例３已知直线ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０ 中的口，ｂ，ｃ是取自集合｛－３，－２，一１，０，１，２， ３｝中的３个不同的元素。并且该直线 的倾斜角为锐角。那么这样的直线 的条数是一 思索 对Ｃ＝０与ｃ≠０进行分类． 破解设倾斜角为０．则ｔａｎ０＝ 一¨一＞０．不妨设０＞０．则ｂ＜０．若ｃ：０． ｂ 则ａＳ；三种取法，ｂ有三种取法，排除 两个重复的情况（３ｘ一３ｙ＝０，２ｘ一２ｙ＝０ 与ｘ－ｙ＝０ 同一直线），故这样的直 线有３￣３＂２＝７条．若Ｃ≠０，则ａ有三种 取法，ｂ有三种取法，Ｃ有四种取法， 且其中任两条直线均不相同，故这 样的直线有３ｘ３ｘ４＝３６条．从而，符合 要求的直线有４３条． 蛳》例４在正五边形ＡＢＣＤＥ １．若从１，２，３，…，９这９个整数 中同时取４个不同的数，其和为偶 数，则不同的取法共有（ ） Ａ．６０种 Ｂ．６３种 Ｃ．６５种 Ｄ．６６种 ２．将字母ａ，ａ，ｂ，ｂ，ｅ，ｅ排成三 行两列，要求每行的字母互不相同， 每列的字母也互不相同，则不同的 排列方法共有（ ） Ａ．１２种 Ｂ．１８种 Ｃ．２４种 Ｄ．３６种 ３．现有１６张不同的卡片，其中 红色、黄色、蓝色、绿色卡片各４张． 从中任取３张，要求这３张卡片不能 是同一种颜色．且红色卡片至多１ 张，不同取法的种数为——． Ａ．２３２ Ｂ．２５２ Ｃ．４７２ Ｄ．４８４ ４，如图１。用四种不同颜色给图 中的Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ六个点涂色，要 求每个点涂一种颜色，且图中每条 线段的两个端点涂不同颜色，则不 中，若把顶点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ染上红、 黄、绿三种颜色中的一种。相邻顶点 的颜色不同，则不同的染色方法有 ——种． 思索本题可先将５个顶点分 为三组．再给三组顶点染色． 破解第一步，将５个顶点分为 三组：其中两组有２个顶点，一组有１ 个顶点，即“２＋２＋１”模型，共有Ｃ 种分 法．第二步，为三组顶点染色有Ａ ６ 种方法．根据分步计数原理得：共有 染色方法５ｘ６＝３０种． 例５用１，２，３，４，５，６组成 六位数（没有重复数字），要求任何 相邻两个数字的奇偶性不同，且１和 ２相邻．这样的六位数的个数是 ．． －－－－—－－－－ 思索 一方面此题有相邻元 素，所以首先考虑捆绑法，其次有不 ………… ……… 同的涂色方法共有 图１ 参考答案 １．从１，２，３，…，９这９个整数中 同时取４个不同的数，其和为偶数的 取法分为三类：第一类是取四个奇 数，即Ｑ＝５种方法：第二类是取两个 奇数，两个偶数，即Ｃ￣Ｃ］＝６０种方法； 第三类是取四个偶数，即Ｃ４＝１，故有 ５＋６０＋１＝６６种方法．故选Ｄ． ２．先排第一列有Ａ３＿６种，再排 第二列，当第一歹一ｌ确定时，第二列有 两种方法，如图２．所以共有６￣２＝１２ 种．选Ａ． 完全相邻元素需要考虑插空法：另 一方面考虑到此题元素总数不多． 因此也可以利用两个计数原理解决． 破解法１：可以分三步来做这 件事：①先将３，５排列，共有Ａ｛种排 法；②再将４，６插空排列，共有２Ａ；种 排法；③将１，２放到３，５，４，６形成的 空中，共有ｃ；种排法；由分步计数原 理得共有Ａ；・２ ・Ｑ＝４０种． 法２：写出六位数的号位如下： 匝 若１在①或⑥号位，２在②或⑤号 位，方法数各４种，若１在②、③、④、 ⑤号位，２的选择有２种，方法数各８ 种．所以六位数的个数是４＋４＋８＋８＋ ８＋８＝４０种． 点评两个计数原理的混合应 用是学习的难点．注意分类讨论思 想的不重不漏原则． ］ Ｔ■ 卜———’＿＿——＿＿１ ｒＩ———十—— Ｉ Ｉ ！ Ｉ ｌ ｌ 兰 Ｉ ｛ ｃ ｉ ａ Ｉ Ｉ ｃ ｛ ｂ ｌ 图２・ ３．若没有红色卡片，则需从黄、 蓝、绿三色卡片中选３张，若都不同 色则有Ｃ１ｘＣ４￣ｘＣＸ＝６４种，若２色相同， 则有ｃ １４４；若红色卡片有１张， 则剩余２张若不同色，有Ｃ４１ｘ ３２ｘ乙４１× ｃ ＝ｌ９２种，如同色则有Ｃ４１ ＬＪ２ ２＝７２种， 所以共有６４＋１４４＋１９２＋７２＝４７２种． ４．按所用颜色分两类． 第一类：三色涂完．必然两两同 色，即ＡＣ，ＢＥ，ＤＦ或ＡＦ，ＢＤ，ＣＥ，有 ２￣ｄ－－－４８种．第二类：四色涂完．Ａ．Ｄ。Ｅ 肯定不同色，有 种涂法，再从Ｂ，Ｆ， Ｃ中选一位置涂第四色有三种．若所 选是日，则Ｆ，Ｃ＆．Ｚ－种涂法，所以 ・ｃ；・ ３＝２１６种，故共有４８＋２１６＝２６４种．
《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》教学设计（第一课时）
宁波市第四中学 邵春霞
一、教学内容分析
(一)教材的地位与作用
“分类加法计数原理和分步乘法计数原理”（以下简称“两个计数原理”）是人教A版高中数学课标教材选修2-3中“第一章计数原理”第1.1节的内容，本节课为第1课时．两个计数原理是人类在大量的实践体会的基础上归纳出的差不多规律，是解决计数问题的最差不多、最重要的方法，它们不仅是推导排列数、组合数运算公式的依据，而且其差不多思想方法也贯穿在解决本章应用问题的始终，在本章中是奠基性的知识。一方面它为后面学习排列、组合、随机变量的概率等内容提供了思想方法和理论依据；另一方面它的结论与其差不多思想方法在解决本章应用问题时有许多直截了当应用。因此，它理应成为我们重点把握的教学内容。新旧教材最大区别在于：旧教材是先学习两个计数原理后学习概率，表达由理论到实践的过程。新教材是在学习了古典概型的基础上提出了本节内容，表达了由实践到理论、再到实践的过程。学生在具备一定的计数能力(树形图、列举法等)的前提下，能更好更快地明白得并把握这两个差不多原理，在实践中能更灵活地运用两个差不多原理来解决问题。另外本节课所涉及的分步、分类思想是解决实际问题的最有效的武器，是人们摸索问题的差不多方法。
（二)教学重点与难点 教学重点：对两个计数原理的认识与明白得，并能解答简单的应用问题。
教学难点：依照具体问题特点，准确选择分类加法计数原理与分步乘法计数原明白得决实际问题。
（三）教学目标
1、知识与技能：
（1）正确明白得和把握分类加法计数原理和分步乘法计数原理
（2）会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题
2、过程与方法：
(1) 经历由实际问题推导出两个原理，再回来实际问题的解决这一过程，体会数学源于生活、高于生活、用于生活的道理，让学生体验到发觉数学、运用数学的过程．
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分类加法计数原理与分步乘法计数原理
作者：廖军
来源：《数学金刊·高考版》2014年第02期
分类加法计数原理与分步乘法计数原理是学习概率统计的基础，在高考中占有特殊的地位，大多以选择题和填空题的形式出现，有时与概率统计知识综合出现在解答题中，主要考查基础知识、基本运算与思维能力，难度不大，多为送分题.
重点难点
重点：理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的问题.
难点：分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别.
方法突破
（1）正确使用两个原理，注意两者的区别：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成了.
（2）使用两个原理时，要注意以下问题：①分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数；②分步要做到“步骤完整”，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.
点评 两个计数原理的混合应用是学习的难点，注意分类讨论思想的不重不漏原则.
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第十一章 计数原理与概率、随机变量及其分布
第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
两个计数原理
完成一件事的策略 完成这件事共有的方法
分类加法
计数原理 有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法 N＝m＋n种不同的方法
分步乘法
计数原理 需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法 N＝m×n种不同的方法
(1)每类方法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事.
(2)各类方法之间是互斥的、并列的、独立的.
(1)每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成了才能完成这件事.
(2)各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏.
二、常用结论
1.完成一件事可以有n类不同方案，各类方案相互独立，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有mn种不同的方法.那么，完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法.
2.完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法.那么，完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法.
考点一 分类加法计数原理
1.在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为________.
解析：按十位数字分类，十位可为1,2,3,4,5,6,7,8，共分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个，则共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个两位数. 2
答案：36
2.如图，从A到O有________种不同的走法(不重复过一点).
解析：分3类：第一类，直接由A到O，有1种走法；
第二类，中间过一个点，有A→B→O和A→C→O 2种不同的走法；
