p是真命题，则x＞1时，f（x）＜0，所以f（1）=-（1+2）（1-m）≤0，即m≤1；…（9分）（或据-（x+2）（x-m）＜0解集得出）故所求m的取值范围为{m|-2＜m≤1}﹒…（10分）【解析】（Ⅰ）通过命题“log2g（x）≤1”是真命题，转化为不等式组，解不等式组即可得到x 的取值范围；（Ⅱ）写出命题p：∀x∈（1，+∞），f（x）＜0或g（x）＜0的¬p，利用¬p是假命题，原命题是真命题，转化为不等式，求解即可得到m的取值范围﹒本题考查命题的真假的判断与应用，转化思想的应用，不等式组的解法，考查分析问题解决问题的能力．22.数列{a n}的前n项和为S n，且a n是S n和1的等差中项，等差数列{b n}满足b1=a1，b4=S3．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）设，数列{c n}的前n项和为T n，证明：＜．【答案】解：（1）∵a n是S n和1的等差中项，∴S n=2a n-1…（1分）当n=1时，a1=S1=2a1-1，∴a1=1…（2分）当n≥2时，a n=S n-S n-1=（2a n-1）-（2a n-1-1）=2a n-2a n-1，∴a n=2a n-1，即…（3分）∴数列{a n}是以a1=1为首项，2为公比的等比数列，∴，…（5分）设{b n}的公差为d，b1=a1=1，b4=1+3d=7，∴d=2…（7分）∴b n=1+（n-1）×2=2n-1…（8分）（2）…（9分）∴…（10分）∵n∈N*，∴＜…（11分）＞∴数列{T n}是一个递增数列…（12分）∴．…（13分）综上所述，＜…（14分）【解析】（1）由题意可知，S n=2a n-1，结合递推公式a1=S1，n≥2时，a n=S n-S n-1，可得，结合等比数列的通项公式可求由b1=a1=1，b4=1+3d=7，可求公差d，进而可求b n，（2）由，利用裂项求和可求T n，然后结合数列的单调性可证本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式的应用，数列的递推公式的应用及数列的裂项求和及数列的单调性在数列的最值求解中的应用23.如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点．（Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小；（Ⅱ）求平面OAB与平面OCD所成的二面角的余弦值．【答案】解：作AP⊥CD于点P，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系，则，，，，，，，，，，，，O（0，0，2），M（0，0，1）（Ⅰ）设AB与MD所成的角为θ，∵，，，，，，∴，∴，∴AB与MD所成角的大小为（5分）（Ⅱ）∵，，，，，，∴设平面OCD的法向量为，，，则，，即，取，解得，，．（6分）易知平面OAB的一个法向量为，，（7分）＜，＞．（9分）由图形知，平面OAB与平面OCD所成的二面角的余弦值为（10分）【解析】（Ⅰ）作AP⊥CD于点P，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系，求出与，然后利用向量的夹角公式求出所求即可；（Ⅱ）先求平面OCD的法向量与平面OAB的一个法向量，然后利用向量的夹角公式求出平面OAB与平面OCD所成的二面角的余弦值．本小题主要考查直线与平面所成角、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．24.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过M（4，0）的直线l与C相交于A，B两点，若，求直线l的方程﹒【答案】解：（Ⅰ）设Q（x0，4），代入由y2=2px（p＞0）中得x0=，所以，，由题设得，解得p=-2（舍去）或p=2．所以C的方程为y2=4x．（Ⅱ）设，，，由，得，，，所以，①设直线l的方程：x=my+4，与抛物线方程联立，由，消去x得y2-4my-16=0，所以②由①②联立，解得，，﹒或，，，故所求直线l的方程为或﹒【解析】（Ⅰ）设Q（x0，4），代入抛物线方程，结合抛物线的定义，可得p=2，进而得到抛物线方程；（Ⅱ）设A，B的坐标，运用向量共线的坐标表示，设直线l的方程：x=my+4，与抛物线方程联立，消去x，运用韦达定理，联立方程即可解得m，进而得到直线方程．本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，同时考查向量共线的坐标表示，具有一定的运算量，属于中档题．25.已知函数f（x）=ae2x-be-2x-cx（a，b，c∈R）的导函数f （x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4-c．（Ⅰ）确定a，b的值；（Ⅱ）若c=3，判断f（x）的单调性；（Ⅲ）若f（x）有极值，求c的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=ae2x-be-2x-cx（a，b，c∈R）∴f （x）=2ae2x+2be-2x-c，由f （x）为偶函数，可得2（a-b）（e2x-e-2x）=0，即a=b，又∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4-c，即f （0）=2a+2b-c=4-c，故a=b=1；（Ⅱ）当c=3时，f （x）=2e2x+2e-2x-3≥2=1＞0恒成立，故f（x）在定义域R为均增函数；（Ⅲ）由（Ⅰ）得f （x）=2e2x+2e-2x-c，而2e2x+2e-2x≥2=4，当且仅当x=0时取等号，当c≤4时，f （x）≥0恒成立，故f（x）无极值；当c＞4时，令t=e2x，方程2t+-c=0的两根均为正，即f （x）=0有两个根x1，x2，当x∈（x1，x2）时，f （x）＜0，当x∈（-∞，x1）∪（x2，+∞）时，f （x）＞0，故当x=x1，或x=x2时，f（x）有极值，综上，若f（x）有极值，c的取值范围为（4，+∞）．【解析】（Ⅰ）根据函数f（x）=ae2x-be-2x-cx（a，b，c∈R）的导函数f （x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4-c，构造关于a，b的方程，可得a，b的值；（Ⅱ）将c=3代入，利用基本不等式可得f （x）≥0恒成立，进而可得f（x）在定义域R为均增函数；（Ⅲ）结合基本不等式，分c≤4时和c＞4时两种情况讨论f（x）极值的存在性，最后综合讨论结果，可得答案．本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，是导数的综合应用，难度中档．26.已知点A（0，-2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．【答案】解：（Ⅰ）设F（c，0），由条件知，得又，所以a=2，b2=a2-c2=1，故E的方程．…．（6分）（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx-2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx-2代入，得（1+4k2）x2-16kx+12=0，当△=16（4k2-3）＞0，即＞时，，从而又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积=，设，则t＞0，，当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x-2或y=-x-2．…（12分）【解析】（Ⅰ）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx-2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx-2代入，利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．。

2014-2015学年山东省淄博六中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）数列0，1，0，﹣1，0，1，0，﹣1，…的一个通项公式是（）A．B．cos C．cos D．cos2．（5分）设a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是（）A．B．C．|a|＞﹣b D．3．（5分）有一长度为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则斜坡长应为（）A．1千米B．2sin10°千米C．2cos10°千米D．cos20°千米4．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则当S n取最小值时，n等于（）A．6B．7C．8D．95．（5分）一个等比数列的前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为729，则该数列的项数是（）A．13B．12C．11D．106．（5分）已知双曲线C：﹣=1的焦距为10，点P（1，2）在C的渐近线上，则C的方程为（）A．B．C．D．7．（5分）若a＞0，b＞0且ln（a+b）=0，则的最小值是（）A．B．1C．4D．88．（5分）如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（）A．B．C．D．9．（5分）数列{a n}前n项和为S n，已知，且对任意正整数m，n，都有a m+n=a m•a n，若S n＜a恒成立，则实数a的最小值为（）A．B．C．D．410．（5分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，O为坐标原点，若=（+），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）若点P到直线y=﹣3的距离与它到点（0，3）的距离相等，则点P 的轨迹方程是．12．（5分）推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°=．13．（5分）已知△ABC的面积为，AC=，∠ABC=，则△ABC的周长等于．14．（5分）若x＜m﹣1或x＞m+1是x2﹣2x﹣3＞0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是．15．（5分）已知变量x，y满足约束条件．若目标函数z=ax+y（其中a＞0）仅在点（3，0）处取得最大值，则a的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共75分）16．（12分）设p：关于x的不等式a x＞1的解集是{x|x＜0}；q：函数的定义域为R．若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求实数a的取值范围．17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c．（Ⅰ）若c=2，，且△ABC的面积，求a，b的值；（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=sin2A，试判断△ABC的形状．18．（12分）已知数列a n的各项为正数，前n和为S n，且S n=，n∈N*．（1）求证：数列{a n}是等差数列；（2）设b n=，T n=b1+b2+…+b n，求T n．19．（12分）某市近郊有一块大约500m×500m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．（1）分别用x表示y和S的函数关系式，并给出定义域；（2）怎样设计能使S取得最大值，并求出最大值．20．（13分）已知四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，G、H分别是CE、CF的中点．（1）求证：平面AEF∥平面BDGH（2）若平面BDGH与平面ABCD所成的角为60°，求直线CF与平面BDGH所成的角的正弦值．21．（14分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线x=2与椭圆C交于P，Q两点，A，B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点，且直线AB的斜率为．（i）求四边形APBQ面积的最大值；（ii）设直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，判断k1+k2的值是否为常数，并说明理由．2014-2015学年山东省淄博六中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）数列0，1，0，﹣1，0，1，0，﹣1，…的一个通项公式是（）A．B．cos C．cos D．cos【解答】解：当n=4时，=1，不满足题意；当n=2时，cos=﹣1，不满足题意；当n=1时，cos=﹣1，不满足题意；D选项正确，验证知恰好能表示这个数列；故选：D．2．（5分）设a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是（）A．B．C．|a|＞﹣b D．【解答】解：∵a＜b＜0，∴令a=﹣2，b=﹣1，A、﹣＞﹣1，正确；B、﹣1＜﹣，故B错误；C、2＞1，正确；D、＞1，正确；故选：B．3．（5分）有一长度为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则斜坡长应为（）A．1千米B．2sin10°千米C．2cos10°千米D．cos20°千米【解答】解：设原来的斜坡为RtABC，B为直角顶点，AC为斜边，延长BC到D 得新斜面ABD，依题可知：∠ACB=20°，∠ADB=10°，AC=1千米，∴AB=ACsin20°=sin20°千米，∴AD====2cos10°千米．故选：C．4．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则当S n取最小值时，n等于（）A．6B．7C．8D．9【解答】解：设该数列的公差为d，则a4+a6=2a1+8d=2×（﹣11）+8d=﹣6，解得d=2，所以，所以当n=6时，S n取最小值．故选：A．5．（5分）一个等比数列的前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为729，则该数列的项数是（）A．13B．12C．11D．10【解答】解：由前三项积为3，得=3，①a n﹣1a n=，②由后三项积为9，得a n﹣2①×②，得：=27，∴，∴，∵所有项的积为729，∴a1a2…a n=729，∴=729，∴=729∴[]n=7292，∴3n=（36）2=312，∴n=12．故选：B．6．（5分）已知双曲线C：﹣=1的焦距为10，点P（1，2）在C的渐近线上，则C的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线C：﹣=1的渐近线方程为y=±x∵双曲线C：﹣=1的焦距为10，点P（1，2）在C的渐近线上∴2c=10，2a=b，∵c2=a2+b2∴a2=5，b2=20∴C的方程为故选：C．7．（5分）若a＞0，b＞0且ln（a+b）=0，则的最小值是（）A．B．1C．4D．8【解答】解：∵a＞0，b＞0且ln（a+b）=0，∴a+b=1，∴+=（a+b）（+）=1+1++≥4（当且仅当a=b=时取“=”）．∴则的最小值是4．故选：C．8．（5分）如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（）A．B．C．D．【解答】解：∵====故选：A．9．（5分）数列{a n}前n项和为S n，已知，且对任意正整数m，n，都有a m+n=a m•a n，若S n＜a恒成立，则实数a的最小值为（）A．B．C．D．4【解答】解：令m=1，n=1，得到a2=a12=，同理令m=2，n=1，得到a3=a2•a1=所以此数列是首项为公比，以为公比的等比数列，则S n==∵S n＜a恒成立即而=∴则a的最小值为故选：A．10．（5分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，O为坐标原点，若=（+），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵|OF|=c，|OE|=a，OE⊥EF，∴|EF|==b，∵=（+），∴E为PF的中点，|OP|=|OF|=c，|PF|=2b，设F'（c，0）为双曲线的右焦点，也为抛物线的焦点，则EO为三角形PFF'的中位线，则|PF'|=2|OE|=2a，可令P的坐标为（m，n），则有n2=4cm，由抛物线的定义可得|PF'|=m+c=2a，m=2a﹣c，n2=4c（2a﹣c），又|OP|=c，即有c2=（2a﹣c）2+4c（2a﹣c），化简可得，c2﹣ac﹣a2=0，由于e=，则有e2﹣e﹣1=0，由于e＞1，解得，e=．故选：A．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）若点P到直线y=﹣3的距离与它到点（0，3）的距离相等，则点P 的轨迹方程是x2=12y．【解答】解：∵点P到直线y=﹣3的距离与它到点（0，3）的距离相等，∴点P的轨迹是以F为焦点、直线l：y=﹣3为准线的抛物线，因此，设P的轨迹方程为x2=2px，（p＞0）可得p=3，解得p=6，2p=12∴动点P的轨迹方程为x2=12y．故答案为：x2=12y．12．（5分）推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°=44.5．【解答】解：sin2l°+sin22°+…+sin288°+sin289°=（sin2l°+sin289°）+（sin22°+sin288°）+…+（sin244°+sin246°）+sin245°=1+1+…+1+0.5=44.5．故答案为：44.5．13．（5分）已知△ABC的面积为，AC=，∠ABC=，则△ABC的周长等于3+．【解答】解：由题意可得AB•BCsin∠ABC=，即AB•BC•=，∴AB•BC=2．再由余弦定理可得3=AB2+BC2﹣2AB•BCcos=AB2+BC2﹣AB•BC=AB2+BC2﹣2，∴AB2+BC2=5，∴（AB+BC）2=AB2+BC2+2AB•BC=5+4=9，∴AB+BC=3．∴△ABC的周长等于AB+BC+AC=3+，故答案为：3．14．（5分）若x＜m﹣1或x＞m+1是x2﹣2x﹣3＞0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是[0，2] ．【解答】解：由x2﹣2x﹣3＞0得x＞3或x＜﹣1，若x＜m﹣1或x＞m+1是x2﹣2x﹣3＞0的必要不充分条件，则，即，即0≤m≤2，故答案为：[0，2]15．（5分）已知变量x，y满足约束条件．若目标函数z=ax+y（其中a＞0）仅在点（3，0）处取得最大值，则a的取值范围为a．【解答】解：画出可行域如图所示，其中B（3，0），C（1，1），D（0，1），若目标函数z=ax+y仅在点（3，0）取得最大值，由图知，﹣a＜﹣解得a＞故答案为a＞三、解答题（本大题共6小题，共75分）16．（12分）设p：关于x的不等式a x＞1的解集是{x|x＜0}；q：函数的定义域为R．若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：∵关于x的不等式a x＞1的解集是{x|x＜0}，∴0＜a＜1；故命题p为真时，0＜a＜1；∵函数的定义域为R，∴⇒a≥，由复合命题真值表知：若p∨q是真命题，p∧q是假命题，则命题p、q一真一假，当p真q假时，则⇒0＜a＜；当q真p假时，则⇒a≥1，综上实数a的取值范围是（0，）∪[1，+∞）．17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c．（Ⅰ）若c=2，，且△ABC的面积，求a，b的值；（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=sin2A，试判断△ABC的形状．【解答】解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，a2+b2﹣ab=4，…．（3分）又因为△ABC的面积等于，所以，得ab=4．（5分）联立方程组解得a=2，b=2．（7分）（Ⅱ）由题意得：sinC+sin（B﹣A）=sin2A得到sin（A+B）+sin（B﹣A）=sin2A=2sinAcoA即：sinAcosB+cosAsinB+sinBcosA﹣cosBsinA=2sinAcoA所以有：sinBcosA=sinAcosA，（10分）当cosA=0时，，△ABC为直角三角形（12分）当cosA≠0时，得sinB=sinA，由正弦定理得a=b，所以，△ABC为等腰三角形．（14分）18．（12分）已知数列a n的各项为正数，前n和为S n，且S n=，n∈N*．（1）求证：数列{a n}是等差数列；（2）设b n=，T n=b1+b2+…+b n，求T n．【解答】解：（1），n=1时，，∴a1=1所以（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，∵a n+a n﹣1＞0∴a n﹣a n﹣1=1，n≥2，所以数列{a n}是等差数列（2）由（1），所以∴=19．（12分）某市近郊有一块大约500m×500m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．（1）分别用x表示y和S的函数关系式，并给出定义域；（2）怎样设计能使S取得最大值，并求出最大值．【解答】解：（1）由已知xy=3000，∴，其定义域是（6，500）．S=（x﹣4）a+（x﹣6）a=（2x﹣10）a，∵2a+6=y，∴，∴，其定义域是（6，500）．（2），当且仅当，即x=50∈（6，500）时，上述不等式等号成立，此时，x=50，y=60，S max=2430．答：设计x=50m，y=60m时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米．20．（13分）已知四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，G、H分别是CE、CF的中点．（1）求证：平面AEF∥平面BDGH（2）若平面BDGH与平面ABCD所成的角为60°，求直线CF与平面BDGH所成的角的正弦值．【解答】解：（1）G、H分别是CE、CF的中点所以EF∥GH﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）连接AC与BD交与O，因为四边形ABCD是菱形，所以O是AC的中点连OG，OG是三角形ACE的中位线OG∥AE﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣3 分由①②知，平面AEF∥平面BDGH﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）BF⊥BD，平面BDEF⊥平面ABCD，所以BF⊥平面ABCD﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）取EF的中点N，ON∥BF∴ON⊥平面ABCD，建系设AB=2，BF=t，则，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）设平面BDGH的法向量为，所以平面ABCD的法向量﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分），所以t2=9，t=3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）所以，设直线CF与平面BDGH所成的角为θ，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）21．（14分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线x=2与椭圆C交于P，Q两点，A，B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点，且直线AB的斜率为．（i）求四边形APBQ面积的最大值；（ii）设直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，判断k1+k2的值是否为常数，并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为．由已知b=2，离心率e=，a2=b2+c2，得a=4，所以，椭圆C的方程为．（Ⅱ）①由（Ⅰ）可求得点P、Q的坐标为P（2，3），Q（2，﹣3），则|PQ|=6，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=x+t，代入，得：x2+tx+t2﹣12=0．由△＞0，解得﹣4＜t＜4，由根与系数的关系得，四边形APBQ的面积，故当t=0时，；②由题意知，直线PA的斜率，直线PB的斜率，则==，由①知，可得，所以k1+k2的值为常数0．。

绝密 ★ 启用并使用完毕前高三摸底考试试题理 科 数 学本试卷分第Ｉ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页.满分150分，考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第Ｉ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知全集{}{}{}0,1,2,3,4,0,1,2,3,2,3,4U A B ===，那么()A B =ðU(A) {}0,1(B) {}2,3(C) {}0,1,4(D) {}0,1,2,3,4（2）下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是(A) 1y x =+ (B) 3y x =(C) tan y x =(D) 2log y x =（3）某算法的程序框图如图所示，如果输出的结果为26，则判断框内的条件应为(A) 5?k ≤(B) 4?k >(C) 3?k > (D) 4?k ≤（4）若“﹁p ∨q ”是假命题，则(A) p 是假命题 (B) ﹁q 是假命题 (C) p ∨q 是假命题(D) p ∧q 是假命题（5）已知向量2(2,1),(1,1)a a b k =+=-，则“2k =”是“a b ⊥”的 (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件（6）沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为(A)(B)(C)(D)（7）在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上随机取一个数x ，则事件“1tan cos 2x x ≥”发生的概率为 (A)13 (B) 12 (C) 34(D)23（8）函数()sin x xy e e x -=-的图象（部分）大致是(A)(B)(C)(D)（9）过双曲线22221(0,0)x y C a b a b-=>>：的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于点A ．若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过,A O 两点（O 为坐标原点），则双曲线C 的方程为(A) 112422=-y x(B) 19722=-y x(C) 18822=-y x(D) 141222=-y x（10）己知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，()()22f x f x +=-，()41f =，则不等式()x f x e <的解集为（第6题图）（第3题图）(A) ()2,-+∞ (B) ()0,+∞ (C) ()1,+∞ (D) ()4,+∞第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.（11）在等差数列{}n a 中，1533a =，2566a =，则35a = ________.（12）将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD ＝a ，则三棱锥D －ABC 的体积为________.（13）若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴都相切，则该圆的标准方程是________.（14）设,x y 满足约束条件210,0,0,0,x y x y x y --≤⎧⎪-≥⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为1，则14a b+的最小值为_________. （15）给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是函数()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”. 对于三次函数()()320=+++≠f x ax bx cx d a ，有如下真命题：任何一个三次函数都有唯一的“拐点”，且该“拐点”就是()f x 的对称中心.给定函数()3211533212f x x x x =-+-，请你根据上面结论，计算12201420152016201620162016f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 三、解答题：本大题共6小题，共75分. （16）（本小题满分12分）已知函数()f x=22sin cos x x x ωωω+0ω>）的最小正周期是π.（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）将函数()f x 的图象向左平移3π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象，求()y g x =的解析式及其在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的值域.（17）（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABED 是矩形，四边形ADGC 是梯形，AD ⊥平面,DEFG EF //DG ，120EDG ︒∠=，1AB AC AD EF ====，2DG =.（Ⅰ）证明：FG ⊥平面ADF ；（Ⅱ）求二面角A CG F --的余弦值.（18）（本小题满分12分）如图所示，近日我渔船编队在岛A 周围海域作业，在岛A 的南偏西20°方向有一个海面观测站B ，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B 相距31海里的C 处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向岛A 直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D 处，此时观测站测得B ，D 间的距离为21海里. （Ⅰ）求sin BDC ∠的值；（Ⅱ）试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛A ？ （19）（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，111,()3nn n a a a n a *+==∈+N . （Ⅰ）求证：112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）设(31)2nn n n n b a =-⋅⋅，记其前n 项和为n T ,若不等式112(1)2n n n n T n λ---<+ 对一切n *∈N 恒成立，求λ的取值范围.（20）（本小题满分13分）已知椭圆C ：2222+1x y a b =（0a b >>）经过D ()2,0，E ⎛ ⎝⎭两点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l ：y kx m =+与椭圆C 交于不同两点A ，B ，点G 是线段AB 中点，点O为坐标原点，设射线OG 交椭圆C 于点Q ，且.OQ OG λ=（ⅰ）证明：22241m k λ=+；（ⅱ）求△AOB 的面积()S λ的解析式，并计算()S λ的最大值. （21）（本小题满分14分） 已知函数()ln ,()x f x x g x e ==.（Ⅰ）求函数()y f x x =-的单调区间；（第17题图）（第18题图）（Ⅱ）证明：函数()y f x =和()y g x =在公共定义域内， ；（Ⅲ）若存在两个实数1x ,2x 且12x x ≠，满足11()f x ax =,22()f x ax =,求证:212x x e >.()()2g x f x ->高三摸底考试参考答案及评分标准理科数学（2015.1）一、选择题：1-5 C B C D A 6-10 A D C A B 二、填空题：11. 99 12.3 13.()()22211x y -+-= 14. 9 15. 2015 （16）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意得： 2()2sin cos f x x x x ωωω=+sin 222sin(2)3x x x πωωω=-=-， ……………………3分由周期为π，得1ω=，得()2sin(2)3f x x π=- ， …………………….4分由题意可得：222232k x k πππππ-≤-≤+，整理得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈所以函数()f x 的单调增区间是5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k Z ∈.……………….6分 （Ⅱ）将函数()f x 的图象向左平移3π个单位，再向上平移1个单位，得到2sin(2)13y x π=++的图象，所以2sin(2)13y x π=++，………………………8分因为02x π≤≤，所以42333x πππ≤+≤………………………10分所以当232x ππ+=即12x π=时()y g x =上有最大值3所以当4233x ππ+=即2x π=时()y g x =上有最小值1所以()02y g x π⎡⎤=⎢⎥⎣⎦在，上的值域为 ]1⎡-⎣…………………………………12分（17）（本小题满分12 分）解：（Ⅰ）方法一：取DG 的中点M ,连接FM ,则EF DM =. 因为 EF //DG ，所以边形DEFM 是平行四边形. 所以112MF DE DG === 所以DFG ∆是直角三角形，所以FG ⊥DF ……………………2分 又 ,AD DEFG ⊥面FG ⊂面DEFG所以FG ⊥AD ……………………4分 又AD ADF ⊂面,DF ADF ⊂面,ADDF D =所以FG ADF ⊥面……………………6分 方法二：由题意知DEF ∆为正三角形，所以1DF =,60FDG ︒∠= 又2DG =,所以2222cos 603FG DF DG DF DG ︒=+-⋅= 由勾股定理知DFG ∆是直角三角形，FG ⊥DF 以下同方法一. ……………………2分 （Ⅱ）取EF 的中的H ,连接DH ,由（Ⅰ）知DH EF ⊥,又EF //DG 所以DH DG ⊥ 又因为,AD DEFG ⊥面 所以AD DH ⊥,AD DG ⊥.以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 D xyz -. ……………………7分则()0,0,0D,1,02F ⎫⎪⎪⎝⎭,()0,2,0G ，()0,1,1C,3,02FG ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， ()0,1,1GC =-. …………………………8分 设平面FGC 的法向量为1(,,)x y z =n ，则110,0.FG GC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以30,20.x y y z ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩令x =所以1 1)=,n . ……………………………9分 又平面ACG 的一个法向量为2(1,0,0)=n ……………………………10分所以121212cos ,5⋅==⋅n n n n n n ， ……………………11分 所以二面角A CG F--的余弦值是5． ……………………………………12分 （18）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由已知得，140202CD =⨯=. ………………………2分在△BCD 中，根据余弦定理有2222120311cos 221207BDC +-∠==-⨯⨯．★…… 4分所以sin 7BDC ∠==． ……………………………… 6分（Ⅱ）方法一：由已知可得，204060,BAD ∠=+=所以411sin sin(60)()27ABD BDC ∠=∠-=--=8分在△ABD中，根据正弦定理，有sin sin AD BDABD BAD=∠∠， 又BD ＝21，则21sin 15sin BDABD AD BAD ⨯∠===∠．……………………10分 所以156022.540t =⨯=（分钟）．答：海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A ．……………………………… 12分 方法二：由已知可得，204060,BAD ∠=+=所以BD sin sin BDA AB A ==∠，解得AB=24， ………8分 由余弦定理，222=AB +AD 2cos60o BD AB AD -⋅⋅即222121=AB +242242AB -⋅⋅，解得915AB =或 ． ……………………10分当9AB =，222219241cos 022197ADB +-∠==-<⨯⨯，与★式矛盾，舍去. 所以156022.540t =⨯=（分钟）． 答：海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A ．……………………………… 12分 （19）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由111,()3nn n a a a n N a *+==∈+知， 11111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭…………… 3分 又111322a +=，所以112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以32为首项，3为公比的等比数列 …… 4分所以111333222nn n a -+=⨯=故231n n a =- ……………………………… 6分（Ⅱ）1(31)22n n n n n n nb a -=-⋅⋅= ……………………………… 7分所以 0122111111123(1)22222n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯1231111111123(1)222222n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯……………8分 两式相减得：0121111111222222222n n n n n T n -+=++++-⨯=- 所以1242n n n T -+=- ……………………………………………9分不等式112(1)2n n n n T n λ---<+ 对一切n N *∈恒成立即21(1)42n n λ--<-对一切n N *∈恒成立 ………………………………10分设21()42n g n -=-，易知()g n 是递增函数所以若n 为偶数，则(2)413g λ<=-=，即3λ<若n 为奇数，则(1)422g λ-<=-=，即2λ>- ………………………11分 所以23λ-<< …………………………………………… 12分 （20）（本小题满分12分）解（I ）解将D （2，0），E ⎛ ⎝⎭代入椭圆方程得22241,13 1.4a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩……………2分21a b =⎧⎨=⎩解得 所以所求的椭圆方程为2214x y +=. ……………………………4分 （Ⅱ）（ⅰ）令()()1122,,,A x y B x y ，由()22222,148440440y kx m k x kmx m x y =+⎧+++-=⎨+-=⎩得， 所以()()()22222121222221212228414440 1488141444441414km k m m k km km x x x x k k m m x x x x k k ⎧⎧∆=-+->⎪⎪<+⎪⎪--⎪⎪+=+=⎨⎨++⎪⎪⎪⎪--==⎪⎪++⎩⎩即， 所以()()12122282221414k km my y k x x m m k k -+=++=+=++，……………………6分由中点坐标公式224,1414kmm G k k -⎛⎫⎪++⎝⎭， 根据OQ OG λ=，得224,1414km m Q k k λλ-⎛⎫⎪++⎝⎭，将其代入椭圆方程，有()()222222222411414k m m k k λλ+=++.化简得22214m k λ=+. ……………………………9分（ⅱ）由（ⅰ）可得m≠0，且12x x -==所以()()1211,2S m x x λλ=-∈+∞，………………………11分令()0,t =+∞，则()222211112t S t t t t λ==≤===++当且仅当即 法2：()1S λ===≤所以当λ=()S λ取得最大值，其最大值为1. ……………………………13分 21（理科）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，1()11,(0)y f x x x''=-=->……………1分 由()0f x '=，得1x =，则当(0,1)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减﹒………………3分综上所述，()f x 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减﹒…………4分 （Ⅱ）方法一：()f x 与()g x 的公共定义域为(0,)+∞， ()()ln (ln )x x g x f x e x e x x x -=-=---， ………………5分 设()xm x e x =-，(0,)x ∈+∞，因为()10x m x e '=->，()m x 在区间(0,)+∞上单调递增，()(0)1m x m >=， ………………7分 又设()ln n x x x =-，(0,)x ∈+∞，由（Ⅰ）知1x =是()n x 的极大值点，即()(1)1n x n <=-， ………………8分 所以()()m()()1(1)2g x f x x n x -=->--=，在函数()y f x =和()y g x =公共定义域内，()()2g x f x ->﹒………………9分 方法二：()f x 与()g x 的公共定义域为(0,)+∞，令()()()ln x G x g x f x e x =-=-，则1()x G x e x '=-……………………5分 设1()0x G x e x'=-=的解为00(0)x x >， 则当0(0,)x x ∈时，()0G x '<， ()G x 单调递减，当0(,)x x ∈+∞时，()0G x '>， ()G x 单调递增；所以()G x 在0x 处取得最小值000001()ln x G x e x x x =-=+，………………7分 显然00x >且01x ≠，所以0012x x +>， 所以0()()2G x G x ≥>， 故在函数()y f x =和()y g x =公共定义域内，()()2g x f x ->﹒……………9分 （Ⅲ）不妨设120x x >>，由题设得，11ln x ax =，22ln x ax =，所以1212ln ln x x ax ax +=+，1212ln ln ()x x a x x -=-. ………………10分 所以2121212ln ln 2()2x x e x x a x x >⇔+>⇔+> 121121212212ln ln 22()ln x x x x x a x x x x x x x --⇔=>⇔>-++. ………………11分令12x t x =，则1t >，于是1122122()2(1)ln ln 1x x x t t x x x t -->⇔>++.………………12分 设函数2(1)()ln (1)1t h t t t t -=->+， 则22214(1)()0(1)(1)t h t t t t t -'=-=>++. 故函数()h t 在区间(1,)+∞上是增函数， 所以()(1)0h t h >=，即2(1)ln 1t t t ->+成立， 所以原不等式212x x e >成立. …………………………14分。

山东省淄博市淄川第一中学，临淄中学，淄博第五中学2015-2016学年高二上学期期末联考理数试题第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是( )A ．2214y x -= B ．2214x y -= C ．2212y x -= D ．2212x y -= 【答案】A【解析】试题分析：A 中1,2a b ==，渐近线为2y x =±，B 中2,1a b ==，渐近线为12y x =±，C 中1,a b ==渐近线为y =，D 中1a b ==，渐近线为y x = 考点：双曲线方程及性质 2.设,a b ∈R ，则“0a b >>”是“11a b<”的（ ）条件 A ．充分而不必要 B ．必要而不充分 C ．充分必要 D ．既不充分也不必要【答案】A【解析】试题分析：由0a b >>可得到11a b <成立，反之不成立，所以“0a b >>”是“11a b <”的充分而不必要条件考点：充分条件与必要条件3.在ABC ∆中，如果=cos cos a b B A ，则该三角形是 A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．以上答案均不正确【答案】C试题分析：由正弦定理可将=cos cos a b B A 变形为sin sin =sin 2sin 222cos cos A B A B A B B A∴=∴=或22A B π+= A B ∴=或2A B π+=,所以三角形为等腰或直角三角形考点：正弦定理与三角形公式 4.已知数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，那么4a 的值为A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】D【解析】试题分析：由1n n n a S S -=-得43443228a S S =-=-=考点：数列求和与求通项5.在平面直角坐标系中，不等式组0400x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积是（ ）A . 2B . 4C . 8D . 16【答案】B【解析】试题分析：作出不等式组对应的平面区域如图由04x y x y -=⎧⎨+=⎩得2x y ==，即A （2，2），则三角形的面积12442S =⨯⨯= 考点：不等式表示平面区域6.若不等式08322≥-+kx kx 的解集为空集，则实数k 的取值范围是（ ） A . )0,3(- B .)3,(--∞ C . (]0,3- D .),0[]3,(+∞--∞【解析】试题分析：当0k =时不等式转化为308-≥，解集为空集，当0k ≠时需满足00k <⎧⎨∆<⎩，代入解不等式得30k -<<，综上可知实数k 的取值范围是(]0,3-考点：不等式性质7.下列命题中，说法正确的是（ ）A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠”B .“102x <<”是“(12)0x x ->”的必要不充分条件 C ．命题“0x ∃∈R ，使得20010x x ++<”的否定是：“x ∀∈R ，均有210x x ++>”D ．命题“在ABC ∆中，若A B >，则sin sin A B >”的逆否命题为真命题【答案】D【解析】试题分析：A 中否命题需将条件和结论分别否定，因此错误；B 中“102x <<”是“(12)0x x ->”的重要条件，C 中特称命题的否定为全称命题，并须将结论加以否定，因此命题错误；D 中原命题由A B >可得a b >，借助于正弦定理可得sin sin A B >，所以原命题与逆否命题都是真命题考点：四种命题8.等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为S n 和T n ，且231n n S n T n =+，则55b a A ． 32 B ． 149 C ． 3120 D ． 97 【答案】B【解析】 试题分析：()()195519955199199218929228142a a a a a a Sb b b b T b b ++======++ 考点：等差数列求和及性质9.在ABC ∆中，，，4530,2===C A a 则ABC S ∆=（ ）A ．2B ．22C ．13+D ．()1321+ 【答案】C【解析】 试题分析：由sin sin a c A C =得212c ==11sin 2sin1053122ABC S ac B ∆∴==⨯⨯=+ 考点：正弦定理解三角形10.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）A ． 3(0,]4 B． C ．D ．3[,1)4【答案】B【解析】试题分析：如图所示，设F ′为椭圆的左焦点，连接AF ′，BF ′，则四边形AFBF ′是平行四边形，∴4=|AF|+|BF|=|AF ′|+|AF|=2a ，∴a=2．取M （0，b ），∵点M 到直线l 的距离不小于4545≥，解得b ≥1．∴ce a ==≤=．∴椭圆E 的离心率的取值范围是 考点：椭圆方程及性质第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.已知等比数列{}n a 中，32a =-，那么234a a a ⋅⋅的值为【答案】8-【解析】试题分析：由等比数列性质可知()33234328a a a a ⋅⋅==-=- 考点：等比数列性质12.如果0a >，那么12a a ++的最小值是 【答案】4【解析】试题分析：0a >∴1224a a ++≥+=，当且仅当1a a=即1a =时等号成立，所以最小值为4 考点：均值不等式求最值13.若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点，则p = ．【答案】【解析】试题分析：由双曲线方程可知221a b c ==∴=焦点为()，所以2p p == 考点：抛物线双曲线性质14.设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a = 1sin 2B =，6C =π，则b = ．【答案】1【解析】 试题分析：1sin 26B B π=∴=263C A ππ=∴=，由sin sin a b A B=得1b = 考点：正弦定理解三角形15.已知()(5)(3)f x m x m x m =++++，()22xg x =-.若,()0x R f x ∀∈<或()0g x <，则m 的取值范围是 .【答案】()4,0-考点：函数恒成立问题；全称命题三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）如图ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，且AD AC ⊥， sin BAC ∠=，AB =，BD =．（Ⅰ）求AD 的长；（Ⅱ）求cos C ． （注：sin()cos 2παα+=）【答案】（Ⅰ）3AD =【解析】试题分析：（I ）通过垂直关系，求出cos ∠BAD 的值，在△ABD 中，由余弦定理求AD 的长；（Ⅱ）在△ABD 中，由正弦定理，求出sin ∠ADB ，通过三角形是直角三角形，即可求cosC试题解析：（Ⅰ）由AD AC ⊥知，sin sin()cos 2BAC DAB DAB π∠=∠+=∠= ………………………2分 在△ABD 中，由余弦定理知2222cos BD AD AB AB AD BAD =+-⋅∠即28150AD AD -+=，…………………………4分解得3AD =或5AD =显然AB AD >，故3AD =.…………………………6分（Ⅱ）由cos DAB ∠=1sin 3BAD ∠=……………………8分 在△ABD 中，由正弦定理知sin sin BD AB BAD ADB =∠∠，故sin ADB ∠=10分cos cos()sin 2C ADB ADB π=∠-=∠=.…………………………12分 考点：余弦定理；正弦定理的应用17.（本小题满分12分）已知命题p ：方程2212x y m+=表示焦点在x 轴上的椭圆，命题q ：对任意实数x 不等式22230x mx m +++>恒成立. （Ⅰ）若“q ”是真命题，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求实数m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）(][)∞+-∞-，31, （Ⅱ）(][)1,02,3-【解析】 试题分析：（Ⅰ）先求出命题q 的等价条件，根据“￢q ”是真命题，即可求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若“p ∧q ”为假命题，“p ∨q ”为真命题，则p ，q 只有一个为真命题，即可求实数m 的取值范围试题解析：（Ⅰ）因为对任意实数x 不等式22230x mx m +++>恒成立，所以0)32(442<+-=∆m m ，解得　31<<-m ，．…………2分 又“q ”是真命题等价于“q ”是假命题，．…………3分 所以所求实数m 的取值范围是(][)∞+-∞-，31, ．…………4分 （Ⅱ）201222<<=+m x my x 轴上的椭圆，所以表示焦点在因为方程，……6分 恰有一真一假”为真命题，等价于”为假命题，““q p q p q p ,∨∧，………7分⎩⎨⎧≥-≤<<3120m m m q p 或假时，真当，无解…………9分32,01312,0<≤≤<-⎩⎨⎧<<-≥≤m m m m m q p 或，则或真时，假当，…………11分 (][)3,20,1 -的取值范围是综上所述，实数m ．…………12分考点：1. 复合命题；2.椭圆方程；3.不等式性质18.（本小题满分12分）已知直线l 经过抛物线x y 42=的焦点F ，且与抛物线相交于M ，N 两点．（Ⅰ）当直线l 的斜率为1时，求线段MN 的长； （Ⅱ）记||1||1FN FM t +=，试求t 的值． 【答案】（Ⅰ）8（Ⅱ）1【解析】试题分析：（Ⅰ）当直线l 的斜率为1，解方程组214y x y x=-⎧⎨=⎩，消去y 得2610x x -+=，由韦达定理得126x x +=，即可求线段MN 的长；（Ⅱ）记||1||1FN FM t +=，分类讨论，利用韦达定理求t 的值 试题解析：（Ⅰ）由题意知，抛物线的焦点(1,0)F ，准线方程为：1x =-．…………1分设()11,M x y ，()22,N x y ，由抛物线的定义知1||1MF x =+，2||1NF x =+，于是12||||||2MN MF NF x x =+=++．………………3分由(1,0)F ，所以直线l 的方程为1y x =-，解方程组214y x y x=-⎧⎨=⎩，消去y 得2610x x -+=．………………4分 由韦达定理得126x x +=，于是12||28MN x x =++=所以，线段MN 的长是8．…………………………6分（Ⅱ）设1122(,)(,)M x y N x y ，,直线l 的方程为1x my =+联立214x my y x=+⎧⎨=⎩得0442=--my y ，016162>+=∆m m y y 421=+,421-=y y …………………………8分因为, 1240y y =-<, 21y y ，∴异号,又2111||||t FM FN y =+=+=- 22121221222122122)(4)(11)()-(11y y y y y y m y y y y m t -+⋅+=⋅+=∴ 11616611122=+⋅+=m m…………………………11分 所以 , 所求t 的值为1． …………………………12分方法二：设1122(,)(,)M x y N x y ，,当直线l 的斜率不存在时，(1,2)(1,2)M N -，，1||1||1=+=FN FM t ；………7分 当直线l 的斜率不存在时，设直线l 方程为(1)y k x =-联立2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩消去x 得0)42(2222=++-k x k x k ，01616k 2>+=∆ 222214242k k k x x +=+=+,121=x x …………………………9分 1212121221111||||111x x t FM FN x x x x x x ++=+=+=+++++ 224414121k k+==+++………………11分 所以，所求t 的值为1． …………………………12分考点：1.抛物线方程及性质；2.直线与抛物线相交的相关问题19.（本小题满分12分）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A ，B 两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产A ，B 两种产品时间之和不超过12小时． 假定每天至多可获取鲜牛奶15吨，问该厂每天生产A ，B 两种奶制品各多少吨时，该厂获利最大．【答案】每天生产A 奶制品3吨，B 奶制品6吨，可获利最大为10200元【解析】试题分析：设每天A ，B 两种产品的生产数量分别为x ，y ，相应的获利为z ，建立约束条件和目标函数，作出不等式组对应的平面区域利用线性回归的知识进行求解即可试题解析：设每天A ，B 两种产品的生产数量分别为x ，y ，相应的获利为z ，则有2 1.515,1.512,20,0,0,x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩ …………4分 目标函数为10001200z x y =+ ． …………5分上述不等式组表示的平面区域如图,阴影部分(含边界)即为可行域．…………7分作直线:100012000l x y +=，即直线 1.20x y +=. 把直线l 向右上方平移到1l 的位置，直线1l 经过可行域上的点B ，此时10001200z x y =+ 取得最大值．…………8分 由202 1.515x y x y -=⎧⎨+=⎩解得点M 的坐标为()3,6．…………10分 ∴当3,6x y == 时， max 310006120010200z =⨯+⨯=(元)．答：该厂每天生产A 奶制品3吨，B 奶制品6吨，可获利最大为10200 元．…12分考点：简单线性规划20.（本小题满分13分）数列{}n a 满足1212242-+-=+⋅⋅⋅++n n n na a a , *N n ∈. （Ⅰ） 求3a 的值；（Ⅱ） 求数列{}n a 通项公式n a ；（Ⅲ）设21222log log ......log n n b a a a =+++，11n n c b +=，求数列{}n c 的前n 项和. 【答案】（Ⅰ）314a =（Ⅱ）112n n a -=（Ⅲ）21n n -+（Ⅱ）当2n ≥时，12312123(1)42n n n a a a n a --++++⋅⋅⋅+-=-， ① 12311223(1)42n n n n a a a n a na --++++⋅⋅⋅+-+=-， ② ②―①，得21112222n n n n n n n na ---++=-=，…………………5分 所以112n n a -=， 又当1n =时，11a =也适合112n n a -=， 所以，112n n a -=（n N *∈）…………………7分 （Ⅲ）（理科）21222n log log ...log n b a a a =+++12(1)n =---⋅⋅⋅--(1)2n n -=- …………………9分 故112112()(1)1n n c b n n n n +==-=--++ …………………10分 12111112...2((1)()...())22311n n c c c n n n +++=--+-++-=-++ ……12分所以数列1{}nb 的前n 项和为21n n -+ …………………13分 考点：1.数列求通项公式；2.裂项相消法求和21.（本小题满分14分）如图，椭圆E ：2222+1(0)x y a b a b =>>，过点(0,1)P 的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）在y 轴上，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PA QB PB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）22142x y +=（Ⅱ）()0,2Q 【解析】试题分析：（Ⅰ）通过直线l 平行于x 轴时被椭圆E 截得的线段长为，计算即得结论；（Ⅱ）通过直线l 与x 轴平行、垂直时，可得若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点坐标只能是（0，2）．然后分直线l 的斜率不存在、存在两种情况，利用韦达定理及直线斜率计算方法，证明对任意直线l ，均有QA PA QB PB=即可试题解析：（1）由已知，点)在椭圆上因此22222211a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩解得2,a b == 所以椭圆的方程为22142x y +=. （Ⅱ）由点Q 在y 轴上，可设点Q 的坐标为0(0,)y当直线l 与x 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于,M N两点，则((,0,M N，解得01y =或02y = 所以，若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点的坐标只能为()2,2Q 下面证明：对任意的直线l ，均有QA PA QB PB= 当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论正确当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为1y kx =+，,A B 的坐标为()()1122,,,x y x y联立221421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()2221420k x kx ++-=，其判别式()22168210k k ∆=++> 所以12122242,2121k x x x x k k +=-=-++，因此121212112x x k x x x x ++== 已知点B 关于y 轴的对称点为()'22,B x y -又111112111,QA QB y k k k K k x x x x -==-=-+=-，所以QA QB k k =，即',,Q A B 三点共线，所以1'2x QA QA PA QB QB x PB ===,故存在与P 不同的定点()0,2Q 使得QA PA QB PB=恒成立 考点：1.直线与圆锥曲线的综合问题；2.椭圆的标准方程：。

2014-2015学年山东省淄博市临淄中学高二（上）期末数学试卷（文科）一.选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）有以下四个命题：①若=，则x=y．②若lgx有意义，则x＞0．③若x=y，则=．④若x＞y，则x2＜y2．则是真命题的序号为（）A．①②B．①③C．②③D．③④2．（5分）“x≠0”是“x＞0”是的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）若方程C：x2+=1（a是常数）则下列结论正确的是（）A．∀a∈R+，方程C表示椭圆B．∀a∈R﹣，方程C表示双曲线C．∃a∈R﹣，方程C表示椭圆D．∃a∈R，方程C表示抛物线4．（5分）抛物线：x2=y的焦点坐标是（）A．（0，）B．（0，）C．（，0）D．（，0）5．（5分）双曲线：x2﹣=1的渐近线方程和离心率分别是（）A．B．C．D．6．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则P的值为（）A．﹣2B．2C．4D．﹣47．（5分）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．8．（5分）已知椭圆的焦点F1（﹣1，0），F2（1，0），P是椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|，|PF2|等差中项，则椭圆的方程是（）A．+=1B．+=1C．+=1D．+=19．（5分）设曲线y=ax2在点（1，a）处的切线与直线2x﹣y﹣6=0平行，则a=（）A．1B．C．D．﹣110．（5分）抛物线y=﹣x2的准线方程是（）A．B．y=2C．D．y=﹣2 11．（5分）双曲线4x2+ty2﹣4t=0的虚轴长等于（）A．B．﹣2t C．D．412．（5分）若椭圆+=1（a＞b＞0）和圆x2+y2=（+c）2，（c为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数f（x）=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则m的取值范围为．14．（5分）已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=．15．（5分）已知f（x）=x2+3xf′（2），则f′（2）=．16．（5分）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆（a＞b＞0）的两个焦点，若该椭圆与圆x2+y2=2c2有公共点，则此椭圆离心率的取值范围是．三、解答题（17题10分，18---22题均12分，共70分）17．（10分）已知函数f（x）=﹣（x+2）（x﹣m）（其中m＞﹣2），g（x）=2x﹣2﹒（Ⅰ）若命题“log2g（x）≤1”是真命题，求x的取值范围；（Ⅱ）设命题p：∀x∈（1，+∞），f（x）＜0或g（x）＜0，若¬p是假命题，求m的取值范围﹒18．（12分）如图：是y=f（x）=x3﹣2x2+3a2x的导函数y=f′（x）的简图，它与x轴的交点是（1，0）和（3，0）（1）求y=f（x）的极小值点和单调减区间；（2）求实数a的值．19．（12分）双曲线C：x2﹣y2=2右支上的弦AB过右焦点F．（1）求弦AB的中点M的轨迹方程（2）是否存在以AB为直径的圆过原点O？若存在，求出直线AB的斜率K的值．若不存在，则说明理由．20．（12分）设函数f（x）=．（1）求函数f（x）的单调区间．（2）若方程f（x）=0有且仅有三个实根，求实数a的取值范围．21．（12分）已知双曲线的两个焦点为的曲线C上．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）记O为坐标原点，过点Q（0，2）的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为，求直线l的方程．22．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l 的方程．2014-2015学年山东省淄博市临淄中学高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）有以下四个命题：①若=，则x=y．②若lgx有意义，则x＞0．③若x=y，则=．④若x＞y，则x2＜y2．则是真命题的序号为（）A．①②B．①③C．②③D．③④【解答】解：①若=，则，则x=y，即①对；②若lgx有意义，则x＞0，即②对；③若x=y＞0，则=，若x=y＜0，则不成立，即③错；④若x＞y＞0，则x2＞y2，即④错．故真命题的序号为①②故选：A．2．（5分）“x≠0”是“x＞0”是的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当x=﹣1时，满足x≠0，但x＞0不成立．当x＞0时，一定有x≠0成立，∴“x≠0”是“x＞0”是的必要不充分条件．故选：B．3．（5分）若方程C：x2+=1（a是常数）则下列结论正确的是（）A．∀a∈R+，方程C表示椭圆B．∀a∈R﹣，方程C表示双曲线C．∃a∈R﹣，方程C表示椭圆D．∃a∈R，方程C表示抛物线【解答】解：∵当a=1时，方程C：即x2+y2=1，表示单位圆∴∃a∈R+，使方程C不表示椭圆．故A项不正确；∵当a＜0时，方程C：表示焦点在x轴上的双曲线∴∀a∈R﹣，方程C表示双曲线，得B项正确；∀a∈R﹣，方程C不表示椭圆，得C项不正确∵不论a取何值，方程C：中没有一次项∴∀a∈R，方程C不能表示抛物线，故D项不正确综上所述，可得B为正确答案故选：B．4．（5分）抛物线：x2=y的焦点坐标是（）A．（0，）B．（0，）C．（，0）D．（，0）【解答】解：抛物线x2=y中，2p=1，∴=，又焦点在y轴上，开口向上，∴焦点坐标是（0，），故选：B．5．（5分）双曲线：x2﹣=1的渐近线方程和离心率分别是（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线：的a=1，b=2，c==∴双曲线的渐近线方程为y=±x=±2x；离心率e==故选：D．6．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则P的值为（）A．﹣2B．2C．4D．﹣4【解答】解：由a2=6、b2=2，可得c2=a2﹣b2=4，∴到椭圆的右焦点为（2，0），∴抛物线y2=2px的焦点（2，0），∴p=4，故选：C．7．（5分）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．【解答】解：已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴a=2b，椭圆的离心率，故选：D．8．（5分）已知椭圆的焦点F1（﹣1，0），F2（1，0），P是椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|，|PF2|等差中项，则椭圆的方程是（）A．+=1B．+=1C．+=1D．+=1【解答】解：∵F1（﹣1，0）、F2（1，0），∴|F1F2|=2，∵|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，∴2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，即|PF1|+|PF2|=4，∴点P在以F1，F2为焦点的椭圆上，∵2a=4，a=2c=1∴b2=3，∴椭圆的方程是故选：C．9．（5分）设曲线y=ax2在点（1，a）处的切线与直线2x﹣y﹣6=0平行，则a=（）A．1B．C．D．﹣1【解答】解：y'=2ax，于是切线的斜率k=y'|x=1=2a，∵切线与直线2x﹣y﹣6=0平行∴有2a=2∴a=1故选：A．10．（5分）抛物线y=﹣x2的准线方程是（）A．B．y=2C．D．y=﹣2【解答】解：∵，∴x2=﹣8y，∴其准线方程是y=2．故选：B．11．（5分）双曲线4x2+ty2﹣4t=0的虚轴长等于（）A．B．﹣2t C．D．4【解答】解：双曲线4x2+ty2﹣4t=0可化为：∴∴双曲线4x2+ty2﹣4t=0的虚轴长等于故选：C．12．（5分）若椭圆+=1（a＞b＞0）和圆x2+y2=（+c）2，（c为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：∵椭圆和圆为椭圆的半焦距）的中心都在原点，且它们有四个交点，∴圆的半径，由，得2c＞b，再平方，4c2＞b2，在椭圆中，a2=b2+c2＜5c2，∴；由，得b+2c＜2a，再平方，b2+4c2+4bc＜4a2，∴3c2+4bc＜3a2，∴4bc＜3b2，∴4c＜3b，∴16c2＜9b2，∴16c2＜9a2﹣9c2，∴9a2＞25c2，∴，∴．综上所述，．故选：A．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数f（x）=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则m的取值范围为[，+∞）．【解答】解：若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，只需y′=3x2+2x+m≥0恒成立，即△=4﹣12m≤0，∴m≥．故m的取值范围为[，+∞）．故答案为：[，+∞）．14．（5分）已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=8．【解答】解：椭圆=1的a=5，由题意的定义，可得，|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，则三角形ABF2的周长为4a=20，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=20﹣12=8．故答案为：815．（5分）已知f（x）=x2+3xf′（2），则f′（2）=﹣2．【解答】解：由f（x）=x2+3xf′（2），得：f′（x）=2x+3f′（2），所以，f′（2）=2×2+3f′（2），所以，f′（2）=﹣2．故答案为：﹣2．16．（5分）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆（a＞b＞0）的两个焦点，若该椭圆与圆x2+y2=2c2有公共点，则此椭圆离心率的取值范围是．【解答】解：椭圆与圆x2+y2=2c2有公共点，即椭圆与圆x2+y2=2c2的位置关系应为相交，∴b≤≤a，即≤c≤a，由≤c可知：a2≤3c2，∴e==≥=；由c≤a可知：e=≤=；综上所述，≤e≤，故答案为：．三、解答题（17题10分，18---22题均12分，共70分）17．（10分）已知函数f（x）=﹣（x+2）（x﹣m）（其中m＞﹣2），g（x）=2x﹣2﹒（Ⅰ）若命题“log2g（x）≤1”是真命题，求x的取值范围；（Ⅱ）设命题p：∀x∈（1，+∞），f（x）＜0或g（x）＜0，若¬p是假命题，求m的取值范围﹒【解答】解：（Ⅰ）若命题“log2g（x）≤1”是真命题，即log2g（x）≤1恒成立；即log2g（x）≤log22，等价于…（3分）解得1＜x≤2，…（4分）故所求x的取值范围是{x|1＜x≤2}；…（5分）（Ⅱ）因为¬p是假命题，则p为真命题，…（6分）而当x＞1时，g（x）=2x﹣2＞0，…（7分）又p是真命题，则x＞1时，f（x）＜0，所以f（1）=﹣（1+2）（1﹣m）≤0，即m≤1；…（9分）（或据﹣（x+2）（x﹣m）＜0解集得出）故所求m的取值范围为{m|﹣2＜m≤1}﹒…（10分）18．（12分）如图：是y=f（x）=x3﹣2x2+3a2x的导函数y=f′（x）的简图，它与x轴的交点是（1，0）和（3，0）（1）求y=f（x）的极小值点和单调减区间；（2）求实数a的值．【解答】解：（1）由f（x）=x3﹣2x2+3a2x的导函数y=f'（x）的图象可知：导函数f'（x）小于0的解集是（1，3）；函数f（x）=x3﹣2x2+3a2x在x=1，x=3处取得极值，且在x=3的左侧导数为负右侧导数为正．即函数在x=3处取得极小值，函数的单调减区间为（1，3）．（2）由于f（x）=x3﹣2x2+3a2x的导函数f'（x）=ax2﹣4x+3a2，又由（1）知，f'（1）=0且f'（3）=0则解得a=1．则实数a的值为1．19．（12分）双曲线C：x2﹣y2=2右支上的弦AB过右焦点F．（1）求弦AB的中点M的轨迹方程（2）是否存在以AB为直径的圆过原点O？若存在，求出直线AB的斜率K的值．若不存在，则说明理由．【解答】解：（1）设M（x，y），A（x1，y1）、B（x2，y2），则x12﹣y12=2，x22﹣y22=2，两式相减可得（x1+x2）（x1﹣x2）﹣（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∴2x（x1﹣x2）﹣2y（y1﹣y2）=0，∴=，∵双曲线C：x2﹣y2=2右支上的弦AB过右焦点F（2，0），∴，化简可得x2﹣2x﹣y2=0，（x≥2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）假设存在，设A（x1，y1），B（x2，y2），l AB：y=k（x﹣2）由已知OA⊥OB得：x1x2+y1y2=0，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①，所以（k2≠1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②联立①②得：k2+1=0无解所以这样的圆不存在．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）20．（12分）设函数f（x）=．（1）求函数f（x）的单调区间．（2）若方程f（x）=0有且仅有三个实根，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=，∴f′（x）=3x2﹣9x+6=3（x﹣1）（x﹣2），令f′（x）＞0，可得x＜1或x＞2；令f′（x）＜0，可得1＜x＜2，∞（﹣∞，1）和（2，+∞）是增区间；（1，2）是减区间﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）由（1）知当x=1时，f（x）取极大值f（1）=﹣a；当x=2时，f（x）取极小值f（2）=2﹣a；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∵方程f（x）=0仅有三个实根．∴解得：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）21．（12分）已知双曲线的两个焦点为的曲线C上．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）记O为坐标原点，过点Q（0，2）的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）：依题意，由a2+b2=4，得双曲线方程为（0＜a2＜4），将点（3，）代入上式，得．解得a2=18（舍去）或a2=2，故所求双曲线方程为．（Ⅱ）：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，得（1﹣k2）x2﹣4kx﹣6=0．∵直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F，∴∴k∈（﹣）∪（1，）．设E（x1，y1），F（x2，y2），则由①式得x1+x2=，x1x2=﹣，于是，|EF|==而原点O到直线l的距离d=，=．∴S△OEF=，即，解得k=±，若S△OEF满足②．故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=和．22．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l 的方程．【解答】解：（Ⅰ）设F（c，0），由条件知，得又，所以，b2=a2﹣c2=1，故E的方程．…．（5分）（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0，即时，从而又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积=，设，则t＞0，，当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．…（12分）赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．yxo【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

2013-2014学年度第一学期期末模块学分认定考试高二英语试题本试卷分第1卷(选择题)和第II卷(笔试题)。

第1卷1至10页，第1I卷11至12页。

考试用时120分钟, 1卷165分，第1I卷60分，共225分。

考试结束后，将答题纸和答题卡一并交回。

第1卷(共165分)第一部分：听力(每题2分，满分40分）第一节（共5小题,满分10分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1.Where does the conversation take place?A. In a restaurant.B. In a grocery.C. At a theatre.2.What does the woman mean?A. S he will go to the concert.B. S he doesn’t like to go to concert.C. S he wants to go but she can’t.3.What does the man have to do？A. R eturn the tape to the woman at once.B. K eep the tape for another week.C. B orrow the tape from the woman next week.4.Why does the woman call the man?A. S he asks him to return her notebook.B. S he is looking for her address book.C. S he is looking for her diary book.5.What will the man probably do?A. H e will go to bed and take a rest.B. H e will close the window.C. H e will take some medicine.第二节（共15小题；满分30分）听下面5段对话或独白。

山东省淄博市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2020 高三上·兴宁期末) 设集合，，则（）A.B.C.D. 2. （2 分） 已知 F1、F2 是两定点，|F1F2|=4，动点 M 满足|MF1|+|MF2|=4，则动点 M 的轨迹是（ ） A . 椭圆 B . 直线 C.圆 D . 线段 3. （2 分） (2015 高二上·金台期末) “a2+b2≠0”的含义为（ ） A . a，b 不全为 0 B . a，b 全不为 0 C . a，b 至少有一个为 0 D . a≠0 且 b=0，或 b≠0 且 a=0 4. （2 分） (2015 高二上·金台期末) 抛物线 y=2x2 的焦点坐标是（ ）A . （0， ）第 1 页 共 12 页B . （ ，0）C . （0， ）D . （ ，0） 5. （2 分） (2015 高二上·金台期末) 命题“对任意实数 x，都有 x2﹣2x+1＞0”的否定是（ ） A . 对任意实数 x，都有 x2﹣2x+1＜0 B . 对任意实数 x，都有 x2﹣2x+1≤0 C . 存在实数 x，有 x2﹣2x+1＜0 D . 存在实数 x，有 x2﹣2x+1≤0 6. （2 分） (2016 高二上·鞍山期中) 直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1 ， 则异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于（ ）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°7. （2 分） (2015 高二上·金台期末) 过点（﹣1，0）与抛物线 y=x2﹣1 只有一个公共点的直线有（ ）A . 3条B . 2条C . 1条第 2 页 共 12 页D . 0条 8. （2 分） (2015 高二上·金台期末) 在下列结论中，正确的结论是（ ） ①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件； ②“p∧q”为假是“p∨q”为真的充分不必要条件； ③“p∨q”为真是“¬p”为假的必要不充分条件； ④“¬p”为真是“p∧q”为假的必要不充分条件． A . ①② B . ①③ C . ②④ D . ③④ 9. （2 分） (2015 高二上·金台期末) 以下命题中，不正确的个数为（ ）①是共线的充要条件；②若 ③若 ④若，则存在唯一的实数 λ，使，则；为空间的一个基底，则； 构成空间的另一个基底；⑤．A.2B.3C.4D.510. （2 分） (2015 高二上·金台期末) 已知双曲线与椭圆第 3 页 共 12 页共焦点，它们的离心率之和为 ，则双曲线的方程是（ ）A.B.C.D.11. （2 分） (2015 高二上·金台期末) 已知平行六面体 ABCD﹣A′B′C′D′中，底面是边长为 1 的菱形，且 DD′=2，∠BAD=∠BAA′=∠DAA′=60°，则 AC′等于（ ）A. B.C. D.612. （2 分） (2015 高二上·金台期末) 已知 M（x0 ， y0）是双曲线 C：C 的两个焦点，若＜0，则 y0 的取值范围是（ ）=1 上的一点，F1 ， F2 是A.B.C.D.二、 填空题：. (共 4 题；共 4 分)第 4 页 共 12 页13. （1 分） (2019·长宁模拟) 若圆锥的侧面积为 ，底面积为 ，则该圆锥的体积为________。